ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  eflegeo GIF version

Theorem eflegeo 11335
Description: The exponential function on the reals between 0 and 1 lies below the comparable geometric series sum. (Contributed by Paul Chapman, 11-Sep-2007.)
Hypotheses
Ref Expression
eflegeo.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
eflegeo.2 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
eflegeo.3 (𝜑𝐴 < 1)
Assertion
Ref Expression
eflegeo (𝜑 → (exp‘𝐴) ≤ (1 / (1 − 𝐴)))

Proof of Theorem eflegeo
Dummy variables 𝑘 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0uz 9328 . . 3 0 = (ℤ‘0)
2 0zd 9034 . . 3 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
3 eflegeo.1 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
43recnd 7762 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
5 eqid 2117 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))
65eftvalcn 11290 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘) = ((𝐴𝑘) / (!‘𝑘)))
74, 6sylan 281 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘) = ((𝐴𝑘) / (!‘𝑘)))
8 reeftcl 11288 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℝ)
93, 8sylan 281 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℝ)
10 simpr 109 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
113adantr 274 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℝ)
1211, 10reexpcld 10409 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑘) ∈ ℝ)
13 oveq2 5750 . . . . 5 (𝑛 = 𝑘 → (𝐴𝑛) = (𝐴𝑘))
14 eqid 2117 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))
1513, 14fvmptg 5465 . . . 4 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑘) ∈ ℝ) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))‘𝑘) = (𝐴𝑘))
1610, 12, 15syl2anc 408 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))‘𝑘) = (𝐴𝑘))
17 reexpcl 10278 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑘) ∈ ℝ)
183, 17sylan 281 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑘) ∈ ℝ)
19 faccl 10449 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
2019adantl 275 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
2120nnred 8701 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘𝑘) ∈ ℝ)
22 eflegeo.2 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
2322adantr 274 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 0 ≤ 𝐴)
2411, 10, 23expge0d 10410 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (𝐴𝑘))
2520nnge1d 8731 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 1 ≤ (!‘𝑘))
2618, 21, 24, 25lemulge12d 8664 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑘) ≤ ((!‘𝑘) · (𝐴𝑘)))
2720nngt0d 8732 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 0 < (!‘𝑘))
28 ledivmul 8603 . . . . 5 (((𝐴𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐴𝑘) ∈ ℝ ∧ ((!‘𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 < (!‘𝑘))) → (((𝐴𝑘) / (!‘𝑘)) ≤ (𝐴𝑘) ↔ (𝐴𝑘) ≤ ((!‘𝑘) · (𝐴𝑘))))
2918, 18, 21, 27, 28syl112anc 1205 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐴𝑘) / (!‘𝑘)) ≤ (𝐴𝑘) ↔ (𝐴𝑘) ≤ ((!‘𝑘) · (𝐴𝑘))))
3026, 29mpbird 166 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑘) / (!‘𝑘)) ≤ (𝐴𝑘))
315efcllem 11292 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))) ∈ dom ⇝ )
324, 31syl 14 . . 3 (𝜑 → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))) ∈ dom ⇝ )
33 seqex 10188 . . . 4 seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))) ∈ V
34 eflegeo.3 . . . . . 6 (𝜑𝐴 < 1)
35 1red 7749 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
36 difrp 9448 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐴 < 1 ↔ (1 − 𝐴) ∈ ℝ+))
373, 35, 36syl2anc 408 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 < 1 ↔ (1 − 𝐴) ∈ ℝ+))
3834, 37mpbid 146 . . . . 5 (𝜑 → (1 − 𝐴) ∈ ℝ+)
3938rpreccld 9462 . . . 4 (𝜑 → (1 / (1 − 𝐴)) ∈ ℝ+)
403, 22absidd 10907 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘𝐴) = 𝐴)
