Theorem subgruhgredgdm 16265

Description: An edge of a subgraph of a hypergraph is an inhabited subset of its vertices. (Contributed by AV, 17-Nov-2020.) (Revised by AV, 21-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
subgruhgredgd.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝑆)
subgruhgredgd.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝑆)
subgruhgredgd.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ UHGraph)
subgruhgredgd.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 SubGraph 𝐺)
subgruhgredgd.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ dom 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
subgruhgredgdm	⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑋) ∈ {𝑠 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑠})

Distinct variable groups:   𝑗,𝐺   𝑗,𝐼,𝑠   𝑉,𝑠   𝑗,𝑋,𝑠   𝜑,𝑗

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑠)   𝑆(𝑗,𝑠)   𝐺(𝑠)   𝑉(𝑗)

Proof of Theorem subgruhgredgdm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq2 2296	. . 3 ⊢ (𝑠 = (𝐼‘𝑋) → (𝑗 ∈ 𝑠 ↔ 𝑗 ∈ (𝐼‘𝑋)))
2	1	exbidv 1874	. 2 ⊢ (𝑠 = (𝐼‘𝑋) → (∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑠 ↔ ∃𝑗 𝑗 ∈ (𝐼‘𝑋)))
3		subgruhgredgd.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 SubGraph 𝐺)
4		subgruhgredgd.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝑆)
5		eqid 2232	. . . . . 6 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
6		subgruhgredgd.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝑆)
7		eqid 2232	. . . . . 6 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
8		eqid 2232	. . . . . 6 ⊢ (Edg‘𝑆) = (Edg‘𝑆)
9	4, 5, 6, 7, 8	subgrprop2 16255	. . . . 5 ⊢ (𝑆 SubGraph 𝐺 → (𝑉 ⊆ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐼 ⊆ (iEdg‘𝐺) ∧ (Edg‘𝑆) ⊆ 𝒫 𝑉))
10	3, 9	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑉 ⊆ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐼 ⊆ (iEdg‘𝐺) ∧ (Edg‘𝑆) ⊆ 𝒫 𝑉))
11	10	simp3d 1038	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Edg‘𝑆) ⊆ 𝒫 𝑉)
12		subgruhgredgd.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ UHGraph)
13		subgruhgrfun 16263	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑆 SubGraph 𝐺) → Fun (iEdg‘𝑆))
14	12, 3, 13	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Fun (iEdg‘𝑆))
15		subgruhgredgd.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ dom 𝐼)
16	6	dmeqi 4957	. . . . . 6 ⊢ dom 𝐼 = dom (iEdg‘𝑆)
17	15, 16	eleqtrdi 2325	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ dom (iEdg‘𝑆))
18	6	fveq1i 5671	. . . . . 6 ⊢ (𝐼‘𝑋) = ((iEdg‘𝑆)‘𝑋)
19		fvelrn 5808	. . . . . 6 ⊢ ((Fun (iEdg‘𝑆) ∧ 𝑋 ∈ dom (iEdg‘𝑆)) → ((iEdg‘𝑆)‘𝑋) ∈ ran (iEdg‘𝑆))
20	18, 19	eqeltrid 2319	. . . . 5 ⊢ ((Fun (iEdg‘𝑆) ∧ 𝑋 ∈ dom (iEdg‘𝑆)) → (𝐼‘𝑋) ∈ ran (iEdg‘𝑆))
21	14, 17, 20	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑋) ∈ ran (iEdg‘𝑆))
22		edgval 16055	. . . 4 ⊢ (Edg‘𝑆) = ran (iEdg‘𝑆)
23	21, 22	eleqtrrdi 2326	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑋) ∈ (Edg‘𝑆))
24	11, 23	sseldd 3239	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑋) ∈ 𝒫 𝑉)
25	7	uhgrfun 16072	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → Fun (iEdg‘𝐺))
26	12, 25	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Fun (iEdg‘𝐺))
27	26	funfnd 5383	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐺) Fn dom (iEdg‘𝐺))
28		subgreldmiedg 16264	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 SubGraph 𝐺 ∧ 𝑋 ∈ dom (iEdg‘𝑆)) → 𝑋 ∈ dom (iEdg‘𝐺))
29	3, 17, 28	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ dom (iEdg‘𝐺))
30	7	uhgrm 16073	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (iEdg‘𝐺) Fn dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ dom (iEdg‘𝐺)) → ∃𝑗 𝑗 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑋))
31	12, 27, 29, 30	syl3anc 1274	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑗 𝑗 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑋))
32	10	simp2d 1037	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ⊆ (iEdg‘𝐺))
33		funssfv 5696	. . . . . . 7 ⊢ ((Fun (iEdg‘𝐺) ∧ 𝐼 ⊆ (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → ((iEdg‘𝐺)‘𝑋) = (𝐼‘𝑋))
34	33	eqcomd 2238	. . . . . 6 ⊢ ((Fun (iEdg‘𝐺) ∧ 𝐼 ⊆ (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → (𝐼‘𝑋) = ((iEdg‘𝐺)‘𝑋))
35	26, 32, 15, 34	syl3anc 1274	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑋) = ((iEdg‘𝐺)‘𝑋))
36	35	eleq2d 2302	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ (𝐼‘𝑋) ↔ 𝑗 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑋)))
37	36	exbidv 1874	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑗 𝑗 ∈ (𝐼‘𝑋) ↔ ∃𝑗 𝑗 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑋)))
38	31, 37	mpbird 167	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑗 𝑗 ∈ (𝐼‘𝑋))
39	2, 24, 38	elrabd 2975	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑋) ∈ {𝑠 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑠})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 1005   = wceq 1398  ∃wex 1541   ∈ wcel 2203  {crab 2524   ⊆ wss 3211  𝒫 cpw 3669   class class class wbr 4109  dom cdm 4749  ran crn 4750  Fun wfun 5346   Fn wfn 5347  ‘cfv 5352  Vtxcvtx 16007  iEdgciedg 16008  Edgcedg 16052  UHGraphcuhgr 16062   SubGraph csubgr 16248

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-addcom 8227  ax-mulcom 8228  ax-addass 8229  ax-mulass 8230  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-1rid 8234  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-cnre 8238

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-if 3621  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-fo 5358  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-sub 8446  df-inn 9238  df-2 9296  df-3 9297  df-4 9298  df-5 9299  df-6 9300  df-7 9301  df-8 9302  df-9 9303  df-n0 9497  df-dec 9710  df-ndx 13215  df-slot 13216  df-base 13218  df-edgf 16000  df-vtx 16009  df-iedg 16010  df-edg 16053  df-uhgrm 16064  df-subgr 16249

This theorem is referenced by:  subumgredg2en  16266  subuhgr  16267  subupgr  16268