Theorem ge0div 8853

Description: Division of a nonnegative number by a positive number. (Contributed by NM, 28-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
ge0div	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) → (0 ≤ 𝐴 ↔ 0 ≤ (𝐴 / 𝐵)))

Proof of Theorem ge0div

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 7982	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		lediv1 8851	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → (0 ≤ 𝐴 ↔ (0 / 𝐵) ≤ (𝐴 / 𝐵)))
3	1, 2	mp3an1 1335	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → (0 ≤ 𝐴 ↔ (0 / 𝐵) ≤ (𝐴 / 𝐵)))
4	3	3impb 1201	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) → (0 ≤ 𝐴 ↔ (0 / 𝐵) ≤ (𝐴 / 𝐵)))
5		gt0ap0 8608	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) → 𝐵 # 0)
6		recn 7969	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
7		div0ap 8684	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0) → (0 / 𝐵) = 0)
8	6, 7	sylan 283	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 # 0) → (0 / 𝐵) = 0)
9	5, 8	syldan 282	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) → (0 / 𝐵) = 0)
10	9	breq1d 4028	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) → ((0 / 𝐵) ≤ (𝐴 / 𝐵) ↔ 0 ≤ (𝐴 / 𝐵)))
11	10	3adant1 1017	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) → ((0 / 𝐵) ≤ (𝐴 / 𝐵) ↔ 0 ≤ (𝐴 / 𝐵)))
12	4, 11	bitrd 188	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) → (0 ≤ 𝐴 ↔ 0 ≤ (𝐴 / 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 980   = wceq 1364   ∈ wcel 2160   class class class wbr 4018  (class class class)co 5892  ℂcc 7834  ℝcr 7835  0cc0 7836   < clt 8017   ≤ cle 8018   # cap 8563   / cdiv 8654

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-cnex 7927  ax-resscn 7928  ax-1cn 7929  ax-1re 7930  ax-icn 7931  ax-addcl 7932  ax-addrcl 7933  ax-mulcl 7934  ax-mulrcl 7935  ax-addcom 7936  ax-mulcom 7937  ax-addass 7938  ax-mulass 7939  ax-distr 7940  ax-i2m1 7941  ax-0lt1 7942  ax-1rid 7943  ax-0id 7944  ax-rnegex 7945  ax-precex 7946  ax-cnre 7947  ax-pre-ltirr 7948  ax-pre-ltwlin 7949  ax-pre-lttrn 7950  ax-pre-apti 7951  ax-pre-ltadd 7952  ax-pre-mulgt0 7953  ax-pre-mulext 7954

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-br 4019  df-opab 4080  df-id 4308  df-po 4311  df-iso 4312  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-iota 5193  df-fun 5234  df-fv 5240  df-riota 5848  df-ov 5895  df-oprab 5896  df-mpo 5897  df-pnf 8019  df-mnf 8020  df-xr 8021  df-ltxr 8022  df-le 8023  df-sub 8155  df-neg 8156  df-reap 8557  df-ap 8564  df-div 8655

This theorem is referenced by:  divge0  8855  halfnneg2  9176  nn0ge0div  9365  ge0divd  9760  2tnp1ge0ge0  10327  nn0ehalf  11935  nn0oddm1d2  11941  odzdvds  12272  pcfaclem  12376  pockthlem  12383