MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  omabslem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem omabslem 8651
Description: Lemma for omabs 8652. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
omabslem ((ฯ‰ โˆˆ On โˆง ๐ด โˆˆ ฯ‰ โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐ด ยทo ฯ‰) = ฯ‰)

Proof of Theorem omabslem
Dummy variable ๐‘ฅ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnon 7863 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ ฯ‰ โ†’ ๐ด โˆˆ On)
2 limom 7873 . . . . . . 7 Lim ฯ‰
32jctr 525 . . . . . 6 (ฯ‰ โˆˆ On โ†’ (ฯ‰ โˆˆ On โˆง Lim ฯ‰))
4 omlim 8535 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ On โˆง (ฯ‰ โˆˆ On โˆง Lim ฯ‰)) โ†’ (๐ด ยทo ฯ‰) = โˆช ๐‘ฅ โˆˆ ฯ‰ (๐ด ยทo ๐‘ฅ))
51, 3, 4syl2an 596 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ ฯ‰ โˆง ฯ‰ โˆˆ On) โ†’ (๐ด ยทo ฯ‰) = โˆช ๐‘ฅ โˆˆ ฯ‰ (๐ด ยทo ๐‘ฅ))
6 ordom 7867 . . . . . . . . 9 Ord ฯ‰
7 nnmcl 8614 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ฯ‰) โ†’ (๐ด ยทo ๐‘ฅ) โˆˆ ฯ‰)
8 ordelss 6380 . . . . . . . . 9 ((Ord ฯ‰ โˆง (๐ด ยทo ๐‘ฅ) โˆˆ ฯ‰) โ†’ (๐ด ยทo ๐‘ฅ) โŠ† ฯ‰)
96, 7, 8sylancr 587 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ฯ‰) โ†’ (๐ด ยทo ๐‘ฅ) โŠ† ฯ‰)
109ralrimiva 3146 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ ฯ‰ โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ฯ‰ (๐ด ยทo ๐‘ฅ) โŠ† ฯ‰)
11 iunss 5048 . . . . . . 7 (โˆช ๐‘ฅ โˆˆ ฯ‰ (๐ด ยทo ๐‘ฅ) โŠ† ฯ‰ โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ฯ‰ (๐ด ยทo ๐‘ฅ) โŠ† ฯ‰)
1210, 11sylibr 233 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ ฯ‰ โ†’ โˆช ๐‘ฅ โˆˆ ฯ‰ (๐ด ยทo ๐‘ฅ) โŠ† ฯ‰)
1312adantr 481 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ ฯ‰ โˆง ฯ‰ โˆˆ On) โ†’ โˆช ๐‘ฅ โˆˆ ฯ‰ (๐ด ยทo ๐‘ฅ) โŠ† ฯ‰)
145, 13eqsstrd 4020 . . . 4 ((๐ด โˆˆ ฯ‰ โˆง ฯ‰ โˆˆ On) โ†’ (๐ด ยทo ฯ‰) โŠ† ฯ‰)
1514ancoms 459 . . 3 ((ฯ‰ โˆˆ On โˆง ๐ด โˆˆ ฯ‰) โ†’ (๐ด ยทo ฯ‰) โŠ† ฯ‰)
16153adant3 1132 . 2 ((ฯ‰ โˆˆ On โˆง ๐ด โˆˆ ฯ‰ โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐ด ยทo ฯ‰) โŠ† ฯ‰)
17 omword2 8576 . . . 4 (((ฯ‰ โˆˆ On โˆง ๐ด โˆˆ On) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ ฯ‰ โŠ† (๐ด ยทo ฯ‰))
18173impa 1110 . . 3 ((ฯ‰ โˆˆ On โˆง ๐ด โˆˆ On โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ ฯ‰ โŠ† (๐ด ยทo ฯ‰))
191, 18syl3an2 1164 . 2 ((ฯ‰ โˆˆ On โˆง ๐ด โˆˆ ฯ‰ โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ ฯ‰ โŠ† (๐ด ยทo ฯ‰))
2016, 19eqssd 3999 1 ((ฯ‰ โˆˆ On โˆง ๐ด โˆˆ ฯ‰ โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐ด ยทo ฯ‰) = ฯ‰)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 396   โˆง w3a 1087   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  โˆ€wral 3061   โŠ† wss 3948  โˆ…c0 4322  โˆช ciun 4997  Ord word 6363  Oncon0 6364  Lim wlim 6365  (class class class)co 7411  ฯ‰com 7857   ยทo comu 8466
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-oadd 8472  df-omul 8473
This theorem is referenced by:  omabs  8652  2omomeqom  42135  omnord1ex  42136
  Copyright terms: Public domain W3C validator