ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ltmprr GIF version

Theorem ltmprr 7644
Description: Ordering property of multiplication. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Feb-2020.)
Assertion
Ref Expression
ltmprr ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โ†’ ((๐ถ ยทP ๐ด)<P (๐ถ ยทP ๐ต) โ†’ ๐ด<P ๐ต))

Proof of Theorem ltmprr
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 recexpr 7640 . . . . 5 (๐ถ โˆˆ P โ†’ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ P (๐ถ ยทP ๐‘ฆ) = 1P)
213ad2ant3 1020 . . . 4 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โ†’ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ P (๐ถ ยทP ๐‘ฆ) = 1P)
32adantr 276 . . 3 (((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โˆง (๐ถ ยทP ๐ด)<P (๐ถ ยทP ๐ต)) โ†’ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ P (๐ถ ยทP ๐‘ฆ) = 1P)
4 ltexpri 7615 . . . . 5 ((๐ถ ยทP ๐ด)<P (๐ถ ยทP ๐ต) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ P ((๐ถ ยทP ๐ด) +P ๐‘ฅ) = (๐ถ ยทP ๐ต))
54ad2antlr 489 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โˆง (๐ถ ยทP ๐ด)<P (๐ถ ยทP ๐ต)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ P โˆง (๐ถ ยทP ๐‘ฆ) = 1P)) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ P ((๐ถ ยทP ๐ด) +P ๐‘ฅ) = (๐ถ ยทP ๐ต))
6 simplll 533 . . . . . . 7 (((((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โˆง (๐ถ ยทP ๐ด)<P (๐ถ ยทP ๐ต)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ P โˆง (๐ถ ยทP ๐‘ฆ) = 1P)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ((๐ถ ยทP ๐ด) +P ๐‘ฅ) = (๐ถ ยทP ๐ต))) โ†’ (๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P))
76simp1d 1009 . . . . . 6 (((((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โˆง (๐ถ ยทP ๐ด)<P (๐ถ ยทP ๐ต)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ P โˆง (๐ถ ยทP ๐‘ฆ) = 1P)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ((๐ถ ยทP ๐ด) +P ๐‘ฅ) = (๐ถ ยทP ๐ต))) โ†’ ๐ด โˆˆ P)
8 simplrl 535 . . . . . . 7 (((((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โˆง (๐ถ ยทP ๐ด)<P (๐ถ ยทP ๐ต)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ P โˆง (๐ถ ยทP ๐‘ฆ) = 1P)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ((๐ถ ยทP ๐ด) +P ๐‘ฅ) = (๐ถ ยทP ๐ต))) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ P)
9 simprl 529 . . . . . . 7 (((((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โˆง (๐ถ ยทP ๐ด)<P (๐ถ ยทP ๐ต)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ P โˆง (๐ถ ยทP ๐‘ฆ) = 1P)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ((๐ถ ยทP ๐ด) +P ๐‘ฅ) = (๐ถ ยทP ๐ต))) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ P)
10 mulclpr 7574 . . . . . . 7 ((๐‘ฆ โˆˆ P โˆง ๐‘ฅ โˆˆ P) โ†’ (๐‘ฆ ยทP ๐‘ฅ) โˆˆ P)
