Theorem 2omomeqom 43292

Description: Ordinal two times omega is omega. Lemma 3.17 of [Schloeder] p. 10. (Contributed by RP, 30-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
2omomeqom	⊢ (2o ·o ω) = ω

Proof of Theorem 2omomeqom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omelon 9599	. 2 ⊢ ω ∈ On
2		2onn 8606	. 2 ⊢ 2o ∈ ω
3		0ex 5262	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ V
4	3	prid1 4726	. . 3 ⊢ ∅ ∈ {∅, {∅}}
5		df2o2 8443	. . 3 ⊢ 2o = {∅, {∅}}
6	4, 5	eleqtrri 2827	. 2 ⊢ ∅ ∈ 2o
7		omabslem 8614	. 2 ⊢ ((ω ∈ On ∧ 2o ∈ ω ∧ ∅ ∈ 2o) → (2o ·o ω) = ω)
8	1, 2, 6, 7	mp3an 1463	1 ⊢ (2o ·o ω) = ω

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∅c0 4296  {csn 4589  {cpr 4591  Oncon0 6332  (class class class)co 7387  ωcom 7842  2_oc2o 8428   ·_o comu 8432

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-inf2 9594

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-2o 8435  df-oadd 8438  df-omul 8439

This theorem is referenced by:  omnord1ex  43293  oaomoencom  43306