ostth2lem3 - Metamath Proof Explorer

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Theorem ostth2lem3 27694

Description: Lemma for ostth2 27696. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2014.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
qrng.q	⊢ 𝑄 = (ℂ_fld ↾_s ℚ)
qabsabv.a	⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑄)
padic.j	⊢ 𝐽 = (𝑞 ∈ ℙ ↦ (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, (𝑞↑-(𝑞 pCnt 𝑥)))))
ostth.k	⊢ 𝐾 = (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, 1))
ostth.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐴)
ostth2.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2))
ostth2.3	⊢ (𝜑 → 1 < (𝐹‘𝑁))
ostth2.4	⊢ 𝑅 = ((log‘(𝐹‘𝑁)) / (log‘𝑁))
ostth2.5	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ_≥‘2))
ostth2.6	⊢ 𝑆 = ((log‘(𝐹‘𝑀)) / (log‘𝑀))
ostth2.7	⊢ 𝑇 = if((𝐹‘𝑀) ≤ 1, 1, (𝐹‘𝑀))
ostth2.8	⊢ 𝑈 = ((log‘𝑁) / (log‘𝑀))

**Assertion**
Ref	Expression
ostth2lem3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → (((𝐹‘𝑁) / (𝑇↑_𝑐𝑈))↑𝑋) ≤ (𝑋 · ((𝑀 · 𝑇) · (𝑈 + 1))))

Distinct variable groups: 𝑥,𝑀 𝑥,𝑞,𝜑 𝑥,𝑇 𝑥,𝑈 𝑥,𝑋 𝐴,𝑞,𝑥 𝑥,𝑁 𝑥,𝑄 𝐹,𝑞 𝑅,𝑞 𝑥,𝐹 Allowed substitution hints: 𝑄(𝑞) 𝑅(𝑥) 𝑆(𝑥,𝑞) 𝑇(𝑞) 𝑈(𝑞) 𝐽(𝑥,𝑞) 𝐾(𝑥,𝑞) 𝑀(𝑞) 𝑁(𝑞) 𝑋(𝑞)

**Proof of Theorem ostth2lem3**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		ostth.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐴)
2		ostth2.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2))
3		eluz2b2 12961	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑁))
4	2, 3	sylib 218	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑁))
5	4	simpld 494	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
6		nnq 13002	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℚ)
7	5, 6	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℚ)
8		qabsabv.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑄)
9		qrng.q	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑄 = (ℂ_fld ↾_s ℚ)
10	9	qrngbas 27678	. . . . . . 7 ⊢ ℚ = (Base‘𝑄)
11	8, 10	abvcl 20834	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℚ) → (𝐹‘𝑁) ∈ ℝ)
12	1, 7, 11	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑁) ∈ ℝ)
13	12	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑁) ∈ ℝ)
14	13	recnd 11287	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑁) ∈ ℂ)
15		ostth2.7	. . . . . . 7 ⊢ 𝑇 = if((𝐹‘𝑀) ≤ 1, 1, (𝐹‘𝑀))
16		1re 11259	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
17		ostth2.5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ_≥‘2))
18		eluz2b2 12961	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ_≥‘2) ↔ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑀))
19	17, 18	sylib 218	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑀))
20	19	simpld 494	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
21		nnq 13002	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℚ)
22	20, 21	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℚ)
23	8, 10	abvcl 20834	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ ℚ) → (𝐹‘𝑀) ∈ ℝ)
24	1, 22, 23	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑀) ∈ ℝ)
25		ifcl 4576	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑀) ∈ ℝ) → if((𝐹‘𝑀) ≤ 1, 1, (𝐹‘𝑀)) ∈ ℝ)
26	16, 24, 25	sylancr 587	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → if((𝐹‘𝑀) ≤ 1, 1, (𝐹‘𝑀)) ∈ ℝ)
27	15, 26	eqeltrid 2843	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ)
28	27	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → 𝑇 ∈ ℝ)
29		0red 11262	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
30		1red 11260	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
31		0lt1 11783	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < 1
32	31	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 < 1)
33		max2 13226	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹‘𝑀) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → 1 ≤ if((𝐹‘𝑀) ≤ 1, 1, (𝐹‘𝑀)))
34	24, 30, 33	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ if((𝐹‘𝑀) ≤ 1, 1, (𝐹‘𝑀)))
35	34, 15	breqtrrdi 5190	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝑇)
36	29, 30, 27, 32, 35	ltletrd 11419	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑇)
37	36	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → 0 < 𝑇)
