Theorem ltp1d 9085

Description: A number is less than itself plus 1. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
ltp1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
ltp1d	⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝐴 + 1))

Proof of Theorem ltp1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltp1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltp1 8999	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 < (𝐴 + 1))
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝐴 + 1))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2200   class class class wbr 4083  (class class class)co 6007  ℝcr 8006  1c1 8008   + caddc 8010   < clt 8189

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8098  ax-resscn 8099  ax-1cn 8100  ax-1re 8101  ax-icn 8102  ax-addcl 8103  ax-addrcl 8104  ax-mulcl 8105  ax-addcom 8107  ax-addass 8109  ax-i2m1 8112  ax-0lt1 8113  ax-0id 8115  ax-rnegex 8116  ax-pre-ltadd 8123

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-xp 4725  df-iota 5278  df-fv 5326  df-ov 6010  df-pnf 8191  df-mnf 8192  df-ltxr 8194

This theorem is referenced by:  zltp1le  9509  fznatpl1  10280  fzp1disj  10284  fzneuz  10305  fzp1nel  10308  fzonn0p1  10425  zssinfcl  10460  rebtwn2z  10482  seq3f1olemqsumk  10742  seqf1oglem1  10749  seqf1oglem2  10750  bernneq3  10892  bcp1nk  10992  bcpasc  10996  hashfzp1  11054  seq3coll  11072  resqrexlemover  11529  fsum1p  11937  cvgratnnlembern  12042  cvgratnnlemseq  12045  cvgratnnlemfm  12048  cvgratz  12051  mertenslemi1  12054  fprodntrivap  12103  fprod1p  12118  fprodeq0  12136  efcllemp  12177  nno  12425  sqrt2irr  12692  pcprendvds  12821  pcmpt  12874  1arith  12898  4sqlem11  12932  exmidunben  13005  nninfdclemp1  13029  suplociccreex  15306  perfectlem2  15682  gausslemma2dlem4  15751  gausslemma2dlem6  15754  lgsquadlem2  15765  cvgcmp2nlemabs  16430