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Theorem ostth2lem3 25776
Description: Lemma for ostth2 25778. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
qrng.q 𝑄 = (ℂflds ℚ)
qabsabv.a 𝐴 = (AbsVal‘𝑄)
padic.j 𝐽 = (𝑞 ∈ ℙ ↦ (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, (𝑞↑-(𝑞 pCnt 𝑥)))))
ostth.k 𝐾 = (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, 1))
ostth.1 (𝜑𝐹𝐴)
ostth2.2 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘2))
ostth2.3 (𝜑 → 1 < (𝐹𝑁))
ostth2.4 𝑅 = ((log‘(𝐹𝑁)) / (log‘𝑁))
ostth2.5 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘2))
ostth2.6 𝑆 = ((log‘(𝐹𝑀)) / (log‘𝑀))
ostth2.7 𝑇 = if((𝐹𝑀) ≤ 1, 1, (𝐹𝑀))
ostth2.8 𝑈 = ((log‘𝑁) / (log‘𝑀))
Assertion
Ref Expression
ostth2lem3 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (((𝐹𝑁) / (𝑇𝑐𝑈))↑𝑋) ≤ (𝑋 · ((𝑀 · 𝑇) · (𝑈 + 1))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑀   𝑥,𝑞,𝜑   𝑥,𝑇   𝑥,𝑈   𝑥,𝑋   𝐴,𝑞,𝑥   𝑥,𝑁   𝑥,𝑄   𝐹,𝑞   𝑅,𝑞   𝑥,𝐹
Allowed substitution hints:   𝑄(𝑞)   𝑅(𝑥)   𝑆(𝑥,𝑞)   𝑇(𝑞)   𝑈(𝑞)   𝐽(𝑥,𝑞)   𝐾(𝑥,𝑞)   𝑀(𝑞)   𝑁(𝑞)   𝑋(𝑞)

Proof of Theorem ostth2lem3
StepHypRef Expression
1 ostth.1 . . . . . 6 (𝜑𝐹𝐴)
2 ostth2.2 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘2))
3 eluz2b2 12068 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑁))
42, 3sylib 210 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑁))
54simpld 490 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
6 nnq 12109 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℚ)
75, 6syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℚ)
8 qabsabv.a . . . . . . 7 𝐴 = (AbsVal‘𝑄)
9 qrng.q . . . . . . . 8 𝑄 = (ℂflds ℚ)
109qrngbas 25760 . . . . . . 7 ℚ = (Base‘𝑄)
118, 10abvcl 19216 . . . . . 6 ((𝐹𝐴𝑁 ∈ ℚ) → (𝐹𝑁) ∈ ℝ)
121, 7, 11syl2anc 579 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹𝑁) ∈ ℝ)
1312adantr 474 . . . 4 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (𝐹𝑁) ∈ ℝ)
1413recnd 10405 . . 3 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (𝐹𝑁) ∈ ℂ)
15 ostth2.7 . . . . . . 7 𝑇 = if((𝐹𝑀) ≤ 1, 1, (𝐹𝑀))
16 1re 10376 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
17 ostth2.5 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘2))
18 eluz2b2 12068 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑀))
1917, 18sylib 210 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑀 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑀))
2019simpld 490 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
21 nnq 12109 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℚ)
2220, 21syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ ℚ)
238, 10abvcl 19216 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝐴𝑀 ∈ ℚ) → (𝐹𝑀) ∈ ℝ)
241, 22, 23syl2anc 579 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹𝑀) ∈ ℝ)
25 ifcl 4351 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑀) ∈ ℝ) → if((𝐹𝑀) ≤ 1, 1, (𝐹𝑀)) ∈ ℝ)
2616, 24, 25sylancr 581 . . . . . . 7 (𝜑 → if((𝐹𝑀) ≤ 1, 1, (𝐹𝑀)) ∈ ℝ)
2715, 26syl5eqel 2863 . . . . . 6 (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
2827adantr 474 . . . . 5 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → 𝑇 ∈ ℝ)
29 0red 10380 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
30 1red 10377 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
31 0lt1 10897 . . . . . . . . . 10 0 < 1
3231a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 < 1)
33 max2 12330 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹𝑀) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → 1 ≤ if((𝐹𝑀) ≤ 1, 1, (𝐹𝑀)))
3424, 30, 33syl2anc 579 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 1 ≤ if((𝐹𝑀) ≤ 1, 1, (𝐹𝑀)))
3534, 15syl6breqr 4928 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 1 ≤ 𝑇)
3629, 30, 27, 32, 35ltletrd 10536 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 < 𝑇)
3736adantr 474 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → 0 < 𝑇)
3828, 37elrpd 12178 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → 𝑇 ∈ ℝ+)
