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Theorem ostth2lem3 27480
Description: Lemma for ostth2 27482. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
qrng.q 𝑄 = (ℂflds ℚ)
qabsabv.a 𝐴 = (AbsVal‘𝑄)
padic.j 𝐽 = (𝑞 ∈ ℙ ↦ (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, (𝑞↑-(𝑞 pCnt 𝑥)))))
ostth.k 𝐾 = (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, 1))
ostth.1 (𝜑𝐹𝐴)
ostth2.2 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘2))
ostth2.3 (𝜑 → 1 < (𝐹𝑁))
ostth2.4 𝑅 = ((log‘(𝐹𝑁)) / (log‘𝑁))
ostth2.5 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘2))
ostth2.6 𝑆 = ((log‘(𝐹𝑀)) / (log‘𝑀))
ostth2.7 𝑇 = if((𝐹𝑀) ≤ 1, 1, (𝐹𝑀))
ostth2.8 𝑈 = ((log‘𝑁) / (log‘𝑀))
Assertion
Ref Expression
ostth2lem3 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (((𝐹𝑁) / (𝑇𝑐𝑈))↑𝑋) ≤ (𝑋 · ((𝑀 · 𝑇) · (𝑈 + 1))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑀   𝑥,𝑞,𝜑   𝑥,𝑇   𝑥,𝑈   𝑥,𝑋   𝐴,𝑞,𝑥   𝑥,𝑁   𝑥,𝑄   𝐹,𝑞   𝑅,𝑞   𝑥,𝐹
Allowed substitution hints:   𝑄(𝑞)   𝑅(𝑥)   𝑆(𝑥,𝑞)   𝑇(𝑞)   𝑈(𝑞)   𝐽(𝑥,𝑞)   𝐾(𝑥,𝑞)   𝑀(𝑞)   𝑁(𝑞)   𝑋(𝑞)

Proof of Theorem ostth2lem3
StepHypRef Expression
1 ostth.1 . . . . . 6 (𝜑𝐹𝐴)
2 ostth2.2 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘2))
3 eluz2b2 12912 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑁))
42, 3sylib 217 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑁))
54simpld 494 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
6 nnq 12953 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℚ)
75, 6syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℚ)
8 qabsabv.a . . . . . . 7 𝐴 = (AbsVal‘𝑄)
9 qrng.q . . . . . . . 8 𝑄 = (ℂflds ℚ)
109qrngbas 27464 . . . . . . 7 ℚ = (Base‘𝑄)
118, 10abvcl 20663 . . . . . 6 ((𝐹𝐴𝑁 ∈ ℚ) → (𝐹𝑁) ∈ ℝ)
121, 7, 11syl2anc 583 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹𝑁) ∈ ℝ)
1312adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (𝐹𝑁) ∈ ℝ)
1413recnd 11249 . . 3 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (𝐹𝑁) ∈ ℂ)
15 ostth2.7 . . . . . . 7 𝑇 = if((𝐹𝑀) ≤ 1, 1, (𝐹𝑀))
16 1re 11221 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
17 ostth2.5 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘2))
18 eluz2b2 12912 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑀))
1917, 18sylib 217 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑀 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑀))
2019simpld 494 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
21 nnq 12953 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℚ)
2220, 21syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ ℚ)
238, 10abvcl 20663 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝐴𝑀 ∈ ℚ) → (𝐹𝑀) ∈ ℝ)
241, 22, 23syl2anc 583 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹𝑀) ∈ ℝ)
25 ifcl 4573 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑀) ∈ ℝ) → if((𝐹𝑀) ≤ 1, 1, (𝐹𝑀)) ∈ ℝ)
2616, 24, 25sylancr 586 . . . . . . 7 (𝜑 → if((𝐹𝑀) ≤ 1, 1, (𝐹𝑀)) ∈ ℝ)
2715, 26eqeltrid 2836 . . . . . 6 (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
2827adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → 𝑇 ∈ ℝ)
29 0red 11224 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
30 1red 11222 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
31 0lt1 11743 . . . . . . . . . 10 0 < 1
3231a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 < 1)
33 max2 13173 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹𝑀) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → 1 ≤ if((𝐹𝑀) ≤ 1, 1, (𝐹𝑀)))
3424, 30, 33syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 1 ≤ if((𝐹𝑀) ≤ 1, 1, (𝐹𝑀)))
3534, 15breqtrrdi 5190 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 1 ≤ 𝑇)
3629, 30, 27, 32, 35ltletrd 11381 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 < 𝑇)
3736adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → 0 < 𝑇)
3828, 37elrpd 13020 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → 𝑇 ∈ ℝ+)
