Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  0totbnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0totbnd 36945
Description: The metric (there is only one) on the empty set is totally bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
0totbnd (𝑋 = βˆ… β†’ (𝑀 ∈ (TotBndβ€˜π‘‹) ↔ 𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹)))

Proof of Theorem 0totbnd
Dummy variables 𝑣 π‘Ÿ π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6891 . . 3 (𝑋 = βˆ… β†’ (TotBndβ€˜π‘‹) = (TotBndβ€˜βˆ…))
21eleq2d 2818 . 2 (𝑋 = βˆ… β†’ (𝑀 ∈ (TotBndβ€˜π‘‹) ↔ 𝑀 ∈ (TotBndβ€˜βˆ…)))
3 0elpw 5354 . . . . . . 7 βˆ… ∈ 𝒫 βˆ…
4 0fin 9174 . . . . . . 7 βˆ… ∈ Fin
5 elin 3964 . . . . . . 7 (βˆ… ∈ (𝒫 βˆ… ∩ Fin) ↔ (βˆ… ∈ 𝒫 βˆ… ∧ βˆ… ∈ Fin))
63, 4, 5mpbir2an 708 . . . . . 6 βˆ… ∈ (𝒫 βˆ… ∩ Fin)
7 0iun 5066 . . . . . 6 βˆͺ π‘₯ ∈ βˆ… (π‘₯(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ) = βˆ…
8 iuneq1 5013 . . . . . . . 8 (𝑣 = βˆ… β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑣 (π‘₯(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ) = βˆͺ π‘₯ ∈ βˆ… (π‘₯(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ))
98eqeq1d 2733 . . . . . . 7 (𝑣 = βˆ… β†’ (βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑣 (π‘₯(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ) = βˆ… ↔ βˆͺ π‘₯ ∈ βˆ… (π‘₯(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ) = βˆ…))
109rspcev 3612 . . . . . 6 ((βˆ… ∈ (𝒫 βˆ… ∩ Fin) ∧ βˆͺ π‘₯ ∈ βˆ… (π‘₯(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ) = βˆ…) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ (𝒫 βˆ… ∩ Fin)βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑣 (π‘₯(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ) = βˆ…)
116, 7, 10mp2an 689 . . . . 5 βˆƒπ‘£ ∈ (𝒫 βˆ… ∩ Fin)βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑣 (π‘₯(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ) = βˆ…
1211rgenw 3064 . . . 4 βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘£ ∈ (𝒫 βˆ… ∩ Fin)βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑣 (π‘₯(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ) = βˆ…
13 istotbnd3 36943 . . . 4 (𝑀 ∈ (TotBndβ€˜βˆ…) ↔ (𝑀 ∈ (Metβ€˜βˆ…) ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘£ ∈ (𝒫 βˆ… ∩ Fin)βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑣 (π‘₯(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ) = βˆ…))
1412, 13mpbiran2 707 . . 3 (𝑀 ∈ (TotBndβ€˜βˆ…) ↔ 𝑀 ∈ (Metβ€˜βˆ…))
15 fveq2 6891 . . . 4 (𝑋 = βˆ… β†’ (Metβ€˜π‘‹) = (Metβ€˜βˆ…))
1615eleq2d 2818 . . 3 (𝑋 = βˆ… β†’ (𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ↔ 𝑀 ∈ (Metβ€˜βˆ…)))
1714, 16bitr4id 290 . 2 (𝑋 = βˆ… β†’ (𝑀 ∈ (TotBndβ€˜βˆ…) ↔ 𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹)))
182, 17bitrd 279 1 (𝑋 = βˆ… β†’ (𝑀 ∈ (TotBndβ€˜π‘‹) ↔ 𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  βˆ€wral 3060  βˆƒwrex 3069   ∩ cin 3947  βˆ…c0 4322  π’« cpw 4602  βˆͺ ciun 4997  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412  Fincfn 8942  β„+crp 12979  Metcmet 21131  ballcbl 21132  TotBndctotbnd 36938
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7728
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7415  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-1o 8469  df-er 8706  df-en 8943  df-dom 8944  df-fin 8946  df-totbnd 36940
This theorem is referenced by:  prdsbnd2  36967
  Copyright terms: Public domain W3C validator