3938rpge0d 12185 . . . . 5 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → 0 ≤ 𝑇)
40 ostth2.8 . . . . . . . 8 𝑈 = ((log‘𝑁) / (log‘𝑀))
415nnred 11391 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
424simprd 491 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 1 < 𝑁)
4341, 42rplogcld 24812 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (log‘𝑁) ∈ ℝ+)
4420nnred 11391 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
4519simprd 491 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 1 < 𝑀)
4644, 45rplogcld 24812 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (log‘𝑀) ∈ ℝ+)
4743, 46rpdivcld 12198 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((log‘𝑁) / (log‘𝑀)) ∈ ℝ+)
4840, 47syl5eqel 2863 . . . . . . 7 (𝜑𝑈 ∈ ℝ+)
4948rpred 12181 . . . . . 6 (𝜑𝑈 ∈ ℝ)
5049adantr 474 . . . . 5 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → 𝑈 ∈ ℝ)
5128, 39, 50recxpcld 24906 . . . 4 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (𝑇𝑐𝑈) ∈ ℝ)
5251recnd 10405 . . 3 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (𝑇𝑐𝑈) ∈ ℂ)
5338, 50rpcxpcld 24915 . . . 4 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (𝑇𝑐𝑈) ∈ ℝ+)
5453rpne0d 12186 . . 3 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (𝑇𝑐𝑈) ≠ 0)
55 nnnn0 11650 . . . 4 (𝑋 ∈ ℕ → 𝑋 ∈ ℕ0)
5655adantl 475 . . 3 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → 𝑋 ∈ ℕ0)
5714, 52, 54, 56expdivd 13341 . 2 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (((𝐹𝑁) / (𝑇𝑐𝑈))↑𝑋) = (((𝐹𝑁)↑𝑋) / ((𝑇𝑐𝑈)↑𝑋)))
58 reexpcl 13195 . . . . . 6 (((𝐹𝑁) ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → ((𝐹𝑁)↑𝑋) ∈ ℝ)
5912, 55, 58syl2an 589 . . . . 5 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑁)↑𝑋) ∈ ℝ)
6020adantr 474 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℕ)
6160nnred 11391 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℝ)
62 nnre 11382 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ ℕ → 𝑋 ∈ ℝ)
6362adantl 475 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → 𝑋 ∈ ℝ)
6463, 50remulcld 10407 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (𝑋 · 𝑈) ∈ ℝ)
6556nn0ge0d 11705 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → 0 ≤ 𝑋)
6648rpge0d 12185 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 ≤ 𝑈)
6766adantr 474 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → 0 ≤ 𝑈)
6863, 50, 65, 67mulge0d 10952 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝑋 · 𝑈))
69 flge0nn0 12940 . . . . . . . . . 10 (((𝑋 · 𝑈) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑋 · 𝑈)) → (⌊‘(𝑋 · 𝑈)) ∈ ℕ0)
7064, 68, 69syl2anc 579 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝑋 · 𝑈)) ∈ ℕ0)
71 peano2nn0 11684 . . . . . . . . 9 ((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) ∈ ℕ0 → ((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1) ∈ ℕ0)
7270, 71syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → ((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1) ∈ ℕ0)
7372nn0red 11703 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → ((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1) ∈ ℝ)
7461, 73remulcld 10407 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (𝑀 · ((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) ∈ ℝ)
7528, 72reexpcld 13344 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (𝑇↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) ∈ ℝ)
7674, 75remulcld 10407 . . . . 5 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → ((𝑀 · ((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) · (𝑇↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1))) ∈ ℝ)
77 peano2re 10549 . . . . . . . . 9 (𝑈 ∈ ℝ → (𝑈 + 1) ∈ ℝ)
7850, 77syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (𝑈 + 1) ∈ ℝ)
7963, 78remulcld 10407 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (𝑋 · (𝑈 + 1)) ∈ ℝ)
8061, 79remulcld 10407 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (𝑀 · (𝑋 · (𝑈 + 1))) ∈ ℝ)
8151, 56reexpcld 13344 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → ((𝑇𝑐𝑈)↑𝑋) ∈ ℝ)
