Theorem eflegeo 12446

Description: The exponential function on the reals between 0 and 1 lies below the comparable geometric series sum. (Contributed by Paul Chapman, 11-Sep-2007.)

Hypotheses

Ref	Expression
eflegeo.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
eflegeo.2	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
eflegeo.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 1)

Assertion

Ref	Expression
eflegeo	⊢ (𝜑 → (exp‘𝐴) ≤ (1 / (1 − 𝐴)))

Proof of Theorem eflegeo

Dummy variables 𝑘 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0uz 9936	. . 3 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
2		0zd 9635	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
3		eflegeo.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
4	3	recnd 8344	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
5		eqid 2238	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))
6	5	eftvalcn 12402	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘) = ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)))
7	4, 6	sylan 283	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘) = ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)))
8		reeftcl 12400	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℝ)
9	3, 8	sylan 283	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℝ)
10		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
11	3	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℝ)
12	11, 10	reexpcld 11106	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℝ)
13		oveq2 6083	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝐴↑𝑛) = (𝐴↑𝑘))
14		eqid 2238	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))
15	13, 14	fvmptg 5775	. . . 4 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴↑𝑘) ∈ ℝ) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))‘𝑘) = (𝐴↑𝑘))
16	10, 12, 15	syl2anc 415	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))‘𝑘) = (𝐴↑𝑘))
17		reexpcl 10971	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℝ)
18	3, 17	sylan 283	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℝ)
19		faccl 11151	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
20	19	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
21	20	nnred 9296	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘𝑘) ∈ ℝ)
22		eflegeo.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
23	22	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 0 ≤ 𝐴)
24	11, 10, 23	expge0d 11107	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (𝐴↑𝑘))
25	20	nnge1d 9326	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 1 ≤ (!‘𝑘))
26	18, 21, 24, 25	lemulge12d 9258	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑘) ≤ ((!‘𝑘) · (𝐴↑𝑘)))
27	20	nngt0d 9327	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 0 < (!‘𝑘))
28		ledivmul 9197	. . . . 5 ⊢ (((𝐴↑𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐴↑𝑘) ∈ ℝ ∧ ((!‘𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 < (!‘𝑘))) → (((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)) ≤ (𝐴↑𝑘) ↔ (𝐴↑𝑘) ≤ ((!‘𝑘) · (𝐴↑𝑘))))
29	18, 18, 21, 27, 28	syl112anc 1282	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)) ≤ (𝐴↑𝑘) ↔ (𝐴↑𝑘) ≤ ((!‘𝑘) · (𝐴↑𝑘))))
30	26, 29	mpbird 167	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)) ≤ (𝐴↑𝑘))
31	5	efcllem 12404	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))) ∈ dom ⇝ )
32	4, 31	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))) ∈ dom ⇝ )
33		seqex 10864	. . . 4 ⊢ seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))) ∈ V
34		eflegeo.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 1)
35		1red 8331	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
36		difrp 10072	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐴 < 1 ↔ (1 − 𝐴) ∈ ℝ+))
37	3, 35, 36	syl2anc 415	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 1 ↔ (1 − 𝐴) ∈ ℝ+))
38	34, 37	mpbid 147	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 − 𝐴) ∈ ℝ+)
39	38	rpreccld 10087	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 / (1 − 𝐴)) ∈ ℝ+)
40	3, 22	absidd 11911	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) = 𝐴)
41	40, 34	eqbrtrd 4147	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) < 1)
42	4, 41, 16	geolim 12256	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))) ⇝ (1 / (1 − 𝐴)))
43		breldmg 4982	. . . 4 ⊢ ((seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))) ∈ V ∧ (1 / (1 − 𝐴)) ∈ ℝ+ ∧ seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))) ⇝ (1 / (1 − 𝐴))) → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))) ∈ dom ⇝ )
44	33, 39, 42, 43	mp3an2i 1383	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))) ∈ dom ⇝ )
45	1, 2, 7, 9, 16, 18, 30, 32, 44	isumle 12240	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)) ≤ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (𝐴↑𝑘))
46		efval 12406	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘𝐴) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)))
47	4, 46	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → (exp‘𝐴) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)))
48		expcl 10972	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℂ)
49	4, 48	sylan 283	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℂ)
50	1, 2, 16, 49, 42	isumclim 12166	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ℕ0 (𝐴↑𝑘) = (1 / (1 − 𝐴)))
51	50	eqcomd 2244	. 2 ⊢ (𝜑 → (1 / (1 − 𝐴)) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 (𝐴↑𝑘))
52	45, 47, 51	3brtr4d 4157	1 ⊢ (𝜑 → (exp‘𝐴) ≤ (1 / (1 − 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  Vcvv 2821   class class class wbr 4125   ↦ cmpt 4187  dom cdm 4769  ‘cfv 5372  (class class class)co 6075  ℂcc 8167  ℝcr 8168  0cc0 8169  1c1 8170   + caddc 8172   · cmul 8174   < clt 8350   ≤ cle 8351   − cmin 8487   / cdiv 8992  ℕcn 9283  ℕ₀cn0 9542  ℝ⁺crp 10033  seqcseq 10862  ↑cexp 10953  !cfa 11141  abscabs 11741   ⇝ cli 12022  Σcsu 12097  expce 12387

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-mulrcl 8268  ax-addcom 8269  ax-mulcom 8270  ax-addass 8271  ax-mulass 8272  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-1rid 8276  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-precex 8279  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285  ax-pre-mulgt0 8286  ax-pre-mulext 8287  ax-arch 8288  ax-caucvg 8289

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-po 4436  df-iso 4437  df-iord 4506  df-on 4508  df-ilim 4509  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-isom 5381  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-recs 6566  df-irdg 6631  df-frec 6652  df-1o 6677  df-oadd 6681  df-er 6797  df-en 7013  df-dom 7014  df-fin 7015  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-reap 8893  df-ap 8900  df-div 8993  df-inn 9284  df-2 9342  df-3 9343  df-4 9344  df-n0 9543  df-z 9624  df-uz 9901  df-q 9999  df-rp 10034  df-ico 10275  df-fz 10391  df-fzo 10528  df-seqfrec 10863  df-exp 10954  df-fac 11142  df-ihash 11193  df-cj 11585  df-re 11586  df-im 11587  df-rsqrt 11742  df-abs 11743  df-clim 12023  df-sumdc 12098  df-ef 12393

This theorem is referenced by: (None)