Theorem ltp1d 9153

Description: A number is less than itself plus 1. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
ltp1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
ltp1d	⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝐴 + 1))

Proof of Theorem ltp1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltp1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltp1 9067	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 < (𝐴 + 1))
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝐴 + 1))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2202   class class class wbr 4093  (class class class)co 6028  ℝcr 8074  1c1 8076   + caddc 8078   < clt 8257

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-addcom 8175  ax-addass 8177  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-pre-ltadd 8191

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-rab 2520  df-v 2805  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-br 4094  df-opab 4156  df-xp 4737  df-iota 5293  df-fv 5341  df-ov 6031  df-pnf 8259  df-mnf 8260  df-ltxr 8262

This theorem is referenced by:  zltp1le  9577  fznatpl1  10354  fzp1disj  10358  fzneuz  10379  fzp1nel  10382  fzonn0p1  10500  zssinfcl  10536  rebtwn2z  10558  seq3f1olemqsumk  10818  seqf1oglem1  10825  seqf1oglem2  10826  bernneq3  10968  bcp1nk  11068  bcpasc  11072  hashfzp1  11132  seq3coll  11150  resqrexlemover  11631  fsum1p  12040  cvgratnnlembern  12145  cvgratnnlemseq  12148  cvgratnnlemfm  12151  cvgratz  12154  mertenslemi1  12157  fprodntrivap  12206  fprod1p  12221  fprodeq0  12239  efcllemp  12280  nno  12528  sqrt2irr  12795  pcprendvds  12924  pcmpt  12977  1arith  13001  4sqlem11  13035  exmidunben  13108  nninfdclemp1  13132  suplociccreex  15415  perfectlem2  15794  gausslemma2dlem4  15863  gausslemma2dlem6  15866  lgsquadlem2  15877  cvgcmp2nlemabs  16744