ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  rebtwn2zlemshrink GIF version

Theorem rebtwn2zlemshrink 9554
Description: Lemma for rebtwn2z 9555. Shrinking the range around the given real number. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Oct-2021.)
Assertion
Ref Expression
rebtwn2zlemshrink ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ (ℤ‘2) ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝐽))) → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 < 𝐴𝐴 < (𝑥 + 2)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑚,𝑥   𝑚,𝐽
Allowed substitution hint:   𝐽(𝑥)

Proof of Theorem rebtwn2zlemshrink
Dummy variables 𝑘 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp2 940 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ (ℤ‘2) ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝐽))) → 𝐽 ∈ (ℤ‘2))
2 3simpb 937 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ (ℤ‘2) ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝐽))) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝐽))))
3 2z 8674 . . 3 2 ∈ ℤ
4 oveq2 5599 . . . . . . . 8 (𝑤 = 2 → (𝑚 + 𝑤) = (𝑚 + 2))
54breq2d 3823 . . . . . . 7 (𝑤 = 2 → (𝐴 < (𝑚 + 𝑤) ↔ 𝐴 < (𝑚 + 2)))
65anbi2d 452 . . . . . 6 (𝑤 = 2 → ((𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝑤)) ↔ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + 2))))
76rexbidv 2375 . . . . 5 (𝑤 = 2 → (∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝑤)) ↔ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + 2))))
87anbi2d 452 . . . 4 (𝑤 = 2 → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝑤))) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + 2)))))
98imbi1d 229 . . 3 (𝑤 = 2 → (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝑤))) → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 < 𝐴𝐴 < (𝑥 + 2))) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + 2))) → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 < 𝐴𝐴 < (𝑥 + 2)))))
10 oveq2 5599 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝑘 → (𝑚 + 𝑤) = (𝑚 + 𝑘))
1110breq2d 3823 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑘 → (𝐴 < (𝑚 + 𝑤) ↔ 𝐴 < (𝑚 + 𝑘)))
1211anbi2d 452 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑘 → ((𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝑤)) ↔ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝑘))))
1312rexbidv 2375 . . . . 5 (𝑤 = 𝑘 → (∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝑤)) ↔ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝑘))))
1413anbi2d 452 . . . 4 (𝑤 = 𝑘 → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝑤))) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝑘)))))
1514imbi1d 229 . . 3 (𝑤 = 𝑘 → (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝑤))) → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 < 𝐴𝐴 < (𝑥 + 2))) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝑘))) → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 < 𝐴𝐴 < (𝑥 + 2)))))
16 oveq2 5599 . . . . . . . 8 (𝑤 = (𝑘 + 1) → (𝑚 + 𝑤) = (𝑚 + (𝑘 + 1)))
1716breq2d 3823 . . . . . . 7 (𝑤 = (𝑘 + 1) → (𝐴 < (𝑚 + 𝑤) ↔ 𝐴 < (𝑚 + (𝑘 + 1))))
1817anbi2d 452 . . . . . 6 (𝑤 = (𝑘 + 1) → ((𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝑤)) ↔ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝑘 + 1)))))
1918rexbidv 2375 . . . . 5 (𝑤 = (𝑘 + 1) → (∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝑤)) ↔ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝑘 + 1)))))
2019anbi2d 452 . . . 4 (𝑤 = (𝑘 + 1) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝑤))) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝑘 + 1))))))
2120imbi1d 229 . . 3 (𝑤 = (𝑘 + 1) → (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝑤))) → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 < 𝐴𝐴 < (𝑥 + 2))) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝑘 + 1)))) → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 < 𝐴𝐴 < (𝑥 + 2)))))
22 oveq2 5599 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝐽 → (𝑚 + 𝑤) = (𝑚 + 𝐽))
2322breq2d 3823 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝐽 → (𝐴 < (𝑚 + 𝑤) ↔ 𝐴 < (𝑚 + 𝐽)))