3938rpge0d 13027 . . . . 5 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → 0 ≤ 𝑇)
40 ostth2.8 . . . . . . . 8 𝑈 = ((log‘𝑁) / (log‘𝑀))
415nnred 12234 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
424simprd 495 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 1 < 𝑁)
4341, 42rplogcld 26476 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (log‘𝑁) ∈ ℝ+)
4420nnred 12234 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
4519simprd 495 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 1 < 𝑀)
4644, 45rplogcld 26476 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (log‘𝑀) ∈ ℝ+)
4743, 46rpdivcld 13040 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((log‘𝑁) / (log‘𝑀)) ∈ ℝ+)
4840, 47eqeltrid 2836 . . . . . . 7 (𝜑𝑈 ∈ ℝ+)
4948rpred 13023 . . . . . 6 (𝜑𝑈 ∈ ℝ)
5049adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → 𝑈 ∈ ℝ)
5128, 39, 50recxpcld 26570 . . . 4 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (𝑇𝑐𝑈) ∈ ℝ)
5251recnd 11249 . . 3 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (𝑇𝑐𝑈) ∈ ℂ)
5338, 50rpcxpcld 26580 . . . 4 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (𝑇𝑐𝑈) ∈ ℝ+)
5453rpne0d 13028 . . 3 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (𝑇𝑐𝑈) ≠ 0)
55 nnnn0 12486 . . . 4 (𝑋 ∈ ℕ → 𝑋 ∈ ℕ0)
5655adantl 481 . . 3 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → 𝑋 ∈ ℕ0)
5714, 52, 54, 56expdivd 14132 . 2 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (((𝐹𝑁) / (𝑇𝑐𝑈))↑𝑋) = (((𝐹𝑁)↑𝑋) / ((𝑇𝑐𝑈)↑𝑋)))
58 reexpcl 14051 . . . . . 6 (((𝐹𝑁) ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → ((𝐹𝑁)↑𝑋) ∈ ℝ)
5912, 55, 58syl2an 595 . . . . 5 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑁)↑𝑋) ∈ ℝ)
6020adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℕ)
6160nnred 12234 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℝ)
62 nnre 12226 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ ℕ → 𝑋 ∈ ℝ)
6362adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → 𝑋 ∈ ℝ)
6463, 50remulcld 11251 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (𝑋 · 𝑈) ∈ ℝ)
6556nn0ge0d 12542 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → 0 ≤ 𝑋)
6648rpge0d 13027 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 ≤ 𝑈)
6766adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → 0 ≤ 𝑈)
6863, 50, 65, 67mulge0d 11798 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝑋 · 𝑈))
69 flge0nn0 13792 . . . . . . . . . 10 (((𝑋 · 𝑈) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑋 · 𝑈)) → (⌊‘(𝑋 · 𝑈)) ∈ ℕ0)
7064, 68, 69syl2anc 583 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝑋 · 𝑈)) ∈ ℕ0)
71 peano2nn0 12519 . . . . . . . . 9 ((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) ∈ ℕ0 → ((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1) ∈ ℕ0)
7270, 71syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → ((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1) ∈ ℕ0)
7372nn0red 12540 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → ((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1) ∈ ℝ)
7461, 73remulcld 11251 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (𝑀 · ((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) ∈ ℝ)
7528, 72reexpcld 14135 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (𝑇↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) ∈ ℝ)
7674, 75remulcld 11251 . . . . 5 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → ((𝑀 · ((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) · (𝑇↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1))) ∈ ℝ)
77 peano2re 11394 . . . . . . . . 9 (𝑈 ∈ ℝ → (𝑈 + 1) ∈ ℝ)
7850, 77syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (𝑈 + 1) ∈ ℝ)
7963, 78remulcld 11251 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (𝑋 · (𝑈 + 1)) ∈ ℝ)
8061, 79remulcld 11251 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (𝑀 · (𝑋 · (𝑈 + 1))) ∈ ℝ)
