Theorem 1neg1t1neg1 32883

Description: An integer unit times itself. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
1neg1t1neg1	⊢ (𝑁 ∈ {-1, 1} → (𝑁 · 𝑁) = 1)

Proof of Theorem 1neg1t1neg1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elpri 4600	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ {-1, 1} → (𝑁 = -1 ∨ 𝑁 = 1))
2		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = -1 → 𝑁 = -1)
3	2, 2	oveq12d 7403	. . . 4 ⊢ (𝑁 = -1 → (𝑁 · 𝑁) = (-1 · -1))
4		neg1mulneg1e1 12423	. . . 4 ⊢ (-1 · -1) = 1
5	3, 4	eqtrdi 2807	. . 3 ⊢ (𝑁 = -1 → (𝑁 · 𝑁) = 1)
6		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 1 → 𝑁 = 1)
7	6, 6	oveq12d 7403	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 1 → (𝑁 · 𝑁) = (1 · 1))
8		1t1e1 12369	. . . 4 ⊢ (1 · 1) = 1
9	7, 8	eqtrdi 2807	. . 3 ⊢ (𝑁 = 1 → (𝑁 · 𝑁) = 1)
10	5, 9	jaoi 866	. 2 ⊢ ((𝑁 = -1 ∨ 𝑁 = 1) → (𝑁 · 𝑁) = 1)
11	1, 10	syl 17	1 ⊢ (𝑁 ∈ {-1, 1} → (𝑁 · 𝑁) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 856   = wceq 1554   ∈ wcel 2136  {cpr 4578  (class class class)co 7385  1c1 11064   · cmul 11068  -cneg 11405

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1809  ax-4 1823  ax-5 1924  ax-6 1981  ax-7 2022  ax-8 2138  ax-9 2146  ax-10 2169  ax-11 2185  ax-12 2206  ax-ext 2728  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5316  ax-pr 5384  ax-un 7707  ax-resscn 11120  ax-1cn 11121  ax-icn 11122  ax-addcl 11123  ax-addrcl 11124  ax-mulcl 11125  ax-mulrcl 11126  ax-mulcom 11127  ax-addass 11128  ax-mulass 11129  ax-distr 11130  ax-i2m1 11131  ax-1ne0 11132  ax-1rid 11133  ax-rnegex 11134  ax-rrecex 11135  ax-cnre 11136  ax-pre-lttri 11137  ax-pre-lttrn 11138  ax-pre-ltadd 11139

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1557  df-fal 1567  df-ex 1794  df-nf 1798  df-sb 2085  df-mo 2560  df-eu 2590  df-clab 2735  df-cleq 2748  df-clel 2831  df-nfc 2905  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3071  df-rex 3081  df-reu 3362  df-rab 3409  df-v 3450  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4281  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-br 5095  df-opab 5157  df-mpt 5176  df-id 5535  df-po 5548  df-so 5549  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-iota 6466  df-fun 6512  df-fn 6513  df-f 6514  df-f1 6515  df-fo 6516  df-f1o 6517  df-fv 6518  df-riota 7342  df-ov 7388  df-oprab 7389  df-mpo 7390  df-er 8666  df-en 8917  df-dom 8918  df-sdom 8919  df-pnf 11208  df-mnf 11209  df-ltxr 11211  df-sub 11406  df-neg 11407

This theorem is referenced by:  madjusmdetlem4  34081