MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulnqf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulnqf 10224
Description: Domain of multiplication on positive fractions. (Contributed by NM, 24-Aug-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Jul-2014.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
mulnqf ·Q :(Q × Q)⟶Q

Proof of Theorem mulnqf
StepHypRef Expression
1 nqerf 10205 . . . 4 [Q]:(N × N)⟶Q
2 mulpqf 10221 . . . 4 ·pQ :((N × N) × (N × N))⟶(N × N)
3 fco 6406 . . . 4 (([Q]:(N × N)⟶Q ∧ ·pQ :((N × N) × (N × N))⟶(N × N)) → ([Q] ∘ ·pQ ):((N × N) × (N × N))⟶Q)
41, 2, 3mp2an 688 . . 3 ([Q] ∘ ·pQ ):((N × N) × (N × N))⟶Q
5 elpqn 10200 . . . . 5 (𝑥Q𝑥 ∈ (N × N))
65ssriv 3899 . . . 4 Q ⊆ (N × N)
7 xpss12 5465 . . . 4 ((Q ⊆ (N × N) ∧ Q ⊆ (N × N)) → (Q × Q) ⊆ ((N × N) × (N × N)))
86, 6, 7mp2an 688 . . 3 (Q × Q) ⊆ ((N × N) × (N × N))
9 fssres 6419 . . 3 ((([Q] ∘ ·pQ ):((N × N) × (N × N))⟶Q ∧ (Q × Q) ⊆ ((N × N) × (N × N))) → (([Q] ∘ ·pQ ) ↾ (Q × Q)):(Q × Q)⟶Q)
104, 8, 9mp2an 688 . 2 (([Q] ∘ ·pQ ) ↾ (Q × Q)):(Q × Q)⟶Q
11 df-mq 10190 . . 3 ·Q = (([Q] ∘ ·pQ ) ↾ (Q × Q))
1211feq1i 6380 . 2 ( ·Q :(Q × Q)⟶Q ↔ (([Q] ∘ ·pQ ) ↾ (Q × Q)):(Q × Q)⟶Q)
1310, 12mpbir 232 1 ·Q :(Q × Q)⟶Q
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wss 3865   × cxp 5448  cres 5452  ccom 5454  wf 6228  Ncnpi 10119   ·pQ cmpq 10124  Qcnq 10127  [Q]cerq 10129   ·Q cmq 10131
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1781  ax-4 1795  ax-5 1892  ax-6 1951  ax-7 1996  ax-8 2085  ax-9 2093  ax-10 2114  ax-11 2128  ax-12 2143  ax-13 2346  ax-ext 2771  ax-sep 5101  ax-nul 5108  ax-pow 5164  ax-pr 5228  ax-un 7326
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1528  df-ex 1766  df-nf 1770  df-sb 2045  df-mo 2578  df-eu 2614  df-clab 2778  df-cleq 2790  df-clel 2865  df-nfc 2937  df-ne 2987  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rmo 3115  df-rab 3116  df-v 3442  df-sbc 3712  df-csb 3818  df-dif 3868  df-un 3870  df-in 3872  df-ss 3880  df-pss 3882  df-nul 4218  df-if 4388  df-pw 4461  df-sn 4479  df-pr 4481  df-tp 4483  df-op 4485  df-uni 4752  df-iun 4833  df-br 4969  df-opab 5031  df-mpt 5048  df-tr 5071  df-id 5355  df-eprel 5360  df-po 5369  df-so 5370  df-fr 5409  df-we 5411  df-xp 5456  df-rel 5457  df-cnv 5458  df-co 5459  df-dm 5460  df-rn 5461  df-res 5462  df-ima 5463  df-pred 6030  df-ord 6076  df-on 6077  df-lim 6078  df-suc 6079  df-iota 6196  df-fun 6234  df-fn 6235  df-f 6236  df-f1 6237  df-fo 6238  df-f1o 6239  df-fv 6240  df-ov 7026  df-oprab 7027  df-mpo 7028  df-om 7444  df-1st 7552  df-2nd 7553  df-wrecs 7805  df-recs 7867  df-rdg 7905  df-1o 7960  df-oadd 7964  df-omul 7965  df-er 8146  df-ni 10147  df-mi 10149  df-lti 10150  df-mpq 10184  df-enq 10186  df-nq 10187  df-erq 10188  df-mq 10190  df-1nq 10191
This theorem is referenced by:  mulcomnq  10228  mulerpq  10232  mulassnq  10234  distrnq  10236  recmulnq  10239  recclnq  10241  dmrecnq  10243  ltmnq  10247  prlem936  10322
  Copyright terms: Public domain W3C validator