Theorem absrele 11127

Description: The absolute value of a complex number is greater than or equal to the absolute value of its real part. (Contributed by NM, 1-Apr-2005.)

Assertion

Ref	Expression
absrele	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(ℜ‘𝐴)) ≤ (abs‘𝐴))

Proof of Theorem absrele

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imcl 10898	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
2	1	sqge0d 10715	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ ((ℑ‘𝐴)↑2))
3		recl 10897	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
4	3	resqcld 10714	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℜ‘𝐴)↑2) ∈ ℝ)
5	1	resqcld 10714	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℑ‘𝐴)↑2) ∈ ℝ)
6	4, 5	addge01d 8521	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0 ≤ ((ℑ‘𝐴)↑2) ↔ ((ℜ‘𝐴)↑2) ≤ (((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2))))
7	2, 6	mpbid 147	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℜ‘𝐴)↑2) ≤ (((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2)))
8	3	sqge0d 10715	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ ((ℜ‘𝐴)↑2))
9	4, 5	readdcld 8018	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2)) ∈ ℝ)
10	4, 5, 8, 2	addge0d 8510	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ (((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2)))
11		sqrtle 11080	. . . 4 ⊢ (((((ℜ‘𝐴)↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((ℜ‘𝐴)↑2)) ∧ ((((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2)))) → (((ℜ‘𝐴)↑2) ≤ (((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2)) ↔ (√‘((ℜ‘𝐴)↑2)) ≤ (√‘(((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2)))))
12	4, 8, 9, 10, 11	syl22anc 1250	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((ℜ‘𝐴)↑2) ≤ (((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2)) ↔ (√‘((ℜ‘𝐴)↑2)) ≤ (√‘(((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2)))))
13	7, 12	mpbid 147	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (√‘((ℜ‘𝐴)↑2)) ≤ (√‘(((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2))))
14		absre 11121	. . 3 ⊢ ((ℜ‘𝐴) ∈ ℝ → (abs‘(ℜ‘𝐴)) = (√‘((ℜ‘𝐴)↑2)))
15	3, 14	syl 14	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(ℜ‘𝐴)) = (√‘((ℜ‘𝐴)↑2)))
16		absval2 11101	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) = (√‘(((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2))))
17	13, 15, 16	3brtr4d 4050	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(ℜ‘𝐴)) ≤ (abs‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1364   ∈ wcel 2160   class class class wbr 4018  ‘cfv 5235  (class class class)co 5897  ℂcc 7840  ℝcr 7841  0cc0 7842   + caddc 7845   ≤ cle 8024  2c2 9001  ↑cexp 10553  ℜcre 10884  ℑcim 10885  √csqrt 11040  abscabs 11041

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605  ax-cnex 7933  ax-resscn 7934  ax-1cn 7935  ax-1re 7936  ax-icn 7937  ax-addcl 7938  ax-addrcl 7939  ax-mulcl 7940  ax-mulrcl 7941  ax-addcom 7942  ax-mulcom 7943  ax-addass 7944  ax-mulass 7945  ax-distr 7946  ax-i2m1 7947  ax-0lt1 7948  ax-1rid 7949  ax-0id 7950  ax-rnegex 7951  ax-precex 7952  ax-cnre 7953  ax-pre-ltirr 7954  ax-pre-ltwlin 7955  ax-pre-lttrn 7956  ax-pre-apti 7957  ax-pre-ltadd 7958  ax-pre-mulgt0 7959  ax-pre-mulext 7960  ax-arch 7961  ax-caucvg 7962

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4311  df-po 4314  df-iso 4315  df-iord 4384  df-on 4386  df-ilim 4387  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-riota 5852  df-ov 5900  df-oprab 5901  df-mpo 5902  df-1st 6166  df-2nd 6167  df-recs 6331  df-frec 6417  df-pnf 8025  df-mnf 8026  df-xr 8027  df-ltxr 8028  df-le 8029  df-sub 8161  df-neg 8162  df-reap 8563  df-ap 8570  df-div 8661  df-inn 8951  df-2 9009  df-3 9010  df-4 9011  df-n0 9208  df-z 9285  df-uz 9560  df-rp 9686  df-seqfrec 10479  df-exp 10554  df-cj 10886  df-re 10887  df-im 10888  df-rsqrt 11042  df-abs 11043

This theorem is referenced by:  absimle  11128  releabs  11140  recn2  11360  climcvg1nlem  11392  cos01bnd  11801