MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ostth1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ostth1 27004
Description: - Lemma for ostth 27010: trivial case. (Not that the proof is trivial, but that we are proving that the function is trivial.) If 𝐹 is equal to 1 on the primes, then by complete induction and the multiplicative property abvmul 20331 of the absolute value, 𝐹 is equal to 1 on all the integers, and ostthlem1 26998 extends this to the other rational numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
qrng.q 𝑄 = (β„‚fld β†Ύs β„š)
qabsabv.a 𝐴 = (AbsValβ€˜π‘„)
padic.j 𝐽 = (π‘ž ∈ β„™ ↦ (π‘₯ ∈ β„š ↦ if(π‘₯ = 0, 0, (π‘žβ†‘-(π‘ž pCnt π‘₯)))))
ostth.k 𝐾 = (π‘₯ ∈ β„š ↦ if(π‘₯ = 0, 0, 1))
ostth.1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐴)
ostth1.2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘› ∈ β„• Β¬ 1 < (πΉβ€˜π‘›))
ostth1.3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘› ∈ β„™ Β¬ (πΉβ€˜π‘›) < 1)
Assertion
Ref Expression
ostth1 (πœ‘ β†’ 𝐹 = 𝐾)
Distinct variable groups:   𝑛,𝐾   π‘₯,𝑛,π‘ž,πœ‘   𝐴,𝑛,π‘ž,π‘₯   𝑄,𝑛,π‘₯   𝑛,𝐹,π‘ž,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝑄(π‘ž)   𝐽(π‘₯,𝑛,π‘ž)   𝐾(π‘₯,π‘ž)

Proof of Theorem ostth1
StepHypRef Expression
1 qrng.q . 2 𝑄 = (β„‚fld β†Ύs β„š)
2 qabsabv.a . 2 𝐴 = (AbsValβ€˜π‘„)
3 ostth.1 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐴)
41qdrng 26991 . . 3 𝑄 ∈ DivRing
51qrngbas 26990 . . . 4 β„š = (Baseβ€˜π‘„)
61qrng0 26992 . . . 4 0 = (0gβ€˜π‘„)
7 ostth.k . . . 4 𝐾 = (π‘₯ ∈ β„š ↦ if(π‘₯ = 0, 0, 1))
82, 5, 6, 7abvtriv 20343 . . 3 (𝑄 ∈ DivRing β†’ 𝐾 ∈ 𝐴)
94, 8mp1i 13 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ 𝐴)
10 ostth1.3 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘› ∈ β„™ Β¬ (πΉβ€˜π‘›) < 1)
1110r19.21bi 3233 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„™) β†’ Β¬ (πΉβ€˜π‘›) < 1)
12 prmnn 16558 . . . . 5 (𝑛 ∈ β„™ β†’ 𝑛 ∈ β„•)
13 ostth1.2 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘› ∈ β„• Β¬ 1 < (πΉβ€˜π‘›))
1413r19.21bi 3233 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ Β¬ 1 < (πΉβ€˜π‘›))
1512, 14sylan2 594 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„™) β†’ Β¬ 1 < (πΉβ€˜π‘›))
16 nnq 12895 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ β„• β†’ 𝑛 ∈ β„š)
1712, 16syl 17 . . . . . 6 (𝑛 ∈ β„™ β†’ 𝑛 ∈ β„š)
182, 5abvcl 20326 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑛 ∈ β„š) β†’ (πΉβ€˜π‘›) ∈ ℝ)
193, 17, 18syl2an 597 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„™) β†’ (πΉβ€˜π‘›) ∈ ℝ)
20 1re 11163 . . . . 5 1 ∈ ℝ
21 lttri3 11246 . . . . 5 (((πΉβ€˜π‘›) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) β†’ ((πΉβ€˜π‘›) = 1 ↔ (Β¬ (πΉβ€˜π‘›) < 1 ∧ Β¬ 1 < (πΉβ€˜π‘›))))
2219, 20, 21sylancl 587 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„™) β†’ ((πΉβ€˜π‘›) = 1 ↔ (Β¬ (πΉβ€˜π‘›) < 1 ∧ Β¬ 1 < (πΉβ€˜π‘›))))
2311, 15, 22mpbir2and 712 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„™) β†’ (πΉβ€˜π‘›) = 1)
2412adantl 483 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„™) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
25 eqeq1 2737 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑛 β†’ (π‘₯ = 0 ↔ 𝑛 = 0))
2625ifbid 4513 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑛 β†’ if(π‘₯ = 0, 0, 1) = if(𝑛 = 0, 0, 1))
27 c0ex 11157 . . . . . . . 8 0 ∈ V
28 1ex 11159 . . . . . . . 8 1 ∈ V
2927, 28ifex 4540 . . . . . . 7 if(𝑛 = 0, 0, 1) ∈ V
3026, 7, 29fvmpt 6952 . . . . . 6 (𝑛 ∈ β„š β†’ (πΎβ€˜π‘›) = if(𝑛 = 0, 0, 1))
3116, 30syl 17 . . . . 5 (𝑛 ∈ β„• β†’ (πΎβ€˜π‘›) = if(𝑛 = 0, 0, 1))
32 nnne0 12195 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ β„• β†’ 𝑛 β‰  0)
3332neneqd 2945 . . . . . 6 (𝑛 ∈ β„• β†’ Β¬ 𝑛 = 0)
3433iffalsed 4501 . . . . 5 (𝑛 ∈ β„• β†’ if(𝑛 = 0, 0, 1) = 1)
3531, 34eqtrd 2773 . . . 4 (𝑛 ∈ β„• β†’ (πΎβ€˜π‘›) = 1)
3624, 35syl 17 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„™) β†’ (πΎβ€˜π‘›) = 1)
3723, 36eqtr4d 2776 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„™) β†’ (πΉβ€˜π‘›) = (πΎβ€˜π‘›))
381, 2, 3, 9, 37ostthlem2 26999 1 (πœ‘ β†’ 𝐹 = 𝐾)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  ifcif 4490   class class class wbr 5109   ↦ cmpt 5192  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  β„cr 11058  0cc0 11059  1c1 11060   < clt 11197  -cneg 11394  β„•cn 12161  β„šcq 12881  β†‘cexp 13976  β„™cprime 16555   pCnt cpc 16716   β†Ύs cress 17120  DivRingcdr 20219  AbsValcabv 20318  β„‚fldccnfld 20819
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137  ax-addf 11138  ax-mulf 11139
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-tpos 8161  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-2o 8417  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-sup 9386  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-9 12231  df-n0 12422  df-z 12508  df-dec 12627  df-uz 12772  df-q 12882  df-rp 12924  df-ico 13279  df-fz 13434  df-seq 13916  df-exp 13977  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-dvds 16145  df-prm 16556  df-struct 17027  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-starv 17156  df-tset 17160  df-ple 17161  df-ds 17163  df-unif 17164  df-0g 17331  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-grp 18759  df-minusg 18760  df-subg 18933  df-cmn 19572  df-mgp 19905  df-ur 19922  df-ring 19974  df-cring 19975  df-oppr 20057  df-dvdsr 20078  df-unit 20079  df-invr 20109  df-dvr 20120  df-drng 20221  df-subrg 20262  df-abv 20319  df-cnfld 20820
This theorem is referenced by:  ostth  27010
  Copyright terms: Public domain W3C validator