Theorem mulap0 8817

Description: The product of two numbers apart from zero is apart from zero. Lemma 2.15 of [Geuvers], p. 6. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Feb-2020.)

Assertion

Ref	Expression
mulap0	⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0)) → (𝐴 · 𝐵) # 0)

Proof of Theorem mulap0

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recexap 8816	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0) → ∃𝑥 ∈ ℂ (𝐵 · 𝑥) = 1)
2	1	adantl 277	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0)) → ∃𝑥 ∈ ℂ (𝐵 · 𝑥) = 1)
3		simpllr 534	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0)) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) → 𝐴 # 0)
4		simplll 533	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0)) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) → 𝐴 ∈ ℂ)
5		simplrl 535	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0)) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) → 𝐵 ∈ ℂ)
6		simprl 529	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0)) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) → 𝑥 ∈ ℂ)
7	4, 5, 6	mulassd 8186	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0)) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) → ((𝐴 · 𝐵) · 𝑥) = (𝐴 · (𝐵 · 𝑥)))
8		simprr 531	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0)) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) → (𝐵 · 𝑥) = 1)
9	8	oveq2d 6026	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0)) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) → (𝐴 · (𝐵 · 𝑥)) = (𝐴 · 1))
10	4	mulridd 8179	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0)) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) → (𝐴 · 1) = 𝐴)
11	7, 9, 10	3eqtrd 2266	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0)) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) → ((𝐴 · 𝐵) · 𝑥) = 𝐴)
12	6	mul02d 8554	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0)) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) → (0 · 𝑥) = 0)
13	3, 11, 12	3brtr4d 4115	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0)) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) → ((𝐴 · 𝐵) · 𝑥) # (0 · 𝑥))
14	4, 5	mulcld 8183	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0)) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
15		0cnd 8155	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0)) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) → 0 ∈ ℂ)
16		mulext1 8775	. . . 4 ⊢ (((𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((𝐴 · 𝐵) · 𝑥) # (0 · 𝑥) → (𝐴 · 𝐵) # 0))
17	14, 15, 6, 16	syl3anc 1271	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0)) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) → (((𝐴 · 𝐵) · 𝑥) # (0 · 𝑥) → (𝐴 · 𝐵) # 0))
18	13, 17	mpd 13	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0)) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) → (𝐴 · 𝐵) # 0)
19	2, 18	rexlimddv 2653	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0)) → (𝐴 · 𝐵) # 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ∃wrex 2509   class class class wbr 4083  (class class class)co 6010  ℂcc 8013  0cc0 8015  1c1 8016   · cmul 8020   # cap 8744

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4259  ax-pr 4294  ax-un 4525  ax-setind 4630  ax-cnex 8106  ax-resscn 8107  ax-1cn 8108  ax-1re 8109  ax-icn 8110  ax-addcl 8111  ax-addrcl 8112  ax-mulcl 8113  ax-mulrcl 8114  ax-addcom 8115  ax-mulcom 8116  ax-addass 8117  ax-mulass 8118  ax-distr 8119  ax-i2m1 8120  ax-0lt1 8121  ax-1rid 8122  ax-0id 8123  ax-rnegex 8124  ax-precex 8125  ax-cnre 8126  ax-pre-ltirr 8127  ax-pre-ltwlin 8128  ax-pre-lttrn 8129  ax-pre-apti 8130  ax-pre-ltadd 8131  ax-pre-mulgt0 8132  ax-pre-mulext 8133

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-id 4385  df-po 4388  df-iso 4389  df-xp 4726  df-rel 4727  df-cnv 4728  df-co 4729  df-dm 4730  df-iota 5281  df-fun 5323  df-fv 5329  df-riota 5963  df-ov 6013  df-oprab 6014  df-mpo 6015  df-pnf 8199  df-mnf 8200  df-xr 8201  df-ltxr 8202  df-le 8203  df-sub 8335  df-neg 8336  df-reap 8738  df-ap 8745

This theorem is referenced by:  mulap0b  8818  mulap0i  8819  mulap0d  8821  divmuldivap  8875  divdivdivap  8876  divmuleqap  8880  divadddivap  8890  conjmulap  8892  expcl2lemap  10790  expclzaplem  10802  lgsne0  15738