Theorem sqrtgt0 11060

Description: The square root function is positive for positive input. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jul-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
sqrtgt0	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 0 < (√‘𝐴))

Proof of Theorem sqrtgt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 110	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 0 < 𝐴)
2		sq0 10628	. . . 4 ⊢ (0↑2) = 0
3	2	a1i 9	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (0↑2) = 0)
4		0red 7975	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 0 ∈ ℝ)
5		simpl 109	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
6	4, 5, 1	ltled 8093	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 0 ≤ 𝐴)
7		resqrtth 11057	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ((√‘𝐴)↑2) = 𝐴)
8	6, 7	syldan 282	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → ((√‘𝐴)↑2) = 𝐴)
9	1, 3, 8	3brtr4d 4049	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (0↑2) < ((√‘𝐴)↑2))
10		resqrtcl 11055	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (√‘𝐴) ∈ ℝ)
11	6, 10	syldan 282	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (√‘𝐴) ∈ ℝ)
12	4	leidd 8488	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 0 ≤ 0)
13		sqrtge0 11059	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → 0 ≤ (√‘𝐴))
14	6, 13	syldan 282	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 0 ≤ (√‘𝐴))
15	4, 11, 12, 14	lt2sqd 10702	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (0 < (√‘𝐴) ↔ (0↑2) < ((√‘𝐴)↑2)))
16	9, 15	mpbird 167	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 0 < (√‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1363   ∈ wcel 2159   class class class wbr 4017  ‘cfv 5230  (class class class)co 5890  ℝcr 7827  0cc0 7828   < clt 8009   ≤ cle 8010  2c2 8987  ↑cexp 10536  √csqrt 11022

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2161  ax-14 2162  ax-ext 2170  ax-coll 4132  ax-sep 4135  ax-nul 4143  ax-pow 4188  ax-pr 4223  ax-un 4447  ax-setind 4550  ax-iinf 4601  ax-cnex 7919  ax-resscn 7920  ax-1cn 7921  ax-1re 7922  ax-icn 7923  ax-addcl 7924  ax-addrcl 7925  ax-mulcl 7926  ax-mulrcl 7927  ax-addcom 7928  ax-mulcom 7929  ax-addass 7930  ax-mulass 7931  ax-distr 7932  ax-i2m1 7933  ax-0lt1 7934  ax-1rid 7935  ax-0id 7936  ax-rnegex 7937  ax-precex 7938  ax-cnre 7939  ax-pre-ltirr 7940  ax-pre-ltwlin 7941  ax-pre-lttrn 7942  ax-pre-apti 7943  ax-pre-ltadd 7944  ax-pre-mulgt0 7945  ax-pre-mulext 7946  ax-arch 7947  ax-caucvg 7948

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2040  df-mo 2041  df-clab 2175  df-cleq 2181  df-clel 2184  df-nfc 2320  df-ne 2360  df-nel 2455  df-ral 2472  df-rex 2473  df-reu 2474  df-rmo 2475  df-rab 2476  df-v 2753  df-sbc 2977  df-csb 3072  df-dif 3145  df-un 3147  df-in 3149  df-ss 3156  df-nul 3437  df-if 3549  df-pw 3591  df-sn 3612  df-pr 3613  df-op 3615  df-uni 3824  df-int 3859  df-iun 3902  df-br 4018  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-tr 4116  df-id 4307  df-po 4310  df-iso 4311  df-iord 4380  df-on 4382  df-ilim 4383  df-suc 4385  df-iom 4604  df-xp 4646  df-rel 4647  df-cnv 4648  df-co 4649  df-dm 4650  df-rn 4651  df-res 4652  df-ima 4653  df-iota 5192  df-fun 5232  df-fn 5233  df-f 5234  df-f1 5235  df-fo 5236  df-f1o 5237  df-fv 5238  df-riota 5846  df-ov 5893  df-oprab 5894  df-mpo 5895  df-1st 6158  df-2nd 6159  df-recs 6323  df-frec 6409  df-pnf 8011  df-mnf 8012  df-xr 8013  df-ltxr 8014  df-le 8015  df-sub 8147  df-neg 8148  df-reap 8549  df-ap 8556  df-div 8647  df-inn 8937  df-2 8995  df-3 8996  df-4 8997  df-n0 9194  df-z 9271  df-uz 9546  df-rp 9671  df-seqfrec 10463  df-exp 10537  df-rsqrt 11024

This theorem is referenced by:  rpsqrtcl  11067  sqrtgt0i  11147