MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ostth2lem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ostth2lem3 27006
Description: Lemma for ostth2 27008. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
qrng.q 𝑄 = (β„‚fld β†Ύs β„š)
qabsabv.a 𝐴 = (AbsValβ€˜π‘„)
padic.j 𝐽 = (π‘ž ∈ β„™ ↦ (π‘₯ ∈ β„š ↦ if(π‘₯ = 0, 0, (π‘žβ†‘-(π‘ž pCnt π‘₯)))))
ostth.k 𝐾 = (π‘₯ ∈ β„š ↦ if(π‘₯ = 0, 0, 1))
ostth.1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐴)
ostth2.2 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
ostth2.3 (πœ‘ β†’ 1 < (πΉβ€˜π‘))
ostth2.4 𝑅 = ((logβ€˜(πΉβ€˜π‘)) / (logβ€˜π‘))
ostth2.5 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
ostth2.6 𝑆 = ((logβ€˜(πΉβ€˜π‘€)) / (logβ€˜π‘€))
ostth2.7 𝑇 = if((πΉβ€˜π‘€) ≀ 1, 1, (πΉβ€˜π‘€))
ostth2.8 π‘ˆ = ((logβ€˜π‘) / (logβ€˜π‘€))
Assertion
Ref Expression
ostth2lem3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ (((πΉβ€˜π‘) / (π‘‡β†‘π‘π‘ˆ))↑𝑋) ≀ (𝑋 Β· ((𝑀 Β· 𝑇) Β· (π‘ˆ + 1))))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑀   π‘₯,π‘ž,πœ‘   π‘₯,𝑇   π‘₯,π‘ˆ   π‘₯,𝑋   𝐴,π‘ž,π‘₯   π‘₯,𝑁   π‘₯,𝑄   𝐹,π‘ž   𝑅,π‘ž   π‘₯,𝐹
Allowed substitution hints:   𝑄(π‘ž)   𝑅(π‘₯)   𝑆(π‘₯,π‘ž)   𝑇(π‘ž)   π‘ˆ(π‘ž)   𝐽(π‘₯,π‘ž)   𝐾(π‘₯,π‘ž)   𝑀(π‘ž)   𝑁(π‘ž)   𝑋(π‘ž)

Proof of Theorem ostth2lem3
StepHypRef Expression
1 ostth.1 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐴)
2 ostth2.2 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
3 eluz2b2 12854 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ↔ (𝑁 ∈ β„• ∧ 1 < 𝑁))
42, 3sylib 217 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑁 ∈ β„• ∧ 1 < 𝑁))
54simpld 496 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
6 nnq 12895 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ β„š)
75, 6syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„š)
8 qabsabv.a . . . . . . 7 𝐴 = (AbsValβ€˜π‘„)
9 qrng.q . . . . . . . 8 𝑄 = (β„‚fld β†Ύs β„š)
109qrngbas 26990 . . . . . . 7 β„š = (Baseβ€˜π‘„)
118, 10abvcl 20326 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ β„š) β†’ (πΉβ€˜π‘) ∈ ℝ)
121, 7, 11syl2anc 585 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘) ∈ ℝ)
1312adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘) ∈ ℝ)
1413recnd 11191 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘) ∈ β„‚)
15 ostth2.7 . . . . . . 7 𝑇 = if((πΉβ€˜π‘€) ≀ 1, 1, (πΉβ€˜π‘€))
16 1re 11163 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
17 ostth2.5 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
18 eluz2b2 12854 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ↔ (𝑀 ∈ β„• ∧ 1 < 𝑀))
1917, 18sylib 217 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑀 ∈ β„• ∧ 1 < 𝑀))
2019simpld 496 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
21 nnq 12895 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ β„• β†’ 𝑀 ∈ β„š)
2220, 21syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„š)
238, 10abvcl 20326 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ β„š) β†’ (πΉβ€˜π‘€) ∈ ℝ)
241, 22, 23syl2anc 585 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘€) ∈ ℝ)
25 ifcl 4535 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘€) ∈ ℝ) β†’ if((πΉβ€˜π‘€) ≀ 1, 1, (πΉβ€˜π‘€)) ∈ ℝ)
2616, 24, 25sylancr 588 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ if((πΉβ€˜π‘€) ≀ 1, 1, (πΉβ€˜π‘€)) ∈ ℝ)
2715, 26eqeltrid 2838 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ ℝ)
2827adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ 𝑇 ∈ ℝ)
29 0red 11166 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 0 ∈ ℝ)
30 1red 11164 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 1 ∈ ℝ)
31 0lt1 11685 . . . . . . . . . 10 0 < 1
3231a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 0 < 1)
33 max2 13115 . . . . . . . . . . 11 (((πΉβ€˜π‘€) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) β†’ 1 ≀ if((πΉβ€˜π‘€) ≀ 1, 1, (πΉβ€˜π‘€)))
3424, 30, 33syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 1 ≀ if((πΉβ€˜π‘€) ≀ 1, 1, (πΉβ€˜π‘€)))
3534, 15breqtrrdi 5151 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 1 ≀ 𝑇)
3629, 30, 27, 32, 35ltletrd 11323 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 0 < 𝑇)
3736adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ 0 < 𝑇)
3828, 37elrpd 12962 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ 𝑇 ∈ ℝ+)
