Theorem 1nei 32513

Description: The imaginary unit i is not one. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Aug-2023.)

Assertion

Ref	Expression
1nei	⊢ 1 ≠ i

Proof of Theorem 1nei

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ne2 12444	. . . . 5 ⊢ 0 ≠ 2
2	1	nesymi 2994	. . . 4 ⊢ ¬ 2 = 0
3		oveq2 7423	. . . . 5 ⊢ (1 = -1 → (1 + 1) = (1 + -1))
4		1p1e2 12362	. . . . 5 ⊢ (1 + 1) = 2
5		1pneg1e0 12356	. . . . 5 ⊢ (1 + -1) = 0
6	3, 4, 5	3eqtr3g 2791	. . . 4 ⊢ (1 = -1 → 2 = 0)
7	2, 6	mto 196	. . 3 ⊢ ¬ 1 = -1
8		id 22	. . . . 5 ⊢ (1 = i → 1 = i)
9	8, 8	oveq12d 7433	. . . 4 ⊢ (1 = i → (1 · 1) = (i · i))
10		1t1e1 12399	. . . 4 ⊢ (1 · 1) = 1
11		ixi 11868	. . . 4 ⊢ (i · i) = -1
12	9, 10, 11	3eqtr3g 2791	. . 3 ⊢ (1 = i → 1 = -1)
13	7, 12	mto 196	. 2 ⊢ ¬ 1 = i
14	13	neir 2939	1 ⊢ 1 ≠ i

Syntax hints:   = wceq 1534   ≠ wne 2936  (class class class)co 7415  0cc0 11133  1c1 11134  ici 11135   + caddc 11136   · cmul 11138  -cneg 11470  2c2 12292

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-id 5571  df-po 5585  df-so 5586  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-er 8719  df-en 8959  df-dom 8960  df-sdom 8961  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-2 12300

This theorem is referenced by:  ccfldextdgrr  33351