ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ge0div GIF version

Theorem ge0div 8393
Description: Division of a nonnegative number by a positive number. (Contributed by NM, 28-Sep-2005.)
Assertion
Ref Expression
ge0div ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) → (0 ≤ 𝐴 ↔ 0 ≤ (𝐴 / 𝐵)))

Proof of Theorem ge0div
StepHypRef Expression
1 0re 7549 . . . 4 0 ∈ ℝ
2 lediv1 8391 . . . 4 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → (0 ≤ 𝐴 ↔ (0 / 𝐵) ≤ (𝐴 / 𝐵)))
31, 2mp3an1 1261 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → (0 ≤ 𝐴 ↔ (0 / 𝐵) ≤ (𝐴 / 𝐵)))
433impb 1140 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) → (0 ≤ 𝐴 ↔ (0 / 𝐵) ≤ (𝐴 / 𝐵)))
5 gt0ap0 8163 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) → 𝐵 # 0)
6 recn 7536 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
7 div0ap 8230 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0) → (0 / 𝐵) = 0)
86, 7sylan 278 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 # 0) → (0 / 𝐵) = 0)
95, 8syldan 277 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) → (0 / 𝐵) = 0)
109breq1d 3861 . . 3 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) → ((0 / 𝐵) ≤ (𝐴 / 𝐵) ↔ 0 ≤ (𝐴 / 𝐵)))
11103adant1 962 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) → ((0 / 𝐵) ≤ (𝐴 / 𝐵) ↔ 0 ≤ (𝐴 / 𝐵)))
124, 11bitrd 187 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) → (0 ≤ 𝐴 ↔ 0 ≤ (𝐴 / 𝐵)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104  w3a 925   = wceq 1290  wcel 1439   class class class wbr 3851  (class class class)co 5666  cc 7409  cr 7410  0cc0 7411   < clt 7583  cle 7584   # cap 8119   / cdiv 8200
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-sep 3963  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-un 4269  ax-setind 4366  ax-cnex 7497  ax-resscn 7498  ax-1cn 7499  ax-1re 7500  ax-icn 7501  ax-addcl 7502  ax-addrcl 7503  ax-mulcl 7504  ax-mulrcl 7505  ax-addcom 7506  ax-mulcom 7507  ax-addass 7508  ax-mulass 7509  ax-distr 7510  ax-i2m1 7511  ax-0lt1 7512  ax-1rid 7513  ax-0id 7514  ax-rnegex 7515  ax-precex 7516  ax-cnre 7517  ax-pre-ltirr 7518  ax-pre-ltwlin 7519  ax-pre-lttrn 7520  ax-pre-apti 7521  ax-pre-ltadd 7522  ax-pre-mulgt0 7523  ax-pre-mulext 7524
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rmo 2368  df-rab 2369  df-v 2622  df-sbc 2842  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-br 3852  df-opab 3906  df-id 4129  df-po 4132  df-iso 4133  df-xp 4458  df-rel 4459  df-cnv 4460  df-co 4461  df-dm 4462  df-iota 4993  df-fun 5030  df-fv 5036  df-riota 5622  df-ov 5669  df-oprab 5670  df-mpt2 5671  df-pnf 7585  df-mnf 7586  df-xr 7587  df-ltxr 7588  df-le 7589  df-sub 7716  df-neg 7717  df-reap 8113  df-ap 8120  df-div 8201
This theorem is referenced by:  divge0  8395  halfnneg2  8709  nn0ge0div  8894  ge0divd  9273  2tnp1ge0ge0  9769  nn0ehalf  11242  nn0oddm1d2  11248
  Copyright terms: Public domain W3C validator