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Theorem ostth2lem3 26198
Description: Lemma for ostth2 26200. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
qrng.q 𝑄 = (ℂflds ℚ)
qabsabv.a 𝐴 = (AbsVal‘𝑄)
padic.j 𝐽 = (𝑞 ∈ ℙ ↦ (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, (𝑞↑-(𝑞 pCnt 𝑥)))))
ostth.k 𝐾 = (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, 1))
ostth.1 (𝜑𝐹𝐴)
ostth2.2 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘2))
ostth2.3 (𝜑 → 1 < (𝐹𝑁))
ostth2.4 𝑅 = ((log‘(𝐹𝑁)) / (log‘𝑁))
ostth2.5 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘2))
ostth2.6 𝑆 = ((log‘(𝐹𝑀)) / (log‘𝑀))
ostth2.7 𝑇 = if((𝐹𝑀) ≤ 1, 1, (𝐹𝑀))
ostth2.8 𝑈 = ((log‘𝑁) / (log‘𝑀))
Assertion
Ref Expression
ostth2lem3 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (((𝐹𝑁) / (𝑇𝑐𝑈))↑𝑋) ≤ (𝑋 · ((𝑀 · 𝑇) · (𝑈 + 1))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑀   𝑥,𝑞,𝜑   𝑥,𝑇   𝑥,𝑈   𝑥,𝑋   𝐴,𝑞,𝑥   𝑥,𝑁   𝑥,𝑄   𝐹,𝑞   𝑅,𝑞   𝑥,𝐹
Allowed substitution hints:   𝑄(𝑞)   𝑅(𝑥)   𝑆(𝑥,𝑞)   𝑇(𝑞)   𝑈(𝑞)   𝐽(𝑥,𝑞)   𝐾(𝑥,𝑞)   𝑀(𝑞)   𝑁(𝑞)   𝑋(𝑞)

Proof of Theorem ostth2lem3
StepHypRef Expression
1 ostth.1 . . . . . 6 (𝜑𝐹𝐴)
2 ostth2.2 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘2))
3 eluz2b2 12300 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑁))
42, 3sylib 220 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑁))
54simpld 497 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
6 nnq 12340 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℚ)
75, 6syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℚ)
8 qabsabv.a . . . . . . 7 𝐴 = (AbsVal‘𝑄)
9 qrng.q . . . . . . . 8 𝑄 = (ℂflds ℚ)
109qrngbas 26182 . . . . . . 7 ℚ = (Base‘𝑄)
118, 10abvcl 19571 . . . . . 6 ((𝐹𝐴𝑁 ∈ ℚ) → (𝐹𝑁) ∈ ℝ)
121, 7, 11syl2anc 586 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹𝑁) ∈ ℝ)
1312adantr 483 . . . 4 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (𝐹𝑁) ∈ ℝ)
1413recnd 10647 . . 3 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (𝐹𝑁) ∈ ℂ)
15 ostth2.7 . . . . . . 7 𝑇 = if((𝐹𝑀) ≤ 1, 1, (𝐹𝑀))
16 1re 10619 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
17 ostth2.5 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘2))
18 eluz2b2 12300 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑀))
1917, 18sylib 220 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑀 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑀))
2019simpld 497 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
21 nnq 12340 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℚ)
2220, 21syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ ℚ)
238, 10abvcl 19571 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝐴𝑀 ∈ ℚ) → (𝐹𝑀) ∈ ℝ)
241, 22, 23syl2anc 586 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹𝑀) ∈ ℝ)
25 ifcl 4487 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑀) ∈ ℝ) → if((𝐹𝑀) ≤ 1, 1, (𝐹𝑀)) ∈ ℝ)
2616, 24, 25sylancr 589 . . . . . . 7 (𝜑 → if((𝐹𝑀) ≤ 1, 1, (𝐹𝑀)) ∈ ℝ)
2715, 26eqeltrid 2915 . . . . . 6 (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
2827adantr 483 . . . . 5 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → 𝑇 ∈ ℝ)
29 0red 10622 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
30 1red 10620 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
31 0lt1 11140 . . . . . . . . . 10 0 < 1
3231a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 < 1)
33 max2 12559 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹𝑀) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → 1 ≤ if((𝐹𝑀) ≤ 1, 1, (𝐹𝑀)))
3424, 30, 33syl2anc 586 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 1 ≤ if((𝐹𝑀) ≤ 1, 1, (𝐹𝑀)))
3534, 15breqtrrdi 5084 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 1 ≤ 𝑇)
3629, 30, 27, 32, 35ltletrd 10778 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 < 𝑇)
3736adantr 483 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → 0 < 𝑇)
3828, 37elrpd 12407 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → 𝑇 ∈ ℝ+)
3938rpge0d 12414 . . . . 5 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → 0 ≤ 𝑇)
40 ostth2.8 . . . . . . . 8 𝑈 = ((log‘𝑁) / (log‘𝑀))
