Theorem mulnqf 11061

Description: Domain of multiplication on positive fractions. (Contributed by NM, 24-Aug-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Jul-2014.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
mulnqf	⊢ ·Q :(Q × Q)⟶Q

Proof of Theorem mulnqf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nqerf 11042	. . . 4 ⊢ [Q]:(N × N)⟶Q
2		mulpqf 11058	. . . 4 ⊢ ·pQ :((N × N) × (N × N))⟶(N × N)
3		fco 6756	. . . 4 ⊢ (([Q]:(N × N)⟶Q ∧ ·pQ :((N × N) × (N × N))⟶(N × N)) → ([Q] ∘ ·pQ ):((N × N) × (N × N))⟶Q)
4	1, 2, 3	mp2an 705	. . 3 ⊢ ([Q] ∘ ·pQ ):((N × N) × (N × N))⟶Q
5		elpqn 11037	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ Q → 𝑥 ∈ (N × N))
6	5	ssriv 3917	. . . 4 ⊢ Q ⊆ (N × N)
7		xpss12 5670	. . . 4 ⊢ ((Q ⊆ (N × N) ∧ Q ⊆ (N × N)) → (Q × Q) ⊆ ((N × N) × (N × N)))
8	6, 6, 7	mp2an 705	. . 3 ⊢ (Q × Q) ⊆ ((N × N) × (N × N))
9		fssres 6770	. . 3 ⊢ ((([Q] ∘ ·pQ ):((N × N) × (N × N))⟶Q ∧ (Q × Q) ⊆ ((N × N) × (N × N))) → (([Q] ∘ ·pQ ) ↾ (Q × Q)):(Q × Q)⟶Q)
10	4, 8, 9	mp2an 705	. 2 ⊢ (([Q] ∘ ·pQ ) ↾ (Q × Q)):(Q × Q)⟶Q
11		df-mq 11027	. . 3 ⊢ ·Q = (([Q] ∘ ·pQ ) ↾ (Q × Q))
12	11	feq1i 6722	. 2 ⊢ ( ·Q :(Q × Q)⟶Q ↔ (([Q] ∘ ·pQ ) ↾ (Q × Q)):(Q × Q)⟶Q)
13	10, 12	mpbir 234	1 ⊢ ·Q :(Q × Q)⟶Q

This proof depends on syntax axioms:   ⊆ wss 3900   × cxp 5653   ↾ cres 5657   ∘ ccom 5659  ⟶wf 6554  Ncnpi 10956   ·_pQ cmpq 10961  Qcnq 10964  [Q]cerq 10966   ·_Q cmq 10968

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pr 5395  ax-un 7775

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8504  df-oadd 8508  df-omul 8509  df-er 8745  df-ni 10984  df-mi 10986  df-lti 10987  df-mpq 11021  df-enq 11023  df-nq 11024  df-erq 11025  df-mq 11027  df-1nq 11028

This theorem is used by:  mulcomnq  11065  mulerpq  11069  mulassnq  11071  distrnq  11073  recmulnq  11076  recclnq  11078  dmrecnq  11080  ltmnq  11084  prlem936  11159