Theorem rerecapb 9173

Description: A real number has a multiplicative inverse if and only if it is apart from zero. Theorem 11.2.4 of [HoTT], p. (varies). (Contributed by Jim Kingdon, 18-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
rerecapb	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 # 0 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 · 𝑥) = 1))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem rerecapb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rerecclap 9060	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 # 0) → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
2		recn 8312	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
3		recidap 9016	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) → (𝐴 · (1 / 𝐴)) = 1)
4	2, 3	sylan 283	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 # 0) → (𝐴 · (1 / 𝐴)) = 1)
5		oveq2 6093	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (1 / 𝐴) → (𝐴 · 𝑥) = (𝐴 · (1 / 𝐴)))
6	5	eqeq1d 2247	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (1 / 𝐴) → ((𝐴 · 𝑥) = 1 ↔ (𝐴 · (1 / 𝐴)) = 1))
7	6	rspcev 2929	. . . 4 ⊢ (((1 / 𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝐴 · (1 / 𝐴)) = 1) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 · 𝑥) = 1)
8	1, 4, 7	syl2anc 415	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 # 0) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 · 𝑥) = 1)
9	8	ex 115	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 # 0 → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 · 𝑥) = 1))
10		ax-resscn 8271	. . . 4 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
11		ssrexv 3313	. . . 4 ⊢ (ℝ ⊆ ℂ → (∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 · 𝑥) = 1 → ∃𝑥 ∈ ℂ (𝐴 · 𝑥) = 1))
12	10, 11	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 · 𝑥) = 1 → ∃𝑥 ∈ ℂ (𝐴 · 𝑥) = 1)
13		recapb 9001	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 # 0 ↔ ∃𝑥 ∈ ℂ (𝐴 · 𝑥) = 1))
14	13	biimprd 158	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (∃𝑥 ∈ ℂ (𝐴 · 𝑥) = 1 → 𝐴 # 0))
15	2, 12, 14	syl2im 38	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 · 𝑥) = 1 → 𝐴 # 0))
16	9, 15	impbid 129	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 # 0 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 · 𝑥) = 1))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∃wrex 2529   ⊆ wss 3220   class class class wbr 4130  (class class class)co 6085  ℂcc 8177  ℝcr 8178  0cc0 8179  1c1 8180   · cmul 8184   # cap 8909   / cdiv 9002

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296  ax-pre-mulext 8297

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-reap 8903  df-ap 8910  df-div 9003

This theorem is used by: (None)