MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  alephfplem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem alephfplem4 10102
Description: Lemma for alephfp 10103. (Contributed by NM, 5-Nov-2004.)
Hypothesis
Ref Expression
alephfplem.1 𝐻 = (rec(β„΅, Ο‰) β†Ύ Ο‰)
Assertion
Ref Expression
alephfplem4 βˆͺ (𝐻 β€œ Ο‰) ∈ ran β„΅

Proof of Theorem alephfplem4
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frfnom 8435 . . . . 5 (rec(β„΅, Ο‰) β†Ύ Ο‰) Fn Ο‰
2 alephfplem.1 . . . . . 6 𝐻 = (rec(β„΅, Ο‰) β†Ύ Ο‰)
32fneq1i 6647 . . . . 5 (𝐻 Fn Ο‰ ↔ (rec(β„΅, Ο‰) β†Ύ Ο‰) Fn Ο‰)
41, 3mpbir 230 . . . 4 𝐻 Fn Ο‰
52alephfplem3 10101 . . . . 5 (𝑧 ∈ Ο‰ β†’ (π»β€˜π‘§) ∈ ran β„΅)
65rgen 3064 . . . 4 βˆ€π‘§ ∈ Ο‰ (π»β€˜π‘§) ∈ ran β„΅
7 ffnfv 7118 . . . 4 (𝐻:Ο‰βŸΆran β„΅ ↔ (𝐻 Fn Ο‰ ∧ βˆ€π‘§ ∈ Ο‰ (π»β€˜π‘§) ∈ ran β„΅))
84, 6, 7mpbir2an 710 . . 3 𝐻:Ο‰βŸΆran β„΅
9 ssun2 4174 . . 3 ran β„΅ βŠ† (Ο‰ βˆͺ ran β„΅)
10 fss 6735 . . 3 ((𝐻:Ο‰βŸΆran β„΅ ∧ ran β„΅ βŠ† (Ο‰ βˆͺ ran β„΅)) β†’ 𝐻:Ο‰βŸΆ(Ο‰ βˆͺ ran β„΅))
118, 9, 10mp2an 691 . 2 𝐻:Ο‰βŸΆ(Ο‰ βˆͺ ran β„΅)
12 peano1 7879 . . 3 βˆ… ∈ Ο‰
132alephfplem1 10099 . . 3 (π»β€˜βˆ…) ∈ ran β„΅
14 fveq2 6892 . . . . 5 (𝑧 = βˆ… β†’ (π»β€˜π‘§) = (π»β€˜βˆ…))
1514eleq1d 2819 . . . 4 (𝑧 = βˆ… β†’ ((π»β€˜π‘§) ∈ ran β„΅ ↔ (π»β€˜βˆ…) ∈ ran β„΅))
1615rspcev 3613 . . 3 ((βˆ… ∈ Ο‰ ∧ (π»β€˜βˆ…) ∈ ran β„΅) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ Ο‰ (π»β€˜π‘§) ∈ ran β„΅)
1712, 13, 16mp2an 691 . 2 βˆƒπ‘§ ∈ Ο‰ (π»β€˜π‘§) ∈ ran β„΅
18 omex 9638 . . 3 Ο‰ ∈ V
19 cardinfima 10092 . . 3 (Ο‰ ∈ V β†’ ((𝐻:Ο‰βŸΆ(Ο‰ βˆͺ ran β„΅) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ Ο‰ (π»β€˜π‘§) ∈ ran β„΅) β†’ βˆͺ (𝐻 β€œ Ο‰) ∈ ran β„΅))
2018, 19ax-mp 5 . 2 ((𝐻:Ο‰βŸΆ(Ο‰ βˆͺ ran β„΅) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ Ο‰ (π»β€˜π‘§) ∈ ran β„΅) β†’ βˆͺ (𝐻 β€œ Ο‰) ∈ ran β„΅)
2111, 17, 20mp2an 691 1 βˆͺ (𝐻 β€œ Ο‰) ∈ ran β„΅
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071  Vcvv 3475   βˆͺ cun 3947   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4323  βˆͺ cuni 4909  ran crn 5678   β†Ύ cres 5679   β€œ cima 5680   Fn wfn 6539  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  Ο‰com 7855  reccrdg 8409  β„΅cale 9931
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-oi 9505  df-har 9552  df-card 9934  df-aleph 9935
This theorem is referenced by:  alephfp  10103  alephfp2  10104
  Copyright terms: Public domain W3C validator