Theorem eluzp1p1 9676

Description: Membership in the next upper set of integers. (Contributed by NM, 5-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
eluzp1p1	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))

Proof of Theorem eluzp1p1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2z 9410	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 + 1) ∈ ℤ)
2	1	3ad2ant1 1021	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝑀 + 1) ∈ ℤ)
3		peano2z 9410	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
4	3	3ad2ant2 1022	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
5		zre 9378	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
6		zre 9378	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
7		1re 8073	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
8		leadd1 8505	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝑀 ≤ 𝑁 ↔ (𝑀 + 1) ≤ (𝑁 + 1)))
9	7, 8	mp3an3 1339	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑀 ≤ 𝑁 ↔ (𝑀 + 1) ≤ (𝑁 + 1)))
10	5, 6, 9	syl2an 289	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ≤ 𝑁 ↔ (𝑀 + 1) ≤ (𝑁 + 1)))
11	10	biimp3a 1358	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝑀 + 1) ≤ (𝑁 + 1))
12	2, 4, 11	3jca 1180	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → ((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ (𝑁 + 1)))
13		eluz2 9656	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))
14		eluz2 9656	. 2 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)) ↔ ((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ (𝑁 + 1)))
15	12, 13, 14	3imtr4i 201	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   ∧ w3a 981   ∈ wcel 2176   class class class wbr 4045  ‘cfv 5272  (class class class)co 5946  ℝcr 7926  1c1 7928   + caddc 7930   ≤ cle 8110  ℤcz 9374  ℤ_≥cuz 9650

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4163  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-un 4481  ax-setind 4586  ax-cnex 8018  ax-resscn 8019  ax-1cn 8020  ax-1re 8021  ax-icn 8022  ax-addcl 8023  ax-addrcl 8024  ax-mulcl 8025  ax-addcom 8027  ax-addass 8029  ax-distr 8031  ax-i2m1 8032  ax-0id 8035  ax-rnegex 8036  ax-cnre 8038  ax-pre-ltadd 8043

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-br 4046  df-opab 4107  df-mpt 4108  df-id 4341  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-rn 4687  df-res 4688  df-ima 4689  df-iota 5233  df-fun 5274  df-fn 5275  df-f 5276  df-fv 5280  df-riota 5901  df-ov 5949  df-oprab 5950  df-mpo 5951  df-pnf 8111  df-mnf 8112  df-xr 8113  df-ltxr 8114  df-le 8115  df-sub 8247  df-neg 8248  df-inn 9039  df-n0 9298  df-z 9375  df-uz 9651

This theorem is referenced by:  uzp1  9684  fzp1elp1  10199  rebtwn2z  10399  seqvalcd  10608  seqovcd  10614  seqp1cd  10617  seq3fveq2  10622  seqfveq2g  10624  seqf1oglem2  10667  seq3id2  10673  seq3coll  10989  serf0  11696  efcllemp  12002  prmind2  12475  pockthlem  12712  pockthg  12713  prmunb  12718  cvgcmp2nlemabs  16008