Theorem 1stcrestlem 22511

Description: Lemma for 1stcrest 22512. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
1stcrestlem	⊢ (𝐵 ≼ ω → ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ≼ ω)

Distinct variable group:   𝑥,𝐵

Allowed substitution hint:   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem 1stcrestlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordom 7697	. . . . . 6 ⊢ Ord ω
2		reldom 8697	. . . . . . . 8 ⊢ Rel ≼
3	2	brrelex2i 5635	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ≼ ω → ω ∈ V)
4		elong 6259	. . . . . . 7 ⊢ (ω ∈ V → (ω ∈ On ↔ Ord ω))
5	3, 4	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ≼ ω → (ω ∈ On ↔ Ord ω))
6	1, 5	mpbiri 257	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ≼ ω → ω ∈ On)
7		ondomen 9724	. . . . 5 ⊢ ((ω ∈ On ∧ 𝐵 ≼ ω) → 𝐵 ∈ dom card)
8	6, 7	mpancom 684	. . . 4 ⊢ (𝐵 ≼ ω → 𝐵 ∈ dom card)
9		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
10	9	dmmptss 6133	. . . 4 ⊢ dom (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ⊆ 𝐵
11		ssnum 9726	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ dom card ∧ dom (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ⊆ 𝐵) → dom (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ dom card)
12	8, 10, 11	sylancl 585	. . 3 ⊢ (𝐵 ≼ ω → dom (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ dom card)
13		funmpt 6456	. . . 4 ⊢ Fun (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
14		funforn 6679	. . . 4 ⊢ (Fun (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶):dom (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)–onto→ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))
15	13, 14	mpbi 229	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶):dom (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)–onto→ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
16		fodomnum 9744	. . 3 ⊢ (dom (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ dom card → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶):dom (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)–onto→ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) → ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ≼ dom (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))
17	12, 15, 16	mpisyl 21	. 2 ⊢ (𝐵 ≼ ω → ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ≼ dom (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))
18		ctex 8708	. . . 4 ⊢ (𝐵 ≼ ω → 𝐵 ∈ V)
19		ssdomg 8741	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ V → (dom (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ⊆ 𝐵 → dom (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ≼ 𝐵))
20	18, 10, 19	mpisyl 21	. . 3 ⊢ (𝐵 ≼ ω → dom (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ≼ 𝐵)
21		domtr 8748	. . 3 ⊢ ((dom (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ ω) → dom (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ≼ ω)
22	20, 21	mpancom 684	. 2 ⊢ (𝐵 ≼ ω → dom (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ≼ ω)
23		domtr 8748	. 2 ⊢ ((ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ≼ dom (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∧ dom (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ≼ ω) → ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ≼ ω)
24	17, 22, 23	syl2anc 583	1 ⊢ (𝐵 ≼ ω → ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ≼ ω)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∈ wcel 2108  Vcvv 3422   ⊆ wss 3883   class class class wbr 5070   ↦ cmpt 5153  dom cdm 5580  ran crn 5581  Ord word 6250  Oncon0 6251  Fun wfun 6412  –onto→wfo 6416  ωcom 7687   ≼ cdom 8689  cardccrd 9624

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-er 8456  df-map 8575  df-en 8692  df-dom 8693  df-card 9628  df-acn 9631

This theorem is referenced by:  1stcrest  22512  2ndcrest  22513  lly1stc  22555  abrexct  30953  ldgenpisyslem1  32031  saliuncl  43753  meadjiun  43894