Theorem ltp1d 9103

Description: A number is less than itself plus 1. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
ltp1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
ltp1d	⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝐴 + 1))

Proof of Theorem ltp1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltp1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltp1 9017	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 < (𝐴 + 1))
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝐴 + 1))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2200   class class class wbr 4086  (class class class)co 6013  ℝcr 8024  1c1 8026   + caddc 8028   < clt 8207

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-cnex 8116  ax-resscn 8117  ax-1cn 8118  ax-1re 8119  ax-icn 8120  ax-addcl 8121  ax-addrcl 8122  ax-mulcl 8123  ax-addcom 8125  ax-addass 8127  ax-i2m1 8130  ax-0lt1 8131  ax-0id 8133  ax-rnegex 8134  ax-pre-ltadd 8141

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2802  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-br 4087  df-opab 4149  df-xp 4729  df-iota 5284  df-fv 5332  df-ov 6016  df-pnf 8209  df-mnf 8210  df-ltxr 8212

This theorem is referenced by:  zltp1le  9527  fznatpl1  10304  fzp1disj  10308  fzneuz  10329  fzp1nel  10332  fzonn0p1  10449  zssinfcl  10485  rebtwn2z  10507  seq3f1olemqsumk  10767  seqf1oglem1  10774  seqf1oglem2  10775  bernneq3  10917  bcp1nk  11017  bcpasc  11021  hashfzp1  11081  seq3coll  11099  resqrexlemover  11564  fsum1p  11972  cvgratnnlembern  12077  cvgratnnlemseq  12080  cvgratnnlemfm  12083  cvgratz  12086  mertenslemi1  12089  fprodntrivap  12138  fprod1p  12153  fprodeq0  12171  efcllemp  12212  nno  12460  sqrt2irr  12727  pcprendvds  12856  pcmpt  12909  1arith  12933  4sqlem11  12967  exmidunben  13040  nninfdclemp1  13064  suplociccreex  15341  perfectlem2  15717  gausslemma2dlem4  15786  gausslemma2dlem6  15789  lgsquadlem2  15800  cvgcmp2nlemabs  16586