3938rpge0d 12969 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ 0 ≀ 𝑇)
40 ostth2.8 . . . . . . . 8 π‘ˆ = ((logβ€˜π‘) / (logβ€˜π‘€))
415nnred 12176 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
424simprd 497 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 1 < 𝑁)
4341, 42rplogcld 26007 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (logβ€˜π‘) ∈ ℝ+)
4420nnred 12176 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
4519simprd 497 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 1 < 𝑀)
4644, 45rplogcld 26007 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (logβ€˜π‘€) ∈ ℝ+)
4743, 46rpdivcld 12982 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((logβ€˜π‘) / (logβ€˜π‘€)) ∈ ℝ+)
4840, 47eqeltrid 2838 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ ℝ+)
4948rpred 12965 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ ℝ)
5049adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ π‘ˆ ∈ ℝ)
5128, 39, 50recxpcld 26101 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ (π‘‡β†‘π‘π‘ˆ) ∈ ℝ)
5251recnd 11191 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ (π‘‡β†‘π‘π‘ˆ) ∈ β„‚)
5338, 50rpcxpcld 26110 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ (π‘‡β†‘π‘π‘ˆ) ∈ ℝ+)
5453rpne0d 12970 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ (π‘‡β†‘π‘π‘ˆ) β‰  0)
55 nnnn0 12428 . . . 4 (𝑋 ∈ β„• β†’ 𝑋 ∈ β„•0)
5655adantl 483 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ 𝑋 ∈ β„•0)
5714, 52, 54, 56expdivd 14074 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ (((πΉβ€˜π‘) / (π‘‡β†‘π‘π‘ˆ))↑𝑋) = (((πΉβ€˜π‘)↑𝑋) / ((π‘‡β†‘π‘π‘ˆ)↑𝑋)))
58 reexpcl 13993 . . . . . 6 (((πΉβ€˜π‘) ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) β†’ ((πΉβ€˜π‘)↑𝑋) ∈ ℝ)
5912, 55, 58syl2an 597 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ ((πΉβ€˜π‘)↑𝑋) ∈ ℝ)
6020adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ 𝑀 ∈ β„•)
6160nnred 12176 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
62 nnre 12168 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ β„• β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
6362adantl 483 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
6463, 50remulcld 11193 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ (𝑋 Β· π‘ˆ) ∈ ℝ)
6556nn0ge0d 12484 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ 0 ≀ 𝑋)
6648rpge0d 12969 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 0 ≀ π‘ˆ)
6766adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ 0 ≀ π‘ˆ)
6863, 50, 65, 67mulge0d 11740 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ 0 ≀ (𝑋 Β· π‘ˆ))
69 flge0nn0 13734 . . . . . . . . . 10 (((𝑋 Β· π‘ˆ) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (𝑋 Β· π‘ˆ)) β†’ (βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) ∈ β„•0)
7064, 68, 69syl2anc 585 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ (βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) ∈ β„•0)
71 peano2nn0 12461 . . . . . . . . 9 ((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) ∈ β„•0 β†’ ((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1) ∈ β„•0)
7270, 71syl 17 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ ((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1) ∈ β„•0)
7372nn0red 12482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ ((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1) ∈ ℝ)
7461, 73remulcld 11193 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ (𝑀 Β· ((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1)) ∈ ℝ)
7528, 72reexpcld 14077 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ (𝑇↑((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1)) ∈ ℝ)
7674, 75remulcld 11193 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ ((𝑀 Β· ((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1)) Β· (𝑇↑((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1))) ∈ ℝ)
77 peano2re 11336 . . . . . . . . 9 (π‘ˆ ∈ ℝ β†’ (π‘ˆ + 1) ∈ ℝ)
7850, 77syl 17 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ (π‘ˆ + 1) ∈ ℝ)
7963, 78remulcld 11193 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ (𝑋 Β· (π‘ˆ + 1)) ∈ ℝ)
8061, 79remulcld 11193 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ (𝑀 Β· (𝑋 Β· (π‘ˆ + 1))) ∈ ℝ)
8151, 56reexpcld 14077 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ ((π‘‡β†‘π‘π‘ˆ)↑𝑋) ∈ ℝ)