8281, 28remulcld 10407 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (((𝑇𝑐𝑈)↑𝑋) · 𝑇) ∈ ℝ)
8380, 82remulcld 10407 . . . . 5 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → ((𝑀 · (𝑋 · (𝑈 + 1))) · (((𝑇𝑐𝑈)↑𝑋) · 𝑇)) ∈ ℝ)
841adantr 474 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → 𝐹𝐴)
857adantr 474 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℚ)
869, 8qabvexp 25767 . . . . . . 7 ((𝐹𝐴𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → (𝐹‘(𝑁𝑋)) = ((𝐹𝑁)↑𝑋))
8784, 85, 56, 86syl3anc 1439 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑁𝑋)) = ((𝐹𝑁)↑𝑋))
8863recnd 10405 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → 𝑋 ∈ ℂ)
8943rpred 12181 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (log‘𝑁) ∈ ℝ)
9089recnd 10405 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (log‘𝑁) ∈ ℂ)
9190adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (log‘𝑁) ∈ ℂ)
9246rpred 12181 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (log‘𝑀) ∈ ℝ)
9392recnd 10405 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (log‘𝑀) ∈ ℂ)
9493adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (log‘𝑀) ∈ ℂ)
9546adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (log‘𝑀) ∈ ℝ+)
9695rpne0d 12186 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (log‘𝑀) ≠ 0)
9788, 91, 94, 96divassd 11186 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → ((𝑋 · (log‘𝑁)) / (log‘𝑀)) = (𝑋 · ((log‘𝑁) / (log‘𝑀))))
9840oveq2i 6933 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑋 · 𝑈) = (𝑋 · ((log‘𝑁) / (log‘𝑀)))
9997, 98syl6eqr 2832 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → ((𝑋 · (log‘𝑁)) / (log‘𝑀)) = (𝑋 · 𝑈))
10099oveq1d 6937 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (((𝑋 · (log‘𝑁)) / (log‘𝑀)) · (log‘𝑀)) = ((𝑋 · 𝑈) · (log‘𝑀)))
10188, 91mulcld 10397 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (𝑋 · (log‘𝑁)) ∈ ℂ)
102101, 94, 96divcan1d 11152 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (((𝑋 · (log‘𝑁)) / (log‘𝑀)) · (log‘𝑀)) = (𝑋 · (log‘𝑁)))
103100, 102eqtr3d 2816 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → ((𝑋 · 𝑈) · (log‘𝑀)) = (𝑋 · (log‘𝑁)))
104 flltp1 12920 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑋 · 𝑈) ∈ ℝ → (𝑋 · 𝑈) < ((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1))
10564, 104syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (𝑋 · 𝑈) < ((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1))
10664, 73, 95, 105ltmul1dd 12236 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → ((𝑋 · 𝑈) · (log‘𝑀)) < (((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1) · (log‘𝑀)))
107103, 106eqbrtrrd 4910 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (𝑋 · (log‘𝑁)) < (((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1) · (log‘𝑀)))
10889adantr 474 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (log‘𝑁) ∈ ℝ)
10963, 108remulcld 10407 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (𝑋 · (log‘𝑁)) ∈ ℝ)
11092adantr 474 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (log‘𝑀) ∈ ℝ)
11173, 110remulcld 10407 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1) · (log‘𝑀)) ∈ ℝ)
112 eflt 15249 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑋 · (log‘𝑁)) ∈ ℝ ∧ (((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1) · (log‘𝑀)) ∈ ℝ) → ((𝑋 · (log‘𝑁)) < (((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1) · (log‘𝑀)) ↔ (exp‘(𝑋 · (log‘𝑁))) < (exp‘(((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1) · (log‘𝑀)))))
113109, 111, 112syl2anc 579 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → ((𝑋 · (log‘𝑁)) < (((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1) · (log‘𝑀)) ↔ (exp‘(𝑋 · (log‘𝑁))) < (exp‘(((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1) · (log‘𝑀)))))
114107, 113mpbid 224 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (exp‘(𝑋 · (log‘𝑁))) < (exp‘(((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1) · (log‘𝑀))))
1155nnrpd 12179 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ ℝ+)