118, 9, 10syl2anc 411 . . . . . 6 (((((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โˆง (๐ถ ยทP ๐ด)<P (๐ถ ยทP ๐ต)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ P โˆง (๐ถ ยทP ๐‘ฆ) = 1P)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ((๐ถ ยทP ๐ด) +P ๐‘ฅ) = (๐ถ ยทP ๐ต))) โ†’ (๐‘ฆ ยทP ๐‘ฅ) โˆˆ P)
12 ltaddpr 7599 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ P โˆง (๐‘ฆ ยทP ๐‘ฅ) โˆˆ P) โ†’ ๐ด<P (๐ด +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ฅ)))
137, 11, 12syl2anc 411 . . . . 5 (((((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โˆง (๐ถ ยทP ๐ด)<P (๐ถ ยทP ๐ต)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ P โˆง (๐ถ ยทP ๐‘ฆ) = 1P)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ((๐ถ ยทP ๐ด) +P ๐‘ฅ) = (๐ถ ยทP ๐ต))) โ†’ ๐ด<P (๐ด +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ฅ)))
14 simprr 531 . . . . . . 7 (((((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โˆง (๐ถ ยทP ๐ด)<P (๐ถ ยทP ๐ต)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ P โˆง (๐ถ ยทP ๐‘ฆ) = 1P)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ((๐ถ ยทP ๐ด) +P ๐‘ฅ) = (๐ถ ยทP ๐ต))) โ†’ ((๐ถ ยทP ๐ด) +P ๐‘ฅ) = (๐ถ ยทP ๐ต))
1514oveq2d 5894 . . . . . 6 (((((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โˆง (๐ถ ยทP ๐ด)<P (๐ถ ยทP ๐ต)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ P โˆง (๐ถ ยทP ๐‘ฆ) = 1P)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ((๐ถ ยทP ๐ด) +P ๐‘ฅ) = (๐ถ ยทP ๐ต))) โ†’ (๐‘ฆ ยทP ((๐ถ ยทP ๐ด) +P ๐‘ฅ)) = (๐‘ฆ ยทP (๐ถ ยทP ๐ต)))
166simp3d 1011 . . . . . . . . 9 (((((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โˆง (๐ถ ยทP ๐ด)<P (๐ถ ยทP ๐ต)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ P โˆง (๐ถ ยทP ๐‘ฆ) = 1P)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ((๐ถ ยทP ๐ด) +P ๐‘ฅ) = (๐ถ ยทP ๐ต))) โ†’ ๐ถ โˆˆ P)
17 mulclpr 7574 . . . . . . . . 9 ((๐ถ โˆˆ P โˆง ๐ด โˆˆ P) โ†’ (๐ถ ยทP ๐ด) โˆˆ P)
1816, 7, 17syl2anc 411 . . . . . . . 8 (((((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โˆง (๐ถ ยทP ๐ด)<P (๐ถ ยทP ๐ต)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ P โˆง (๐ถ ยทP ๐‘ฆ) = 1P)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ((๐ถ ยทP ๐ด) +P ๐‘ฅ) = (๐ถ ยทP ๐ต))) โ†’ (๐ถ ยทP ๐ด) โˆˆ P)
19 distrprg 7590 . . . . . . . 8 ((๐‘ฆ โˆˆ P โˆง (๐ถ ยทP ๐ด) โˆˆ P โˆง ๐‘ฅ โˆˆ P) โ†’ (๐‘ฆ ยทP ((๐ถ ยทP ๐ด) +P ๐‘ฅ)) = ((๐‘ฆ ยทP (๐ถ ยทP ๐ด)) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ฅ)))
208, 18, 9, 19syl3anc 1238 . . . . . . 7 (((((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โˆง (๐ถ ยทP ๐ด)<P (๐ถ ยทP ๐ต)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ P โˆง (๐ถ ยทP ๐‘ฆ) = 1P)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ((๐ถ ยทP ๐ด) +P ๐‘ฅ) = (๐ถ ยทP ๐ต))) โ†’ (๐‘ฆ ยทP ((๐ถ ยทP ๐ด) +P ๐‘ฅ)) = ((๐‘ฆ ยทP (๐ถ ยทP ๐ด)) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ฅ)))
