Theorem birthdaylem1g 16070

Description: Lemma for birthdaylog2 16073. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
birthday.s	⊢ 𝑆 = {𝑓 ∣ 𝑓:(1...𝐾)⟶(1...𝑁)}
birthday.t	⊢ 𝑇 = {𝑓 ∣ 𝑓:(1...𝐾)–1-1→(1...𝑁)}

Assertion

Ref	Expression
birthdaylem1g	⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑇 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑆 ∈ Fin ∧ 𝑆 ≠ ∅))

Distinct variable groups:   𝑓,𝐾   𝑓,𝑁

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑓)   𝑇(𝑓)

Proof of Theorem birthdaylem1g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1f 5596	. . . . 5 ⊢ (𝑓:(1...𝐾)–1-1→(1...𝑁) → 𝑓:(1...𝐾)⟶(1...𝑁))
2	1	ss2abi 3320	. . . 4 ⊢ {𝑓 ∣ 𝑓:(1...𝐾)–1-1→(1...𝑁)} ⊆ {𝑓 ∣ 𝑓:(1...𝐾)⟶(1...𝑁)}
3		birthday.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = {𝑓 ∣ 𝑓:(1...𝐾)–1-1→(1...𝑁)}
4		birthday.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = {𝑓 ∣ 𝑓:(1...𝐾)⟶(1...𝑁)}
5	2, 3, 4	3sstr4i 3289	. . 3 ⊢ 𝑇 ⊆ 𝑆
6	5	a1i 9	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑇 ⊆ 𝑆)
7		1zzd 9654	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℤ)
8		nnz 9646	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
9	8	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℤ)
10	7, 9	fzfigd 10851	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (1...𝑁) ∈ Fin)
11		nn0z 9647	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐾 ∈ ℤ)
12	11	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐾 ∈ ℤ)
13	7, 12	fzfigd 10851	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (1...𝐾) ∈ Fin)
14		mapvalg 6926	. . . . 5 ⊢ (((1...𝑁) ∈ Fin ∧ (1...𝐾) ∈ Fin) → ((1...𝑁) ↑𝑚 (1...𝐾)) = {𝑓 ∣ 𝑓:(1...𝐾)⟶(1...𝑁)})
15	10, 13, 14	syl2anc 415	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((1...𝑁) ↑𝑚 (1...𝐾)) = {𝑓 ∣ 𝑓:(1...𝐾)⟶(1...𝑁)})
16	4, 15	eqtr4id 2290	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑆 = ((1...𝑁) ↑𝑚 (1...𝐾)))
17		mapfi 7255	. . . 4 ⊢ (((1...𝑁) ∈ Fin ∧ (1...𝐾) ∈ Fin) → ((1...𝑁) ↑𝑚 (1...𝐾)) ∈ Fin)
18	10, 13, 17	syl2anc 415	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((1...𝑁) ↑𝑚 (1...𝐾)) ∈ Fin)
19	16, 18	eqeltrd 2315	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑆 ∈ Fin)
20		elfz1end 10444	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (1...𝑁))
21		ne0i 3528	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (1...𝑁) → (1...𝑁) ≠ ∅)
22	20, 21	sylbi 121	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1...𝑁) ≠ ∅)
23	22	adantl 277	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (1...𝑁) ≠ ∅)
24	16	eqeq1d 2247	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑆 = ∅ ↔ ((1...𝑁) ↑𝑚 (1...𝐾)) = ∅))
25		map0g 6963	. . . . . . 7 ⊢ (((1...𝑁) ∈ Fin ∧ (1...𝐾) ∈ Fin) → (((1...𝑁) ↑𝑚 (1...𝐾)) = ∅ ↔ ((1...𝑁) = ∅ ∧ (1...𝐾) ≠ ∅)))
26	10, 13, 25	syl2anc 415	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((1...𝑁) ↑𝑚 (1...𝐾)) = ∅ ↔ ((1...𝑁) = ∅ ∧ (1...𝐾) ≠ ∅)))
27		simpl 109	. . . . . 6 ⊢ (((1...𝑁) = ∅ ∧ (1...𝐾) ≠ ∅) → (1...𝑁) = ∅)
28	26, 27	biimtrdi 163	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((1...𝑁) ↑𝑚 (1...𝐾)) = ∅ → (1...𝑁) = ∅))
29	24, 28	sylbid 150	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑆 = ∅ → (1...𝑁) = ∅))
30	29	necon3d 2464	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((1...𝑁) ≠ ∅ → 𝑆 ≠ ∅))
31	23, 30	mpd 13	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑆 ≠ ∅)
32	6, 19, 31	3jca 1208	1 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑇 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑆 ∈ Fin ∧ 𝑆 ≠ ∅))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1009   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  {cab 2224   ≠ wne 2420   ⊆ wss 3220  ∅c0 3520  ⟶wf 5371  –1-1→wf1 5372  (class class class)co 6079   ↑_𝑚 cmap 6916  Fincfn 7016  1c1 8174  ℕcn 9287  ℕ₀cn0 9546  ℤcz 9627  ...cfz 10394

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-iinf 4733  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-addcom 8273  ax-addass 8275  ax-distr 8277  ax-i2m1 8278  ax-0lt1 8279  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-cnre 8284  ax-pre-ltirr 8285  ax-pre-ltwlin 8286  ax-pre-lttrn 8287  ax-pre-apti 8288  ax-pre-ltadd 8289

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-tr 4228  df-id 4436  df-iord 4509  df-on 4511  df-ilim 4512  df-suc 4514  df-iom 4736  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-1st 6368  df-2nd 6369  df-recs 6570  df-frec 6656  df-1o 6681  df-er 6801  df-map 6918  df-en 7017  df-fin 7019  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-xr 8358  df-ltxr 8359  df-le 8360  df-sub 8493  df-neg 8494  df-inn 9288  df-n0 9547  df-z 9628  df-uz 9905  df-fz 10395

This theorem is referenced by:  birthdaylem3  16072  birthdaylog2  16073