Theorem dvdsaddre2b 11848

Description: Adding a multiple of the base does not affect divisibility. Variant of dvdsadd2b 11847 only requiring 𝐵 to be a real number (not necessarily an integer). (Contributed by AV, 19-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
dvdsaddre2b	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐶)) → (𝐴 ∥ 𝐵 ↔ 𝐴 ∥ (𝐶 + 𝐵)))

Proof of Theorem dvdsaddre2b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvdszrcl 11799	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∥ 𝐵 → (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ))
2	1	simprd 114	. . 3 ⊢ (𝐴 ∥ 𝐵 → 𝐵 ∈ ℤ)
3	2	a1i 9	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐶)) → (𝐴 ∥ 𝐵 → 𝐵 ∈ ℤ))
4		simpl3l 1052	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐶)) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 + 𝐵)) → 𝐶 ∈ ℤ)
5	4	zcnd 9376	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐶)) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 + 𝐵)) → 𝐶 ∈ ℂ)
6		simpl2 1001	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐶)) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 + 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
7	6	recnd 7986	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐶)) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 + 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℂ)
8	5, 7	pncan2d 8270	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐶)) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 + 𝐵)) → ((𝐶 + 𝐵) − 𝐶) = 𝐵)
9		dvdszrcl 11799	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∥ (𝐶 + 𝐵) → (𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐶 + 𝐵) ∈ ℤ))
10	9	simprd 114	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∥ (𝐶 + 𝐵) → (𝐶 + 𝐵) ∈ ℤ)
11	10	adantl 277	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐶)) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 + 𝐵)) → (𝐶 + 𝐵) ∈ ℤ)
12	11, 4	zsubcld 9380	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐶)) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 + 𝐵)) → ((𝐶 + 𝐵) − 𝐶) ∈ ℤ)
13	8, 12	eqeltrrd 2255	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐶)) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 + 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℤ)
14	13	ex 115	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐶)) → (𝐴 ∥ (𝐶 + 𝐵) → 𝐵 ∈ ℤ))
15		dvdsadd2b 11847	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐶)) → (𝐴 ∥ 𝐵 ↔ 𝐴 ∥ (𝐶 + 𝐵)))
16	15	a1d 22	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐶)) → (𝐵 ∈ ℝ → (𝐴 ∥ 𝐵 ↔ 𝐴 ∥ (𝐶 + 𝐵))))
17	16	3exp 1202	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐵 ∈ ℤ → ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐶) → (𝐵 ∈ ℝ → (𝐴 ∥ 𝐵 ↔ 𝐴 ∥ (𝐶 + 𝐵))))))
18	17	com24 87	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐵 ∈ ℝ → ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐶) → (𝐵 ∈ ℤ → (𝐴 ∥ 𝐵 ↔ 𝐴 ∥ (𝐶 + 𝐵))))))
19	18	3imp 1193	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐶)) → (𝐵 ∈ ℤ → (𝐴 ∥ 𝐵 ↔ 𝐴 ∥ (𝐶 + 𝐵))))
20	3, 14, 19	pm5.21ndd 705	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐶)) → (𝐴 ∥ 𝐵 ↔ 𝐴 ∥ (𝐶 + 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 978   ∈ wcel 2148   class class class wbr 4004  (class class class)co 5875  ℝcr 7810   + caddc 7814   − cmin 8128  ℤcz 9253   ∥ cdvds 11794

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-addcom 7911  ax-mulcom 7912  ax-addass 7913  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-ltadd 7927

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-br 4005  df-opab 4066  df-id 4294  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fv 5225  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-inn 8920  df-n0 9177  df-z 9254  df-dvds 11795

This theorem is referenced by:  2lgsoddprmlem2  14457