MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ostth2lem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ostth2lem3 27586
Description: Lemma for ostth2 27588. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
qrng.q 𝑄 = (β„‚fld β†Ύs β„š)
qabsabv.a 𝐴 = (AbsValβ€˜π‘„)
padic.j 𝐽 = (π‘ž ∈ β„™ ↦ (π‘₯ ∈ β„š ↦ if(π‘₯ = 0, 0, (π‘žβ†‘-(π‘ž pCnt π‘₯)))))
ostth.k 𝐾 = (π‘₯ ∈ β„š ↦ if(π‘₯ = 0, 0, 1))
ostth.1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐴)
ostth2.2 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
ostth2.3 (πœ‘ β†’ 1 < (πΉβ€˜π‘))
ostth2.4 𝑅 = ((logβ€˜(πΉβ€˜π‘)) / (logβ€˜π‘))
ostth2.5 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
ostth2.6 𝑆 = ((logβ€˜(πΉβ€˜π‘€)) / (logβ€˜π‘€))
ostth2.7 𝑇 = if((πΉβ€˜π‘€) ≀ 1, 1, (πΉβ€˜π‘€))
ostth2.8 π‘ˆ = ((logβ€˜π‘) / (logβ€˜π‘€))
Assertion
Ref Expression
ostth2lem3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ (((πΉβ€˜π‘) / (π‘‡β†‘π‘π‘ˆ))↑𝑋) ≀ (𝑋 Β· ((𝑀 Β· 𝑇) Β· (π‘ˆ + 1))))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑀   π‘₯,π‘ž,πœ‘   π‘₯,𝑇   π‘₯,π‘ˆ   π‘₯,𝑋   𝐴,π‘ž,π‘₯   π‘₯,𝑁   π‘₯,𝑄   𝐹,π‘ž   𝑅,π‘ž   π‘₯,𝐹
Allowed substitution hints:   𝑄(π‘ž)   𝑅(π‘₯)   𝑆(π‘₯,π‘ž)   𝑇(π‘ž)   π‘ˆ(π‘ž)   𝐽(π‘₯,π‘ž)   𝐾(π‘₯,π‘ž)   𝑀(π‘ž)   𝑁(π‘ž)   𝑋(π‘ž)

Proof of Theorem ostth2lem3
StepHypRef Expression
1 ostth.1 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐴)
2 ostth2.2 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
3 eluz2b2 12935 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ↔ (𝑁 ∈ β„• ∧ 1 < 𝑁))
42, 3sylib 217 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑁 ∈ β„• ∧ 1 < 𝑁))
54simpld 493 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
6 nnq 12976 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ β„š)
75, 6syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„š)
8 qabsabv.a . . . . . . 7 𝐴 = (AbsValβ€˜π‘„)
9 qrng.q . . . . . . . 8 𝑄 = (β„‚fld β†Ύs β„š)
109qrngbas 27570 . . . . . . 7 β„š = (Baseβ€˜π‘„)
118, 10abvcl 20708 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ β„š) β†’ (πΉβ€˜π‘) ∈ ℝ)
121, 7, 11syl2anc 582 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘) ∈ ℝ)
1312adantr 479 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘) ∈ ℝ)
1413recnd 11272 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘) ∈ β„‚)
15 ostth2.7 . . . . . . 7 𝑇 = if((πΉβ€˜π‘€) ≀ 1, 1, (πΉβ€˜π‘€))
16 1re 11244 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
17 ostth2.5 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
18 eluz2b2 12935 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ↔ (𝑀 ∈ β„• ∧ 1 < 𝑀))
1917, 18sylib 217 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑀 ∈ β„• ∧ 1 < 𝑀))
2019simpld 493 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
21 nnq 12976 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ β„• β†’ 𝑀 ∈ β„š)
2220, 21syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„š)
238, 10abvcl 20708 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ β„š) β†’ (πΉβ€˜π‘€) ∈ ℝ)
241, 22, 23syl2anc 582 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘€) ∈ ℝ)
25 ifcl 4569 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘€) ∈ ℝ) β†’ if((πΉβ€˜π‘€) ≀ 1, 1, (πΉβ€˜π‘€)) ∈ ℝ)
2616, 24, 25sylancr 585 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ if((πΉβ€˜π‘€) ≀ 1, 1, (πΉβ€˜π‘€)) ∈ ℝ)
2715, 26eqeltrid 2829 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ ℝ)
2827adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ 𝑇 ∈ ℝ)
29 0red 11247 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 0 ∈ ℝ)
30 1red 11245 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 1 ∈ ℝ)
31 0lt1 11766 . . . . . . . . . 10 0 < 1
3231a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 0 < 1)
33 max2 13198 . . . . . . . . . . 11 (((πΉβ€˜π‘€) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) β†’ 1 ≀ if((πΉβ€˜π‘€) ≀ 1, 1, (πΉβ€˜π‘€)))
3424, 30, 33syl2anc 582 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 1 ≀ if((πΉβ€˜π‘€) ≀ 1, 1, (πΉβ€˜π‘€)))
3534, 15breqtrrdi 5185 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 1 ≀ 𝑇)
3629, 30, 27, 32, 35ltletrd 11404 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 0 < 𝑇)
3736adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ 0 < 𝑇)
3828, 37elrpd 13045 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ 𝑇 ∈ ℝ+)
