Theorem ltp1d 8957

Description: A number is less than itself plus 1. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
ltp1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
ltp1d	⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝐴 + 1))

Proof of Theorem ltp1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltp1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltp1 8871	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 < (𝐴 + 1))
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝐴 + 1))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2167   class class class wbr 4033  (class class class)co 5922  ℝcr 7878  1c1 7880   + caddc 7882   < clt 8061

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-addcom 7979  ax-addass 7981  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-pre-ltadd 7995

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-br 4034  df-opab 4095  df-xp 4669  df-iota 5219  df-fv 5266  df-ov 5925  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-ltxr 8066

This theorem is referenced by:  zltp1le  9380  fznatpl1  10151  fzp1disj  10155  fzneuz  10176  fzp1nel  10179  fzonn0p1  10287  zssinfcl  10322  rebtwn2z  10344  seq3f1olemqsumk  10604  seqf1oglem1  10611  seqf1oglem2  10612  bernneq3  10754  bcp1nk  10854  bcpasc  10858  hashfzp1  10916  seq3coll  10934  resqrexlemover  11175  fsum1p  11583  cvgratnnlembern  11688  cvgratnnlemseq  11691  cvgratnnlemfm  11694  cvgratz  11697  mertenslemi1  11700  fprodntrivap  11749  fprod1p  11764  fprodeq0  11782  efcllemp  11823  nno  12071  sqrt2irr  12330  pcprendvds  12459  pcmpt  12512  1arith  12536  4sqlem11  12570  exmidunben  12643  nninfdclemp1  12667  suplociccreex  14860  perfectlem2  15236  gausslemma2dlem4  15305  gausslemma2dlem6  15308  lgsquadlem2  15319  cvgcmp2nlemabs  15676