Theorem ltp1d 8949

Description: A number is less than itself plus 1. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
ltp1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
ltp1d	⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝐴 + 1))

Proof of Theorem ltp1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltp1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltp1 8863	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 < (𝐴 + 1))
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝐴 + 1))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2164   class class class wbr 4029  (class class class)co 5918  ℝcr 7871  1c1 7873   + caddc 7875   < clt 8054

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-addcom 7972  ax-addass 7974  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-pre-ltadd 7988

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-br 4030  df-opab 4091  df-xp 4665  df-iota 5215  df-fv 5262  df-ov 5921  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-ltxr 8059

This theorem is referenced by:  zltp1le  9371  fznatpl1  10142  fzp1disj  10146  fzneuz  10167  fzp1nel  10170  fzonn0p1  10278  rebtwn2z  10323  seq3f1olemqsumk  10583  seqf1oglem1  10590  seqf1oglem2  10591  bernneq3  10733  bcp1nk  10833  bcpasc  10837  hashfzp1  10895  seq3coll  10913  resqrexlemover  11154  fsum1p  11561  cvgratnnlembern  11666  cvgratnnlemseq  11669  cvgratnnlemfm  11672  cvgratz  11675  mertenslemi1  11678  fprodntrivap  11727  fprod1p  11742  fprodeq0  11760  efcllemp  11801  nno  12047  zssinfcl  12085  sqrt2irr  12300  pcprendvds  12428  pcmpt  12481  1arith  12505  4sqlem11  12539  exmidunben  12583  nninfdclemp1  12607  suplociccreex  14778  gausslemma2dlem4  15180  gausslemma2dlem6  15183  cvgcmp2nlemabs  15522