3938rpge0d 13052 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ 0 ≀ 𝑇)
40 ostth2.8 . . . . . . . 8 π‘ˆ = ((logβ€˜π‘) / (logβ€˜π‘€))
415nnred 12257 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
424simprd 494 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 1 < 𝑁)
4341, 42rplogcld 26581 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (logβ€˜π‘) ∈ ℝ+)
4420nnred 12257 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
4519simprd 494 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 1 < 𝑀)
4644, 45rplogcld 26581 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (logβ€˜π‘€) ∈ ℝ+)
4743, 46rpdivcld 13065 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((logβ€˜π‘) / (logβ€˜π‘€)) ∈ ℝ+)
4840, 47eqeltrid 2829 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ ℝ+)
4948rpred 13048 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ ℝ)
5049adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ π‘ˆ ∈ ℝ)
5128, 39, 50recxpcld 26675 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ (π‘‡β†‘π‘π‘ˆ) ∈ ℝ)
5251recnd 11272 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ (π‘‡β†‘π‘π‘ˆ) ∈ β„‚)
5338, 50rpcxpcld 26685 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ (π‘‡β†‘π‘π‘ˆ) ∈ ℝ+)
5453rpne0d 13053 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ (π‘‡β†‘π‘π‘ˆ) β‰  0)
55 nnnn0 12509 . . . 4 (𝑋 ∈ β„• β†’ 𝑋 ∈ β„•0)
5655adantl 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ 𝑋 ∈ β„•0)
5714, 52, 54, 56expdivd 14156 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ (((πΉβ€˜π‘) / (π‘‡β†‘π‘π‘ˆ))↑𝑋) = (((πΉβ€˜π‘)↑𝑋) / ((π‘‡β†‘π‘π‘ˆ)↑𝑋)))
58 reexpcl 14075 . . . . . 6 (((πΉβ€˜π‘) ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) β†’ ((πΉβ€˜π‘)↑𝑋) ∈ ℝ)
5912, 55, 58syl2an 594 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ ((πΉβ€˜π‘)↑𝑋) ∈ ℝ)
6020adantr 479 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ 𝑀 ∈ β„•)
6160nnred 12257 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
62 nnre 12249 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ β„• β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
6362adantl 480 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
6463, 50remulcld 11274 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ (𝑋 Β· π‘ˆ) ∈ ℝ)
6556nn0ge0d 12565 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ 0 ≀ 𝑋)
6648rpge0d 13052 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 0 ≀ π‘ˆ)
6766adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ 0 ≀ π‘ˆ)
6863, 50, 65, 67mulge0d 11821 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ 0 ≀ (𝑋 Β· π‘ˆ))
69 flge0nn0 13817 . . . . . . . . . 10 (((𝑋 Β· π‘ˆ) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (𝑋 Β· π‘ˆ)) β†’ (βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) ∈ β„•0)
7064, 68, 69syl2anc 582 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ (βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) ∈ β„•0)
71 peano2nn0 12542 . . . . . . . . 9 ((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) ∈ β„•0 β†’ ((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1) ∈ β„•0)
7270, 71syl 17 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ ((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1) ∈ β„•0)
7372nn0red 12563 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ ((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1) ∈ ℝ)
7461, 73remulcld 11274 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ (𝑀 Β· ((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1)) ∈ ℝ)
7528, 72reexpcld 14159 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ (𝑇↑((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1)) ∈ ℝ)
7674, 75remulcld 11274 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ ((𝑀 Β· ((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1)) Β· (𝑇↑((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1))) ∈ ℝ)
77 peano2re 11417 . . . . . . . . 9 (π‘ˆ ∈ ℝ β†’ (π‘ˆ + 1) ∈ ℝ)
7850, 77syl 17 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ (π‘ˆ + 1) ∈ ℝ)
7963, 78remulcld 11274 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ (𝑋 Β· (π‘ˆ + 1)) ∈ ℝ)
8061, 79remulcld 11274 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ (𝑀 Β· (𝑋 Β· (π‘ˆ + 1))) ∈ ℝ)
