Theorem subgruhgredgdm 16127

Description: An edge of a subgraph of a hypergraph is an inhabited subset of its vertices. (Contributed by AV, 17-Nov-2020.) (Revised by AV, 21-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
subgruhgredgd.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝑆)
subgruhgredgd.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝑆)
subgruhgredgd.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ UHGraph)
subgruhgredgd.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 SubGraph 𝐺)
subgruhgredgd.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ dom 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
subgruhgredgdm	⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑋) ∈ {𝑠 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑠})

Distinct variable groups:   𝑗,𝐺   𝑗,𝐼,𝑠   𝑉,𝑠   𝑗,𝑋,𝑠   𝜑,𝑗

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑠)   𝑆(𝑗,𝑠)   𝐺(𝑠)   𝑉(𝑗)

Proof of Theorem subgruhgredgdm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq2 2295	. . 3 ⊢ (𝑠 = (𝐼‘𝑋) → (𝑗 ∈ 𝑠 ↔ 𝑗 ∈ (𝐼‘𝑋)))
2	1	exbidv 1873	. 2 ⊢ (𝑠 = (𝐼‘𝑋) → (∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑠 ↔ ∃𝑗 𝑗 ∈ (𝐼‘𝑋)))
3		subgruhgredgd.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 SubGraph 𝐺)
4		subgruhgredgd.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝑆)
5		eqid 2231	. . . . . 6 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
6		subgruhgredgd.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝑆)
7		eqid 2231	. . . . . 6 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
8		eqid 2231	. . . . . 6 ⊢ (Edg‘𝑆) = (Edg‘𝑆)
9	4, 5, 6, 7, 8	subgrprop2 16117	. . . . 5 ⊢ (𝑆 SubGraph 𝐺 → (𝑉 ⊆ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐼 ⊆ (iEdg‘𝐺) ∧ (Edg‘𝑆) ⊆ 𝒫 𝑉))
10	3, 9	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑉 ⊆ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐼 ⊆ (iEdg‘𝐺) ∧ (Edg‘𝑆) ⊆ 𝒫 𝑉))
11	10	simp3d 1037	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Edg‘𝑆) ⊆ 𝒫 𝑉)
12		subgruhgredgd.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ UHGraph)
13		subgruhgrfun 16125	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑆 SubGraph 𝐺) → Fun (iEdg‘𝑆))
14	12, 3, 13	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Fun (iEdg‘𝑆))
15		subgruhgredgd.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ dom 𝐼)
16	6	dmeqi 4932	. . . . . 6 ⊢ dom 𝐼 = dom (iEdg‘𝑆)
17	15, 16	eleqtrdi 2324	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ dom (iEdg‘𝑆))
18	6	fveq1i 5640	. . . . . 6 ⊢ (𝐼‘𝑋) = ((iEdg‘𝑆)‘𝑋)
19		fvelrn 5778	. . . . . 6 ⊢ ((Fun (iEdg‘𝑆) ∧ 𝑋 ∈ dom (iEdg‘𝑆)) → ((iEdg‘𝑆)‘𝑋) ∈ ran (iEdg‘𝑆))
20	18, 19	eqeltrid 2318	. . . . 5 ⊢ ((Fun (iEdg‘𝑆) ∧ 𝑋 ∈ dom (iEdg‘𝑆)) → (𝐼‘𝑋) ∈ ran (iEdg‘𝑆))
21	14, 17, 20	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑋) ∈ ran (iEdg‘𝑆))
22		edgval 15917	. . . 4 ⊢ (Edg‘𝑆) = ran (iEdg‘𝑆)
23	21, 22	eleqtrrdi 2325	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑋) ∈ (Edg‘𝑆))
24	11, 23	sseldd 3228	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑋) ∈ 𝒫 𝑉)
25	7	uhgrfun 15934	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → Fun (iEdg‘𝐺))
26	12, 25	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Fun (iEdg‘𝐺))
27	26	funfnd 5357	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐺) Fn dom (iEdg‘𝐺))
28		subgreldmiedg 16126	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 SubGraph 𝐺 ∧ 𝑋 ∈ dom (iEdg‘𝑆)) → 𝑋 ∈ dom (iEdg‘𝐺))
29	3, 17, 28	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ dom (iEdg‘𝐺))
30	7	uhgrm 15935	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (iEdg‘𝐺) Fn dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ dom (iEdg‘𝐺)) → ∃𝑗 𝑗 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑋))
31	12, 27, 29, 30	syl3anc 1273	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑗 𝑗 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑋))
32	10	simp2d 1036	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ⊆ (iEdg‘𝐺))
33		funssfv 5665	. . . . . . 7 ⊢ ((Fun (iEdg‘𝐺) ∧ 𝐼 ⊆ (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → ((iEdg‘𝐺)‘𝑋) = (𝐼‘𝑋))
34	33	eqcomd 2237	. . . . . 6 ⊢ ((Fun (iEdg‘𝐺) ∧ 𝐼 ⊆ (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → (𝐼‘𝑋) = ((iEdg‘𝐺)‘𝑋))
35	26, 32, 15, 34	syl3anc 1273	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑋) = ((iEdg‘𝐺)‘𝑋))
36	35	eleq2d 2301	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ (𝐼‘𝑋) ↔ 𝑗 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑋)))
37	36	exbidv 1873	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑗 𝑗 ∈ (𝐼‘𝑋) ↔ ∃𝑗 𝑗 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑋)))
38	31, 37	mpbird 167	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑗 𝑗 ∈ (𝐼‘𝑋))
39	2, 24, 38	elrabd 2964	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑋) ∈ {𝑠 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑠})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 1004   = wceq 1397  ∃wex 1540   ∈ wcel 2202  {crab 2514   ⊆ wss 3200  𝒫 cpw 3652   class class class wbr 4088  dom cdm 4725  ran crn 4726  Fun wfun 5320   Fn wfn 5321  ‘cfv 5326  Vtxcvtx 15869  iEdgciedg 15870  Edgcedg 15914  UHGraphcuhgr 15924   SubGraph csubgr 16110

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-addcom 8132  ax-mulcom 8133  ax-addass 8134  ax-mulass 8135  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-1rid 8139  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-cnre 8143

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-fo 5332  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-sub 8352  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-4 9204  df-5 9205  df-6 9206  df-7 9207  df-8 9208  df-9 9209  df-n0 9403  df-dec 9612  df-ndx 13090  df-slot 13091  df-base 13093  df-edgf 15862  df-vtx 15871  df-iedg 15872  df-edg 15915  df-uhgrm 15926  df-subgr 16111

This theorem is referenced by:  subumgredg2en  16128  subuhgr  16129  subupgr  16130