Theorem ltp1d 9033

Description: A number is less than itself plus 1. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
ltp1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
ltp1d	⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝐴 + 1))

Proof of Theorem ltp1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltp1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltp1 8947	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 < (𝐴 + 1))
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝐴 + 1))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2177   class class class wbr 4054  (class class class)co 5962  ℝcr 7954  1c1 7956   + caddc 7958   < clt 8137

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4173  ax-pow 4229  ax-pr 4264  ax-un 4493  ax-setind 4598  ax-cnex 8046  ax-resscn 8047  ax-1cn 8048  ax-1re 8049  ax-icn 8050  ax-addcl 8051  ax-addrcl 8052  ax-mulcl 8053  ax-addcom 8055  ax-addass 8057  ax-i2m1 8060  ax-0lt1 8061  ax-0id 8063  ax-rnegex 8064  ax-pre-ltadd 8071

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-rab 2494  df-v 2775  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3860  df-br 4055  df-opab 4117  df-xp 4694  df-iota 5246  df-fv 5293  df-ov 5965  df-pnf 8139  df-mnf 8140  df-ltxr 8142

This theorem is referenced by:  zltp1le  9457  fznatpl1  10228  fzp1disj  10232  fzneuz  10253  fzp1nel  10256  fzonn0p1  10372  zssinfcl  10407  rebtwn2z  10429  seq3f1olemqsumk  10689  seqf1oglem1  10696  seqf1oglem2  10697  bernneq3  10839  bcp1nk  10939  bcpasc  10943  hashfzp1  11001  seq3coll  11019  resqrexlemover  11406  fsum1p  11814  cvgratnnlembern  11919  cvgratnnlemseq  11922  cvgratnnlemfm  11925  cvgratz  11928  mertenslemi1  11931  fprodntrivap  11980  fprod1p  11995  fprodeq0  12013  efcllemp  12054  nno  12302  sqrt2irr  12569  pcprendvds  12698  pcmpt  12751  1arith  12775  4sqlem11  12809  exmidunben  12882  nninfdclemp1  12906  suplociccreex  15181  perfectlem2  15557  gausslemma2dlem4  15626  gausslemma2dlem6  15629  lgsquadlem2  15640  cvgcmp2nlemabs  16143