21 mulassprg 7583 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฆ โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P โˆง ๐ด โˆˆ P) โ†’ ((๐‘ฆ ยทP ๐ถ) ยทP ๐ด) = (๐‘ฆ ยทP (๐ถ ยทP ๐ด)))
228, 16, 7, 21syl3anc 1238 . . . . . . . 8 (((((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โˆง (๐ถ ยทP ๐ด)<P (๐ถ ยทP ๐ต)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ P โˆง (๐ถ ยทP ๐‘ฆ) = 1P)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ((๐ถ ยทP ๐ด) +P ๐‘ฅ) = (๐ถ ยทP ๐ต))) โ†’ ((๐‘ฆ ยทP ๐ถ) ยทP ๐ด) = (๐‘ฆ ยทP (๐ถ ยทP ๐ด)))
2322oveq1d 5893 . . . . . . 7 (((((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โˆง (๐ถ ยทP ๐ด)<P (๐ถ ยทP ๐ต)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ P โˆง (๐ถ ยทP ๐‘ฆ) = 1P)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ((๐ถ ยทP ๐ด) +P ๐‘ฅ) = (๐ถ ยทP ๐ต))) โ†’ (((๐‘ฆ ยทP ๐ถ) ยทP ๐ด) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ฅ)) = ((๐‘ฆ ยทP (๐ถ ยทP ๐ด)) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ฅ)))
24 mulcomprg 7582 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฆ โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โ†’ (๐‘ฆ ยทP ๐ถ) = (๐ถ ยทP ๐‘ฆ))
258, 16, 24syl2anc 411 . . . . . . . . . . 11 (((((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โˆง (๐ถ ยทP ๐ด)<P (๐ถ ยทP ๐ต)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ P โˆง (๐ถ ยทP ๐‘ฆ) = 1P)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ((๐ถ ยทP ๐ด) +P ๐‘ฅ) = (๐ถ ยทP ๐ต))) โ†’ (๐‘ฆ ยทP ๐ถ) = (๐ถ ยทP ๐‘ฆ))
26 simplrr 536 . . . . . . . . . . 11 (((((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โˆง (๐ถ ยทP ๐ด)<P (๐ถ ยทP ๐ต)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ P โˆง (๐ถ ยทP ๐‘ฆ) = 1P)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ((๐ถ ยทP ๐ด) +P ๐‘ฅ) = (๐ถ ยทP ๐ต))) โ†’ (๐ถ ยทP ๐‘ฆ) = 1P)
2725, 26eqtrd 2210 . . . . . . . . . 10 (((((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โˆง (๐ถ ยทP ๐ด)<P (๐ถ ยทP ๐ต)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ P โˆง (๐ถ ยทP ๐‘ฆ) = 1P)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ((๐ถ ยทP ๐ด) +P ๐‘ฅ) = (๐ถ ยทP ๐ต))) โ†’ (๐‘ฆ ยทP ๐ถ) = 1P)
2827oveq1d 5893 . . . . . . . . 9 (((((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โˆง (๐ถ ยทP ๐ด)<P (๐ถ ยทP ๐ต)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ P โˆง (๐ถ ยทP ๐‘ฆ) = 1P)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ((๐ถ ยทP ๐ด) +P ๐‘ฅ) = (๐ถ ยทP ๐ต))) โ†’ ((๐‘ฆ ยทP ๐ถ) ยทP ๐ด) = (1P ยทP ๐ด))
29 1pr 7556 . . . . . . . . . . . 12 1P โˆˆ P
30 mulcomprg 7582 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ P โˆง 1P โˆˆ P) โ†’ (๐ด ยทP 1P) = (1P ยทP ๐ด))
3129, 30mpan2 425 . . . . . . . . . . 11 (๐ด โˆˆ P โ†’ (๐ด ยทP 1P) = (1P ยทP ๐ด))
32 1idpr 7594 . . . . . . . . . . 11 (๐ด โˆˆ P โ†’ (๐ด ยทP 1P) = ๐ด)
3331, 32eqtr3d 2212 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ P โ†’ (1P ยทP ๐ด) = ๐ด)
