Theorem subgruhgredgdm 16716

Description: An edge of a subgraph of a hypergraph is an inhabited subset of its vertices. (Contributed by AV, 17-Nov-2020.) (Revised by AV, 21-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
subgruhgredgd.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝑆)
subgruhgredgd.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝑆)
subgruhgredgd.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ UHGraph)
subgruhgredgd.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 SubGraph 𝐺)
subgruhgredgd.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ dom 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
subgruhgredgdm	⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑋) ∈ {𝑠 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑠})

Distinct variable groups:   𝑗,𝐺   𝑗,𝐼,𝑠   𝑉,𝑠   𝑗,𝑋,𝑠   𝜑,𝑗

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑠)   𝑆(𝑗, 𝑠)   𝐺(𝑠)   𝑉(𝑗)

Proof of Theorem subgruhgredgdm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq2 2302	. . 3 ⊢ (𝑠 = (𝐼‘𝑋) → (𝑗 ∈ 𝑠 ↔ 𝑗 ∈ (𝐼‘𝑋)))
2	1	exbidv 1878	. 2 ⊢ (𝑠 = (𝐼‘𝑋) → (∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑠 ↔ ∃𝑗 𝑗 ∈ (𝐼‘𝑋)))
3		subgruhgredgd.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 SubGraph 𝐺)
4		subgruhgredgd.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝑆)
5		eqid 2238	. . . . . 6 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
6		subgruhgredgd.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝑆)
7		eqid 2238	. . . . . 6 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
8		eqid 2238	. . . . . 6 ⊢ (Edg‘𝑆) = (Edg‘𝑆)
9	4, 5, 6, 7, 8	subgrprop2 16706	. . . . 5 ⊢ (𝑆 SubGraph 𝐺 → (𝑉 ⊆ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐼 ⊆ (iEdg‘𝐺) ∧ (Edg‘𝑆) ⊆ 𝒫 𝑉))
10	3, 9	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑉 ⊆ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐼 ⊆ (iEdg‘𝐺) ∧ (Edg‘𝑆) ⊆ 𝒫 𝑉))
11	10	simp3d 1042	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Edg‘𝑆) ⊆ 𝒫 𝑉)
12		subgruhgredgd.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ UHGraph)
13		subgruhgrfun 16714	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑆 SubGraph 𝐺) → Fun (iEdg‘𝑆))
14	12, 3, 13	syl2anc 415	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Fun (iEdg‘𝑆))
15		subgruhgredgd.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ dom 𝐼)
16	6	dmeqi 4984	. . . . . 6 ⊢ dom 𝐼 = dom (iEdg‘𝑆)
17	15, 16	eleqtrdi 2331	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ dom (iEdg‘𝑆))
18	6	fveq1i 5699	. . . . . 6 ⊢ (𝐼‘𝑋) = ((iEdg‘𝑆)‘𝑋)
19		fvelrn 5842	. . . . . 6 ⊢ ((Fun (iEdg‘𝑆) ∧ 𝑋 ∈ dom (iEdg‘𝑆)) → ((iEdg‘𝑆)‘𝑋) ∈ ran (iEdg‘𝑆))
20	18, 19	eqeltrid 2325	. . . . 5 ⊢ ((Fun (iEdg‘𝑆) ∧ 𝑋 ∈ dom (iEdg‘𝑆)) → (𝐼‘𝑋) ∈ ran (iEdg‘𝑆))
21	14, 17, 20	syl2anc 415	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑋) ∈ ran (iEdg‘𝑆))
22		edgval 16506	. . . 4 ⊢ (Edg‘𝑆) = ran (iEdg‘𝑆)
23	21, 22	eleqtrrdi 2332	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑋) ∈ (Edg‘𝑆))
24	11, 23	sseldd 3249	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑋) ∈ 𝒫 𝑉)
25	7	uhgrfun 16523	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → Fun (iEdg‘𝐺))
26	12, 25	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Fun (iEdg‘𝐺))
27	26	funfnd 5411	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐺) Fn dom (iEdg‘𝐺))
28		subgreldmiedg 16715	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 SubGraph 𝐺 ∧ 𝑋 ∈ dom (iEdg‘𝑆)) → 𝑋 ∈ dom (iEdg‘𝐺))
29	3, 17, 28	syl2anc 415	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ dom (iEdg‘𝐺))
30	7	uhgrm 16524	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (iEdg‘𝐺) Fn dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ dom (iEdg‘𝐺)) → ∃𝑗 𝑗 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑋))
31	12, 27, 29, 30	syl3anc 1278	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑗 𝑗 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑋))
32	10	simp2d 1041	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ⊆ (iEdg‘𝐺))
33		funssfv 5724	. . . . . . 7 ⊢ ((Fun (iEdg‘𝐺) ∧ 𝐼 ⊆ (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → ((iEdg‘𝐺)‘𝑋) = (𝐼‘𝑋))
34	33	eqcomd 2244	. . . . . 6 ⊢ ((Fun (iEdg‘𝐺) ∧ 𝐼 ⊆ (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → (𝐼‘𝑋) = ((iEdg‘𝐺)‘𝑋))
35	26, 32, 15, 34	syl3anc 1278	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑋) = ((iEdg‘𝐺)‘𝑋))
36	35	eleq2d 2308	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ (𝐼‘𝑋) ↔ 𝑗 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑋)))
37	36	exbidv 1878	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑗 𝑗 ∈ (𝐼‘𝑋) ↔ ∃𝑗 𝑗 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑋)))
38	31, 37	mpbird 167	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑗 𝑗 ∈ (𝐼‘𝑋))
39	2, 24, 38	elrabd 2984	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑋) ∈ {𝑠 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑠})

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 1009   = wceq 1402  ∃wex 1545   ∈ wcel 2209  {crab 2532   ⊆ wss 3220  𝒫 cpw 3688   class class class wbr 4131  dom cdm 4776  ran crn 4777  Fun wfun 5374   Fn wfn 5375  ‘cfv 5380  Vtxcvtx 16458  iEdgciedg 16459  Edgcedg 16503  UHGraphcuhgr 16513   SubGraph csubgr 16699

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-cnre 8296

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-fo 5386  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-sub 8506  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373  df-4 9374  df-5 9375  df-6 9376  df-7 9377  df-8 9378  df-9 9379  df-n0 9575  df-dec 9789  df-ndx 13413  df-slot 13414  df-base 13416  df-edgf 16451  df-vtx 16460  df-iedg 16461  df-edg 16504  df-uhgrm 16515  df-subgr 16700

This theorem is used by:  subumgredg2en  16717  subuhgr  16718  subupgr  16719