Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  0totbnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0totbnd 36944
Description: The metric (there is only one) on the empty set is totally bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
0totbnd (𝑋 = βˆ… β†’ (𝑀 ∈ (TotBndβ€˜π‘‹) ↔ 𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹)))

Proof of Theorem 0totbnd
Dummy variables 𝑣 π‘Ÿ π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6890 . . 3 (𝑋 = βˆ… β†’ (TotBndβ€˜π‘‹) = (TotBndβ€˜βˆ…))
21eleq2d 2817 . 2 (𝑋 = βˆ… β†’ (𝑀 ∈ (TotBndβ€˜π‘‹) ↔ 𝑀 ∈ (TotBndβ€˜βˆ…)))
3 0elpw 5353 . . . . . . 7 βˆ… ∈ 𝒫 βˆ…
4 0fin 9173 . . . . . . 7 βˆ… ∈ Fin
5 elin 3963 . . . . . . 7 (βˆ… ∈ (𝒫 βˆ… ∩ Fin) ↔ (βˆ… ∈ 𝒫 βˆ… ∧ βˆ… ∈ Fin))
63, 4, 5mpbir2an 707 . . . . . 6 βˆ… ∈ (𝒫 βˆ… ∩ Fin)
7 0iun 5065 . . . . . 6 βˆͺ π‘₯ ∈ βˆ… (π‘₯(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ) = βˆ…
8 iuneq1 5012 . . . . . . . 8 (𝑣 = βˆ… β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑣 (π‘₯(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ) = βˆͺ π‘₯ ∈ βˆ… (π‘₯(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ))
98eqeq1d 2732 . . . . . . 7 (𝑣 = βˆ… β†’ (βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑣 (π‘₯(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ) = βˆ… ↔ βˆͺ π‘₯ ∈ βˆ… (π‘₯(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ) = βˆ…))
109rspcev 3611 . . . . . 6 ((βˆ… ∈ (𝒫 βˆ… ∩ Fin) ∧ βˆͺ π‘₯ ∈ βˆ… (π‘₯(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ) = βˆ…) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ (𝒫 βˆ… ∩ Fin)βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑣 (π‘₯(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ) = βˆ…)
116, 7, 10mp2an 688 . . . . 5 βˆƒπ‘£ ∈ (𝒫 βˆ… ∩ Fin)βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑣 (π‘₯(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ) = βˆ…
1211rgenw 3063 . . . 4 βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘£ ∈ (𝒫 βˆ… ∩ Fin)βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑣 (π‘₯(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ) = βˆ…
13 istotbnd3 36942 . . . 4 (𝑀 ∈ (TotBndβ€˜βˆ…) ↔ (𝑀 ∈ (Metβ€˜βˆ…) ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘£ ∈ (𝒫 βˆ… ∩ Fin)βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑣 (π‘₯(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ) = βˆ…))
1412, 13mpbiran2 706 . . 3 (𝑀 ∈ (TotBndβ€˜βˆ…) ↔ 𝑀 ∈ (Metβ€˜βˆ…))
15 fveq2 6890 . . . 4 (𝑋 = βˆ… β†’ (Metβ€˜π‘‹) = (Metβ€˜βˆ…))
1615eleq2d 2817 . . 3 (𝑋 = βˆ… β†’ (𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ↔ 𝑀 ∈ (Metβ€˜βˆ…)))
1714, 16bitr4id 289 . 2 (𝑋 = βˆ… β†’ (𝑀 ∈ (TotBndβ€˜βˆ…) ↔ 𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹)))
182, 17bitrd 278 1 (𝑋 = βˆ… β†’ (𝑀 ∈ (TotBndβ€˜π‘‹) ↔ 𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  βˆ€wral 3059  βˆƒwrex 3068   ∩ cin 3946  βˆ…c0 4321  π’« cpw 4601  βˆͺ ciun 4996  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  Fincfn 8941  β„+crp 12978  Metcmet 21130  ballcbl 21131  TotBndctotbnd 36937
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7414  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-1o 8468  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-fin 8945  df-totbnd 36939
This theorem is referenced by:  prdsbnd2  36966
  Copyright terms: Public domain W3C validator