8151, 56reexpcld 14135 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → ((𝑇𝑐𝑈)↑𝑋) ∈ ℝ)
8281, 28remulcld 11251 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (((𝑇𝑐𝑈)↑𝑋) · 𝑇) ∈ ℝ)
8380, 82remulcld 11251 . . . . 5 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → ((𝑀 · (𝑋 · (𝑈 + 1))) · (((𝑇𝑐𝑈)↑𝑋) · 𝑇)) ∈ ℝ)
849, 8qabvexp 27471 . . . . . . 7 ((𝐹𝐴𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → (𝐹‘(𝑁𝑋)) = ((𝐹𝑁)↑𝑋))
851, 7, 55, 84syl2an3an 1421 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑁𝑋)) = ((𝐹𝑁)↑𝑋))
8663recnd 11249 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → 𝑋 ∈ ℂ)
8743rpred 13023 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (log‘𝑁) ∈ ℝ)
8887recnd 11249 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (log‘𝑁) ∈ ℂ)
8988adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (log‘𝑁) ∈ ℂ)
9046rpred 13023 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (log‘𝑀) ∈ ℝ)
9190recnd 11249 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (log‘𝑀) ∈ ℂ)
9291adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (log‘𝑀) ∈ ℂ)
9346adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (log‘𝑀) ∈ ℝ+)
9493rpne0d 13028 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (log‘𝑀) ≠ 0)
9586, 89, 92, 94divassd 12032 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → ((𝑋 · (log‘𝑁)) / (log‘𝑀)) = (𝑋 · ((log‘𝑁) / (log‘𝑀))))
9640oveq2i 7423 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑋 · 𝑈) = (𝑋 · ((log‘𝑁) / (log‘𝑀)))
9795, 96eqtr4di 2789 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → ((𝑋 · (log‘𝑁)) / (log‘𝑀)) = (𝑋 · 𝑈))
9897oveq1d 7427 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (((𝑋 · (log‘𝑁)) / (log‘𝑀)) · (log‘𝑀)) = ((𝑋 · 𝑈) · (log‘𝑀)))
9986, 89mulcld 11241 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (𝑋 · (log‘𝑁)) ∈ ℂ)
10099, 92, 94divcan1d 11998 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (((𝑋 · (log‘𝑁)) / (log‘𝑀)) · (log‘𝑀)) = (𝑋 · (log‘𝑁)))
10198, 100eqtr3d 2773 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → ((𝑋 · 𝑈) · (log‘𝑀)) = (𝑋 · (log‘𝑁)))
102 flltp1 13772 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑋 · 𝑈) ∈ ℝ → (𝑋 · 𝑈) < ((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1))
10364, 102syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (𝑋 · 𝑈) < ((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1))
10464, 73, 93, 103ltmul1dd 13078 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → ((𝑋 · 𝑈) · (log‘𝑀)) < (((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1) · (log‘𝑀)))
105101, 104eqbrtrrd 5172 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (𝑋 · (log‘𝑁)) < (((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1) · (log‘𝑀)))
10687adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (log‘𝑁) ∈ ℝ)
10763, 106remulcld 11251 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (𝑋 · (log‘𝑁)) ∈ ℝ)
10890adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (log‘𝑀) ∈ ℝ)
10973, 108remulcld 11251 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1) · (log‘𝑀)) ∈ ℝ)
110 eflt 16067 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑋 · (log‘𝑁)) ∈ ℝ ∧ (((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1) · (log‘𝑀)) ∈ ℝ) → ((𝑋 · (log‘𝑁)) < (((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1) · (log‘𝑀)) ↔ (exp‘(𝑋 · (log‘𝑁))) < (exp‘(((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1) · (log‘𝑀)))))
111107, 109, 110syl2anc 583 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → ((𝑋 · (log‘𝑁)) < (((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1) · (log‘𝑀)) ↔ (exp‘(𝑋 · (log‘𝑁))) < (exp‘(((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1) · (log‘𝑀)))))
112105, 111mpbid 231 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (exp‘(𝑋 · (log‘𝑁))) < (exp‘(((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1) · (log‘𝑀))))
1135nnrpd 13021 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ ℝ+)
114 nnz 12586 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ ℕ → 𝑋 ∈ ℤ)
115 reexplog 26442 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℝ+𝑋 ∈ ℤ) → (𝑁𝑋) = (exp‘(𝑋 · (log‘𝑁))))
116113, 114, 115syl2an 595 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (𝑁𝑋) = (exp‘(𝑋 · (log‘𝑁))))
11760nnrpd 13021 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℝ+)
11872nn0zd 12591 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → ((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1) ∈ ℤ)
119 reexplog 26442 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℝ+ ∧ ((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1) ∈ ℤ) → (𝑀↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) = (exp‘(((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1) · (log‘𝑀))))
120117, 118, 119syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (𝑀↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) = (exp‘(((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1) · (log‘𝑀))))
121112, 116, 1203brtr4d 5180 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (𝑁𝑋) < (𝑀↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)))
122 nnexpcl 14047 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → (𝑁𝑋) ∈ ℕ)
1235, 55, 122syl2an 595 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (𝑁𝑋) ∈ ℕ)
12460, 72nnexpcld 14215 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (𝑀↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) ∈ ℕ)
125 nnltlem1 12636 . . . . . . . . . 10 (((𝑁𝑋) ∈ ℕ ∧ (𝑀↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) ∈ ℕ) → ((𝑁𝑋) < (𝑀↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) ↔ (𝑁𝑋) ≤ ((𝑀↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) − 1)))
126123, 124, 125syl2anc 583 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → ((𝑁𝑋) < (𝑀↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) ↔ (𝑁𝑋) ≤ ((𝑀↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) − 1)))
127121, 126mpbid 231 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (𝑁𝑋) ≤ ((𝑀↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) − 1))
128123nnnn0d 12539 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (𝑁𝑋) ∈ ℕ0)
129 nn0uz 12871 . . . . . . . . . 10 0 = (ℤ‘0)
130128, 129eleqtrdi 2842 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (𝑁𝑋) ∈ (ℤ‘0))
131124nnzd 12592 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (𝑀↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) ∈ ℤ)
132 peano2zm 12612 . . . . . . . . . 10 ((𝑀↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) ∈ ℤ → ((𝑀↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) − 1) ∈ ℤ)
133131, 132syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → ((𝑀↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) − 1) ∈ ℤ)
134 elfz5 13500 . . . . . . . . 9 (((𝑁𝑋) ∈ (ℤ‘0) ∧ ((𝑀↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) − 1) ∈ ℤ) → ((𝑁𝑋) ∈ (0...((𝑀↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) − 1)) ↔ (𝑁𝑋) ≤ ((𝑀↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) − 1)))
135130, 133, 134syl2anc 583 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → ((𝑁𝑋) ∈ (0...((𝑀↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) − 1)) ↔ (𝑁𝑋) ≤ ((𝑀↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) − 1)))
136127, 135mpbird 257 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (𝑁𝑋) ∈ (0...((𝑀↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) − 1)))
137 padic.j . . . . . . . . . 10 𝐽 = (𝑞 ∈ ℙ ↦ (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, (𝑞↑-(𝑞 pCnt 𝑥)))))
138 ostth.k . . . . . . . . . 10 𝐾 = (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, 1))
139 ostth2.3 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 1 < (𝐹𝑁))
140 ostth2.4 . . . . . . . . . 10 𝑅 = ((log‘(𝐹𝑁)) / (log‘𝑁))
141 ostth2.6 . . . . . . . . . 10 𝑆 = ((log‘(𝐹𝑀)) / (log‘𝑀))
