Theorem pythagtriplem6 12161

Description: Lemma for pythagtrip 12174. Calculate (√‘(𝐶 − 𝐵)). (Contributed by Scott Fenton, 18-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
pythagtriplem6	⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → (√‘(𝐶 − 𝐵)) = ((𝐶 − 𝐵) gcd 𝐴))

Proof of Theorem pythagtriplem6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnz 9192	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐶 ∈ ℕ → 𝐶 ∈ ℤ)
2	1	3ad2ant3 1005	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → 𝐶 ∈ ℤ)
3		nnz 9192	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℤ)
4	3	3ad2ant2 1004	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℤ)
5	2, 4	zsubcld 9297	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (𝐶 − 𝐵) ∈ ℤ)
6	5	3ad2ant1 1003	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → (𝐶 − 𝐵) ∈ ℤ)
7		pythagtriplem10 12160	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2)) → 0 < (𝐶 − 𝐵))
8	7	3adant3 1002	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → 0 < (𝐶 − 𝐵))
9		elnnz 9183	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 − 𝐵) ∈ ℕ ↔ ((𝐶 − 𝐵) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝐶 − 𝐵)))
10	6, 8, 9	sylanbrc 414	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → (𝐶 − 𝐵) ∈ ℕ)
11	10	nnnn0d 9149	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → (𝐶 − 𝐵) ∈ ℕ0)
12		simp3 984	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → 𝐶 ∈ ℕ)
13		simp2 983	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℕ)
14	12, 13	nnaddcld 8887	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (𝐶 + 𝐵) ∈ ℕ)
15	14	nnzd 9291	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (𝐶 + 𝐵) ∈ ℤ)
16	15	3ad2ant1 1003	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → (𝐶 + 𝐵) ∈ ℤ)
17		nnnn0 9103	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℕ0)
18	17	3ad2ant1 1003	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℕ0)
19	18	3ad2ant1 1003	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → 𝐴 ∈ ℕ0)
20	11, 16, 19	3jca 1162	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → ((𝐶 − 𝐵) ∈ ℕ0 ∧ (𝐶 + 𝐵) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0))
21		pythagtriplem4 12159	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → ((𝐶 − 𝐵) gcd (𝐶 + 𝐵)) = 1)
22	21	oveq1d 5842	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → (((𝐶 − 𝐵) gcd (𝐶 + 𝐵)) gcd 𝐴) = (1 gcd 𝐴))
23		nnz 9192	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℤ)
24	23	3ad2ant1 1003	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℤ)
25	24	3ad2ant1 1003	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → 𝐴 ∈ ℤ)
26		1gcd 11892	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (1 gcd 𝐴) = 1)
27	25, 26	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → (1 gcd 𝐴) = 1)
28	22, 27	eqtrd 2190	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → (((𝐶 − 𝐵) gcd (𝐶 + 𝐵)) gcd 𝐴) = 1)
29	20, 28	jca 304	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → (((𝐶 − 𝐵) ∈ ℕ0 ∧ (𝐶 + 𝐵) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) ∧ (((𝐶 − 𝐵) gcd (𝐶 + 𝐵)) gcd 𝐴) = 1))
30		oveq1 5834	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) − (𝐵↑2)) = ((𝐶↑2) − (𝐵↑2)))
31	30	3ad2ant2 1004	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) − (𝐵↑2)) = ((𝐶↑2) − (𝐵↑2)))
32	24	zcnd 9293	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
33	32	sqcld 10559	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
34		nncn 8847	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℂ)
35	34	3ad2ant2 1004	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℂ)
36	35	sqcld 10559	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
37	33, 36	pncand 8192	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) − (𝐵↑2)) = (𝐴↑2))
38	37	3ad2ant1 1003	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) − (𝐵↑2)) = (𝐴↑2))
39		nncn 8847	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ∈ ℕ → 𝐶 ∈ ℂ)
40	39	3ad2ant3 1005	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → 𝐶 ∈ ℂ)
41		subsq 10535	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐶↑2) − (𝐵↑2)) = ((𝐶 + 𝐵) · (𝐶 − 𝐵)))
42	40, 35, 41	syl2anc 409	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → ((𝐶↑2) − (𝐵↑2)) = ((𝐶 + 𝐵) · (𝐶 − 𝐵)))
43	14	nncnd 8853	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (𝐶 + 𝐵) ∈ ℂ)
44	5	zcnd 9293	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (𝐶 − 𝐵) ∈ ℂ)
45	43, 44	mulcomd 7902	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → ((𝐶 + 𝐵) · (𝐶 − 𝐵)) = ((𝐶 − 𝐵) · (𝐶 + 𝐵)))
46	42, 45	eqtrd 2190	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → ((𝐶↑2) − (𝐵↑2)) = ((𝐶 − 𝐵) · (𝐶 + 𝐵)))
47	46	3ad2ant1 1003	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → ((𝐶↑2) − (𝐵↑2)) = ((𝐶 − 𝐵) · (𝐶 + 𝐵)))
48	31, 38, 47	3eqtr3d 2198	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → (𝐴↑2) = ((𝐶 − 𝐵) · (𝐶 + 𝐵)))
49		coprimeprodsq 12148	. . . 4 ⊢ ((((𝐶 − 𝐵) ∈ ℕ0 ∧ (𝐶 + 𝐵) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) ∧ (((𝐶 − 𝐵) gcd (𝐶 + 𝐵)) gcd 𝐴) = 1) → ((𝐴↑2) = ((𝐶 − 𝐵) · (𝐶 + 𝐵)) → (𝐶 − 𝐵) = (((𝐶 − 𝐵) gcd 𝐴)↑2)))
50	29, 48, 49	sylc 62	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → (𝐶 − 𝐵) = (((𝐶 − 𝐵) gcd 𝐴)↑2))
51	50	fveq2d 5475	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → (√‘(𝐶 − 𝐵)) = (√‘(((𝐶 − 𝐵) gcd 𝐴)↑2)))
52	6, 25	gcdcld 11868	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → ((𝐶 − 𝐵) gcd 𝐴) ∈ ℕ0)
53	52	nn0red 9150	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → ((𝐶 − 𝐵) gcd 𝐴) ∈ ℝ)
54	52	nn0ge0d 9152	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → 0 ≤ ((𝐶 − 𝐵) gcd 𝐴))
55	53, 54	sqrtsqd 11077	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → (√‘(((𝐶 − 𝐵) gcd 𝐴)↑2)) = ((𝐶 − 𝐵) gcd 𝐴))
56	51, 55	eqtrd 2190	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → (√‘(𝐶 − 𝐵)) = ((𝐶 − 𝐵) gcd 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ∧ w3a 963   = wceq 1335   ∈ wcel 2128   class class class wbr 3967  ‘cfv 5173  (class class class)co 5827  ℂcc 7733  0cc0 7735  1c1 7736   + caddc 7738   · cmul 7740   < clt 7915   − cmin 8051  ℕcn 8839  2c2 8890  ℕ₀cn0 9096  ℤcz 9173  ↑cexp 10428  √csqrt 10908   ∥ cdvds 11695   gcd cgcd 11842