8151, 56reexpcld 14159 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ ((π‘‡β†‘π‘π‘ˆ)↑𝑋) ∈ ℝ)
8281, 28remulcld 11274 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ (((π‘‡β†‘π‘π‘ˆ)↑𝑋) Β· 𝑇) ∈ ℝ)
8380, 82remulcld 11274 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ ((𝑀 Β· (𝑋 Β· (π‘ˆ + 1))) Β· (((π‘‡β†‘π‘π‘ˆ)↑𝑋) Β· 𝑇)) ∈ ℝ)
849, 8qabvexp 27577 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ β„š ∧ 𝑋 ∈ β„•0) β†’ (πΉβ€˜(𝑁↑𝑋)) = ((πΉβ€˜π‘)↑𝑋))
851, 7, 55, 84syl2an3an 1419 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜(𝑁↑𝑋)) = ((πΉβ€˜π‘)↑𝑋))
8663recnd 11272 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
8743rpred 13048 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ (logβ€˜π‘) ∈ ℝ)
8887recnd 11272 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (logβ€˜π‘) ∈ β„‚)
8988adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ (logβ€˜π‘) ∈ β„‚)
9046rpred 13048 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ (logβ€˜π‘€) ∈ ℝ)
9190recnd 11272 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (logβ€˜π‘€) ∈ β„‚)
9291adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ (logβ€˜π‘€) ∈ β„‚)
9346adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ (logβ€˜π‘€) ∈ ℝ+)
9493rpne0d 13053 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ (logβ€˜π‘€) β‰  0)
9586, 89, 92, 94divassd 12055 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ ((𝑋 Β· (logβ€˜π‘)) / (logβ€˜π‘€)) = (𝑋 Β· ((logβ€˜π‘) / (logβ€˜π‘€))))
9640oveq2i 7427 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑋 Β· π‘ˆ) = (𝑋 Β· ((logβ€˜π‘) / (logβ€˜π‘€)))
9795, 96eqtr4di 2783 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ ((𝑋 Β· (logβ€˜π‘)) / (logβ€˜π‘€)) = (𝑋 Β· π‘ˆ))
9897oveq1d 7431 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ (((𝑋 Β· (logβ€˜π‘)) / (logβ€˜π‘€)) Β· (logβ€˜π‘€)) = ((𝑋 Β· π‘ˆ) Β· (logβ€˜π‘€)))
9986, 89mulcld 11264 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ (𝑋 Β· (logβ€˜π‘)) ∈ β„‚)
10099, 92, 94divcan1d 12021 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ (((𝑋 Β· (logβ€˜π‘)) / (logβ€˜π‘€)) Β· (logβ€˜π‘€)) = (𝑋 Β· (logβ€˜π‘)))
10198, 100eqtr3d 2767 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ ((𝑋 Β· π‘ˆ) Β· (logβ€˜π‘€)) = (𝑋 Β· (logβ€˜π‘)))
102 flltp1 13797 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑋 Β· π‘ˆ) ∈ ℝ β†’ (𝑋 Β· π‘ˆ) < ((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1))
10364, 102syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ (𝑋 Β· π‘ˆ) < ((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1))
10464, 73, 93, 103ltmul1dd 13103 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ ((𝑋 Β· π‘ˆ) Β· (logβ€˜π‘€)) < (((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1) Β· (logβ€˜π‘€)))
105101, 104eqbrtrrd 5167 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ (𝑋 Β· (logβ€˜π‘)) < (((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1) Β· (logβ€˜π‘€)))
10687adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ (logβ€˜π‘) ∈ ℝ)
10763, 106remulcld 11274 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ (𝑋 Β· (logβ€˜π‘)) ∈ ℝ)
10890adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ (logβ€˜π‘€) ∈ ℝ)
10973, 108remulcld 11274 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ (((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1) Β· (logβ€˜π‘€)) ∈ ℝ)
110 eflt 16093 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑋 Β· (logβ€˜π‘)) ∈ ℝ ∧ (((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1) Β· (logβ€˜π‘€)) ∈ ℝ) β†’ ((𝑋 Β· (logβ€˜π‘)) < (((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1) Β· (logβ€˜π‘€)) ↔ (expβ€˜(𝑋 Β· (logβ€˜π‘))) < (expβ€˜(((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1) Β· (logβ€˜π‘€)))))
111107, 109, 110syl2anc 582 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ ((𝑋 Β· (logβ€˜π‘)) < (((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1) Β· (logβ€˜π‘€)) ↔ (expβ€˜(𝑋 Β· (logβ€˜π‘))) < (expβ€˜(((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1) Β· (logβ€˜π‘€)))))
112105, 111mpbid 231 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ (expβ€˜(𝑋 Β· (logβ€˜π‘))) < (expβ€˜(((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1) Β· (logβ€˜π‘€))))
1135nnrpd 13046 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ ℝ+)