38	28, 37	elrpd 13072	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → 𝑇 ∈ ℝ⁺)
39	38	rpge0d 13079	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → 0 ≤ 𝑇)
40		ostth2.8	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑈 = ((log‘𝑁) / (log‘𝑀))
41	5	nnred 12279	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
42	4	simprd 495	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 1 < 𝑁)
43	41, 42	rplogcld 26686	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (log‘𝑁) ∈ ℝ⁺)
44	20	nnred 12279	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
45	19	simprd 495	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 1 < 𝑀)
46	44, 45	rplogcld 26686	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (log‘𝑀) ∈ ℝ⁺)
47	43, 46	rpdivcld 13092	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((log‘𝑁) / (log‘𝑀)) ∈ ℝ⁺)
48	40, 47	eqeltrid 2843	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ⁺)
49	48	rpred 13075	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ)
50	49	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → 𝑈 ∈ ℝ)
51	28, 39, 50	recxpcld 26780	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → (𝑇↑_𝑐𝑈) ∈ ℝ)
52	51	recnd 11287	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → (𝑇↑_𝑐𝑈) ∈ ℂ)
53	38, 50	rpcxpcld 26790	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → (𝑇↑_𝑐𝑈) ∈ ℝ⁺)
54	53	rpne0d 13080	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → (𝑇↑_𝑐𝑈) ≠ 0)
55		nnnn0 12531	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ ℕ → 𝑋 ∈ ℕ₀)
56	55	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → 𝑋 ∈ ℕ₀)
57	14, 52, 54, 56	expdivd 14197	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → (((𝐹‘𝑁) / (𝑇↑_𝑐𝑈))↑𝑋) = (((𝐹‘𝑁)↑𝑋) / ((𝑇↑_𝑐𝑈)↑𝑋)))
58		reexpcl 14116	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹‘𝑁) ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℕ₀) → ((𝐹‘𝑁)↑𝑋) ∈ ℝ)
59	12, 55, 58	syl2an 596	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑁)↑𝑋) ∈ ℝ)
60	20	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℕ)
61	60	nnred 12279	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℝ)
62		nnre 12271	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 ∈ ℕ → 𝑋 ∈ ℝ)
63	62	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → 𝑋 ∈ ℝ)
64	63, 50	remulcld 11289	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → (𝑋 · 𝑈) ∈ ℝ)
65	56	nn0ge0d 12588	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → 0 ≤ 𝑋)
66	48	rpge0d 13079	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑈)
67	66	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → 0 ≤ 𝑈)
68	63, 50, 65, 67	mulge0d 11838	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝑋 · 𝑈))
69		flge0nn0 13857	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑋 · 𝑈) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑋 · 𝑈)) → (⌊‘(𝑋 · 𝑈)) ∈ ℕ₀)
70	64, 68, 69	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝑋 · 𝑈)) ∈ ℕ₀)
71		peano2nn0 12564	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) ∈ ℕ₀ → ((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1) ∈ ℕ₀)
72	70, 71	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → ((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1) ∈ ℕ₀)
73	72	nn0red 12586	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → ((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1) ∈ ℝ)
74	61, 73	remulcld 11289	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → (𝑀 · ((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) ∈ ℝ)
75	28, 72	reexpcld 14200	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → (𝑇↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) ∈ ℝ)
76	74, 75	remulcld 11289	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → ((𝑀 · ((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) · (𝑇↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1))) ∈ ℝ)
77		peano2re 11432	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 ∈ ℝ → (𝑈 + 1) ∈ ℝ)
78	50, 77	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → (𝑈 + 1) ∈ ℝ)
79	63, 78	remulcld 11289	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → (𝑋 · (𝑈 + 1)) ∈ ℝ)
80	61, 79	remulcld 11289	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → (𝑀 · (𝑋 · (𝑈 + 1))) ∈ ℝ)
81	51, 56	reexpcld 14200	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → ((𝑇↑_𝑐𝑈)↑𝑋) ∈ ℝ)