116 nnz 11751 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ ℕ → 𝑋 ∈ ℤ)
117 reexplog 24778 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℝ+𝑋 ∈ ℤ) → (𝑁𝑋) = (exp‘(𝑋 · (log‘𝑁))))
118115, 116, 117syl2an 589 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (𝑁𝑋) = (exp‘(𝑋 · (log‘𝑁))))
11960nnrpd 12179 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℝ+)
12072nn0zd 11832 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → ((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1) ∈ ℤ)
121 reexplog 24778 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℝ+ ∧ ((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1) ∈ ℤ) → (𝑀↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) = (exp‘(((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1) · (log‘𝑀))))
122119, 120, 121syl2anc 579 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (𝑀↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) = (exp‘(((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1) · (log‘𝑀))))
123114, 118, 1223brtr4d 4918 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (𝑁𝑋) < (𝑀↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)))
124 nnexpcl 13191 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → (𝑁𝑋) ∈ ℕ)
1255, 55, 124syl2an 589 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (𝑁𝑋) ∈ ℕ)
12660, 72nnexpcld 13351 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (𝑀↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) ∈ ℕ)
127 nnltlem1 11796 . . . . . . . . . 10 (((𝑁𝑋) ∈ ℕ ∧ (𝑀↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) ∈ ℕ) → ((𝑁𝑋) < (𝑀↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) ↔ (𝑁𝑋) ≤ ((𝑀↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) − 1)))
128125, 126, 127syl2anc 579 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → ((𝑁𝑋) < (𝑀↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) ↔ (𝑁𝑋) ≤ ((𝑀↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) − 1)))
129123, 128mpbid 224 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (𝑁𝑋) ≤ ((𝑀↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) − 1))
130125nnnn0d 11702 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (𝑁𝑋) ∈ ℕ0)
131 nn0uz 12028 . . . . . . . . . 10 0 = (ℤ‘0)
132130, 131syl6eleq 2869 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (𝑁𝑋) ∈ (ℤ‘0))
133126nnzd 11833 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (𝑀↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) ∈ ℤ)
134 peano2zm 11772 . . . . . . . . . 10 ((𝑀↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) ∈ ℤ → ((𝑀↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) − 1) ∈ ℤ)
135133, 134syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → ((𝑀↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) − 1) ∈ ℤ)
136 elfz5 12651 . . . . . . . . 9 (((𝑁𝑋) ∈ (ℤ‘0) ∧ ((𝑀↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) − 1) ∈ ℤ) → ((𝑁𝑋) ∈ (0...((𝑀↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) − 1)) ↔ (𝑁𝑋) ≤ ((𝑀↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) − 1)))
137132, 135, 136syl2anc 579 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → ((𝑁𝑋) ∈ (0...((𝑀↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) − 1)) ↔ (𝑁𝑋) ≤ ((𝑀↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) − 1)))
138129, 137mpbird 249 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (𝑁𝑋) ∈ (0...((𝑀↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) − 1)))
139 padic.j . . . . . . . . . 10 𝐽 = (𝑞 ∈ ℙ ↦ (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, (𝑞↑-(𝑞 pCnt 𝑥)))))
140 ostth.k . . . . . . . . . 10 𝐾 = (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, 1))
141 ostth2.3 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 1 < (𝐹𝑁))
142 ostth2.4 . . . . . . . . . 10 𝑅 = ((log‘(𝐹𝑁)) / (log‘𝑁))
143 ostth2.6 . . . . . . . . . 10 𝑆 = ((log‘(𝐹𝑀)) / (log‘𝑀))