114 nnz 12609 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ β„• β†’ 𝑋 ∈ β„€)
115 reexplog 26547 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℝ+ ∧ 𝑋 ∈ β„€) β†’ (𝑁↑𝑋) = (expβ€˜(𝑋 Β· (logβ€˜π‘))))
116113, 114, 115syl2an 594 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ (𝑁↑𝑋) = (expβ€˜(𝑋 Β· (logβ€˜π‘))))
11760nnrpd 13046 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ 𝑀 ∈ ℝ+)
11872nn0zd 12614 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ ((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1) ∈ β„€)
119 reexplog 26547 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℝ+ ∧ ((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1) ∈ β„€) β†’ (𝑀↑((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1)) = (expβ€˜(((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1) Β· (logβ€˜π‘€))))
120117, 118, 119syl2anc 582 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ (𝑀↑((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1)) = (expβ€˜(((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1) Β· (logβ€˜π‘€))))
121112, 116, 1203brtr4d 5175 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ (𝑁↑𝑋) < (𝑀↑((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1)))
122 nnexpcl 14071 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑋 ∈ β„•0) β†’ (𝑁↑𝑋) ∈ β„•)
1235, 55, 122syl2an 594 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ (𝑁↑𝑋) ∈ β„•)
12460, 72nnexpcld 14239 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ (𝑀↑((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1)) ∈ β„•)
125 nnltlem1 12659 . . . . . . . . . 10 (((𝑁↑𝑋) ∈ β„• ∧ (𝑀↑((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1)) ∈ β„•) β†’ ((𝑁↑𝑋) < (𝑀↑((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1)) ↔ (𝑁↑𝑋) ≀ ((𝑀↑((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1)) βˆ’ 1)))
126123, 124, 125syl2anc 582 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ ((𝑁↑𝑋) < (𝑀↑((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1)) ↔ (𝑁↑𝑋) ≀ ((𝑀↑((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1)) βˆ’ 1)))
127121, 126mpbid 231 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ (𝑁↑𝑋) ≀ ((𝑀↑((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1)) βˆ’ 1))
128123nnnn0d 12562 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ (𝑁↑𝑋) ∈ β„•0)
129 nn0uz 12894 . . . . . . . . . 10 β„•0 = (β„€β‰₯β€˜0)
130128, 129eleqtrdi 2835 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ (𝑁↑𝑋) ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
131124nnzd 12615 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ (𝑀↑((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1)) ∈ β„€)
132 peano2zm 12635 . . . . . . . . . 10 ((𝑀↑((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1)) ∈ β„€ β†’ ((𝑀↑((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1)) βˆ’ 1) ∈ β„€)
133131, 132syl 17 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ ((𝑀↑((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1)) βˆ’ 1) ∈ β„€)
134 elfz5 13525 . . . . . . . . 9 (((𝑁↑𝑋) ∈ (β„€β‰₯β€˜0) ∧ ((𝑀↑((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1)) βˆ’ 1) ∈ β„€) β†’ ((𝑁↑𝑋) ∈ (0...((𝑀↑((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1)) βˆ’ 1)) ↔ (𝑁↑𝑋) ≀ ((𝑀↑((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1)) βˆ’ 1)))
135130, 133, 134syl2anc 582 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ ((𝑁↑𝑋) ∈ (0...((𝑀↑((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1)) βˆ’ 1)) ↔ (𝑁↑𝑋) ≀ ((𝑀↑((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1)) βˆ’ 1)))
136127, 135mpbird 256 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ (𝑁↑𝑋) ∈ (0...((𝑀↑((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1)) βˆ’ 1)))
137 padic.j . . . . . . . . . 10 𝐽 = (π‘ž ∈ β„™ ↦ (π‘₯ ∈ β„š ↦ if(π‘₯ = 0, 0, (π‘žβ†‘-(π‘ž pCnt π‘₯)))))
138 ostth.k . . . . . . . . . 10 𝐾 = (π‘₯ ∈ β„š ↦ if(π‘₯ = 0, 0, 1))
139 ostth2.3 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 1 < (πΉβ€˜π‘))
140 ostth2.4 . . . . . . . . . 10 𝑅 = ((logβ€˜(πΉβ€˜π‘)) / (logβ€˜π‘))
141 ostth2.6 . . . . . . . . . 10 𝑆 = ((logβ€˜(πΉβ€˜π‘€)) / (logβ€˜π‘€))