82	81, 28	remulcld 11289	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → (((𝑇↑_𝑐𝑈)↑𝑋) · 𝑇) ∈ ℝ)
83	80, 82	remulcld 11289	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → ((𝑀 · (𝑋 · (𝑈 + 1))) · (((𝑇↑_𝑐𝑈)↑𝑋) · 𝑇)) ∈ ℝ)
84	9, 8	qabvexp 27685	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑋 ∈ ℕ₀) → (𝐹‘(𝑁↑𝑋)) = ((𝐹‘𝑁)↑𝑋))
85	1, 7, 55, 84	syl2an3an 1421	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑁↑𝑋)) = ((𝐹‘𝑁)↑𝑋))
86	63	recnd 11287	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → 𝑋 ∈ ℂ)
87	43	rpred 13075	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (log‘𝑁) ∈ ℝ)
88	87	recnd 11287	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (log‘𝑁) ∈ ℂ)
89	88	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → (log‘𝑁) ∈ ℂ)
90	46	rpred 13075	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (log‘𝑀) ∈ ℝ)
91	90	recnd 11287	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (log‘𝑀) ∈ ℂ)
92	91	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → (log‘𝑀) ∈ ℂ)
93	46	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → (log‘𝑀) ∈ ℝ⁺)
94	93	rpne0d 13080	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → (log‘𝑀) ≠ 0)
95	86, 89, 92, 94	divassd 12076	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → ((𝑋 · (log‘𝑁)) / (log‘𝑀)) = (𝑋 · ((log‘𝑁) / (log‘𝑀))))
96	40	oveq2i 7442	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑋 · 𝑈) = (𝑋 · ((log‘𝑁) / (log‘𝑀)))
97	95, 96	eqtr4di 2793	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → ((𝑋 · (log‘𝑁)) / (log‘𝑀)) = (𝑋 · 𝑈))
98	97	oveq1d 7446	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → (((𝑋 · (log‘𝑁)) / (log‘𝑀)) · (log‘𝑀)) = ((𝑋 · 𝑈) · (log‘𝑀)))
99	86, 89	mulcld 11279	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → (𝑋 · (log‘𝑁)) ∈ ℂ)
100	99, 92, 94	divcan1d 12042	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → (((𝑋 · (log‘𝑁)) / (log‘𝑀)) · (log‘𝑀)) = (𝑋 · (log‘𝑁)))
101	98, 100	eqtr3d 2777	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → ((𝑋 · 𝑈) · (log‘𝑀)) = (𝑋 · (log‘𝑁)))
102		flltp1 13837	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑋 · 𝑈) ∈ ℝ → (𝑋 · 𝑈) < ((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1))
103	64, 102	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → (𝑋 · 𝑈) < ((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1))
104	64, 73, 93, 103	ltmul1dd 13130	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → ((𝑋 · 𝑈) · (log‘𝑀)) < (((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1) · (log‘𝑀)))
105	101, 104	eqbrtrrd 5172	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → (𝑋 · (log‘𝑁)) < (((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1) · (log‘𝑀)))
106	87	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → (log‘𝑁) ∈ ℝ)
107	63, 106	remulcld 11289	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → (𝑋 · (log‘𝑁)) ∈ ℝ)
108	90	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → (log‘𝑀) ∈ ℝ)
109	73, 108	remulcld 11289	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → (((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1) · (log‘𝑀)) ∈ ℝ)
110		eflt 16150	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑋 · (log‘𝑁)) ∈ ℝ ∧ (((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1) · (log‘𝑀)) ∈ ℝ) → ((𝑋 · (log‘𝑁)) < (((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1) · (log‘𝑀)) ↔ (exp‘(𝑋 · (log‘𝑁))) < (exp‘(((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1) · (log‘𝑀)))))
111	107, 109, 110	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → ((𝑋 · (log‘𝑁)) < (((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1) · (log‘𝑀)) ↔ (exp‘(𝑋 · (log‘𝑁))) < (exp‘(((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1) · (log‘𝑀)))))
112	105, 111	mpbid 232	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → (exp‘(𝑋 · (log‘𝑁))) < (exp‘(((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1) · (log‘𝑀))))
113	5	nnrpd 13073	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ⁺)
114		nnz 12632	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ∈ ℕ → 𝑋 ∈ ℤ)
115		reexplog 26652	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → (𝑁↑𝑋) = (exp‘(𝑋 · (log‘𝑁))))
116	113, 114, 115	syl2an 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → (𝑁↑𝑋) = (exp‘(𝑋 · (log‘𝑁))))