1449, 8, 139, 140, 1, 2, 141, 142, 17, 143, 15ostth2lem2 25775 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1) ∈ ℕ0 ∧ (𝑁𝑋) ∈ (0...((𝑀↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) − 1))) → (𝐹‘(𝑁𝑋)) ≤ ((𝑀 · ((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) · (𝑇↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1))))
1451443expia 1111 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1) ∈ ℕ0) → ((𝑁𝑋) ∈ (0...((𝑀↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) − 1)) → (𝐹‘(𝑁𝑋)) ≤ ((𝑀 · ((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) · (𝑇↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)))))
14672, 145syldan 585 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → ((𝑁𝑋) ∈ (0...((𝑀↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) − 1)) → (𝐹‘(𝑁𝑋)) ≤ ((𝑀 · ((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) · (𝑇↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)))))
147138, 146mpd 15 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑁𝑋)) ≤ ((𝑀 · ((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) · (𝑇↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1))))
14887, 147eqbrtrrd 4910 . . . . 5 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑁)↑𝑋) ≤ ((𝑀 · ((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) · (𝑇↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1))))
14980, 75remulcld 10407 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → ((𝑀 · (𝑋 · (𝑈 + 1))) · (𝑇↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1))) ∈ ℝ)
150 peano2re 10549 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 · 𝑈) ∈ ℝ → ((𝑋 · 𝑈) + 1) ∈ ℝ)
15164, 150syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → ((𝑋 · 𝑈) + 1) ∈ ℝ)
15270nn0red 11703 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝑋 · 𝑈)) ∈ ℝ)
153 1red 10377 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℝ)
154 flle 12919 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 · 𝑈) ∈ ℝ → (⌊‘(𝑋 · 𝑈)) ≤ (𝑋 · 𝑈))
15564, 154syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝑋 · 𝑈)) ≤ (𝑋 · 𝑈))
156152, 64, 153, 155leadd1dd 10989 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → ((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1) ≤ ((𝑋 · 𝑈) + 1))
157 nnge1 11404 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑋)
158157adantl 475 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → 1 ≤ 𝑋)
159153, 63, 64, 158leadd2dd 10990 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → ((𝑋 · 𝑈) + 1) ≤ ((𝑋 · 𝑈) + 𝑋))
16050recnd 10405 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → 𝑈 ∈ ℂ)
161153recnd 10405 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
16288, 160, 161adddid 10401 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (𝑋 · (𝑈 + 1)) = ((𝑋 · 𝑈) + (𝑋 · 1)))
16388mulid1d 10394 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (𝑋 · 1) = 𝑋)
164163oveq2d 6938 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → ((𝑋 · 𝑈) + (𝑋 · 1)) = ((𝑋 · 𝑈) + 𝑋))
165162, 164eqtrd 2814 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (𝑋 · (𝑈 + 1)) = ((𝑋 · 𝑈) + 𝑋))
166159, 165breqtrrd 4914 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → ((𝑋 · 𝑈) + 1) ≤ (𝑋 · (𝑈 + 1)))
16773, 151, 79, 156, 166letrd 10533 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → ((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1) ≤ (𝑋 · (𝑈 + 1)))
16860nngt0d 11424 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → 0 < 𝑀)
169 lemul2 11230 . . . . . . . . 9 ((((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1) ∈ ℝ ∧ (𝑋 · (𝑈 + 1)) ∈ ℝ ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑀)) → (((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1) ≤ (𝑋 · (𝑈 + 1)) ↔ (𝑀 · ((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) ≤ (𝑀 · (𝑋 · (𝑈 + 1)))))
17073, 79, 61, 168, 169syl112anc 1442 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1) ≤ (𝑋 · (𝑈 + 1)) ↔ (𝑀 · ((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) ≤ (𝑀 · (𝑋 · (𝑈 + 1)))))
171167, 170mpbid 224 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (𝑀 · ((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) ≤ (𝑀 · (𝑋 · (𝑈 + 1))))
