Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  resin4p GIF version

Theorem resin4p 11070
 Description: Separate out the first four terms of the infinite series expansion of the sine of a real number. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
efi4p.1 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))
Assertion
Ref Expression
resin4p (𝐴 ∈ ℝ → (sin‘𝐴) = ((𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)) + (ℑ‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)(𝐹𝑘))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘,𝑛   𝑘,𝐹
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑛)

Proof of Theorem resin4p
StepHypRef Expression
1 resinval 11067 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → (sin‘𝐴) = (ℑ‘(exp‘(i · 𝐴))))
2 recn 7536 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
3 efi4p.1 . . . . . 6 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))
43efi4p 11069 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐴)) = (((1 − ((𝐴↑2) / 2)) + (i · (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)))) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)(𝐹𝑘)))
52, 4syl 14 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (exp‘(i · 𝐴)) = (((1 − ((𝐴↑2) / 2)) + (i · (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)))) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)(𝐹𝑘)))
65fveq2d 5322 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → (ℑ‘(exp‘(i · 𝐴))) = (ℑ‘(((1 − ((𝐴↑2) / 2)) + (i · (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)))) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)(𝐹𝑘))))
7 1re 7548 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ
8 resqcl 10083 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
98rehalfcld 8723 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴↑2) / 2) ∈ ℝ)
10 resubcl 7807 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℝ ∧ ((𝐴↑2) / 2) ∈ ℝ) → (1 − ((𝐴↑2) / 2)) ∈ ℝ)
117, 9, 10sylancr 406 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (1 − ((𝐴↑2) / 2)) ∈ ℝ)
1211recnd 7577 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (1 − ((𝐴↑2) / 2)) ∈ ℂ)
13 ax-icn 7501 . . . . . 6 i ∈ ℂ
14 3nn0 8752 . . . . . . . . . 10 3 ∈ ℕ0
15 reexpcl 10033 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℕ0) → (𝐴↑3) ∈ ℝ)
1614, 15mpan2 417 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴↑3) ∈ ℝ)
17 6re 8564 . . . . . . . . . 10 6 ∈ ℝ
18 6pos 8584 . . . . . . . . . . 11 0 < 6
1917, 18gt0ap0ii 8165 . . . . . . . . . 10 6 # 0
20 redivclap 8259 . . . . . . . . . 10 (((𝐴↑3) ∈ ℝ ∧ 6 ∈ ℝ ∧ 6 # 0) → ((𝐴↑3) / 6) ∈ ℝ)
2117, 19, 20mp3an23 1266 . . . . . . . . 9 ((𝐴↑3) ∈ ℝ → ((𝐴↑3) / 6) ∈ ℝ)
2216, 21syl 14 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴↑3) / 6) ∈ ℝ)
23 resubcl 7807 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝐴↑3) / 6) ∈ ℝ) → (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)) ∈ ℝ)
2422, 23mpdan 413 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)) ∈ ℝ)
2524recnd 7577 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)) ∈ ℂ)
26 mulcl 7530 . . . . . 6 ((i ∈ ℂ ∧ (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)) ∈ ℂ) → (i · (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6))) ∈ ℂ)
2713, 25, 26sylancr 406 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (i · (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6))) ∈ ℂ)
2812, 27addcld 7568 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → ((1 − ((𝐴↑2) / 2)) + (i · (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)))) ∈ ℂ)
29 mulcl 7530 . . . . . 6 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
3013, 2, 29sylancr 406 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
31 4nn0 8753 . . . . 5 4 ∈ ℕ0
323eftlcl 11039 . . . . 5 (((i · 𝐴) ∈ ℂ ∧ 4 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)
3330, 31, 32sylancl 405 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)