415nnred 11631 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
424simprd 498 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 1 < 𝑁)
4341, 42rplogcld 25199 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (log‘𝑁) ∈ ℝ+)
4420nnred 11631 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
4519simprd 498 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 1 < 𝑀)
4644, 45rplogcld 25199 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (log‘𝑀) ∈ ℝ+)
4743, 46rpdivcld 12427 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((log‘𝑁) / (log‘𝑀)) ∈ ℝ+)
4840, 47eqeltrid 2915 . . . . . . 7 (𝜑𝑈 ∈ ℝ+)
4948rpred 12410 . . . . . 6 (𝜑𝑈 ∈ ℝ)
5049adantr 483 . . . . 5 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → 𝑈 ∈ ℝ)
5128, 39, 50recxpcld 25293 . . . 4 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (𝑇𝑐𝑈) ∈ ℝ)
5251recnd 10647 . . 3 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (𝑇𝑐𝑈) ∈ ℂ)
5338, 50rpcxpcld 25302 . . . 4 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (𝑇𝑐𝑈) ∈ ℝ+)
5453rpne0d 12415 . . 3 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (𝑇𝑐𝑈) ≠ 0)
55 nnnn0 11883 . . . 4 (𝑋 ∈ ℕ → 𝑋 ∈ ℕ0)
5655adantl 484 . . 3 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → 𝑋 ∈ ℕ0)
5714, 52, 54, 56expdivd 13509 . 2 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (((𝐹𝑁) / (𝑇𝑐𝑈))↑𝑋) = (((𝐹𝑁)↑𝑋) / ((𝑇𝑐𝑈)↑𝑋)))
58 reexpcl 13431 . . . . . 6 (((𝐹𝑁) ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → ((𝐹𝑁)↑𝑋) ∈ ℝ)
5912, 55, 58syl2an 597 . . . . 5 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑁)↑𝑋) ∈ ℝ)
6020adantr 483 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℕ)
6160nnred 11631 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℝ)
62 nnre 11623 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ ℕ → 𝑋 ∈ ℝ)
6362adantl 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → 𝑋 ∈ ℝ)
6463, 50remulcld 10649 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (𝑋 · 𝑈) ∈ ℝ)
6556nn0ge0d 11937 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → 0 ≤ 𝑋)
6648rpge0d 12414 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 ≤ 𝑈)
6766adantr 483 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → 0 ≤ 𝑈)
6863, 50, 65, 67mulge0d 11195 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝑋 · 𝑈))
69 flge0nn0 13174 . . . . . . . . . 10 (((𝑋 · 𝑈) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑋 · 𝑈)) → (⌊‘(𝑋 · 𝑈)) ∈ ℕ0)
7064, 68, 69syl2anc 586 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝑋 · 𝑈)) ∈ ℕ0)
71 peano2nn0 11916 . . . . . . . . 9 ((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) ∈ ℕ0 → ((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1) ∈ ℕ0)
7270, 71syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → ((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1) ∈ ℕ0)
7372nn0red 11935 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → ((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1) ∈ ℝ)
7461, 73remulcld 10649 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (𝑀 · ((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) ∈ ℝ)
7528, 72reexpcld 13512 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (𝑇↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) ∈ ℝ)
7674, 75remulcld 10649 . . . . 5 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → ((𝑀 · ((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) · (𝑇↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1))) ∈ ℝ)
77 peano2re 10791 . . . . . . . . 9 (𝑈 ∈ ℝ → (𝑈 + 1) ∈ ℝ)
7850, 77syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (𝑈 + 1) ∈ ℝ)
7963, 78remulcld 10649 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (𝑋 · (𝑈 + 1)) ∈ ℝ)
8061, 79remulcld 10649 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (𝑀 · (𝑋 · (𝑈 + 1))) ∈ ℝ)
8151, 56reexpcld 13512 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → ((𝑇𝑐𝑈)↑𝑋) ∈ ℝ)
8281, 28remulcld 10649 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (((𝑇𝑐𝑈)↑𝑋) · 𝑇) ∈ ℝ)
8380, 82remulcld 10649 . . . . 5 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → ((𝑀 · (𝑋 · (𝑈 + 1))) · (((𝑇𝑐𝑈)↑𝑋) · 𝑇)) ∈ ℝ)