8281, 28remulcld 11193 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ (((π‘‡β†‘π‘π‘ˆ)↑𝑋) Β· 𝑇) ∈ ℝ)
8380, 82remulcld 11193 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ ((𝑀 Β· (𝑋 Β· (π‘ˆ + 1))) Β· (((π‘‡β†‘π‘π‘ˆ)↑𝑋) Β· 𝑇)) ∈ ℝ)
849, 8qabvexp 26997 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ β„š ∧ 𝑋 ∈ β„•0) β†’ (πΉβ€˜(𝑁↑𝑋)) = ((πΉβ€˜π‘)↑𝑋))
851, 7, 55, 84syl2an3an 1423 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜(𝑁↑𝑋)) = ((πΉβ€˜π‘)↑𝑋))
8663recnd 11191 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
8743rpred 12965 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ (logβ€˜π‘) ∈ ℝ)
8887recnd 11191 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (logβ€˜π‘) ∈ β„‚)
8988adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ (logβ€˜π‘) ∈ β„‚)
9046rpred 12965 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ (logβ€˜π‘€) ∈ ℝ)
9190recnd 11191 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (logβ€˜π‘€) ∈ β„‚)
9291adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ (logβ€˜π‘€) ∈ β„‚)
9346adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ (logβ€˜π‘€) ∈ ℝ+)
9493rpne0d 12970 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ (logβ€˜π‘€) β‰  0)
9586, 89, 92, 94divassd 11974 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ ((𝑋 Β· (logβ€˜π‘)) / (logβ€˜π‘€)) = (𝑋 Β· ((logβ€˜π‘) / (logβ€˜π‘€))))
9640oveq2i 7372 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑋 Β· π‘ˆ) = (𝑋 Β· ((logβ€˜π‘) / (logβ€˜π‘€)))
9795, 96eqtr4di 2791 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ ((𝑋 Β· (logβ€˜π‘)) / (logβ€˜π‘€)) = (𝑋 Β· π‘ˆ))
9897oveq1d 7376 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ (((𝑋 Β· (logβ€˜π‘)) / (logβ€˜π‘€)) Β· (logβ€˜π‘€)) = ((𝑋 Β· π‘ˆ) Β· (logβ€˜π‘€)))
9986, 89mulcld 11183 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ (𝑋 Β· (logβ€˜π‘)) ∈ β„‚)
10099, 92, 94divcan1d 11940 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ (((𝑋 Β· (logβ€˜π‘)) / (logβ€˜π‘€)) Β· (logβ€˜π‘€)) = (𝑋 Β· (logβ€˜π‘)))
10198, 100eqtr3d 2775 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ ((𝑋 Β· π‘ˆ) Β· (logβ€˜π‘€)) = (𝑋 Β· (logβ€˜π‘)))
102 flltp1 13714 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑋 Β· π‘ˆ) ∈ ℝ β†’ (𝑋 Β· π‘ˆ) < ((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1))
10364, 102syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ (𝑋 Β· π‘ˆ) < ((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1))
10464, 73, 93, 103ltmul1dd 13020 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ ((𝑋 Β· π‘ˆ) Β· (logβ€˜π‘€)) < (((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1) Β· (logβ€˜π‘€)))
105101, 104eqbrtrrd 5133 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ (𝑋 Β· (logβ€˜π‘)) < (((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1) Β· (logβ€˜π‘€)))
10687adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ (logβ€˜π‘) ∈ ℝ)
10763, 106remulcld 11193 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ (𝑋 Β· (logβ€˜π‘)) ∈ ℝ)
10890adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ (logβ€˜π‘€) ∈ ℝ)
10973, 108remulcld 11193 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ (((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1) Β· (logβ€˜π‘€)) ∈ ℝ)
110 eflt 16007 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑋 Β· (logβ€˜π‘)) ∈ ℝ ∧ (((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1) Β· (logβ€˜π‘€)) ∈ ℝ) β†’ ((𝑋 Β· (logβ€˜π‘)) < (((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1) Β· (logβ€˜π‘€)) ↔ (expβ€˜(𝑋 Β· (logβ€˜π‘))) < (expβ€˜(((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1) Β· (logβ€˜π‘€)))))
111107, 109, 110syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ ((𝑋 Β· (logβ€˜π‘)) < (((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1) Β· (logβ€˜π‘€)) ↔ (expβ€˜(𝑋 Β· (logβ€˜π‘))) < (expβ€˜(((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1) Β· (logβ€˜π‘€)))))
112105, 111mpbid 231 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ (expβ€˜(𝑋 Β· (logβ€˜π‘))) < (expβ€˜(((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1) Β· (logβ€˜π‘€))))
1135nnrpd 12963 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ ℝ+)
114 nnz 12528 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ β„• β†’ 𝑋 ∈ β„€)
