Theorem 1stcrestlem 23797

Description: Lemma for 1stcrest 23798. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
1stcrestlem	⊢ (𝐵 ≼ ω → ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ≼ ω)

Distinct variable group:   𝑥,𝐵

Allowed substitution hint:   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem 1stcrestlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordom 7908	. . . . . 6 ⊢ Ord ω
2		reldom 9004	. . . . . . . 8 ⊢ Rel ≼
3	2	brrelex2i 5712	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ≼ ω → ω ∈ V)
4		elong 6385	. . . . . . 7 ⊢ (ω ∈ V → (ω ∈ On ↔ Ord ω))
5	3, 4	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ≼ ω → (ω ∈ On ↔ Ord ω))
6	1, 5	mpbiri 261	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ≼ ω → ω ∈ On)
7		ondomen 10140	. . . . 5 ⊢ ((ω ∈ On ∧ 𝐵 ≼ ω) → 𝐵 ∈ dom card)
8	6, 7	mpancom 701	. . . 4 ⊢ (𝐵 ≼ ω → 𝐵 ∈ dom card)
9		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
10	9	dmmptss 6254	. . . 4 ⊢ dom (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ⊆ 𝐵
11		ssnum 10142	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ dom card ∧ dom (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ⊆ 𝐵) → dom (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ dom card)
12	8, 10, 11	sylancl 598	. . 3 ⊢ (𝐵 ≼ ω → dom (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ dom card)
13		funmpt 6595	. . . 4 ⊢ Fun (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
14		funforn 6822	. . . 4 ⊢ (Fun (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶):dom (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)⟶ontoran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))
15	13, 14	mpbi 233	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶):dom (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)⟶ontoran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
16		fodomnum 10160	. . 3 ⊢ (dom (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ dom card → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶):dom (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)⟶ontoran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) → ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ≼ dom (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))
17	12, 15, 16	mpisyl 22	. 2 ⊢ (𝐵 ≼ ω → ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ≼ dom (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))
18		ctex 9015	. . . 4 ⊢ (𝐵 ≼ ω → 𝐵 ∈ V)
19		ssdomg 9052	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ V → (dom (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ⊆ 𝐵 → dom (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ≼ 𝐵))
20	18, 10, 19	mpisyl 22	. . 3 ⊢ (𝐵 ≼ ω → dom (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ≼ 𝐵)
21		domtr 9059	. . 3 ⊢ ((dom (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ ω) → dom (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ≼ ω)
22	20, 21	mpancom 701	. 2 ⊢ (𝐵 ≼ ω → dom (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ≼ ω)
23		domtr 9059	. 2 ⊢ ((ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ≼ dom (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∧ dom (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ≼ ω) → ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ≼ ω)
24	17, 22, 23	syl2anc 596	1 ⊢ (𝐵 ≼ ω → ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ≼ ω)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∈ wcel 2147  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5189  dom cdm 5655  ran crn 5656  Ord word 6376  Oncon0 6377  Fun wfun 6549  ⟶ontowfo 6553  ωcom 7898   ≼ cdom 8996  cardccrd 10040

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-isom 6564  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-om 7899  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-er 8742  df-map 8874  df-en 8999  df-dom 9000  df-card 10044  df-acn 10047

This theorem is used by:  1stcrest  23798  2ndcrest  23799  abrexct  23800  lly1stc  23842  ldgenpisyslem1  34863  meadjiun  47679