1429, 8, 137, 138, 1, 2, 139, 140, 17, 141, 15ostth2lem2 27585 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ ((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1) ∈ β„•0 ∧ (𝑁↑𝑋) ∈ (0...((𝑀↑((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1)) βˆ’ 1))) β†’ (πΉβ€˜(𝑁↑𝑋)) ≀ ((𝑀 Β· ((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1)) Β· (𝑇↑((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1))))
1431423expia 1118 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ ((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1) ∈ β„•0) β†’ ((𝑁↑𝑋) ∈ (0...((𝑀↑((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1)) βˆ’ 1)) β†’ (πΉβ€˜(𝑁↑𝑋)) ≀ ((𝑀 Β· ((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1)) Β· (𝑇↑((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1)))))
14472, 143syldan 589 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ ((𝑁↑𝑋) ∈ (0...((𝑀↑((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1)) βˆ’ 1)) β†’ (πΉβ€˜(𝑁↑𝑋)) ≀ ((𝑀 Β· ((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1)) Β· (𝑇↑((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1)))))
145136, 144mpd 15 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜(𝑁↑𝑋)) ≀ ((𝑀 Β· ((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1)) Β· (𝑇↑((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1))))
14685, 145eqbrtrrd 5167 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ ((πΉβ€˜π‘)↑𝑋) ≀ ((𝑀 Β· ((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1)) Β· (𝑇↑((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1))))
14780, 75remulcld 11274 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ ((𝑀 Β· (𝑋 Β· (π‘ˆ + 1))) Β· (𝑇↑((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1))) ∈ ℝ)
148 peano2re 11417 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 Β· π‘ˆ) ∈ ℝ β†’ ((𝑋 Β· π‘ˆ) + 1) ∈ ℝ)
14964, 148syl 17 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ ((𝑋 Β· π‘ˆ) + 1) ∈ ℝ)
15070nn0red 12563 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ (βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) ∈ ℝ)
151 1red 11245 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ 1 ∈ ℝ)
152 flle 13796 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 Β· π‘ˆ) ∈ ℝ β†’ (βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) ≀ (𝑋 Β· π‘ˆ))
15364, 152syl 17 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ (βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) ≀ (𝑋 Β· π‘ˆ))
154150, 64, 151, 153leadd1dd 11858 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ ((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1) ≀ ((𝑋 Β· π‘ˆ) + 1))
155 nnge1 12270 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ β„• β†’ 1 ≀ 𝑋)
156155adantl 480 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ 1 ≀ 𝑋)
157151, 63, 64, 156leadd2dd 11859 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ ((𝑋 Β· π‘ˆ) + 1) ≀ ((𝑋 Β· π‘ˆ) + 𝑋))
15850recnd 11272 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ π‘ˆ ∈ β„‚)
159151recnd 11272 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ 1 ∈ β„‚)
16086, 158, 159adddid 11268 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ (𝑋 Β· (π‘ˆ + 1)) = ((𝑋 Β· π‘ˆ) + (𝑋 Β· 1)))
16186mulridd 11261 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ (𝑋 Β· 1) = 𝑋)
162161oveq2d 7432 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ ((𝑋 Β· π‘ˆ) + (𝑋 Β· 1)) = ((𝑋 Β· π‘ˆ) + 𝑋))
163160, 162eqtrd 2765 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ (𝑋 Β· (π‘ˆ + 1)) = ((𝑋 Β· π‘ˆ) + 𝑋))
164157, 163breqtrrd 5171 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ ((𝑋 Β· π‘ˆ) + 1) ≀ (𝑋 Β· (π‘ˆ + 1)))
16573, 149, 79, 154, 164letrd 11401 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ ((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1) ≀ (𝑋 Β· (π‘ˆ + 1)))
16660nngt0d 12291 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ 0 < 𝑀)
167 lemul2 12097 . . . . . . . . 9 ((((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1) ∈ ℝ ∧ (𝑋 Β· (π‘ˆ + 1)) ∈ ℝ ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑀)) β†’ (((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1) ≀ (𝑋 Β· (π‘ˆ + 1)) ↔ (𝑀 Β· ((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1)) ≀ (𝑀 Β· (𝑋 Β· (π‘ˆ + 1)))))
16873, 79, 61, 166, 167syl112anc 1371 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ (((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1) ≀ (𝑋 Β· (π‘ˆ + 1)) ↔ (𝑀 Β· ((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1)) ≀ (𝑀 Β· (𝑋 Β· (π‘ˆ + 1)))))
