Theorem ltp1d 9110

Description: A number is less than itself plus 1. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
ltp1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
ltp1d	⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝐴 + 1))

Proof of Theorem ltp1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltp1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltp1 9024	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 < (𝐴 + 1))
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝐴 + 1))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2202   class class class wbr 4088  (class class class)co 6018  ℝcr 8031  1c1 8033   + caddc 8035   < clt 8214

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-addcom 8132  ax-addass 8134  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-pre-ltadd 8148

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-xp 4731  df-iota 5286  df-fv 5334  df-ov 6021  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-ltxr 8219

This theorem is referenced by:  zltp1le  9534  fznatpl1  10311  fzp1disj  10315  fzneuz  10336  fzp1nel  10339  fzonn0p1  10457  zssinfcl  10493  rebtwn2z  10515  seq3f1olemqsumk  10775  seqf1oglem1  10782  seqf1oglem2  10783  bernneq3  10925  bcp1nk  11025  bcpasc  11029  hashfzp1  11089  seq3coll  11107  resqrexlemover  11575  fsum1p  11984  cvgratnnlembern  12089  cvgratnnlemseq  12092  cvgratnnlemfm  12095  cvgratz  12098  mertenslemi1  12101  fprodntrivap  12150  fprod1p  12165  fprodeq0  12183  efcllemp  12224  nno  12472  sqrt2irr  12739  pcprendvds  12868  pcmpt  12921  1arith  12945  4sqlem11  12979  exmidunben  13052  nninfdclemp1  13076  suplociccreex  15354  perfectlem2  15730  gausslemma2dlem4  15799  gausslemma2dlem6  15802  lgsquadlem2  15813  cvgcmp2nlemabs  16662