MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ostth2lem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ostth2lem3 27523
Description: Lemma for ostth2 27525. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
qrng.q 𝑄 = (β„‚fld β†Ύs β„š)
qabsabv.a 𝐴 = (AbsValβ€˜π‘„)
padic.j 𝐽 = (π‘ž ∈ β„™ ↦ (π‘₯ ∈ β„š ↦ if(π‘₯ = 0, 0, (π‘žβ†‘-(π‘ž pCnt π‘₯)))))
ostth.k 𝐾 = (π‘₯ ∈ β„š ↦ if(π‘₯ = 0, 0, 1))
ostth.1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐴)
ostth2.2 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
ostth2.3 (πœ‘ β†’ 1 < (πΉβ€˜π‘))
ostth2.4 𝑅 = ((logβ€˜(πΉβ€˜π‘)) / (logβ€˜π‘))
ostth2.5 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
ostth2.6 𝑆 = ((logβ€˜(πΉβ€˜π‘€)) / (logβ€˜π‘€))
ostth2.7 𝑇 = if((πΉβ€˜π‘€) ≀ 1, 1, (πΉβ€˜π‘€))
ostth2.8 π‘ˆ = ((logβ€˜π‘) / (logβ€˜π‘€))
Assertion
Ref Expression
ostth2lem3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ (((πΉβ€˜π‘) / (π‘‡β†‘π‘π‘ˆ))↑𝑋) ≀ (𝑋 Β· ((𝑀 Β· 𝑇) Β· (π‘ˆ + 1))))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑀   π‘₯,π‘ž,πœ‘   π‘₯,𝑇   π‘₯,π‘ˆ   π‘₯,𝑋   𝐴,π‘ž,π‘₯   π‘₯,𝑁   π‘₯,𝑄   𝐹,π‘ž   𝑅,π‘ž   π‘₯,𝐹
Allowed substitution hints:   𝑄(π‘ž)   𝑅(π‘₯)   𝑆(π‘₯,π‘ž)   𝑇(π‘ž)   π‘ˆ(π‘ž)   𝐽(π‘₯,π‘ž)   𝐾(π‘₯,π‘ž)   𝑀(π‘ž)   𝑁(π‘ž)   𝑋(π‘ž)

Proof of Theorem ostth2lem3
StepHypRef Expression
1 ostth.1 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐴)
2 ostth2.2 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
3 eluz2b2 12909 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ↔ (𝑁 ∈ β„• ∧ 1 < 𝑁))
42, 3sylib 217 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑁 ∈ β„• ∧ 1 < 𝑁))
54simpld 494 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
6 nnq 12950 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ β„š)
75, 6syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„š)
8 qabsabv.a . . . . . . 7 𝐴 = (AbsValβ€˜π‘„)
9 qrng.q . . . . . . . 8 𝑄 = (β„‚fld β†Ύs β„š)
109qrngbas 27507 . . . . . . 7 β„š = (Baseβ€˜π‘„)
118, 10abvcl 20667 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ β„š) β†’ (πΉβ€˜π‘) ∈ ℝ)
121, 7, 11syl2anc 583 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘) ∈ ℝ)
1312adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘) ∈ ℝ)
1413recnd 11246 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘) ∈ β„‚)
15 ostth2.7 . . . . . . 7 𝑇 = if((πΉβ€˜π‘€) ≀ 1, 1, (πΉβ€˜π‘€))
16 1re 11218 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
17 ostth2.5 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
18 eluz2b2 12909 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ↔ (𝑀 ∈ β„• ∧ 1 < 𝑀))
1917, 18sylib 217 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑀 ∈ β„• ∧ 1 < 𝑀))
2019simpld 494 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
21 nnq 12950 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ β„• β†’ 𝑀 ∈ β„š)
2220, 21syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„š)
238, 10abvcl 20667 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ β„š) β†’ (πΉβ€˜π‘€) ∈ ℝ)
241, 22, 23syl2anc 583 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘€) ∈ ℝ)
25 ifcl 4568 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘€) ∈ ℝ) β†’ if((πΉβ€˜π‘€) ≀ 1, 1, (πΉβ€˜π‘€)) ∈ ℝ)
2616, 24, 25sylancr 586 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ if((πΉβ€˜π‘€) ≀ 1, 1, (πΉβ€˜π‘€)) ∈ ℝ)
2715, 26eqeltrid 2831 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ ℝ)
2827adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ 𝑇 ∈ ℝ)
29 0red 11221 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 0 ∈ ℝ)
30 1red 11219 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 1 ∈ ℝ)
31 0lt1 11740 . . . . . . . . . 10 0 < 1
3231a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 0 < 1)
33 max2 13172 . . . . . . . . . . 11 (((πΉβ€˜π‘€) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) β†’ 1 ≀ if((πΉβ€˜π‘€) ≀ 1, 1, (πΉβ€˜π‘€)))
3424, 30, 33syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 1 ≀ if((πΉβ€˜π‘€) ≀ 1, 1, (πΉβ€˜π‘€)))
3534, 15breqtrrdi 5183 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 1 ≀ 𝑇)
3629, 30, 27, 32, 35ltletrd 11378 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 0 < 𝑇)
3736adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ 0 < 𝑇)
