Theorem ltp1d 9263

Description: A number is less than itself plus 1. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
ltp1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
ltp1d	⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝐴 + 1))

Proof of Theorem ltp1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltp1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltp1 9177	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 < (𝐴 + 1))
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝐴 + 1))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4130  (class class class)co 6085  ℝcr 8179  1c1 8181   + caddc 8183   < clt 8361

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1cn 8273  ax-1re 8274  ax-icn 8275  ax-addcl 8276  ax-addrcl 8277  ax-mulcl 8278  ax-addcom 8280  ax-addass 8282  ax-i2m1 8285  ax-0lt1 8286  ax-0id 8288  ax-rnegex 8289  ax-pre-ltadd 8296

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-xp 4780  df-iota 5337  df-fv 5385  df-ov 6088  df-pnf 8363  df-mnf 8364  df-ltxr 8366

This theorem is used by:  zltp1le  9704  fznatpl1  10494  fzp1disj  10498  fzneuz  10519  fzp1nel  10522  fzonn0p1  10640  zssinfcl  10676  rebtwn2z  10700  seq3f1olemqsumk  10963  seqf1oglem1  10970  seqf1oglem2  10971  bernneq3  11114  bcp1nk  11215  bcpasc  11219  hashfzp1  11280  seq3coll  11309  resqrexlemover  11791  fsum1p  12203  cvgratnnlembern  12308  cvgratnnlemseq  12311  cvgratnnlemfm  12314  cvgratz  12317  mertenslemi1  12320  fprodntrivap  12369  fprod1p  12384  fprodeq0  12402  efcllemp  12443  nno  12691  sqrt2irr  12959  pcprendvds  13091  pcmpt  13144  1arith  13168  4sqlem11  13202  ballotfilemfc0  13283  ballotfilemfcc  13284  exmidunben  13368  nninfdclemp1  13392  suplociccreex  15777  birthdaylem2  16148  ppiprm  16181  chtprm  16183  chtdif  16186  ppidif  16191  chtqub  16218  perfectlem2  16222  gausslemma2dlem4  16305  gausslemma2dlem6  16308  lgsquadlem2  16319  cvgcmp2nlemabs  17203