MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ostth1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ostth1 27507
Description: - Lemma for ostth 27513: trivial case. (Not that the proof is trivial, but that we are proving that the function is trivial.) If 𝐹 is equal to 1 on the primes, then by complete induction and the multiplicative property abvmul 20668 of the absolute value, 𝐹 is equal to 1 on all the integers, and ostthlem1 27501 extends this to the other rational numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
qrng.q 𝑄 = (β„‚fld β†Ύs β„š)
qabsabv.a 𝐴 = (AbsValβ€˜π‘„)
padic.j 𝐽 = (π‘ž ∈ β„™ ↦ (π‘₯ ∈ β„š ↦ if(π‘₯ = 0, 0, (π‘žβ†‘-(π‘ž pCnt π‘₯)))))
ostth.k 𝐾 = (π‘₯ ∈ β„š ↦ if(π‘₯ = 0, 0, 1))
ostth.1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐴)
ostth1.2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘› ∈ β„• Β¬ 1 < (πΉβ€˜π‘›))
ostth1.3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘› ∈ β„™ Β¬ (πΉβ€˜π‘›) < 1)
Assertion
Ref Expression
ostth1 (πœ‘ β†’ 𝐹 = 𝐾)
Distinct variable groups:   𝑛,𝐾   π‘₯,𝑛,π‘ž,πœ‘   𝐴,𝑛,π‘ž,π‘₯   𝑄,𝑛,π‘₯   𝑛,𝐹,π‘ž,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝑄(π‘ž)   𝐽(π‘₯,𝑛,π‘ž)   𝐾(π‘₯,π‘ž)

Proof of Theorem ostth1
StepHypRef Expression
1 qrng.q . 2 𝑄 = (β„‚fld β†Ύs β„š)
2 qabsabv.a . 2 𝐴 = (AbsValβ€˜π‘„)
3 ostth.1 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐴)
41qdrng 27494 . . 3 𝑄 ∈ DivRing
51qrngbas 27493 . . . 4 β„š = (Baseβ€˜π‘„)
61qrng0 27495 . . . 4 0 = (0gβ€˜π‘„)
7 ostth.k . . . 4 𝐾 = (π‘₯ ∈ β„š ↦ if(π‘₯ = 0, 0, 1))
82, 5, 6, 7abvtriv 20680 . . 3 (𝑄 ∈ DivRing β†’ 𝐾 ∈ 𝐴)
94, 8mp1i 13 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ 𝐴)
10 ostth1.3 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘› ∈ β„™ Β¬ (πΉβ€˜π‘›) < 1)
1110r19.21bi 3240 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„™) β†’ Β¬ (πΉβ€˜π‘›) < 1)
12 prmnn 16614 . . . . 5 (𝑛 ∈ β„™ β†’ 𝑛 ∈ β„•)
13 ostth1.2 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘› ∈ β„• Β¬ 1 < (πΉβ€˜π‘›))
1413r19.21bi 3240 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ Β¬ 1 < (πΉβ€˜π‘›))
1512, 14sylan2 592 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„™) β†’ Β¬ 1 < (πΉβ€˜π‘›))
16 nnq 12945 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ β„• β†’ 𝑛 ∈ β„š)
1712, 16syl 17 . . . . . 6 (𝑛 ∈ β„™ β†’ 𝑛 ∈ β„š)
182, 5abvcl 20663 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑛 ∈ β„š) β†’ (πΉβ€˜π‘›) ∈ ℝ)
193, 17, 18syl2an 595 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„™) β†’ (πΉβ€˜π‘›) ∈ ℝ)
20 1re 11213 . . . . 5 1 ∈ ℝ
21 lttri3 11296 . . . . 5 (((πΉβ€˜π‘›) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) β†’ ((πΉβ€˜π‘›) = 1 ↔ (Β¬ (πΉβ€˜π‘›) < 1 ∧ Β¬ 1 < (πΉβ€˜π‘›))))
2219, 20, 21sylancl 585 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„™) β†’ ((πΉβ€˜π‘›) = 1 ↔ (Β¬ (πΉβ€˜π‘›) < 1 ∧ Β¬ 1 < (πΉβ€˜π‘›))))
2311, 15, 22mpbir2and 710 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„™) β†’ (πΉβ€˜π‘›) = 1)
2412adantl 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„™) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
25 eqeq1 2728 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑛 β†’ (π‘₯ = 0 ↔ 𝑛 = 0))
2625ifbid 4544 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑛 β†’ if(π‘₯ = 0, 0, 1) = if(𝑛 = 0, 0, 1))
27 c0ex 11207 . . . . . . . 8 0 ∈ V
28 1ex 11209 . . . . . . . 8 1 ∈ V
2927, 28ifex 4571 . . . . . . 7 if(𝑛 = 0, 0, 1) ∈ V
3026, 7, 29fvmpt 6989 . . . . . 6 (𝑛 ∈ β„š β†’ (πΎβ€˜π‘›) = if(𝑛 = 0, 0, 1))
3116, 30syl 17 . . . . 5 (𝑛 ∈ β„• β†’ (πΎβ€˜π‘›) = if(𝑛 = 0, 0, 1))
32 nnne0 12245 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ β„• β†’ 𝑛 β‰  0)
3332neneqd 2937 . . . . . 6 (𝑛 ∈ β„• β†’ Β¬ 𝑛 = 0)
3433iffalsed 4532 . . . . 5 (𝑛 ∈ β„• β†’ if(𝑛 = 0, 0, 1) = 1)
3531, 34eqtrd 2764 . . . 4 (𝑛 ∈ β„• β†’ (πΎβ€˜π‘›) = 1)
3624, 35syl 17 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„™) β†’ (πΎβ€˜π‘›) = 1)
3723, 36eqtr4d 2767 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„™) β†’ (πΉβ€˜π‘›) = (πΎβ€˜π‘›))
381, 2, 3, 9, 37ostthlem2 27502 1 (πœ‘ β†’ 𝐹 = 𝐾)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3053  ifcif 4521   class class class wbr 5139   ↦ cmpt 5222  β€˜cfv 6534  (class class class)co 7402  β„cr 11106  0cc0 11107  1c1 11108   < clt 11247  -cneg 11444  β„•cn 12211  β„šcq 12931  β†‘cexp 14028  β„™cprime 16611   pCnt cpc 16774   β†Ύs cress 17178  DivRingcdr 20583  AbsValcabv 20655  β„‚fldccnfld 21234
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185  ax-addf 11186  ax-mulf 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-tp 4626  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-tpos 8207  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8700  df-map 8819  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-sup 9434  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-q 12932  df-rp 12976  df-ico 13331  df-fz 13486  df-seq 13968  df-exp 14029  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-dvds 16201  df-prm 16612  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-starv 17217  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-unif 17225  df-0g 17392  df-mgm 18569  df-sgrp 18648  df-mnd 18664  df-grp 18862  df-minusg 18863  df-subg 19046  df-cmn 19698  df-abl 19699  df-mgp 20036  df-rng 20054  df-ur 20083  df-ring 20136  df-cring 20137  df-oppr 20232  df-dvdsr 20255  df-unit 20256  df-invr 20286  df-dvr 20299  df-subrng 20442  df-subrg 20467  df-drng 20585  df-abv 20656  df-cnfld 21235
This theorem is referenced by:  ostth  27513
  Copyright terms: Public domain W3C validator