MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ostth1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ostth1 26781
Description: - Lemma for ostth 26787: trivial case. (Not that the proof is trivial, but that we are proving that the function is trivial.) If 𝐹 is equal to 1 on the primes, then by complete induction and the multiplicative property abvmul 20089 of the absolute value, 𝐹 is equal to 1 on all the integers, and ostthlem1 26775 extends this to the other rational numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
qrng.q 𝑄 = (ℂflds ℚ)
qabsabv.a 𝐴 = (AbsVal‘𝑄)
padic.j 𝐽 = (𝑞 ∈ ℙ ↦ (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, (𝑞↑-(𝑞 pCnt 𝑥)))))
ostth.k 𝐾 = (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, 1))
ostth.1 (𝜑𝐹𝐴)
ostth1.2 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹𝑛))
ostth1.3 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℙ ¬ (𝐹𝑛) < 1)
Assertion
Ref Expression
ostth1 (𝜑𝐹 = 𝐾)
Distinct variable groups:   𝑛,𝐾   𝑥,𝑛,𝑞,𝜑   𝐴,𝑛,𝑞,𝑥   𝑄,𝑛,𝑥   𝑛,𝐹,𝑞,𝑥
Allowed substitution hints:   𝑄(𝑞)   𝐽(𝑥,𝑛,𝑞)   𝐾(𝑥,𝑞)

Proof of Theorem ostth1
StepHypRef Expression
1 qrng.q . 2 𝑄 = (ℂflds ℚ)
2 qabsabv.a . 2 𝐴 = (AbsVal‘𝑄)
3 ostth.1 . 2 (𝜑𝐹𝐴)
41qdrng 26768 . . 3 𝑄 ∈ DivRing
51qrngbas 26767 . . . 4 ℚ = (Base‘𝑄)
61qrng0 26769 . . . 4 0 = (0g𝑄)
7 ostth.k . . . 4 𝐾 = (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, 1))
82, 5, 6, 7abvtriv 20101 . . 3 (𝑄 ∈ DivRing → 𝐾𝐴)
94, 8mp1i 13 . 2 (𝜑𝐾𝐴)
10 ostth1.3 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℙ ¬ (𝐹𝑛) < 1)
1110r19.21bi 3134 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℙ) → ¬ (𝐹𝑛) < 1)
12 prmnn 16379 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℙ → 𝑛 ∈ ℕ)
13 ostth1.2 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹𝑛))
1413r19.21bi 3134 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ¬ 1 < (𝐹𝑛))
1512, 14sylan2 593 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℙ) → ¬ 1 < (𝐹𝑛))
16 nnq 12702 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℚ)
1712, 16syl 17 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℙ → 𝑛 ∈ ℚ)
182, 5abvcl 20084 . . . . . 6 ((𝐹𝐴𝑛 ∈ ℚ) → (𝐹𝑛) ∈ ℝ)
193, 17, 18syl2an 596 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℙ) → (𝐹𝑛) ∈ ℝ)
20 1re 10975 . . . . 5 1 ∈ ℝ
21 lttri3 11058 . . . . 5 (((𝐹𝑛) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑛) = 1 ↔ (¬ (𝐹𝑛) < 1 ∧ ¬ 1 < (𝐹𝑛))))
2219, 20, 21sylancl 586 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℙ) → ((𝐹𝑛) = 1 ↔ (¬ (𝐹𝑛) < 1 ∧ ¬ 1 < (𝐹𝑛))))
2311, 15, 22mpbir2and 710 . . 3 ((𝜑𝑛 ∈ ℙ) → (𝐹𝑛) = 1)
2412adantl 482 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℙ) → 𝑛 ∈ ℕ)
25 eqeq1 2742 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑛 → (𝑥 = 0 ↔ 𝑛 = 0))
2625ifbid 4482 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑛 → if(𝑥 = 0, 0, 1) = if(𝑛 = 0, 0, 1))
27 c0ex 10969 . . . . . . . 8 0 ∈ V
28 1ex 10971 . . . . . . . 8 1 ∈ V
2927, 28ifex 4509 . . . . . . 7 if(𝑛 = 0, 0, 1) ∈ V
3026, 7, 29fvmpt 6875 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℚ → (𝐾𝑛) = if(𝑛 = 0, 0, 1))
3116, 30syl 17 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ → (𝐾𝑛) = if(𝑛 = 0, 0, 1))
32 nnne0 12007 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ≠ 0)
3332neneqd 2948 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ → ¬ 𝑛 = 0)
3433iffalsed 4470 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ → if(𝑛 = 0, 0, 1) = 1)
3531, 34eqtrd 2778 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ → (𝐾𝑛) = 1)
3624, 35syl 17 . . 3 ((𝜑𝑛 ∈ ℙ) → (𝐾𝑛) = 1)
3723, 36eqtr4d 2781 . 2 ((𝜑𝑛 ∈ ℙ) → (𝐹𝑛) = (𝐾𝑛))
381, 2, 3, 9, 37ostthlem2 26776 1 (𝜑𝐹 = 𝐾)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1539  wcel 2106  wral 3064  ifcif 4459   class class class wbr 5074  cmpt 5157  cfv 6433  (class class class)co 7275  cr 10870  0cc0 10871  1c1 10872   < clt 11009  -cneg 11206  cn 11973  cq 12688  cexp 13782  cprime 16376   pCnt cpc 16537  s cress 16941  DivRingcdr 19991  AbsValcabv 20076  fldccnfld 20597
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949  ax-addf 10950  ax-mulf 10951
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-tpos 8042  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-2o 8298  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-sup 9201  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-q 12689  df-rp 12731  df-ico 13085  df-fz 13240  df-seq 13722  df-exp 13783  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-dvds 15964  df-prm 16377  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-starv 16977  df-tset 16981  df-ple 16982  df-ds 16984  df-unif 16985  df-0g 17152  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-subg 18752  df-cmn 19388  df-mgp 19721  df-ur 19738  df-ring 19785  df-cring 19786  df-oppr 19862  df-dvdsr 19883  df-unit 19884  df-invr 19914  df-dvr 19925  df-drng 19993  df-subrg 20022  df-abv 20077  df-cnfld 20598
This theorem is referenced by:  ostth  26787
  Copyright terms: Public domain W3C validator