347, 33syl 14 . . . . . . . . 9 (((((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โˆง (๐ถ ยทP ๐ด)<P (๐ถ ยทP ๐ต)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ P โˆง (๐ถ ยทP ๐‘ฆ) = 1P)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ((๐ถ ยทP ๐ด) +P ๐‘ฅ) = (๐ถ ยทP ๐ต))) โ†’ (1P ยทP ๐ด) = ๐ด)
3528, 34eqtrd 2210 . . . . . . . 8 (((((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โˆง (๐ถ ยทP ๐ด)<P (๐ถ ยทP ๐ต)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ P โˆง (๐ถ ยทP ๐‘ฆ) = 1P)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ((๐ถ ยทP ๐ด) +P ๐‘ฅ) = (๐ถ ยทP ๐ต))) โ†’ ((๐‘ฆ ยทP ๐ถ) ยทP ๐ด) = ๐ด)
3635oveq1d 5893 . . . . . . 7 (((((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โˆง (๐ถ ยทP ๐ด)<P (๐ถ ยทP ๐ต)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ P โˆง (๐ถ ยทP ๐‘ฆ) = 1P)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ((๐ถ ยทP ๐ด) +P ๐‘ฅ) = (๐ถ ยทP ๐ต))) โ†’ (((๐‘ฆ ยทP ๐ถ) ยทP ๐ด) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ฅ)) = (๐ด +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ฅ)))
3720, 23, 363eqtr2d 2216 . . . . . 6 (((((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โˆง (๐ถ ยทP ๐ด)<P (๐ถ ยทP ๐ต)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ P โˆง (๐ถ ยทP ๐‘ฆ) = 1P)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ((๐ถ ยทP ๐ด) +P ๐‘ฅ) = (๐ถ ยทP ๐ต))) โ†’ (๐‘ฆ ยทP ((๐ถ ยทP ๐ด) +P ๐‘ฅ)) = (๐ด +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ฅ)))
3827oveq1d 5893 . . . . . . 7 (((((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โˆง (๐ถ ยทP ๐ด)<P (๐ถ ยทP ๐ต)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ P โˆง (๐ถ ยทP ๐‘ฆ) = 1P)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ((๐ถ ยทP ๐ด) +P ๐‘ฅ) = (๐ถ ยทP ๐ต))) โ†’ ((๐‘ฆ ยทP ๐ถ) ยทP ๐ต) = (1P ยทP ๐ต))
396simp2d 1010 . . . . . . . 8 (((((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โˆง (๐ถ ยทP ๐ด)<P (๐ถ ยทP ๐ต)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ P โˆง (๐ถ ยทP ๐‘ฆ) = 1P)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ((๐ถ ยทP ๐ด) +P ๐‘ฅ) = (๐ถ ยทP ๐ต))) โ†’ ๐ต โˆˆ P)
40 mulassprg 7583 . . . . . . . 8 ((๐‘ฆ โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P) โ†’ ((๐‘ฆ ยทP ๐ถ) ยทP ๐ต) = (๐‘ฆ ยทP (๐ถ ยทP ๐ต)))
418, 16, 39, 40syl3anc 1238 . . . . . . 7 (((((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โˆง (๐ถ ยทP ๐ด)<P (๐ถ ยทP ๐ต)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ P โˆง (๐ถ ยทP ๐‘ฆ) = 1P)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ((๐ถ ยทP ๐ด) +P ๐‘ฅ) = (๐ถ ยทP ๐ต))) โ†’ ((๐‘ฆ ยทP ๐ถ) ยทP ๐ต) = (๐‘ฆ ยทP (๐ถ ยทP ๐ต)))
42 mulcomprg 7582 . . . . . . . . . 10 ((๐ต โˆˆ P โˆง 1P โˆˆ P) โ†’ (๐ต ยทP 1P) = (1P ยทP ๐ต))
4329, 42mpan2 425 . . . . . . . . 9 (๐ต โˆˆ P โ†’ (๐ต ยทP 1P) = (1P ยทP ๐ต))
