Theorem ostth1 27520

Description: - Lemma for ostth 27526: trivial case. (Not that the proof is trivial, but that we are proving that the function is trivial.) If 𝐹 is equal to 1 on the primes, then by complete induction and the multiplicative property abvmul 20706 of the absolute value, 𝐹 is equal to 1 on all the integers, and ostthlem1 27514 extends this to the other rational numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
qrng.q	⊢ 𝑄 = (ℂfld ↾s ℚ)
qabsabv.a	⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑄)
padic.j	⊢ 𝐽 = (𝑞 ∈ ℙ ↦ (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, (𝑞↑-(𝑞 pCnt 𝑥)))))
ostth.k	⊢ 𝐾 = (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, 1))
ostth.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐴)
ostth1.2	⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹‘𝑛))
ostth1.3	⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℙ ¬ (𝐹‘𝑛) < 1)

Assertion

Ref	Expression
ostth1	⊢ (𝜑 → 𝐹 = 𝐾)

Distinct variable groups:   𝑛,𝐾   𝑥,𝑛,𝑞,𝜑   𝐴,𝑛,𝑞,𝑥   𝑄,𝑛,𝑥   𝑛,𝐹,𝑞,𝑥

Allowed substitution hints:   𝑄(𝑞)   𝐽(𝑥,𝑛,𝑞)   𝐾(𝑥,𝑞)

Proof of Theorem ostth1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qrng.q	. 2 ⊢ 𝑄 = (ℂfld ↾s ℚ)
2		qabsabv.a	. 2 ⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑄)
3		ostth.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐴)
4	1	qdrng 27507	. . 3 ⊢ 𝑄 ∈ DivRing
5	1	qrngbas 27506	. . . 4 ⊢ ℚ = (Base‘𝑄)
6	1	qrng0 27508	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑄)
7		ostth.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, 1))
8	2, 5, 6, 7	abvtriv 20719	. . 3 ⊢ (𝑄 ∈ DivRing → 𝐾 ∈ 𝐴)
9	4, 8	mp1i 13	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝐴)
10		ostth1.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℙ ¬ (𝐹‘𝑛) < 1)
11	10	r19.21bi 3227	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℙ) → ¬ (𝐹‘𝑛) < 1)
12		prmnn 16620	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℙ → 𝑛 ∈ ℕ)
13		ostth1.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹‘𝑛))
14	13	r19.21bi 3227	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ¬ 1 < (𝐹‘𝑛))
15	12, 14	sylan2 593	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℙ) → ¬ 1 < (𝐹‘𝑛))
16		nnq 12897	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℚ)
17	12, 16	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℙ → 𝑛 ∈ ℚ)
18	2, 5	abvcl 20701	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑛 ∈ ℚ) → (𝐹‘𝑛) ∈ ℝ)
19	3, 17, 18	syl2an 596	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℙ) → (𝐹‘𝑛) ∈ ℝ)
20		1re 11150	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
21		lttri3 11233	. . . . 5 ⊢ (((𝐹‘𝑛) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑛) = 1 ↔ (¬ (𝐹‘𝑛) < 1 ∧ ¬ 1 < (𝐹‘𝑛))))
22	19, 20, 21	sylancl 586	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℙ) → ((𝐹‘𝑛) = 1 ↔ (¬ (𝐹‘𝑛) < 1 ∧ ¬ 1 < (𝐹‘𝑛))))
23	11, 15, 22	mpbir2and 713	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℙ) → (𝐹‘𝑛) = 1)
24	12	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℙ) → 𝑛 ∈ ℕ)
25		eqeq1 2733	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → (𝑥 = 0 ↔ 𝑛 = 0))
26	25	ifbid 4508	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → if(𝑥 = 0, 0, 1) = if(𝑛 = 0, 0, 1))
27		c0ex 11144	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ V
28		1ex 11146	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ V
29	27, 28	ifex 4535	. . . . . . 7 ⊢ if(𝑛 = 0, 0, 1) ∈ V
30	26, 7, 29	fvmpt 6950	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℚ → (𝐾‘𝑛) = if(𝑛 = 0, 0, 1))
31	16, 30	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝐾‘𝑛) = if(𝑛 = 0, 0, 1))
32		nnne0 12196	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ≠ 0)
33	32	neneqd 2930	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ¬ 𝑛 = 0)
34	33	iffalsed 4495	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → if(𝑛 = 0, 0, 1) = 1)
35	31, 34	eqtrd 2764	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝐾‘𝑛) = 1)
36	24, 35	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℙ) → (𝐾‘𝑛) = 1)
37	23, 36	eqtr4d 2767	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℙ) → (𝐹‘𝑛) = (𝐾‘𝑛))
38	1, 2, 3, 9, 37	ostthlem2 27515	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = 𝐾)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  ifcif 4484   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5183  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  ℝcr 11043  0cc0 11044  1c1 11045   < clt 11184  -cneg 11382  ℕcn 12162  ℚcq 12883  ↑cexp 14002  ℙcprime 16617   pCnt cpc 16783   ↾_s cress 17176  DivRingcdr 20614  AbsValcabv 20693  ℂ_fldccnfld 21240

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-pre-sup 11122  ax-addf 11123  ax-mulf 11124

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-tpos 8182  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-2o 8412  df-er 8648  df-map 8778  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-sup 9369  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-9 12232  df-n0 12419  df-z 12506  df-dec 12626  df-uz 12770  df-q 12884  df-rp 12928  df-ico 13288  df-fz 13445  df-seq 13943  df-exp 14003  df-cj 15041  df-re 15042  df-im 15043  df-sqrt 15177  df-abs 15178  df-dvds 16199  df-prm 16618  df-struct 17093  df-sets 17110  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-ress 17177  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-0g 17380  df-mgm 18543  df-sgrp 18622  df-mnd 18638  df-grp 18844  df-minusg 18845  df-subg 19031  df-cmn 19688  df-abl 19689  df-mgp 20026  df-rng 20038  df-ur 20067  df-ring 20120  df-cring 20121  df-oppr 20222  df-dvdsr 20242  df-unit 20243  df-invr 20273  df-dvr 20286  df-nzr 20398  df-subrng 20431  df-subrg 20455  df-rlreg 20579  df-domn 20580  df-drng 20616  df-abv 20694  df-cnfld 21241

This theorem is referenced by:  ostth  27526