Theorem ostth1 27617

Description: - Lemma for ostth 27623: trivial case. (Not that the proof is trivial, but that we are proving that the function is trivial.) If 𝐹 is equal to 1 on the primes, then by complete induction and the multiplicative property abvmul 20796 of the absolute value, 𝐹 is equal to 1 on all the integers, and ostthlem1 27611 extends this to the other rational numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
qrng.q	⊢ 𝑄 = (ℂfld ↾s ℚ)
qabsabv.a	⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑄)
padic.j	⊢ 𝐽 = (𝑞 ∈ ℙ ↦ (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, (𝑞↑-(𝑞 pCnt 𝑥)))))
ostth.k	⊢ 𝐾 = (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, 1))
ostth.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐴)
ostth1.2	⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹‘𝑛))
ostth1.3	⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℙ ¬ (𝐹‘𝑛) < 1)

Assertion

Ref	Expression
ostth1	⊢ (𝜑 → 𝐹 = 𝐾)

Distinct variable groups:   𝑛,𝐾   𝑥,𝑛,𝑞,𝜑   𝐴,𝑛,𝑞,𝑥   𝑄,𝑛,𝑥   𝑛,𝐹,𝑞,𝑥

Allowed substitution hints:   𝑄(𝑞)   𝐽(𝑥,𝑛,𝑞)   𝐾(𝑥,𝑞)

Proof of Theorem ostth1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qrng.q	. 2 ⊢ 𝑄 = (ℂfld ↾s ℚ)
2		qabsabv.a	. 2 ⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑄)
3		ostth.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐴)
4	1	qdrng 27604	. . 3 ⊢ 𝑄 ∈ DivRing
5	1	qrngbas 27603	. . . 4 ⊢ ℚ = (Base‘𝑄)
6	1	qrng0 27605	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑄)
7		ostth.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, 1))
8	2, 5, 6, 7	abvtriv 20809	. . 3 ⊢ (𝑄 ∈ DivRing → 𝐾 ∈ 𝐴)
9	4, 8	mp1i 13	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝐴)
10		ostth1.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℙ ¬ (𝐹‘𝑛) < 1)
11	10	r19.21bi 3233	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℙ) → ¬ (𝐹‘𝑛) < 1)
12		prmnn 16638	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℙ → 𝑛 ∈ ℕ)
13		ostth1.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹‘𝑛))
14	13	r19.21bi 3233	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ¬ 1 < (𝐹‘𝑛))
15	12, 14	sylan2 600	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℙ) → ¬ 1 < (𝐹‘𝑛))
16		nnq 12907	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℚ)
17	12, 16	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℙ → 𝑛 ∈ ℚ)
18	2, 5	abvcl 20791	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑛 ∈ ℚ) → (𝐹‘𝑛) ∈ ℝ)
19	3, 17, 18	syl2an 603	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℙ) → (𝐹‘𝑛) ∈ ℝ)
20		1re 11140	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
21		lttri3 11225	. . . . 5 ⊢ (((𝐹‘𝑛) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑛) = 1 ↔ (¬ (𝐹‘𝑛) < 1 ∧ ¬ 1 < (𝐹‘𝑛))))
22	19, 20, 21	sylancl 593	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℙ) → ((𝐹‘𝑛) = 1 ↔ (¬ (𝐹‘𝑛) < 1 ∧ ¬ 1 < (𝐹‘𝑛))))
23	11, 15, 22	mpbir2and 720	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℙ) → (𝐹‘𝑛) = 1)
24	12	adantl 483	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℙ) → 𝑛 ∈ ℕ)
25		eqeq1 2745	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → (𝑥 = 0 ↔ 𝑛 = 0))
26	25	ifbid 4480	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → if(𝑥 = 0, 0, 1) = if(𝑛 = 0, 0, 1))
27		c0ex 11134	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ V
28		1ex 11136	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ V
29	27, 28	ifex 4507	. . . . . . 7 ⊢ if(𝑛 = 0, 0, 1) ∈ V
30	26, 7, 29	fvmpt 6938	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℚ → (𝐾‘𝑛) = if(𝑛 = 0, 0, 1))
31	16, 30	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝐾‘𝑛) = if(𝑛 = 0, 0, 1))
32		nnne0 12206	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ≠ 0)
33	32	neneqd 2941	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ¬ 𝑛 = 0)
34	33	iffalsed 4467	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → if(𝑛 = 0, 0, 1) = 1)
35	31, 34	eqtrd 2776	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝐾‘𝑛) = 1)
36	24, 35	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℙ) → (𝐾‘𝑛) = 1)
37	23, 36	eqtr4d 2779	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℙ) → (𝐹‘𝑛) = (𝐾‘𝑛))
38	1, 2, 3, 9, 37	ostthlem2 27612	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = 𝐾)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 397   = wceq 1548   ∈ wcel 2121  ∀wral 3055  ifcif 4456   class class class wbr 5074   ↦ cmpt 5155  ‘cfv 6488  (class class class)co 7359  ℝcr 11033  0cc0 11034  1c1 11035   < clt 11175  -cneg 11374  ℕcn 12169  ℚcq 12893  ↑cexp 14018  ℙcprime 16635   pCnt cpc 16802   ↾_s cress 17195  DivRingcdr 20704  AbsValcabv 20783  ℂ_fldccnfld 21350

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5201  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7681  ax-cnex 11090  ax-resscn 11091  ax-1cn 11092  ax-icn 11093  ax-addcl 11094  ax-addrcl 11095  ax-mulcl 11096  ax-mulrcl 11097  ax-mulcom 11098  ax-addass 11099  ax-mulass 11100  ax-distr 11101  ax-i2m1 11102  ax-1ne0 11103  ax-1rid 11104  ax-rnegex 11105  ax-rrecex 11106  ax-cnre 11107  ax-pre-lttri 11108  ax-pre-lttrn 11109  ax-pre-ltadd 11110  ax-pre-mulgt0 11111  ax-pre-sup 11112  ax-addf 11113  ax-mulf 11114

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3725  df-csb 3833  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3904  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4841  df-iun 4925  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7316  df-ov 7362  df-oprab 7363  df-mpo 7364  df-om 7810  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-tpos 8168  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-er 8637  df-map 8769  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-sup 9349  df-pnf 11177  df-mnf 11178  df-xr 11179  df-ltxr 11180  df-le 11181  df-sub 11375  df-neg 11376  df-div 11804  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-4 12241  df-5 12242  df-6 12243  df-7 12244  df-8 12245  df-9 12246  df-n0 12433  df-z 12520  df-dec 12640  df-uz 12784  df-q 12894  df-rp 12938  df-ico 13299  df-fz 13457  df-seq 13959  df-exp 14019  df-cj 15056  df-re 15057  df-im 15058  df-sqrt 15192  df-abs 15193  df-dvds 16217  df-prm 16636  df-struct 17112  df-sets 17129  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-ress 17196  df-plusg 17228  df-mulr 17229  df-starv 17230  df-tset 17234  df-ple 17235  df-ds 17237  df-unif 17238  df-0g 17399  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-grp 18907  df-minusg 18908  df-subg 19094  df-cmn 19751  df-abl 19752  df-mgp 20116  df-rng 20128  df-ur 20157  df-ring 20210  df-cring 20211  df-oppr 20311  df-dvdsr 20331  df-unit 20332  df-invr 20362  df-dvr 20375  df-nzr 20488  df-subrng 20521  df-subrg 20545  df-rlreg 20669  df-domn 20670  df-drng 20706  df-abv 20784  df-cnfld 21351

This theorem is referenced by:  ostth  27623