44 1idpr 7594 . . . . . . . . 9 (๐ต โˆˆ P โ†’ (๐ต ยทP 1P) = ๐ต)
4543, 44eqtr3d 2212 . . . . . . . 8 (๐ต โˆˆ P โ†’ (1P ยทP ๐ต) = ๐ต)
4639, 45syl 14 . . . . . . 7 (((((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โˆง (๐ถ ยทP ๐ด)<P (๐ถ ยทP ๐ต)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ P โˆง (๐ถ ยทP ๐‘ฆ) = 1P)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ((๐ถ ยทP ๐ด) +P ๐‘ฅ) = (๐ถ ยทP ๐ต))) โ†’ (1P ยทP ๐ต) = ๐ต)
4738, 41, 463eqtr3d 2218 . . . . . 6 (((((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โˆง (๐ถ ยทP ๐ด)<P (๐ถ ยทP ๐ต)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ P โˆง (๐ถ ยทP ๐‘ฆ) = 1P)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ((๐ถ ยทP ๐ด) +P ๐‘ฅ) = (๐ถ ยทP ๐ต))) โ†’ (๐‘ฆ ยทP (๐ถ ยทP ๐ต)) = ๐ต)
4815, 37, 473eqtr3d 2218 . . . . 5 (((((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โˆง (๐ถ ยทP ๐ด)<P (๐ถ ยทP ๐ต)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ P โˆง (๐ถ ยทP ๐‘ฆ) = 1P)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ((๐ถ ยทP ๐ด) +P ๐‘ฅ) = (๐ถ ยทP ๐ต))) โ†’ (๐ด +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ฅ)) = ๐ต)
4913, 48breqtrd 4031 . . . 4 (((((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โˆง (๐ถ ยทP ๐ด)<P (๐ถ ยทP ๐ต)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ P โˆง (๐ถ ยทP ๐‘ฆ) = 1P)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ((๐ถ ยทP ๐ด) +P ๐‘ฅ) = (๐ถ ยทP ๐ต))) โ†’ ๐ด<P ๐ต)
505, 49rexlimddv 2599 . . 3 ((((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โˆง (๐ถ ยทP ๐ด)<P (๐ถ ยทP ๐ต)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ P โˆง (๐ถ ยทP ๐‘ฆ) = 1P)) โ†’ ๐ด<P ๐ต)
513, 50rexlimddv 2599 . 2 (((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โˆง (๐ถ ยทP ๐ด)<P (๐ถ ยทP ๐ต)) โ†’ ๐ด<P ๐ต)
5251ex 115 1 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โ†’ ((๐ถ ยทP ๐ด)<P (๐ถ ยทP ๐ต) โ†’ ๐ด<P ๐ต))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โˆง w3a 978   = wceq 1353   โˆˆ wcel 2148  โˆƒwrex 2456   class class class wbr 4005  (class class class)co 5878  Pcnp 7293  1Pc1p 7294   +P cpp 7295   ยทP cmp 7296  <P cltp 7297
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-eprel 4291  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-ov 5881  df-oprab 5882  df-mpo 5883  df-1st 6144  df-2nd 6145  df-recs 6309  df-irdg 6374  df-1o 6420  df-2o 6421  df-oadd 6424  df-omul 6425  df-er 6538  df-ec 6540  df-qs 6544  df-ni 7306  df-pli 7307  df-mi 7308  df-lti 7309  df-plpq 7346  df-mpq 7347  df-enq 7349  df-nqqs 7350  df-plqqs 7351  df-mqqs 7352  df-1nqqs 7353  df-rq 7354  df-ltnqqs 7355  df-enq0 7426  df-nq0 7427  df-0nq0 7428  df-plq0 7429  df-mq0 7430  df-inp 7468  df-i1p 7469  df-iplp 7470  df-imp 7471  df-iltp 7472
This theorem is referenced by:  mulextsr1lem  7782
  Copyright terms: Public domain W3C validator