Theorem rerecapb 8798

Description: A real number has a multiplicative inverse if and only if it is apart from zero. Theorem 11.2.4 of [HoTT], p. (varies). (Contributed by Jim Kingdon, 18-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
rerecapb	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 # 0 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 · 𝑥) = 1))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem rerecapb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rerecclap 8685	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 # 0) → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
2		recn 7943	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
3		recidap 8641	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) → (𝐴 · (1 / 𝐴)) = 1)
4	2, 3	sylan 283	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 # 0) → (𝐴 · (1 / 𝐴)) = 1)
5		oveq2 5882	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (1 / 𝐴) → (𝐴 · 𝑥) = (𝐴 · (1 / 𝐴)))
6	5	eqeq1d 2186	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (1 / 𝐴) → ((𝐴 · 𝑥) = 1 ↔ (𝐴 · (1 / 𝐴)) = 1))
7	6	rspcev 2841	. . . 4 ⊢ (((1 / 𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝐴 · (1 / 𝐴)) = 1) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 · 𝑥) = 1)
8	1, 4, 7	syl2anc 411	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 # 0) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 · 𝑥) = 1)
9	8	ex 115	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 # 0 → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 · 𝑥) = 1))
10		ax-resscn 7902	. . . 4 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
11		ssrexv 3220	. . . 4 ⊢ (ℝ ⊆ ℂ → (∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 · 𝑥) = 1 → ∃𝑥 ∈ ℂ (𝐴 · 𝑥) = 1))
12	10, 11	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 · 𝑥) = 1 → ∃𝑥 ∈ ℂ (𝐴 · 𝑥) = 1)
13		recapb 8626	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 # 0 ↔ ∃𝑥 ∈ ℂ (𝐴 · 𝑥) = 1))
14	13	biimprd 158	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (∃𝑥 ∈ ℂ (𝐴 · 𝑥) = 1 → 𝐴 # 0))
15	2, 12, 14	syl2im 38	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 · 𝑥) = 1 → 𝐴 # 0))
16	9, 15	impbid 129	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 # 0 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 · 𝑥) = 1))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  ∃wrex 2456   ⊆ wss 3129   class class class wbr 4003  (class class class)co 5874  ℂcc 7808  ℝcr 7809  0cc0 7810  1c1 7811   · cmul 7815   # cap 8536   / cdiv 8627

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-precex 7920  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926  ax-pre-mulgt0 7927  ax-pre-mulext 7928

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-br 4004  df-opab 4065  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-pnf 7992  df-mnf 7993  df-xr 7994  df-ltxr 7995  df-le 7996  df-sub 8128  df-neg 8129  df-reap 8530  df-ap 8537  df-div 8628

This theorem is referenced by: (None)