MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulnqf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulnqf 10066
Description: Domain of multiplication on positive fractions. (Contributed by NM, 24-Aug-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Jul-2014.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
mulnqf ·Q :(Q × Q)⟶Q

Proof of Theorem mulnqf
StepHypRef Expression
1 nqerf 10047 . . . 4 [Q]:(N × N)⟶Q
2 mulpqf 10063 . . . 4 ·pQ :((N × N) × (N × N))⟶(N × N)
3 fco 6283 . . . 4 (([Q]:(N × N)⟶Q ∧ ·pQ :((N × N) × (N × N))⟶(N × N)) → ([Q] ∘ ·pQ ):((N × N) × (N × N))⟶Q)
41, 2, 3mp2an 675 . . 3 ([Q] ∘ ·pQ ):((N × N) × (N × N))⟶Q
5 elpqn 10042 . . . . 5 (𝑥Q𝑥 ∈ (N × N))
65ssriv 3813 . . . 4 Q ⊆ (N × N)
7 xpss12 5339 . . . 4 ((Q ⊆ (N × N) ∧ Q ⊆ (N × N)) → (Q × Q) ⊆ ((N × N) × (N × N)))
86, 6, 7mp2an 675 . . 3 (Q × Q) ⊆ ((N × N) × (N × N))
9 fssres 6295 . . 3 ((([Q] ∘ ·pQ ):((N × N) × (N × N))⟶Q ∧ (Q × Q) ⊆ ((N × N) × (N × N))) → (([Q] ∘ ·pQ ) ↾ (Q × Q)):(Q × Q)⟶Q)
104, 8, 9mp2an 675 . 2 (([Q] ∘ ·pQ ) ↾ (Q × Q)):(Q × Q)⟶Q
11 df-mq 10032 . . 3 ·Q = (([Q] ∘ ·pQ ) ↾ (Q × Q))
1211feq1i 6257 . 2 ( ·Q :(Q × Q)⟶Q ↔ (([Q] ∘ ·pQ ) ↾ (Q × Q)):(Q × Q)⟶Q)
1310, 12mpbir 222 1 ·Q :(Q × Q)⟶Q
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wss 3780   × cxp 5322  cres 5326  ccom 5328  wf 6107  Ncnpi 9961   ·pQ cmpq 9966  Qcnq 9969  [Q]cerq 9971   ·Q cmq 9973
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2186  ax-11 2202  ax-12 2215  ax-13 2422  ax-ext 2795  ax-sep 4988  ax-nul 4996  ax-pow 5048  ax-pr 5109  ax-un 7189
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2062  df-mo 2635  df-eu 2642  df-clab 2804  df-cleq 2810  df-clel 2813  df-nfc 2948  df-ne 2990  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rmo 3115  df-rab 3116  df-v 3404  df-sbc 3645  df-csb 3740  df-dif 3783  df-un 3785  df-in 3787  df-ss 3794  df-pss 3796  df-nul 4128  df-if 4291  df-pw 4364  df-sn 4382  df-pr 4384  df-tp 4386  df-op 4388  df-uni 4642  df-iun 4725  df-br 4856  df-opab 4918  df-mpt 4935  df-tr 4958  df-id 5232  df-eprel 5237  df-po 5245  df-so 5246  df-fr 5283  df-we 5285  df-xp 5330  df-rel 5331  df-cnv 5332  df-co 5333  df-dm 5334  df-rn 5335  df-res 5336  df-ima 5337  df-pred 5907  df-ord 5953  df-on 5954  df-lim 5955  df-suc 5956  df-iota 6074  df-fun 6113  df-fn 6114  df-f 6115  df-f1 6116  df-fo 6117  df-f1o 6118  df-fv 6119  df-ov 6887  df-oprab 6888  df-mpt2 6889  df-om 7306  df-1st 7408  df-2nd 7409  df-wrecs 7652  df-recs 7714  df-rdg 7752  df-1o 7806  df-oadd 7810  df-omul 7811  df-er 7989  df-ni 9989  df-mi 9991  df-lti 9992  df-mpq 10026  df-enq 10028  df-nq 10029  df-erq 10030  df-mq 10032  df-1nq 10033
This theorem is referenced by:  mulcomnq  10070  mulerpq  10074  mulassnq  10076  distrnq  10078  recmulnq  10081  recclnq  10083  dmrecnq  10085  ltmnq  10089  prlem936  10164
  Copyright terms: Public domain W3C validator