Theorem eflegeo 11575

Description: The exponential function on the reals between 0 and 1 lies below the comparable geometric series sum. (Contributed by Paul Chapman, 11-Sep-2007.)

Hypotheses

Ref	Expression
eflegeo.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
eflegeo.2	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
eflegeo.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 1)

Assertion

Ref	Expression
eflegeo	⊢ (𝜑 → (exp‘𝐴) ≤ (1 / (1 − 𝐴)))

Proof of Theorem eflegeo

Dummy variables 𝑘 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0uz 9452	. . 3 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
2		0zd 9158	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
3		eflegeo.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
4	3	recnd 7885	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
5		eqid 2154	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))
6	5	eftvalcn 11531	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘) = ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)))
7	4, 6	sylan 281	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘) = ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)))
8		reeftcl 11529	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℝ)
9	3, 8	sylan 281	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℝ)
10		simpr 109	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
11	3	adantr 274	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℝ)
12	11, 10	reexpcld 10545	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℝ)
13		oveq2 5822	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝐴↑𝑛) = (𝐴↑𝑘))
14		eqid 2154	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))
15	13, 14	fvmptg 5537	. . . 4 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴↑𝑘) ∈ ℝ) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))‘𝑘) = (𝐴↑𝑘))
16	10, 12, 15	syl2anc 409	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))‘𝑘) = (𝐴↑𝑘))
17		reexpcl 10414	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℝ)
18	3, 17	sylan 281	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℝ)
19		faccl 10586	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
20	19	adantl 275	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
21	20	nnred 8825	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘𝑘) ∈ ℝ)
22		eflegeo.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
23	22	adantr 274	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 0 ≤ 𝐴)
24	11, 10, 23	expge0d 10546	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (𝐴↑𝑘))
25	20	nnge1d 8855	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 1 ≤ (!‘𝑘))
26	18, 21, 24, 25	lemulge12d 8788	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑘) ≤ ((!‘𝑘) · (𝐴↑𝑘)))
27	20	nngt0d 8856	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 0 < (!‘𝑘))
28		ledivmul 8727	. . . . 5 ⊢ (((𝐴↑𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐴↑𝑘) ∈ ℝ ∧ ((!‘𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 < (!‘𝑘))) → (((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)) ≤ (𝐴↑𝑘) ↔ (𝐴↑𝑘) ≤ ((!‘𝑘) · (𝐴↑𝑘))))
29	18, 18, 21, 27, 28	syl112anc 1221	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)) ≤ (𝐴↑𝑘) ↔ (𝐴↑𝑘) ≤ ((!‘𝑘) · (𝐴↑𝑘))))
30	26, 29	mpbird 166	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)) ≤ (𝐴↑𝑘))
31	5	efcllem 11533	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))) ∈ dom ⇝ )
32	4, 31	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))) ∈ dom ⇝ )
33		seqex 10324	. . . 4 ⊢ seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))) ∈ V
34		eflegeo.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 1)
35		1red 7872	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
36		difrp 9577	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐴 < 1 ↔ (1 − 𝐴) ∈ ℝ+))
37	3, 35, 36	syl2anc 409	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 1 ↔ (1 − 𝐴) ∈ ℝ+))
38	34, 37	mpbid 146	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 − 𝐴) ∈ ℝ+)
39	38	rpreccld 9592	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 / (1 − 𝐴)) ∈ ℝ+)
40	3, 22	absidd 11044	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) = 𝐴)
41	40, 34	eqbrtrd 3982	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) < 1)
42	4, 41, 16	geolim 11385	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))) ⇝ (1 / (1 − 𝐴)))
43		breldmg 4785	. . . 4 ⊢ ((seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))) ∈ V ∧ (1 / (1 − 𝐴)) ∈ ℝ+ ∧ seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))) ⇝ (1 / (1 − 𝐴))) → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))) ∈ dom ⇝ )
44	33, 39, 42, 43	mp3an2i 1321	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))) ∈ dom ⇝ )
45	1, 2, 7, 9, 16, 18, 30, 32, 44	isumle 11369	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)) ≤ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (𝐴↑𝑘))
46		efval 11535	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘𝐴) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)))
47	4, 46	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → (exp‘𝐴) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)))
48		expcl 10415	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℂ)
49	4, 48	sylan 281	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℂ)
50	1, 2, 16, 49, 42	isumclim 11295	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ℕ0 (𝐴↑𝑘) = (1 / (1 − 𝐴)))
51	50	eqcomd 2160	. 2 ⊢ (𝜑 → (1 / (1 − 𝐴)) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 (𝐴↑𝑘))
52	45, 47, 51	3brtr4d 3992	1 ⊢ (𝜑 → (exp‘𝐴) ≤ (1 / (1 − 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1332   ∈ wcel 2125  Vcvv 2709   class class class wbr 3961   ↦ cmpt 4021  dom cdm 4579  ‘cfv 5163  (class class class)co 5814  ℂcc 7709  ℝcr 7710  0cc0 7711  1c1 7712   + caddc 7714   · cmul 7716   < clt 7891   ≤ cle 7892   − cmin 8025   / cdiv 8524  ℕcn 8812  ℕ₀cn0 9069  ℝ⁺crp 9538  seqcseq 10322  ↑cexp 10396  !cfa 10576  abscabs 10874   ⇝ cli 11152  Σcsu 11227  expce 11516

