ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  pythagtriplem6 GIF version

Theorem pythagtriplem6 12289
Description: Lemma for pythagtrip 12302. Calculate (โˆšโ€˜(๐ถ โˆ’ ๐ต)). (Contributed by Scott Fenton, 18-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
pythagtriplem6 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ (โˆšโ€˜(๐ถ โˆ’ ๐ต)) = ((๐ถ โˆ’ ๐ต) gcd ๐ด))

Proof of Theorem pythagtriplem6
StepHypRef Expression
1 nnz 9291 . . . . . . . . . . 11 (๐ถ โˆˆ โ„• โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„ค)
213ad2ant3 1022 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„ค)
3 nnz 9291 . . . . . . . . . . 11 (๐ต โˆˆ โ„• โ†’ ๐ต โˆˆ โ„ค)
433ad2ant2 1021 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„ค)
52, 4zsubcld 9399 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ถ โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„ค)
653ad2ant1 1020 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ (๐ถ โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„ค)
7 pythagtriplem10 12288 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2)) โ†’ 0 < (๐ถ โˆ’ ๐ต))
873adant3 1019 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ 0 < (๐ถ โˆ’ ๐ต))
9 elnnz 9282 . . . . . . . 8 ((๐ถ โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„• โ†” ((๐ถ โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„ค โˆง 0 < (๐ถ โˆ’ ๐ต)))
106, 8, 9sylanbrc 417 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ (๐ถ โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„•)
1110nnnn0d 9248 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ (๐ถ โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„•0)
12 simp3 1001 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„•)
13 simp2 1000 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„•)
1412, 13nnaddcld 8986 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ถ + ๐ต) โˆˆ โ„•)
1514nnzd 9393 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ถ + ๐ต) โˆˆ โ„ค)
16153ad2ant1 1020 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ (๐ถ + ๐ต) โˆˆ โ„ค)
17 nnnn0 9202 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ ๐ด โˆˆ โ„•0)
18173ad2ant1 1020 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„•0)
19183ad2ant1 1020 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„•0)
2011, 16, 193jca 1179 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ถ + ๐ต) โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โˆˆ โ„•0))
21 pythagtriplem4 12287 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ต) gcd (๐ถ + ๐ต)) = 1)
2221oveq1d 5906 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ (((๐ถ โˆ’ ๐ต) gcd (๐ถ + ๐ต)) gcd ๐ด) = (1 gcd ๐ด))
23 nnz 9291 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
24233ad2ant1 1020 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
25243ad2ant1 1020 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
26 1gcd 12012 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„ค โ†’ (1 gcd ๐ด) = 1)
2725, 26syl 14 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ (1 gcd ๐ด) = 1)
2822, 27eqtrd 2222 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ (((๐ถ โˆ’ ๐ต) gcd (๐ถ + ๐ต)) gcd ๐ด) = 1)
2920, 28jca 306 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ (((๐ถ โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ถ + ๐ต) โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โˆˆ โ„•0) โˆง (((๐ถ โˆ’ ๐ต) gcd (๐ถ + ๐ต)) gcd ๐ด) = 1))
30 oveq1 5898 . . . . . 6 (((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โ†’ (((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) โˆ’ (๐ตโ†‘2)) = ((๐ถโ†‘2) โˆ’ (๐ตโ†‘2)))
31303ad2ant2 1021 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ (((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) โˆ’ (๐ตโ†‘2)) = ((๐ถโ†‘2) โˆ’ (๐ตโ†‘2)))
3224zcnd 9395 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
3332sqcld 10671 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
34 nncn 8946 . . . . . . . . 9 (๐ต โˆˆ โ„• โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
35343ad2ant2 1021 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
3635sqcld 10671 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ตโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
3733, 36pncand 8288 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) โˆ’ (๐ตโ†‘2)) = (๐ดโ†‘2))