3828, 37elrpd 13019 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ 𝑇 ∈ ℝ+)
3938rpge0d 13026 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ 0 ≀ 𝑇)
40 ostth2.8 . . . . . . . 8 π‘ˆ = ((logβ€˜π‘) / (logβ€˜π‘€))
415nnred 12231 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
424simprd 495 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 1 < 𝑁)
4341, 42rplogcld 26518 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (logβ€˜π‘) ∈ ℝ+)
4420nnred 12231 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
4519simprd 495 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 1 < 𝑀)
4644, 45rplogcld 26518 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (logβ€˜π‘€) ∈ ℝ+)
4743, 46rpdivcld 13039 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((logβ€˜π‘) / (logβ€˜π‘€)) ∈ ℝ+)
4840, 47eqeltrid 2831 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ ℝ+)
4948rpred 13022 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ ℝ)
5049adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ π‘ˆ ∈ ℝ)
5128, 39, 50recxpcld 26612 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ (π‘‡β†‘π‘π‘ˆ) ∈ ℝ)
5251recnd 11246 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ (π‘‡β†‘π‘π‘ˆ) ∈ β„‚)
5338, 50rpcxpcld 26622 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ (π‘‡β†‘π‘π‘ˆ) ∈ ℝ+)
5453rpne0d 13027 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ (π‘‡β†‘π‘π‘ˆ) β‰  0)
55 nnnn0 12483 . . . 4 (𝑋 ∈ β„• β†’ 𝑋 ∈ β„•0)
5655adantl 481 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ 𝑋 ∈ β„•0)
5714, 52, 54, 56expdivd 14130 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ (((πΉβ€˜π‘) / (π‘‡β†‘π‘π‘ˆ))↑𝑋) = (((πΉβ€˜π‘)↑𝑋) / ((π‘‡β†‘π‘π‘ˆ)↑𝑋)))
58 reexpcl 14049 . . . . . 6 (((πΉβ€˜π‘) ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) β†’ ((πΉβ€˜π‘)↑𝑋) ∈ ℝ)
5912, 55, 58syl2an 595 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ ((πΉβ€˜π‘)↑𝑋) ∈ ℝ)
6020adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ 𝑀 ∈ β„•)
6160nnred 12231 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
62 nnre 12223 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ β„• β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
6362adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
6463, 50remulcld 11248 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ (𝑋 Β· π‘ˆ) ∈ ℝ)
6556nn0ge0d 12539 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ 0 ≀ 𝑋)
6648rpge0d 13026 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 0 ≀ π‘ˆ)
6766adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ 0 ≀ π‘ˆ)
6863, 50, 65, 67mulge0d 11795 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ 0 ≀ (𝑋 Β· π‘ˆ))
69 flge0nn0 13791 . . . . . . . . . 10 (((𝑋 Β· π‘ˆ) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (𝑋 Β· π‘ˆ)) β†’ (βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) ∈ β„•0)
7064, 68, 69syl2anc 583 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ (βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) ∈ β„•0)
71 peano2nn0 12516 . . . . . . . . 9 ((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) ∈ β„•0 β†’ ((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1) ∈ β„•0)
7270, 71syl 17 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ ((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1) ∈ β„•0)
7372nn0red 12537 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ ((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1) ∈ ℝ)
7461, 73remulcld 11248 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ (𝑀 Β· ((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1)) ∈ ℝ)
7528, 72reexpcld 14133 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ (𝑇↑((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1)) ∈ ℝ)
7674, 75remulcld 11248 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ ((𝑀 Β· ((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1)) Β· (𝑇↑((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1))) ∈ ℝ)
77 peano2re 11391 . . . . . . . . 9 (π‘ˆ ∈ ℝ β†’ (π‘ˆ + 1) ∈ ℝ)
7850, 77syl 17 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ (π‘ˆ + 1) ∈ ℝ)
7963, 78remulcld 11248 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ (𝑋 Β· (π‘ˆ + 1)) ∈ ℝ)
