Theorem rerecapb 8870

Description: A real number has a multiplicative inverse if and only if it is apart from zero. Theorem 11.2.4 of [HoTT], p. (varies). (Contributed by Jim Kingdon, 18-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
rerecapb	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 # 0 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 · 𝑥) = 1))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem rerecapb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rerecclap 8757	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 # 0) → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
2		recn 8012	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
3		recidap 8713	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) → (𝐴 · (1 / 𝐴)) = 1)
4	2, 3	sylan 283	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 # 0) → (𝐴 · (1 / 𝐴)) = 1)
5		oveq2 5930	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (1 / 𝐴) → (𝐴 · 𝑥) = (𝐴 · (1 / 𝐴)))
6	5	eqeq1d 2205	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (1 / 𝐴) → ((𝐴 · 𝑥) = 1 ↔ (𝐴 · (1 / 𝐴)) = 1))
7	6	rspcev 2868	. . . 4 ⊢ (((1 / 𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝐴 · (1 / 𝐴)) = 1) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 · 𝑥) = 1)
8	1, 4, 7	syl2anc 411	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 # 0) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 · 𝑥) = 1)
9	8	ex 115	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 # 0 → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 · 𝑥) = 1))
10		ax-resscn 7971	. . . 4 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
11		ssrexv 3248	. . . 4 ⊢ (ℝ ⊆ ℂ → (∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 · 𝑥) = 1 → ∃𝑥 ∈ ℂ (𝐴 · 𝑥) = 1))
12	10, 11	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 · 𝑥) = 1 → ∃𝑥 ∈ ℂ (𝐴 · 𝑥) = 1)
13		recapb 8698	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 # 0 ↔ ∃𝑥 ∈ ℂ (𝐴 · 𝑥) = 1))
14	13	biimprd 158	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (∃𝑥 ∈ ℂ (𝐴 · 𝑥) = 1 → 𝐴 # 0))
15	2, 12, 14	syl2im 38	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 · 𝑥) = 1 → 𝐴 # 0))
16	9, 15	impbid 129	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 # 0 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 · 𝑥) = 1))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  ∃wrex 2476   ⊆ wss 3157   class class class wbr 4033  (class class class)co 5922  ℂcc 7877  ℝcr 7878  0cc0 7879  1c1 7880   · cmul 7884   # cap 8608   / cdiv 8699

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-mulrcl 7978  ax-addcom 7979  ax-mulcom 7980  ax-addass 7981  ax-mulass 7982  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-1rid 7986  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-precex 7989  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-apti 7994  ax-pre-ltadd 7995  ax-pre-mulgt0 7996  ax-pre-mulext 7997

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-br 4034  df-opab 4095  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-reap 8602  df-ap 8609  df-div 8700

This theorem is referenced by: (None)