115 reexplog 25973 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℝ+ ∧ 𝑋 ∈ β„€) β†’ (𝑁↑𝑋) = (expβ€˜(𝑋 Β· (logβ€˜π‘))))
116113, 114, 115syl2an 597 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ (𝑁↑𝑋) = (expβ€˜(𝑋 Β· (logβ€˜π‘))))
11760nnrpd 12963 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ 𝑀 ∈ ℝ+)
11872nn0zd 12533 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ ((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1) ∈ β„€)
119 reexplog 25973 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℝ+ ∧ ((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1) ∈ β„€) β†’ (𝑀↑((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1)) = (expβ€˜(((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1) Β· (logβ€˜π‘€))))
120117, 118, 119syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ (𝑀↑((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1)) = (expβ€˜(((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1) Β· (logβ€˜π‘€))))
121112, 116, 1203brtr4d 5141 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ (𝑁↑𝑋) < (𝑀↑((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1)))
122 nnexpcl 13989 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑋 ∈ β„•0) β†’ (𝑁↑𝑋) ∈ β„•)
1235, 55, 122syl2an 597 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ (𝑁↑𝑋) ∈ β„•)
12460, 72nnexpcld 14157 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ (𝑀↑((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1)) ∈ β„•)
125 nnltlem1 12578 . . . . . . . . . 10 (((𝑁↑𝑋) ∈ β„• ∧ (𝑀↑((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1)) ∈ β„•) β†’ ((𝑁↑𝑋) < (𝑀↑((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1)) ↔ (𝑁↑𝑋) ≀ ((𝑀↑((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1)) βˆ’ 1)))
126123, 124, 125syl2anc 585 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ ((𝑁↑𝑋) < (𝑀↑((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1)) ↔ (𝑁↑𝑋) ≀ ((𝑀↑((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1)) βˆ’ 1)))
127121, 126mpbid 231 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ (𝑁↑𝑋) ≀ ((𝑀↑((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1)) βˆ’ 1))
128123nnnn0d 12481 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ (𝑁↑𝑋) ∈ β„•0)
129 nn0uz 12813 . . . . . . . . . 10 β„•0 = (β„€β‰₯β€˜0)
130128, 129eleqtrdi 2844 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ (𝑁↑𝑋) ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
131124nnzd 12534 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ (𝑀↑((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1)) ∈ β„€)
132 peano2zm 12554 . . . . . . . . . 10 ((𝑀↑((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1)) ∈ β„€ β†’ ((𝑀↑((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1)) βˆ’ 1) ∈ β„€)
133131, 132syl 17 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ ((𝑀↑((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1)) βˆ’ 1) ∈ β„€)
134 elfz5 13442 . . . . . . . . 9 (((𝑁↑𝑋) ∈ (β„€β‰₯β€˜0) ∧ ((𝑀↑((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1)) βˆ’ 1) ∈ β„€) β†’ ((𝑁↑𝑋) ∈ (0...((𝑀↑((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1)) βˆ’ 1)) ↔ (𝑁↑𝑋) ≀ ((𝑀↑((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1)) βˆ’ 1)))
135130, 133, 134syl2anc 585 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ ((𝑁↑𝑋) ∈ (0...((𝑀↑((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1)) βˆ’ 1)) ↔ (𝑁↑𝑋) ≀ ((𝑀↑((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1)) βˆ’ 1)))
136127, 135mpbird 257 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ (𝑁↑𝑋) ∈ (0...((𝑀↑((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1)) βˆ’ 1)))
137 padic.j . . . . . . . . . 10 𝐽 = (π‘ž ∈ β„™ ↦ (π‘₯ ∈ β„š ↦ if(π‘₯ = 0, 0, (π‘žβ†‘-(π‘ž pCnt π‘₯)))))
138 ostth.k . . . . . . . . . 10 𝐾 = (π‘₯ ∈ β„š ↦ if(π‘₯ = 0, 0, 1))
139 ostth2.3 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 1 < (πΉβ€˜π‘))
140 ostth2.4 . . . . . . . . . 10 𝑅 = ((logβ€˜(πΉβ€˜π‘)) / (logβ€˜π‘))
141 ostth2.6 . . . . . . . . . 10 𝑆 = ((logβ€˜(πΉβ€˜π‘€)) / (logβ€˜π‘€))
1429, 8, 137, 138, 1, 2, 139, 140, 17, 141, 15ostth2lem2 27005 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ ((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1) ∈ β„•0 ∧ (𝑁↑𝑋) ∈ (0...((𝑀↑((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1)) βˆ’ 1))) β†’ (πΉβ€˜(𝑁↑𝑋)) ≀ ((𝑀 Β· ((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1)) Β· (𝑇↑((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1))))
1431423expia 1122 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ ((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1) ∈ β„•0) β†’ ((𝑁↑𝑋) ∈ (0...((𝑀↑((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1)) βˆ’ 1)) β†’ (πΉβ€˜(𝑁↑𝑋)) ≀ ((𝑀 Β· ((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1)) Β· (𝑇↑((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1)))))
14472, 143syldan 592 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ ((𝑁↑𝑋) ∈ (0...((𝑀↑((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1)) βˆ’ 1)) β†’ (πΉβ€˜(𝑁↑𝑋)) ≀ ((𝑀 Β· ((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1)) Β· (𝑇↑((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1)))))
145136, 144mpd 15 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜(𝑁↑𝑋)) ≀ ((𝑀 Β· ((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1)) Β· (𝑇↑((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1))))
14685, 145eqbrtrrd 5133 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ ((πΉβ€˜π‘)↑𝑋) ≀ ((𝑀 Β· ((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1)) Β· (𝑇↑((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1))))
14780, 75remulcld 11193 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ ((𝑀 Β· (𝑋 Β· (π‘ˆ + 1))) Β· (𝑇↑((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1))) ∈ ℝ)
148 peano2re 11336 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 Β· π‘ˆ) ∈ ℝ β†’ ((𝑋 Β· π‘ˆ) + 1) ∈ ℝ)
14964, 148syl 17 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ ((𝑋 Β· π‘ˆ) + 1) ∈ ℝ)
15070nn0red 12482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ (βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) ∈ ℝ)
151 1red 11164 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ 1 ∈ ℝ)
152 flle 13713 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 Β· π‘ˆ) ∈ ℝ β†’ (βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) ≀ (𝑋 Β· π‘ˆ))
15364, 152syl 17 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ (βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) ≀ (𝑋 Β· π‘ˆ))
154150, 64, 151, 153leadd1dd 11777 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ ((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1) ≀ ((𝑋 Β· π‘ˆ) + 1))
155 nnge1 12189 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ β„• β†’ 1 ≀ 𝑋)
156155adantl 483 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ 1 ≀ 𝑋)
157151, 63, 64, 156leadd2dd 11778 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ ((𝑋 Β· π‘ˆ) + 1) ≀ ((𝑋 Β· π‘ˆ) + 𝑋))
15850recnd 11191 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ π‘ˆ ∈ β„‚)
159151recnd 11191 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ 1 ∈ β„‚)
16086, 158, 159adddid 11187 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ (𝑋 Β· (π‘ˆ + 1)) = ((𝑋 Β· π‘ˆ) + (𝑋 Β· 1)))
16186mulridd 11180 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ (𝑋 Β· 1) = 𝑋)
162161oveq2d 7377 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ ((𝑋 Β· π‘ˆ) + (𝑋 Β· 1)) = ((𝑋 Β· π‘ˆ) + 𝑋))
163160, 162eqtrd 2773 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ (𝑋 Β· (π‘ˆ + 1)) = ((𝑋 Β· π‘ˆ) + 𝑋))
164157, 163breqtrrd 5137 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ ((𝑋 Β· π‘ˆ) + 1) ≀ (𝑋 Β· (π‘ˆ + 1)))
16573, 149, 79, 154, 164letrd 11320 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ ((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1) ≀ (𝑋 Β· (π‘ˆ + 1)))
16660nngt0d 12210 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ 0 < 𝑀)
167 lemul2 12016 . . . . . . . . 9 ((((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1) ∈ ℝ ∧ (𝑋 Β· (π‘ˆ + 1)) ∈ ℝ ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑀)) β†’ (((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1) ≀ (𝑋 Β· (π‘ˆ + 1)) ↔ (𝑀 Β· ((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1)) ≀ (𝑀 Β· (𝑋 Β· (π‘ˆ + 1)))))
16873, 79, 61, 166, 167syl112anc 1375 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ (((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1) ≀ (𝑋 Β· (π‘ˆ + 1)) ↔ (𝑀 Β· ((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1)) ≀ (𝑀 Β· (𝑋 Β· (π‘ˆ + 1)))))
