Theorem absrele 11832

Description: The absolute value of a complex number is greater than or equal to the absolute value of its real part. (Contributed by NM, 1-Apr-2005.)

Assertion

Ref	Expression
absrele	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(ℜ‘𝐴)) ≤ (abs‘𝐴))

Proof of Theorem absrele

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imcl 11602	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
2	1	sqge0d 11121	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ ((ℑ‘𝐴)↑2))
3		recl 11601	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
4	3	resqcld 11120	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℜ‘𝐴)↑2) ∈ ℝ)
5	1	resqcld 11120	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℑ‘𝐴)↑2) ∈ ℝ)
6	4, 5	addge01d 8855	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0 ≤ ((ℑ‘𝐴)↑2) ↔ ((ℜ‘𝐴)↑2) ≤ (((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2))))
7	2, 6	mpbid 147	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℜ‘𝐴)↑2) ≤ (((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2)))
8	3	sqge0d 11121	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ ((ℜ‘𝐴)↑2))
9	4, 5	readdcld 8349	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2)) ∈ ℝ)
10	4, 5, 8, 2	addge0d 8844	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ (((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2)))
11		sqrtle 11785	. . . 4 ⊢ (((((ℜ‘𝐴)↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((ℜ‘𝐴)↑2)) ∧ ((((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2)))) → (((ℜ‘𝐴)↑2) ≤ (((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2)) ↔ (√‘((ℜ‘𝐴)↑2)) ≤ (√‘(((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2)))))
12	4, 8, 9, 10, 11	syl22anc 1279	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((ℜ‘𝐴)↑2) ≤ (((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2)) ↔ (√‘((ℜ‘𝐴)↑2)) ≤ (√‘(((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2)))))
13	7, 12	mpbid 147	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (√‘((ℜ‘𝐴)↑2)) ≤ (√‘(((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2))))
14		absre 11826	. . 3 ⊢ ((ℜ‘𝐴) ∈ ℝ → (abs‘(ℜ‘𝐴)) = (√‘((ℜ‘𝐴)↑2)))
15	3, 14	syl 14	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(ℜ‘𝐴)) = (√‘((ℜ‘𝐴)↑2)))
16		absval2 11806	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) = (√‘(((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2))))
17	13, 15, 16	3brtr4d 4160	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(ℜ‘𝐴)) ≤ (abs‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4128  ‘cfv 5375  (class class class)co 6079  ℂcc 8171  ℝcr 8172  0cc0 8173   + caddc 8176   ≤ cle 8355  2c2 9338  ↑cexp 10958  ℜcre 11588  ℑcim 11589  √csqrt 11745  abscabs 11746

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-iinf 4733  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-mulrcl 8272  ax-addcom 8273  ax-mulcom 8274  ax-addass 8275  ax-mulass 8276  ax-distr 8277  ax-i2m1 8278  ax-0lt1 8279  ax-1rid 8280  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-precex 8283  ax-cnre 8284  ax-pre-ltirr 8285  ax-pre-ltwlin 8286  ax-pre-lttrn 8287  ax-pre-apti 8288  ax-pre-ltadd 8289  ax-pre-mulgt0 8290  ax-pre-mulext 8291  ax-arch 8292  ax-caucvg 8293

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-tr 4228  df-id 4436  df-po 4439  df-iso 4440  df-iord 4509  df-on 4511  df-ilim 4512  df-suc 4514  df-iom 4736  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-1st 6368  df-2nd 6369  df-recs 6570  df-frec 6656  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-xr 8358  df-ltxr 8359  df-le 8360  df-sub 8493  df-neg 8494  df-reap 8897  df-ap 8904  df-div 8997  df-inn 9288  df-2 9346  df-3 9347  df-4 9348  df-n0 9547  df-z 9628  df-uz 9905  df-rp 10038  df-seqfrec 10868  df-exp 10959  df-cj 11590  df-re 11591  df-im 11592  df-rsqrt 11747  df-abs 11748

This theorem is referenced by:  absimle  11833  releabs  11845  recn2  12066  climcvg1nlem  12098  cos01bnd  12508