172 expgt0 13211 . . . . . . . . 9 ((𝑇 ∈ ℝ ∧ ((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1) ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑇) → 0 < (𝑇↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)))
17328, 120, 37, 172syl3anc 1439 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → 0 < (𝑇↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)))
174 lemul1 11229 . . . . . . . 8 (((𝑀 · ((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) ∈ ℝ ∧ (𝑀 · (𝑋 · (𝑈 + 1))) ∈ ℝ ∧ ((𝑇↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑇↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)))) → ((𝑀 · ((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) ≤ (𝑀 · (𝑋 · (𝑈 + 1))) ↔ ((𝑀 · ((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) · (𝑇↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1))) ≤ ((𝑀 · (𝑋 · (𝑈 + 1))) · (𝑇↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)))))
17574, 80, 75, 173, 174syl112anc 1442 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → ((𝑀 · ((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) ≤ (𝑀 · (𝑋 · (𝑈 + 1))) ↔ ((𝑀 · ((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) · (𝑇↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1))) ≤ ((𝑀 · (𝑋 · (𝑈 + 1))) · (𝑇↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)))))
176171, 175mpbid 224 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → ((𝑀 · ((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) · (𝑇↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1))) ≤ ((𝑀 · (𝑋 · (𝑈 + 1))) · (𝑇↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1))))
17728recnd 10405 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → 𝑇 ∈ ℂ)
178177, 70expp1d 13328 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (𝑇↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) = ((𝑇↑(⌊‘(𝑋 · 𝑈))) · 𝑇))
17935adantr 474 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → 1 ≤ 𝑇)
180 remulcl 10357 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑈 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → (𝑈 · 𝑋) ∈ ℝ)
18149, 62, 180syl2an 589 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (𝑈 · 𝑋) ∈ ℝ)
18288, 160mulcomd 10398 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (𝑋 · 𝑈) = (𝑈 · 𝑋))
183155, 182breqtrd 4912 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝑋 · 𝑈)) ≤ (𝑈 · 𝑋))
18428, 179, 152, 181, 183cxplead 24904 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (𝑇𝑐(⌊‘(𝑋 · 𝑈))) ≤ (𝑇𝑐(𝑈 · 𝑋)))
185 cxpexp 24851 . . . . . . . . . . 11 ((𝑇 ∈ ℂ ∧ (⌊‘(𝑋 · 𝑈)) ∈ ℕ0) → (𝑇𝑐(⌊‘(𝑋 · 𝑈))) = (𝑇↑(⌊‘(𝑋 · 𝑈))))
186177, 70, 185syl2anc 579 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (𝑇𝑐(⌊‘(𝑋 · 𝑈))) = (𝑇↑(⌊‘(𝑋 · 𝑈))))
18738, 50, 88cxpmuld 24919 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (𝑇𝑐(𝑈 · 𝑋)) = ((𝑇𝑐𝑈)↑𝑐𝑋))
188 cxpexp 24851 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑇𝑐𝑈) ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → ((𝑇𝑐𝑈)↑𝑐𝑋) = ((𝑇𝑐𝑈)↑𝑋))
18952, 56, 188syl2anc 579 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → ((𝑇𝑐𝑈)↑𝑐𝑋) = ((𝑇𝑐𝑈)↑𝑋))
190187, 189eqtrd 2814 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (𝑇𝑐(𝑈 · 𝑋)) = ((𝑇𝑐𝑈)↑𝑋))
191184, 186, 1903brtr3d 4917 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (𝑇↑(⌊‘(𝑋 · 𝑈))) ≤ ((𝑇𝑐𝑈)↑𝑋))
19228, 70reexpcld 13344 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (𝑇↑(⌊‘(𝑋 · 𝑈))) ∈ ℝ)
193192, 81, 38lemul1d 12224 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → ((𝑇↑(⌊‘(𝑋 · 𝑈))) ≤ ((𝑇𝑐𝑈)↑𝑋) ↔ ((𝑇↑(⌊‘(𝑋 · 𝑈))) · 𝑇) ≤ (((𝑇𝑐𝑈)↑𝑋) · 𝑇)))
194191, 193mpbid 224 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → ((𝑇↑(⌊‘(𝑋 · 𝑈))) · 𝑇) ≤ (((𝑇𝑐𝑈)↑𝑋) · 𝑇))
195178, 194eqbrtrd 4908 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (𝑇↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) ≤ (((𝑇𝑐𝑈)↑𝑋) · 𝑇))
196 nngt0 11407 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ ℕ → 0 < 𝑋)
197196adantl 475 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → 0 < 𝑋)
