Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  resin4p GIF version

Theorem resin4p 11431
 Description: Separate out the first four terms of the infinite series expansion of the sine of a real number. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
efi4p.1 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))
Assertion
Ref Expression
resin4p (𝐴 ∈ ℝ → (sin‘𝐴) = ((𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)) + (ℑ‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)(𝐹𝑘))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘,𝑛   𝑘,𝐹
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑛)

Proof of Theorem resin4p
StepHypRef Expression
1 resinval 11428 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → (sin‘𝐴) = (ℑ‘(exp‘(i · 𝐴))))
2 recn 7760 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
3 efi4p.1 . . . . . 6 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))
43efi4p 11430 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐴)) = (((1 − ((𝐴↑2) / 2)) + (i · (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)))) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)(𝐹𝑘)))
52, 4syl 14 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (exp‘(i · 𝐴)) = (((1 − ((𝐴↑2) / 2)) + (i · (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)))) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)(𝐹𝑘)))
65fveq2d 5425 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → (ℑ‘(exp‘(i · 𝐴))) = (ℑ‘(((1 − ((𝐴↑2) / 2)) + (i · (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)))) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)(𝐹𝑘))))
7 1re 7772 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ
8 resqcl 10367 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
98rehalfcld 8973 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴↑2) / 2) ∈ ℝ)
10 resubcl 8033 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℝ ∧ ((𝐴↑2) / 2) ∈ ℝ) → (1 − ((𝐴↑2) / 2)) ∈ ℝ)
117, 9, 10sylancr 410 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (1 − ((𝐴↑2) / 2)) ∈ ℝ)
1211recnd 7801 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (1 − ((𝐴↑2) / 2)) ∈ ℂ)
13 ax-icn 7722 . . . . . 6 i ∈ ℂ
14 3nn0 9002 . . . . . . . . . 10 3 ∈ ℕ0
15 reexpcl 10317 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℕ0) → (𝐴↑3) ∈ ℝ)
1614, 15mpan2 421 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴↑3) ∈ ℝ)
17 6re 8808 . . . . . . . . . 10 6 ∈ ℝ
18 6pos 8828 . . . . . . . . . . 11 0 < 6
1917, 18gt0ap0ii 8397 . . . . . . . . . 10 6 # 0
20 redivclap 8498 . . . . . . . . . 10 (((𝐴↑3) ∈ ℝ ∧ 6 ∈ ℝ ∧ 6 # 0) → ((𝐴↑3) / 6) ∈ ℝ)
2117, 19, 20mp3an23 1307 . . . . . . . . 9 ((𝐴↑3) ∈ ℝ → ((𝐴↑3) / 6) ∈ ℝ)
2216, 21syl 14 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴↑3) / 6) ∈ ℝ)
23 resubcl 8033 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝐴↑3) / 6) ∈ ℝ) → (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)) ∈ ℝ)
2422, 23mpdan 417 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)) ∈ ℝ)
2524recnd 7801 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)) ∈ ℂ)
26 mulcl 7754 . . . . . 6 ((i ∈ ℂ ∧ (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)) ∈ ℂ) → (i · (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6))) ∈ ℂ)
2713, 25, 26sylancr 410 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (i · (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6))) ∈ ℂ)
2812, 27addcld 7792 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → ((1 − ((𝐴↑2) / 2)) + (i · (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)))) ∈ ℂ)
29 mulcl 7754 . . . . . 6 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
3013, 2, 29sylancr 410 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
31 4nn0 9003 . . . . 5 4 ∈ ℕ0
323eftlcl 11401 . . . . 5 (((i · 𝐴) ∈ ℂ ∧ 4 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)
3330, 31, 32sylancl 409 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)
3428, 33imaddd 10739 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → (ℑ‘(((1 − ((𝐴↑2) / 2)) + (i · (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)))) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)(𝐹𝑘))) = ((ℑ‘((1 − ((𝐴↑2) / 2)) + (i · (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6))))) + (ℑ‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)(𝐹𝑘))))
3511, 24crimd 10756 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (ℑ‘((1 − ((𝐴↑2) / 2)) + (i · (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6))))) = (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)))
3635oveq1d 5789 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → ((ℑ‘((1 − ((𝐴↑2) / 2)) + (i · (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6))))) + (ℑ‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)(𝐹𝑘))) = ((𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)) + (ℑ‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)(𝐹𝑘))))
376, 34, 363eqtrd 2176 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → (ℑ‘(exp‘(i · 𝐴))) = ((𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)) + (ℑ‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)(𝐹𝑘))))
381, 37eqtrd 2172 1 (𝐴 ∈ ℝ → (sin‘𝐴) = ((𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)) + (ℑ‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)(𝐹𝑘))))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1331   ∈ wcel 1480   class class class wbr 3929   ↦ cmpt 3989  ‘cfv 5123  (class class class)co 5774  ℂcc 7625  ℝcr 7626  0cc0 7627  1c1 7628  ici 7629   + caddc 7630   · cmul 7632   − cmin 7940   # cap 8350   / cdiv 8439  2c2 8778  3c3 8779  4c4 8780  6c6 8782  ℕ0cn0 8984  ℤ≥cuz 9333  ↑cexp 10299  !cfa 10478  ℑcim 10620  Σcsu 11129  expce 11355  sincsin 11357 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7718  ax-resscn 7719  ax-1cn 7720  ax-1re 7721  ax-icn 7722  ax-addcl 7723  ax-addrcl 7724  ax-mulcl 7725  ax-mulrcl 7726  ax-addcom 7727  ax-mulcom 7728  ax-addass 7729  ax-mulass 7730  ax-distr 7731  ax-i2m1 7732  ax-0lt1 7733  ax-1rid 7734  ax-0id 7735  ax-rnegex 7736  ax-precex 7737  ax-cnre 7738  ax-pre-ltirr 7739  ax-pre-ltwlin 7740  ax-pre-lttrn 7741  ax-pre-apti 7742  ax-pre-ltadd 7743  ax-pre-mulgt0 7744  ax-pre-mulext 7745  ax-arch 7746  ax-caucvg 7747 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-isom 5132  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-frec 6288  df-1o 6313  df-oadd 6317  df-er 6429  df-en 6635  df-dom 6636  df-fin 6637  df-pnf 7809  df-mnf 7810  df-xr 7811  df-ltxr 7812  df-le 7813  df-sub 7942  df-neg 7943  df-reap 8344  df-ap 8351  df-div 8440  df-inn 8728  df-2 8786  df-3 8787  df-4 8788  df-5 8789  df-6 8790  df-n0 8985  df-z 9062  df-uz 9334  df-q 9419  df-rp 9449  df-ico 9684  df-fz 9798  df-fzo 9927  df-seqfrec 10226  df-exp 10300  df-fac 10479  df-ihash 10529  df-cj 10621  df-re 10622  df-im 10623  df-rsqrt 10777  df-abs 10778  df-clim 11055  df-sumdc 11130  df-ef 11361  df-sin 11363 This theorem is referenced by:  sin01bnd  11470
 Copyright terms: Public domain W3C validator