Theorem dvdsaddre2b 12202

Description: Adding a multiple of the base does not affect divisibility. Variant of dvdsadd2b 12201 only requiring 𝐵 to be a real number (not necessarily an integer). (Contributed by AV, 19-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
dvdsaddre2b	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐶)) → (𝐴 ∥ 𝐵 ↔ 𝐴 ∥ (𝐶 + 𝐵)))

Proof of Theorem dvdsaddre2b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvdszrcl 12153	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∥ 𝐵 → (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ))
2	1	simprd 114	. . 3 ⊢ (𝐴 ∥ 𝐵 → 𝐵 ∈ ℤ)
3	2	a1i 9	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐶)) → (𝐴 ∥ 𝐵 → 𝐵 ∈ ℤ))
4		simpl3l 1055	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐶)) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 + 𝐵)) → 𝐶 ∈ ℤ)
5	4	zcnd 9509	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐶)) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 + 𝐵)) → 𝐶 ∈ ℂ)
6		simpl2 1004	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐶)) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 + 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
7	6	recnd 8114	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐶)) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 + 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℂ)
8	5, 7	pncan2d 8398	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐶)) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 + 𝐵)) → ((𝐶 + 𝐵) − 𝐶) = 𝐵)
9		dvdszrcl 12153	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∥ (𝐶 + 𝐵) → (𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐶 + 𝐵) ∈ ℤ))
10	9	simprd 114	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∥ (𝐶 + 𝐵) → (𝐶 + 𝐵) ∈ ℤ)
11	10	adantl 277	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐶)) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 + 𝐵)) → (𝐶 + 𝐵) ∈ ℤ)
12	11, 4	zsubcld 9513	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐶)) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 + 𝐵)) → ((𝐶 + 𝐵) − 𝐶) ∈ ℤ)
13	8, 12	eqeltrrd 2284	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐶)) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 + 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℤ)
14	13	ex 115	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐶)) → (𝐴 ∥ (𝐶 + 𝐵) → 𝐵 ∈ ℤ))
15		dvdsadd2b 12201	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐶)) → (𝐴 ∥ 𝐵 ↔ 𝐴 ∥ (𝐶 + 𝐵)))
16	15	a1d 22	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐶)) → (𝐵 ∈ ℝ → (𝐴 ∥ 𝐵 ↔ 𝐴 ∥ (𝐶 + 𝐵))))
17	16	3exp 1205	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐵 ∈ ℤ → ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐶) → (𝐵 ∈ ℝ → (𝐴 ∥ 𝐵 ↔ 𝐴 ∥ (𝐶 + 𝐵))))))
18	17	com24 87	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐵 ∈ ℝ → ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐶) → (𝐵 ∈ ℤ → (𝐴 ∥ 𝐵 ↔ 𝐴 ∥ (𝐶 + 𝐵))))))
19	18	3imp 1196	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐶)) → (𝐵 ∈ ℤ → (𝐴 ∥ 𝐵 ↔ 𝐴 ∥ (𝐶 + 𝐵))))
20	3, 14, 19	pm5.21ndd 707	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐶)) → (𝐴 ∥ 𝐵 ↔ 𝐴 ∥ (𝐶 + 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 981   ∈ wcel 2177   class class class wbr 4048  (class class class)co 5954  ℝcr 7937   + caddc 7941   − cmin 8256  ℤcz 9385   ∥ cdvds 12148

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4167  ax-pow 4223  ax-pr 4258  ax-un 4485  ax-setind 4590  ax-cnex 8029  ax-resscn 8030  ax-1cn 8031  ax-1re 8032  ax-icn 8033  ax-addcl 8034  ax-addrcl 8035  ax-mulcl 8036  ax-addcom 8038  ax-mulcom 8039  ax-addass 8040  ax-distr 8042  ax-i2m1 8043  ax-0lt1 8044  ax-0id 8046  ax-rnegex 8047  ax-cnre 8049  ax-pre-ltirr 8050  ax-pre-ltwlin 8051  ax-pre-lttrn 8052  ax-pre-ltadd 8054

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3001  df-dif 3170  df-un 3172  df-in 3174  df-ss 3181  df-pw 3620  df-sn 3641  df-pr 3642  df-op 3644  df-uni 3854  df-int 3889  df-br 4049  df-opab 4111  df-id 4345  df-xp 4686  df-rel 4687  df-cnv 4688  df-co 4689  df-dm 4690  df-iota 5238  df-fun 5279  df-fv 5285  df-riota 5909  df-ov 5957  df-oprab 5958  df-mpo 5959  df-pnf 8122  df-mnf 8123  df-xr 8124  df-ltxr 8125  df-le 8126  df-sub 8258  df-neg 8259  df-inn 9050  df-n0 9309  df-z 9386  df-dvds 12149

This theorem is referenced by:  2lgsoddprmlem2  15633