Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  1neg1t1neg1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1neg1t1neg1 31072
Description: An integer unit times itself. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Aug-2020.)
Assertion
Ref Expression
1neg1t1neg1 (𝑁 ∈ {-1, 1} → (𝑁 · 𝑁) = 1)

Proof of Theorem 1neg1t1neg1
StepHypRef Expression
1 elpri 4583 . 2 (𝑁 ∈ {-1, 1} → (𝑁 = -1 ∨ 𝑁 = 1))
2 id 22 . . . . 5 (𝑁 = -1 → 𝑁 = -1)
32, 2oveq12d 7293 . . . 4 (𝑁 = -1 → (𝑁 · 𝑁) = (-1 · -1))
4 neg1mulneg1e1 12186 . . . 4 (-1 · -1) = 1
53, 4eqtrdi 2794 . . 3 (𝑁 = -1 → (𝑁 · 𝑁) = 1)
6 id 22 . . . . 5 (𝑁 = 1 → 𝑁 = 1)
76, 6oveq12d 7293 . . . 4 (𝑁 = 1 → (𝑁 · 𝑁) = (1 · 1))
8 1t1e1 12135 . . . 4 (1 · 1) = 1
97, 8eqtrdi 2794 . . 3 (𝑁 = 1 → (𝑁 · 𝑁) = 1)
105, 9jaoi 854 . 2 ((𝑁 = -1 ∨ 𝑁 = 1) → (𝑁 · 𝑁) = 1)
111, 10syl 17 1 (𝑁 ∈ {-1, 1} → (𝑁 · 𝑁) = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wo 844   = wceq 1539  wcel 2106  {cpr 4563  (class class class)co 7275  1c1 10872   · cmul 10876  -cneg 11206
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-po 5503  df-so 5504  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-ltxr 11014  df-sub 11207  df-neg 11208
This theorem is referenced by:  madjusmdetlem4  31780
  Copyright terms: Public domain W3C validator