MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1stcrestlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1stcrestlem 22826
Description: Lemma for 1stcrest 22827. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
1stcrestlem (𝐡 β‰Ό Ο‰ β†’ ran (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β‰Ό Ο‰)
Distinct variable group:   π‘₯,𝐡
Allowed substitution hint:   𝐢(π‘₯)

Proof of Theorem 1stcrestlem
StepHypRef Expression
1 ordom 7816 . . . . . 6 Ord Ο‰
2 reldom 8895 . . . . . . . 8 Rel β‰Ό
32brrelex2i 5693 . . . . . . 7 (𝐡 β‰Ό Ο‰ β†’ Ο‰ ∈ V)
4 elong 6329 . . . . . . 7 (Ο‰ ∈ V β†’ (Ο‰ ∈ On ↔ Ord Ο‰))
53, 4syl 17 . . . . . 6 (𝐡 β‰Ό Ο‰ β†’ (Ο‰ ∈ On ↔ Ord Ο‰))
61, 5mpbiri 258 . . . . 5 (𝐡 β‰Ό Ο‰ β†’ Ο‰ ∈ On)
7 ondomen 9981 . . . . 5 ((Ο‰ ∈ On ∧ 𝐡 β‰Ό Ο‰) β†’ 𝐡 ∈ dom card)
86, 7mpancom 687 . . . 4 (𝐡 β‰Ό Ο‰ β†’ 𝐡 ∈ dom card)
9 eqid 2733 . . . . 5 (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) = (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)
109dmmptss 6197 . . . 4 dom (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) βŠ† 𝐡
11 ssnum 9983 . . . 4 ((𝐡 ∈ dom card ∧ dom (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) βŠ† 𝐡) β†’ dom (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) ∈ dom card)
128, 10, 11sylancl 587 . . 3 (𝐡 β‰Ό Ο‰ β†’ dom (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) ∈ dom card)
13 funmpt 6543 . . . 4 Fun (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)
14 funforn 6767 . . . 4 (Fun (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢):dom (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)–ontoβ†’ran (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢))
1513, 14mpbi 229 . . 3 (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢):dom (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)–ontoβ†’ran (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)
16 fodomnum 10001 . . 3 (dom (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) ∈ dom card β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢):dom (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)–ontoβ†’ran (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β†’ ran (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β‰Ό dom (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)))
1712, 15, 16mpisyl 21 . 2 (𝐡 β‰Ό Ο‰ β†’ ran (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β‰Ό dom (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢))
18 ctex 8909 . . . 4 (𝐡 β‰Ό Ο‰ β†’ 𝐡 ∈ V)
19 ssdomg 8946 . . . 4 (𝐡 ∈ V β†’ (dom (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) βŠ† 𝐡 β†’ dom (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β‰Ό 𝐡))
2018, 10, 19mpisyl 21 . . 3 (𝐡 β‰Ό Ο‰ β†’ dom (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β‰Ό 𝐡)
21 domtr 8953 . . 3 ((dom (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β‰Ό 𝐡 ∧ 𝐡 β‰Ό Ο‰) β†’ dom (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β‰Ό Ο‰)
2220, 21mpancom 687 . 2 (𝐡 β‰Ό Ο‰ β†’ dom (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β‰Ό Ο‰)
23 domtr 8953 . 2 ((ran (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β‰Ό dom (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) ∧ dom (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β‰Ό Ο‰) β†’ ran (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β‰Ό Ο‰)
2417, 22, 23syl2anc 585 1 (𝐡 β‰Ό Ο‰ β†’ ran (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β‰Ό Ο‰)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∈ wcel 2107  Vcvv 3447   βŠ† wss 3914   class class class wbr 5109   ↦ cmpt 5192  dom cdm 5637  ran crn 5638  Ord word 6320  Oncon0 6321  Fun wfun 6494  β€“ontoβ†’wfo 6498  Ο‰com 7806   β‰Ό cdom 8887  cardccrd 9879
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-card 9883  df-acn 9886
This theorem is referenced by:  1stcrest  22827  2ndcrest  22828  lly1stc  22870  abrexct  31687  ldgenpisyslem1  32826  meadjiun  44797
  Copyright terms: Public domain W3C validator