198 0red 10380 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → 0 ∈ ℝ)
19948adantr 474 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → 𝑈 ∈ ℝ+)
200199rpgt0d 12184 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → 0 < 𝑈)
20150ltp1d 11308 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → 𝑈 < (𝑈 + 1))
202198, 50, 78, 200, 201lttrd 10537 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → 0 < (𝑈 + 1))
20363, 78, 197, 202mulgt0d 10531 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → 0 < (𝑋 · (𝑈 + 1)))
20461, 79, 168, 203mulgt0d 10531 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → 0 < (𝑀 · (𝑋 · (𝑈 + 1))))
205 lemul2 11230 . . . . . . . 8 (((𝑇↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) ∈ ℝ ∧ (((𝑇𝑐𝑈)↑𝑋) · 𝑇) ∈ ℝ ∧ ((𝑀 · (𝑋 · (𝑈 + 1))) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑀 · (𝑋 · (𝑈 + 1))))) → ((𝑇↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) ≤ (((𝑇𝑐𝑈)↑𝑋) · 𝑇) ↔ ((𝑀 · (𝑋 · (𝑈 + 1))) · (𝑇↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1))) ≤ ((𝑀 · (𝑋 · (𝑈 + 1))) · (((𝑇𝑐𝑈)↑𝑋) · 𝑇))))
20675, 82, 80, 204, 205syl112anc 1442 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → ((𝑇↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) ≤ (((𝑇𝑐𝑈)↑𝑋) · 𝑇) ↔ ((𝑀 · (𝑋 · (𝑈 + 1))) · (𝑇↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1))) ≤ ((𝑀 · (𝑋 · (𝑈 + 1))) · (((𝑇𝑐𝑈)↑𝑋) · 𝑇))))
207195, 206mpbid 224 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → ((𝑀 · (𝑋 · (𝑈 + 1))) · (𝑇↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1))) ≤ ((𝑀 · (𝑋 · (𝑈 + 1))) · (((𝑇𝑐𝑈)↑𝑋) · 𝑇)))
20876, 149, 83, 176, 207letrd 10533 . . . . 5 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → ((𝑀 · ((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) · (𝑇↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1))) ≤ ((𝑀 · (𝑋 · (𝑈 + 1))) · (((𝑇𝑐𝑈)↑𝑋) · 𝑇)))
20959, 76, 83, 148, 208letrd 10533 . . . 4 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑁)↑𝑋) ≤ ((𝑀 · (𝑋 · (𝑈 + 1))) · (((𝑇𝑐𝑈)↑𝑋) · 𝑇)))
21080recnd 10405 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (𝑀 · (𝑋 · (𝑈 + 1))) ∈ ℂ)
21181recnd 10405 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → ((𝑇𝑐𝑈)↑𝑋) ∈ ℂ)
212210, 211, 177mul12d 10585 . . . . 5 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → ((𝑀 · (𝑋 · (𝑈 + 1))) · (((𝑇𝑐𝑈)↑𝑋) · 𝑇)) = (((𝑇𝑐𝑈)↑𝑋) · ((𝑀 · (𝑋 · (𝑈 + 1))) · 𝑇)))
21361recnd 10405 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℂ)
21479recnd 10405 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (𝑋 · (𝑈 + 1)) ∈ ℂ)
215213, 214, 177mul32d 10586 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → ((𝑀 · (𝑋 · (𝑈 + 1))) · 𝑇) = ((𝑀 · 𝑇) · (𝑋 · (𝑈 + 1))))
216213, 177mulcld 10397 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (𝑀 · 𝑇) ∈ ℂ)
21778recnd 10405 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (𝑈 + 1) ∈ ℂ)
218216, 88, 217mul12d 10585 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → ((𝑀 · 𝑇) · (𝑋 · (𝑈 + 1))) = (𝑋 · ((𝑀 · 𝑇) · (𝑈 + 1))))
219215, 218eqtrd 2814 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → ((𝑀 · (𝑋 · (𝑈 + 1))) · 𝑇) = (𝑋 · ((𝑀 · 𝑇) · (𝑈 + 1))))
220219oveq2d 6938 . . . . 5 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (((𝑇𝑐𝑈)↑𝑋) · ((𝑀 · (𝑋 · (𝑈 + 1))) · 𝑇)) = (((𝑇𝑐𝑈)↑𝑋) · (𝑋 · ((𝑀 · 𝑇) · (𝑈 + 1)))))
221212, 220eqtrd 2814 . . . 4 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → ((𝑀 · (𝑋 · (𝑈 + 1))) · (((𝑇𝑐𝑈)↑𝑋) · 𝑇)) = (((𝑇𝑐𝑈)↑𝑋) · (𝑋 · ((𝑀 · 𝑇) · (𝑈 + 1)))))
222209, 221breqtrd 4912 . . 3 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑁)↑𝑋) ≤ (((𝑇𝑐𝑈)↑𝑋) · (𝑋 · ((𝑀 · 𝑇) · (𝑈 + 1)))))
22361, 28remulcld 10407 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (𝑀 · 𝑇) ∈ ℝ)
224223, 78remulcld 10407 . . . . 5 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → ((𝑀 · 𝑇) · (𝑈 + 1)) ∈ ℝ)
22563, 224remulcld 10407 . . . 4 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (𝑋 · ((𝑀 · 𝑇) · (𝑈 + 1))) ∈ ℝ)
226116adantl 475 . . . . 5 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → 𝑋 ∈ ℤ)
