Theorem 0uhgrsubgr 16115

Description: The null graph (as hypergraph) is a subgraph of all graphs. (Contributed by AV, 17-Nov-2020.) (Proof shortened by AV, 28-Nov-2020.)

Assertion

Ref	Expression
0uhgrsubgr	⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝑆 ∈ UHGraph ∧ (Vtx‘𝑆) = ∅) → 𝑆 SubGraph 𝐺)

Proof of Theorem 0uhgrsubgr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3simpa 1020	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝑆 ∈ UHGraph ∧ (Vtx‘𝑆) = ∅) → (𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝑆 ∈ UHGraph))
2		0ss 3533	. . . 4 ⊢ ∅ ⊆ (Vtx‘𝐺)
3		sseq1 3250	. . . 4 ⊢ ((Vtx‘𝑆) = ∅ → ((Vtx‘𝑆) ⊆ (Vtx‘𝐺) ↔ ∅ ⊆ (Vtx‘𝐺)))
4	2, 3	mpbiri 168	. . 3 ⊢ ((Vtx‘𝑆) = ∅ → (Vtx‘𝑆) ⊆ (Vtx‘𝐺))
5	4	3ad2ant3 1046	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝑆 ∈ UHGraph ∧ (Vtx‘𝑆) = ∅) → (Vtx‘𝑆) ⊆ (Vtx‘𝐺))
6		eqid 2231	. . . 4 ⊢ (iEdg‘𝑆) = (iEdg‘𝑆)
7	6	uhgrfun 15927	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ UHGraph → Fun (iEdg‘𝑆))
8	7	3ad2ant2 1045	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝑆 ∈ UHGraph ∧ (Vtx‘𝑆) = ∅) → Fun (iEdg‘𝑆))
9		edgval 15910	. . 3 ⊢ (Edg‘𝑆) = ran (iEdg‘𝑆)
10		uhgr0vb 15934	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ UHGraph ∧ (Vtx‘𝑆) = ∅) → (𝑆 ∈ UHGraph ↔ (iEdg‘𝑆) = ∅))
11		rneq 4959	. . . . . . . . 9 ⊢ ((iEdg‘𝑆) = ∅ → ran (iEdg‘𝑆) = ran ∅)
12		rn0 4988	. . . . . . . . 9 ⊢ ran ∅ = ∅
13	11, 12	eqtrdi 2280	. . . . . . . 8 ⊢ ((iEdg‘𝑆) = ∅ → ran (iEdg‘𝑆) = ∅)
14	10, 13	biimtrdi 163	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ UHGraph ∧ (Vtx‘𝑆) = ∅) → (𝑆 ∈ UHGraph → ran (iEdg‘𝑆) = ∅))
15	14	ex 115	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ UHGraph → ((Vtx‘𝑆) = ∅ → (𝑆 ∈ UHGraph → ran (iEdg‘𝑆) = ∅)))
16	15	pm2.43a 51	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ UHGraph → ((Vtx‘𝑆) = ∅ → ran (iEdg‘𝑆) = ∅))
17	16	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑊 → (𝑆 ∈ UHGraph → ((Vtx‘𝑆) = ∅ → ran (iEdg‘𝑆) = ∅)))
18	17	3imp 1219	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝑆 ∈ UHGraph ∧ (Vtx‘𝑆) = ∅) → ran (iEdg‘𝑆) = ∅)
19	9, 18	eqtrid 2276	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝑆 ∈ UHGraph ∧ (Vtx‘𝑆) = ∅) → (Edg‘𝑆) = ∅)
20		egrsubgr 16113	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝑆 ∈ UHGraph) ∧ (Vtx‘𝑆) ⊆ (Vtx‘𝐺) ∧ (Fun (iEdg‘𝑆) ∧ (Edg‘𝑆) = ∅)) → 𝑆 SubGraph 𝐺)
21	1, 5, 8, 19, 20	syl112anc 1277	1 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝑆 ∈ UHGraph ∧ (Vtx‘𝑆) = ∅) → 𝑆 SubGraph 𝐺)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 1004   = wceq 1397   ∈ wcel 2202   ⊆ wss 3200  ∅c0 3494   class class class wbr 4088  ran crn 4726  Fun wfun 5320  ‘cfv 5326  Vtxcvtx 15862  iEdgciedg 15863  Edgcedg 15907  UHGraphcuhgr 15917   SubGraph csubgr 16103

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-addcom 8131  ax-mulcom 8132  ax-addass 8133  ax-mulass 8134  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-1rid 8138  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-cnre 8142

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-fo 5332  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-sub 8351  df-inn 9143  df-2 9201  df-3 9202  df-4 9203  df-5 9204  df-6 9205  df-7 9206  df-8 9207  df-9 9208  df-n0 9402  df-dec 9611  df-ndx 13084  df-slot 13085  df-base 13087  df-edgf 15855  df-vtx 15864  df-iedg 15865  df-edg 15908  df-uhgrm 15919  df-subgr 16104

This theorem is referenced by: (None)