849, 8qabvexp 26189 . . . . . . 7 ((𝐹𝐴𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → (𝐹‘(𝑁𝑋)) = ((𝐹𝑁)↑𝑋))
851, 7, 55, 84syl2an3an 1418 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑁𝑋)) = ((𝐹𝑁)↑𝑋))
8663recnd 10647 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → 𝑋 ∈ ℂ)
8743rpred 12410 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (log‘𝑁) ∈ ℝ)
8887recnd 10647 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (log‘𝑁) ∈ ℂ)
8988adantr 483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (log‘𝑁) ∈ ℂ)
9046rpred 12410 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (log‘𝑀) ∈ ℝ)
9190recnd 10647 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (log‘𝑀) ∈ ℂ)
9291adantr 483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (log‘𝑀) ∈ ℂ)
9346adantr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (log‘𝑀) ∈ ℝ+)
9493rpne0d 12415 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (log‘𝑀) ≠ 0)
9586, 89, 92, 94divassd 11429 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → ((𝑋 · (log‘𝑁)) / (log‘𝑀)) = (𝑋 · ((log‘𝑁) / (log‘𝑀))))
9640oveq2i 7144 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑋 · 𝑈) = (𝑋 · ((log‘𝑁) / (log‘𝑀)))
9795, 96syl6eqr 2873 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → ((𝑋 · (log‘𝑁)) / (log‘𝑀)) = (𝑋 · 𝑈))
9897oveq1d 7148 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (((𝑋 · (log‘𝑁)) / (log‘𝑀)) · (log‘𝑀)) = ((𝑋 · 𝑈) · (log‘𝑀)))
9986, 89mulcld 10639 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (𝑋 · (log‘𝑁)) ∈ ℂ)
10099, 92, 94divcan1d 11395 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (((𝑋 · (log‘𝑁)) / (log‘𝑀)) · (log‘𝑀)) = (𝑋 · (log‘𝑁)))
10198, 100eqtr3d 2857 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → ((𝑋 · 𝑈) · (log‘𝑀)) = (𝑋 · (log‘𝑁)))
102 flltp1 13154 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑋 · 𝑈) ∈ ℝ → (𝑋 · 𝑈) < ((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1))
10364, 102syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (𝑋 · 𝑈) < ((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1))
10464, 73, 93, 103ltmul1dd 12465 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → ((𝑋 · 𝑈) · (log‘𝑀)) < (((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1) · (log‘𝑀)))
105101, 104eqbrtrrd 5066 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (𝑋 · (log‘𝑁)) < (((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1) · (log‘𝑀)))
10687adantr 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (log‘𝑁) ∈ ℝ)
10763, 106remulcld 10649 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (𝑋 · (log‘𝑁)) ∈ ℝ)
10890adantr 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (log‘𝑀) ∈ ℝ)
10973, 108remulcld 10649 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1) · (log‘𝑀)) ∈ ℝ)
110 eflt 15450 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑋 · (log‘𝑁)) ∈ ℝ ∧ (((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1) · (log‘𝑀)) ∈ ℝ) → ((𝑋 · (log‘𝑁)) < (((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1) · (log‘𝑀)) ↔ (exp‘(𝑋 · (log‘𝑁))) < (exp‘(((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1) · (log‘𝑀)))))
111107, 109, 110syl2anc 586 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → ((𝑋 · (log‘𝑁)) < (((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1) · (log‘𝑀)) ↔ (exp‘(𝑋 · (log‘𝑁))) < (exp‘(((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1) · (log‘𝑀)))))
112105, 111mpbid 234 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (exp‘(𝑋 · (log‘𝑁))) < (exp‘(((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1) · (log‘𝑀))))
1135nnrpd 12408 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ ℝ+)
114 nnz 11983 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ ℕ → 𝑋 ∈ ℤ)
115 reexplog 25165 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℝ+𝑋 ∈ ℤ) → (𝑁𝑋) = (exp‘(𝑋 · (log‘𝑁))))
116113, 114, 115syl2an 597 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (𝑁𝑋) = (exp‘(𝑋 · (log‘𝑁))))
11760nnrpd 12408 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℝ+)