8061, 79remulcld 11248 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ (𝑀 Β· (𝑋 Β· (π‘ˆ + 1))) ∈ ℝ)
8151, 56reexpcld 14133 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ ((π‘‡β†‘π‘π‘ˆ)↑𝑋) ∈ ℝ)
8281, 28remulcld 11248 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ (((π‘‡β†‘π‘π‘ˆ)↑𝑋) Β· 𝑇) ∈ ℝ)
8380, 82remulcld 11248 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ ((𝑀 Β· (𝑋 Β· (π‘ˆ + 1))) Β· (((π‘‡β†‘π‘π‘ˆ)↑𝑋) Β· 𝑇)) ∈ ℝ)
849, 8qabvexp 27514 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ β„š ∧ 𝑋 ∈ β„•0) β†’ (πΉβ€˜(𝑁↑𝑋)) = ((πΉβ€˜π‘)↑𝑋))
851, 7, 55, 84syl2an3an 1419 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜(𝑁↑𝑋)) = ((πΉβ€˜π‘)↑𝑋))
8663recnd 11246 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
8743rpred 13022 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ (logβ€˜π‘) ∈ ℝ)
8887recnd 11246 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (logβ€˜π‘) ∈ β„‚)
8988adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ (logβ€˜π‘) ∈ β„‚)
9046rpred 13022 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ (logβ€˜π‘€) ∈ ℝ)
9190recnd 11246 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (logβ€˜π‘€) ∈ β„‚)
9291adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ (logβ€˜π‘€) ∈ β„‚)
9346adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ (logβ€˜π‘€) ∈ ℝ+)
9493rpne0d 13027 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ (logβ€˜π‘€) β‰  0)
9586, 89, 92, 94divassd 12029 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ ((𝑋 Β· (logβ€˜π‘)) / (logβ€˜π‘€)) = (𝑋 Β· ((logβ€˜π‘) / (logβ€˜π‘€))))
9640oveq2i 7416 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑋 Β· π‘ˆ) = (𝑋 Β· ((logβ€˜π‘) / (logβ€˜π‘€)))
9795, 96eqtr4di 2784 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ ((𝑋 Β· (logβ€˜π‘)) / (logβ€˜π‘€)) = (𝑋 Β· π‘ˆ))
9897oveq1d 7420 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ (((𝑋 Β· (logβ€˜π‘)) / (logβ€˜π‘€)) Β· (logβ€˜π‘€)) = ((𝑋 Β· π‘ˆ) Β· (logβ€˜π‘€)))
9986, 89mulcld 11238 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ (𝑋 Β· (logβ€˜π‘)) ∈ β„‚)
10099, 92, 94divcan1d 11995 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ (((𝑋 Β· (logβ€˜π‘)) / (logβ€˜π‘€)) Β· (logβ€˜π‘€)) = (𝑋 Β· (logβ€˜π‘)))
10198, 100eqtr3d 2768 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ ((𝑋 Β· π‘ˆ) Β· (logβ€˜π‘€)) = (𝑋 Β· (logβ€˜π‘)))
102 flltp1 13771 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑋 Β· π‘ˆ) ∈ ℝ β†’ (𝑋 Β· π‘ˆ) < ((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1))
10364, 102syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ (𝑋 Β· π‘ˆ) < ((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1))
10464, 73, 93, 103ltmul1dd 13077 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ ((𝑋 Β· π‘ˆ) Β· (logβ€˜π‘€)) < (((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1) Β· (logβ€˜π‘€)))
105101, 104eqbrtrrd 5165 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ (𝑋 Β· (logβ€˜π‘)) < (((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1) Β· (logβ€˜π‘€)))
10687adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ (logβ€˜π‘) ∈ ℝ)
10763, 106remulcld 11248 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ (𝑋 Β· (logβ€˜π‘)) ∈ ℝ)
10890adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ (logβ€˜π‘€) ∈ ℝ)
10973, 108remulcld 11248 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ (((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1) Β· (logβ€˜π‘€)) ∈ ℝ)
110 eflt 16067 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑋 Β· (logβ€˜π‘)) ∈ ℝ ∧ (((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1) Β· (logβ€˜π‘€)) ∈ ℝ) β†’ ((𝑋 Β· (logβ€˜π‘)) < (((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1) Β· (logβ€˜π‘€)) ↔ (expβ€˜(𝑋 Β· (logβ€˜π‘))) < (expβ€˜(((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1) Β· (logβ€˜π‘€)))))
111107, 109, 110syl2anc 583 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ ((𝑋 Β· (logβ€˜π‘)) < (((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1) Β· (logβ€˜π‘€)) ↔ (expβ€˜(𝑋 Β· (logβ€˜π‘))) < (expβ€˜(((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1) Β· (logβ€˜π‘€)))))
112105, 111mpbid 231 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ (expβ€˜(𝑋 Β· (logβ€˜π‘))) < (expβ€˜(((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1) Β· (logβ€˜π‘€))))
