Theorem ostth1 25736

Description: - Lemma for ostth 25742: trivial case. (Not that the proof is trivial, but that we are proving that the function is trivial.) If 𝐹 is equal to 1 on the primes, then by complete induction and the multiplicative property abvmul 19186 of the absolute value, 𝐹 is equal to 1 on all the integers, and ostthlem1 25730 extends this to the other rational numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
qrng.q	⊢ 𝑄 = (ℂfld ↾s ℚ)
qabsabv.a	⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑄)
padic.j	⊢ 𝐽 = (𝑞 ∈ ℙ ↦ (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, (𝑞↑-(𝑞 pCnt 𝑥)))))
ostth.k	⊢ 𝐾 = (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, 1))
ostth.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐴)
ostth1.2	⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹‘𝑛))
ostth1.3	⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℙ ¬ (𝐹‘𝑛) < 1)

Assertion

Ref	Expression
ostth1	⊢ (𝜑 → 𝐹 = 𝐾)

Distinct variable groups:   𝑛,𝐾   𝑥,𝑛,𝑞,𝜑   𝐴,𝑛,𝑞,𝑥   𝑄,𝑛,𝑥   𝑛,𝐹,𝑞,𝑥

Allowed substitution hints:   𝑄(𝑞)   𝐽(𝑥,𝑛,𝑞)   𝐾(𝑥,𝑞)

Proof of Theorem ostth1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qrng.q	. 2 ⊢ 𝑄 = (ℂfld ↾s ℚ)
2		qabsabv.a	. 2 ⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑄)
3		ostth.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐴)
4	1	qdrng 25723	. . 3 ⊢ 𝑄 ∈ DivRing
5	1	qrngbas 25722	. . . 4 ⊢ ℚ = (Base‘𝑄)
6	1	qrng0 25724	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑄)
7		ostth.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, 1))
8	2, 5, 6, 7	abvtriv 19198	. . 3 ⊢ (𝑄 ∈ DivRing → 𝐾 ∈ 𝐴)
9	4, 8	mp1i 13	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝐴)
10		ostth1.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℙ ¬ (𝐹‘𝑛) < 1)
11	10	r19.21bi 3142	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℙ) → ¬ (𝐹‘𝑛) < 1)
12		prmnn 15761	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℙ → 𝑛 ∈ ℕ)
13		ostth1.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹‘𝑛))
14	13	r19.21bi 3142	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ¬ 1 < (𝐹‘𝑛))
15	12, 14	sylan2 588	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℙ) → ¬ 1 < (𝐹‘𝑛))
16		nnq 12085	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℚ)
17	12, 16	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℙ → 𝑛 ∈ ℚ)
18	2, 5	abvcl 19181	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑛 ∈ ℚ) → (𝐹‘𝑛) ∈ ℝ)
19	3, 17, 18	syl2an 591	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℙ) → (𝐹‘𝑛) ∈ ℝ)
20		1re 10357	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
21		lttri3 10441	. . . . 5 ⊢ (((𝐹‘𝑛) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑛) = 1 ↔ (¬ (𝐹‘𝑛) < 1 ∧ ¬ 1 < (𝐹‘𝑛))))
22	19, 20, 21	sylancl 582	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℙ) → ((𝐹‘𝑛) = 1 ↔ (¬ (𝐹‘𝑛) < 1 ∧ ¬ 1 < (𝐹‘𝑛))))
23	11, 15, 22	mpbir2and 706	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℙ) → (𝐹‘𝑛) = 1)
24	12	adantl 475	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℙ) → 𝑛 ∈ ℕ)
25		eqeq1 2830	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → (𝑥 = 0 ↔ 𝑛 = 0))
26	25	ifbid 4329	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → if(𝑥 = 0, 0, 1) = if(𝑛 = 0, 0, 1))
27		c0ex 10351	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ V
28		1ex 10353	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ V
29	27, 28	ifex 4355	. . . . . . 7 ⊢ if(𝑛 = 0, 0, 1) ∈ V
30	26, 7, 29	fvmpt 6530	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℚ → (𝐾‘𝑛) = if(𝑛 = 0, 0, 1))
31	16, 30	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝐾‘𝑛) = if(𝑛 = 0, 0, 1))
32		nnne0 11387	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ≠ 0)
33	32	neneqd 3005	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ¬ 𝑛 = 0)
34	33	iffalsed 4318	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → if(𝑛 = 0, 0, 1) = 1)
35	31, 34	eqtrd 2862	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝐾‘𝑛) = 1)
36	24, 35	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℙ) → (𝐾‘𝑛) = 1)
37	23, 36	eqtr4d 2865	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℙ) → (𝐹‘𝑛) = (𝐾‘𝑛))
38	1, 2, 3, 9, 37	ostthlem2 25731	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = 𝐾)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   = wceq 1658   ∈ wcel 2166  ∀wral 3118  ifcif 4307   class class class wbr 4874   ↦ cmpt 4953  ‘cfv 6124  (class class class)co 6906  ℝcr 10252  0cc0 10253  1c1 10254   < clt 10392  -cneg 10587  ℕcn 11351  ℚcq 12072  ↑cexp 13155  ℙcprime 15758   pCnt cpc 15913   ↾_s cress 16224  DivRingcdr 19104  AbsValcabv 19173  ℂ_fldccnfld 20107

