MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ostth1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ostth1 27579
Description: - Lemma for ostth 27585: trivial case. (Not that the proof is trivial, but that we are proving that the function is trivial.) If 𝐹 is equal to 1 on the primes, then by complete induction and the multiplicative property abvmul 20709 of the absolute value, 𝐹 is equal to 1 on all the integers, and ostthlem1 27573 extends this to the other rational numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
qrng.q 𝑄 = (β„‚fld β†Ύs β„š)
qabsabv.a 𝐴 = (AbsValβ€˜π‘„)
padic.j 𝐽 = (π‘ž ∈ β„™ ↦ (π‘₯ ∈ β„š ↦ if(π‘₯ = 0, 0, (π‘žβ†‘-(π‘ž pCnt π‘₯)))))
ostth.k 𝐾 = (π‘₯ ∈ β„š ↦ if(π‘₯ = 0, 0, 1))
ostth.1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐴)
ostth1.2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘› ∈ β„• Β¬ 1 < (πΉβ€˜π‘›))
ostth1.3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘› ∈ β„™ Β¬ (πΉβ€˜π‘›) < 1)
Assertion
Ref Expression
ostth1 (πœ‘ β†’ 𝐹 = 𝐾)
Distinct variable groups:   𝑛,𝐾   π‘₯,𝑛,π‘ž,πœ‘   𝐴,𝑛,π‘ž,π‘₯   𝑄,𝑛,π‘₯   𝑛,𝐹,π‘ž,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝑄(π‘ž)   𝐽(π‘₯,𝑛,π‘ž)   𝐾(π‘₯,π‘ž)

Proof of Theorem ostth1
StepHypRef Expression
1 qrng.q . 2 𝑄 = (β„‚fld β†Ύs β„š)
2 qabsabv.a . 2 𝐴 = (AbsValβ€˜π‘„)
3 ostth.1 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐴)
41qdrng 27566 . . 3 𝑄 ∈ DivRing
51qrngbas 27565 . . . 4 β„š = (Baseβ€˜π‘„)
61qrng0 27567 . . . 4 0 = (0gβ€˜π‘„)
7 ostth.k . . . 4 𝐾 = (π‘₯ ∈ β„š ↦ if(π‘₯ = 0, 0, 1))
82, 5, 6, 7abvtriv 20721 . . 3 (𝑄 ∈ DivRing β†’ 𝐾 ∈ 𝐴)
94, 8mp1i 13 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ 𝐴)
10 ostth1.3 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘› ∈ β„™ Β¬ (πΉβ€˜π‘›) < 1)
1110r19.21bi 3245 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„™) β†’ Β¬ (πΉβ€˜π‘›) < 1)
12 prmnn 16645 . . . . 5 (𝑛 ∈ β„™ β†’ 𝑛 ∈ β„•)
13 ostth1.2 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘› ∈ β„• Β¬ 1 < (πΉβ€˜π‘›))
1413r19.21bi 3245 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ Β¬ 1 < (πΉβ€˜π‘›))
1512, 14sylan2 592 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„™) β†’ Β¬ 1 < (πΉβ€˜π‘›))
16 nnq 12977 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ β„• β†’ 𝑛 ∈ β„š)
1712, 16syl 17 . . . . . 6 (𝑛 ∈ β„™ β†’ 𝑛 ∈ β„š)
182, 5abvcl 20704 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑛 ∈ β„š) β†’ (πΉβ€˜π‘›) ∈ ℝ)
193, 17, 18syl2an 595 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„™) β†’ (πΉβ€˜π‘›) ∈ ℝ)
20 1re 11245 . . . . 5 1 ∈ ℝ
21 lttri3 11328 . . . . 5 (((πΉβ€˜π‘›) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) β†’ ((πΉβ€˜π‘›) = 1 ↔ (Β¬ (πΉβ€˜π‘›) < 1 ∧ Β¬ 1 < (πΉβ€˜π‘›))))
2219, 20, 21sylancl 585 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„™) β†’ ((πΉβ€˜π‘›) = 1 ↔ (Β¬ (πΉβ€˜π‘›) < 1 ∧ Β¬ 1 < (πΉβ€˜π‘›))))