1135nnrpd 13020 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ ℝ+)
114 nnz 12583 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ β„• β†’ 𝑋 ∈ β„€)
115 reexplog 26484 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℝ+ ∧ 𝑋 ∈ β„€) β†’ (𝑁↑𝑋) = (expβ€˜(𝑋 Β· (logβ€˜π‘))))
116113, 114, 115syl2an 595 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ (𝑁↑𝑋) = (expβ€˜(𝑋 Β· (logβ€˜π‘))))
11760nnrpd 13020 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ 𝑀 ∈ ℝ+)
11872nn0zd 12588 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ ((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1) ∈ β„€)
119 reexplog 26484 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℝ+ ∧ ((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1) ∈ β„€) β†’ (𝑀↑((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1)) = (expβ€˜(((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1) Β· (logβ€˜π‘€))))
120117, 118, 119syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ (𝑀↑((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1)) = (expβ€˜(((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1) Β· (logβ€˜π‘€))))
121112, 116, 1203brtr4d 5173 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ (𝑁↑𝑋) < (𝑀↑((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1)))
122 nnexpcl 14045 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑋 ∈ β„•0) β†’ (𝑁↑𝑋) ∈ β„•)
1235, 55, 122syl2an 595 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ (𝑁↑𝑋) ∈ β„•)
12460, 72nnexpcld 14213 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ (𝑀↑((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1)) ∈ β„•)
125 nnltlem1 12633 . . . . . . . . . 10 (((𝑁↑𝑋) ∈ β„• ∧ (𝑀↑((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1)) ∈ β„•) β†’ ((𝑁↑𝑋) < (𝑀↑((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1)) ↔ (𝑁↑𝑋) ≀ ((𝑀↑((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1)) βˆ’ 1)))
126123, 124, 125syl2anc 583 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ ((𝑁↑𝑋) < (𝑀↑((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1)) ↔ (𝑁↑𝑋) ≀ ((𝑀↑((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1)) βˆ’ 1)))
127121, 126mpbid 231 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ (𝑁↑𝑋) ≀ ((𝑀↑((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1)) βˆ’ 1))
128123nnnn0d 12536 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ (𝑁↑𝑋) ∈ β„•0)
129 nn0uz 12868 . . . . . . . . . 10 β„•0 = (β„€β‰₯β€˜0)
130128, 129eleqtrdi 2837 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ (𝑁↑𝑋) ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
131124nnzd 12589 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ (𝑀↑((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1)) ∈ β„€)
132 peano2zm 12609 . . . . . . . . . 10 ((𝑀↑((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1)) ∈ β„€ β†’ ((𝑀↑((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1)) βˆ’ 1) ∈ β„€)
133131, 132syl 17 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ ((𝑀↑((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1)) βˆ’ 1) ∈ β„€)
134 elfz5 13499 . . . . . . . . 9 (((𝑁↑𝑋) ∈ (β„€β‰₯β€˜0) ∧ ((𝑀↑((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1)) βˆ’ 1) ∈ β„€) β†’ ((𝑁↑𝑋) ∈ (0...((𝑀↑((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1)) βˆ’ 1)) ↔ (𝑁↑𝑋) ≀ ((𝑀↑((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1)) βˆ’ 1)))
135130, 133, 134syl2anc 583 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ ((𝑁↑𝑋) ∈ (0...((𝑀↑((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1)) βˆ’ 1)) ↔ (𝑁↑𝑋) ≀ ((𝑀↑((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1)) βˆ’ 1)))
136127, 135mpbird 257 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ (𝑁↑𝑋) ∈ (0...((𝑀↑((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1)) βˆ’ 1)))
137 padic.j . . . . . . . . . 10 𝐽 = (π‘ž ∈ β„™ ↦ (π‘₯ ∈ β„š ↦ if(π‘₯ = 0, 0, (π‘žβ†‘-(π‘ž pCnt π‘₯)))))
138 ostth.k . . . . . . . . . 10 𝐾 = (π‘₯ ∈ β„š ↦ if(π‘₯ = 0, 0, 1))
139 ostth2.3 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 1 < (πΉβ€˜π‘))
140 ostth2.4 . . . . . . . . . 10 𝑅 = ((logβ€˜(πΉβ€˜π‘)) / (logβ€˜π‘))
141 ostth2.6 . . . . . . . . . 10 𝑆 = ((logβ€˜(πΉβ€˜π‘€)) / (logβ€˜π‘€))
1429, 8, 137, 138, 1, 2, 139, 140, 17, 141, 15ostth2lem2 27522 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ ((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1) ∈ β„•0 ∧ (𝑁↑𝑋) ∈ (0...((𝑀↑((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1)) βˆ’ 1))) β†’ (πΉβ€˜(𝑁↑𝑋)) ≀ ((𝑀 Β· ((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1)) Β· (𝑇↑((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1))))
1431423expia 1118 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ ((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1) ∈ β„•0) β†’ ((𝑁↑𝑋) ∈ (0...((𝑀↑((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1)) βˆ’ 1)) β†’ (πΉβ€˜(𝑁↑𝑋)) ≀ ((𝑀 Β· ((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1)) Β· (𝑇↑((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1)))))
14472, 143syldan 590 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ ((𝑁↑𝑋) ∈ (0...((𝑀↑((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1)) βˆ’ 1)) β†’ (πΉβ€˜(𝑁↑𝑋)) ≀ ((𝑀 Β· ((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1)) Β· (𝑇↑((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1)))))
145136, 144mpd 15 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜(𝑁↑𝑋)) ≀ ((𝑀 Β· ((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1)) Β· (𝑇↑((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1))))
14685, 145eqbrtrrd 5165 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ ((πΉβ€˜π‘)↑𝑋) ≀ ((𝑀 Β· ((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1)) Β· (𝑇↑((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1))))
14780, 75remulcld 11248 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ ((𝑀 Β· (𝑋 Β· (π‘ˆ + 1))) Β· (𝑇↑((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1))) ∈ ℝ)
148 peano2re 11391 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 Β· π‘ˆ) ∈ ℝ β†’ ((𝑋 Β· π‘ˆ) + 1) ∈ ℝ)
14964, 148syl 17 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ ((𝑋 Β· π‘ˆ) + 1) ∈ ℝ)
15070nn0red 12537 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ (βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) ∈ ℝ)
151 1red 11219 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ 1 ∈ ℝ)
152 flle 13770 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 Β· π‘ˆ) ∈ ℝ β†’ (βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) ≀ (𝑋 Β· π‘ˆ))
15364, 152syl 17 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ (βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) ≀ (𝑋 Β· π‘ˆ))
154150, 64, 151, 153leadd1dd 11832 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ ((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1) ≀ ((𝑋 Β· π‘ˆ) + 1))
155 nnge1 12244 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ β„• β†’ 1 ≀ 𝑋)
156155adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ 1 ≀ 𝑋)
157151, 63, 64, 156leadd2dd 11833 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ ((𝑋 Β· π‘ˆ) + 1) ≀ ((𝑋 Β· π‘ˆ) + 𝑋))
15850recnd 11246 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ π‘ˆ ∈ β„‚)
159151recnd 11246 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ 1 ∈ β„‚)
16086, 158, 159adddid 11242 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ (𝑋 Β· (π‘ˆ + 1)) = ((𝑋 Β· π‘ˆ) + (𝑋 Β· 1)))
16186mulridd 11235 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ (𝑋 Β· 1) = 𝑋)
162161oveq2d 7421 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ ((𝑋 Β· π‘ˆ) + (𝑋 Β· 1)) = ((𝑋 Β· π‘ˆ) + 𝑋))
163160, 162eqtrd 2766 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ (𝑋 Β· (π‘ˆ + 1)) = ((𝑋 Β· π‘ˆ) + 𝑋))
164157, 163breqtrrd 5169 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ ((𝑋 Β· π‘ˆ) + 1) ≀ (𝑋 Β· (π‘ˆ + 1)))
16573, 149, 79, 154, 164letrd 11375 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ ((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1) ≀ (𝑋 Β· (π‘ˆ + 1)))
16660nngt0d 12265 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ 0 < 𝑀)
167 lemul2 12071 . . . . . . . . 9 ((((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1) ∈ ℝ ∧ (𝑋 Β· (π‘ˆ + 1)) ∈ ℝ ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑀)) β†’ (((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1) ≀ (𝑋 Β· (π‘ˆ + 1)) ↔ (𝑀 Β· ((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1)) ≀ (𝑀 Β· (𝑋 Β· (π‘ˆ + 1)))))
