Theorem mulnqf 10943

Description: Domain of multiplication on positive fractions. (Contributed by NM, 24-Aug-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Jul-2014.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
mulnqf	⊢ ·Q :(Q × Q)⟶Q

Proof of Theorem mulnqf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nqerf 10924	. . . 4 ⊢ [Q]:(N × N)⟶Q
2		mulpqf 10940	. . . 4 ⊢ ·pQ :((N × N) × (N × N))⟶(N × N)
3		fco 6734	. . . 4 ⊢ (([Q]:(N × N)⟶Q ∧ ·pQ :((N × N) × (N × N))⟶(N × N)) → ([Q] ∘ ·pQ ):((N × N) × (N × N))⟶Q)
4	1, 2, 3	mp2an 689	. . 3 ⊢ ([Q] ∘ ·pQ ):((N × N) × (N × N))⟶Q
5		elpqn 10919	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ Q → 𝑥 ∈ (N × N))
6	5	ssriv 3981	. . . 4 ⊢ Q ⊆ (N × N)
7		xpss12 5684	. . . 4 ⊢ ((Q ⊆ (N × N) ∧ Q ⊆ (N × N)) → (Q × Q) ⊆ ((N × N) × (N × N)))
8	6, 6, 7	mp2an 689	. . 3 ⊢ (Q × Q) ⊆ ((N × N) × (N × N))
9		fssres 6750	. . 3 ⊢ ((([Q] ∘ ·pQ ):((N × N) × (N × N))⟶Q ∧ (Q × Q) ⊆ ((N × N) × (N × N))) → (([Q] ∘ ·pQ ) ↾ (Q × Q)):(Q × Q)⟶Q)
10	4, 8, 9	mp2an 689	. 2 ⊢ (([Q] ∘ ·pQ ) ↾ (Q × Q)):(Q × Q)⟶Q
11		df-mq 10909	. . 3 ⊢ ·Q = (([Q] ∘ ·pQ ) ↾ (Q × Q))
12	11	feq1i 6701	. 2 ⊢ ( ·Q :(Q × Q)⟶Q ↔ (([Q] ∘ ·pQ ) ↾ (Q × Q)):(Q × Q)⟶Q)
13	10, 12	mpbir 230	1 ⊢ ·Q :(Q × Q)⟶Q

Syntax hints:   ⊆ wss 3943   × cxp 5667   ↾ cres 5671   ∘ ccom 5673  ⟶wf 6532  Ncnpi 10838   ·_pQ cmpq 10843  Qcnq 10846  [Q]cerq 10848   ·_Q cmq 10850

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pr 5420  ax-un 7721

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-oadd 8468  df-omul 8469  df-er 8702  df-ni 10866  df-mi 10868  df-lti 10869  df-mpq 10903  df-enq 10905  df-nq 10906  df-erq 10907  df-mq 10909  df-1nq 10910

This theorem is referenced by:  mulcomnq  10947  mulerpq  10951  mulassnq  10953  distrnq  10955  recmulnq  10958  recclnq  10960  dmrecnq  10962  ltmnq  10966  prlem936  11041