ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  eflegeo GIF version

Theorem eflegeo 11397
Description: The exponential function on the reals between 0 and 1 lies below the comparable geometric series sum. (Contributed by Paul Chapman, 11-Sep-2007.)
Hypotheses
Ref Expression
eflegeo.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
eflegeo.2 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
eflegeo.3 (𝜑𝐴 < 1)
Assertion
Ref Expression
eflegeo (𝜑 → (exp‘𝐴) ≤ (1 / (1 − 𝐴)))

Proof of Theorem eflegeo
Dummy variables 𝑘 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0uz 9353 . . 3 0 = (ℤ‘0)
2 0zd 9059 . . 3 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
3 eflegeo.1 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
43recnd 7787 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
5 eqid 2137 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))
65eftvalcn 11352 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘) = ((𝐴𝑘) / (!‘𝑘)))
74, 6sylan 281 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘) = ((𝐴𝑘) / (!‘𝑘)))
8 reeftcl 11350 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℝ)
93, 8sylan 281 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℝ)
10 simpr 109 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
113adantr 274 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℝ)
1211, 10reexpcld 10434 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑘) ∈ ℝ)
13 oveq2 5775 . . . . 5 (𝑛 = 𝑘 → (𝐴𝑛) = (𝐴𝑘))
14 eqid 2137 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))
1513, 14fvmptg 5490 . . . 4 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑘) ∈ ℝ) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))‘𝑘) = (𝐴𝑘))
1610, 12, 15syl2anc 408 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))‘𝑘) = (𝐴𝑘))
17 reexpcl 10303 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑘) ∈ ℝ)
183, 17sylan 281 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑘) ∈ ℝ)
19 faccl 10474 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
2019adantl 275 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
2120nnred 8726 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘𝑘) ∈ ℝ)
22 eflegeo.2 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
2322adantr 274 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 0 ≤ 𝐴)
2411, 10, 23expge0d 10435 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (𝐴𝑘))
2520nnge1d 8756 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 1 ≤ (!‘𝑘))
2618, 21, 24, 25lemulge12d 8689 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑘) ≤ ((!‘𝑘) · (𝐴𝑘)))
2720nngt0d 8757 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 0 < (!‘𝑘))
28 ledivmul 8628 . . . . 5 (((𝐴𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐴𝑘) ∈ ℝ ∧ ((!‘𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 < (!‘𝑘))) → (((𝐴𝑘) / (!‘𝑘)) ≤ (𝐴𝑘) ↔ (𝐴𝑘) ≤ ((!‘𝑘) · (𝐴𝑘))))
2918, 18, 21, 27, 28syl112anc 1220 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐴𝑘) / (!‘𝑘)) ≤ (𝐴𝑘) ↔ (𝐴𝑘) ≤ ((!‘𝑘) · (𝐴𝑘))))
3026, 29mpbird 166 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑘) / (!‘𝑘)) ≤ (𝐴𝑘))
315efcllem 11354 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))) ∈ dom ⇝ )
324, 31syl 14 . . 3 (𝜑 → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))) ∈ dom ⇝ )
33 seqex 10213 . . . 4 seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))) ∈ V
34 eflegeo.3 . . . . . 6 (𝜑𝐴 < 1)
35 1red 7774 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
36 difrp 9473 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐴 < 1 ↔ (1 − 𝐴) ∈ ℝ+))
373, 35, 36syl2anc 408 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 < 1 ↔ (1 − 𝐴) ∈ ℝ+))
3834, 37mpbid 146 . . . . 5 (𝜑 → (1 − 𝐴) ∈ ℝ+)
3938rpreccld 9487 . . . 4 (𝜑 → (1 / (1 − 𝐴)) ∈ ℝ+)
403, 22absidd 10932 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘𝐴) = 𝐴)
4140, 34eqbrtrd 3945 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘𝐴) < 1)
424, 41, 16geolim 11273 . . . 4 (𝜑 → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))) ⇝ (1 / (1 − 𝐴)))
43 breldmg 4740 . . . 4 ((seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))) ∈ V ∧ (1 / (1 − 𝐴)) ∈ ℝ+ ∧ seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))) ⇝ (1 / (1 − 𝐴))) → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))) ∈ dom ⇝ )
4433, 39, 42, 43mp3an2i 1320 . . 3 (𝜑 → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))) ∈ dom ⇝ )
451, 2, 7, 9, 16, 18, 30, 32, 44isumle 11257 . 2 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑘) / (!‘𝑘)) ≤ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (𝐴𝑘))
46 efval 11356 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘𝐴) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑘) / (!‘𝑘)))
474, 46syl 14 . 2 (𝜑 → (exp‘𝐴) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑘) / (!‘𝑘)))
48 expcl 10304 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
494, 48sylan 281 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
501, 2, 16, 49, 42isumclim 11183 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ℕ0 (𝐴𝑘) = (1 / (1 − 𝐴)))
5150eqcomd 2143 . 2 (𝜑 → (1 / (1 − 𝐴)) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 (𝐴𝑘))
5245, 47, 513brtr4d 3955 1 (𝜑 → (exp‘𝐴) ≤ (1 / (1 − 𝐴)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104   = wceq 1331  wcel 1480  Vcvv 2681   class class class wbr 3924  cmpt 3984  dom cdm 4534  cfv 5118  (class class class)co 5767  cc 7611  cr 7612  0cc0 7613  1c1 7614   + caddc 7616   · cmul 7618   < clt 7793  cle 7794  cmin 7926   / cdiv 8425  cn 8713  0cn0 8970  +crp 9434  seqcseq 10211  cexp 10285  !cfa 10464  abscabs 10762  cli 11040  Σcsu 11115  expce 11337
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-coll 4038  ax-sep 4041  ax-nul 4049  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-iinf 4497  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-mulrcl 7712  ax-addcom 7713  ax-mulcom 7714  ax-addass 7715  ax-mulass 7716  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0lt1 7719  ax-1rid 7720  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-precex 7723  ax-cnre 7724  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-ltwlin 7726  ax-pre-lttrn 7727  ax-pre-apti 7728  ax-pre-ltadd 7729  ax-pre-mulgt0 7730  ax-pre-mulext 7731  ax-arch 7732  ax-caucvg 7733
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rmo 2422  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-if 3470  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-tr 4022  df-id 4210  df-po 4213  df-iso 4214  df-iord 4283  df-on 4285  df-ilim 4286  df-suc 4288  df-iom 4500  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-isom 5127  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-1st 6031  df-2nd 6032  df-recs 6195  df-irdg 6260  df-frec 6281  df-1o 6306  df-oadd 6310  df-er 6422  df-en 6628  df-dom 6629  df-fin 6630  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-sub 7928  df-neg 7929  df-reap 8330  df-ap 8337  df-div 8426  df-inn 8714  df-2 8772  df-3 8773  df-4 8774  df-n0 8971  df-z 9048  df-uz 9320  df-q 9405  df-rp 9435  df-ico 9670  df-fz 9784  df-fzo 9913  df-seqfrec 10212  df-exp 10286  df-fac 10465  df-ihash 10515  df-cj 10607  df-re 10608  df-im 10609  df-rsqrt 10763  df-abs 10764  df-clim 11041  df-sumdc 11116  df-ef 11343
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator