Theorem mulnqf 10967

Description: Domain of multiplication on positive fractions. (Contributed by NM, 24-Aug-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Jul-2014.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
mulnqf	⊢ ·Q :(Q × Q)⟶Q

Proof of Theorem mulnqf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nqerf 10948	. . . 4 ⊢ [Q]:(N × N)⟶Q
2		mulpqf 10964	. . . 4 ⊢ ·pQ :((N × N) × (N × N))⟶(N × N)
3		fco 6742	. . . 4 ⊢ (([Q]:(N × N)⟶Q ∧ ·pQ :((N × N) × (N × N))⟶(N × N)) → ([Q] ∘ ·pQ ):((N × N) × (N × N))⟶Q)
4	1, 2, 3	mp2an 691	. . 3 ⊢ ([Q] ∘ ·pQ ):((N × N) × (N × N))⟶Q
5		elpqn 10943	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ Q → 𝑥 ∈ (N × N))
6	5	ssriv 3983	. . . 4 ⊢ Q ⊆ (N × N)
7		xpss12 5688	. . . 4 ⊢ ((Q ⊆ (N × N) ∧ Q ⊆ (N × N)) → (Q × Q) ⊆ ((N × N) × (N × N)))
8	6, 6, 7	mp2an 691	. . 3 ⊢ (Q × Q) ⊆ ((N × N) × (N × N))
9		fssres 6758	. . 3 ⊢ ((([Q] ∘ ·pQ ):((N × N) × (N × N))⟶Q ∧ (Q × Q) ⊆ ((N × N) × (N × N))) → (([Q] ∘ ·pQ ) ↾ (Q × Q)):(Q × Q)⟶Q)
10	4, 8, 9	mp2an 691	. 2 ⊢ (([Q] ∘ ·pQ ) ↾ (Q × Q)):(Q × Q)⟶Q
11		df-mq 10933	. . 3 ⊢ ·Q = (([Q] ∘ ·pQ ) ↾ (Q × Q))
12	11	feq1i 6708	. 2 ⊢ ( ·Q :(Q × Q)⟶Q ↔ (([Q] ∘ ·pQ ) ↾ (Q × Q)):(Q × Q)⟶Q)
13	10, 12	mpbir 230	1 ⊢ ·Q :(Q × Q)⟶Q

Syntax hints:   ⊆ wss 3945   × cxp 5671   ↾ cres 5675   ∘ ccom 5677  ⟶wf 6539  Ncnpi 10862   ·_pQ cmpq 10867  Qcnq 10870  [Q]cerq 10872   ·_Q cmq 10874

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pr 5424  ax-un 7735

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-iun 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7866  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-1o 8481  df-oadd 8485  df-omul 8486  df-er 8719  df-ni 10890  df-mi 10892  df-lti 10893  df-mpq 10927  df-enq 10929  df-nq 10930  df-erq 10931  df-mq 10933  df-1nq 10934

This theorem is referenced by:  mulcomnq  10971  mulerpq  10975  mulassnq  10977  distrnq  10979  recmulnq  10982  recclnq  10984  dmrecnq  10986  ltmnq  10990  prlem936  11065