11872nn0zd 12064 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → ((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1) ∈ ℤ)
119 reexplog 25165 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℝ+ ∧ ((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1) ∈ ℤ) → (𝑀↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) = (exp‘(((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1) · (log‘𝑀))))
120117, 118, 119syl2anc 586 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (𝑀↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) = (exp‘(((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1) · (log‘𝑀))))
121112, 116, 1203brtr4d 5074 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (𝑁𝑋) < (𝑀↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)))
122 nnexpcl 13427 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → (𝑁𝑋) ∈ ℕ)
1235, 55, 122syl2an 597 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (𝑁𝑋) ∈ ℕ)
12460, 72nnexpcld 13591 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (𝑀↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) ∈ ℕ)
125 nnltlem1 12028 . . . . . . . . . 10 (((𝑁𝑋) ∈ ℕ ∧ (𝑀↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) ∈ ℕ) → ((𝑁𝑋) < (𝑀↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) ↔ (𝑁𝑋) ≤ ((𝑀↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) − 1)))
126123, 124, 125syl2anc 586 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → ((𝑁𝑋) < (𝑀↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) ↔ (𝑁𝑋) ≤ ((𝑀↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) − 1)))
127121, 126mpbid 234 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (𝑁𝑋) ≤ ((𝑀↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) − 1))
128123nnnn0d 11934 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (𝑁𝑋) ∈ ℕ0)
129 nn0uz 12259 . . . . . . . . . 10 0 = (ℤ‘0)
130128, 129eleqtrdi 2921 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (𝑁𝑋) ∈ (ℤ‘0))
131124nnzd 12065 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (𝑀↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) ∈ ℤ)
132 peano2zm 12004 . . . . . . . . . 10 ((𝑀↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) ∈ ℤ → ((𝑀↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) − 1) ∈ ℤ)
133131, 132syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → ((𝑀↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) − 1) ∈ ℤ)
134 elfz5 12884 . . . . . . . . 9 (((𝑁𝑋) ∈ (ℤ‘0) ∧ ((𝑀↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) − 1) ∈ ℤ) → ((𝑁𝑋) ∈ (0...((𝑀↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) − 1)) ↔ (𝑁𝑋) ≤ ((𝑀↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) − 1)))
135130, 133, 134syl2anc 586 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → ((𝑁𝑋) ∈ (0...((𝑀↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) − 1)) ↔ (𝑁𝑋) ≤ ((𝑀↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) − 1)))
136127, 135mpbird 259 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (𝑁𝑋) ∈ (0...((𝑀↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) − 1)))
137 padic.j . . . . . . . . . 10 𝐽 = (𝑞 ∈ ℙ ↦ (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, (𝑞↑-(𝑞 pCnt 𝑥)))))
138 ostth.k . . . . . . . . . 10 𝐾 = (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, 1))
139 ostth2.3 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 1 < (𝐹𝑁))
140 ostth2.4 . . . . . . . . . 10 𝑅 = ((log‘(𝐹𝑁)) / (log‘𝑁))
141 ostth2.6 . . . . . . . . . 10 𝑆 = ((log‘(𝐹𝑀)) / (log‘𝑀))
1429, 8, 137, 138, 1, 2, 139, 140, 17, 141, 15ostth2lem2 26197 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1) ∈ ℕ0 ∧ (𝑁𝑋) ∈ (0...((𝑀↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) − 1))) → (𝐹‘(𝑁𝑋)) ≤ ((𝑀 · ((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) · (𝑇↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1))))
1431423expia 1117 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1) ∈ ℕ0) → ((𝑁𝑋) ∈ (0...((𝑀↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) − 1)) → (𝐹‘(𝑁𝑋)) ≤ ((𝑀 · ((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) · (𝑇↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)))))
