![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > omabslem | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Lemma for omabs 8652. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2015.) |
Ref | Expression |
---|---|
omabslem | โข ((ฯ โ On โง ๐ด โ ฯ โง โ โ ๐ด) โ (๐ด ยทo ฯ) = ฯ) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | nnon 7863 | . . . . . 6 โข (๐ด โ ฯ โ ๐ด โ On) | |
2 | limom 7873 | . . . . . . 7 โข Lim ฯ | |
3 | 2 | jctr 525 | . . . . . 6 โข (ฯ โ On โ (ฯ โ On โง Lim ฯ)) |
4 | omlim 8535 | . . . . . 6 โข ((๐ด โ On โง (ฯ โ On โง Lim ฯ)) โ (๐ด ยทo ฯ) = โช ๐ฅ โ ฯ (๐ด ยทo ๐ฅ)) | |
5 | 1, 3, 4 | syl2an 596 | . . . . 5 โข ((๐ด โ ฯ โง ฯ โ On) โ (๐ด ยทo ฯ) = โช ๐ฅ โ ฯ (๐ด ยทo ๐ฅ)) |
6 | ordom 7867 | . . . . . . . . 9 โข Ord ฯ | |
7 | nnmcl 8614 | . . . . . . . . 9 โข ((๐ด โ ฯ โง ๐ฅ โ ฯ) โ (๐ด ยทo ๐ฅ) โ ฯ) | |
8 | ordelss 6380 | . . . . . . . . 9 โข ((Ord ฯ โง (๐ด ยทo ๐ฅ) โ ฯ) โ (๐ด ยทo ๐ฅ) โ ฯ) | |
9 | 6, 7, 8 | sylancr 587 | . . . . . . . 8 โข ((๐ด โ ฯ โง ๐ฅ โ ฯ) โ (๐ด ยทo ๐ฅ) โ ฯ) |
10 | 9 | ralrimiva 3146 | . . . . . . 7 โข (๐ด โ ฯ โ โ๐ฅ โ ฯ (๐ด ยทo ๐ฅ) โ ฯ) |
11 | iunss 5048 | . . . . . . 7 โข (โช ๐ฅ โ ฯ (๐ด ยทo ๐ฅ) โ ฯ โ โ๐ฅ โ ฯ (๐ด ยทo ๐ฅ) โ ฯ) | |
12 | 10, 11 | sylibr 233 | . . . . . 6 โข (๐ด โ ฯ โ โช ๐ฅ โ ฯ (๐ด ยทo ๐ฅ) โ ฯ) |
13 | 12 | adantr 481 | . . . . 5 โข ((๐ด โ ฯ โง ฯ โ On) โ โช ๐ฅ โ ฯ (๐ด ยทo ๐ฅ) โ ฯ) |
14 | 5, 13 | eqsstrd 4020 | . . . 4 โข ((๐ด โ ฯ โง ฯ โ On) โ (๐ด ยทo ฯ) โ ฯ) |
15 | 14 | ancoms 459 | . . 3 โข ((ฯ โ On โง ๐ด โ ฯ) โ (๐ด ยทo ฯ) โ ฯ) |
16 | 15 | 3adant3 1132 | . 2 โข ((ฯ โ On โง ๐ด โ ฯ โง โ โ ๐ด) โ (๐ด ยทo ฯ) โ ฯ) |
17 | omword2 8576 | . . . 4 โข (((ฯ โ On โง ๐ด โ On) โง โ โ ๐ด) โ ฯ โ (๐ด ยทo ฯ)) | |
18 | 17 | 3impa 1110 | . . 3 โข ((ฯ โ On โง ๐ด โ On โง โ โ ๐ด) โ ฯ โ (๐ด ยทo ฯ)) |
19 | 1, 18 | syl3an2 1164 | . 2 โข ((ฯ โ On โง ๐ด โ ฯ โง โ โ ๐ด) โ ฯ โ (๐ด ยทo ฯ)) |
20 | 16, 19 | eqssd 3999 | 1 โข ((ฯ โ On โง ๐ด โ ฯ โง โ โ ๐ด) โ (๐ด ยทo ฯ) = ฯ) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 396 โง w3a 1087 = wceq 1541 โ wcel 2106 โwral 3061 โ wss 3948 โ c0 4322 โช ciun 4997 Ord word 6363 Oncon0 6364 Lim wlim 6365 (class class class)co 7411 ฯcom 7857 ยทo comu 8466 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1913 ax-6 1971 ax-7 2011 ax-8 2108 ax-9 2116 ax-10 2137 ax-11 2154 ax-12 2171 ax-ext 2703 ax-rep 5285 ax-sep 5299 ax-nul 5306 ax-pr 5427 ax-un 7727 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 397 df-or 846 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1544 df-fal 1554 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2068 df-mo 2534 df-eu 2563 df-clab 2710 df-cleq 2724 df-clel 2810 df-nfc 2885 df-ne 2941 df-ral 3062 df-rex 3071 df-reu 3377 df-rab 3433 df-v 3476 df-sbc 3778 df-csb 3894 df-dif 3951 df-un 3953 df-in 3955 df-ss 3965 df-pss 3967 df-nul 4323 df-if 4529 df-pw 4604 df-sn 4629 df-pr 4631 df-op 4635 df-uni 4909 df-iun 4999 df-br 5149 df-opab 5211 df-mpt 5232 df-tr 5266 df-id 5574 df-eprel 5580 df-po 5588 df-so 5589 df-fr 5631 df-we 5633 df-xp 5682 df-rel 5683 df-cnv 5684 df-co 5685 df-dm 5686 df-rn 5687 df-res 5688 df-ima 5689 df-pred 6300 df-ord 6367 df-on 6368 df-lim 6369 df-suc 6370 df-iota 6495 df-fun 6545 df-fn 6546 df-f 6547 df-f1 6548 df-fo 6549 df-f1o 6550 df-fv 6551 df-ov 7414 df-oprab 7415 df-mpo 7416 df-om 7858 df-2nd 7978 df-frecs 8268 df-wrecs 8299 df-recs 8373 df-rdg 8412 df-1o 8468 df-oadd 8472 df-omul 8473 |
This theorem is referenced by: omabs 8652 2omomeqom 42135 omnord1ex 42136 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |