Theorem 2omomeqom 42508

Description: Ordinal two times omega is omega. Lemma 3.17 of [Schloeder] p. 10. (Contributed by RP, 30-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
2omomeqom	⊢ (2o ·o ω) = ω

Proof of Theorem 2omomeqom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omelon 9636	. 2 ⊢ ω ∈ On
2		2onn 8636	. 2 ⊢ 2o ∈ ω
3		0ex 5297	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ V
4	3	prid1 4758	. . 3 ⊢ ∅ ∈ {∅, {∅}}
5		df2o2 8470	. . 3 ⊢ 2o = {∅, {∅}}
6	4, 5	eleqtrri 2824	. 2 ⊢ ∅ ∈ 2o
7		omabslem 8644	. 2 ⊢ ((ω ∈ On ∧ 2o ∈ ω ∧ ∅ ∈ 2o) → (2o ·o ω) = ω)
8	1, 2, 6, 7	mp3an 1457	1 ⊢ (2o ·o ω) = ω

Syntax hints:   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∅c0 4314  {csn 4620  {cpr 4622  Oncon0 6354  (class class class)co 7401  ωcom 7848  2_oc2o 8455   ·_o comu 8459

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-inf2 9631

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-2o 8462  df-oadd 8465  df-omul 8466

This theorem is referenced by:  omnord1ex  42509  oaomoencom  42522