MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ostth1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ostth1 26369
Description: - Lemma for ostth 26375: trivial case. (Not that the proof is trivial, but that we are proving that the function is trivial.) If 𝐹 is equal to 1 on the primes, then by complete induction and the multiplicative property abvmul 19719 of the absolute value, 𝐹 is equal to 1 on all the integers, and ostthlem1 26363 extends this to the other rational numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
qrng.q 𝑄 = (ℂflds ℚ)
qabsabv.a 𝐴 = (AbsVal‘𝑄)
padic.j 𝐽 = (𝑞 ∈ ℙ ↦ (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, (𝑞↑-(𝑞 pCnt 𝑥)))))
ostth.k 𝐾 = (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, 1))
ostth.1 (𝜑𝐹𝐴)
ostth1.2 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹𝑛))
ostth1.3 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℙ ¬ (𝐹𝑛) < 1)
Assertion
Ref Expression
ostth1 (𝜑𝐹 = 𝐾)
Distinct variable groups:   𝑛,𝐾   𝑥,𝑛,𝑞,𝜑   𝐴,𝑛,𝑞,𝑥   𝑄,𝑛,𝑥   𝑛,𝐹,𝑞,𝑥
Allowed substitution hints:   𝑄(𝑞)   𝐽(𝑥,𝑛,𝑞)   𝐾(𝑥,𝑞)

Proof of Theorem ostth1
StepHypRef Expression
1 qrng.q . 2 𝑄 = (ℂflds ℚ)
2 qabsabv.a . 2 𝐴 = (AbsVal‘𝑄)
3 ostth.1 . 2 (𝜑𝐹𝐴)
41qdrng 26356 . . 3 𝑄 ∈ DivRing
51qrngbas 26355 . . . 4 ℚ = (Base‘𝑄)
61qrng0 26357 . . . 4 0 = (0g𝑄)
7 ostth.k . . . 4 𝐾 = (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, 1))
82, 5, 6, 7abvtriv 19731 . . 3 (𝑄 ∈ DivRing → 𝐾𝐴)
94, 8mp1i 13 . 2 (𝜑𝐾𝐴)
10 ostth1.3 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℙ ¬ (𝐹𝑛) < 1)
1110r19.21bi 3121 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℙ) → ¬ (𝐹𝑛) < 1)
12 prmnn 16115 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℙ → 𝑛 ∈ ℕ)
13 ostth1.2 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹𝑛))
1413r19.21bi 3121 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ¬ 1 < (𝐹𝑛))
1512, 14sylan2 596 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℙ) → ¬ 1 < (𝐹𝑛))
16 nnq 12444 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℚ)
1712, 16syl 17 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℙ → 𝑛 ∈ ℚ)
182, 5abvcl 19714 . . . . . 6 ((𝐹𝐴𝑛 ∈ ℚ) → (𝐹𝑛) ∈ ℝ)
193, 17, 18syl2an 599 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℙ) → (𝐹𝑛) ∈ ℝ)
20 1re 10719 . . . . 5 1 ∈ ℝ
21 lttri3 10802 . . . . 5 (((𝐹𝑛) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑛) = 1 ↔ (¬ (𝐹𝑛) < 1 ∧ ¬ 1 < (𝐹𝑛))))
2219, 20, 21sylancl 589 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℙ) → ((𝐹𝑛) = 1 ↔ (¬ (𝐹𝑛) < 1 ∧ ¬ 1 < (𝐹𝑛))))
2311, 15, 22mpbir2and 713 . . 3 ((𝜑𝑛 ∈ ℙ) → (𝐹𝑛) = 1)
2412adantl 485 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℙ) → 𝑛 ∈ ℕ)
25 eqeq1 2742 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑛 → (𝑥 = 0 ↔ 𝑛 = 0))
2625ifbid 4437 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑛 → if(𝑥 = 0, 0, 1) = if(𝑛 = 0, 0, 1))
27 c0ex 10713 . . . . . . . 8 0 ∈ V
28 1ex 10715 . . . . . . . 8 1 ∈ V
