Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ltdiv2 GIF version

Theorem ltdiv2 8652
 Description: Division of a positive number by both sides of 'less than'. (Contributed by NM, 27-Apr-2005.)
Assertion
Ref Expression
ltdiv2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐶 / 𝐵) < (𝐶 / 𝐴)))

Proof of Theorem ltdiv2
StepHypRef Expression
1 simp2l 1007 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → 𝐵 ∈ ℝ)
2 gt0ap0 8395 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) → 𝐵 # 0)
323ad2ant2 1003 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → 𝐵 # 0)
41, 3rerecclapd 8600 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → (1 / 𝐵) ∈ ℝ)
5 gt0ap0 8395 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 # 0)
6 rerecclap 8497 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 # 0) → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
75, 6syldan 280 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
873ad2ant1 1002 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
9 simp3 983 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶))
10 ltmul2 8621 . . 3 (((1 / 𝐵) ∈ ℝ ∧ (1 / 𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → ((1 / 𝐵) < (1 / 𝐴) ↔ (𝐶 · (1 / 𝐵)) < (𝐶 · (1 / 𝐴))))
114, 8, 9, 10syl3anc 1216 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → ((1 / 𝐵) < (1 / 𝐴) ↔ (𝐶 · (1 / 𝐵)) < (𝐶 · (1 / 𝐴))))
12 ltrec 8648 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (1 / 𝐵) < (1 / 𝐴)))
13123adant3 1001 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (1 / 𝐵) < (1 / 𝐴)))
14 simp3l 1009 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → 𝐶 ∈ ℝ)
1514recnd 7801 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → 𝐶 ∈ ℂ)
161recnd 7801 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → 𝐵 ∈ ℂ)
1715, 16, 3divrecapd 8560 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐶 / 𝐵) = (𝐶 · (1 / 𝐵)))
18 simp1l 1005 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → 𝐴 ∈ ℝ)
1918recnd 7801 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → 𝐴 ∈ ℂ)
2053ad2ant1 1002 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → 𝐴 # 0)
2115, 19, 20divrecapd 8560 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐶 / 𝐴) = (𝐶 · (1 / 𝐴)))
2217, 21breq12d 3942 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → ((𝐶 / 𝐵) < (𝐶 / 𝐴) ↔ (𝐶 · (1 / 𝐵)) < (𝐶 · (1 / 𝐴))))
2311, 13, 223bitr4d 219 1 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐶 / 𝐵) < (𝐶 / 𝐴)))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∧ w3a 962   ∈ wcel 1480   class class class wbr 3929  (class class class)co 5774  ℝcr 7626  0cc0 7627  1c1 7628   · cmul 7632   < clt 7807   # cap 8350   / cdiv 8439 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7718  ax-resscn 7719  ax-1cn 7720  ax-1re 7721  ax-icn 7722  ax-addcl 7723  ax-addrcl 7724  ax-mulcl 7725  ax-mulrcl 7726  ax-addcom 7727  ax-mulcom 7728  ax-addass 7729  ax-mulass 7730  ax-distr 7731  ax-i2m1 7732  ax-0lt1 7733  ax-1rid 7734  ax-0id 7735  ax-rnegex 7736  ax-precex 7737  ax-cnre 7738  ax-pre-ltirr 7739  ax-pre-ltwlin 7740  ax-pre-lttrn 7741  ax-pre-apti 7742  ax-pre-ltadd 7743  ax-pre-mulgt0 7744  ax-pre-mulext 7745 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-pnf 7809  df-mnf 7810  df-xr 7811  df-ltxr 7812  df-le 7813  df-sub 7942  df-neg 7943  df-reap 8344  df-ap 8351  df-div 8440 This theorem is referenced by:  ltdiv2d  9514  sin01gt0  11474  coseq0negpitopi  12933  sincos6thpi  12939  cos02pilt1  12948
 Copyright terms: Public domain W3C validator