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2804  ax-rep 4995  ax-sep 5006  ax-nul 5014  ax-pow 5066  ax-pr 5128  ax-un 7210  ax-cnex 10309  ax-resscn 10310  ax-1cn 10311  ax-icn 10312  ax-addcl 10313  ax-addrcl 10314  ax-mulcl 10315  ax-mulrcl 10316  ax-mulcom 10317  ax-addass 10318  ax-mulass 10319  ax-distr 10320  ax-i2m1 10321  ax-1ne0 10322  ax-1rid 10323  ax-rnegex 10324  ax-rrecex 10325  ax-cnre 10326  ax-pre-lttri 10327  ax-pre-lttrn 10328  ax-pre-ltadd 10329  ax-pre-mulgt0 10330  ax-pre-sup 10331  ax-addf 10332  ax-mulf 10333

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2606  df-eu 2641  df-clab 2813  df-cleq 2819  df-clel 2822  df-nfc 2959  df-ne 3001  df-nel 3104  df-ral 3123  df-rex 3124  df-reu 3125  df-rmo 3126  df-rab 3127  df-v 3417  df-sbc 3664  df-csb 3759  df-dif 3802  df-un 3804  df-in 3806  df-ss 3813  df-pss 3815  df-nul 4146  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4660  df-int 4699  df-iun 4743  df-br 4875  df-opab 4937  df-mpt 4954  df-tr 4977  df-id 5251  df-eprel 5256  df-po 5264  df-so 5265  df-fr 5302  df-we 5304  df-xp 5349  df-rel 5350  df-cnv 5351  df-co 5352  df-dm 5353  df-rn 5354  df-res 5355  df-ima 5356  df-pred 5921  df-ord 5967  df-on 5968  df-lim 5969  df-suc 5970  df-iota 6087  df-fun 6126  df-fn 6127  df-f 6128  df-f1 6129  df-fo 6130  df-f1o 6131  df-fv 6132  df-riota 6867  df-ov 6909  df-oprab 6910  df-mpt2 6911  df-om 7328  df-1st 7429  df-2nd 7430  df-tpos 7618  df-wrecs 7673  df-recs 7735  df-rdg 7773  df-1o 7827  df-2o 7828  df-oadd 7831  df-er 8010  df-map 8125  df-en 8224  df-dom 8225  df-sdom 8226  df-fin 8227  df-sup 8618  df-pnf 10394  df-mnf 10395  df-xr 10396  df-ltxr 10397  df-le 10398  df-sub 10588  df-neg 10589  df-div 11011  df-nn 11352  df-2 11415  df-3 11416  df-4 11417  df-5 11418  df-6 11419  df-7 11420  df-8 11421  df-9 11422  df-n0 11620  df-z 11706  df-dec 11823  df-uz 11970  df-q 12073  df-rp 12114  df-ico 12470  df-fz 12621  df-seq 13097  df-exp 13156  df-cj 14217  df-re 14218  df-im 14219  df-sqrt 14353  df-abs 14354  df-dvds 15359  df-prm 15759  df-struct 16225  df-ndx 16226  df-slot 16227  df-base 16229  df-sets 16230  df-ress 16231  df-plusg 16319  df-mulr 16320  df-starv 16321  df-tset 16325  df-ple 16326  df-ds 16328  df-unif 16329  df-0g 16456  df-mgm 17596  df-sgrp 17638  df-mnd 17649  df-grp 17780  df-minusg 17781  df-subg 17943  df-cmn 18549  df-mgp 18845  df-ur 18857  df-ring 18904  df-cring 18905  df-oppr 18978  df-dvdsr 18996  df-unit 18997  df-invr 19027  df-dvr 19038  df-drng 19106  df-subrg 19135  df-abv 19174  df-cnfld 20108

This theorem is referenced by:  ostth  25742