117	60	nnrpd 13073	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℝ⁺)
118	72	nn0zd 12637	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → ((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1) ∈ ℤ)
119		reexplog 26652	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ⁺ ∧ ((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1) ∈ ℤ) → (𝑀↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) = (exp‘(((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1) · (log‘𝑀))))
120	117, 118, 119	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → (𝑀↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) = (exp‘(((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1) · (log‘𝑀))))
121	112, 116, 120	3brtr4d 5180	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → (𝑁↑𝑋) < (𝑀↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)))
122		nnexpcl 14112	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ℕ₀) → (𝑁↑𝑋) ∈ ℕ)
123	5, 55, 122	syl2an 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → (𝑁↑𝑋) ∈ ℕ)
124	60, 72	nnexpcld 14281	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → (𝑀↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) ∈ ℕ)
125		nnltlem1 12683	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁↑𝑋) ∈ ℕ ∧ (𝑀↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) ∈ ℕ) → ((𝑁↑𝑋) < (𝑀↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) ↔ (𝑁↑𝑋) ≤ ((𝑀↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) − 1)))
126	123, 124, 125	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → ((𝑁↑𝑋) < (𝑀↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) ↔ (𝑁↑𝑋) ≤ ((𝑀↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) − 1)))
127	121, 126	mpbid 232	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → (𝑁↑𝑋) ≤ ((𝑀↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) − 1))
128	123	nnnn0d 12585	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → (𝑁↑𝑋) ∈ ℕ₀)
129		nn0uz 12918	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℕ₀ = (ℤ_≥‘0)
130	128, 129	eleqtrdi 2849	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → (𝑁↑𝑋) ∈ (ℤ_≥‘0))
131	124	nnzd 12638	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → (𝑀↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) ∈ ℤ)
132		peano2zm 12658	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) ∈ ℤ → ((𝑀↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) − 1) ∈ ℤ)
133	131, 132	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → ((𝑀↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) − 1) ∈ ℤ)
134		elfz5 13553	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁↑𝑋) ∈ (ℤ_≥‘0) ∧ ((𝑀↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) − 1) ∈ ℤ) → ((𝑁↑𝑋) ∈ (0...((𝑀↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) − 1)) ↔ (𝑁↑𝑋) ≤ ((𝑀↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) − 1)))
135	130, 133, 134	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → ((𝑁↑𝑋) ∈ (0...((𝑀↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) − 1)) ↔ (𝑁↑𝑋) ≤ ((𝑀↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) − 1)))
136	127, 135	mpbird 257	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → (𝑁↑𝑋) ∈ (0...((𝑀↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) − 1)))
137		padic.j	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐽 = (𝑞 ∈ ℙ ↦ (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, (𝑞↑-(𝑞 pCnt 𝑥)))))
138		ostth.k	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐾 = (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, 1))
139		ostth2.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 1 < (𝐹‘𝑁))
140		ostth2.4	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑅 = ((log‘(𝐹‘𝑁)) / (log‘𝑁))
141		ostth2.6	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑆 = ((log‘(𝐹‘𝑀)) / (log‘𝑀))
142	9, 8, 137, 138, 1, 2, 139, 140, 17, 141, 15	ostth2lem2 27693	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1) ∈ ℕ₀ ∧ (𝑁↑𝑋) ∈ (0...((𝑀↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) − 1))) → (𝐹‘(𝑁↑𝑋)) ≤ ((𝑀 · ((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) · (𝑇↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1))))
143	142	3expia 1120	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1) ∈ ℕ₀) → ((𝑁↑𝑋) ∈ (0...((𝑀↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) − 1)) → (𝐹‘(𝑁↑𝑋)) ≤ ((𝑀 · ((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) · (𝑇↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)))))
144	72, 143	syldan 591	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → ((𝑁↑𝑋) ∈ (0...((𝑀↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) − 1)) → (𝐹‘(𝑁↑𝑋)) ≤ ((𝑀 · ((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) · (𝑇↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)))))
145	136, 144	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑁↑𝑋)) ≤ ((𝑀 · ((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) · (𝑇↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1))))
146	85, 145	eqbrtrrd 5172	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑁)↑𝑋) ≤ ((𝑀 · ((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) · (𝑇↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1))))
147	80, 75	remulcld 11289	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → ((𝑀 · (𝑋 · (𝑈 + 1))) · (𝑇↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1))) ∈ ℝ)
148		peano2re 11432	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 · 𝑈) ∈ ℝ → ((𝑋 · 𝑈) + 1) ∈ ℝ)
149	64, 148	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → ((𝑋 · 𝑈) + 1) ∈ ℝ)
150	70	nn0red 12586	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝑋 · 𝑈)) ∈ ℝ)
151		1red 11260	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℝ)
152		flle 13836	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 · 𝑈) ∈ ℝ → (⌊‘(𝑋 · 𝑈)) ≤ (𝑋 · 𝑈))
153	64, 152	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝑋 · 𝑈)) ≤ (𝑋 · 𝑈))
154	150, 64, 151, 153	leadd1dd 11875	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → ((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1) ≤ ((𝑋 · 𝑈) + 1))
155		nnge1 12292	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑋)
156	155	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → 1 ≤ 𝑋)
157	151, 63, 64, 156	leadd2dd 11876	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → ((𝑋 · 𝑈) + 1) ≤ ((𝑋 · 𝑈) + 𝑋))
158	50	recnd 11287	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → 𝑈 ∈ ℂ)
159	151	recnd 11287	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
160	86, 158, 159	adddid 11283	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → (𝑋 · (𝑈 + 1)) = ((𝑋 · 𝑈) + (𝑋 · 1)))
161	86	mulridd 11276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → (𝑋 · 1) = 𝑋)
162	161	oveq2d 7447	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → ((𝑋 · 𝑈) + (𝑋 · 1)) = ((𝑋 · 𝑈) + 𝑋))
163	160, 162	eqtrd 2775	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → (𝑋 · (𝑈 + 1)) = ((𝑋 · 𝑈) + 𝑋))
164	157, 163	breqtrrd 5176	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → ((𝑋 · 𝑈) + 1) ≤ (𝑋 · (𝑈 + 1)))
165	73, 149, 79, 154, 164	letrd 11416	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → ((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1) ≤ (𝑋 · (𝑈 + 1)))
166	60	nngt0d 12313	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → 0 < 𝑀)
167		lemul2 12118	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1) ∈ ℝ ∧ (𝑋 · (𝑈 + 1)) ∈ ℝ ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑀)) → (((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1) ≤ (𝑋 · (𝑈 + 1)) ↔ (𝑀 · ((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) ≤ (𝑀 · (𝑋 · (𝑈 + 1)))))
168	73, 79, 61, 166, 167	syl112anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → (((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1) ≤ (𝑋 · (𝑈 + 1)) ↔ (𝑀 · ((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) ≤ (𝑀 · (𝑋 · (𝑈 + 1)))))
169	165, 168	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → (𝑀 · ((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) ≤ (𝑀 · (𝑋 · (𝑈 + 1))))
170		expgt0 14133	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑇 ∈ ℝ ∧ ((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1) ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑇) → 0 < (𝑇↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)))
171	28, 118, 37, 170	syl3anc 1370	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → 0 < (𝑇↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)))
172		lemul1 12117	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 · ((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) ∈ ℝ ∧ (𝑀 · (𝑋 · (𝑈 + 1))) ∈ ℝ ∧ ((𝑇↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑇↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)))) → ((𝑀 · ((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) ≤ (𝑀 · (𝑋 · (𝑈 + 1))) ↔ ((𝑀 · ((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) · (𝑇↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1))) ≤ ((𝑀 · (𝑋 · (𝑈 + 1))) · (𝑇↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)))))
173	74, 80, 75, 171, 172	syl112anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → ((𝑀 · ((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) ≤ (𝑀 · (𝑋 · (𝑈 + 1))) ↔ ((𝑀 · ((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) · (𝑇↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1))) ≤ ((𝑀 · (𝑋 · (𝑈 + 1))) · (𝑇↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)))))
174	169, 173	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → ((𝑀 · ((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) · (𝑇↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1))) ≤ ((𝑀 · (𝑋 · (𝑈 + 1))) · (𝑇↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1))))
175	28	recnd 11287	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → 𝑇 ∈ ℂ)
176	175, 70	expp1d 14184	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → (𝑇↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) = ((𝑇↑(⌊‘(𝑋 · 𝑈))) · 𝑇))
177	35	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → 1 ≤ 𝑇)
178		remulcl 11238	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑈 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → (𝑈 · 𝑋) ∈ ℝ)
179	49, 62, 178	syl2an 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → (𝑈 · 𝑋) ∈ ℝ)
180	86, 158	mulcomd 11280	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → (𝑋 · 𝑈) = (𝑈 · 𝑋))
181	153, 180	breqtrd 5174	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝑋 · 𝑈)) ≤ (𝑈 · 𝑋))
182	28, 177, 150, 179, 181	cxplead 26778	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → (𝑇↑_𝑐(⌊‘(𝑋 · 𝑈))) ≤ (𝑇↑_𝑐(𝑈 · 𝑋)))
183		cxpexp 26725	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑇 ∈ ℂ ∧ (⌊‘(𝑋 · 𝑈)) ∈ ℕ₀) → (𝑇↑_𝑐(⌊‘(𝑋 · 𝑈))) = (𝑇↑(⌊‘(𝑋 · 𝑈))))
184	175, 70, 183	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → (𝑇↑_𝑐(⌊‘(𝑋 · 𝑈))) = (𝑇↑(⌊‘(𝑋 · 𝑈))))
185	38, 50, 86	cxpmuld 26794	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → (𝑇↑_𝑐(𝑈 · 𝑋)) = ((𝑇↑_𝑐𝑈)↑_𝑐𝑋))
186		cxpexp 26725	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑇↑_𝑐𝑈) ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℕ₀) → ((𝑇↑_𝑐𝑈)↑_𝑐𝑋) = ((𝑇↑_𝑐𝑈)↑𝑋))
187	52, 56, 186	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → ((𝑇↑_𝑐𝑈)↑_𝑐𝑋) = ((𝑇↑_𝑐𝑈)↑𝑋))
188	185, 187	eqtrd 2775	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → (𝑇↑_𝑐(𝑈 · 𝑋)) = ((𝑇↑_𝑐𝑈)↑𝑋))
189	182, 184, 188	3brtr3d 5179	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → (𝑇↑(⌊‘(𝑋 · 𝑈))) ≤ ((𝑇↑_𝑐𝑈)↑𝑋))
190	28, 70	reexpcld 14200	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → (𝑇↑(⌊‘(𝑋 · 𝑈))) ∈ ℝ)
191	190, 81, 38	lemul1d 13118	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → ((𝑇↑(⌊‘(𝑋 · 𝑈))) ≤ ((𝑇↑_𝑐𝑈)↑𝑋) ↔ ((𝑇↑(⌊‘(𝑋 · 𝑈))) · 𝑇) ≤ (((𝑇↑_𝑐𝑈)↑𝑋) · 𝑇)))
192	189, 191	mpbid 232	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → ((𝑇↑(⌊‘(𝑋 · 𝑈))) · 𝑇) ≤ (((𝑇↑_𝑐𝑈)↑𝑋) · 𝑇))
193	176, 192	eqbrtrd 5170	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → (𝑇↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) ≤ (((𝑇↑_𝑐𝑈)↑𝑋) · 𝑇))
194		nngt0 12295	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ∈ ℕ → 0 < 𝑋)
195	194	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → 0 < 𝑋)
196		0red 11262	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → 0 ∈ ℝ)
197	48	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → 𝑈 ∈ ℝ⁺)
198	197	rpgt0d 13078	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → 0 < 𝑈)
199	50	ltp1d 12196	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → 𝑈 < (𝑈 + 1))
200	196, 50, 78, 198, 199	lttrd 11420	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → 0 < (𝑈 + 1))
201	63, 78, 195, 200	mulgt0d 11414	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → 0 < (𝑋 · (𝑈 + 1)))
202	61, 79, 166, 201	mulgt0d 11414	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → 0 < (𝑀 · (𝑋 · (𝑈 + 1))))
203		lemul2 12118	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑇↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) ∈ ℝ ∧ (((𝑇↑_𝑐𝑈)↑𝑋) · 𝑇) ∈ ℝ ∧ ((𝑀 · (𝑋 · (𝑈 + 1))) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑀 · (𝑋 · (𝑈 + 1))))) → ((𝑇↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) ≤ (((𝑇↑_𝑐𝑈)↑𝑋) · 𝑇) ↔ ((𝑀 · (𝑋 · (𝑈 + 1))) · (𝑇↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1))) ≤ ((𝑀 · (𝑋 · (𝑈 + 1))) · (((𝑇↑_𝑐𝑈)↑𝑋) · 𝑇))))
204	75, 82, 80, 202, 203	syl112anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → ((𝑇↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) ≤ (((𝑇↑_𝑐𝑈)↑𝑋) · 𝑇) ↔ ((𝑀 · (𝑋 · (𝑈 + 1))) · (𝑇↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1))) ≤ ((𝑀 · (𝑋 · (𝑈 + 1))) · (((𝑇↑_𝑐𝑈)↑𝑋) · 𝑇))))
205	193, 204	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → ((𝑀 · (𝑋 · (𝑈 + 1))) · (𝑇↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1))) ≤ ((𝑀 · (𝑋 · (𝑈 + 1))) · (((𝑇↑_𝑐𝑈)↑𝑋) · 𝑇)))
206	76, 147, 83, 174, 205	letrd 11416	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → ((𝑀 · ((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) · (𝑇↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1))) ≤ ((𝑀 · (𝑋 · (𝑈 + 1))) · (((𝑇↑_𝑐𝑈)↑𝑋) · 𝑇)))
207	59, 76, 83, 146, 206	letrd 11416	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑁)↑𝑋) ≤ ((𝑀 · (𝑋 · (𝑈 + 1))) · (((𝑇↑_𝑐𝑈)↑𝑋) · 𝑇)))
208	80	recnd 11287	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → (𝑀 · (𝑋 · (𝑈 + 1))) ∈ ℂ)
209	81	recnd 11287	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → ((𝑇↑_𝑐𝑈)↑𝑋) ∈ ℂ)
210	208, 209, 175	mul12d 11468	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → ((𝑀 · (𝑋 · (𝑈 + 1))) · (((𝑇↑_𝑐𝑈)↑𝑋) · 𝑇)) = (((𝑇↑_𝑐𝑈)↑𝑋) · ((𝑀 · (𝑋 · (𝑈 + 1))) · 𝑇)))
211	61	recnd 11287	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℂ)
212	79	recnd 11287	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → (𝑋 · (𝑈 + 1)) ∈ ℂ)
213	211, 212, 175	mul32d 11469	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → ((𝑀 · (𝑋 · (𝑈 + 1))) · 𝑇) = ((𝑀 · 𝑇) · (𝑋 · (𝑈 + 1))))
214	211, 175	mulcld 11279	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → (𝑀 · 𝑇) ∈ ℂ)
215	78	recnd 11287	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → (𝑈 + 1) ∈ ℂ)
216	214, 86, 215	mul12d 11468	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → ((𝑀 · 𝑇) · (𝑋 · (𝑈 + 1))) = (𝑋 · ((𝑀 · 𝑇) · (𝑈 + 1))))
217	213, 216	eqtrd 2775	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → ((𝑀 · (𝑋 · (𝑈 + 1))) · 𝑇) = (𝑋 · ((𝑀 · 𝑇) · (𝑈 + 1))))
218	217	oveq2d 7447	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → (((𝑇↑_𝑐𝑈)↑𝑋) · ((𝑀 · (𝑋 · (𝑈 + 1))) · 𝑇)) = (((𝑇↑_𝑐𝑈)↑𝑋) · (𝑋 · ((𝑀 · 𝑇) · (𝑈 + 1)))))
219	210, 218	eqtrd 2775	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → ((𝑀 · (𝑋 · (𝑈 + 1))) · (((𝑇↑_𝑐𝑈)↑𝑋) · 𝑇)) = (((𝑇↑_𝑐𝑈)↑𝑋) · (𝑋 · ((𝑀 · 𝑇) · (𝑈 + 1)))))
220	207, 219	breqtrd 5174	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑁)↑𝑋) ≤ (((𝑇↑_𝑐𝑈)↑𝑋) · (𝑋 · ((𝑀 · 𝑇) · (𝑈 + 1)))))
221	61, 28	remulcld 11289	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → (𝑀 · 𝑇) ∈ ℝ)
222	221, 78	remulcld 11289	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → ((𝑀 · 𝑇) · (𝑈 + 1)) ∈ ℝ)
223	63, 222	remulcld 11289	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → (𝑋 · ((𝑀 · 𝑇) · (𝑈 + 1))) ∈ ℝ)
224	114	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → 𝑋 ∈ ℤ)
225	53, 224	rpexpcld 14283	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → ((𝑇↑_𝑐𝑈)↑𝑋) ∈ ℝ⁺)
226	59, 223, 225	ledivmuld 13128	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → ((((𝐹‘𝑁)↑𝑋) / ((𝑇↑_𝑐𝑈)↑𝑋)) ≤ (𝑋 · ((𝑀 · 𝑇) · (𝑈 + 1))) ↔ ((𝐹‘𝑁)↑𝑋) ≤ (((𝑇↑_𝑐𝑈)↑𝑋) · (𝑋 · ((𝑀 · 𝑇) · (𝑈 + 1))))))
227	220, 226	mpbird 257	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → (((𝐹‘𝑁)↑𝑋) / ((𝑇↑_𝑐𝑈)↑𝑋)) ≤ (𝑋 · ((𝑀 · 𝑇) · (𝑈 + 1))))
228	57, 227	eqbrtrd 5170	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → (((𝐹‘𝑁) / (𝑇↑_𝑐𝑈))↑𝑋) ≤ (𝑋 · ((𝑀 · 𝑇) · (𝑈 + 1))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 206 ∧ wa 395 = wceq 1537 ∈ wcel 2106 ifcif 4531 class class class wbr 5148 ↦ cmpt 5231 ‘cfv 6563 (class class class)co 7431 ℂcc 11151 ℝcr 11152 0cc0 11153 1c1 11154 + caddc 11156 · cmul 11158 < clt 11293 ≤ cle 11294 − cmin 11490 -cneg 11491 / cdiv 11918 ℕcn 12264 2c2 12319 ℕ₀cn0 12524 ℤcz 12611 ℤ_≥cuz 12876 ℚcq 12988 ℝ⁺crp 13032 ...cfz 13544 ⌊cfl 13827 ↑cexp 14099 expce 16094 ℙcprime 16705 pCnt cpc 16870 ↾_s cress 17274 AbsValcabv 20826 ℂ_fldccnfld 21382 logclog 26611 ↑_𝑐ccxp 26612