14472, 143syldan 593 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → ((𝑁𝑋) ∈ (0...((𝑀↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) − 1)) → (𝐹‘(𝑁𝑋)) ≤ ((𝑀 · ((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) · (𝑇↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)))))
145136, 144mpd 15 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑁𝑋)) ≤ ((𝑀 · ((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) · (𝑇↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1))))
14685, 145eqbrtrrd 5066 . . . . 5 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑁)↑𝑋) ≤ ((𝑀 · ((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) · (𝑇↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1))))
14780, 75remulcld 10649 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → ((𝑀 · (𝑋 · (𝑈 + 1))) · (𝑇↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1))) ∈ ℝ)
148 peano2re 10791 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 · 𝑈) ∈ ℝ → ((𝑋 · 𝑈) + 1) ∈ ℝ)
14964, 148syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → ((𝑋 · 𝑈) + 1) ∈ ℝ)
15070nn0red 11935 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝑋 · 𝑈)) ∈ ℝ)
151 1red 10620 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℝ)
152 flle 13153 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 · 𝑈) ∈ ℝ → (⌊‘(𝑋 · 𝑈)) ≤ (𝑋 · 𝑈))
15364, 152syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝑋 · 𝑈)) ≤ (𝑋 · 𝑈))
154150, 64, 151, 153leadd1dd 11232 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → ((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1) ≤ ((𝑋 · 𝑈) + 1))
155 nnge1 11644 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑋)
156155adantl 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → 1 ≤ 𝑋)
157151, 63, 64, 156leadd2dd 11233 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → ((𝑋 · 𝑈) + 1) ≤ ((𝑋 · 𝑈) + 𝑋))
15850recnd 10647 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → 𝑈 ∈ ℂ)
159151recnd 10647 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
16086, 158, 159adddid 10643 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (𝑋 · (𝑈 + 1)) = ((𝑋 · 𝑈) + (𝑋 · 1)))
16186mulid1d 10636 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (𝑋 · 1) = 𝑋)
162161oveq2d 7149 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → ((𝑋 · 𝑈) + (𝑋 · 1)) = ((𝑋 · 𝑈) + 𝑋))
163160, 162eqtrd 2855 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (𝑋 · (𝑈 + 1)) = ((𝑋 · 𝑈) + 𝑋))
164157, 163breqtrrd 5070 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → ((𝑋 · 𝑈) + 1) ≤ (𝑋 · (𝑈 + 1)))
16573, 149, 79, 154, 164letrd 10775 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → ((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1) ≤ (𝑋 · (𝑈 + 1)))
16660nngt0d 11665 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → 0 < 𝑀)
167 lemul2 11471 . . . . . . . . 9 ((((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1) ∈ ℝ ∧ (𝑋 · (𝑈 + 1)) ∈ ℝ ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑀)) → (((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1) ≤ (𝑋 · (𝑈 + 1)) ↔ (𝑀 · ((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) ≤ (𝑀 · (𝑋 · (𝑈 + 1)))))
16873, 79, 61, 166, 167syl112anc 1370 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1) ≤ (𝑋 · (𝑈 + 1)) ↔ (𝑀 · ((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) ≤ (𝑀 · (𝑋 · (𝑈 + 1)))))
169165, 168mpbid 234 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (𝑀 · ((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) ≤ (𝑀 · (𝑋 · (𝑈 + 1))))
170 expgt0 13447 . . . . . . . . 9 ((𝑇 ∈ ℝ ∧ ((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1) ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑇) → 0 < (𝑇↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)))
17128, 118, 37, 170syl3anc 1367 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → 0 < (𝑇↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)))
