MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1stcrestlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1stcrestlem 21584
Description: Lemma for 1stcrest 21585. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
1stcrestlem (𝐵 ≼ ω → ran (𝑥𝐵𝐶) ≼ ω)
Distinct variable group:   𝑥,𝐵
Allowed substitution hint:   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem 1stcrestlem
StepHypRef Expression
1 ordom 7308 . . . . . 6 Ord ω
2 reldom 8201 . . . . . . . 8 Rel ≼
32brrelex2i 5364 . . . . . . 7 (𝐵 ≼ ω → ω ∈ V)
4 elong 5949 . . . . . . 7 (ω ∈ V → (ω ∈ On ↔ Ord ω))
53, 4syl 17 . . . . . 6 (𝐵 ≼ ω → (ω ∈ On ↔ Ord ω))
61, 5mpbiri 250 . . . . 5 (𝐵 ≼ ω → ω ∈ On)
7 ondomen 9146 . . . . 5 ((ω ∈ On ∧ 𝐵 ≼ ω) → 𝐵 ∈ dom card)
86, 7mpancom 680 . . . 4 (𝐵 ≼ ω → 𝐵 ∈ dom card)
9 eqid 2799 . . . . 5 (𝑥𝐵𝐶) = (𝑥𝐵𝐶)
109dmmptss 5850 . . . 4 dom (𝑥𝐵𝐶) ⊆ 𝐵
11 ssnum 9148 . . . 4 ((𝐵 ∈ dom card ∧ dom (𝑥𝐵𝐶) ⊆ 𝐵) → dom (𝑥𝐵𝐶) ∈ dom card)
128, 10, 11sylancl 581 . . 3 (𝐵 ≼ ω → dom (𝑥𝐵𝐶) ∈ dom card)
13 funmpt 6139 . . . 4 Fun (𝑥𝐵𝐶)
14 funforn 6338 . . . 4 (Fun (𝑥𝐵𝐶) ↔ (𝑥𝐵𝐶):dom (𝑥𝐵𝐶)–onto→ran (𝑥𝐵𝐶))
1513, 14mpbi 222 . . 3 (𝑥𝐵𝐶):dom (𝑥𝐵𝐶)–onto→ran (𝑥𝐵𝐶)
16 fodomnum 9166 . . 3 (dom (𝑥𝐵𝐶) ∈ dom card → ((𝑥𝐵𝐶):dom (𝑥𝐵𝐶)–onto→ran (𝑥𝐵𝐶) → ran (𝑥𝐵𝐶) ≼ dom (𝑥𝐵𝐶)))
1712, 15, 16mpisyl 21 . 2 (𝐵 ≼ ω → ran (𝑥𝐵𝐶) ≼ dom (𝑥𝐵𝐶))
182brrelex1i 5363 . . . 4 (𝐵 ≼ ω → 𝐵 ∈ V)
19 ssdomg 8241 . . . 4 (𝐵 ∈ V → (dom (𝑥𝐵𝐶) ⊆ 𝐵 → dom (𝑥𝐵𝐶) ≼ 𝐵))
2018, 10, 19mpisyl 21 . . 3 (𝐵 ≼ ω → dom (𝑥𝐵𝐶) ≼ 𝐵)
21 domtr 8248 . . 3 ((dom (𝑥𝐵𝐶) ≼ 𝐵𝐵 ≼ ω) → dom (𝑥𝐵𝐶) ≼ ω)
2220, 21mpancom 680 . 2 (𝐵 ≼ ω → dom (𝑥𝐵𝐶) ≼ ω)
23 domtr 8248 . 2 ((ran (𝑥𝐵𝐶) ≼ dom (𝑥𝐵𝐶) ∧ dom (𝑥𝐵𝐶) ≼ ω) → ran (𝑥𝐵𝐶) ≼ ω)
2417, 22, 23syl2anc 580 1 (𝐵 ≼ ω → ran (𝑥𝐵𝐶) ≼ ω)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wcel 2157  Vcvv 3385  wss 3769   class class class wbr 4843  cmpt 4922  dom cdm 5312  ran crn 5313  Ord word 5940  Oncon0 5941  Fun wfun 6095  ontowfo 6099  ωcom 7299  cdom 8193  cardccrd 9047
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-int 4668  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-se 5272  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-isom 6110  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-om 7300  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-er 7982  df-map 8097  df-en 8196  df-dom 8197  df-card 9051  df-acn 9054
This theorem is referenced by:  1stcrest  21585  2ndcrest  21586  lly1stc  21628  abrexct  30012  ldgenpisyslem1  30742  saliuncl  41285  meadjiun  41426
  Copyright terms: Public domain W3C validator