Theorem rebtwn2zlemshrink 10284

Description: Lemma for rebtwn2z 10285. Shrinking the range around the given real number. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
rebtwn2zlemshrink	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝐽))) → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 2)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑚,𝑥   𝑚,𝐽

Allowed substitution hint:   𝐽(𝑥)

Proof of Theorem rebtwn2zlemshrink

Dummy variables 𝑘 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 1000	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝐽))) → 𝐽 ∈ (ℤ≥‘2))
2		3simpb 997	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝐽))) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝐽))))
3		oveq2 5904	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 2 → (𝑚 + 𝑤) = (𝑚 + 2))
4	3	breq2d 4030	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 2 → (𝐴 < (𝑚 + 𝑤) ↔ 𝐴 < (𝑚 + 2)))
5	4	anbi2d 464	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 2 → ((𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝑤)) ↔ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 2))))
6	5	rexbidv 2491	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 2 → (∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝑤)) ↔ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 2))))
7	6	anbi2d 464	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 2 → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝑤))) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 2)))))
8	7	imbi1d 231	. . 3 ⊢ (𝑤 = 2 → (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝑤))) → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 2))) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 2))) → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 2)))))
9		oveq2 5904	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → (𝑚 + 𝑤) = (𝑚 + 𝑘))
10	9	breq2d 4030	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → (𝐴 < (𝑚 + 𝑤) ↔ 𝐴 < (𝑚 + 𝑘)))
11	10	anbi2d 464	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → ((𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝑤)) ↔ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝑘))))
12	11	rexbidv 2491	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → (∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝑤)) ↔ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝑘))))
13	12	anbi2d 464	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝑤))) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝑘)))))
14	13	imbi1d 231	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝑤))) → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 2))) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝑘))) → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 2)))))
15		oveq2 5904	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = (𝑘 + 1) → (𝑚 + 𝑤) = (𝑚 + (𝑘 + 1)))
16	15	breq2d 4030	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = (𝑘 + 1) → (𝐴 < (𝑚 + 𝑤) ↔ 𝐴 < (𝑚 + (𝑘 + 1))))
17	16	anbi2d 464	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = (𝑘 + 1) → ((𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝑤)) ↔ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝑘 + 1)))))
18	17	rexbidv 2491	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = (𝑘 + 1) → (∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝑤)) ↔ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝑘 + 1)))))
19	18	anbi2d 464	. . . 4 ⊢ (𝑤 = (𝑘 + 1) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝑤))) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝑘 + 1))))))
20	19	imbi1d 231	. . 3 ⊢ (𝑤 = (𝑘 + 1) → (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝑤))) → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 2))) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝑘 + 1)))) → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 2)))))
21		oveq2 5904	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝐽 → (𝑚 + 𝑤) = (𝑚 + 𝐽))
22	21	breq2d 4030	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝐽 → (𝐴 < (𝑚 + 𝑤) ↔ 𝐴 < (𝑚 + 𝐽)))
23	22	anbi2d 464	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝐽 → ((𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝑤)) ↔ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝐽))))
24	23	rexbidv 2491	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝐽 → (∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝑤)) ↔ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝐽))))
25	24	anbi2d 464	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝐽 → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝑤))) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝐽)))))
26	25	imbi1d 231	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝐽 → (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝑤))) → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 2))) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝐽))) → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 2)))))
27		breq1 4021	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑥 → (𝑚 < 𝐴 ↔ 𝑥 < 𝐴))
28		oveq1 5903	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑥 → (𝑚 + 2) = (𝑥 + 2))
29	28	breq2d 4030	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑥 → (𝐴 < (𝑚 + 2) ↔ 𝐴 < (𝑥 + 2)))
30	27, 29	anbi12d 473	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑥 → ((𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 2)) ↔ (𝑥 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 2))))
31	30	cbvrexv 2719	. . . . 5 ⊢ (∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 2)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 2)))
32	31	biimpi 120	. . . 4 ⊢ (∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 2)) → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 2)))
33	32	adantl 277	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 2))) → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 2)))
34		rebtwn2zlemstep 10283	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝑘 + 1)))) → ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝑘)))
35	34	3expia 1207	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝑘 + 1))) → ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝑘))))
36	35	imdistanda 448	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝑘 + 1)))) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝑘)))))
37	36	imim1d 75	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘2) → (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝑘))) → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 2))) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝑘 + 1)))) → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 2)))))
38	8, 14, 20, 26, 33, 37	uzind4i 9622	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝐽))) → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 2))))
39	1, 2, 38	sylc 62	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝐽))) → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 2)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 980   = wceq 1364   ∈ wcel 2160  ∃wrex 2469   class class class wbr 4018  ‘cfv 5235  (class class class)co 5896  ℝcr 7840  1c1 7842   + caddc 7844   < clt 8022  2c2 9000  ℤcz 9283  ℤ_≥cuz 9558

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-cnex 7932  ax-resscn 7933  ax-1cn 7934  ax-1re 7935  ax-icn 7936  ax-addcl 7937  ax-addrcl 7938  ax-mulcl 7939  ax-addcom 7941  ax-addass 7943  ax-distr 7945  ax-i2m1 7946  ax-0lt1 7947  ax-0id 7949  ax-rnegex 7950  ax-cnre 7952  ax-pre-ltirr 7953  ax-pre-ltwlin 7954  ax-pre-lttrn 7955  ax-pre-ltadd 7957

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-fv 5243  df-riota 5852  df-ov 5899  df-oprab 5900  df-mpo 5901  df-pnf 8024  df-mnf 8025  df-xr 8026  df-ltxr 8027  df-le 8028  df-sub 8160  df-neg 8161  df-inn 8950  df-2 9008  df-n0 9207  df-z 9284  df-uz 9559

This theorem is referenced by:  rebtwn2z  10285