Theorem ltmulneg 45430

Description: Multiplying by a negative number, swaps the order. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltmulneg.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltmulneg.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ltmulneg.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
ltmulneg.n	⊢ (𝜑 → 𝐶 < 0)

Assertion

Ref	Expression
ltmulneg	⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐵 · 𝐶) < (𝐴 · 𝐶)))

Proof of Theorem ltmulneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltmulneg.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltmulneg.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		ltmulneg.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
4		ltmulneg.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 < 0)
5	3, 4	negelrpd 12921	. . 3 ⊢ (𝜑 → -𝐶 ∈ ℝ+)
6	1, 2, 5	ltmul1d 12970	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐴 · -𝐶) < (𝐵 · -𝐶)))
7	3	renegcld 11539	. . . 4 ⊢ (𝜑 → -𝐶 ∈ ℝ)
8	1, 7	remulcld 11137	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · -𝐶) ∈ ℝ)
9	2, 7	remulcld 11137	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · -𝐶) ∈ ℝ)
10	8, 9	ltnegd 11690	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · -𝐶) < (𝐵 · -𝐶) ↔ -(𝐵 · -𝐶) < -(𝐴 · -𝐶)))
11	2	recnd 11135	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
12	7	recnd 11135	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → -𝐶 ∈ ℂ)
13	11, 12	mulneg2d 11566	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · --𝐶) = -(𝐵 · -𝐶))
14	3	recnd 11135	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
15	14	negnegd 11458	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → --𝐶 = 𝐶)
16	15	oveq2d 7357	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · --𝐶) = (𝐵 · 𝐶))
17	13, 16	eqtr3d 2768	. . 3 ⊢ (𝜑 → -(𝐵 · -𝐶) = (𝐵 · 𝐶))
18	1	recnd 11135	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
19	18, 12	mulneg2d 11566	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · --𝐶) = -(𝐴 · -𝐶))
20	15	oveq2d 7357	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · --𝐶) = (𝐴 · 𝐶))
21	19, 20	eqtr3d 2768	. . 3 ⊢ (𝜑 → -(𝐴 · -𝐶) = (𝐴 · 𝐶))
22	17, 21	breq12d 5099	. 2 ⊢ (𝜑 → (-(𝐵 · -𝐶) < -(𝐴 · -𝐶) ↔ (𝐵 · 𝐶) < (𝐴 · 𝐶)))
23	6, 10, 22	3bitrd 305	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐵 · 𝐶) < (𝐴 · 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5086  (class class class)co 7341  ℝcr 11000  0cc0 11001   · cmul 11006   < clt 11141  -cneg 11340

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077  ax-pre-mulgt0 11078

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5506  df-po 5519  df-so 5520  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-sub 11341  df-neg 11342  df-rp 12886

This theorem is referenced by:  ltdiv23neg  45432