4140, 34eqbrtrd 3920 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘𝐴) < 1)
424, 41, 16geolim 11248 . . . 4 (𝜑 → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))) ⇝ (1 / (1 − 𝐴)))
43 breldmg 4715 . . . 4 ((seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))) ∈ V ∧ (1 / (1 − 𝐴)) ∈ ℝ+ ∧ seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))) ⇝ (1 / (1 − 𝐴))) → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))) ∈ dom ⇝ )
4433, 39, 42, 43mp3an2i 1305 . . 3 (𝜑 → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))) ∈ dom ⇝ )
451, 2, 7, 9, 16, 18, 30, 32, 44isumle 11232 . 2 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑘) / (!‘𝑘)) ≤ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (𝐴𝑘))
46 efval 11294 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘𝐴) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑘) / (!‘𝑘)))
474, 46syl 14 . 2 (𝜑 → (exp‘𝐴) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑘) / (!‘𝑘)))
48 expcl 10279 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
494, 48sylan 281 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
501, 2, 16, 49, 42isumclim 11158 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ℕ0 (𝐴𝑘) = (1 / (1 − 𝐴)))
5150eqcomd 2123 . 2 (𝜑 → (1 / (1 − 𝐴)) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 (𝐴𝑘))
5245, 47, 513brtr4d 3930 1 (𝜑 → (exp‘𝐴) ≤ (1 / (1 − 𝐴)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104   = wceq 1316  wcel 1465  Vcvv 2660   class class class wbr 3899  cmpt 3959  dom cdm 4509  cfv 5093  (class class class)co 5742  cc 7586  cr 7587  0cc0 7588  1c1 7589   + caddc 7591   · cmul 7593   < clt 7768  cle 7769  cmin 7901   / cdiv 8400  cn 8688  0cn0 8945  +crp 9409  seqcseq 10186  cexp 10260  !cfa 10439  abscabs 10737  cli 11015  Σcsu 11090  expce 11275
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-coll 4013  ax-sep 4016  ax-nul 4024  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-iinf 4472  ax-cnex 7679  ax-resscn 7680  ax-1cn 7681  ax-1re 7682  ax-icn 7683  ax-addcl 7684  ax-addrcl 7685  ax-mulcl 7686  ax-mulrcl 7687  ax-addcom 7688  ax-mulcom 7689  ax-addass 7690  ax-mulass 7691  ax-distr 7692  ax-i2m1 7693  ax-0lt1 7694  ax-1rid 7695  ax-0id 7696  ax-rnegex 7697  ax-precex 7698  ax-cnre 7699  ax-pre-ltirr 7700  ax-pre-ltwlin 7701  ax-pre-lttrn 7702  ax-pre-apti 7703  ax-pre-ltadd 7704  ax-pre-mulgt0 7705  ax-pre-mulext 7706  ax-arch 7707  ax-caucvg 7708
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 805  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-nel 2381  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rmo 2401  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-csb 2976  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-nul 3334  df-if 3445  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-iun 3785  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-tr 3997  df-id 4185  df-po 4188  df-iso 4189  df-iord 4258  df-on 4260  df-ilim 4261  df-suc 4263  df-iom 4475  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-f1 5098  df-fo 5099  df-f1o 5100  df-fv 5101  df-isom 5102  df-riota 5698  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-1st 6006  df-2nd 6007  df-recs 6170  df-irdg 6235  df-frec 6256  df-1o 6281  df-oadd 6285  df-er 6397  df-en 6603  df-dom 6604  df-fin 6605  df-pnf 7770  df-mnf 7771  df-xr 7772  df-ltxr 7773  df-le 7774  df-sub 7903  df-neg 7904  df-reap 8305  df-ap 8312  df-div 8401  df-inn 8689  df-2 8747  df-3 8748  df-4 8749  df-n0 8946  df-z 9023  df-uz 9295  df-q 9380  df-rp 9410  df-ico 9645  df-fz 9759  df-fzo 9888  df-seqfrec 10187  df-exp 10261  df-fac 10440  df-ihash 10490  df-cj 10582  df-re 10583  df-im 10584  df-rsqrt 10738  df-abs 10739  df-clim 11016  df-sumdc 11091  df-ef 11281
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator