Theorem mulnqf 10962

Description: Domain of multiplication on positive fractions. (Contributed by NM, 24-Aug-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Jul-2014.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
mulnqf	⊢ ·Q :(Q × Q)⟶Q

Proof of Theorem mulnqf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nqerf 10943	. . . 4 ⊢ [Q]:(N × N)⟶Q
2		mulpqf 10959	. . . 4 ⊢ ·pQ :((N × N) × (N × N))⟶(N × N)
3		fco 6731	. . . 4 ⊢ (([Q]:(N × N)⟶Q ∧ ·pQ :((N × N) × (N × N))⟶(N × N)) → ([Q] ∘ ·pQ ):((N × N) × (N × N))⟶Q)
4	1, 2, 3	mp2an 705	. . 3 ⊢ ([Q] ∘ ·pQ ):((N × N) × (N × N))⟶Q
5		elpqn 10938	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ Q → 𝑥 ∈ (N × N))
6	5	ssriv 3938	. . . 4 ⊢ Q ⊆ (N × N)
7		xpss12 5674	. . . 4 ⊢ ((Q ⊆ (N × N) ∧ Q ⊆ (N × N)) → (Q × Q) ⊆ ((N × N) × (N × N)))
8	6, 6, 7	mp2an 705	. . 3 ⊢ (Q × Q) ⊆ ((N × N) × (N × N))
9		fssres 6745	. . 3 ⊢ ((([Q] ∘ ·pQ ):((N × N) × (N × N))⟶Q ∧ (Q × Q) ⊆ ((N × N) × (N × N))) → (([Q] ∘ ·pQ ) ↾ (Q × Q)):(Q × Q)⟶Q)
10	4, 8, 9	mp2an 705	. 2 ⊢ (([Q] ∘ ·pQ ) ↾ (Q × Q)):(Q × Q)⟶Q
11		df-mq 10928	. . 3 ⊢ ·Q = (([Q] ∘ ·pQ ) ↾ (Q × Q))
12	11	feq1i 6697	. 2 ⊢ ( ·Q :(Q × Q)⟶Q ↔ (([Q] ∘ ·pQ ) ↾ (Q × Q)):(Q × Q)⟶Q)
13	10, 12	mpbir 234	1 ⊢ ·Q :(Q × Q)⟶Q

This proof depends on syntax axioms:   ⊆ wss 3902   × cxp 5657   ↾ cres 5661   ∘ ccom 5663  ⟶wf 6533  Ncnpi 10857   ·_pQ cmpq 10862  Qcnq 10865  [Q]cerq 10867   ·_Q cmq 10869

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pr 5402  ax-un 7740

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-oadd 8463  df-omul 8464  df-er 8700  df-ni 10885  df-mi 10887  df-lti 10888  df-mpq 10922  df-enq 10924  df-nq 10925  df-erq 10926  df-mq 10928  df-1nq 10929

This theorem is used by:  mulcomnq  10966  mulerpq  10970  mulassnq  10972  distrnq  10974  recmulnq  10977  recclnq  10979  dmrecnq  10981  ltmnq  10985  prlem936  11060