1429, 8, 137, 138, 1, 2, 139, 140, 17, 141, 15ostth2lem2 27479 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1) ∈ ℕ0 ∧ (𝑁𝑋) ∈ (0...((𝑀↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) − 1))) → (𝐹‘(𝑁𝑋)) ≤ ((𝑀 · ((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) · (𝑇↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1))))
1431423expia 1120 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1) ∈ ℕ0) → ((𝑁𝑋) ∈ (0...((𝑀↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) − 1)) → (𝐹‘(𝑁𝑋)) ≤ ((𝑀 · ((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) · (𝑇↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)))))
14472, 143syldan 590 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → ((𝑁𝑋) ∈ (0...((𝑀↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) − 1)) → (𝐹‘(𝑁𝑋)) ≤ ((𝑀 · ((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) · (𝑇↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)))))
145136, 144mpd 15 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑁𝑋)) ≤ ((𝑀 · ((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) · (𝑇↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1))))
14685, 145eqbrtrrd 5172 . . . . 5 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑁)↑𝑋) ≤ ((𝑀 · ((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) · (𝑇↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1))))
14780, 75remulcld 11251 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → ((𝑀 · (𝑋 · (𝑈 + 1))) · (𝑇↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1))) ∈ ℝ)
148 peano2re 11394 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 · 𝑈) ∈ ℝ → ((𝑋 · 𝑈) + 1) ∈ ℝ)
14964, 148syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → ((𝑋 · 𝑈) + 1) ∈ ℝ)
15070nn0red 12540 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝑋 · 𝑈)) ∈ ℝ)
151 1red 11222 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℝ)
152 flle 13771 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 · 𝑈) ∈ ℝ → (⌊‘(𝑋 · 𝑈)) ≤ (𝑋 · 𝑈))
15364, 152syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝑋 · 𝑈)) ≤ (𝑋 · 𝑈))
154150, 64, 151, 153leadd1dd 11835 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → ((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1) ≤ ((𝑋 · 𝑈) + 1))
155 nnge1 12247 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑋)
156155adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → 1 ≤ 𝑋)
157151, 63, 64, 156leadd2dd 11836 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → ((𝑋 · 𝑈) + 1) ≤ ((𝑋 · 𝑈) + 𝑋))
15850recnd 11249 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → 𝑈 ∈ ℂ)
159151recnd 11249 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
16086, 158, 159adddid 11245 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (𝑋 · (𝑈 + 1)) = ((𝑋 · 𝑈) + (𝑋 · 1)))
16186mulridd 11238 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (𝑋 · 1) = 𝑋)
162161oveq2d 7428 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → ((𝑋 · 𝑈) + (𝑋 · 1)) = ((𝑋 · 𝑈) + 𝑋))
163160, 162eqtrd 2771 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (𝑋 · (𝑈 + 1)) = ((𝑋 · 𝑈) + 𝑋))
164157, 163breqtrrd 5176 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → ((𝑋 · 𝑈) + 1) ≤ (𝑋 · (𝑈 + 1)))
16573, 149, 79, 154, 164letrd 11378 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → ((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1) ≤ (𝑋 · (𝑈 + 1)))
16660nngt0d 12268 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → 0 < 𝑀)
167 lemul2 12074 . . . . . . . . 9 ((((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1) ∈ ℝ ∧ (𝑋 · (𝑈 + 1)) ∈ ℝ ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑀)) → (((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1) ≤ (𝑋 · (𝑈 + 1)) ↔ (𝑀 · ((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) ≤ (𝑀 · (𝑋 · (𝑈 + 1)))))
16873, 79, 61, 166, 167syl112anc 1373 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1) ≤ (𝑋 · (𝑈 + 1)) ↔ (𝑀 · ((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) ≤ (𝑀 · (𝑋 · (𝑈 + 1)))))