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1792 ax-4 1806 ax-5 1908 ax-6 1965 ax-7 2005 ax-8 2108 ax-9 2116 ax-10 2139 ax-11 2155 ax-12 2175 ax-ext 2706 ax-rep 5285 ax-sep 5302 ax-nul 5312 ax-pow 5371 ax-pr 5438 ax-un 7754 ax-inf2 9679 ax-cnex 11209 ax-resscn 11210 ax-1cn 11211 ax-icn 11212 ax-addcl 11213 ax-addrcl 11214 ax-mulcl 11215 ax-mulrcl 11216 ax-mulcom 11217 ax-addass 11218 ax-mulass 11219 ax-distr 11220 ax-i2m1 11221 ax-1ne0 11222 ax-1rid 11223 ax-rnegex 11224 ax-rrecex 11225 ax-cnre 11226 ax-pre-lttri 11227 ax-pre-lttrn 11228 ax-pre-ltadd 11229 ax-pre-mulgt0 11230 ax-pre-sup 11231 ax-addf 11232 ax-mulf 11233

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 848 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1540 df-fal 1550 df-ex 1777 df-nf 1781 df-sb 2063 df-mo 2538 df-eu 2567 df-clab 2713 df-cleq 2727 df-clel 2814 df-nfc 2890 df-ne 2939 df-nel 3045 df-ral 3060 df-rex 3069 df-rmo 3378 df-reu 3379 df-rab 3434 df-v 3480 df-sbc 3792 df-csb 3909 df-dif 3966 df-un 3968 df-in 3970 df-ss 3980 df-pss 3983 df-nul 4340 df-if 4532 df-pw 4607 df-sn 4632 df-pr 4634 df-tp 4636 df-op 4638 df-uni 4913 df-int 4952 df-iun 4998 df-iin 4999 df-br 5149 df-opab 5211 df-mpt 5232 df-tr 5266 df-id 5583 df-eprel 5589 df-po 5597 df-so 5598 df-fr 5641 df-se 5642 df-we 5643 df-xp 5695 df-rel 5696 df-cnv 5697 df-co 5698 df-dm 5699 df-rn 5700 df-res 5701 df-ima 5702 df-pred 6323 df-ord 6389 df-on 6390 df-lim 6391 df-suc 6392 df-iota 6516 df-fun 6565 df-fn 6566 df-f 6567 df-f1 6568 df-fo 6569 df-f1o 6570 df-fv 6571 df-isom 6572 df-riota 7388 df-ov 7434 df-oprab 7435 df-mpo 7436 df-of 7697 df-om 7888 df-1st 8013 df-2nd 8014 df-supp 8185 df-tpos 8250 df-frecs 8305 df-wrecs 8336 df-recs 8410 df-rdg 8449 df-1o 8505 df-2o 8506 df-er 8744 df-map 8867 df-pm 8868 df-ixp 8937 df-en 8985 df-dom 8986 df-sdom 8987 df-fin 8988 df-fsupp 9400 df-fi 9449 df-sup 9480 df-inf 9481 df-oi 9548 df-card 9977 df-pnf 11295 df-mnf 11296 df-xr 11297 df-ltxr 11298 df-le 11299 df-sub 11492 df-neg 11493 df-div 11919 df-nn 12265 df-2 12327 df-3 12328 df-4 12329 df-5 12330 df-6 12331 df-7 12332 df-8 12333 df-9 12334 df-n0 12525 df-z 12612 df-dec 12732 df-uz 12877 df-q 12989 df-rp 13033 df-xneg 13152 df-xadd 13153 df-xmul 13154 df-ioo 13388 df-ioc 13389 df-ico 13390 df-icc 13391 df-fz 13545 df-fzo 13692 df-fl 13829 df-mod 13907 df-seq 14040 df-exp 14100 df-fac 14310 df-bc 14339 df-hash 14367 df-shft 15103 df-cj 15135 df-re 15136 df-im 15137 df-sqrt 15271 df-abs 15272 df-limsup 15504 df-clim 15521 df-rlim 15522 df-sum 15720 df-ef 16100 df-sin 16102 df-cos 16103 df-pi 16105 df-struct 17181 df-sets 17198 df-slot 17216 df-ndx 17228 df-base 17246 df-ress 17275 df-plusg 17311 df-mulr 17312 df-starv 17313 df-sca 17314 df-vsca 17315 df-ip 17316 df-tset 17317 df-ple 17318 df-ds 17320 df-unif 17321 df-hom 17322 df-cco 17323 df-rest 17469 df-topn 17470 df-0g 17488 df-gsum 17489 df-topgen 17490 df-pt 17491 df-prds 17494 df-xrs 17549 df-qtop 17554 df-imas 17555 df-xps 17557 df-mre 17631 df-mrc 17632 df-acs 17634 df-mgm 18666 df-sgrp 18745 df-mnd 18761 df-submnd 18810 df-grp 18967 df-minusg 18968 df-mulg 19099 df-subg 19154 df-cntz 19348 df-cmn 19815 df-abl 19816 df-mgp 20153 df-rng 20171 df-ur 20200 df-ring 20253 df-cring 20254 df-oppr 20351 df-dvdsr 20374 df-unit 20375 df-invr 20405 df-dvr 20418 df-subrng 20563 df-subrg 20587 df-drng 20748 df-abv 20827 df-psmet 21374 df-xmet 21375 df-met 21376 df-bl 21377 df-mopn 21378 df-fbas 21379 df-fg 21380 df-cnfld 21383 df-top 22916 df-topon 22933 df-topsp 22955 df-bases 22969 df-cld 23043 df-ntr 23044 df-cls 23045 df-nei 23122 df-lp 23160 df-perf 23161 df-cn 23251 df-cnp 23252 df-haus 23339 df-tx 23586 df-hmeo 23779 df-fil 23870 df-fm 23962 df-flim 23963 df-flf 23964 df-xms 24346 df-ms 24347 df-tms 24348 df-cncf 24918 df-limc 25916 df-dv 25917 df-log 26613 df-cxp 26614

This theorem is referenced by: ostth2lem4 27695

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