Theorem ostth1 27848

Description: - Lemma for ostth 27854: trivial case. (Not that the proof is trivial, but that we are proving that the function is trivial.) If 𝐹 is equal to 1 on the primes, then by complete induction and the multiplicative property abvmul 20974 of the absolute value, 𝐹 is equal to 1 on all the integers, and ostthlem1 27842 extends this to the other rational numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
qrng.q	⊢ 𝑄 = (ℂfld ↾s ℚ)
qabsabv.a	⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑄)
padic.j	⊢ 𝐽 = (𝑞 ∈ ℙ ↦ (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, (𝑞↑-(𝑞 pCnt 𝑥)))))
ostth.k	⊢ 𝐾 = (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, 1))
ostth.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐴)
ostth1.2	⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹‘𝑛))
ostth1.3	⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℙ ¬ (𝐹‘𝑛) < 1)

Assertion

Ref	Expression
ostth1	⊢ (𝜑 → 𝐹 = 𝐾)

Distinct variable groups:   𝑛,𝐾   𝑥,𝑛,𝑞,𝜑   𝐴,𝑛,𝑞,𝑥   𝑄,𝑛,𝑥   𝑛,𝐹,𝑞,𝑥

Allowed substitution hints:   𝑄(𝑞)   𝐽(𝑥, 𝑛, 𝑞)   𝐾(𝑥, 𝑞)

Proof of Theorem ostth1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qrng.q	. 2 ⊢ 𝑄 = (ℂfld ↾s ℚ)
2		qabsabv.a	. 2 ⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑄)
3		ostth.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐴)
4	1	qdrng 27835	. . 3 ⊢ 𝑄 ∈ DivRing
5	1	qrngbas 27834	. . . 4 ⊢ ℚ = (Base‘𝑄)
6	1	qrng0 27836	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑄)
7		ostth.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, 1))
8	2, 5, 6, 7	abvtriv 20987	. . 3 ⊢ (𝑄 ∈ DivRing → 𝐾 ∈ 𝐴)
9	4, 8	mp1i 14	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝐴)
10		ostth1.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℙ ¬ (𝐹‘𝑛) < 1)
11	10	r19.21bi 3259	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℙ) → ¬ (𝐹‘𝑛) < 1)
12		prmnn 16754	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℙ → 𝑛 ∈ ℕ)
13		ostth1.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹‘𝑛))
14	13	r19.21bi 3259	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ¬ 1 < (𝐹‘𝑛))
15	12, 14	sylan2 605	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℙ) → ¬ 1 < (𝐹‘𝑛))
16		nnq 13002	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℚ)
17	12, 16	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℙ → 𝑛 ∈ ℚ)
18	2, 5	abvcl 20969	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑛 ∈ ℚ) → (𝐹‘𝑛) ∈ ℝ)
19	3, 17, 18	syl2an 608	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℙ) → (𝐹‘𝑛) ∈ ℝ)
20		1re 11223	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
21		lttri3 11308	. . . . 5 ⊢ (((𝐹‘𝑛) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑛) = 1 ↔ (¬ (𝐹‘𝑛) < 1 ∧ ¬ 1 < (𝐹‘𝑛))))
22	19, 20, 21	sylancl 598	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℙ) → ((𝐹‘𝑛) = 1 ↔ (¬ (𝐹‘𝑛) < 1 ∧ ¬ 1 < (𝐹‘𝑛))))
23	11, 15, 22	mpbir2and 726	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℙ) → (𝐹‘𝑛) = 1)
24	12	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℙ) → 𝑛 ∈ ℕ)
25		eqeq1 2769	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → (𝑥 = 0 ↔ 𝑛 = 0))
26	25	ifbid 4513	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → if(𝑥 = 0, 0, 1) = if(𝑛 = 0, 0, 1))
27		c0ex 11215	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ V
28		1ex 11218	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ V
29	27, 28	ifex 4540	. . . . . . 7 ⊢ if(𝑛 = 0, 0, 1) ∈ V
30	26, 7, 29	fvmpt 6993	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℚ → (𝐾‘𝑛) = if(𝑛 = 0, 0, 1))
31	16, 30	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝐾‘𝑛) = if(𝑛 = 0, 0, 1))
32		nnne0 12285	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ≠ 0)
33	32	neneqd 2965	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ¬ 𝑛 = 0)
34	33	iffalsed 4500	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → if(𝑛 = 0, 0, 1) = 1)
35	31, 34	eqtrd 2800	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝐾‘𝑛) = 1)
36	24, 35	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℙ) → (𝐾‘𝑛) = 1)
37	23, 36	eqtr4d 2803	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℙ) → (𝐹‘𝑛) = (𝐾‘𝑛))
38	1, 2, 3, 9, 37	ostthlem2 27843	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = 𝐾)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∀wral 3081  ifcif 4489   class class class wbr 5111   ↦ cmpt 5194  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  ℝcr 11114  0cc0 11115  1c1 11116   < clt 11258  -cneg 11457  ℕcn 12248  ℚcq 12988  ↑cexp 14115  ℙcprime 16751   pCnt cpc 16918   ↾_s cress 17312  DivRingcdr 20877  AbsValcabv 20961  ℂ_fldccnfld 21572

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11171  ax-resscn 11172  ax-1cn 11173  ax-icn 11174  ax-addcl 11175  ax-addrcl 11176  ax-mulcl 11177  ax-mulrcl 11178  ax-mulcom 11179  ax-addass 11180  ax-mulass 11181  ax-distr 11182  ax-i2m1 11183  ax-1ne0 11184  ax-1rid 11185  ax-rnegex 11186  ax-rrecex 11187  ax-cnre 11188  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-lttrn 11190  ax-pre-ltadd 11191  ax-pre-mulgt0 11192  ax-pre-sup 11193  ax-addf 11194  ax-mulf 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-tpos 8228  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-er 8700  df-map 8832  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-sup 9409  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-xr 11262  df-ltxr 11263  df-le 11264  df-sub 11458  df-neg 11459  df-div 11887  df-nn 12249  df-2 12318  df-3 12319  df-4 12320  df-5 12321  df-6 12322  df-7 12323  df-8 12324  df-9 12325  df-n0 12520  df-z 12607  df-dec 12728  df-uz 12879  df-q 12989  df-rp 13033  df-ico 13394  df-fz 13552  df-seq 14056  df-exp 14116  df-cj 15174  df-re 15175  df-im 15176  df-sqrt 15310  df-abs 15311  df-dvds 16333  df-prm 16752  df-struct 17229  df-sets 17246  df-slot 17264  df-ndx 17276  df-base 17292  df-ress 17313  df-plusg 17345  df-mulr 17346  df-starv 17347  df-tset 17351  df-ple 17352  df-ds 17354  df-unif 17355  df-0g 17516  df-mgm 18720  df-sgrp 18809  df-mnd 18825  df-grp 19047  df-minusg 19048  df-subg 19233  df-cmn 19896  df-abl 19897  df-mgp 20261  df-rng 20275  df-ur 20308  df-ring 20361  df-cring 20362  df-oppr 20465  df-dvdsr 20485  df-unit 20486  df-invr 20516  df-dvr 20529  df-nzr 20660  df-subrng 20695  df-subrg 20719  df-rlreg 20843  df-domn 20844  df-drng 20879  df-abv 20962  df-cnfld 21573

This theorem is used by:  ostth  27854