38373ad2ant1 1020 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ (((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) โˆ’ (๐ตโ†‘2)) = (๐ดโ†‘2))
39 nncn 8946 . . . . . . . . 9 (๐ถ โˆˆ โ„• โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
40393ad2ant3 1022 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
41 subsq 10646 . . . . . . . 8 ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ถโ†‘2) โˆ’ (๐ตโ†‘2)) = ((๐ถ + ๐ต) ยท (๐ถ โˆ’ ๐ต)))
4240, 35, 41syl2anc 411 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ถโ†‘2) โˆ’ (๐ตโ†‘2)) = ((๐ถ + ๐ต) ยท (๐ถ โˆ’ ๐ต)))
4314nncnd 8952 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ถ + ๐ต) โˆˆ โ„‚)
445zcnd 9395 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ถ โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„‚)
4543, 44mulcomd 7998 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ถ + ๐ต) ยท (๐ถ โˆ’ ๐ต)) = ((๐ถ โˆ’ ๐ต) ยท (๐ถ + ๐ต)))
4642, 45eqtrd 2222 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ถโ†‘2) โˆ’ (๐ตโ†‘2)) = ((๐ถ โˆ’ ๐ต) ยท (๐ถ + ๐ต)))
47463ad2ant1 1020 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ ((๐ถโ†‘2) โˆ’ (๐ตโ†‘2)) = ((๐ถ โˆ’ ๐ต) ยท (๐ถ + ๐ต)))
4831, 38, 473eqtr3d 2230 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ (๐ดโ†‘2) = ((๐ถ โˆ’ ๐ต) ยท (๐ถ + ๐ต)))
49 coprimeprodsq 12276 . . . 4 ((((๐ถ โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ถ + ๐ต) โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โˆˆ โ„•0) โˆง (((๐ถ โˆ’ ๐ต) gcd (๐ถ + ๐ต)) gcd ๐ด) = 1) โ†’ ((๐ดโ†‘2) = ((๐ถ โˆ’ ๐ต) ยท (๐ถ + ๐ต)) โ†’ (๐ถ โˆ’ ๐ต) = (((๐ถ โˆ’ ๐ต) gcd ๐ด)โ†‘2)))
5029, 48, 49sylc 62 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ (๐ถ โˆ’ ๐ต) = (((๐ถ โˆ’ ๐ต) gcd ๐ด)โ†‘2))
5150fveq2d 5534 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ (โˆšโ€˜(๐ถ โˆ’ ๐ต)) = (โˆšโ€˜(((๐ถ โˆ’ ๐ต) gcd ๐ด)โ†‘2)))
526, 25gcdcld 11988 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ต) gcd ๐ด) โˆˆ โ„•0)
5352nn0red 9249 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ต) gcd ๐ด) โˆˆ โ„)
5452nn0ge0d 9251 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ 0 โ‰ค ((๐ถ โˆ’ ๐ต) gcd ๐ด))
5553, 54sqrtsqd 11193 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ (โˆšโ€˜(((๐ถ โˆ’ ๐ต) gcd ๐ด)โ†‘2)) = ((๐ถ โˆ’ ๐ต) gcd ๐ด))
5651, 55eqtrd 2222 1 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ (โˆšโ€˜(๐ถ โˆ’ ๐ต)) = ((๐ถ โˆ’ ๐ต) gcd ๐ด))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โˆง w3a 980   = wceq 1364   โˆˆ wcel 2160   class class class wbr 4018  โ€˜cfv 5231  (class class class)co 5891  โ„‚cc 7828  0cc0 7830  1c1 7831   + caddc 7833   ยท cmul 7835   < clt 8011   โˆ’ cmin 8147  โ„•cn 8938  2c2 8989  โ„•0cn0 9195  โ„คcz 9272  โ†‘cexp 10538  โˆšcsqrt 11024   โˆฅ cdvds 11813   gcd cgcd 11962
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-iinf 4602  ax-cnex 7921  ax-resscn 7922  ax-1cn 7923  ax-1re 7924  ax-icn 7925  ax-addcl 7926  ax-addrcl 7927  ax-mulcl 7928  ax-mulrcl 7929  ax-addcom 7930  ax-mulcom 7931  ax-addass 7932  ax-mulass 7933  ax-distr 7934  ax-i2m1 7935  ax-0lt1 7936  ax-1rid 7937  ax-0id 7938  ax-rnegex 7939  ax-precex 7940  ax-cnre 7941  ax-pre-ltirr 7942  ax-pre-ltwlin 7943  ax-pre-lttrn 7944  ax-pre-apti 7945  ax-pre-ltadd 7946  ax-pre-mulgt0 7947  ax-pre-mulext 7948  ax-arch 7949  ax-caucvg 7950
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4308  df-po 4311  df-iso 4312  df-iord 4381  df-on 4383  df-ilim 4384  df-suc 4386  df-iom 4605  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fn 5234  df-f 5235  df-f1 5236  df-fo 5237  df-f1o 5238  df-fv 5239  df-riota 5847  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-1st 6159  df-2nd 6160  df-recs 6324  df-frec 6410  df-1o 6435  df-2o 6436  df-er 6553  df-en 6759  df-sup 7002  df-pnf 8013  df-mnf 8014  df-xr 8015  df-ltxr 8016  df-le 8017  df-sub 8149  df-neg 8150  df-reap 8551  df-ap 8558  df-div 8649  df-inn 8939  df-2 8997  df-3 8998  df-4 8999  df-n0 9196  df-z 9273  df-uz 9548  df-q 9639  df-rp 9673  df-fz 10028  df-fzo 10162  df-fl 10289  df-mod 10342  df-seqfrec 10465  df-exp 10539  df-cj 10870  df-re 10871  df-im 10872  df-rsqrt 11026  df-abs 11027  df-dvds 11814  df-gcd 11963  df-prm 12127
This theorem is referenced by:  pythagtriplem8  12291  pythagtriplem11  12293  pythagtriplem13  12295
  Copyright terms: Public domain W3C validator