Theorem ge0div 8892

Description: Division of a nonnegative number by a positive number. (Contributed by NM, 28-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
ge0div	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) → (0 ≤ 𝐴 ↔ 0 ≤ (𝐴 / 𝐵)))

Proof of Theorem ge0div

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 8021	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		lediv1 8890	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → (0 ≤ 𝐴 ↔ (0 / 𝐵) ≤ (𝐴 / 𝐵)))
3	1, 2	mp3an1 1335	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → (0 ≤ 𝐴 ↔ (0 / 𝐵) ≤ (𝐴 / 𝐵)))
4	3	3impb 1201	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) → (0 ≤ 𝐴 ↔ (0 / 𝐵) ≤ (𝐴 / 𝐵)))
5		gt0ap0 8647	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) → 𝐵 # 0)
6		recn 8007	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
7		div0ap 8723	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0) → (0 / 𝐵) = 0)
8	6, 7	sylan 283	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 # 0) → (0 / 𝐵) = 0)
9	5, 8	syldan 282	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) → (0 / 𝐵) = 0)
10	9	breq1d 4040	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) → ((0 / 𝐵) ≤ (𝐴 / 𝐵) ↔ 0 ≤ (𝐴 / 𝐵)))
11	10	3adant1 1017	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) → ((0 / 𝐵) ≤ (𝐴 / 𝐵) ↔ 0 ≤ (𝐴 / 𝐵)))
12	4, 11	bitrd 188	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) → (0 ≤ 𝐴 ↔ 0 ≤ (𝐴 / 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 980   = wceq 1364   ∈ wcel 2164   class class class wbr 4030  (class class class)co 5919  ℂcc 7872  ℝcr 7873  0cc0 7874   < clt 8056   ≤ cle 8057   # cap 8602   / cdiv 8693

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-mulrcl 7973  ax-addcom 7974  ax-mulcom 7975  ax-addass 7976  ax-mulass 7977  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-1rid 7981  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-precex 7984  ax-cnre 7985  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltwlin 7987  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-apti 7989  ax-pre-ltadd 7990  ax-pre-mulgt0 7991  ax-pre-mulext 7992

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-br 4031  df-opab 4092  df-id 4325  df-po 4328  df-iso 4329  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-sub 8194  df-neg 8195  df-reap 8596  df-ap 8603  df-div 8694

This theorem is referenced by:  divge0  8894  halfnneg2  9217  nn0ge0div  9407  ge0divd  9804  2tnp1ge0ge0  10373  nn0ehalf  12047  nn0oddm1d2  12053  odzdvds  12386  pcfaclem  12490  pockthlem  12497