Theorem ltp1d 9268

Description: A number is less than itself plus 1. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
ltp1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
ltp1d	⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝐴 + 1))

Proof of Theorem ltp1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltp1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltp1 9182	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 < (𝐴 + 1))
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝐴 + 1))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4131  (class class class)co 6088  ℝcr 8184  1c1 8186   + caddc 8188   < clt 8366

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-addcom 8285  ax-addass 8287  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-pre-ltadd 8301

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4132  df-opab 4194  df-xp 4782  df-iota 5340  df-fv 5388  df-ov 6091  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-ltxr 8371

This theorem is used by:  zltp1le  9710  fznatpl1  10500  fzp1disj  10504  fzneuz  10525  fzp1nel  10528  fzonn0p1  10646  zssinfcl  10682  rebtwn2z  10706  seq3f1olemqsumk  10970  seqf1oglem1  10977  seqf1oglem2  10978  bernneq3  11121  bcp1nk  11222  bcpasc  11226  hashfzp1  11287  seq3coll  11316  resqrexlemover  11798  fsum1p  12210  cvgratnnlembern  12315  cvgratnnlemseq  12318  cvgratnnlemfm  12321  cvgratz  12324  mertenslemi1  12327  fprodntrivap  12376  fprod1p  12391  fprodeq0  12409  efcllemp  12450  nno  12698  sqrt2irr  12966  pcprendvds  13098  pcmpt  13151  1arith  13175  4sqlem11  13209  ballotfilemfc0  13290  ballotfilemfcc  13291  exmidunben  13375  nninfdclemp1  13399  suplociccreex  15850  birthdaylem2  16226  ppiprm  16259  chtprm  16261  chtdif  16264  ppidif  16269  chtqub  16296  perfectlem2  16300  gausslemma2dlem4  16388  gausslemma2dlem6  16391  lgsquadlem2  16402  cvgcmp2nlemabs  17287