Theorem rerecapb 8936

Description: A real number has a multiplicative inverse if and only if it is apart from zero. Theorem 11.2.4 of [HoTT], p. (varies). (Contributed by Jim Kingdon, 18-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
rerecapb	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 # 0 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 · 𝑥) = 1))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem rerecapb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rerecclap 8823	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 # 0) → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
2		recn 8078	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
3		recidap 8779	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) → (𝐴 · (1 / 𝐴)) = 1)
4	2, 3	sylan 283	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 # 0) → (𝐴 · (1 / 𝐴)) = 1)
5		oveq2 5965	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (1 / 𝐴) → (𝐴 · 𝑥) = (𝐴 · (1 / 𝐴)))
6	5	eqeq1d 2215	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (1 / 𝐴) → ((𝐴 · 𝑥) = 1 ↔ (𝐴 · (1 / 𝐴)) = 1))
7	6	rspcev 2881	. . . 4 ⊢ (((1 / 𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝐴 · (1 / 𝐴)) = 1) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 · 𝑥) = 1)
8	1, 4, 7	syl2anc 411	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 # 0) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 · 𝑥) = 1)
9	8	ex 115	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 # 0 → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 · 𝑥) = 1))
10		ax-resscn 8037	. . . 4 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
11		ssrexv 3262	. . . 4 ⊢ (ℝ ⊆ ℂ → (∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 · 𝑥) = 1 → ∃𝑥 ∈ ℂ (𝐴 · 𝑥) = 1))
12	10, 11	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 · 𝑥) = 1 → ∃𝑥 ∈ ℂ (𝐴 · 𝑥) = 1)
13		recapb 8764	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 # 0 ↔ ∃𝑥 ∈ ℂ (𝐴 · 𝑥) = 1))
14	13	biimprd 158	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (∃𝑥 ∈ ℂ (𝐴 · 𝑥) = 1 → 𝐴 # 0))
15	2, 12, 14	syl2im 38	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 · 𝑥) = 1 → 𝐴 # 0))
16	9, 15	impbid 129	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 # 0 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 · 𝑥) = 1))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1373   ∈ wcel 2177  ∃wrex 2486   ⊆ wss 3170   class class class wbr 4051  (class class class)co 5957  ℂcc 7943  ℝcr 7944  0cc0 7945  1c1 7946   · cmul 7950   # cap 8674   / cdiv 8765

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4170  ax-pow 4226  ax-pr 4261  ax-un 4488  ax-setind 4593  ax-cnex 8036  ax-resscn 8037  ax-1cn 8038  ax-1re 8039  ax-icn 8040  ax-addcl 8041  ax-addrcl 8042  ax-mulcl 8043  ax-mulrcl 8044  ax-addcom 8045  ax-mulcom 8046  ax-addass 8047  ax-mulass 8048  ax-distr 8049  ax-i2m1 8050  ax-0lt1 8051  ax-1rid 8052  ax-0id 8053  ax-rnegex 8054  ax-precex 8055  ax-cnre 8056  ax-pre-ltirr 8057  ax-pre-ltwlin 8058  ax-pre-lttrn 8059  ax-pre-apti 8060  ax-pre-ltadd 8061  ax-pre-mulgt0 8062  ax-pre-mulext 8063

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3857  df-br 4052  df-opab 4114  df-id 4348  df-po 4351  df-iso 4352  df-xp 4689  df-rel 4690  df-cnv 4691  df-co 4692  df-dm 4693  df-iota 5241  df-fun 5282  df-fv 5288  df-riota 5912  df-ov 5960  df-oprab 5961  df-mpo 5962  df-pnf 8129  df-mnf 8130  df-xr 8131  df-ltxr 8132  df-le 8133  df-sub 8265  df-neg 8266  df-reap 8668  df-ap 8675  df-div 8766

This theorem is referenced by: (None)