Theorem ltp1d 9221

Description: A number is less than itself plus 1. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
ltp1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
ltp1d	⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝐴 + 1))

Proof of Theorem ltp1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltp1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltp1 9135	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 < (𝐴 + 1))
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝐴 + 1))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2205   class class class wbr 4114  (class class class)co 6058  ℝcr 8142  1c1 8144   + caddc 8146   < clt 8324

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-addass 8245  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-pre-ltadd 8259

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-br 4115  df-opab 4177  df-xp 4760  df-iota 5317  df-fv 5365  df-ov 6061  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-ltxr 8329

This theorem is referenced by:  zltp1le  9649  fznatpl1  10432  fzp1disj  10436  fzneuz  10457  fzp1nel  10460  fzonn0p1  10578  zssinfcl  10614  rebtwn2z  10638  seq3f1olemqsumk  10898  seqf1oglem1  10905  seqf1oglem2  10906  bernneq3  11049  bcp1nk  11149  bcpasc  11153  hashfzp1  11214  seq3coll  11239  resqrexlemover  11720  fsum1p  12129  cvgratnnlembern  12234  cvgratnnlemseq  12237  cvgratnnlemfm  12240  cvgratz  12243  mertenslemi1  12246  fprodntrivap  12295  fprod1p  12310  fprodeq0  12328  efcllemp  12369  nno  12617  sqrt2irr  12884  pcprendvds  13013  pcmpt  13066  1arith  13090  4sqlem11  13124  ballotfilemfc0  13176  ballotfilemfcc  13177  exmidunben  13261  nninfdclemp1  13285  suplociccreex  15601  perfectlem2  15980  gausslemma2dlem4  16049  gausslemma2dlem6  16052  lgsquadlem2  16063  cvgcmp2nlemabs  16928