Theorem alephfnon 9285

Description: The aleph function is a function on the class of ordinal numbers. (Contributed by NM, 21-Oct-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
alephfnon	⊢ ℵ Fn On

Proof of Theorem alephfnon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rdgfnon 7858	. 2 ⊢ rec(har, ω) Fn On
2		df-aleph 9163	. . 3 ⊢ ℵ = rec(har, ω)
3	2	fneq1i 6283	. 2 ⊢ (ℵ Fn On ↔ rec(har, ω) Fn On)
4	1, 3	mpbir 223	1 ⊢ ℵ Fn On

Syntax hints:  Oncon0 6029   Fn wfn 6183  ωcom 7396  reccrdg 7849  harchar 8815  ℵcale 9159

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-rep 5049  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3682  df-csb 3787  df-dif 3832  df-un 3834  df-in 3836  df-ss 3843  df-pss 3845  df-nul 4179  df-if 4351  df-sn 4442  df-pr 4444  df-tp 4446  df-op 4448  df-uni 4713  df-iun 4794  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-tr 5031  df-id 5312  df-eprel 5317  df-po 5326  df-so 5327  df-fr 5366  df-we 5368  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-pred 5986  df-ord 6032  df-on 6033  df-suc 6035  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-wrecs 7750  df-recs 7812  df-rdg 7850  df-aleph 9163

This theorem is referenced by:  alephon  9289  alephcard  9290  alephnbtwn  9291  alephgeom  9302  alephf1  9305  infenaleph  9311  isinfcard  9312  alephiso  9318  alephsmo  9322  alephf1ALT  9323  alephfplem1  9324  alephfplem3  9326  alephsing  9496  alephadd  9797  alephreg  9802  pwcfsdom  9803  cfpwsdom  9804  gch2  9895  gch3  9896