Theorem ltp1d 9268

Description: A number is less than itself plus 1. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
ltp1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
ltp1d	⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝐴 + 1))

Proof of Theorem ltp1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltp1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltp1 9182	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 < (𝐴 + 1))
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝐴 + 1))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4131  (class class class)co 6088  ℝcr 8184  1c1 8186   + caddc 8188   < clt 8366

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-addcom 8285  ax-addass 8287  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-pre-ltadd 8301

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4132  df-opab 4194  df-xp 4782  df-iota 5340  df-fv 5388  df-ov 6091  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-ltxr 8371

This theorem is used by:  zltp1le  9708  fznatpl1  10499  fzp1disj  10503  fzneuz  10524  fzp1nel  10527  fzonn0p1  10645  zssinfcl  10681  rebtwn2z  10705  seq3f1olemqsumk  10969  seqf1oglem1  10976  seqf1oglem2  10977  bernneq3  11120  bcp1nk  11221  bcpasc  11225  hashfzp1  11286  seq3coll  11315  resqrexlemover  11797  fsum1p  12209  cvgratnnlembern  12314  cvgratnnlemseq  12317  cvgratnnlemfm  12320  cvgratz  12323  mertenslemi1  12326  fprodntrivap  12375  fprod1p  12390  fprodeq0  12408  efcllemp  12449  nno  12697  sqrt2irr  12965  pcprendvds  13097  pcmpt  13150  1arith  13174  4sqlem11  13208  ballotfilemfc0  13289  ballotfilemfcc  13290  exmidunben  13374  nninfdclemp1  13398  suplociccreex  15867  birthdaylem2  16243  ppiprm  16276  chtprm  16278  chtdif  16281  ppidif  16286  chtqub  16313  perfectlem2  16317  gausslemma2dlem4  16405  gausslemma2dlem6  16408  lgsquadlem2  16419  cvgcmp2nlemabs  17304