169165, 168mpbid 231 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ (𝑀 Β· ((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1)) ≀ (𝑀 Β· (𝑋 Β· (π‘ˆ + 1))))
170 expgt0 14010 . . . . . . . . 9 ((𝑇 ∈ ℝ ∧ ((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1) ∈ β„€ ∧ 0 < 𝑇) β†’ 0 < (𝑇↑((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1)))
17128, 118, 37, 170syl3anc 1372 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ 0 < (𝑇↑((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1)))
172 lemul1 12015 . . . . . . . 8 (((𝑀 Β· ((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1)) ∈ ℝ ∧ (𝑀 Β· (𝑋 Β· (π‘ˆ + 1))) ∈ ℝ ∧ ((𝑇↑((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1)) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑇↑((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1)))) β†’ ((𝑀 Β· ((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1)) ≀ (𝑀 Β· (𝑋 Β· (π‘ˆ + 1))) ↔ ((𝑀 Β· ((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1)) Β· (𝑇↑((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1))) ≀ ((𝑀 Β· (𝑋 Β· (π‘ˆ + 1))) Β· (𝑇↑((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1)))))
17374, 80, 75, 171, 172syl112anc 1375 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ ((𝑀 Β· ((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1)) ≀ (𝑀 Β· (𝑋 Β· (π‘ˆ + 1))) ↔ ((𝑀 Β· ((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1)) Β· (𝑇↑((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1))) ≀ ((𝑀 Β· (𝑋 Β· (π‘ˆ + 1))) Β· (𝑇↑((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1)))))
174169, 173mpbid 231 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ ((𝑀 Β· ((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1)) Β· (𝑇↑((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1))) ≀ ((𝑀 Β· (𝑋 Β· (π‘ˆ + 1))) Β· (𝑇↑((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1))))
17528recnd 11191 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ 𝑇 ∈ β„‚)
176175, 70expp1d 14061 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ (𝑇↑((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1)) = ((𝑇↑(βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ))) Β· 𝑇))
17735adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ 1 ≀ 𝑇)
178 remulcl 11144 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘ˆ ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) β†’ (π‘ˆ Β· 𝑋) ∈ ℝ)
17949, 62, 178syl2an 597 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ (π‘ˆ Β· 𝑋) ∈ ℝ)
18086, 158mulcomd 11184 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ (𝑋 Β· π‘ˆ) = (π‘ˆ Β· 𝑋))
181153, 180breqtrd 5135 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ (βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) ≀ (π‘ˆ Β· 𝑋))
18228, 177, 150, 179, 181cxplead 26099 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ (𝑇↑𝑐(βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ))) ≀ (𝑇↑𝑐(π‘ˆ Β· 𝑋)))
183 cxpexp 26046 . . . . . . . . . . 11 ((𝑇 ∈ β„‚ ∧ (βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) ∈ β„•0) β†’ (𝑇↑𝑐(βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ))) = (𝑇↑(βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ))))
184175, 70, 183syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ (𝑇↑𝑐(βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ))) = (𝑇↑(βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ))))
18538, 50, 86cxpmuld 26114 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ (𝑇↑𝑐(π‘ˆ Β· 𝑋)) = ((π‘‡β†‘π‘π‘ˆ)↑𝑐𝑋))
186 cxpexp 26046 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘‡β†‘π‘π‘ˆ) ∈ β„‚ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) β†’ ((π‘‡β†‘π‘π‘ˆ)↑𝑐𝑋) = ((π‘‡β†‘π‘π‘ˆ)↑𝑋))
18752, 56, 186syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ ((π‘‡β†‘π‘π‘ˆ)↑𝑐𝑋) = ((π‘‡β†‘π‘π‘ˆ)↑𝑋))
188185, 187eqtrd 2773 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ (𝑇↑𝑐(π‘ˆ Β· 𝑋)) = ((π‘‡β†‘π‘π‘ˆ)↑𝑋))
189182, 184, 1883brtr3d 5140 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ (𝑇↑(βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ))) ≀ ((π‘‡β†‘π‘π‘ˆ)↑𝑋))
19028, 70reexpcld 14077 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ (𝑇↑(βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ))) ∈ ℝ)