3428, 33imaddd 10455 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → (ℑ‘(((1 − ((𝐴↑2) / 2)) + (i · (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)))) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)(𝐹𝑘))) = ((ℑ‘((1 − ((𝐴↑2) / 2)) + (i · (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6))))) + (ℑ‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)(𝐹𝑘))))
3511, 24crimd 10472 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (ℑ‘((1 − ((𝐴↑2) / 2)) + (i · (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6))))) = (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)))
3635oveq1d 5681 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → ((ℑ‘((1 − ((𝐴↑2) / 2)) + (i · (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6))))) + (ℑ‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)(𝐹𝑘))) = ((𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)) + (ℑ‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)(𝐹𝑘))))
376, 34, 363eqtrd 2125 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → (ℑ‘(exp‘(i · 𝐴))) = ((𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)) + (ℑ‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)(𝐹𝑘))))
381, 37eqtrd 2121 1 (𝐴 ∈ ℝ → (sin‘𝐴) = ((𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)) + (ℑ‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)(𝐹𝑘))))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1290   ∈ wcel 1439   class class class wbr 3851   ↦ cmpt 3905  ‘cfv 5028  (class class class)co 5666  ℂcc 7409  ℝcr 7410  0cc0 7411  1c1 7412  ici 7413   + caddc 7414   · cmul 7416   − cmin 7714   # cap 8119   / cdiv 8200  2c2 8534  3c3 8535  4c4 8536  6c6 8538  ℕ0cn0 8734  ℤ≥cuz 9080  ↑cexp 10015  !cfa 10194  ℑcim 10336  Σcsu 10803  expce 10993  sincsin 10995 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-coll 3960  ax-sep 3963  ax-nul 3971  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-un 4269  ax-setind 4366  ax-iinf 4416  ax-cnex 7497  ax-resscn 7498  ax-1cn 7499  ax-1re 7500  ax-icn 7501  ax-addcl 7502  ax-addrcl 7503  ax-mulcl 7504  ax-mulrcl 7505  ax-addcom 7506  ax-mulcom 7507  ax-addass 7508  ax-mulass 7509  ax-distr 7510  ax-i2m1 7511  ax-0lt1 7512  ax-1rid 7513  ax-0id 7514  ax-rnegex 7515  ax-precex 7516  ax-cnre 7517  ax-pre-ltirr 7518  ax-pre-ltwlin 7519  ax-pre-lttrn 7520  ax-pre-apti 7521  ax-pre-ltadd 7522  ax-pre-mulgt0 7523  ax-pre-mulext 7524  ax-arch 7525  ax-caucvg 7526 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 782  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rmo 2368  df-rab 2369  df-v 2622  df-sbc 2842  df-csb 2935  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-nul 3288  df-if 3398  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-int 3695  df-iun 3738  df-br 3852  df-opab 3906  df-mpt 3907  df-tr 3943  df-id 4129  df-po 4132  df-iso 4133  df-iord 4202  df-on 4204  df-ilim 4205  df-suc 4207  df-iom 4419  df-xp 4458  df-rel 4459  df-cnv 4460  df-co 4461  df-dm 4462  df-rn 4463  df-res 4464  df-ima 4465  df-iota 4993  df-fun 5030  df-fn 5031  df-f 5032  df-f1 5033  df-fo 5034  df-f1o 5035  df-fv 5036  df-isom 5037  df-riota 5622  df-ov 5669  df-oprab 5670  df-mpt2 5671  df-1st 5925  df-2nd 5926  df-recs 6084  df-irdg 6149  df-frec 6170  df-1o 6195  df-oadd 6199  df-er 6306  df-en 6512  df-dom 6513  df-fin 6514  df-pnf 7585  df-mnf 7586  df-xr 7587  df-ltxr 7588  df-le 7589  df-sub 7716  df-neg 7717  df-reap 8113  df-ap 8120  df-div 8201  df-inn 8484  df-2 8542  df-3 8543  df-4 8544  df-5 8545  df-6 8546  df-n0 8735  df-z 8812  df-uz 9081  df-q 9166  df-rp 9196  df-ico 9373  df-fz 9486  df-fzo 9615  df-iseq 9914  df-seq3 9915  df-exp 10016  df-fac 10195  df-ihash 10245  df-cj 10337  df-re 10338  df-im 10339  df-rsqrt 10492  df-abs 10493  df-clim 10728  df-isum 10804  df-ef 10999  df-sin 11001 This theorem is referenced by:  sin01bnd  11109
 Copyright terms: Public domain W3C validator