Theorem mulnqf 10863

Description: Domain of multiplication on positive fractions. (Contributed by NM, 24-Aug-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Jul-2014.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
mulnqf	⊢ ·Q :(Q × Q)⟶Q

Proof of Theorem mulnqf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nqerf 10844	. . . 4 ⊢ [Q]:(N × N)⟶Q
2		mulpqf 10860	. . . 4 ⊢ ·pQ :((N × N) × (N × N))⟶(N × N)
3		fco 6686	. . . 4 ⊢ (([Q]:(N × N)⟶Q ∧ ·pQ :((N × N) × (N × N))⟶(N × N)) → ([Q] ∘ ·pQ ):((N × N) × (N × N))⟶Q)
4	1, 2, 3	mp2an 693	. . 3 ⊢ ([Q] ∘ ·pQ ):((N × N) × (N × N))⟶Q
5		elpqn 10839	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ Q → 𝑥 ∈ (N × N))
6	5	ssriv 3926	. . . 4 ⊢ Q ⊆ (N × N)
7		xpss12 5639	. . . 4 ⊢ ((Q ⊆ (N × N) ∧ Q ⊆ (N × N)) → (Q × Q) ⊆ ((N × N) × (N × N)))
8	6, 6, 7	mp2an 693	. . 3 ⊢ (Q × Q) ⊆ ((N × N) × (N × N))
9		fssres 6700	. . 3 ⊢ ((([Q] ∘ ·pQ ):((N × N) × (N × N))⟶Q ∧ (Q × Q) ⊆ ((N × N) × (N × N))) → (([Q] ∘ ·pQ ) ↾ (Q × Q)):(Q × Q)⟶Q)
10	4, 8, 9	mp2an 693	. 2 ⊢ (([Q] ∘ ·pQ ) ↾ (Q × Q)):(Q × Q)⟶Q
11		df-mq 10829	. . 3 ⊢ ·Q = (([Q] ∘ ·pQ ) ↾ (Q × Q))
12	11	feq1i 6653	. 2 ⊢ ( ·Q :(Q × Q)⟶Q ↔ (([Q] ∘ ·pQ ) ↾ (Q × Q)):(Q × Q)⟶Q)
13	10, 12	mpbir 231	1 ⊢ ·Q :(Q × Q)⟶Q

Syntax hints:   ⊆ wss 3890   × cxp 5622   ↾ cres 5626   ∘ ccom 5628  ⟶wf 6488  Ncnpi 10758   ·_pQ cmpq 10763  Qcnq 10766  [Q]cerq 10768   ·_Q cmq 10770

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pr 5370  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-oadd 8402  df-omul 8403  df-er 8636  df-ni 10786  df-mi 10788  df-lti 10789  df-mpq 10823  df-enq 10825  df-nq 10826  df-erq 10827  df-mq 10829  df-1nq 10830

This theorem is referenced by:  mulcomnq  10867  mulerpq  10871  mulassnq  10873  distrnq  10875  recmulnq  10878  recclnq  10880  dmrecnq  10882  ltmnq  10886  prlem936  10961