MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  alephfplem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem alephfplem4 10104
Description: Lemma for alephfp 10105. (Contributed by NM, 5-Nov-2004.)
Hypothesis
Ref Expression
alephfplem.1 𝐻 = (rec(β„΅, Ο‰) β†Ύ Ο‰)
Assertion
Ref Expression
alephfplem4 βˆͺ (𝐻 β€œ Ο‰) ∈ ran β„΅

Proof of Theorem alephfplem4
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frfnom 8437 . . . . 5 (rec(β„΅, Ο‰) β†Ύ Ο‰) Fn Ο‰
2 alephfplem.1 . . . . . 6 𝐻 = (rec(β„΅, Ο‰) β†Ύ Ο‰)
32fneq1i 6646 . . . . 5 (𝐻 Fn Ο‰ ↔ (rec(β„΅, Ο‰) β†Ύ Ο‰) Fn Ο‰)
41, 3mpbir 230 . . . 4 𝐻 Fn Ο‰
52alephfplem3 10103 . . . . 5 (𝑧 ∈ Ο‰ β†’ (π»β€˜π‘§) ∈ ran β„΅)
65rgen 3063 . . . 4 βˆ€π‘§ ∈ Ο‰ (π»β€˜π‘§) ∈ ran β„΅
7 ffnfv 7120 . . . 4 (𝐻:Ο‰βŸΆran β„΅ ↔ (𝐻 Fn Ο‰ ∧ βˆ€π‘§ ∈ Ο‰ (π»β€˜π‘§) ∈ ran β„΅))
84, 6, 7mpbir2an 709 . . 3 𝐻:Ο‰βŸΆran β„΅
9 ssun2 4173 . . 3 ran β„΅ βŠ† (Ο‰ βˆͺ ran β„΅)
10 fss 6734 . . 3 ((𝐻:Ο‰βŸΆran β„΅ ∧ ran β„΅ βŠ† (Ο‰ βˆͺ ran β„΅)) β†’ 𝐻:Ο‰βŸΆ(Ο‰ βˆͺ ran β„΅))
118, 9, 10mp2an 690 . 2 𝐻:Ο‰βŸΆ(Ο‰ βˆͺ ran β„΅)
12 peano1 7881 . . 3 βˆ… ∈ Ο‰
132alephfplem1 10101 . . 3 (π»β€˜βˆ…) ∈ ran β„΅
14 fveq2 6891 . . . . 5 (𝑧 = βˆ… β†’ (π»β€˜π‘§) = (π»β€˜βˆ…))
1514eleq1d 2818 . . . 4 (𝑧 = βˆ… β†’ ((π»β€˜π‘§) ∈ ran β„΅ ↔ (π»β€˜βˆ…) ∈ ran β„΅))
1615rspcev 3612 . . 3 ((βˆ… ∈ Ο‰ ∧ (π»β€˜βˆ…) ∈ ran β„΅) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ Ο‰ (π»β€˜π‘§) ∈ ran β„΅)
1712, 13, 16mp2an 690 . 2 βˆƒπ‘§ ∈ Ο‰ (π»β€˜π‘§) ∈ ran β„΅
18 omex 9640 . . 3 Ο‰ ∈ V
19 cardinfima 10094 . . 3 (Ο‰ ∈ V β†’ ((𝐻:Ο‰βŸΆ(Ο‰ βˆͺ ran β„΅) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ Ο‰ (π»β€˜π‘§) ∈ ran β„΅) β†’ βˆͺ (𝐻 β€œ Ο‰) ∈ ran β„΅))
2018, 19ax-mp 5 . 2 ((𝐻:Ο‰βŸΆ(Ο‰ βˆͺ ran β„΅) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ Ο‰ (π»β€˜π‘§) ∈ ran β„΅) β†’ βˆͺ (𝐻 β€œ Ο‰) ∈ ran β„΅)
2111, 17, 20mp2an 690 1 βˆͺ (𝐻 β€œ Ο‰) ∈ ran β„΅
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  Vcvv 3474   βˆͺ cun 3946   βŠ† wss 3948  βˆ…c0 4322  βˆͺ cuni 4908  ran crn 5677   β†Ύ cres 5678   β€œ cima 5679   Fn wfn 6538  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  Ο‰com 7857  reccrdg 8411  β„΅cale 9933
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-inf2 9638
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-oi 9507  df-har 9554  df-card 9936  df-aleph 9937
This theorem is referenced by:  alephfp  10105  alephfp2  10106
  Copyright terms: Public domain W3C validator