Theorem 1nei 30973

Description: The imaginary unit i is not one. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Aug-2023.)

Assertion

Ref	Expression
1nei	⊢ 1 ≠ i

Proof of Theorem 1nei

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ne2 12110	. . . . 5 ⊢ 0 ≠ 2
2	1	nesymi 3000	. . . 4 ⊢ ¬ 2 = 0
3		oveq2 7263	. . . . 5 ⊢ (1 = -1 → (1 + 1) = (1 + -1))
4		1p1e2 12028	. . . . 5 ⊢ (1 + 1) = 2
5		1pneg1e0 12022	. . . . 5 ⊢ (1 + -1) = 0
6	3, 4, 5	3eqtr3g 2802	. . . 4 ⊢ (1 = -1 → 2 = 0)
7	2, 6	mto 196	. . 3 ⊢ ¬ 1 = -1
8		id 22	. . . . 5 ⊢ (1 = i → 1 = i)
9	8, 8	oveq12d 7273	. . . 4 ⊢ (1 = i → (1 · 1) = (i · i))
10		1t1e1 12065	. . . 4 ⊢ (1 · 1) = 1
11		ixi 11534	. . . 4 ⊢ (i · i) = -1
12	9, 10, 11	3eqtr3g 2802	. . 3 ⊢ (1 = i → 1 = -1)
13	7, 12	mto 196	. 2 ⊢ ¬ 1 = i
14	13	neir 2945	1 ⊢ 1 ≠ i

Syntax hints:   = wceq 1539   ≠ wne 2942  (class class class)co 7255  0cc0 10802  1c1 10803  ici 10804   + caddc 10805   · cmul 10807  -cneg 11136  2c2 11958

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-po 5494  df-so 5495  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-2 11966

This theorem is referenced by:  ccfldextdgrr  31644