172 lemul1 11470 . . . . . . . 8 (((𝑀 · ((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) ∈ ℝ ∧ (𝑀 · (𝑋 · (𝑈 + 1))) ∈ ℝ ∧ ((𝑇↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑇↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)))) → ((𝑀 · ((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) ≤ (𝑀 · (𝑋 · (𝑈 + 1))) ↔ ((𝑀 · ((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) · (𝑇↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1))) ≤ ((𝑀 · (𝑋 · (𝑈 + 1))) · (𝑇↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)))))
17374, 80, 75, 171, 172syl112anc 1370 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → ((𝑀 · ((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) ≤ (𝑀 · (𝑋 · (𝑈 + 1))) ↔ ((𝑀 · ((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) · (𝑇↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1))) ≤ ((𝑀 · (𝑋 · (𝑈 + 1))) · (𝑇↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)))))
174169, 173mpbid 234 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → ((𝑀 · ((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) · (𝑇↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1))) ≤ ((𝑀 · (𝑋 · (𝑈 + 1))) · (𝑇↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1))))
17528recnd 10647 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → 𝑇 ∈ ℂ)
176175, 70expp1d 13496 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (𝑇↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) = ((𝑇↑(⌊‘(𝑋 · 𝑈))) · 𝑇))
17735adantr 483 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → 1 ≤ 𝑇)
178 remulcl 10600 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑈 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → (𝑈 · 𝑋) ∈ ℝ)
17949, 62, 178syl2an 597 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (𝑈 · 𝑋) ∈ ℝ)
18086, 158mulcomd 10640 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (𝑋 · 𝑈) = (𝑈 · 𝑋))
181153, 180breqtrd 5068 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝑋 · 𝑈)) ≤ (𝑈 · 𝑋))
18228, 177, 150, 179, 181cxplead 25291 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (𝑇𝑐(⌊‘(𝑋 · 𝑈))) ≤ (𝑇𝑐(𝑈 · 𝑋)))
183 cxpexp 25238 . . . . . . . . . . 11 ((𝑇 ∈ ℂ ∧ (⌊‘(𝑋 · 𝑈)) ∈ ℕ0) → (𝑇𝑐(⌊‘(𝑋 · 𝑈))) = (𝑇↑(⌊‘(𝑋 · 𝑈))))
184175, 70, 183syl2anc 586 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (𝑇𝑐(⌊‘(𝑋 · 𝑈))) = (𝑇↑(⌊‘(𝑋 · 𝑈))))
18538, 50, 86cxpmuld 25306 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (𝑇𝑐(𝑈 · 𝑋)) = ((𝑇𝑐𝑈)↑𝑐𝑋))
186 cxpexp 25238 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑇𝑐𝑈) ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → ((𝑇𝑐𝑈)↑𝑐𝑋) = ((𝑇𝑐𝑈)↑𝑋))
18752, 56, 186syl2anc 586 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → ((𝑇𝑐𝑈)↑𝑐𝑋) = ((𝑇𝑐𝑈)↑𝑋))
188185, 187eqtrd 2855 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (𝑇𝑐(𝑈 · 𝑋)) = ((𝑇𝑐𝑈)↑𝑋))
189182, 184, 1883brtr3d 5073 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (𝑇↑(⌊‘(𝑋 · 𝑈))) ≤ ((𝑇𝑐𝑈)↑𝑋))
19028, 70reexpcld 13512 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (𝑇↑(⌊‘(𝑋 · 𝑈))) ∈ ℝ)
191190, 81, 38lemul1d 12453 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → ((𝑇↑(⌊‘(𝑋 · 𝑈))) ≤ ((𝑇𝑐𝑈)↑𝑋) ↔ ((𝑇↑(⌊‘(𝑋 · 𝑈))) · 𝑇) ≤ (((𝑇𝑐𝑈)↑𝑋) · 𝑇)))
192189, 191mpbid 234 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → ((𝑇↑(⌊‘(𝑋 · 𝑈))) · 𝑇) ≤ (((𝑇𝑐𝑈)↑𝑋) · 𝑇))
193176, 192eqbrtrd 5064 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (𝑇↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) ≤ (((𝑇𝑐𝑈)↑𝑋) · 𝑇))
194 nngt0 11647 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ ℕ → 0 < 𝑋)
195194adantl 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → 0 < 𝑋)
196 0red 10622 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → 0 ∈ ℝ)
19748adantr 483 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → 𝑈 ∈ ℝ+)
198197rpgt0d 12413 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → 0 < 𝑈)
19950ltp1d 11548 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → 𝑈 < (𝑈 + 1))
200196, 50, 78, 198, 199lttrd 10779 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → 0 < (𝑈 + 1))
20163, 78, 195, 200mulgt0d 10773 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → 0 < (𝑋 · (𝑈 + 1)))
20261, 79, 166, 201mulgt0d 10773 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → 0 < (𝑀 · (𝑋 · (𝑈 + 1))))