16873, 79, 61, 166, 167syl112anc 1371 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ (((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1) ≀ (𝑋 Β· (π‘ˆ + 1)) ↔ (𝑀 Β· ((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1)) ≀ (𝑀 Β· (𝑋 Β· (π‘ˆ + 1)))))
169165, 168mpbid 231 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ (𝑀 Β· ((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1)) ≀ (𝑀 Β· (𝑋 Β· (π‘ˆ + 1))))
170 expgt0 14066 . . . . . . . . 9 ((𝑇 ∈ ℝ ∧ ((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1) ∈ β„€ ∧ 0 < 𝑇) β†’ 0 < (𝑇↑((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1)))
17128, 118, 37, 170syl3anc 1368 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ 0 < (𝑇↑((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1)))
172 lemul1 12070 . . . . . . . 8 (((𝑀 Β· ((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1)) ∈ ℝ ∧ (𝑀 Β· (𝑋 Β· (π‘ˆ + 1))) ∈ ℝ ∧ ((𝑇↑((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1)) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑇↑((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1)))) β†’ ((𝑀 Β· ((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1)) ≀ (𝑀 Β· (𝑋 Β· (π‘ˆ + 1))) ↔ ((𝑀 Β· ((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1)) Β· (𝑇↑((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1))) ≀ ((𝑀 Β· (𝑋 Β· (π‘ˆ + 1))) Β· (𝑇↑((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1)))))
17374, 80, 75, 171, 172syl112anc 1371 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ ((𝑀 Β· ((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1)) ≀ (𝑀 Β· (𝑋 Β· (π‘ˆ + 1))) ↔ ((𝑀 Β· ((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1)) Β· (𝑇↑((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1))) ≀ ((𝑀 Β· (𝑋 Β· (π‘ˆ + 1))) Β· (𝑇↑((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1)))))
174169, 173mpbid 231 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ ((𝑀 Β· ((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1)) Β· (𝑇↑((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1))) ≀ ((𝑀 Β· (𝑋 Β· (π‘ˆ + 1))) Β· (𝑇↑((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1))))
17528recnd 11246 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ 𝑇 ∈ β„‚)
176175, 70expp1d 14117 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ (𝑇↑((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1)) = ((𝑇↑(βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ))) Β· 𝑇))
17735adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ 1 ≀ 𝑇)
178 remulcl 11197 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘ˆ ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) β†’ (π‘ˆ Β· 𝑋) ∈ ℝ)
17949, 62, 178syl2an 595 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ (π‘ˆ Β· 𝑋) ∈ ℝ)
18086, 158mulcomd 11239 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ (𝑋 Β· π‘ˆ) = (π‘ˆ Β· 𝑋))
181153, 180breqtrd 5167 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ (βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) ≀ (π‘ˆ Β· 𝑋))
18228, 177, 150, 179, 181cxplead 26610 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ (𝑇↑𝑐(βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ))) ≀ (𝑇↑𝑐(π‘ˆ Β· 𝑋)))
183 cxpexp 26557 . . . . . . . . . . 11 ((𝑇 ∈ β„‚ ∧ (βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) ∈ β„•0) β†’ (𝑇↑𝑐(βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ))) = (𝑇↑(βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ))))
184175, 70, 183syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ (𝑇↑𝑐(βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ))) = (𝑇↑(βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ))))
18538, 50, 86cxpmuld 26626 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ (𝑇↑𝑐(π‘ˆ Β· 𝑋)) = ((π‘‡β†‘π‘π‘ˆ)↑𝑐𝑋))
186 cxpexp 26557 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘‡β†‘π‘π‘ˆ) ∈ β„‚ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) β†’ ((π‘‡β†‘π‘π‘ˆ)↑𝑐𝑋) = ((π‘‡β†‘π‘π‘ˆ)↑𝑋))
18752, 56, 186syl2anc 583 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ ((π‘‡β†‘π‘π‘ˆ)↑𝑐𝑋) = ((π‘‡β†‘π‘π‘ˆ)↑𝑋))
188185, 187eqtrd 2766 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ (𝑇↑𝑐(π‘ˆ Β· 𝑋)) = ((π‘‡β†‘π‘π‘ˆ)↑𝑋))
