Theorem ltp1d 9065

Description: A number is less than itself plus 1. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
ltp1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
ltp1d	⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝐴 + 1))

Proof of Theorem ltp1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltp1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltp1 8979	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 < (𝐴 + 1))
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝐴 + 1))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2200   class class class wbr 4082  (class class class)co 5994  ℝcr 7986  1c1 7988   + caddc 7990   < clt 8169

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4521  ax-setind 4626  ax-cnex 8078  ax-resscn 8079  ax-1cn 8080  ax-1re 8081  ax-icn 8082  ax-addcl 8083  ax-addrcl 8084  ax-mulcl 8085  ax-addcom 8087  ax-addass 8089  ax-i2m1 8092  ax-0lt1 8093  ax-0id 8095  ax-rnegex 8096  ax-pre-ltadd 8103

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-br 4083  df-opab 4145  df-xp 4722  df-iota 5274  df-fv 5322  df-ov 5997  df-pnf 8171  df-mnf 8172  df-ltxr 8174

This theorem is referenced by:  zltp1le  9489  fznatpl1  10260  fzp1disj  10264  fzneuz  10285  fzp1nel  10288  fzonn0p1  10404  zssinfcl  10439  rebtwn2z  10461  seq3f1olemqsumk  10721  seqf1oglem1  10728  seqf1oglem2  10729  bernneq3  10871  bcp1nk  10971  bcpasc  10975  hashfzp1  11033  seq3coll  11051  resqrexlemover  11507  fsum1p  11915  cvgratnnlembern  12020  cvgratnnlemseq  12023  cvgratnnlemfm  12026  cvgratz  12029  mertenslemi1  12032  fprodntrivap  12081  fprod1p  12096  fprodeq0  12114  efcllemp  12155  nno  12403  sqrt2irr  12670  pcprendvds  12799  pcmpt  12852  1arith  12876  4sqlem11  12910  exmidunben  12983  nninfdclemp1  13007  suplociccreex  15283  perfectlem2  15659  gausslemma2dlem4  15728  gausslemma2dlem6  15731  lgsquadlem2  15742  cvgcmp2nlemabs  16331