Theorem ringen1zr0 14622

Description: The only unital ring with one element is the zero ring (at least if its operations are internal binary operations). This holds already for nonunital rings, see rngen1zr0 14261, and semirings, see srgen1zr0 14292. (Contributed by FL, 15-Feb-2010.) (Revised by AV, 25-Jan-2020.) (Proof shortened by AV, 19-Jun-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
ring1zr.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ring1zr.p	⊢ + = (+g‘𝑅)
ring1zr.t	⊢ ∗ = (.r‘𝑅)
ringen1zr0.0	⊢ 𝑍 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ringen1zr0	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ + Fn (𝐵 × 𝐵) ∧ ∗ Fn (𝐵 × 𝐵)) → (𝐵 ≈ 1o ↔ ( + = {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} ∧ ∗ = {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩})))

Proof of Theorem ringen1zr0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringrng 14341	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Rng)
2		ring1zr.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		ring1zr.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑅)
4		ring1zr.t	. . 3 ⊢ ∗ = (.r‘𝑅)
5		ringen1zr0.0	. . 3 ⊢ 𝑍 = (0g‘𝑅)
6	2, 3, 4, 5	rngen1zr0 14261	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ + Fn (𝐵 × 𝐵) ∧ ∗ Fn (𝐵 × 𝐵)) → (𝐵 ≈ 1o ↔ ( + = {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} ∧ ∗ = {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩})))
7	1, 6	syl3an1 1311	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ + Fn (𝐵 × 𝐵) ∧ ∗ Fn (𝐵 × 𝐵)) → (𝐵 ≈ 1o ↔ ( + = {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} ∧ ∗ = {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩})))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1009   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  {csn 3709  ⟨cop 3712   class class class wbr 4130   × cxp 4772   Fn wfn 5372  ‘cfv 5377  1_oc1o 6680   ≈ cen 7020  Basecbs 13352  +_gcplusg 13431  ._rcmulr 13432  0_gc0g 13610  Rngcrng 14231  Ringcrg 14300

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-addass 8281  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-iord 4511  df-on 4513  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-1o 6687  df-er 6807  df-en 7023  df-fin 7025  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-ltxr 8365  df-inn 9305  df-2 9363  df-3 9364  df-ndx 13355  df-slot 13356  df-base 13358  df-sets 13359  df-plusg 13444  df-mulr 13445  df-0g 13612  df-plusf 13675  df-mgm 13676  df-sgrp 13717  df-mnd 13730  df-grp 13808  df-minusg 13809  df-cmn 14089  df-abl 14090  df-mgp 14218  df-rng 14232  df-ur 14263  df-ring 14302

This theorem is used by: (None)