Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mulap0 GIF version

Theorem mulap0 8459
 Description: The product of two numbers apart from zero is apart from zero. Lemma 2.15 of [Geuvers], p. 6. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Feb-2020.)
Assertion
Ref Expression
mulap0 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0)) → (𝐴 · 𝐵) # 0)

Proof of Theorem mulap0
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 recexap 8458 . . 3 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0) → ∃𝑥 ∈ ℂ (𝐵 · 𝑥) = 1)
21adantl 275 . 2 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0)) → ∃𝑥 ∈ ℂ (𝐵 · 𝑥) = 1)
3 simpllr 524 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0)) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) → 𝐴 # 0)
4 simplll 523 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0)) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) → 𝐴 ∈ ℂ)
5 simplrl 525 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0)) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) → 𝐵 ∈ ℂ)
6 simprl 521 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0)) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) → 𝑥 ∈ ℂ)
74, 5, 6mulassd 7833 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0)) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) → ((𝐴 · 𝐵) · 𝑥) = (𝐴 · (𝐵 · 𝑥)))
8 simprr 522 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0)) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) → (𝐵 · 𝑥) = 1)
98oveq2d 5799 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0)) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) → (𝐴 · (𝐵 · 𝑥)) = (𝐴 · 1))
104mulid1d 7827 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0)) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) → (𝐴 · 1) = 𝐴)
117, 9, 103eqtrd 2177 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0)) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) → ((𝐴 · 𝐵) · 𝑥) = 𝐴)
126mul02d 8198 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0)) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) → (0 · 𝑥) = 0)
133, 11, 123brtr4d 3969 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0)) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) → ((𝐴 · 𝐵) · 𝑥) # (0 · 𝑥))
144, 5mulcld 7830 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0)) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
15 0cnd 7803 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0)) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) → 0 ∈ ℂ)
16 mulext1 8418 . . . 4 (((𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((𝐴 · 𝐵) · 𝑥) # (0 · 𝑥) → (𝐴 · 𝐵) # 0))
1714, 15, 6, 16syl3anc 1217 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0)) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) → (((𝐴 · 𝐵) · 𝑥) # (0 · 𝑥) → (𝐴 · 𝐵) # 0))
1813, 17mpd 13 . 2 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0)) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) → (𝐴 · 𝐵) # 0)
192, 18rexlimddv 2558 1 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0)) → (𝐴 · 𝐵) # 0)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1332   ∈ wcel 1481  ∃wrex 2418   class class class wbr 3938  (class class class)co 5783  ℂcc 7662  0cc0 7664  1c1 7665   · cmul 7669   # cap 8387 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4055  ax-pow 4107  ax-pr 4140  ax-un 4364  ax-setind 4461  ax-cnex 7755  ax-resscn 7756  ax-1cn 7757  ax-1re 7758  ax-icn 7759  ax-addcl 7760  ax-addrcl 7761  ax-mulcl 7762  ax-mulrcl 7763  ax-addcom 7764  ax-mulcom 7765  ax-addass 7766  ax-mulass 7767  ax-distr 7768  ax-i2m1 7769  ax-0lt1 7770  ax-1rid 7771  ax-0id 7772  ax-rnegex 7773  ax-precex 7774  ax-cnre 7775  ax-pre-ltirr 7776  ax-pre-ltwlin 7777  ax-pre-lttrn 7778  ax-pre-apti 7779  ax-pre-ltadd 7780  ax-pre-mulgt0 7781  ax-pre-mulext 7782 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2692  df-sbc 2915  df-dif 3079  df-un 3081  df-in 3083  df-ss 3090  df-pw 3518  df-sn 3539  df-pr 3540  df-op 3542  df-uni 3746  df-br 3939  df-opab 3999  df-id 4224  df-po 4227  df-iso 4228  df-xp 4554  df-rel 4555  df-cnv 4556  df-co 4557  df-dm 4558  df-iota 5097  df-fun 5134  df-fv 5140  df-riota 5739  df-ov 5786  df-oprab 5787  df-mpo 5788  df-pnf 7846  df-mnf 7847  df-xr 7848  df-ltxr 7849  df-le 7850  df-sub 7979  df-neg 7980  df-reap 8381  df-ap 8388 This theorem is referenced by:  mulap0b  8460  mulap0i  8461  mulap0d  8463  divmuldivap  8516  divdivdivap  8517  divmuleqap  8521  divadddivap  8531  conjmulap  8533  expcl2lemap  10356  expclzaplem  10368
 Copyright terms: Public domain W3C validator