Theorem subgruhgredgdm 16425

Description: An edge of a subgraph of a hypergraph is an inhabited subset of its vertices. (Contributed by AV, 17-Nov-2020.) (Revised by AV, 21-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
subgruhgredgd.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝑆)
subgruhgredgd.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝑆)
subgruhgredgd.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ UHGraph)
subgruhgredgd.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 SubGraph 𝐺)
subgruhgredgd.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ dom 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
subgruhgredgdm	⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑋) ∈ {𝑠 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑠})

Distinct variable groups:   𝑗,𝐺   𝑗,𝐼,𝑠   𝑉,𝑠   𝑗,𝑋,𝑠   𝜑,𝑗

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑠)   𝑆(𝑗,𝑠)   𝐺(𝑠)   𝑉(𝑗)

Proof of Theorem subgruhgredgdm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq2 2302	. . 3 ⊢ (𝑠 = (𝐼‘𝑋) → (𝑗 ∈ 𝑠 ↔ 𝑗 ∈ (𝐼‘𝑋)))
2	1	exbidv 1878	. 2 ⊢ (𝑠 = (𝐼‘𝑋) → (∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑠 ↔ ∃𝑗 𝑗 ∈ (𝐼‘𝑋)))
3		subgruhgredgd.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 SubGraph 𝐺)
4		subgruhgredgd.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝑆)
5		eqid 2238	. . . . . 6 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
6		subgruhgredgd.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝑆)
7		eqid 2238	. . . . . 6 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
8		eqid 2238	. . . . . 6 ⊢ (Edg‘𝑆) = (Edg‘𝑆)
9	4, 5, 6, 7, 8	subgrprop2 16415	. . . . 5 ⊢ (𝑆 SubGraph 𝐺 → (𝑉 ⊆ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐼 ⊆ (iEdg‘𝐺) ∧ (Edg‘𝑆) ⊆ 𝒫 𝑉))
10	3, 9	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑉 ⊆ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐼 ⊆ (iEdg‘𝐺) ∧ (Edg‘𝑆) ⊆ 𝒫 𝑉))
11	10	simp3d 1042	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Edg‘𝑆) ⊆ 𝒫 𝑉)
12		subgruhgredgd.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ UHGraph)
13		subgruhgrfun 16423	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑆 SubGraph 𝐺) → Fun (iEdg‘𝑆))
14	12, 3, 13	syl2anc 415	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Fun (iEdg‘𝑆))
15		subgruhgredgd.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ dom 𝐼)
16	6	dmeqi 4977	. . . . . 6 ⊢ dom 𝐼 = dom (iEdg‘𝑆)
17	15, 16	eleqtrdi 2331	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ dom (iEdg‘𝑆))
18	6	fveq1i 5691	. . . . . 6 ⊢ (𝐼‘𝑋) = ((iEdg‘𝑆)‘𝑋)
19		fvelrn 5830	. . . . . 6 ⊢ ((Fun (iEdg‘𝑆) ∧ 𝑋 ∈ dom (iEdg‘𝑆)) → ((iEdg‘𝑆)‘𝑋) ∈ ran (iEdg‘𝑆))
20	18, 19	eqeltrid 2325	. . . . 5 ⊢ ((Fun (iEdg‘𝑆) ∧ 𝑋 ∈ dom (iEdg‘𝑆)) → (𝐼‘𝑋) ∈ ran (iEdg‘𝑆))
21	14, 17, 20	syl2anc 415	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑋) ∈ ran (iEdg‘𝑆))
22		edgval 16215	. . . 4 ⊢ (Edg‘𝑆) = ran (iEdg‘𝑆)
23	21, 22	eleqtrrdi 2332	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑋) ∈ (Edg‘𝑆))
24	11, 23	sseldd 3249	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑋) ∈ 𝒫 𝑉)
25	7	uhgrfun 16232	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → Fun (iEdg‘𝐺))
26	12, 25	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Fun (iEdg‘𝐺))
27	26	funfnd 5403	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐺) Fn dom (iEdg‘𝐺))
28		subgreldmiedg 16424	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 SubGraph 𝐺 ∧ 𝑋 ∈ dom (iEdg‘𝑆)) → 𝑋 ∈ dom (iEdg‘𝐺))
29	3, 17, 28	syl2anc 415	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ dom (iEdg‘𝐺))
30	7	uhgrm 16233	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (iEdg‘𝐺) Fn dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ dom (iEdg‘𝐺)) → ∃𝑗 𝑗 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑋))
31	12, 27, 29, 30	syl3anc 1278	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑗 𝑗 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑋))
32	10	simp2d 1041	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ⊆ (iEdg‘𝐺))
33		funssfv 5716	. . . . . . 7 ⊢ ((Fun (iEdg‘𝐺) ∧ 𝐼 ⊆ (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → ((iEdg‘𝐺)‘𝑋) = (𝐼‘𝑋))
34	33	eqcomd 2244	. . . . . 6 ⊢ ((Fun (iEdg‘𝐺) ∧ 𝐼 ⊆ (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → (𝐼‘𝑋) = ((iEdg‘𝐺)‘𝑋))
35	26, 32, 15, 34	syl3anc 1278	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑋) = ((iEdg‘𝐺)‘𝑋))
36	35	eleq2d 2308	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ (𝐼‘𝑋) ↔ 𝑗 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑋)))
37	36	exbidv 1878	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑗 𝑗 ∈ (𝐼‘𝑋) ↔ ∃𝑗 𝑗 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑋)))
38	31, 37	mpbird 167	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑗 𝑗 ∈ (𝐼‘𝑋))
39	2, 24, 38	elrabd 2984	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑋) ∈ {𝑠 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑠})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 1009   = wceq 1402  ∃wex 1545   ∈ wcel 2209  {crab 2532   ⊆ wss 3220  𝒫 cpw 3685   class class class wbr 4125  dom cdm 4769  ran crn 4770  Fun wfun 5366   Fn wfn 5367  ‘cfv 5372  Vtxcvtx 16167  iEdgciedg 16168  Edgcedg 16212  UHGraphcuhgr 16222   SubGraph csubgr 16408

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-addcom 8269  ax-mulcom 8270  ax-addass 8271  ax-mulass 8272  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-1rid 8276  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-cnre 8280

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-fo 5378  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-sub 8489  df-inn 9284  df-2 9342  df-3 9343  df-4 9344  df-5 9345  df-6 9346  df-7 9347  df-8 9348  df-9 9349  df-n0 9543  df-dec 9757  df-ndx 13333  df-slot 13334  df-base 13336  df-edgf 16160  df-vtx 16169  df-iedg 16170  df-edg 16213  df-uhgrm 16224  df-subgr 16409

This theorem is referenced by:  subumgredg2en  16426  subuhgr  16427  subupgr  16428