Theorem absrele 10647

Description: The absolute value of a complex number is greater than or equal to the absolute value of its real part. (Contributed by NM, 1-Apr-2005.)

Assertion

Ref	Expression
absrele	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(ℜ‘𝐴)) ≤ (abs‘𝐴))

Proof of Theorem absrele

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imcl 10419	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
2	1	sqge0d 10244	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ ((ℑ‘𝐴)↑2))
3		recl 10418	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
4	3	resqcld 10243	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℜ‘𝐴)↑2) ∈ ℝ)
5	1	resqcld 10243	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℑ‘𝐴)↑2) ∈ ℝ)
6	4, 5	addge01d 8107	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0 ≤ ((ℑ‘𝐴)↑2) ↔ ((ℜ‘𝐴)↑2) ≤ (((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2))))
7	2, 6	mpbid 146	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℜ‘𝐴)↑2) ≤ (((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2)))
8	3	sqge0d 10244	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ ((ℜ‘𝐴)↑2))
9	4, 5	readdcld 7614	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2)) ∈ ℝ)
10	4, 5, 8, 2	addge0d 8096	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ (((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2)))
11		sqrtle 10600	. . . 4 ⊢ (((((ℜ‘𝐴)↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((ℜ‘𝐴)↑2)) ∧ ((((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2)))) → (((ℜ‘𝐴)↑2) ≤ (((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2)) ↔ (√‘((ℜ‘𝐴)↑2)) ≤ (√‘(((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2)))))
12	4, 8, 9, 10, 11	syl22anc 1182	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((ℜ‘𝐴)↑2) ≤ (((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2)) ↔ (√‘((ℜ‘𝐴)↑2)) ≤ (√‘(((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2)))))
13	7, 12	mpbid 146	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (√‘((ℜ‘𝐴)↑2)) ≤ (√‘(((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2))))
14		absre 10641	. . 3 ⊢ ((ℜ‘𝐴) ∈ ℝ → (abs‘(ℜ‘𝐴)) = (√‘((ℜ‘𝐴)↑2)))
15	3, 14	syl 14	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(ℜ‘𝐴)) = (√‘((ℜ‘𝐴)↑2)))
16		absval2 10621	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) = (√‘(((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2))))
17	13, 15, 16	3brtr4d 3897	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(ℜ‘𝐴)) ≤ (abs‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 104   = wceq 1296   ∈ wcel 1445   class class class wbr 3867  ‘cfv 5049  (class class class)co 5690  ℂcc 7445  ℝcr 7446  0cc0 7447   + caddc 7450   ≤ cle 7620  2c2 8571  ↑cexp 10085  ℜcre 10405  ℑcim 10406  √csqrt 10560  abscabs 10561

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-coll 3975  ax-sep 3978  ax-nul 3986  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284  ax-setind 4381  ax-iinf 4431  ax-cnex 7533  ax-resscn 7534  ax-1cn 7535  ax-1re 7536  ax-icn 7537  ax-addcl 7538  ax-addrcl 7539  ax-mulcl 7540  ax-mulrcl 7541  ax-addcom 7542  ax-mulcom 7543  ax-addass 7544  ax-mulass 7545  ax-distr 7546  ax-i2m1 7547  ax-0lt1 7548  ax-1rid 7549  ax-0id 7550  ax-rnegex 7551  ax-precex 7552  ax-cnre 7553  ax-pre-ltirr 7554  ax-pre-ltwlin 7555  ax-pre-lttrn 7556  ax-pre-apti 7557  ax-pre-ltadd 7558  ax-pre-mulgt0 7559  ax-pre-mulext 7560  ax-arch 7561  ax-caucvg 7562

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 784  df-3or 928  df-3an 929  df-tru 1299  df-fal 1302  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ne 2263  df-nel 2358  df-ral 2375  df-rex 2376  df-reu 2377  df-rmo 2378  df-rab 2379  df-v 2635  df-sbc 2855  df-csb 2948  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-nul 3303  df-if 3414  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-int 3711  df-iun 3754  df-br 3868  df-opab 3922  df-mpt 3923  df-tr 3959  df-id 4144  df-po 4147  df-iso 4148  df-iord 4217  df-on 4219  df-ilim 4220  df-suc 4222  df-iom 4434  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-rn 4478  df-res 4479  df-ima 4480  df-iota 5014  df-fun 5051  df-fn 5052  df-f 5053  df-f1 5054  df-fo 5055  df-f1o 5056  df-fv 5057  df-riota 5646  df-ov 5693  df-oprab 5694  df-mpt2 5695  df-1st 5949  df-2nd 5950  df-recs 6108  df-frec 6194  df-pnf 7621  df-mnf 7622  df-xr 7623  df-ltxr 7624  df-le 7625  df-sub 7752  df-neg 7753  df-reap 8149  df-ap 8156  df-div 8237  df-inn 8521  df-2 8579  df-3 8580  df-4 8581  df-n0 8772  df-z 8849  df-uz 9119  df-rp 9234  df-iseq 10002  df-seq3 10003  df-exp 10086  df-cj 10407  df-re 10408  df-im 10409  df-rsqrt 10562  df-abs 10563

This theorem is referenced by:  absimle  10648  releabs  10660  recn2  10875  climcvg1nlem  10907  cos01bnd  11213