Theorem alephfnon 10007

Description: The aleph function is a function on the class of ordinal numbers. (Contributed by NM, 21-Oct-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
alephfnon	⊢ ℵ Fn On

Proof of Theorem alephfnon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rdgfnon 8373	. 2 ⊢ rec(har, ω) Fn On
2		df-aleph 9884	. . 3 ⊢ ℵ = rec(har, ω)
3	2	fneq1i 6603	. 2 ⊢ (ℵ Fn On ↔ rec(har, ω) Fn On)
4	1, 3	mpbir 233	1 ⊢ ℵ Fn On

Syntax hints:  Oncon0 6331   Fn wfn 6501  ωcom 7831  reccrdg 8364  harchar 9490  ℵcale 9880

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1805  ax-4 1819  ax-5 1920  ax-6 1977  ax-7 2018  ax-8 2134  ax-9 2142  ax-10 2165  ax-11 2181  ax-12 2202  ax-ext 2724  ax-rep 5217  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pr 5380  ax-un 7703

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1553  df-fal 1563  df-ex 1790  df-nf 1794  df-sb 2081  df-mo 2556  df-eu 2586  df-clab 2731  df-cleq 2744  df-clel 2827  df-nfc 2901  df-ne 2948  df-ral 3067  df-rex 3077  df-reu 3358  df-rab 3405  df-v 3446  df-sbc 3736  df-csb 3844  df-dif 3898  df-un 3900  df-in 3902  df-ss 3912  df-pss 3915  df-nul 4277  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4573  df-pr 4575  df-op 4579  df-uni 4856  df-iun 4941  df-br 5091  df-opab 5153  df-mpt 5172  df-tr 5198  df-id 5531  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5642  df-rel 5643  df-cnv 5644  df-co 5645  df-dm 5646  df-rn 5647  df-res 5648  df-ima 5649  df-pred 6273  df-ord 6334  df-on 6335  df-suc 6337  df-iota 6462  df-fun 6508  df-fn 6509  df-f 6510  df-f1 6511  df-fo 6512  df-f1o 6513  df-fv 6514  df-ov 7384  df-2nd 7956  df-frecs 8246  df-wrecs 8277  df-recs 8326  df-rdg 8365  df-aleph 9884

This theorem is referenced by:  alephon  10011  alephcard  10012  alephnbtwn  10013  alephgeom  10024  alephf1  10027  infenaleph  10033  isinfcard  10034  alephiso  10040  alephsmo  10044  alephf1ALT  10045  alephfplem1  10046  alephfplem3  10048  alephsing  10219  alephadd  10521  alephreg  10526  pwcfsdom  10527  cfpwsdom  10528  gch2  10619  gch3  10620