Theorem prsrpos 7960

Description: Mapping from a positive real to a signed real yields a result greater than zero. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
prsrpos	⊢ (𝐴 ∈ P → 0R <R [⟨(𝐴 +P 1P), 1P⟩] ~R )

Proof of Theorem prsrpos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1pr 7729	. . . 4 ⊢ 1P ∈ P
2		ltaddpr 7772	. . . 4 ⊢ ((1P ∈ P ∧ 𝐴 ∈ P) → 1P<P (1P +P 𝐴))
3	1, 2	mpan 424	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ P → 1P<P (1P +P 𝐴))
4		addcomprg 7753	. . . 4 ⊢ ((1P ∈ P ∧ 𝐴 ∈ P) → (1P +P 𝐴) = (𝐴 +P 1P))
5	1, 4	mpan 424	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ P → (1P +P 𝐴) = (𝐴 +P 1P))
6	3, 5	breqtrd 4108	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ P → 1P<P (𝐴 +P 1P))
7		gt0srpr 7923	. 2 ⊢ (0R <R [⟨(𝐴 +P 1P), 1P⟩] ~R ↔ 1P<P (𝐴 +P 1P))
8	6, 7	sylibr 134	1 ⊢ (𝐴 ∈ P → 0R <R [⟨(𝐴 +P 1P), 1P⟩] ~R )

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ⟨cop 3669   class class class wbr 4082  (class class class)co 5994  [cec 6668  Pcnp 7466  1_Pc1p 7467   +_P cpp 7468  <_P cltp 7470   ~_R cer 7471  0_Rc0r 7473   <_R cltr 7478

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4521  ax-setind 4626  ax-iinf 4677

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-tr 4182  df-eprel 4377  df-id 4381  df-po 4384  df-iso 4385  df-iord 4454  df-on 4456  df-suc 4459  df-iom 4680  df-xp 4722  df-rel 4723  df-cnv 4724  df-co 4725  df-dm 4726  df-rn 4727  df-res 4728  df-ima 4729  df-iota 5274  df-fun 5316  df-fn 5317  df-f 5318  df-f1 5319  df-fo 5320  df-f1o 5321  df-fv 5322  df-ov 5997  df-oprab 5998  df-mpo 5999  df-1st 6276  df-2nd 6277  df-recs 6441  df-irdg 6506  df-1o 6552  df-2o 6553  df-oadd 6556  df-omul 6557  df-er 6670  df-ec 6672  df-qs 6676  df-ni 7479  df-pli 7480  df-mi 7481  df-lti 7482  df-plpq 7519  df-mpq 7520  df-enq 7522  df-nqqs 7523  df-plqqs 7524  df-mqqs 7525  df-1nqqs 7526  df-rq 7527  df-ltnqqs 7528  df-enq0 7599  df-nq0 7600  df-0nq0 7601  df-plq0 7602  df-mq0 7603  df-inp 7641  df-i1p 7642  df-iplp 7643  df-iltp 7645  df-enr 7901  df-nr 7902  df-ltr 7905  df-0r 7906

This theorem is referenced by: (None)