Theorem ltp1d 9206

Description: A number is less than itself plus 1. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
ltp1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
ltp1d	⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝐴 + 1))

Proof of Theorem ltp1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltp1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltp1 9120	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 < (𝐴 + 1))
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝐴 + 1))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2205   class class class wbr 4111  (class class class)co 6052  ℝcr 8128  1c1 8130   + caddc 8132   < clt 8310

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-cnex 8220  ax-resscn 8221  ax-1cn 8222  ax-1re 8223  ax-icn 8224  ax-addcl 8225  ax-addrcl 8226  ax-mulcl 8227  ax-addcom 8229  ax-addass 8231  ax-i2m1 8234  ax-0lt1 8235  ax-0id 8237  ax-rnegex 8238  ax-pre-ltadd 8245

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-br 4112  df-opab 4174  df-xp 4757  df-iota 5314  df-fv 5362  df-ov 6055  df-pnf 8312  df-mnf 8313  df-ltxr 8315

This theorem is referenced by:  zltp1le  9634  fznatpl1  10414  fzp1disj  10418  fzneuz  10439  fzp1nel  10442  fzonn0p1  10560  zssinfcl  10596  rebtwn2z  10618  seq3f1olemqsumk  10878  seqf1oglem1  10885  seqf1oglem2  10886  bernneq3  11028  bcp1nk  11128  bcpasc  11132  hashfzp1  11193  seq3coll  11218  resqrexlemover  11699  fsum1p  12108  cvgratnnlembern  12213  cvgratnnlemseq  12216  cvgratnnlemfm  12219  cvgratz  12222  mertenslemi1  12225  fprodntrivap  12274  fprod1p  12289  fprodeq0  12307  efcllemp  12348  nno  12596  sqrt2irr  12863  pcprendvds  12992  pcmpt  13045  1arith  13069  4sqlem11  13103  ballotfilemfc0  13153  ballotfilemfcc  13154  exmidunben  13194  nninfdclemp1  13218  suplociccreex  15506  perfectlem2  15885  gausslemma2dlem4  15954  gausslemma2dlem6  15957  lgsquadlem2  15968  cvgcmp2nlemabs  16833