Theorem ltp1d 9203

Description: A number is less than itself plus 1. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
ltp1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
ltp1d	⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝐴 + 1))

Proof of Theorem ltp1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltp1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltp1 9117	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 < (𝐴 + 1))
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝐴 + 1))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2203   class class class wbr 4108  (class class class)co 6049  ℝcr 8125  1c1 8127   + caddc 8129   < clt 8307

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4227  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-cnex 8217  ax-resscn 8218  ax-1cn 8219  ax-1re 8220  ax-icn 8221  ax-addcl 8222  ax-addrcl 8223  ax-mulcl 8224  ax-addcom 8226  ax-addass 8228  ax-i2m1 8231  ax-0lt1 8232  ax-0id 8234  ax-rnegex 8235  ax-pre-ltadd 8242

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-rab 2529  df-v 2814  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-br 4109  df-opab 4171  df-xp 4754  df-iota 5311  df-fv 5359  df-ov 6052  df-pnf 8309  df-mnf 8310  df-ltxr 8312

This theorem is referenced by:  zltp1le  9631  fznatpl1  10409  fzp1disj  10413  fzneuz  10434  fzp1nel  10437  fzonn0p1  10555  zssinfcl  10591  rebtwn2z  10613  seq3f1olemqsumk  10873  seqf1oglem1  10880  seqf1oglem2  10881  bernneq3  11023  bcp1nk  11123  bcpasc  11127  hashfzp1  11187  seq3coll  11210  resqrexlemover  11691  fsum1p  12100  cvgratnnlembern  12205  cvgratnnlemseq  12208  cvgratnnlemfm  12211  cvgratz  12214  mertenslemi1  12217  fprodntrivap  12266  fprod1p  12281  fprodeq0  12299  efcllemp  12340  nno  12588  sqrt2irr  12855  pcprendvds  12984  pcmpt  13037  1arith  13061  4sqlem11  13095  exmidunben  13169  nninfdclemp1  13193  suplociccreex  15481  perfectlem2  15860  gausslemma2dlem4  15929  gausslemma2dlem6  15932  lgsquadlem2  15943  cvgcmp2nlemabs  16808