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1481  ax-10 1482  ax-11 1483  ax-i12 1484  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1503  ax-i9 1507  ax-ial 1511  ax-i5r 1512  ax-13 2127  ax-14 2128  ax-ext 2136  ax-coll 4075  ax-sep 4078  ax-nul 4086  ax-pow 4130  ax-pr 4164  ax-un 4388  ax-setind 4490  ax-iinf 4541  ax-cnex 7802  ax-resscn 7803  ax-1cn 7804  ax-1re 7805  ax-icn 7806  ax-addcl 7807  ax-addrcl 7808  ax-mulcl 7809  ax-mulrcl 7810  ax-addcom 7811  ax-mulcom 7812  ax-addass 7813  ax-mulass 7814  ax-distr 7815  ax-i2m1 7816  ax-0lt1 7817  ax-1rid 7818  ax-0id 7819  ax-rnegex 7820  ax-precex 7821  ax-cnre 7822  ax-pre-ltirr 7823  ax-pre-ltwlin 7824  ax-pre-lttrn 7825  ax-pre-apti 7826  ax-pre-ltadd 7827  ax-pre-mulgt0 7828  ax-pre-mulext 7829  ax-arch 7830  ax-caucvg 7831

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1740  df-eu 2006  df-mo 2007  df-clab 2141  df-cleq 2147  df-clel 2150  df-nfc 2285  df-ne 2325  df-nel 2420  df-ral 2437  df-rex 2438  df-reu 2439  df-rmo 2440  df-rab 2441  df-v 2711  df-sbc 2934  df-csb 3028  df-dif 3100  df-un 3102  df-in 3104  df-ss 3111  df-nul 3391  df-if 3502  df-pw 3541  df-sn 3562  df-pr 3563  df-op 3565  df-uni 3769  df-int 3804  df-iun 3847  df-br 3962  df-opab 4022  df-mpt 4023  df-tr 4059  df-id 4248  df-po 4251  df-iso 4252  df-iord 4321  df-on 4323  df-ilim 4324  df-suc 4326  df-iom 4544  df-xp 4585  df-rel 4586  df-cnv 4587  df-co 4588  df-dm 4589  df-rn 4590  df-res 4591  df-ima 4592  df-iota 5128  df-fun 5165  df-fn 5166  df-f 5167  df-f1 5168  df-fo 5169  df-f1o 5170  df-fv 5171  df-isom 5172  df-riota 5770  df-ov 5817  df-oprab 5818  df-mpo 5819  df-1st 6078  df-2nd 6079  df-recs 6242  df-irdg 6307  df-frec 6328  df-1o 6353  df-oadd 6357  df-er 6469  df-en 6675  df-dom 6676  df-fin 6677  df-pnf 7893  df-mnf 7894  df-xr 7895  df-ltxr 7896  df-le 7897  df-sub 8027  df-neg 8028  df-reap 8429  df-ap 8436  df-div 8525  df-inn 8813  df-2 8871  df-3 8872  df-4 8873  df-n0 9070  df-z 9147  df-uz 9419  df-q 9507  df-rp 9539  df-ico 9776  df-fz 9891  df-fzo 10020  df-seqfrec 10323  df-exp 10397  df-fac 10577  df-ihash 10627  df-cj 10719  df-re 10720  df-im 10721  df-rsqrt 10875  df-abs 10876  df-clim 11153  df-sumdc 11228  df-ef 11522

This theorem is referenced by: (None)