Theorem subgruhgredgdm 16391

Description: An edge of a subgraph of a hypergraph is an inhabited subset of its vertices. (Contributed by AV, 17-Nov-2020.) (Revised by AV, 21-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
subgruhgredgd.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝑆)
subgruhgredgd.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝑆)
subgruhgredgd.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ UHGraph)
subgruhgredgd.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 SubGraph 𝐺)
subgruhgredgd.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ dom 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
subgruhgredgdm	⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑋) ∈ {𝑠 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑠})

Distinct variable groups:   𝑗,𝐺   𝑗,𝐼,𝑠   𝑉,𝑠   𝑗,𝑋,𝑠   𝜑,𝑗

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑠)   𝑆(𝑗,𝑠)   𝐺(𝑠)   𝑉(𝑗)

Proof of Theorem subgruhgredgdm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq2 2298	. . 3 ⊢ (𝑠 = (𝐼‘𝑋) → (𝑗 ∈ 𝑠 ↔ 𝑗 ∈ (𝐼‘𝑋)))
2	1	exbidv 1874	. 2 ⊢ (𝑠 = (𝐼‘𝑋) → (∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑠 ↔ ∃𝑗 𝑗 ∈ (𝐼‘𝑋)))
3		subgruhgredgd.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 SubGraph 𝐺)
4		subgruhgredgd.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝑆)
5		eqid 2234	. . . . . 6 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
6		subgruhgredgd.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝑆)
7		eqid 2234	. . . . . 6 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
8		eqid 2234	. . . . . 6 ⊢ (Edg‘𝑆) = (Edg‘𝑆)
9	4, 5, 6, 7, 8	subgrprop2 16381	. . . . 5 ⊢ (𝑆 SubGraph 𝐺 → (𝑉 ⊆ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐼 ⊆ (iEdg‘𝐺) ∧ (Edg‘𝑆) ⊆ 𝒫 𝑉))
10	3, 9	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑉 ⊆ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐼 ⊆ (iEdg‘𝐺) ∧ (Edg‘𝑆) ⊆ 𝒫 𝑉))
11	10	simp3d 1038	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Edg‘𝑆) ⊆ 𝒫 𝑉)
12		subgruhgredgd.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ UHGraph)
13		subgruhgrfun 16389	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑆 SubGraph 𝐺) → Fun (iEdg‘𝑆))
14	12, 3, 13	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Fun (iEdg‘𝑆))
15		subgruhgredgd.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ dom 𝐼)
16	6	dmeqi 4962	. . . . . 6 ⊢ dom 𝐼 = dom (iEdg‘𝑆)
17	15, 16	eleqtrdi 2327	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ dom (iEdg‘𝑆))
18	6	fveq1i 5676	. . . . . 6 ⊢ (𝐼‘𝑋) = ((iEdg‘𝑆)‘𝑋)
19		fvelrn 5813	. . . . . 6 ⊢ ((Fun (iEdg‘𝑆) ∧ 𝑋 ∈ dom (iEdg‘𝑆)) → ((iEdg‘𝑆)‘𝑋) ∈ ran (iEdg‘𝑆))
20	18, 19	eqeltrid 2321	. . . . 5 ⊢ ((Fun (iEdg‘𝑆) ∧ 𝑋 ∈ dom (iEdg‘𝑆)) → (𝐼‘𝑋) ∈ ran (iEdg‘𝑆))
21	14, 17, 20	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑋) ∈ ran (iEdg‘𝑆))
22		edgval 16181	. . . 4 ⊢ (Edg‘𝑆) = ran (iEdg‘𝑆)
23	21, 22	eleqtrrdi 2328	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑋) ∈ (Edg‘𝑆))
24	11, 23	sseldd 3243	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑋) ∈ 𝒫 𝑉)
25	7	uhgrfun 16198	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → Fun (iEdg‘𝐺))
26	12, 25	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Fun (iEdg‘𝐺))
27	26	funfnd 5388	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐺) Fn dom (iEdg‘𝐺))
28		subgreldmiedg 16390	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 SubGraph 𝐺 ∧ 𝑋 ∈ dom (iEdg‘𝑆)) → 𝑋 ∈ dom (iEdg‘𝐺))
29	3, 17, 28	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ dom (iEdg‘𝐺))
30	7	uhgrm 16199	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (iEdg‘𝐺) Fn dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ dom (iEdg‘𝐺)) → ∃𝑗 𝑗 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑋))
31	12, 27, 29, 30	syl3anc 1274	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑗 𝑗 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑋))
32	10	simp2d 1037	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ⊆ (iEdg‘𝐺))
33		funssfv 5701	. . . . . . 7 ⊢ ((Fun (iEdg‘𝐺) ∧ 𝐼 ⊆ (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → ((iEdg‘𝐺)‘𝑋) = (𝐼‘𝑋))
34	33	eqcomd 2240	. . . . . 6 ⊢ ((Fun (iEdg‘𝐺) ∧ 𝐼 ⊆ (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → (𝐼‘𝑋) = ((iEdg‘𝐺)‘𝑋))
35	26, 32, 15, 34	syl3anc 1274	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑋) = ((iEdg‘𝐺)‘𝑋))
36	35	eleq2d 2304	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ (𝐼‘𝑋) ↔ 𝑗 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑋)))
37	36	exbidv 1874	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑗 𝑗 ∈ (𝐼‘𝑋) ↔ ∃𝑗 𝑗 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑋)))
38	31, 37	mpbird 167	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑗 𝑗 ∈ (𝐼‘𝑋))
39	2, 24, 38	elrabd 2978	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑋) ∈ {𝑠 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑠})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 1005   = wceq 1398  ∃wex 1541   ∈ wcel 2205  {crab 2526   ⊆ wss 3214  𝒫 cpw 3674   class class class wbr 4114  dom cdm 4754  ran crn 4755  Fun wfun 5351   Fn wfn 5352  ‘cfv 5357  Vtxcvtx 16133  iEdgciedg 16134  Edgcedg 16178  UHGraphcuhgr 16188   SubGraph csubgr 16374

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-cnre 8254

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-fo 5363  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-sub 8462  df-inn 9255  df-2 9313  df-3 9314  df-4 9315  df-5 9316  df-6 9317  df-7 9318  df-8 9319  df-9 9320  df-n0 9514  df-dec 9728  df-ndx 13299  df-slot 13300  df-base 13302  df-edgf 16126  df-vtx 16135  df-iedg 16136  df-edg 16179  df-uhgrm 16190  df-subgr 16375

This theorem is referenced by:  subumgredg2en  16392  subuhgr  16393  subupgr  16394