Theorem 2omomeqom 43285

Description: Ordinal two times omega is omega. Lemma 3.17 of [Schloeder] p. 10. (Contributed by RP, 30-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
2omomeqom	⊢ (2o ·o ω) = ω

Proof of Theorem 2omomeqom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omelon 9575	. 2 ⊢ ω ∈ On
2		2onn 8583	. 2 ⊢ 2o ∈ ω
3		0ex 5257	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ V
4	3	prid1 4722	. . 3 ⊢ ∅ ∈ {∅, {∅}}
5		df2o2 8420	. . 3 ⊢ 2o = {∅, {∅}}
6	4, 5	eleqtrri 2827	. 2 ⊢ ∅ ∈ 2o
7		omabslem 8591	. 2 ⊢ ((ω ∈ On ∧ 2o ∈ ω ∧ ∅ ∈ 2o) → (2o ·o ω) = ω)
8	1, 2, 6, 7	mp3an 1463	1 ⊢ (2o ·o ω) = ω

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∅c0 4292  {csn 4585  {cpr 4587  Oncon0 6320  (class class class)co 7369  ωcom 7822  2_oc2o 8405   ·_o comu 8409

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-inf2 9570

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-2o 8412  df-oadd 8415  df-omul 8416

This theorem is referenced by:  omnord1ex  43286  oaomoencom  43299