203 lemul2 11471 . . . . . . . 8 (((𝑇↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) ∈ ℝ ∧ (((𝑇𝑐𝑈)↑𝑋) · 𝑇) ∈ ℝ ∧ ((𝑀 · (𝑋 · (𝑈 + 1))) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑀 · (𝑋 · (𝑈 + 1))))) → ((𝑇↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) ≤ (((𝑇𝑐𝑈)↑𝑋) · 𝑇) ↔ ((𝑀 · (𝑋 · (𝑈 + 1))) · (𝑇↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1))) ≤ ((𝑀 · (𝑋 · (𝑈 + 1))) · (((𝑇𝑐𝑈)↑𝑋) · 𝑇))))
20475, 82, 80, 202, 203syl112anc 1370 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → ((𝑇↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) ≤ (((𝑇𝑐𝑈)↑𝑋) · 𝑇) ↔ ((𝑀 · (𝑋 · (𝑈 + 1))) · (𝑇↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1))) ≤ ((𝑀 · (𝑋 · (𝑈 + 1))) · (((𝑇𝑐𝑈)↑𝑋) · 𝑇))))
205193, 204mpbid 234 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → ((𝑀 · (𝑋 · (𝑈 + 1))) · (𝑇↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1))) ≤ ((𝑀 · (𝑋 · (𝑈 + 1))) · (((𝑇𝑐𝑈)↑𝑋) · 𝑇)))
20676, 147, 83, 174, 205letrd 10775 . . . . 5 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → ((𝑀 · ((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) · (𝑇↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1))) ≤ ((𝑀 · (𝑋 · (𝑈 + 1))) · (((𝑇𝑐𝑈)↑𝑋) · 𝑇)))
20759, 76, 83, 146, 206letrd 10775 . . . 4 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑁)↑𝑋) ≤ ((𝑀 · (𝑋 · (𝑈 + 1))) · (((𝑇𝑐𝑈)↑𝑋) · 𝑇)))
20880recnd 10647 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (𝑀 · (𝑋 · (𝑈 + 1))) ∈ ℂ)
20981recnd 10647 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → ((𝑇𝑐𝑈)↑𝑋) ∈ ℂ)
210208, 209, 175mul12d 10827 . . . . 5 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → ((𝑀 · (𝑋 · (𝑈 + 1))) · (((𝑇𝑐𝑈)↑𝑋) · 𝑇)) = (((𝑇𝑐𝑈)↑𝑋) · ((𝑀 · (𝑋 · (𝑈 + 1))) · 𝑇)))
21161recnd 10647 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℂ)
21279recnd 10647 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (𝑋 · (𝑈 + 1)) ∈ ℂ)
213211, 212, 175mul32d 10828 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → ((𝑀 · (𝑋 · (𝑈 + 1))) · 𝑇) = ((𝑀 · 𝑇) · (𝑋 · (𝑈 + 1))))
214211, 175mulcld 10639 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (𝑀 · 𝑇) ∈ ℂ)
21578recnd 10647 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (𝑈 + 1) ∈ ℂ)
216214, 86, 215mul12d 10827 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → ((𝑀 · 𝑇) · (𝑋 · (𝑈 + 1))) = (𝑋 · ((𝑀 · 𝑇) · (𝑈 + 1))))
217213, 216eqtrd 2855 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → ((𝑀 · (𝑋 · (𝑈 + 1))) · 𝑇) = (𝑋 · ((𝑀 · 𝑇) · (𝑈 + 1))))
218217oveq2d 7149 . . . . 5 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (((𝑇𝑐𝑈)↑𝑋) · ((𝑀 · (𝑋 · (𝑈 + 1))) · 𝑇)) = (((𝑇𝑐𝑈)↑𝑋) · (𝑋 · ((𝑀 · 𝑇) · (𝑈 + 1)))))
219210, 218eqtrd 2855 . . . 4 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → ((𝑀 · (𝑋 · (𝑈 + 1))) · (((𝑇𝑐𝑈)↑𝑋) · 𝑇)) = (((𝑇𝑐𝑈)↑𝑋) · (𝑋 · ((𝑀 · 𝑇) · (𝑈 + 1)))))
220207, 219breqtrd 5068 . . 3 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑁)↑𝑋) ≤ (((𝑇𝑐𝑈)↑𝑋) · (𝑋 · ((𝑀 · 𝑇) · (𝑈 + 1)))))
22161, 28remulcld 10649 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (𝑀 · 𝑇) ∈ ℝ)
222221, 78remulcld 10649 . . . . 5 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → ((𝑀 · 𝑇) · (𝑈 + 1)) ∈ ℝ)
22363, 222remulcld 10649 . . . 4 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (𝑋 · ((𝑀 · 𝑇) · (𝑈 + 1))) ∈ ℝ)
224114adantl 484 . . . . 5 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → 𝑋 ∈ ℤ)
22553, 224rpexpcld 13593 . . . 4 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → ((𝑇𝑐𝑈)↑𝑋) ∈ ℝ+)
22659, 223, 225ledivmuld 12463 . . 3 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → ((((𝐹𝑁)↑𝑋) / ((𝑇𝑐𝑈)↑𝑋)) ≤ (𝑋 · ((𝑀 · 𝑇) · (𝑈 + 1))) ↔ ((𝐹𝑁)↑𝑋) ≤ (((𝑇𝑐𝑈)↑𝑋) · (𝑋 · ((𝑀 · 𝑇) · (𝑈 + 1))))))
227220, 226mpbird 259 . 2 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (((𝐹𝑁)↑𝑋) / ((𝑇𝑐𝑈)↑𝑋)) ≤ (𝑋 · ((𝑀 · 𝑇) · (𝑈 + 1))))
22857, 227eqbrtrd 5064 1 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (((𝐹𝑁) / (𝑇𝑐𝑈))↑𝑋) ≤ (𝑋 · ((𝑀 · 𝑇) · (𝑈 + 1))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 208  wa 398   = wceq 1537  wcel 2114  ifcif 4443   class class class wbr 5042  cmpt 5122  cfv 6331  (class class class)co 7133  cc 10513  cr 10514  0cc0 10515  1c1 10516   + caddc 10518   · cmul 10520   < clt 10653  cle 10654  cmin 10848  -cneg 10849   / cdiv 11275  cn 11616  2c2 11671  0cn0 11876  cz 11960  cuz 12222  cq 12327  +crp 12368  ...cfz 12876  cfl 13144  cexp 13414  expce 15395  cprime 15993   pCnt cpc 16151  s cress 16463  AbsValcabv 19563  fldccnfld 20521  logclog 25125  𝑐ccxp 25126