169165, 168mpbid 231 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (𝑀 · ((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) ≤ (𝑀 · (𝑋 · (𝑈 + 1))))
170 expgt0 14068 . . . . . . . . 9 ((𝑇 ∈ ℝ ∧ ((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1) ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑇) → 0 < (𝑇↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)))
17128, 118, 37, 170syl3anc 1370 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → 0 < (𝑇↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)))
172 lemul1 12073 . . . . . . . 8 (((𝑀 · ((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) ∈ ℝ ∧ (𝑀 · (𝑋 · (𝑈 + 1))) ∈ ℝ ∧ ((𝑇↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑇↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)))) → ((𝑀 · ((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) ≤ (𝑀 · (𝑋 · (𝑈 + 1))) ↔ ((𝑀 · ((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) · (𝑇↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1))) ≤ ((𝑀 · (𝑋 · (𝑈 + 1))) · (𝑇↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)))))
17374, 80, 75, 171, 172syl112anc 1373 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → ((𝑀 · ((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) ≤ (𝑀 · (𝑋 · (𝑈 + 1))) ↔ ((𝑀 · ((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) · (𝑇↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1))) ≤ ((𝑀 · (𝑋 · (𝑈 + 1))) · (𝑇↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)))))
174169, 173mpbid 231 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → ((𝑀 · ((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) · (𝑇↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1))) ≤ ((𝑀 · (𝑋 · (𝑈 + 1))) · (𝑇↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1))))
17528recnd 11249 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → 𝑇 ∈ ℂ)
176175, 70expp1d 14119 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (𝑇↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) = ((𝑇↑(⌊‘(𝑋 · 𝑈))) · 𝑇))
17735adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → 1 ≤ 𝑇)
178 remulcl 11201 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑈 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → (𝑈 · 𝑋) ∈ ℝ)
17949, 62, 178syl2an 595 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (𝑈 · 𝑋) ∈ ℝ)
18086, 158mulcomd 11242 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (𝑋 · 𝑈) = (𝑈 · 𝑋))
181153, 180breqtrd 5174 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝑋 · 𝑈)) ≤ (𝑈 · 𝑋))
18228, 177, 150, 179, 181cxplead 26568 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (𝑇𝑐(⌊‘(𝑋 · 𝑈))) ≤ (𝑇𝑐(𝑈 · 𝑋)))
183 cxpexp 26515 . . . . . . . . . . 11 ((𝑇 ∈ ℂ ∧ (⌊‘(𝑋 · 𝑈)) ∈ ℕ0) → (𝑇𝑐(⌊‘(𝑋 · 𝑈))) = (𝑇↑(⌊‘(𝑋 · 𝑈))))
184175, 70, 183syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (𝑇𝑐(⌊‘(𝑋 · 𝑈))) = (𝑇↑(⌊‘(𝑋 · 𝑈))))
18538, 50, 86cxpmuld 26584 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (𝑇𝑐(𝑈 · 𝑋)) = ((𝑇𝑐𝑈)↑𝑐𝑋))
186 cxpexp 26515 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑇𝑐𝑈) ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → ((𝑇𝑐𝑈)↑𝑐𝑋) = ((𝑇𝑐𝑈)↑𝑋))
18752, 56, 186syl2anc 583 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → ((𝑇𝑐𝑈)↑𝑐𝑋) = ((𝑇𝑐𝑈)↑𝑋))
188185, 187eqtrd 2771 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (𝑇𝑐(𝑈 · 𝑋)) = ((𝑇𝑐𝑈)↑𝑋))
189182, 184, 1883brtr3d 5179 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (𝑇↑(⌊‘(𝑋 · 𝑈))) ≤ ((𝑇𝑐𝑈)↑𝑋))
19028, 70reexpcld 14135 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (𝑇↑(⌊‘(𝑋 · 𝑈))) ∈ ℝ)
191190, 81, 38lemul1d 13066 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → ((𝑇↑(⌊‘(𝑋 · 𝑈))) ≤ ((𝑇𝑐𝑈)↑𝑋) ↔ ((𝑇↑(⌊‘(𝑋 · 𝑈))) · 𝑇) ≤ (((𝑇𝑐𝑈)↑𝑋) · 𝑇)))
192189, 191mpbid 231 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → ((𝑇↑(⌊‘(𝑋 · 𝑈))) · 𝑇) ≤ (((𝑇𝑐𝑈)↑𝑋) · 𝑇))
193176, 192eqbrtrd 5170 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (𝑇↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) ≤ (((𝑇𝑐𝑈)↑𝑋) · 𝑇))
