Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  rebtwn2zlemshrink GIF version

Theorem rebtwn2zlemshrink 10061
 Description: Lemma for rebtwn2z 10062. Shrinking the range around the given real number. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Oct-2021.)
Assertion
Ref Expression
rebtwn2zlemshrink ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ (ℤ‘2) ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝐽))) → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 < 𝐴𝐴 < (𝑥 + 2)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑚,𝑥   𝑚,𝐽
Allowed substitution hint:   𝐽(𝑥)

Proof of Theorem rebtwn2zlemshrink
Dummy variables 𝑘 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp2 983 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ (ℤ‘2) ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝐽))) → 𝐽 ∈ (ℤ‘2))
2 3simpb 980 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ (ℤ‘2) ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝐽))) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝐽))))
3 oveq2 5789 . . . . . . . 8 (𝑤 = 2 → (𝑚 + 𝑤) = (𝑚 + 2))
43breq2d 3948 . . . . . . 7 (𝑤 = 2 → (𝐴 < (𝑚 + 𝑤) ↔ 𝐴 < (𝑚 + 2)))
54anbi2d 460 . . . . . 6 (𝑤 = 2 → ((𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝑤)) ↔ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + 2))))
65rexbidv 2439 . . . . 5 (𝑤 = 2 → (∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝑤)) ↔ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + 2))))
76anbi2d 460 . . . 4 (𝑤 = 2 → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝑤))) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + 2)))))
87imbi1d 230 . . 3 (𝑤 = 2 → (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝑤))) → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 < 𝐴𝐴 < (𝑥 + 2))) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + 2))) → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 < 𝐴𝐴 < (𝑥 + 2)))))
9 oveq2 5789 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝑘 → (𝑚 + 𝑤) = (𝑚 + 𝑘))
109breq2d 3948 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑘 → (𝐴 < (𝑚 + 𝑤) ↔ 𝐴 < (𝑚 + 𝑘)))
1110anbi2d 460 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑘 → ((𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝑤)) ↔ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝑘))))
1211rexbidv 2439 . . . . 5 (𝑤 = 𝑘 → (∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝑤)) ↔ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝑘))))
1312anbi2d 460 . . . 4 (𝑤 = 𝑘 → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝑤))) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝑘)))))
1413imbi1d 230 . . 3 (𝑤 = 𝑘 → (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝑤))) → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 < 𝐴𝐴 < (𝑥 + 2))) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝑘))) → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 < 𝐴𝐴 < (𝑥 + 2)))))
15 oveq2 5789 . . . . . . . 8 (𝑤 = (𝑘 + 1) → (𝑚 + 𝑤) = (𝑚 + (𝑘 + 1)))
1615breq2d 3948 . . . . . . 7 (𝑤 = (𝑘 + 1) → (𝐴 < (𝑚 + 𝑤) ↔ 𝐴 < (𝑚 + (𝑘 + 1))))
1716anbi2d 460 . . . . . 6 (𝑤 = (𝑘 + 1) → ((𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝑤)) ↔ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝑘 + 1)))))
1817rexbidv 2439 . . . . 5 (𝑤 = (𝑘 + 1) → (∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝑤)) ↔ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝑘 + 1)))))
1918anbi2d 460 . . . 4 (𝑤 = (𝑘 + 1) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝑤))) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝑘 + 1))))))
2019imbi1d 230 . . 3 (𝑤 = (𝑘 + 1) → (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝑤))) → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 < 𝐴𝐴 < (𝑥 + 2))) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝑘 + 1)))) → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 < 𝐴𝐴 < (𝑥 + 2)))))
21 oveq2 5789 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝐽 → (𝑚 + 𝑤) = (𝑚 + 𝐽))
2221breq2d 3948 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝐽 → (𝐴 < (𝑚 + 𝑤) ↔ 𝐴 < (𝑚 + 𝐽)))