191190, 81, 38lemul1d 13008 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ ((𝑇↑(βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ))) ≀ ((π‘‡β†‘π‘π‘ˆ)↑𝑋) ↔ ((𝑇↑(βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ))) Β· 𝑇) ≀ (((π‘‡β†‘π‘π‘ˆ)↑𝑋) Β· 𝑇)))
192189, 191mpbid 231 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ ((𝑇↑(βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ))) Β· 𝑇) ≀ (((π‘‡β†‘π‘π‘ˆ)↑𝑋) Β· 𝑇))
193176, 192eqbrtrd 5131 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ (𝑇↑((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1)) ≀ (((π‘‡β†‘π‘π‘ˆ)↑𝑋) Β· 𝑇))
194 nngt0 12192 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ β„• β†’ 0 < 𝑋)
195194adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ 0 < 𝑋)
196 0red 11166 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ 0 ∈ ℝ)
19748adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ π‘ˆ ∈ ℝ+)
198197rpgt0d 12968 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ 0 < π‘ˆ)
19950ltp1d 12093 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ π‘ˆ < (π‘ˆ + 1))
200196, 50, 78, 198, 199lttrd 11324 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ 0 < (π‘ˆ + 1))
20163, 78, 195, 200mulgt0d 11318 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ 0 < (𝑋 Β· (π‘ˆ + 1)))
20261, 79, 166, 201mulgt0d 11318 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ 0 < (𝑀 Β· (𝑋 Β· (π‘ˆ + 1))))
203 lemul2 12016 . . . . . . . 8 (((𝑇↑((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1)) ∈ ℝ ∧ (((π‘‡β†‘π‘π‘ˆ)↑𝑋) Β· 𝑇) ∈ ℝ ∧ ((𝑀 Β· (𝑋 Β· (π‘ˆ + 1))) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑀 Β· (𝑋 Β· (π‘ˆ + 1))))) β†’ ((𝑇↑((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1)) ≀ (((π‘‡β†‘π‘π‘ˆ)↑𝑋) Β· 𝑇) ↔ ((𝑀 Β· (𝑋 Β· (π‘ˆ + 1))) Β· (𝑇↑((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1))) ≀ ((𝑀 Β· (𝑋 Β· (π‘ˆ + 1))) Β· (((π‘‡β†‘π‘π‘ˆ)↑𝑋) Β· 𝑇))))
20475, 82, 80, 202, 203syl112anc 1375 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ ((𝑇↑((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1)) ≀ (((π‘‡β†‘π‘π‘ˆ)↑𝑋) Β· 𝑇) ↔ ((𝑀 Β· (𝑋 Β· (π‘ˆ + 1))) Β· (𝑇↑((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1))) ≀ ((𝑀 Β· (𝑋 Β· (π‘ˆ + 1))) Β· (((π‘‡β†‘π‘π‘ˆ)↑𝑋) Β· 𝑇))))
205193, 204mpbid 231 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ ((𝑀 Β· (𝑋 Β· (π‘ˆ + 1))) Β· (𝑇↑((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1))) ≀ ((𝑀 Β· (𝑋 Β· (π‘ˆ + 1))) Β· (((π‘‡β†‘π‘π‘ˆ)↑𝑋) Β· 𝑇)))
20676, 147, 83, 174, 205letrd 11320 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ ((𝑀 Β· ((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1)) Β· (𝑇↑((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1))) ≀ ((𝑀 Β· (𝑋 Β· (π‘ˆ + 1))) Β· (((π‘‡β†‘π‘π‘ˆ)↑𝑋) Β· 𝑇)))
20759, 76, 83, 146, 206letrd 11320 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ ((πΉβ€˜π‘)↑𝑋) ≀ ((𝑀 Β· (𝑋 Β· (π‘ˆ + 1))) Β· (((π‘‡β†‘π‘π‘ˆ)↑𝑋) Β· 𝑇)))
20880recnd 11191 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ (𝑀 Β· (𝑋 Β· (π‘ˆ + 1))) ∈ β„‚)
20981recnd 11191 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ ((π‘‡β†‘π‘π‘ˆ)↑𝑋) ∈ β„‚)
210208, 209, 175mul12d 11372 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ ((𝑀 Β· (𝑋 Β· (π‘ˆ + 1))) Β· (((π‘‡β†‘π‘π‘ˆ)↑𝑋) Β· 𝑇)) = (((π‘‡β†‘π‘π‘ˆ)↑𝑋) Β· ((𝑀 Β· (𝑋 Β· (π‘ˆ + 1))) Β· 𝑇)))
21161recnd 11191 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ 𝑀 ∈ β„‚)
21279recnd 11191 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ (𝑋 Β· (π‘ˆ + 1)) ∈ β„‚)
213211, 212, 175mul32d 11373 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ ((𝑀 Β· (𝑋 Β· (π‘ˆ + 1))) Β· 𝑇) = ((𝑀 Β· 𝑇) Β· (𝑋 Β· (π‘ˆ + 1))))
214211, 175mulcld 11183 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ (𝑀 Β· 𝑇) ∈ β„‚)
21578recnd 11191 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ (π‘ˆ + 1) ∈ β„‚)
216214, 86, 215mul12d 11372 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ ((𝑀 Β· 𝑇) Β· (𝑋 Β· (π‘ˆ + 1))) = (𝑋 Β· ((𝑀 Β· 𝑇) Β· (π‘ˆ + 1))))
217213, 216eqtrd 2773 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ ((𝑀 Β· (𝑋 Β· (π‘ˆ + 1))) Β· 𝑇) = (𝑋 Β· ((𝑀 Β· 𝑇) Β· (π‘ˆ + 1))))
218217oveq2d 7377 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ (((π‘‡β†‘π‘π‘ˆ)↑𝑋) Β· ((𝑀 Β· (𝑋 Β· (π‘ˆ + 1))) Β· 𝑇)) = (((π‘‡β†‘π‘π‘ˆ)↑𝑋) Β· (𝑋 Β· ((𝑀 Β· 𝑇) Β· (π‘ˆ + 1)))))
219210, 218eqtrd 2773 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ ((𝑀 Β· (𝑋 Β· (π‘ˆ + 1))) Β· (((π‘‡β†‘π‘π‘ˆ)↑𝑋) Β· 𝑇)) = (((π‘‡β†‘π‘π‘ˆ)↑𝑋) Β· (𝑋 Β· ((𝑀 Β· 𝑇) Β· (π‘ˆ + 1)))))