2423anbi2d 452 . . . . . 6 (𝑤 = 𝐽 → ((𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝑤)) ↔ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝐽))))
2524rexbidv 2375 . . . . 5 (𝑤 = 𝐽 → (∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝑤)) ↔ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝐽))))
2625anbi2d 452 . . . 4 (𝑤 = 𝐽 → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝑤))) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝐽)))))
2726imbi1d 229 . . 3 (𝑤 = 𝐽 → (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝑤))) → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 < 𝐴𝐴 < (𝑥 + 2))) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝐽))) → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 < 𝐴𝐴 < (𝑥 + 2)))))
28 breq1 3814 . . . . . . 7 (𝑚 = 𝑥 → (𝑚 < 𝐴𝑥 < 𝐴))
29 oveq1 5598 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝑥 → (𝑚 + 2) = (𝑥 + 2))
3029breq2d 3823 . . . . . . 7 (𝑚 = 𝑥 → (𝐴 < (𝑚 + 2) ↔ 𝐴 < (𝑥 + 2)))
3128, 30anbi12d 457 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑥 → ((𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + 2)) ↔ (𝑥 < 𝐴𝐴 < (𝑥 + 2))))
3231cbvrexv 2584 . . . . 5 (∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + 2)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 < 𝐴𝐴 < (𝑥 + 2)))
3332biimpi 118 . . . 4 (∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + 2)) → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 < 𝐴𝐴 < (𝑥 + 2)))
3433adantl 271 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + 2))) → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 < 𝐴𝐴 < (𝑥 + 2)))
35 rebtwn2zlemstep 9553 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝑘 + 1)))) → ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝑘)))
36353expia 1141 . . . . 5 ((𝑘 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝑘 + 1))) → ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝑘))))
3736imdistanda 437 . . . 4 (𝑘 ∈ (ℤ‘2) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝑘 + 1)))) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝑘)))))
3837imim1d 74 . . 3 (𝑘 ∈ (ℤ‘2) → (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝑘))) → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 < 𝐴𝐴 < (𝑥 + 2))) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝑘 + 1)))) → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 < 𝐴𝐴 < (𝑥 + 2)))))
393, 9, 15, 21, 27, 34, 38uzind4i 8975 . 2 (𝐽 ∈ (ℤ‘2) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝐽))) → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 < 𝐴𝐴 < (𝑥 + 2))))
401, 2, 39sylc 61 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ (ℤ‘2) ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝐽))) → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 < 𝐴𝐴 < (𝑥 + 2)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  w3a 920   = wceq 1285  wcel 1434  wrex 2354   class class class wbr 3811  cfv 4969  (class class class)co 5591  cr 7252  1c1 7254   + caddc 7256   < clt 7425  2c2 8366  cz 8646  cuz 8914
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3922  ax-pow 3974  ax-pr 4000  ax-un 4224  ax-setind 4316  ax-cnex 7339  ax-resscn 7340  ax-1cn 7341  ax-1re 7342  ax-icn 7343  ax-addcl 7344  ax-addrcl 7345  ax-mulcl 7346  ax-addcom 7348  ax-addass 7350  ax-distr 7352  ax-i2m1 7353  ax-0lt1 7354  ax-0id 7356  ax-rnegex 7357  ax-cnre 7359  ax-pre-ltirr 7360  ax-pre-ltwlin 7361  ax-pre-lttrn 7362  ax-pre-ltadd 7364
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2614  df-sbc 2827  df-dif 2986  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-uni 3628  df-int 3663  df-br 3812  df-opab 3866  df-mpt 3867  df-id 4084  df-xp 4407  df-rel 4408  df-cnv 4409  df-co 4410  df-dm 4411  df-rn 4412  df-res 4413  df-ima 4414  df-iota 4934  df-fun 4971  df-fn 4972  df-f 4973  df-fv 4977  df-riota 5547  df-ov 5594  df-oprab 5595  df-mpt2 5596  df-pnf 7427  df-mnf 7428  df-xr 7429  df-ltxr 7430  df-le 7431  df-sub 7558  df-neg 7559  df-inn 8317  df-2 8375  df-n0 8566  df-z 8647  df-uz 8915
This theorem is referenced by:  rebtwn2z  9555
  Copyright terms: Public domain W3C validator