2311, 15, 22mpbir2and 712 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„™) β†’ (πΉβ€˜π‘›) = 1)
2412adantl 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„™) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
25 eqeq1 2732 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑛 β†’ (π‘₯ = 0 ↔ 𝑛 = 0))
2625ifbid 4552 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑛 β†’ if(π‘₯ = 0, 0, 1) = if(𝑛 = 0, 0, 1))
27 c0ex 11239 . . . . . . . 8 0 ∈ V
28 1ex 11241 . . . . . . . 8 1 ∈ V
2927, 28ifex 4579 . . . . . . 7 if(𝑛 = 0, 0, 1) ∈ V
3026, 7, 29fvmpt 7005 . . . . . 6 (𝑛 ∈ β„š β†’ (πΎβ€˜π‘›) = if(𝑛 = 0, 0, 1))
3116, 30syl 17 . . . . 5 (𝑛 ∈ β„• β†’ (πΎβ€˜π‘›) = if(𝑛 = 0, 0, 1))
32 nnne0 12277 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ β„• β†’ 𝑛 β‰  0)
3332neneqd 2942 . . . . . 6 (𝑛 ∈ β„• β†’ Β¬ 𝑛 = 0)
3433iffalsed 4540 . . . . 5 (𝑛 ∈ β„• β†’ if(𝑛 = 0, 0, 1) = 1)
3531, 34eqtrd 2768 . . . 4 (𝑛 ∈ β„• β†’ (πΎβ€˜π‘›) = 1)
3624, 35syl 17 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„™) β†’ (πΎβ€˜π‘›) = 1)
3723, 36eqtr4d 2771 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„™) β†’ (πΉβ€˜π‘›) = (πΎβ€˜π‘›))
381, 2, 3, 9, 37ostthlem2 27574 1 (πœ‘ β†’ 𝐹 = 𝐾)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  βˆ€wral 3058  ifcif 4529   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  β€˜cfv 6548  (class class class)co 7420  β„cr 11138  0cc0 11139  1c1 11140   < clt 11279  -cneg 11476  β„•cn 12243  β„šcq 12963  β†‘cexp 14059  β„™cprime 16642   pCnt cpc 16805   β†Ύs cress 17209  DivRingcdr 20624  AbsValcabv 20696  β„‚fldccnfld 21279
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216  ax-pre-sup 11217  ax-addf 11218  ax-mulf 11219
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-tpos 8232  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-er 8725  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-sup 9466  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11903  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-4 12308  df-5 12309  df-6 12310  df-7 12311  df-8 12312  df-9 12313  df-n0 12504  df-z 12590  df-dec 12709  df-uz 12854  df-q 12964  df-rp 13008  df-ico 13363  df-fz 13518  df-seq 14000  df-exp 14060  df-cj 15079  df-re 15080  df-im 15081  df-sqrt 15215  df-abs 15216  df-dvds 16232  df-prm 16643  df-struct 17116  df-sets 17133  df-slot 17151  df-ndx 17163  df-base 17181  df-ress 17210  df-plusg 17246  df-mulr 17247  df-starv 17248  df-tset 17252  df-ple 17253  df-ds 17255  df-unif 17256  df-0g 17423  df-mgm 18600  df-sgrp 18679  df-mnd 18695  df-grp 18893  df-minusg 18894  df-subg 19078  df-cmn 19737  df-abl 19738  df-mgp 20075  df-rng 20093  df-ur 20122  df-ring 20175  df-cring 20176  df-oppr 20273  df-dvdsr 20296  df-unit 20297  df-invr 20327  df-dvr 20340  df-subrng 20483  df-subrg 20508  df-drng 20626  df-abv 20697  df-cnfld 21280
This theorem is referenced by:  ostth  27585
  Copyright terms: Public domain W3C validator