![]() |
Mathbox for Glauco Siliprandi |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > ltmulneg | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Multiplying by a negative number, swaps the order. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.) |
Ref | Expression |
---|---|
ltmulneg.a | โข (๐ โ ๐ด โ โ) |
ltmulneg.b | โข (๐ โ ๐ต โ โ) |
ltmulneg.c | โข (๐ โ ๐ถ โ โ) |
ltmulneg.n | โข (๐ โ ๐ถ < 0) |
Ref | Expression |
---|---|
ltmulneg | โข (๐ โ (๐ด < ๐ต โ (๐ต ยท ๐ถ) < (๐ด ยท ๐ถ))) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | ltmulneg.a | . . 3 โข (๐ โ ๐ด โ โ) | |
2 | ltmulneg.b | . . 3 โข (๐ โ ๐ต โ โ) | |
3 | ltmulneg.c | . . . 4 โข (๐ โ ๐ถ โ โ) | |
4 | ltmulneg.n | . . . 4 โข (๐ โ ๐ถ < 0) | |
5 | 3, 4 | negelrpd 13014 | . . 3 โข (๐ โ -๐ถ โ โ+) |
6 | 1, 2, 5 | ltmul1d 13063 | . 2 โข (๐ โ (๐ด < ๐ต โ (๐ด ยท -๐ถ) < (๐ต ยท -๐ถ))) |
7 | 3 | renegcld 11645 | . . . 4 โข (๐ โ -๐ถ โ โ) |
8 | 1, 7 | remulcld 11248 | . . 3 โข (๐ โ (๐ด ยท -๐ถ) โ โ) |
9 | 2, 7 | remulcld 11248 | . . 3 โข (๐ โ (๐ต ยท -๐ถ) โ โ) |
10 | 8, 9 | ltnegd 11796 | . 2 โข (๐ โ ((๐ด ยท -๐ถ) < (๐ต ยท -๐ถ) โ -(๐ต ยท -๐ถ) < -(๐ด ยท -๐ถ))) |
11 | 2 | recnd 11246 | . . . . 5 โข (๐ โ ๐ต โ โ) |
12 | 7 | recnd 11246 | . . . . 5 โข (๐ โ -๐ถ โ โ) |
13 | 11, 12 | mulneg2d 11672 | . . . 4 โข (๐ โ (๐ต ยท --๐ถ) = -(๐ต ยท -๐ถ)) |
14 | 3 | recnd 11246 | . . . . . 6 โข (๐ โ ๐ถ โ โ) |
15 | 14 | negnegd 11566 | . . . . 5 โข (๐ โ --๐ถ = ๐ถ) |
16 | 15 | oveq2d 7421 | . . . 4 โข (๐ โ (๐ต ยท --๐ถ) = (๐ต ยท ๐ถ)) |
17 | 13, 16 | eqtr3d 2768 | . . 3 โข (๐ โ -(๐ต ยท -๐ถ) = (๐ต ยท ๐ถ)) |
18 | 1 | recnd 11246 | . . . . 5 โข (๐ โ ๐ด โ โ) |
19 | 18, 12 | mulneg2d 11672 | . . . 4 โข (๐ โ (๐ด ยท --๐ถ) = -(๐ด ยท -๐ถ)) |
20 | 15 | oveq2d 7421 | . . . 4 โข (๐ โ (๐ด ยท --๐ถ) = (๐ด ยท ๐ถ)) |
21 | 19, 20 | eqtr3d 2768 | . . 3 โข (๐ โ -(๐ด ยท -๐ถ) = (๐ด ยท ๐ถ)) |
22 | 17, 21 | breq12d 5154 | . 2 โข (๐ โ (-(๐ต ยท -๐ถ) < -(๐ด ยท -๐ถ) โ (๐ต ยท ๐ถ) < (๐ด ยท ๐ถ))) |
23 | 6, 10, 22 | 3bitrd 305 | 1 โข (๐ โ (๐ด < ๐ต โ (๐ต ยท ๐ถ) < (๐ด ยท ๐ถ))) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โ wb 205 โ wcel 2098 class class class wbr 5141 (class class class)co 7405 โcr 11111 0cc0 11112 ยท cmul 11117 < clt 11252 -cneg 11449 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2163 ax-ext 2697 ax-sep 5292 ax-nul 5299 ax-pow 5356 ax-pr 5420 ax-un 7722 ax-resscn 11169 ax-1cn 11170 ax-icn 11171 ax-addcl 11172 ax-addrcl 11173 ax-mulcl 11174 ax-mulrcl 11175 ax-mulcom 11176 ax-addass 11177 ax-mulass 11178 ax-distr 11179 ax-i2m1 11180 ax-1ne0 11181 ax-1rid 11182 ax-rnegex 11183 ax-rrecex 11184 ax-cnre 11185 ax-pre-lttri 11186 ax-pre-lttrn 11187 ax-pre-ltadd 11188 ax-pre-mulgt0 11189 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 845 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2528 df-eu 2557 df-clab 2704 df-cleq 2718 df-clel 2804 df-nfc 2879 df-ne 2935 df-nel 3041 df-ral 3056 df-rex 3065 df-reu 3371 df-rab 3427 df-v 3470 df-sbc 3773 df-csb 3889 df-dif 3946 df-un 3948 df-in 3950 df-ss 3960 df-nul 4318 df-if 4524 df-pw 4599 df-sn 4624 df-pr 4626 df-op 4630 df-uni 4903 df-br 5142 df-opab 5204 df-mpt 5225 df-id 5567 df-po 5581 df-so 5582 df-xp 5675 df-rel 5676 df-cnv 5677 df-co 5678 df-dm 5679 df-rn 5680 df-res 5681 df-ima 5682 df-iota 6489 df-fun 6539 df-fn 6540 df-f 6541 df-f1 6542 df-fo 6543 df-f1o 6544 df-fv 6545 df-riota 7361 df-ov 7408 df-oprab 7409 df-mpo 7410 df-er 8705 df-en 8942 df-dom 8943 df-sdom 8944 df-pnf 11254 df-mnf 11255 df-xr 11256 df-ltxr 11257 df-le 11258 df-sub 11450 df-neg 11451 df-rp 12981 |
This theorem is referenced by: ltdiv23neg 44673 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |