Theorem iuneq1 4935

Description: Equality theorem for indexed union. (Contributed by NM, 27-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
iuneq1	⊢ (𝐴 = 𝐵 → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 = ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hint:   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem iuneq1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iunss1 4933	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶)
2		iunss1 4933	. . 3 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐴 → ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐶)
3	1, 2	anim12i 614	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ∧ ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐶))
4		eqss 3982	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴))
5		eqss 3982	. 2 ⊢ (∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 = ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ↔ (∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ∧ ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐶))
6	3, 4, 5	3imtr4i 294	1 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 = ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1537   ⊆ wss 3936  ∪ ciun 4919

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ral 3143  df-rex 3144  df-v 3496  df-in 3943  df-ss 3952  df-iun 4921

This theorem is referenced by:  iuneq1d  4946  iinvdif  5002  iunxprg  5018  iununi  5021  iunsuc  6273  funopsn  6910  funiunfv  7007  onfununi  7978  iunfi  8812  rankuni2b  9282  pwsdompw  9626  ackbij1lem7  9648  r1om  9666  fictb  9667  cfsmolem  9692  ituniiun  9844  domtriomlem  9864  domtriom  9865  inar1  10197  fsum2d  15126  fsumiun  15176  ackbijnn  15183  fprod2d  15335  prmreclem5  16256  lpival  20018  fiuncmp  22012  ovolfiniun  24102  ovoliunnul  24108  finiunmbl  24145  volfiniun  24148  voliunlem1  24151  iuninc  30312  ofpreima2  30411  esum2dlem  31351  sigaclfu2  31380  sigapildsyslem  31420  fiunelros  31433  bnj548  32169  bnj554  32171  bnj594  32184  trpredlem1  33066  trpredtr  33069  trpredmintr  33070  trpredrec  33077  neibastop2lem  33708  istotbnd3  35064  0totbnd  35066  sstotbnd2  35067  sstotbnd  35068  sstotbnd3  35069  totbndbnd  35082  prdstotbnd  35087  cntotbnd  35089  heibor  35114  dfrcl4  40041  iunrelexp0  40067  comptiunov2i  40071  corclrcl  40072  cotrcltrcl  40090  trclfvdecomr  40093  dfrtrcl4  40103  corcltrcl  40104  cotrclrcl  40107  fiiuncl  41347  iuneq1i  41370  sge0iunmptlemfi  42715  caragenfiiuncl  42817  carageniuncllem1  42823  ovnsubadd2lem  42947