194 nngt0 12250 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ ℕ → 0 < 𝑋)
195194adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → 0 < 𝑋)
196 0red 11224 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → 0 ∈ ℝ)
19748adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → 𝑈 ∈ ℝ+)
198197rpgt0d 13026 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → 0 < 𝑈)
19950ltp1d 12151 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → 𝑈 < (𝑈 + 1))
200196, 50, 78, 198, 199lttrd 11382 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → 0 < (𝑈 + 1))
20163, 78, 195, 200mulgt0d 11376 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → 0 < (𝑋 · (𝑈 + 1)))
20261, 79, 166, 201mulgt0d 11376 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → 0 < (𝑀 · (𝑋 · (𝑈 + 1))))
203 lemul2 12074 . . . . . . . 8 (((𝑇↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) ∈ ℝ ∧ (((𝑇𝑐𝑈)↑𝑋) · 𝑇) ∈ ℝ ∧ ((𝑀 · (𝑋 · (𝑈 + 1))) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑀 · (𝑋 · (𝑈 + 1))))) → ((𝑇↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) ≤ (((𝑇𝑐𝑈)↑𝑋) · 𝑇) ↔ ((𝑀 · (𝑋 · (𝑈 + 1))) · (𝑇↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1))) ≤ ((𝑀 · (𝑋 · (𝑈 + 1))) · (((𝑇𝑐𝑈)↑𝑋) · 𝑇))))
20475, 82, 80, 202, 203syl112anc 1373 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → ((𝑇↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) ≤ (((𝑇𝑐𝑈)↑𝑋) · 𝑇) ↔ ((𝑀 · (𝑋 · (𝑈 + 1))) · (𝑇↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1))) ≤ ((𝑀 · (𝑋 · (𝑈 + 1))) · (((𝑇𝑐𝑈)↑𝑋) · 𝑇))))
205193, 204mpbid 231 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → ((𝑀 · (𝑋 · (𝑈 + 1))) · (𝑇↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1))) ≤ ((𝑀 · (𝑋 · (𝑈 + 1))) · (((𝑇𝑐𝑈)↑𝑋) · 𝑇)))
20676, 147, 83, 174, 205letrd 11378 . . . . 5 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → ((𝑀 · ((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) · (𝑇↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1))) ≤ ((𝑀 · (𝑋 · (𝑈 + 1))) · (((𝑇𝑐𝑈)↑𝑋) · 𝑇)))
20759, 76, 83, 146, 206letrd 11378 . . . 4 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑁)↑𝑋) ≤ ((𝑀 · (𝑋 · (𝑈 + 1))) · (((𝑇𝑐𝑈)↑𝑋) · 𝑇)))
20880recnd 11249 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (𝑀 · (𝑋 · (𝑈 + 1))) ∈ ℂ)
20981recnd 11249 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → ((𝑇𝑐𝑈)↑𝑋) ∈ ℂ)
210208, 209, 175mul12d 11430 . . . . 5 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → ((𝑀 · (𝑋 · (𝑈 + 1))) · (((𝑇𝑐𝑈)↑𝑋) · 𝑇)) = (((𝑇𝑐𝑈)↑𝑋) · ((𝑀 · (𝑋 · (𝑈 + 1))) · 𝑇)))
21161recnd 11249 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℂ)
21279recnd 11249 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (𝑋 · (𝑈 + 1)) ∈ ℂ)
213211, 212, 175mul32d 11431 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → ((𝑀 · (𝑋 · (𝑈 + 1))) · 𝑇) = ((𝑀 · 𝑇) · (𝑋 · (𝑈 + 1))))
214211, 175mulcld 11241 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (𝑀 · 𝑇) ∈ ℂ)
21578recnd 11249 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (𝑈 + 1) ∈ ℂ)
216214, 86, 215mul12d 11430 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → ((𝑀 · 𝑇) · (𝑋 · (𝑈 + 1))) = (𝑋 · ((𝑀 · 𝑇) · (𝑈 + 1))))
217213, 216eqtrd 2771 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → ((𝑀 · (𝑋 · (𝑈 + 1))) · 𝑇) = (𝑋 · ((𝑀 · 𝑇) · (𝑈 + 1))))
218217oveq2d 7428 . . . . 5 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (((𝑇𝑐𝑈)↑𝑋) · ((𝑀 · (𝑋 · (𝑈 + 1))) · 𝑇)) = (((𝑇𝑐𝑈)↑𝑋) · (𝑋 · ((𝑀 · 𝑇) · (𝑈 + 1)))))
219210, 218eqtrd 2771 . . . 4 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → ((𝑀 · (𝑋 · (𝑈 + 1))) · (((𝑇𝑐𝑈)↑𝑋) · 𝑇)) = (((𝑇𝑐𝑈)↑𝑋) · (𝑋 · ((𝑀 · 𝑇) · (𝑈 + 1)))))
220207, 219breqtrd 5174 . . 3 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑁)↑𝑋) ≤ (((𝑇𝑐𝑈)↑𝑋) · (𝑋 · ((𝑀 · 𝑇) · (𝑈 + 1)))))
22161, 28remulcld 11251 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (𝑀 · 𝑇) ∈ ℝ)
222221, 78remulcld 11251 . . . . 5 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → ((𝑀 · 𝑇) · (𝑈 + 1)) ∈ ℝ)
