Theorem ostth1 27613

Description: - Lemma for ostth 27619: trivial case. (Not that the proof is trivial, but that we are proving that the function is trivial.) If 𝐹 is equal to 1 on the primes, then by complete induction and the multiplicative property abvmul 20792 of the absolute value, 𝐹 is equal to 1 on all the integers, and ostthlem1 27607 extends this to the other rational numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
qrng.q	⊢ 𝑄 = (ℂfld ↾s ℚ)
qabsabv.a	⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑄)
padic.j	⊢ 𝐽 = (𝑞 ∈ ℙ ↦ (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, (𝑞↑-(𝑞 pCnt 𝑥)))))
ostth.k	⊢ 𝐾 = (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, 1))
ostth.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐴)
ostth1.2	⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹‘𝑛))
ostth1.3	⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℙ ¬ (𝐹‘𝑛) < 1)

Assertion

Ref	Expression
ostth1	⊢ (𝜑 → 𝐹 = 𝐾)

Distinct variable groups:   𝑛,𝐾   𝑥,𝑛,𝑞,𝜑   𝐴,𝑛,𝑞,𝑥   𝑄,𝑛,𝑥   𝑛,𝐹,𝑞,𝑥

Allowed substitution hints:   𝑄(𝑞)   𝐽(𝑥,𝑛,𝑞)   𝐾(𝑥,𝑞)

Proof of Theorem ostth1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qrng.q	. 2 ⊢ 𝑄 = (ℂfld ↾s ℚ)
2		qabsabv.a	. 2 ⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑄)
3		ostth.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐴)
4	1	qdrng 27600	. . 3 ⊢ 𝑄 ∈ DivRing
5	1	qrngbas 27599	. . . 4 ⊢ ℚ = (Base‘𝑄)
6	1	qrng0 27601	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑄)
7		ostth.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, 1))
8	2, 5, 6, 7	abvtriv 20805	. . 3 ⊢ (𝑄 ∈ DivRing → 𝐾 ∈ 𝐴)
9	4, 8	mp1i 13	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝐴)
10		ostth1.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℙ ¬ (𝐹‘𝑛) < 1)
11	10	r19.21bi 3230	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℙ) → ¬ (𝐹‘𝑛) < 1)
12		prmnn 16637	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℙ → 𝑛 ∈ ℕ)
13		ostth1.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹‘𝑛))
14	13	r19.21bi 3230	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ¬ 1 < (𝐹‘𝑛))
15	12, 14	sylan2 594	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℙ) → ¬ 1 < (𝐹‘𝑛))
16		nnq 12906	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℚ)
17	12, 16	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℙ → 𝑛 ∈ ℚ)
18	2, 5	abvcl 20787	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑛 ∈ ℚ) → (𝐹‘𝑛) ∈ ℝ)
19	3, 17, 18	syl2an 597	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℙ) → (𝐹‘𝑛) ∈ ℝ)
20		1re 11138	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
21		lttri3 11223	. . . . 5 ⊢ (((𝐹‘𝑛) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑛) = 1 ↔ (¬ (𝐹‘𝑛) < 1 ∧ ¬ 1 < (𝐹‘𝑛))))
22	19, 20, 21	sylancl 587	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℙ) → ((𝐹‘𝑛) = 1 ↔ (¬ (𝐹‘𝑛) < 1 ∧ ¬ 1 < (𝐹‘𝑛))))
23	11, 15, 22	mpbir2and 714	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℙ) → (𝐹‘𝑛) = 1)
24	12	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℙ) → 𝑛 ∈ ℕ)
25		eqeq1 2741	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → (𝑥 = 0 ↔ 𝑛 = 0))
26	25	ifbid 4491	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → if(𝑥 = 0, 0, 1) = if(𝑛 = 0, 0, 1))
27		c0ex 11132	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ V
28		1ex 11134	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ V
29	27, 28	ifex 4518	. . . . . . 7 ⊢ if(𝑛 = 0, 0, 1) ∈ V
30	26, 7, 29	fvmpt 6942	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℚ → (𝐾‘𝑛) = if(𝑛 = 0, 0, 1))
31	16, 30	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝐾‘𝑛) = if(𝑛 = 0, 0, 1))
32		nnne0 12205	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ≠ 0)
33	32	neneqd 2938	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ¬ 𝑛 = 0)
34	33	iffalsed 4478	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → if(𝑛 = 0, 0, 1) = 1)
35	31, 34	eqtrd 2772	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝐾‘𝑛) = 1)
36	24, 35	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℙ) → (𝐾‘𝑛) = 1)
37	23, 36	eqtr4d 2775	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℙ) → (𝐹‘𝑛) = (𝐾‘𝑛))
38	1, 2, 3, 9, 37	ostthlem2 27608	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = 𝐾)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  ifcif 4467   class class class wbr 5086   ↦ cmpt 5167  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  ℝcr 11031  0cc0 11032  1c1 11033   < clt 11173  -cneg 11372  ℕcn 12168  ℚcq 12892  ↑cexp 14017  ℙcprime 16634   pCnt cpc 16801   ↾_s cress 17194  DivRingcdr 20700  AbsValcabv 20779  ℂ_fldccnfld 21347

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109  ax-pre-sup 11110  ax-addf 11111  ax-mulf 11112

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-tpos 8170  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-er 8637  df-map 8769  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-sup 9349  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-div 11802  df-nn 12169  df-2 12238  df-3 12239  df-4 12240  df-5 12241  df-6 12242  df-7 12243  df-8 12244  df-9 12245  df-n0 12432  df-z 12519  df-dec 12639  df-uz 12783  df-q 12893  df-rp 12937  df-ico 13298  df-fz 13456  df-seq 13958  df-exp 14018  df-cj 15055  df-re 15056  df-im 15057  df-sqrt 15191  df-abs 15192  df-dvds 16216  df-prm 16635  df-struct 17111  df-sets 17128  df-slot 17146  df-ndx 17158  df-base 17174  df-ress 17195  df-plusg 17227  df-mulr 17228  df-starv 17229  df-tset 17233  df-ple 17234  df-ds 17236  df-unif 17237  df-0g 17398  df-mgm 18602  df-sgrp 18681  df-mnd 18697  df-grp 18906  df-minusg 18907  df-subg 19093  df-cmn 19751  df-abl 19752  df-mgp 20116  df-rng 20128  df-ur 20157  df-ring 20210  df-cring 20211  df-oppr 20311  df-dvdsr 20331  df-unit 20332  df-invr 20362  df-dvr 20375  df-nzr 20484  df-subrng 20517  df-subrg 20541  df-rlreg 20665  df-domn 20666  df-drng 20702  df-abv 20780  df-cnfld 21348

This theorem is referenced by:  ostth  27619