220207, 219breqtrd 5135 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ ((πΉβ€˜π‘)↑𝑋) ≀ (((π‘‡β†‘π‘π‘ˆ)↑𝑋) Β· (𝑋 Β· ((𝑀 Β· 𝑇) Β· (π‘ˆ + 1)))))
22161, 28remulcld 11193 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ (𝑀 Β· 𝑇) ∈ ℝ)
222221, 78remulcld 11193 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ ((𝑀 Β· 𝑇) Β· (π‘ˆ + 1)) ∈ ℝ)
22363, 222remulcld 11193 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ (𝑋 Β· ((𝑀 Β· 𝑇) Β· (π‘ˆ + 1))) ∈ ℝ)
224114adantl 483 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ 𝑋 ∈ β„€)
22553, 224rpexpcld 14159 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ ((π‘‡β†‘π‘π‘ˆ)↑𝑋) ∈ ℝ+)
22659, 223, 225ledivmuld 13018 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ ((((πΉβ€˜π‘)↑𝑋) / ((π‘‡β†‘π‘π‘ˆ)↑𝑋)) ≀ (𝑋 Β· ((𝑀 Β· 𝑇) Β· (π‘ˆ + 1))) ↔ ((πΉβ€˜π‘)↑𝑋) ≀ (((π‘‡β†‘π‘π‘ˆ)↑𝑋) Β· (𝑋 Β· ((𝑀 Β· 𝑇) Β· (π‘ˆ + 1))))))
227220, 226mpbird 257 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ (((πΉβ€˜π‘)↑𝑋) / ((π‘‡β†‘π‘π‘ˆ)↑𝑋)) ≀ (𝑋 Β· ((𝑀 Β· 𝑇) Β· (π‘ˆ + 1))))
22857, 227eqbrtrd 5131 1 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ (((πΉβ€˜π‘) / (π‘‡β†‘π‘π‘ˆ))↑𝑋) ≀ (𝑋 Β· ((𝑀 Β· 𝑇) Β· (π‘ˆ + 1))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  ifcif 4490   class class class wbr 5109   ↦ cmpt 5192  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  β„‚cc 11057  β„cr 11058  0cc0 11059  1c1 11060   + caddc 11062   Β· cmul 11064   < clt 11197   ≀ cle 11198   βˆ’ cmin 11393  -cneg 11394   / cdiv 11820  β„•cn 12161  2c2 12216  β„•0cn0 12421  β„€cz 12507  β„€β‰₯cuz 12771  β„šcq 12881  β„+crp 12923  ...cfz 13433  βŒŠcfl 13704  β†‘cexp 13976  expce 15952  β„™cprime 16555   pCnt cpc 16716   β†Ύs cress 17120  AbsValcabv 20318  β„‚fldccnfld 20819  logclog 25933  β†‘𝑐ccxp 25934
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-inf2 9585  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137  ax-addf 11138  ax-mulf 11139
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7621  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-supp 8097  df-tpos 8161  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-2o 8417  df-er 8654  df-map 8773  df-pm 8774  df-ixp 8842  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-fsupp 9312  df-fi 9355  df-sup 9386  df-inf 9387  df-oi 9454  df-card 9883  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-9 12231  df-n0 12422  df-z 12508  df-dec 12627  df-uz 12772  df-q 12882  df-rp 12924  df-xneg 13041  df-xadd 13042  df-xmul 13043  df-ioo 13277  df-ioc 13278  df-ico 13279  df-icc 13280  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-fl 13706  df-mod 13784  df-seq 13916  df-exp 13977  df-fac 14183  df-bc 14212  df-hash 14240  df-shft 14961  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-limsup 15362  df-clim 15379  df-rlim 15380  df-sum 15580  df-ef 15958  df-sin 15960  df-cos 15961  df-pi 15963  df-struct 17027  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-starv 17156  df-sca 17157  df-vsca 17158  df-ip 17159  df-tset 17160  df-ple 17161  df-ds 17163  df-unif 17164  df-hom 17165  df-cco 17166  df-rest 17312  df-topn 17313  df-0g 17331  df-gsum 17332  df-topgen 17333  df-pt 17334  df-prds 17337  df-xrs 17392  df-qtop 17397  df-imas 17398  df-xps 17400  df-mre 17474  df-mrc 17475  df-acs 17477  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-submnd 18610  df-grp 18759  df-minusg 18760  df-mulg 18881  df-subg 18933  df-cntz 19105  df-cmn 19572  df-mgp 19905  df-ur 19922  df-ring 19974  df-cring 19975  df-oppr 20057  df-dvdsr 20078  df-unit 20079  df-invr 20109  df-dvr 20120  df-drng 20221  df-subrg 20262  df-abv 20319  df-psmet 20811  df-xmet 20812  df-met 20813  df-bl 20814  df-mopn 20815  df-fbas 20816  df-fg 20817  df-cnfld 20820  df-top 22266  df-topon 22283  df-topsp 22305  df-bases 22319  df-cld 22393  df-ntr 22394  df-cls 22395  df-nei 22472  df-lp 22510  df-perf 22511  df-cn 22601  df-cnp 22602  df-haus 22689  df-tx 22936  df-hmeo 23129  df-fil 23220  df-fm 23312  df-flim 23313  df-flf 23314  df-xms 23696  df-ms 23697  df-tms 23698  df-cncf 24264  df-limc 25253  df-dv 25254  df-log 25935  df-cxp 25936
This theorem is referenced by:  ostth2lem4  27007
  Copyright terms: Public domain W3C validator