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7439  ax-inf2 9082  ax-cnex 10571  ax-resscn 10572  ax-1cn 10573  ax-icn 10574  ax-addcl 10575  ax-addrcl 10576  ax-mulcl 10577  ax-mulrcl 10578  ax-mulcom 10579  ax-addass 10580  ax-mulass 10581  ax-distr 10582  ax-i2m1 10583  ax-1ne0 10584  ax-1rid 10585  ax-rnegex 10586  ax-rrecex 10587  ax-cnre 10588  ax-pre-lttri 10589  ax-pre-lttrn 10590  ax-pre-ltadd 10591  ax-pre-mulgt0 10592  ax-pre-sup 10593  ax-addf 10594  ax-mulf 10595
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-nel 3111  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rmo 3133  df-rab 3134  df-v 3475  df-sbc 3753  df-csb 3861  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3932  df-nul 4270  df-if 4444  df-pw 4517  df-sn 4544  df-pr 4546  df-tp 4548  df-op 4550  df-uni 4815  df-int 4853  df-iun 4897  df-iin 4898  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5436  df-eprel 5441  df-po 5450  df-so 5451  df-fr 5490  df-se 5491  df-we 5492  df-xp 5537  df-rel 5538  df-cnv 5539  df-co 5540  df-dm 5541  df-rn 5542  df-res 5543  df-ima 5544  df-pred 6124  df-ord 6170  df-on 6171  df-lim 6172  df-suc 6173  df-iota 6290  df-fun 6333  df-fn 6334  df-f 6335  df-f1 6336  df-fo 6337  df-f1o 6338  df-fv 6339  df-isom 6340  df-riota 7091  df-ov 7136  df-oprab 7137  df-mpo 7138  df-of 7387  df-om 7559  df-1st 7667  df-2nd 7668  df-supp 7809  df-tpos 7870  df-wrecs 7925  df-recs 7986  df-rdg 8024  df-1o 8080  df-2o 8081  df-oadd 8084  df-er 8267  df-map 8386  df-pm 8387  df-ixp 8440  df-en 8488  df-dom 8489  df-sdom 8490  df-fin 8491  df-fsupp 8812  df-fi 8853  df-sup 8884  df-inf 8885  df-oi 8952  df-card 9346  df-pnf 10655  df-mnf 10656  df-xr 10657  df-ltxr 10658  df-le 10659  df-sub 10850  df-neg 10851  df-div 11276  df-nn 11617  df-2 11679  df-3 11680  df-4 11681  df-5 11682  df-6 11683  df-7 11684  df-8 11685  df-9 11686  df-n0 11877  df-z 11961  df-dec 12078  df-uz 12223  df-q 12328  df-rp 12369  df-xneg 12486  df-xadd 12487  df-xmul 12488  df-ioo 12721  df-ioc 12722  df-ico 12723  df-icc 12724  df-fz 12877  df-fzo 13018  df-fl 13146  df-mod 13222  df-seq 13354  df-exp 13415  df-fac 13619  df-bc 13648  df-hash 13676  df-shft 14406  df-cj 14438  df-re 14439  df-im 14440  df-sqrt 14574  df-abs 14575  df-limsup 14808  df-clim 14825  df-rlim 14826  df-sum 15023  df-ef 15401  df-sin 15403  df-cos 15404  df-pi 15406  df-struct 16464  df-ndx 16465  df-slot 16466  df-base 16468  df-sets 16469  df-ress 16470  df-plusg 16557  df-mulr 16558  df-starv 16559  df-sca 16560  df-vsca 16561  df-ip 16562  df-tset 16563  df-ple 16564  df-ds 16566  df-unif 16567  df-hom 16568  df-cco 16569  df-rest 16675  df-topn 16676  df-0g 16694  df-gsum 16695  df-topgen 16696  df-pt 16697  df-prds 16700  df-xrs 16754  df-qtop 16759  df-imas 16760  df-xps 16762  df-mre 16836  df-mrc 16837  df-acs 16839  df-mgm 17831  df-sgrp 17880  df-mnd 17891  df-submnd 17936  df-grp 18085  df-minusg 18086  df-mulg 18204  df-subg 18255  df-cntz 18426  df-cmn 18887  df-mgp 19219  df-ur 19231  df-ring 19278  df-cring 19279  df-oppr 19352  df-dvdsr 19370  df-unit 19371  df-invr 19401  df-dvr 19412  df-drng 19480  df-subrg 19509  df-abv 19564  df-psmet 20513  df-xmet 20514  df-met 20515  df-bl 20516  df-mopn 20517  df-fbas 20518  df-fg 20519  df-cnfld 20522  df-top 21478  df-topon 21495  df-topsp 21517  df-bases 21530  df-cld 21603  df-ntr 21604  df-cls 21605  df-nei 21682  df-lp 21720  df-perf 21721  df-cn 21811  df-cnp 21812  df-haus 21899  df-tx 22146  df-hmeo 22339  df-fil 22430  df-fm 22522  df-flim 22523  df-flf 22524  df-xms 22906  df-ms 22907  df-tms 22908  df-cncf 23462  df-limc 24448  df-dv 24449  df-log 25127  df-cxp 25128
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