Theorem ltp1d 9093

Description: A number is less than itself plus 1. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
ltp1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
ltp1d	⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝐴 + 1))

Proof of Theorem ltp1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltp1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltp1 9007	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 < (𝐴 + 1))
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝐴 + 1))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2200   class class class wbr 4083  (class class class)co 6010  ℝcr 8014  1c1 8016   + caddc 8018   < clt 8197

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4259  ax-pr 4294  ax-un 4525  ax-setind 4630  ax-cnex 8106  ax-resscn 8107  ax-1cn 8108  ax-1re 8109  ax-icn 8110  ax-addcl 8111  ax-addrcl 8112  ax-mulcl 8113  ax-addcom 8115  ax-addass 8117  ax-i2m1 8120  ax-0lt1 8121  ax-0id 8123  ax-rnegex 8124  ax-pre-ltadd 8131

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-xp 4726  df-iota 5281  df-fv 5329  df-ov 6013  df-pnf 8199  df-mnf 8200  df-ltxr 8202

This theorem is referenced by:  zltp1le  9517  fznatpl1  10289  fzp1disj  10293  fzneuz  10314  fzp1nel  10317  fzonn0p1  10434  zssinfcl  10469  rebtwn2z  10491  seq3f1olemqsumk  10751  seqf1oglem1  10758  seqf1oglem2  10759  bernneq3  10901  bcp1nk  11001  bcpasc  11005  hashfzp1  11064  seq3coll  11082  resqrexlemover  11542  fsum1p  11950  cvgratnnlembern  12055  cvgratnnlemseq  12058  cvgratnnlemfm  12061  cvgratz  12064  mertenslemi1  12067  fprodntrivap  12116  fprod1p  12131  fprodeq0  12149  efcllemp  12190  nno  12438  sqrt2irr  12705  pcprendvds  12834  pcmpt  12887  1arith  12911  4sqlem11  12945  exmidunben  13018  nninfdclemp1  13042  suplociccreex  15319  perfectlem2  15695  gausslemma2dlem4  15764  gausslemma2dlem6  15767  lgsquadlem2  15778  cvgcmp2nlemabs  16514