Theorem pcqdiv 12339

Description: Division property of the prime power function. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
pcqdiv	⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt (𝐴 / 𝐵)) = ((𝑃 pCnt 𝐴) − (𝑃 pCnt 𝐵)))

Proof of Theorem pcqdiv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2l 1025	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → 𝐴 ∈ ℚ)
2		qcn 9664	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℂ)
3	1, 2	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → 𝐴 ∈ ℂ)
4		simp3l 1027	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → 𝐵 ∈ ℚ)
5		qcn 9664	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℚ → 𝐵 ∈ ℂ)
6	4, 5	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → 𝐵 ∈ ℂ)
7		simp3r 1028	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → 𝐵 ≠ 0)
8		0z 9294	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℤ
9		zq 9656	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 ∈ ℤ → 0 ∈ ℚ)
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℚ
11		qapne 9669	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 ∈ ℚ) → (𝐵 # 0 ↔ 𝐵 ≠ 0))
12	4, 10, 11	sylancl 413	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝐵 # 0 ↔ 𝐵 ≠ 0))
13	7, 12	mpbird 167	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → 𝐵 # 0)
14	3, 6, 13	divcanap1d 8778	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → ((𝐴 / 𝐵) · 𝐵) = 𝐴)
15	14	oveq2d 5912	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt ((𝐴 / 𝐵) · 𝐵)) = (𝑃 pCnt 𝐴))
16		simp1 999	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → 𝑃 ∈ ℙ)
17		qdivcl 9673	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℚ)
18	1, 4, 7, 17	syl3anc 1249	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℚ)
19		simp2r 1026	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → 𝐴 ≠ 0)
20		qapne 9669	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 0 ∈ ℚ) → (𝐴 # 0 ↔ 𝐴 ≠ 0))
21	1, 10, 20	sylancl 413	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝐴 # 0 ↔ 𝐴 ≠ 0))
22	19, 21	mpbird 167	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → 𝐴 # 0)
23	3, 6, 22, 13	divap0d 8793	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝐴 / 𝐵) # 0)
24		qapne 9669	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 / 𝐵) ∈ ℚ ∧ 0 ∈ ℚ) → ((𝐴 / 𝐵) # 0 ↔ (𝐴 / 𝐵) ≠ 0))
25	18, 10, 24	sylancl 413	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → ((𝐴 / 𝐵) # 0 ↔ (𝐴 / 𝐵) ≠ 0))
26	23, 25	mpbid 147	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝐴 / 𝐵) ≠ 0)
27		pcqmul 12335	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℚ ∧ (𝐴 / 𝐵) ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt ((𝐴 / 𝐵) · 𝐵)) = ((𝑃 pCnt (𝐴 / 𝐵)) + (𝑃 pCnt 𝐵)))
28	16, 18, 26, 4, 7, 27	syl122anc 1258	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt ((𝐴 / 𝐵) · 𝐵)) = ((𝑃 pCnt (𝐴 / 𝐵)) + (𝑃 pCnt 𝐵)))
29	15, 28	eqtr3d 2224	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt 𝐴) = ((𝑃 pCnt (𝐴 / 𝐵)) + (𝑃 pCnt 𝐵)))
30	29	oveq1d 5911	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → ((𝑃 pCnt 𝐴) − (𝑃 pCnt 𝐵)) = (((𝑃 pCnt (𝐴 / 𝐵)) + (𝑃 pCnt 𝐵)) − (𝑃 pCnt 𝐵)))
31		pcqcl 12338	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℚ ∧ (𝐴 / 𝐵) ≠ 0)) → (𝑃 pCnt (𝐴 / 𝐵)) ∈ ℤ)
32	16, 18, 26, 31	syl12anc 1247	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt (𝐴 / 𝐵)) ∈ ℤ)
33	32	zcnd 9406	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt (𝐴 / 𝐵)) ∈ ℂ)
34		pcqcl 12338	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt 𝐵) ∈ ℤ)
35	34	3adant2 1018	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt 𝐵) ∈ ℤ)
36	35	zcnd 9406	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt 𝐵) ∈ ℂ)
37	33, 36	pncand 8299	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (((𝑃 pCnt (𝐴 / 𝐵)) + (𝑃 pCnt 𝐵)) − (𝑃 pCnt 𝐵)) = (𝑃 pCnt (𝐴 / 𝐵)))
38	30, 37	eqtr2d 2223	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt (𝐴 / 𝐵)) = ((𝑃 pCnt 𝐴) − (𝑃 pCnt 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 980   = wceq 1364   ∈ wcel 2160   ≠ wne 2360   class class class wbr 4018  (class class class)co 5896  ℂcc 7839  0cc0 7841   + caddc 7844   · cmul 7846   − cmin 8158   # cap 8568   / cdiv 8659  ℤcz 9283  ℚcq 9649  ℙcprime 12139   pCnt cpc 12316

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605  ax-cnex 7932  ax-resscn 7933  ax-1cn 7934  ax-1re 7935  ax-icn 7936  ax-addcl 7937  ax-addrcl 7938  ax-mulcl 7939  ax-mulrcl 7940  ax-addcom 7941  ax-mulcom 7942  ax-addass 7943  ax-mulass 7944  ax-distr 7945  ax-i2m1 7946  ax-0lt1 7947  ax-1rid 7948  ax-0id 7949  ax-rnegex 7950  ax-precex 7951  ax-cnre 7952  ax-pre-ltirr 7953  ax-pre-ltwlin 7954  ax-pre-lttrn 7955  ax-pre-apti 7956  ax-pre-ltadd 7957  ax-pre-mulgt0 7958  ax-pre-mulext 7959  ax-arch 7960  ax-caucvg 7961

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4311  df-po 4314  df-iso 4315  df-iord 4384  df-on 4386  df-ilim 4387  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-isom 5244  df-riota 5852  df-ov 5899  df-oprab 5900  df-mpo 5901  df-1st 6165  df-2nd 6166  df-recs 6330  df-frec 6416  df-1o 6441  df-2o 6442  df-er 6559  df-en 6767  df-sup 7013  df-inf 7014  df-pnf 8024  df-mnf 8025  df-xr 8026  df-ltxr 8027  df-le 8028  df-sub 8160  df-neg 8161  df-reap 8562  df-ap 8569  df-div 8660  df-inn 8950  df-2 9008  df-3 9009  df-4 9010  df-n0 9207  df-z 9284  df-uz 9559  df-q 9650  df-rp 9684  df-fz 10039  df-fzo 10173  df-fl 10301  df-mod 10354  df-seqfrec 10477  df-exp 10551  df-cj 10883  df-re 10884  df-im 10885  df-rsqrt 11039  df-abs 11040  df-dvds 11827  df-gcd 11976  df-prm 12140  df-pc 12317

This theorem is referenced by:  pcrec  12340