22753, 226rpexpcld 13353 . . . 4 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → ((𝑇𝑐𝑈)↑𝑋) ∈ ℝ+)
22859, 225, 227ledivmuld 12234 . . 3 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → ((((𝐹𝑁)↑𝑋) / ((𝑇𝑐𝑈)↑𝑋)) ≤ (𝑋 · ((𝑀 · 𝑇) · (𝑈 + 1))) ↔ ((𝐹𝑁)↑𝑋) ≤ (((𝑇𝑐𝑈)↑𝑋) · (𝑋 · ((𝑀 · 𝑇) · (𝑈 + 1))))))
229222, 228mpbird 249 . 2 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (((𝐹𝑁)↑𝑋) / ((𝑇𝑐𝑈)↑𝑋)) ≤ (𝑋 · ((𝑀 · 𝑇) · (𝑈 + 1))))
23057, 229eqbrtrd 4908 1 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (((𝐹𝑁) / (𝑇𝑐𝑈))↑𝑋) ≤ (𝑋 · ((𝑀 · 𝑇) · (𝑈 + 1))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 386   = wceq 1601  wcel 2107  ifcif 4307   class class class wbr 4886  cmpt 4965  cfv 6135  (class class class)co 6922  cc 10270  cr 10271  0cc0 10272  1c1 10273   + caddc 10275   · cmul 10277   < clt 10411  cle 10412  cmin 10606  -cneg 10607   / cdiv 11032  cn 11374  2c2 11430  0cn0 11642  cz 11728  cuz 11992  cq 12095  +crp 12137  ...cfz 12643  cfl 12910  cexp 13178  expce 15194  cprime 15790   pCnt cpc 15945  s cress 16256  AbsValcabv 19208  fldccnfld 20142  logclog 24738  𝑐ccxp 24739
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-inf2 8835  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349  ax-pre-sup 10350  ax-addf 10351  ax-mulf 10352
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-fal 1615  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-iin 4756  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-se 5315  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-isom 6144  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-of 7174  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-supp 7577  df-tpos 7634  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-2o 7844  df-oadd 7847  df-er 8026  df-map 8142  df-pm 8143  df-ixp 8195  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-fsupp 8564  df-fi 8605  df-sup 8636  df-inf 8637  df-oi 8704  df-card 9098  df-cda 9325  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-div 11033  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-4 11440  df-5 11441  df-6 11442  df-7 11443  df-8 11444  df-9 11445  df-n0 11643  df-z 11729  df-dec 11846  df-uz 11993  df-q 12096  df-rp 12138  df-xneg 12257  df-xadd 12258  df-xmul 12259  df-ioo 12491  df-ioc 12492  df-ico 12493  df-icc 12494  df-fz 12644  df-fzo 12785  df-fl 12912  df-mod 12988  df-seq 13120  df-exp 13179  df-fac 13379  df-bc 13408  df-hash 13436  df-shft 14214  df-cj 14246  df-re 14247  df-im 14248  df-sqrt 14382  df-abs 14383  df-limsup 14610  df-clim 14627  df-rlim 14628  df-sum 14825  df-ef 15200  df-sin 15202  df-cos 15203  df-pi 15205  df-struct 16257  df-ndx 16258  df-slot 16259  df-base 16261  df-sets 16262  df-ress 16263  df-plusg 16351  df-mulr 16352  df-starv 16353  df-sca 16354  df-vsca 16355  df-ip 16356  df-tset 16357  df-ple 16358  df-ds 16360  df-unif 16361  df-hom 16362  df-cco 16363  df-rest 16469  df-topn 16470  df-0g 16488  df-gsum 16489  df-topgen 16490  df-pt 16491  df-prds 16494  df-xrs 16548  df-qtop 16553  df-imas 16554  df-xps 16556  df-mre 16632  df-mrc 16633  df-acs 16635  df-mgm 17628  df-sgrp 17670  df-mnd 17681  df-submnd 17722  df-grp 17812  df-minusg 17813  df-mulg 17928  df-subg 17975  df-cntz 18133  df-cmn 18581  df-mgp 18877  df-ur 18889  df-ring 18936  df-cring 18937  df-oppr 19010  df-dvdsr 19028  df-unit 19029  df-invr 19059  df-dvr 19070  df-drng 19141  df-subrg 19170  df-abv 19209  df-psmet 20134  df-xmet 20135  df-met 20136  df-bl 20137  df-mopn 20138  df-fbas 20139  df-fg 20140  df-cnfld 20143  df-top 21106  df-topon 21123  df-topsp 21145  df-bases 21158  df-cld 21231  df-ntr 21232  df-cls 21233  df-nei 21310  df-lp 21348  df-perf 21349  df-cn 21439  df-cnp 21440  df-haus 21527  df-tx 21774  df-hmeo 21967  df-fil 22058  df-fm 22150  df-flim 22151  df-flf 22152  df-xms 22533  df-ms 22534  df-tms 22535  df-cncf 23089  df-limc 24067  df-dv 24068  df-log 24740  df-cxp 24741
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