2322anbi2d 460 . . . . . 6 (𝑤 = 𝐽 → ((𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝑤)) ↔ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝐽))))
2423rexbidv 2439 . . . . 5 (𝑤 = 𝐽 → (∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝑤)) ↔ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝐽))))
2524anbi2d 460 . . . 4 (𝑤 = 𝐽 → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝑤))) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝐽)))))
2625imbi1d 230 . . 3 (𝑤 = 𝐽 → (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝑤))) → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 < 𝐴𝐴 < (𝑥 + 2))) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝐽))) → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 < 𝐴𝐴 < (𝑥 + 2)))))
27 breq1 3939 . . . . . . 7 (𝑚 = 𝑥 → (𝑚 < 𝐴𝑥 < 𝐴))
28 oveq1 5788 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝑥 → (𝑚 + 2) = (𝑥 + 2))
2928breq2d 3948 . . . . . . 7 (𝑚 = 𝑥 → (𝐴 < (𝑚 + 2) ↔ 𝐴 < (𝑥 + 2)))
3027, 29anbi12d 465 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑥 → ((𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + 2)) ↔ (𝑥 < 𝐴𝐴 < (𝑥 + 2))))
3130cbvrexv 2658 . . . . 5 (∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + 2)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 < 𝐴𝐴 < (𝑥 + 2)))
3231biimpi 119 . . . 4 (∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + 2)) → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 < 𝐴𝐴 < (𝑥 + 2)))
3332adantl 275 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + 2))) → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 < 𝐴𝐴 < (𝑥 + 2)))
34 rebtwn2zlemstep 10060 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝑘 + 1)))) → ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝑘)))
35343expia 1184 . . . . 5 ((𝑘 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝑘 + 1))) → ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝑘))))
3635imdistanda 445 . . . 4 (𝑘 ∈ (ℤ‘2) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝑘 + 1)))) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝑘)))))
3736imim1d 75 . . 3 (𝑘 ∈ (ℤ‘2) → (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝑘))) → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 < 𝐴𝐴 < (𝑥 + 2))) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝑘 + 1)))) → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 < 𝐴𝐴 < (𝑥 + 2)))))
388, 14, 20, 26, 33, 37uzind4i 9413 . 2 (𝐽 ∈ (ℤ‘2) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝐽))) → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 < 𝐴𝐴 < (𝑥 + 2))))
391, 2, 38sylc 62 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ (ℤ‘2) ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝐽))) → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 < 𝐴𝐴 < (𝑥 + 2)))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∧ w3a 963   = wceq 1332   ∈ wcel 1481  ∃wrex 2418   class class class wbr 3936  ‘cfv 5130  (class class class)co 5781  ℝcr 7642  1c1 7644   + caddc 7646   < clt 7823  2c2 8794  ℤcz 9077  ℤ≥cuz 9349 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4053  ax-pow 4105  ax-pr 4138  ax-un 4362  ax-setind 4459  ax-cnex 7734  ax-resscn 7735  ax-1cn 7736  ax-1re 7737  ax-icn 7738  ax-addcl 7739  ax-addrcl 7740  ax-mulcl 7741  ax-addcom 7743  ax-addass 7745  ax-distr 7747  ax-i2m1 7748  ax-0lt1 7749  ax-0id 7751  ax-rnegex 7752  ax-cnre 7754  ax-pre-ltirr 7755  ax-pre-ltwlin 7756  ax-pre-lttrn 7757  ax-pre-ltadd 7759 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2913  df-dif 3077  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-op 3540  df-uni 3744  df-int 3779  df-br 3937  df-opab 3997  df-mpt 3998  df-id 4222  df-xp 4552  df-rel 4553  df-cnv 4554  df-co 4555  df-dm 4556  df-rn 4557  df-res 4558  df-ima 4559  df-iota 5095  df-fun 5132  df-fn 5133  df-f 5134  df-fv 5138  df-riota 5737  df-ov 5784  df-oprab 5785  df-mpo 5786  df-pnf 7825  df-mnf 7826  df-xr 7827  df-ltxr 7828  df-le 7829  df-sub 7958  df-neg 7959  df-inn 8744  df-2 8802  df-n0 9001  df-z 9078  df-uz 9350 This theorem is referenced by:  rebtwn2z  10062
 Copyright terms: Public domain W3C validator