189182, 184, 1883brtr3d 5172 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ (𝑇↑(βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ))) ≀ ((π‘‡β†‘π‘π‘ˆ)↑𝑋))
19028, 70reexpcld 14133 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ (𝑇↑(βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ))) ∈ ℝ)
191190, 81, 38lemul1d 13065 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ ((𝑇↑(βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ))) ≀ ((π‘‡β†‘π‘π‘ˆ)↑𝑋) ↔ ((𝑇↑(βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ))) Β· 𝑇) ≀ (((π‘‡β†‘π‘π‘ˆ)↑𝑋) Β· 𝑇)))
192189, 191mpbid 231 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ ((𝑇↑(βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ))) Β· 𝑇) ≀ (((π‘‡β†‘π‘π‘ˆ)↑𝑋) Β· 𝑇))
193176, 192eqbrtrd 5163 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ (𝑇↑((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1)) ≀ (((π‘‡β†‘π‘π‘ˆ)↑𝑋) Β· 𝑇))
194 nngt0 12247 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ β„• β†’ 0 < 𝑋)
195194adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ 0 < 𝑋)
196 0red 11221 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ 0 ∈ ℝ)
19748adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ π‘ˆ ∈ ℝ+)
198197rpgt0d 13025 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ 0 < π‘ˆ)
19950ltp1d 12148 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ π‘ˆ < (π‘ˆ + 1))
200196, 50, 78, 198, 199lttrd 11379 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ 0 < (π‘ˆ + 1))
20163, 78, 195, 200mulgt0d 11373 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ 0 < (𝑋 Β· (π‘ˆ + 1)))
20261, 79, 166, 201mulgt0d 11373 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ 0 < (𝑀 Β· (𝑋 Β· (π‘ˆ + 1))))
203 lemul2 12071 . . . . . . . 8 (((𝑇↑((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1)) ∈ ℝ ∧ (((π‘‡β†‘π‘π‘ˆ)↑𝑋) Β· 𝑇) ∈ ℝ ∧ ((𝑀 Β· (𝑋 Β· (π‘ˆ + 1))) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑀 Β· (𝑋 Β· (π‘ˆ + 1))))) β†’ ((𝑇↑((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1)) ≀ (((π‘‡β†‘π‘π‘ˆ)↑𝑋) Β· 𝑇) ↔ ((𝑀 Β· (𝑋 Β· (π‘ˆ + 1))) Β· (𝑇↑((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1))) ≀ ((𝑀 Β· (𝑋 Β· (π‘ˆ + 1))) Β· (((π‘‡β†‘π‘π‘ˆ)↑𝑋) Β· 𝑇))))
20475, 82, 80, 202, 203syl112anc 1371 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ ((𝑇↑((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1)) ≀ (((π‘‡β†‘π‘π‘ˆ)↑𝑋) Β· 𝑇) ↔ ((𝑀 Β· (𝑋 Β· (π‘ˆ + 1))) Β· (𝑇↑((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1))) ≀ ((𝑀 Β· (𝑋 Β· (π‘ˆ + 1))) Β· (((π‘‡β†‘π‘π‘ˆ)↑𝑋) Β· 𝑇))))
205193, 204mpbid 231 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ ((𝑀 Β· (𝑋 Β· (π‘ˆ + 1))) Β· (𝑇↑((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1))) ≀ ((𝑀 Β· (𝑋 Β· (π‘ˆ + 1))) Β· (((π‘‡β†‘π‘π‘ˆ)↑𝑋) Β· 𝑇)))
20676, 147, 83, 174, 205letrd 11375 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ ((𝑀 Β· ((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1)) Β· (𝑇↑((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1))) ≀ ((𝑀 Β· (𝑋 Β· (π‘ˆ + 1))) Β· (((π‘‡β†‘π‘π‘ˆ)↑𝑋) Β· 𝑇)))
20759, 76, 83, 146, 206letrd 11375 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ ((πΉβ€˜π‘)↑𝑋) ≀ ((𝑀 Β· (𝑋 Β· (π‘ˆ + 1))) Β· (((π‘‡β†‘π‘π‘ˆ)↑𝑋) Β· 𝑇)))
20880recnd 11246 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ (𝑀 Β· (𝑋 Β· (π‘ˆ + 1))) ∈ β„‚)
20981recnd 11246 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ ((π‘‡β†‘π‘π‘ˆ)↑𝑋) ∈ β„‚)
210208, 209, 175mul12d 11427 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ ((𝑀 Β· (𝑋 Β· (π‘ˆ + 1))) Β· (((π‘‡β†‘π‘π‘ˆ)↑𝑋) Β· 𝑇)) = (((π‘‡β†‘π‘π‘ˆ)↑𝑋) Β· ((𝑀 Β· (𝑋 Β· (π‘ˆ + 1))) Β· 𝑇)))
21161recnd 11246 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ 𝑀 ∈ β„‚)
21279recnd 11246 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ (𝑋 Β· (π‘ˆ + 1)) ∈ β„‚)
213211, 212, 175mul32d 11428 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ ((𝑀 Β· (𝑋 Β· (π‘ˆ + 1))) Β· 𝑇) = ((𝑀 Β· 𝑇) Β· (𝑋 Β· (π‘ˆ + 1))))
214211, 175mulcld 11238 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ (𝑀 Β· 𝑇) ∈ β„‚)
21578recnd 11246 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ (π‘ˆ + 1) ∈ β„‚)
