Theorem rerecapb 8898

Description: A real number has a multiplicative inverse if and only if it is apart from zero. Theorem 11.2.4 of [HoTT], p. (varies). (Contributed by Jim Kingdon, 18-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
rerecapb	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 # 0 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 · 𝑥) = 1))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem rerecapb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rerecclap 8785	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 # 0) → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
2		recn 8040	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
3		recidap 8741	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) → (𝐴 · (1 / 𝐴)) = 1)
4	2, 3	sylan 283	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 # 0) → (𝐴 · (1 / 𝐴)) = 1)
5		oveq2 5942	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (1 / 𝐴) → (𝐴 · 𝑥) = (𝐴 · (1 / 𝐴)))
6	5	eqeq1d 2213	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (1 / 𝐴) → ((𝐴 · 𝑥) = 1 ↔ (𝐴 · (1 / 𝐴)) = 1))
7	6	rspcev 2876	. . . 4 ⊢ (((1 / 𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝐴 · (1 / 𝐴)) = 1) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 · 𝑥) = 1)
8	1, 4, 7	syl2anc 411	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 # 0) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 · 𝑥) = 1)
9	8	ex 115	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 # 0 → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 · 𝑥) = 1))
10		ax-resscn 7999	. . . 4 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
11		ssrexv 3257	. . . 4 ⊢ (ℝ ⊆ ℂ → (∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 · 𝑥) = 1 → ∃𝑥 ∈ ℂ (𝐴 · 𝑥) = 1))
12	10, 11	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 · 𝑥) = 1 → ∃𝑥 ∈ ℂ (𝐴 · 𝑥) = 1)
13		recapb 8726	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 # 0 ↔ ∃𝑥 ∈ ℂ (𝐴 · 𝑥) = 1))
14	13	biimprd 158	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (∃𝑥 ∈ ℂ (𝐴 · 𝑥) = 1 → 𝐴 # 0))
15	2, 12, 14	syl2im 38	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 · 𝑥) = 1 → 𝐴 # 0))
16	9, 15	impbid 129	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 # 0 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 · 𝑥) = 1))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1372   ∈ wcel 2175  ∃wrex 2484   ⊆ wss 3165   class class class wbr 4043  (class class class)co 5934  ℂcc 7905  ℝcr 7906  0cc0 7907  1c1 7908   · cmul 7912   # cap 8636   / cdiv 8727

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4478  ax-setind 4583  ax-cnex 7998  ax-resscn 7999  ax-1cn 8000  ax-1re 8001  ax-icn 8002  ax-addcl 8003  ax-addrcl 8004  ax-mulcl 8005  ax-mulrcl 8006  ax-addcom 8007  ax-mulcom 8008  ax-addass 8009  ax-mulass 8010  ax-distr 8011  ax-i2m1 8012  ax-0lt1 8013  ax-1rid 8014  ax-0id 8015  ax-rnegex 8016  ax-precex 8017  ax-cnre 8018  ax-pre-ltirr 8019  ax-pre-ltwlin 8020  ax-pre-lttrn 8021  ax-pre-apti 8022  ax-pre-ltadd 8023  ax-pre-mulgt0 8024  ax-pre-mulext 8025

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rmo 2491  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-br 4044  df-opab 4105  df-id 4338  df-po 4341  df-iso 4342  df-xp 4679  df-rel 4680  df-cnv 4681  df-co 4682  df-dm 4683  df-iota 5229  df-fun 5270  df-fv 5276  df-riota 5889  df-ov 5937  df-oprab 5938  df-mpo 5939  df-pnf 8091  df-mnf 8092  df-xr 8093  df-ltxr 8094  df-le 8095  df-sub 8227  df-neg 8228  df-reap 8630  df-ap 8637  df-div 8728

This theorem is referenced by: (None)