Theorem eflegeo 11869

Description: The exponential function on the reals between 0 and 1 lies below the comparable geometric series sum. (Contributed by Paul Chapman, 11-Sep-2007.)

Hypotheses

Ref	Expression
eflegeo.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
eflegeo.2	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
eflegeo.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 1)

Assertion

Ref	Expression
eflegeo	⊢ (𝜑 → (exp‘𝐴) ≤ (1 / (1 − 𝐴)))

Proof of Theorem eflegeo

Dummy variables 𝑘 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0uz 9639	. . 3 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
2		0zd 9341	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
3		eflegeo.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
4	3	recnd 8058	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
5		eqid 2196	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))
6	5	eftvalcn 11825	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘) = ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)))
7	4, 6	sylan 283	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘) = ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)))
8		reeftcl 11823	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℝ)
9	3, 8	sylan 283	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℝ)
10		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
11	3	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℝ)
12	11, 10	reexpcld 10785	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℝ)
13		oveq2 5931	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝐴↑𝑛) = (𝐴↑𝑘))
14		eqid 2196	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))
15	13, 14	fvmptg 5638	. . . 4 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴↑𝑘) ∈ ℝ) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))‘𝑘) = (𝐴↑𝑘))
16	10, 12, 15	syl2anc 411	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))‘𝑘) = (𝐴↑𝑘))
17		reexpcl 10651	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℝ)
18	3, 17	sylan 283	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℝ)
19		faccl 10830	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
20	19	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
21	20	nnred 9006	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘𝑘) ∈ ℝ)
22		eflegeo.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
23	22	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 0 ≤ 𝐴)
24	11, 10, 23	expge0d 10786	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (𝐴↑𝑘))
25	20	nnge1d 9036	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 1 ≤ (!‘𝑘))
26	18, 21, 24, 25	lemulge12d 8968	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑘) ≤ ((!‘𝑘) · (𝐴↑𝑘)))
27	20	nngt0d 9037	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 0 < (!‘𝑘))
28		ledivmul 8907	. . . . 5 ⊢ (((𝐴↑𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐴↑𝑘) ∈ ℝ ∧ ((!‘𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 < (!‘𝑘))) → (((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)) ≤ (𝐴↑𝑘) ↔ (𝐴↑𝑘) ≤ ((!‘𝑘) · (𝐴↑𝑘))))
29	18, 18, 21, 27, 28	syl112anc 1253	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)) ≤ (𝐴↑𝑘) ↔ (𝐴↑𝑘) ≤ ((!‘𝑘) · (𝐴↑𝑘))))
30	26, 29	mpbird 167	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)) ≤ (𝐴↑𝑘))
31	5	efcllem 11827	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))) ∈ dom ⇝ )
32	4, 31	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))) ∈ dom ⇝ )
33		seqex 10544	. . . 4 ⊢ seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))) ∈ V
34		eflegeo.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 1)
35		1red 8044	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
36		difrp 9770	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐴 < 1 ↔ (1 − 𝐴) ∈ ℝ+))
37	3, 35, 36	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 1 ↔ (1 − 𝐴) ∈ ℝ+))
38	34, 37	mpbid 147	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 − 𝐴) ∈ ℝ+)
39	38	rpreccld 9785	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 / (1 − 𝐴)) ∈ ℝ+)
40	3, 22	absidd 11335	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) = 𝐴)
41	40, 34	eqbrtrd 4056	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) < 1)
42	4, 41, 16	geolim 11679	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))) ⇝ (1 / (1 − 𝐴)))
43		breldmg 4873	. . . 4 ⊢ ((seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))) ∈ V ∧ (1 / (1 − 𝐴)) ∈ ℝ+ ∧ seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))) ⇝ (1 / (1 − 𝐴))) → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))) ∈ dom ⇝ )
44	33, 39, 42, 43	mp3an2i 1353	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))) ∈ dom ⇝ )
45	1, 2, 7, 9, 16, 18, 30, 32, 44	isumle 11663	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)) ≤ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (𝐴↑𝑘))
46		efval 11829	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘𝐴) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)))
47	4, 46	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → (exp‘𝐴) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)))
48		expcl 10652	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℂ)
49	4, 48	sylan 283	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℂ)
50	1, 2, 16, 49, 42	isumclim 11589	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ℕ0 (𝐴↑𝑘) = (1 / (1 − 𝐴)))
51	50	eqcomd 2202	. 2 ⊢ (𝜑 → (1 / (1 − 𝐴)) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 (𝐴↑𝑘))
52	45, 47, 51	3brtr4d 4066	1 ⊢ (𝜑 → (exp‘𝐴) ≤ (1 / (1 − 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  Vcvv 2763   class class class wbr 4034   ↦ cmpt 4095  dom cdm 4664  ‘cfv 5259  (class class class)co 5923  ℂcc 7880  ℝcr 7881  0cc0 7882  1c1 7883   + caddc 7885   · cmul 7887   < clt 8064   ≤ cle 8065   − cmin 8200   / cdiv 8702  ℕcn 8993  ℕ₀cn0 9252  ℝ⁺crp 9731  seqcseq 10542  ↑cexp 10633  !cfa 10820  abscabs 11165   ⇝ cli 11446  Σcsu 11521  expce 11810

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7973  ax-resscn 7974  ax-1cn 7975  ax-1re 7976  ax-icn 7977  ax-addcl 7978  ax-addrcl 7979  ax-mulcl 7980  ax-mulrcl 7981  ax-addcom 7982  ax-mulcom 7983  ax-addass 7984  ax-mulass 7985  ax-distr 7986  ax-i2m1 7987  ax-0lt1 7988  ax-1rid 7989  ax-0id 7990  ax-rnegex 7991  ax-precex 7992  ax-cnre 7993  ax-pre-ltirr 7994  ax-pre-ltwlin 7995  ax-pre-lttrn 7996  ax-pre-apti 7997  ax-pre-ltadd 7998  ax-pre-mulgt0 7999  ax-pre-mulext 8000  ax-arch 8001  ax-caucvg 8002

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-isom 5268  df-riota 5878  df-ov 5926  df-oprab 5927  df-mpo 5928  df-1st 6200  df-2nd 6201  df-recs 6365  df-irdg 6430  df-frec 6451  df-1o 6476  df-oadd 6480  df-er 6594  df-en 6802  df-dom 6803  df-fin 6804  df-pnf 8066  df-mnf 8067  df-xr 8068  df-ltxr 8069  df-le 8070  df-sub 8202  df-neg 8203  df-reap 8605  df-ap 8612  df-div 8703  df-inn 8994  df-2 9052  df-3 9053  df-4 9054  df-n0 9253  df-z 9330  df-uz 9605  df-q 9697  df-rp 9732  df-ico 9972  df-fz 10087  df-fzo 10221  df-seqfrec 10543  df-exp 10634  df-fac 10821  df-ihash 10871  df-cj 11010  df-re 11011  df-im 11012  df-rsqrt 11166  df-abs 11167  df-clim 11447  df-sumdc 11522  df-ef 11816

This theorem is referenced by: (None)