2927, 28ifex 4464 . . . . . . 7 if(𝑛 = 0, 0, 1) ∈ V
3026, 7, 29fvmpt 6775 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℚ → (𝐾𝑛) = if(𝑛 = 0, 0, 1))
3116, 30syl 17 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ → (𝐾𝑛) = if(𝑛 = 0, 0, 1))
32 nnne0 11750 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ≠ 0)
3332neneqd 2939 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ → ¬ 𝑛 = 0)
3433iffalsed 4425 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ → if(𝑛 = 0, 0, 1) = 1)
3531, 34eqtrd 2773 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ → (𝐾𝑛) = 1)
3624, 35syl 17 . . 3 ((𝜑𝑛 ∈ ℙ) → (𝐾𝑛) = 1)
3723, 36eqtr4d 2776 . 2 ((𝜑𝑛 ∈ ℙ) → (𝐹𝑛) = (𝐾𝑛))
381, 2, 3, 9, 37ostthlem2 26364 1 (𝜑𝐹 = 𝐾)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1542  wcel 2114  wral 3053  ifcif 4414   class class class wbr 5030  cmpt 5110  cfv 6339  (class class class)co 7170  cr 10614  0cc0 10615  1c1 10616   < clt 10753  -cneg 10949  cn 11716  cq 12430  cexp 13521  cprime 16112   pCnt cpc 16273  s cress 16587  DivRingcdr 19621  AbsValcabv 19706  fldccnfld 20217
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-cnex 10671  ax-resscn 10672  ax-1cn 10673  ax-icn 10674  ax-addcl 10675  ax-addrcl 10676  ax-mulcl 10677  ax-mulrcl 10678  ax-mulcom 10679  ax-addass 10680  ax-mulass 10681  ax-distr 10682  ax-i2m1 10683  ax-1ne0 10684  ax-1rid 10685  ax-rnegex 10686  ax-rrecex 10687  ax-cnre 10688  ax-pre-lttri 10689  ax-pre-lttrn 10690  ax-pre-ltadd 10691  ax-pre-mulgt0 10692  ax-pre-sup 10693  ax-addf 10694  ax-mulf 10695
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7127  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-om 7600  df-1st 7714  df-2nd 7715  df-tpos 7921  df-wrecs 7976  df-recs 8037  df-rdg 8075  df-1o 8131  df-2o 8132  df-er 8320  df-map 8439  df-en 8556  df-dom 8557  df-sdom 8558  df-fin 8559  df-sup 8979  df-pnf 10755  df-mnf 10756  df-xr 10757  df-ltxr 10758  df-le 10759  df-sub 10950  df-neg 10951  df-div 11376  df-nn 11717  df-2 11779  df-3 11780  df-4 11781  df-5 11782  df-6 11783  df-7 11784  df-8 11785  df-9 11786  df-n0 11977  df-z 12063  df-dec 12180  df-uz 12325  df-q 12431  df-rp 12473  df-ico 12827  df-fz 12982  df-seq 13461  df-exp 13522  df-cj 14548  df-re 14549  df-im 14550  df-sqrt 14684  df-abs 14685  df-dvds 15700  df-prm 16113  df-struct 16588  df-ndx 16589  df-slot 16590  df-base 16592  df-sets 16593  df-ress 16594  df-plusg 16681  df-mulr 16682  df-starv 16683  df-tset 16687  df-ple 16688  df-ds 16690  df-unif 16691  df-0g 16818  df-mgm 17968  df-sgrp 18017  df-mnd 18028  df-grp 18222  df-minusg 18223  df-subg 18394  df-cmn 19026  df-mgp 19359  df-ur 19371  df-ring 19418  df-cring 19419  df-oppr 19495  df-dvdsr 19513  df-unit 19514  df-invr 19544  df-dvr 19555  df-drng 19623  df-subrg 19652  df-abv 19707  df-cnfld 20218
This theorem is referenced by:  ostth  26375
  Copyright terms: Public domain W3C validator