169165, 168mpbid 231 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ (𝑀 Β· ((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1)) ≀ (𝑀 Β· (𝑋 Β· (π‘ˆ + 1))))
170 expgt0 14092 . . . . . . . . 9 ((𝑇 ∈ ℝ ∧ ((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1) ∈ β„€ ∧ 0 < 𝑇) β†’ 0 < (𝑇↑((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1)))
17128, 118, 37, 170syl3anc 1368 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ 0 < (𝑇↑((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1)))
172 lemul1 12096 . . . . . . . 8 (((𝑀 Β· ((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1)) ∈ ℝ ∧ (𝑀 Β· (𝑋 Β· (π‘ˆ + 1))) ∈ ℝ ∧ ((𝑇↑((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1)) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑇↑((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1)))) β†’ ((𝑀 Β· ((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1)) ≀ (𝑀 Β· (𝑋 Β· (π‘ˆ + 1))) ↔ ((𝑀 Β· ((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1)) Β· (𝑇↑((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1))) ≀ ((𝑀 Β· (𝑋 Β· (π‘ˆ + 1))) Β· (𝑇↑((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1)))))
17374, 80, 75, 171, 172syl112anc 1371 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ ((𝑀 Β· ((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1)) ≀ (𝑀 Β· (𝑋 Β· (π‘ˆ + 1))) ↔ ((𝑀 Β· ((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1)) Β· (𝑇↑((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1))) ≀ ((𝑀 Β· (𝑋 Β· (π‘ˆ + 1))) Β· (𝑇↑((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1)))))
174169, 173mpbid 231 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ ((𝑀 Β· ((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1)) Β· (𝑇↑((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1))) ≀ ((𝑀 Β· (𝑋 Β· (π‘ˆ + 1))) Β· (𝑇↑((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1))))
17528recnd 11272 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ 𝑇 ∈ β„‚)
176175, 70expp1d 14143 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ (𝑇↑((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1)) = ((𝑇↑(βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ))) Β· 𝑇))
17735adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ 1 ≀ 𝑇)
178 remulcl 11223 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘ˆ ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) β†’ (π‘ˆ Β· 𝑋) ∈ ℝ)
17949, 62, 178syl2an 594 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ (π‘ˆ Β· 𝑋) ∈ ℝ)
18086, 158mulcomd 11265 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ (𝑋 Β· π‘ˆ) = (π‘ˆ Β· 𝑋))
181153, 180breqtrd 5169 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ (βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) ≀ (π‘ˆ Β· 𝑋))
18228, 177, 150, 179, 181cxplead 26673 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ (𝑇↑𝑐(βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ))) ≀ (𝑇↑𝑐(π‘ˆ Β· 𝑋)))
183 cxpexp 26620 . . . . . . . . . . 11 ((𝑇 ∈ β„‚ ∧ (βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) ∈ β„•0) β†’ (𝑇↑𝑐(βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ))) = (𝑇↑(βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ))))
184175, 70, 183syl2anc 582 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ (𝑇↑𝑐(βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ))) = (𝑇↑(βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ))))
18538, 50, 86cxpmuld 26689 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ (𝑇↑𝑐(π‘ˆ Β· 𝑋)) = ((π‘‡β†‘π‘π‘ˆ)↑𝑐𝑋))
186 cxpexp 26620 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘‡β†‘π‘π‘ˆ) ∈ β„‚ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) β†’ ((π‘‡β†‘π‘π‘ˆ)↑𝑐𝑋) = ((π‘‡β†‘π‘π‘ˆ)↑𝑋))
18752, 56, 186syl2anc 582 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ ((π‘‡β†‘π‘π‘ˆ)↑𝑐𝑋) = ((π‘‡β†‘π‘π‘ˆ)↑𝑋))
188185, 187eqtrd 2765 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ (𝑇↑𝑐(π‘ˆ Β· 𝑋)) = ((π‘‡β†‘π‘π‘ˆ)↑𝑋))
189182, 184, 1883brtr3d 5174 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ (𝑇↑(βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ))) ≀ ((π‘‡β†‘π‘π‘ˆ)↑𝑋))
19028, 70reexpcld 14159 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ (𝑇↑(βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ))) ∈ ℝ)
191190, 81, 38lemul1d 13091 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ ((𝑇↑(βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ))) ≀ ((π‘‡β†‘π‘π‘ˆ)↑𝑋) ↔ ((𝑇↑(βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ))) Β· 𝑇) ≀ (((π‘‡β†‘π‘π‘ˆ)↑𝑋) Β· 𝑇)))
192189, 191mpbid 231 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ ((𝑇↑(βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ))) Β· 𝑇) ≀ (((π‘‡β†‘π‘π‘ˆ)↑𝑋) Β· 𝑇))
193176, 192eqbrtrd 5165 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ (𝑇↑((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1)) ≀ (((π‘‡β†‘π‘π‘ˆ)↑𝑋) Β· 𝑇))
194 nngt0 12273 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ β„• β†’ 0 < 𝑋)
195194adantl 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ 0 < 𝑋)
196 0red 11247 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ 0 ∈ ℝ)
19748adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ π‘ˆ ∈ ℝ+)
198197rpgt0d 13051 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ 0 < π‘ˆ)
19950ltp1d 12174 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ π‘ˆ < (π‘ˆ + 1))
200196, 50, 78, 198, 199lttrd 11405 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ 0 < (π‘ˆ + 1))
20163, 78, 195, 200mulgt0d 11399 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ 0 < (𝑋 Β· (π‘ˆ + 1)))
20261, 79, 166, 201mulgt0d 11399 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ 0 < (𝑀 Β· (𝑋 Β· (π‘ˆ + 1))))
203 lemul2 12097 . . . . . . . 8 (((𝑇↑((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1)) ∈ ℝ ∧ (((π‘‡β†‘π‘π‘ˆ)↑𝑋) Β· 𝑇) ∈ ℝ ∧ ((𝑀 Β· (𝑋 Β· (π‘ˆ + 1))) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑀 Β· (𝑋 Β· (π‘ˆ + 1))))) β†’ ((𝑇↑((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1)) ≀ (((π‘‡β†‘π‘π‘ˆ)↑𝑋) Β· 𝑇) ↔ ((𝑀 Β· (𝑋 Β· (π‘ˆ + 1))) Β· (𝑇↑((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1))) ≀ ((𝑀 Β· (𝑋 Β· (π‘ˆ + 1))) Β· (((π‘‡β†‘π‘π‘ˆ)↑𝑋) Β· 𝑇))))
20475, 82, 80, 202, 203syl112anc 1371 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ ((𝑇↑((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1)) ≀ (((π‘‡β†‘π‘π‘ˆ)↑𝑋) Β· 𝑇) ↔ ((𝑀 Β· (𝑋 Β· (π‘ˆ + 1))) Β· (𝑇↑((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1))) ≀ ((𝑀 Β· (𝑋 Β· (π‘ˆ + 1))) Β· (((π‘‡β†‘π‘π‘ˆ)↑𝑋) Β· 𝑇))))
205193, 204mpbid 231 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ ((𝑀 Β· (𝑋 Β· (π‘ˆ + 1))) Β· (𝑇↑((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1))) ≀ ((𝑀 Β· (𝑋 Β· (π‘ˆ + 1))) Β· (((π‘‡β†‘π‘π‘ˆ)↑𝑋) Β· 𝑇)))
20676, 147, 83, 174, 205letrd 11401 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ ((𝑀 Β· ((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1)) Β· (𝑇↑((βŒŠβ€˜(𝑋 Β· π‘ˆ)) + 1))) ≀ ((𝑀 Β· (𝑋 Β· (π‘ˆ + 1))) Β· (((π‘‡β†‘π‘π‘ˆ)↑𝑋) Β· 𝑇)))
20759, 76, 83, 146, 206letrd 11401 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ ((πΉβ€˜π‘)↑𝑋) ≀ ((𝑀 Β· (𝑋 Β· (π‘ˆ + 1))) Β· (((π‘‡β†‘π‘π‘ˆ)↑𝑋) Β· 𝑇)))
20880recnd 11272 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ (𝑀 Β· (𝑋 Β· (π‘ˆ + 1))) ∈ β„‚)
20981recnd 11272 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ ((π‘‡β†‘π‘π‘ˆ)↑𝑋) ∈ β„‚)
210208, 209, 175mul12d 11453 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ ((𝑀 Β· (𝑋 Β· (π‘ˆ + 1))) Β· (((π‘‡β†‘π‘π‘ˆ)↑𝑋) Β· 𝑇)) = (((π‘‡β†‘π‘π‘ˆ)↑𝑋) Β· ((𝑀 Β· (𝑋 Β· (π‘ˆ + 1))) Β· 𝑇)))
21161recnd 11272 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ 𝑀 ∈ β„‚)
21279recnd 11272 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ (𝑋 Β· (π‘ˆ + 1)) ∈ β„‚)
213211, 212, 175mul32d 11454 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ ((𝑀 Β· (𝑋 Β· (π‘ˆ + 1))) Β· 𝑇) = ((𝑀 Β· 𝑇) Β· (𝑋 Β· (π‘ˆ + 1))))
214211, 175mulcld 11264 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ (𝑀 Β· 𝑇) ∈ β„‚)
21578recnd 11272 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ (π‘ˆ + 1) ∈ β„‚)
216214, 86, 215mul12d 11453 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ ((𝑀 Β· 𝑇) Β· (𝑋 Β· (π‘ˆ + 1))) = (𝑋 Β· ((𝑀 Β· 𝑇) Β· (π‘ˆ + 1))))
217213, 216eqtrd 2765 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ ((𝑀 Β· (𝑋 Β· (π‘ˆ + 1))) Β· 𝑇) = (𝑋 Β· ((𝑀 Β· 𝑇) Β· (π‘ˆ + 1))))
218217oveq2d 7432 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ (((π‘‡β†‘π‘π‘ˆ)↑𝑋) Β· ((𝑀 Β· (𝑋 Β· (π‘ˆ + 1))) Β· 𝑇)) = (((π‘‡β†‘π‘π‘ˆ)↑𝑋) Β· (𝑋 Β· ((𝑀 Β· 𝑇) Β· (π‘ˆ + 1)))))
219210, 218eqtrd 2765 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ ((𝑀 Β· (𝑋 Β· (π‘ˆ + 1))) Β· (((π‘‡β†‘π‘π‘ˆ)↑𝑋) Β· 𝑇)) = (((π‘‡β†‘π‘π‘ˆ)↑𝑋) Β· (𝑋 Β· ((𝑀 Β· 𝑇) Β· (π‘ˆ + 1)))))
