Theorem 2omomeqom 43612

Description: Ordinal two times omega is omega. Lemma 3.17 of [Schloeder] p. 10. (Contributed by RP, 30-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
2omomeqom	⊢ (2o ·o ω) = ω

Proof of Theorem 2omomeqom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omelon 9559	. 2 ⊢ ω ∈ On
2		2onn 8572	. 2 ⊢ 2o ∈ ω
3		0ex 5253	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ V
4	3	prid1 4720	. . 3 ⊢ ∅ ∈ {∅, {∅}}
5		df2o2 8408	. . 3 ⊢ 2o = {∅, {∅}}
6	4, 5	eleqtrri 2836	. 2 ⊢ ∅ ∈ 2o
7		omabslem 8580	. 2 ⊢ ((ω ∈ On ∧ 2o ∈ ω ∧ ∅ ∈ 2o) → (2o ·o ω) = ω)
8	1, 2, 6, 7	mp3an 1464	1 ⊢ (2o ·o ω) = ω

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∅c0 4286  {csn 4581  {cpr 4583  Oncon0 6318  (class class class)co 7360  ωcom 7810  2_oc2o 8393   ·_o comu 8397

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-inf2 9554

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-oadd 8403  df-omul 8404

This theorem is referenced by:  omnord1ex  43613  oaomoencom  43626