Theorem 2omomeqom 44131

Description: Ordinal two times omega is omega. Lemma 3.17 of [Schloeder] p. 10. (Contributed by RP, 30-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
2omomeqom	⊢ (2o ·o ω) = ω

Proof of Theorem 2omomeqom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omelon 9628	. 2 ⊢ ω ∈ On
2		2onn 8633	. 2 ⊢ 2o ∈ ω
3		0ex 5268	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ V
4	3	prid1 4726	. . 3 ⊢ ∅ ∈ {∅, {∅}}
5		df2o2 8467	. . 3 ⊢ 2o = {∅, {∅}}
6	4, 5	eleqtrri 2861	. 2 ⊢ ∅ ∈ 2o
7		omabslem 8641	. 2 ⊢ ((ω ∈ On ∧ 2o ∈ ω ∧ ∅ ∈ 2o) → (2o ·o ω) = ω)
8	1, 2, 6, 7	mp3an 1490	1 ⊢ (2o ·o ω) = ω

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∅c0 4282  {csn 4587  {cpr 4589  Oncon0 6361  (class class class)co 7416  ωcom 7865  2_oc2o 8452   ·_o comu 8456

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-inf2 9623

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-2o 8459  df-oadd 8462  df-omul 8463

This theorem is used by:  omnord1ex  44132  oaomoencom  44145