Theorem mulap0 8827

Description: The product of two numbers apart from zero is apart from zero. Lemma 2.15 of [Geuvers], p. 6. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Feb-2020.)

Assertion

Ref	Expression
mulap0	⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0)) → (𝐴 · 𝐵) # 0)

Proof of Theorem mulap0

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recexap 8826	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0) → ∃𝑥 ∈ ℂ (𝐵 · 𝑥) = 1)
2	1	adantl 277	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0)) → ∃𝑥 ∈ ℂ (𝐵 · 𝑥) = 1)
3		simpllr 534	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0)) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) → 𝐴 # 0)
4		simplll 533	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0)) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) → 𝐴 ∈ ℂ)
5		simplrl 535	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0)) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) → 𝐵 ∈ ℂ)
6		simprl 529	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0)) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) → 𝑥 ∈ ℂ)
7	4, 5, 6	mulassd 8196	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0)) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) → ((𝐴 · 𝐵) · 𝑥) = (𝐴 · (𝐵 · 𝑥)))
8		simprr 531	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0)) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) → (𝐵 · 𝑥) = 1)
9	8	oveq2d 6029	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0)) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) → (𝐴 · (𝐵 · 𝑥)) = (𝐴 · 1))
10	4	mulridd 8189	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0)) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) → (𝐴 · 1) = 𝐴)
11	7, 9, 10	3eqtrd 2266	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0)) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) → ((𝐴 · 𝐵) · 𝑥) = 𝐴)
12	6	mul02d 8564	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0)) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) → (0 · 𝑥) = 0)
13	3, 11, 12	3brtr4d 4118	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0)) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) → ((𝐴 · 𝐵) · 𝑥) # (0 · 𝑥))
14	4, 5	mulcld 8193	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0)) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
15		0cnd 8165	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0)) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) → 0 ∈ ℂ)
16		mulext1 8785	. . . 4 ⊢ (((𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((𝐴 · 𝐵) · 𝑥) # (0 · 𝑥) → (𝐴 · 𝐵) # 0))
17	14, 15, 6, 16	syl3anc 1271	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0)) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) → (((𝐴 · 𝐵) · 𝑥) # (0 · 𝑥) → (𝐴 · 𝐵) # 0))
18	13, 17	mpd 13	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0)) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) → (𝐴 · 𝐵) # 0)
19	2, 18	rexlimddv 2653	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0)) → (𝐴 · 𝐵) # 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ∃wrex 2509   class class class wbr 4086  (class class class)co 6013  ℂcc 8023  0cc0 8025  1c1 8026   · cmul 8030   # cap 8754

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-cnex 8116  ax-resscn 8117  ax-1cn 8118  ax-1re 8119  ax-icn 8120  ax-addcl 8121  ax-addrcl 8122  ax-mulcl 8123  ax-mulrcl 8124  ax-addcom 8125  ax-mulcom 8126  ax-addass 8127  ax-mulass 8128  ax-distr 8129  ax-i2m1 8130  ax-0lt1 8131  ax-1rid 8132  ax-0id 8133  ax-rnegex 8134  ax-precex 8135  ax-cnre 8136  ax-pre-ltirr 8137  ax-pre-ltwlin 8138  ax-pre-lttrn 8139  ax-pre-apti 8140  ax-pre-ltadd 8141  ax-pre-mulgt0 8142  ax-pre-mulext 8143

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-br 4087  df-opab 4149  df-id 4388  df-po 4391  df-iso 4392  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-pnf 8209  df-mnf 8210  df-xr 8211  df-ltxr 8212  df-le 8213  df-sub 8345  df-neg 8346  df-reap 8748  df-ap 8755

This theorem is referenced by:  mulap0b  8828  mulap0i  8829  mulap0d  8831  divmuldivap  8885  divdivdivap  8886  divmuleqap  8890  divadddivap  8900  conjmulap  8902  expcl2lemap  10806  expclzaplem  10818  lgsne0  15760