22363, 222remulcld 11251 . . . 4 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (𝑋 · ((𝑀 · 𝑇) · (𝑈 + 1))) ∈ ℝ)
224114adantl 481 . . . . 5 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → 𝑋 ∈ ℤ)
22553, 224rpexpcld 14217 . . . 4 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → ((𝑇𝑐𝑈)↑𝑋) ∈ ℝ+)
22659, 223, 225ledivmuld 13076 . . 3 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → ((((𝐹𝑁)↑𝑋) / ((𝑇𝑐𝑈)↑𝑋)) ≤ (𝑋 · ((𝑀 · 𝑇) · (𝑈 + 1))) ↔ ((𝐹𝑁)↑𝑋) ≤ (((𝑇𝑐𝑈)↑𝑋) · (𝑋 · ((𝑀 · 𝑇) · (𝑈 + 1))))))
227220, 226mpbird 257 . 2 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (((𝐹𝑁)↑𝑋) / ((𝑇𝑐𝑈)↑𝑋)) ≤ (𝑋 · ((𝑀 · 𝑇) · (𝑈 + 1))))
22857, 227eqbrtrd 5170 1 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (((𝐹𝑁) / (𝑇𝑐𝑈))↑𝑋) ≤ (𝑋 · ((𝑀 · 𝑇) · (𝑈 + 1))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1540  wcel 2105  ifcif 4528   class class class wbr 5148  cmpt 5231  cfv 6543  (class class class)co 7412  cc 11114  cr 11115  0cc0 11116  1c1 11117   + caddc 11119   · cmul 11121   < clt 11255  cle 11256  cmin 11451  -cneg 11452   / cdiv 11878  cn 12219  2c2 12274  0cn0 12479  cz 12565  cuz 12829  cq 12939  +crp 12981  ...cfz 13491  cfl 13762  cexp 14034  expce 16012  cprime 16615   pCnt cpc 16776  s cress 17180  AbsValcabv 20655  fldccnfld 21232  logclog 26402  𝑐ccxp 26403
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-inf2 9642  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-pre-sup 11194  ax-addf 11195  ax-mulf 11196
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7674  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-supp 8152  df-tpos 8217  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-2o 8473  df-er 8709  df-map 8828  df-pm 8829  df-ixp 8898  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-fsupp 9368  df-fi 9412  df-sup 9443  df-inf 9444  df-oi 9511  df-card 9940  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11879  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288  df-9 12289  df-n0 12480  df-z 12566  df-dec 12685  df-uz 12830  df-q 12940  df-rp 12982  df-xneg 13099  df-xadd 13100  df-xmul 13101  df-ioo 13335  df-ioc 13336  df-ico 13337  df-icc 13338  df-fz 13492  df-fzo 13635  df-fl 13764  df-mod 13842  df-seq 13974  df-exp 14035  df-fac 14241  df-bc 14270  df-hash 14298  df-shft 15021  df-cj 15053  df-re 15054  df-im 15055  df-sqrt 15189  df-abs 15190  df-limsup 15422  df-clim 15439  df-rlim 15440  df-sum 15640  df-ef 16018  df-sin 16020  df-cos 16021  df-pi 16023  df-struct 17087  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-starv 17219  df-sca 17220  df-vsca 17221  df-ip 17222  df-tset 17223  df-ple 17224  df-ds 17226  df-unif 17227  df-hom 17228  df-cco 17229  df-rest 17375  df-topn 17376  df-0g 17394  df-gsum 17395  df-topgen 17396  df-pt 17397  df-prds 17400  df-xrs 17455  df-qtop 17460  df-imas 17461  df-xps 17463  df-mre 17537  df-mrc 17538  df-acs 17540  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-submnd 18712  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-mulg 18994  df-subg 19046  df-cntz 19229  df-cmn 19698  df-abl 19699  df-mgp 20036  df-rng 20054  df-ur 20083  df-ring 20136  df-cring 20137  df-oppr 20232  df-dvdsr 20255  df-unit 20256  df-invr 20286  df-dvr 20299  df-subrng 20442  df-subrg 20467  df-drng 20585  df-abv 20656  df-psmet 21224  df-xmet 21225  df-met 21226  df-bl 21227  df-mopn 21228  df-fbas 21229  df-fg 21230  df-cnfld 21233  df-top 22715  df-topon 22732  df-topsp 22754  df-bases 22768  df-cld 22842  df-ntr 22843  df-cls 22844  df-nei 22921  df-lp 22959  df-perf 22960  df-cn 23050  df-cnp 23051  df-haus 23138  df-tx 23385  df-hmeo 23578  df-fil 23669  df-fm 23761  df-flim 23762  df-flf 23763  df-xms 24145  df-ms 24146  df-tms 24147  df-cncf 24717  df-limc 25714  df-dv 25715  df-log 26404  df-cxp 26405
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