Theorem resin4p 11761

Description: Separate out the first four terms of the infinite series expansion of the sine of a real number. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
efi4p.1	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))

Assertion

Ref	Expression
resin4p	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (sin‘𝐴) = ((𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)) + (ℑ‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)(𝐹‘𝑘))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘,𝑛   𝑘,𝐹

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑛)

Proof of Theorem resin4p

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resinval 11758	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (sin‘𝐴) = (ℑ‘(exp‘(i · 𝐴))))
2		recn 7975	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
3		efi4p.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))
4	3	efi4p 11760	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐴)) = (((1 − ((𝐴↑2) / 2)) + (i · (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)))) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)(𝐹‘𝑘)))
5	2, 4	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (exp‘(i · 𝐴)) = (((1 − ((𝐴↑2) / 2)) + (i · (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)))) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)(𝐹‘𝑘)))
6	5	fveq2d 5538	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (ℑ‘(exp‘(i · 𝐴))) = (ℑ‘(((1 − ((𝐴↑2) / 2)) + (i · (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)))) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)(𝐹‘𝑘))))
7		1re 7987	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ
8		resqcl 10622	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
9	8	rehalfcld 9196	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴↑2) / 2) ∈ ℝ)
10		resubcl 8252	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ ((𝐴↑2) / 2) ∈ ℝ) → (1 − ((𝐴↑2) / 2)) ∈ ℝ)
11	7, 9, 10	sylancr 414	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (1 − ((𝐴↑2) / 2)) ∈ ℝ)
12	11	recnd 8017	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (1 − ((𝐴↑2) / 2)) ∈ ℂ)
13		ax-icn 7937	. . . . . 6 ⊢ i ∈ ℂ
14		3nn0 9225	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℕ0
15		reexpcl 10571	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℕ0) → (𝐴↑3) ∈ ℝ)
16	14, 15	mpan2 425	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴↑3) ∈ ℝ)
17		6re 9031	. . . . . . . . . 10 ⊢ 6 ∈ ℝ
18		6pos 9051	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < 6
19	17, 18	gt0ap0ii 8616	. . . . . . . . . 10 ⊢ 6 # 0
20		redivclap 8719	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴↑3) ∈ ℝ ∧ 6 ∈ ℝ ∧ 6 # 0) → ((𝐴↑3) / 6) ∈ ℝ)
21	17, 19, 20	mp3an23 1340	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴↑3) ∈ ℝ → ((𝐴↑3) / 6) ∈ ℝ)
22	16, 21	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴↑3) / 6) ∈ ℝ)
23		resubcl 8252	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝐴↑3) / 6) ∈ ℝ) → (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)) ∈ ℝ)
24	22, 23	mpdan 421	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)) ∈ ℝ)
25	24	recnd 8017	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)) ∈ ℂ)
26		mulcl 7969	. . . . . 6 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)) ∈ ℂ) → (i · (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6))) ∈ ℂ)
27	13, 25, 26	sylancr 414	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (i · (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6))) ∈ ℂ)
28	12, 27	addcld 8008	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((1 − ((𝐴↑2) / 2)) + (i · (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)))) ∈ ℂ)
29		mulcl 7969	. . . . . 6 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
30	13, 2, 29	sylancr 414	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
31		4nn0 9226	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℕ0
32	3	eftlcl 11731	. . . . 5 ⊢ (((i · 𝐴) ∈ ℂ ∧ 4 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)(𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
33	30, 31, 32	sylancl 413	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)(𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
34	28, 33	imaddd 11004	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (ℑ‘(((1 − ((𝐴↑2) / 2)) + (i · (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)))) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)(𝐹‘𝑘))) = ((ℑ‘((1 − ((𝐴↑2) / 2)) + (i · (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6))))) + (ℑ‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)(𝐹‘𝑘))))
35	11, 24	crimd 11021	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (ℑ‘((1 − ((𝐴↑2) / 2)) + (i · (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6))))) = (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)))
36	35	oveq1d 5912	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((ℑ‘((1 − ((𝐴↑2) / 2)) + (i · (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6))))) + (ℑ‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)(𝐹‘𝑘))) = ((𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)) + (ℑ‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)(𝐹‘𝑘))))
37	6, 34, 36	3eqtrd 2226	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (ℑ‘(exp‘(i · 𝐴))) = ((𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)) + (ℑ‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)(𝐹‘𝑘))))
38	1, 37	eqtrd 2222	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (sin‘𝐴) = ((𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)) + (ℑ‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)(𝐹‘𝑘))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1364   ∈ wcel 2160   class class class wbr 4018   ↦ cmpt 4079  ‘cfv 5235  (class class class)co 5897  ℂcc 7840  ℝcr 7841  0cc0 7842  1c1 7843  ici 7844   + caddc 7845   · cmul 7847   − cmin 8159   # cap 8569   / cdiv 8660  2c2 9001  3c3 9002  4c4 9003  6c6 9005  ℕ₀cn0 9207  ℤ_≥cuz 9559  ↑cexp 10553  !cfa 10740  ℑcim 10885  Σcsu 11396  expce 11685  sincsin 11687

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605  ax-cnex 7933  ax-resscn 7934  ax-1cn 7935  ax-1re 7936  ax-icn 7937  ax-addcl 7938  ax-addrcl 7939  ax-mulcl 7940  ax-mulrcl 7941  ax-addcom 7942  ax-mulcom 7943  ax-addass 7944  ax-mulass 7945  ax-distr 7946  ax-i2m1 7947  ax-0lt1 7948  ax-1rid 7949  ax-0id 7950  ax-rnegex 7951  ax-precex 7952  ax-cnre 7953  ax-pre-ltirr 7954  ax-pre-ltwlin 7955  ax-pre-lttrn 7956  ax-pre-apti 7957  ax-pre-ltadd 7958  ax-pre-mulgt0 7959  ax-pre-mulext 7960  ax-arch 7961  ax-caucvg 7962

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4311  df-po 4314  df-iso 4315  df-iord 4384  df-on 4386  df-ilim 4387  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-isom 5244  df-riota 5852  df-ov 5900  df-oprab 5901  df-mpo 5902  df-1st 6166  df-2nd 6167  df-recs 6331  df-irdg 6396  df-frec 6417  df-1o 6442  df-oadd 6446  df-er 6560  df-en 6768  df-dom 6769  df-fin 6770  df-pnf 8025  df-mnf 8026  df-xr 8027  df-ltxr 8028  df-le 8029  df-sub 8161  df-neg 8162  df-reap 8563  df-ap 8570  df-div 8661  df-inn 8951  df-2 9009  df-3 9010  df-4 9011  df-5 9012  df-6 9013  df-n0 9208  df-z 9285  df-uz 9560  df-q 9652  df-rp 9686  df-ico 9926  df-fz 10041  df-fzo 10175  df-seqfrec 10479  df-exp 10554  df-fac 10741  df-ihash 10791  df-cj 10886  df-re 10887  df-im 10888  df-rsqrt 11042  df-abs 11043  df-clim 11322  df-sumdc 11397  df-ef 11691  df-sin 11693

This theorem is referenced by:  sin01bnd  11800