Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ltmulneg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltmulneg 45403
Description: Multiplying by a negative number, swaps the order. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
ltmulneg.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ltmulneg.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
ltmulneg.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
ltmulneg.n (𝜑𝐶 < 0)
Assertion
Ref Expression
ltmulneg (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐵 · 𝐶) < (𝐴 · 𝐶)))

Proof of Theorem ltmulneg
StepHypRef Expression
1 ltmulneg.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 ltmulneg.b . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
3 ltmulneg.c . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
4 ltmulneg.n . . . 4 (𝜑𝐶 < 0)
53, 4negelrpd 13069 . . 3 (𝜑 → -𝐶 ∈ ℝ+)
61, 2, 5ltmul1d 13118 . 2 (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐴 · -𝐶) < (𝐵 · -𝐶)))
73renegcld 11690 . . . 4 (𝜑 → -𝐶 ∈ ℝ)
81, 7remulcld 11291 . . 3 (𝜑 → (𝐴 · -𝐶) ∈ ℝ)
92, 7remulcld 11291 . . 3 (𝜑 → (𝐵 · -𝐶) ∈ ℝ)
108, 9ltnegd 11841 . 2 (𝜑 → ((𝐴 · -𝐶) < (𝐵 · -𝐶) ↔ -(𝐵 · -𝐶) < -(𝐴 · -𝐶)))
112recnd 11289 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
127recnd 11289 . . . . 5 (𝜑 → -𝐶 ∈ ℂ)
1311, 12mulneg2d 11717 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 · --𝐶) = -(𝐵 · -𝐶))
143recnd 11289 . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
1514negnegd 11611 . . . . 5 (𝜑 → --𝐶 = 𝐶)
1615oveq2d 7447 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 · --𝐶) = (𝐵 · 𝐶))
1713, 16eqtr3d 2779 . . 3 (𝜑 → -(𝐵 · -𝐶) = (𝐵 · 𝐶))
181recnd 11289 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
1918, 12mulneg2d 11717 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 · --𝐶) = -(𝐴 · -𝐶))
2015oveq2d 7447 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 · --𝐶) = (𝐴 · 𝐶))
2119, 20eqtr3d 2779 . . 3 (𝜑 → -(𝐴 · -𝐶) = (𝐴 · 𝐶))
2217, 21breq12d 5156 . 2 (𝜑 → (-(𝐵 · -𝐶) < -(𝐴 · -𝐶) ↔ (𝐵 · 𝐶) < (𝐴 · 𝐶)))
236, 10, 223bitrd 305 1 (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐵 · 𝐶) < (𝐴 · 𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wcel 2108   class class class wbr 5143  (class class class)co 7431  cr 11154  0cc0 11155   · cmul 11160   < clt 11295  -cneg 11493
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-rp 13035
This theorem is referenced by:  ltdiv23neg  45405
  Copyright terms: Public domain W3C validator