220207, 219breqtrd 5169 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ ((πΉβ€˜π‘)↑𝑋) ≀ (((π‘‡β†‘π‘π‘ˆ)↑𝑋) Β· (𝑋 Β· ((𝑀 Β· 𝑇) Β· (π‘ˆ + 1)))))
22161, 28remulcld 11274 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ (𝑀 Β· 𝑇) ∈ ℝ)
222221, 78remulcld 11274 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ ((𝑀 Β· 𝑇) Β· (π‘ˆ + 1)) ∈ ℝ)
22363, 222remulcld 11274 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ (𝑋 Β· ((𝑀 Β· 𝑇) Β· (π‘ˆ + 1))) ∈ ℝ)
224114adantl 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ 𝑋 ∈ β„€)
22553, 224rpexpcld 14241 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ ((π‘‡β†‘π‘π‘ˆ)↑𝑋) ∈ ℝ+)
22659, 223, 225ledivmuld 13101 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ ((((πΉβ€˜π‘)↑𝑋) / ((π‘‡β†‘π‘π‘ˆ)↑𝑋)) ≀ (𝑋 Β· ((𝑀 Β· 𝑇) Β· (π‘ˆ + 1))) ↔ ((πΉβ€˜π‘)↑𝑋) ≀ (((π‘‡β†‘π‘π‘ˆ)↑𝑋) Β· (𝑋 Β· ((𝑀 Β· 𝑇) Β· (π‘ˆ + 1))))))
227220, 226mpbird 256 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ (((πΉβ€˜π‘)↑𝑋) / ((π‘‡β†‘π‘π‘ˆ)↑𝑋)) ≀ (𝑋 Β· ((𝑀 Β· 𝑇) Β· (π‘ˆ + 1))))
22857, 227eqbrtrd 5165 1 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•) β†’ (((πΉβ€˜π‘) / (π‘‡β†‘π‘π‘ˆ))↑𝑋) ≀ (𝑋 Β· ((𝑀 Β· 𝑇) Β· (π‘ˆ + 1))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ifcif 4524   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5226  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  β„‚cc 11136  β„cr 11137  0cc0 11138  1c1 11139   + caddc 11141   Β· cmul 11143   < clt 11278   ≀ cle 11279   βˆ’ cmin 11474  -cneg 11475   / cdiv 11901  β„•cn 12242  2c2 12297  β„•0cn0 12502  β„€cz 12588  β„€β‰₯cuz 12852  β„šcq 12962  β„+crp 13006  ...cfz 13516  βŒŠcfl 13787  β†‘cexp 14058  expce 16037  β„™cprime 16641   pCnt cpc 16804   β†Ύs cress 17208  AbsValcabv 20700  β„‚fldccnfld 21283  logclog 26506  β†‘𝑐ccxp 26507
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-inf2 9664  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216  ax-addf 11217  ax-mulf 11218
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7682  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-supp 8164  df-tpos 8230  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-er 8723  df-map 8845  df-pm 8846  df-ixp 8915  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-fsupp 9386  df-fi 9434  df-sup 9465  df-inf 9466  df-oi 9533  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-q 12963  df-rp 13007  df-xneg 13124  df-xadd 13125  df-xmul 13126  df-ioo 13360  df-ioc 13361  df-ico 13362  df-icc 13363  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-fl 13789  df-mod 13867  df-seq 13999  df-exp 14059  df-fac 14265  df-bc 14294  df-hash 14322  df-shft 15046  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215  df-limsup 15447  df-clim 15464  df-rlim 15465  df-sum 15665  df-ef 16043  df-sin 16045  df-cos 16046  df-pi 16048  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-starv 17247  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-ip 17250  df-tset 17251  df-ple 17252  df-ds 17254  df-unif 17255  df-hom 17256  df-cco 17257  df-rest 17403  df-topn 17404  df-0g 17422  df-gsum 17423  df-topgen 17424  df-pt 17425  df-prds 17428  df-xrs 17483  df-qtop 17488  df-imas 17489  df-xps 17491  df-mre 17565  df-mrc 17566  df-acs 17568  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18740  df-grp 18897  df-minusg 18898  df-mulg 19028  df-subg 19082  df-cntz 19272  df-cmn 19741  df-abl 19742  df-mgp 20079  df-rng 20097  df-ur 20126  df-ring 20179  df-cring 20180  df-oppr 20277  df-dvdsr 20300  df-unit 20301  df-invr 20331  df-dvr 20344  df-subrng 20487  df-subrg 20512  df-drng 20630  df-abv 20701  df-psmet 21275  df-xmet 21276  df-met 21277  df-bl 21278  df-mopn 21279  df-fbas 21280  df-fg 21281  df-cnfld 21284  df-top 22814  df-topon 22831  df-topsp 22853  df-bases 22867  df-cld 22941  df-ntr 22942  df-cls 22943  df-nei 23020  df-lp 23058  df-perf 23059  df-cn 23149  df-cnp 23150  df-haus 23237  df-tx 23484  df-hmeo 23677  df-fil 23768  df-fm 23860  df-flim 23861  df-flf 23862  df-xms 24244  df-ms 24245  df-tms 24246  df-cncf 24816  df-limc 25813  df-dv 25814  df-log 26508  df-cxp 26509
This theorem is referenced by:  ostth2lem4  27587
  Copyright terms: Public domain W3C validator