Theorem ltp1d 8976

Description: A number is less than itself plus 1. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
ltp1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
ltp1d	⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝐴 + 1))

Proof of Theorem ltp1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltp1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltp1 8890	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 < (𝐴 + 1))
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝐴 + 1))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2167   class class class wbr 4034  (class class class)co 5925  ℝcr 7897  1c1 7899   + caddc 7901   < clt 8080

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7989  ax-resscn 7990  ax-1cn 7991  ax-1re 7992  ax-icn 7993  ax-addcl 7994  ax-addrcl 7995  ax-mulcl 7996  ax-addcom 7998  ax-addass 8000  ax-i2m1 8003  ax-0lt1 8004  ax-0id 8006  ax-rnegex 8007  ax-pre-ltadd 8014

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-br 4035  df-opab 4096  df-xp 4670  df-iota 5220  df-fv 5267  df-ov 5928  df-pnf 8082  df-mnf 8083  df-ltxr 8085

This theorem is referenced by:  zltp1le  9399  fznatpl1  10170  fzp1disj  10174  fzneuz  10195  fzp1nel  10198  fzonn0p1  10306  zssinfcl  10341  rebtwn2z  10363  seq3f1olemqsumk  10623  seqf1oglem1  10630  seqf1oglem2  10631  bernneq3  10773  bcp1nk  10873  bcpasc  10877  hashfzp1  10935  seq3coll  10953  resqrexlemover  11194  fsum1p  11602  cvgratnnlembern  11707  cvgratnnlemseq  11710  cvgratnnlemfm  11713  cvgratz  11716  mertenslemi1  11719  fprodntrivap  11768  fprod1p  11783  fprodeq0  11801  efcllemp  11842  nno  12090  sqrt2irr  12357  pcprendvds  12486  pcmpt  12539  1arith  12563  4sqlem11  12597  exmidunben  12670  nninfdclemp1  12694  suplociccreex  14968  perfectlem2  15344  gausslemma2dlem4  15413  gausslemma2dlem6  15416  lgsquadlem2  15427  cvgcmp2nlemabs  15789