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4082  ax-sep 4085  ax-nul 4093  ax-pow 4138  ax-pr 4172  ax-un 4396  ax-setind 4499  ax-iinf 4550  ax-cnex 7826  ax-resscn 7827  ax-1cn 7828  ax-1re 7829  ax-icn 7830  ax-addcl 7831  ax-addrcl 7832  ax-mulcl 7833  ax-mulrcl 7834  ax-addcom 7835  ax-mulcom 7836  ax-addass 7837  ax-mulass 7838  ax-distr 7839  ax-i2m1 7840  ax-0lt1 7841  ax-1rid 7842  ax-0id 7843  ax-rnegex 7844  ax-precex 7845  ax-cnre 7846  ax-pre-ltirr 7847  ax-pre-ltwlin 7848  ax-pre-lttrn 7849  ax-pre-apti 7850  ax-pre-ltadd 7851  ax-pre-mulgt0 7852  ax-pre-mulext 7853  ax-arch 7854  ax-caucvg 7855

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 817  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3396  df-if 3507  df-pw 3546  df-sn 3567  df-pr 3568  df-op 3570  df-uni 3775  df-int 3810  df-iun 3853  df-br 3968  df-opab 4029  df-mpt 4030  df-tr 4066  df-id 4256  df-po 4259  df-iso 4260  df-iord 4329  df-on 4331  df-ilim 4332  df-suc 4334  df-iom 4553  df-xp 4595  df-rel 4596  df-cnv 4597  df-co 4598  df-dm 4599  df-rn 4600  df-res 4601  df-ima 4602  df-iota 5138  df-fun 5175  df-fn 5176  df-f 5177  df-f1 5178  df-fo 5179  df-f1o 5180  df-fv 5181  df-riota 5783  df-ov 5830  df-oprab 5831  df-mpo 5832  df-1st 6091  df-2nd 6092  df-recs 6255  df-frec 6341  df-1o 6366  df-2o 6367  df-er 6483  df-en 6689  df-sup 6931  df-pnf 7917  df-mnf 7918  df-xr 7919  df-ltxr 7920  df-le 7921  df-sub 8053  df-neg 8054  df-reap 8455  df-ap 8462  df-div 8551  df-inn 8840  df-2 8898  df-3 8899  df-4 8900  df-n0 9097  df-z 9174  df-uz 9446  df-q 9536  df-rp 9568  df-fz 9920  df-fzo 10052  df-fl 10179  df-mod 10232  df-seqfrec 10355  df-exp 10429  df-cj 10754  df-re 10755  df-im 10756  df-rsqrt 10910  df-abs 10911  df-dvds 11696  df-gcd 11843  df-prm 12001

This theorem is referenced by:  pythagtriplem8  12163  pythagtriplem11  12165  pythagtriplem13  12167