Theorem alephfnon 10048

Description: The aleph function is a function on the class of ordinal numbers. (Contributed by NM, 21-Oct-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
alephfnon	⊢ ℵ Fn On

Proof of Theorem alephfnon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rdgfnon 8404	. 2 ⊢ rec(har, ω) Fn On
2		df-aleph 9925	. . 3 ⊢ ℵ = rec(har, ω)
3	2	fneq1i 6632	. 2 ⊢ (ℵ Fn On ↔ rec(har, ω) Fn On)
4	1, 3	mpbir 234	1 ⊢ ℵ Fn On

Syntax hints:  Oncon0 6360   Fn wfn 6531  ωcom 7861  reccrdg 8395  harchar 9517  ℵcale 9921

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pr 5404  ax-un 7732

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-aleph 9925

This theorem is referenced by:  alephon  10052  alephcard  10053  alephnbtwn  10054  alephgeom  10065  alephf1  10068  infenaleph  10074  isinfcard  10075  alephiso  10081  alephsmo  10085  alephf1ALT  10086  alephfplem1  10087  alephfplem3  10089  alephsing  10259  alephadd  10561  alephreg  10566  pwcfsdom  10567  cfpwsdom  10568  gch2  10659  gch3  10660