216214, 86, 215mul12d 11427 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ ((𝑀 Β· 𝑇) Β· (𝑋 Β· (π‘ˆ + 1))) = (𝑋 Β· ((𝑀 Β· 𝑇) Β· (π‘ˆ + 1))))
217213, 216eqtrd 2766 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ ((𝑀 Β· (𝑋 Β· (π‘ˆ + 1))) Β· 𝑇) = (𝑋 Β· ((𝑀 Β· 𝑇) Β· (π‘ˆ + 1))))
218217oveq2d 7421 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ (((π‘‡β†‘π‘π‘ˆ)↑𝑋) Β· ((𝑀 Β· (𝑋 Β· (π‘ˆ + 1))) Β· 𝑇)) = (((π‘‡β†‘π‘π‘ˆ)↑𝑋) Β· (𝑋 Β· ((𝑀 Β· 𝑇) Β· (π‘ˆ + 1)))))
219210, 218eqtrd 2766 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ ((𝑀 Β· (𝑋 Β· (π‘ˆ + 1))) Β· (((π‘‡β†‘π‘π‘ˆ)↑𝑋) Β· 𝑇)) = (((π‘‡β†‘π‘π‘ˆ)↑𝑋) Β· (𝑋 Β· ((𝑀 Β· 𝑇) Β· (π‘ˆ + 1)))))
220207, 219breqtrd 5167 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ ((πΉβ€˜π‘)↑𝑋) ≀ (((π‘‡β†‘π‘π‘ˆ)↑𝑋) Β· (𝑋 Β· ((𝑀 Β· 𝑇) Β· (π‘ˆ + 1)))))
22161, 28remulcld 11248 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ (𝑀 Β· 𝑇) ∈ ℝ)
222221, 78remulcld 11248 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ ((𝑀 Β· 𝑇) Β· (π‘ˆ + 1)) ∈ ℝ)
22363, 222remulcld 11248 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ (𝑋 Β· ((𝑀 Β· 𝑇) Β· (π‘ˆ + 1))) ∈ ℝ)
224114adantl 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ 𝑋 ∈ β„€)
22553, 224rpexpcld 14215 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ ((π‘‡β†‘π‘π‘ˆ)↑𝑋) ∈ ℝ+)
22659, 223, 225ledivmuld 13075 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ ((((πΉβ€˜π‘)↑𝑋) / ((π‘‡β†‘π‘π‘ˆ)↑𝑋)) ≀ (𝑋 Β· ((𝑀 Β· 𝑇) Β· (π‘ˆ + 1))) ↔ ((πΉβ€˜π‘)↑𝑋) ≀ (((π‘‡β†‘π‘π‘ˆ)↑𝑋) Β· (𝑋 Β· ((𝑀 Β· 𝑇) Β· (π‘ˆ + 1))))))
227220, 226mpbird 257 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ (((πΉβ€˜π‘)↑𝑋) / ((π‘‡β†‘π‘π‘ˆ)↑𝑋)) ≀ (𝑋 Β· ((𝑀 Β· 𝑇) Β· (π‘ˆ + 1))))
22857, 227eqbrtrd 5163 1 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ (((πΉβ€˜π‘) / (π‘‡β†‘π‘π‘ˆ))↑𝑋) ≀ (𝑋 Β· ((𝑀 Β· 𝑇) Β· (π‘ˆ + 1))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ifcif 4523   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  β„‚cc 11110  β„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   Β· cmul 11117   < clt 11252   ≀ cle 11253   βˆ’ cmin 11448  -cneg 11449   / cdiv 11875  β„•cn 12216  2c2 12271  β„•0cn0 12476  β„€cz 12562  β„€β‰₯cuz 12826  β„šcq 12936  β„+crp 12980  ...cfz 13490  βŒŠcfl 13761  β†‘cexp 14032  expce 16011  β„™cprime 16615   pCnt cpc 16778   β†Ύs cress 17182  AbsValcabv 20659  β„‚fldccnfld 21240  logclog 26443  β†‘𝑐ccxp 26444
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-tpos 8212  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12981  df-xneg 13098  df-xadd 13099  df-xmul 13100  df-ioo 13334  df-ioc 13335  df-ico 13336  df-icc 13337  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-fl 13763  df-mod 13841  df-seq 13973  df-exp 14033  df-fac 14239  df-bc 14268  df-hash 14296  df-shft 15020  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-limsup 15421  df-clim 15438  df-rlim 15439  df-sum 15639  df-ef 16017  df-sin 16019  df-cos 16020  df-pi 16022  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-starv 17221  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-unif 17229  df-hom 17230  df-cco 17231  df-rest 17377  df-topn 17378  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-topgen 17398  df-pt 17399  df-prds 17402  df-xrs 17457  df-qtop 17462  df-imas 17463  df-xps 17465  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-submnd 18714  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-mulg 18996  df-subg 19050  df-cntz 19233  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-ur 20087  df-ring 20140  df-cring 20141  df-oppr 20236  df-dvdsr 20259  df-unit 20260  df-invr 20290  df-dvr 20303  df-subrng 20446  df-subrg 20471  df-drng 20589  df-abv 20660  df-psmet 21232  df-xmet 21233  df-met 21234  df-bl 21235  df-mopn 21236  df-fbas 21237  df-fg 21238  df-cnfld 21241  df-top 22751  df-topon 22768  df-topsp 22790  df-bases 22804  df-cld 22878  df-ntr 22879  df-cls 22880  df-nei 22957  df-lp 22995  df-perf 22996  df-cn 23086  df-cnp 23087  df-haus 23174  df-tx 23421  df-hmeo 23614  df-fil 23705  df-fm 23797  df-flim 23798  df-flf 23799  df-xms 24181  df-ms 24182  df-tms 24183  df-cncf 24753  df-limc 25750  df-dv 25751  df-log 26445  df-cxp 26446
This theorem is referenced by:  ostth2lem4  27524
  Copyright terms: Public domain W3C validator