Theorem ltmulneg 41657

Description: Multiplying by a negative number, swaps the order. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltmulneg.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltmulneg.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ltmulneg.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
ltmulneg.n	⊢ (𝜑 → 𝐶 < 0)

Assertion

Ref	Expression
ltmulneg	⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐵 · 𝐶) < (𝐴 · 𝐶)))

Proof of Theorem ltmulneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltmulneg.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltmulneg.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		ltmulneg.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
4		ltmulneg.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 < 0)
5	3, 4	negelrpd 12417	. . 3 ⊢ (𝜑 → -𝐶 ∈ ℝ+)
6	1, 2, 5	ltmul1d 12466	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐴 · -𝐶) < (𝐵 · -𝐶)))
7	3	renegcld 11061	. . . 4 ⊢ (𝜑 → -𝐶 ∈ ℝ)
8	1, 7	remulcld 10665	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · -𝐶) ∈ ℝ)
9	2, 7	remulcld 10665	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · -𝐶) ∈ ℝ)
10	8, 9	ltnegd 11212	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · -𝐶) < (𝐵 · -𝐶) ↔ -(𝐵 · -𝐶) < -(𝐴 · -𝐶)))
11	2	recnd 10663	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
12	7	recnd 10663	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → -𝐶 ∈ ℂ)
13	11, 12	mulneg2d 11088	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · --𝐶) = -(𝐵 · -𝐶))
14	3	recnd 10663	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
15	14	negnegd 10982	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → --𝐶 = 𝐶)
16	15	oveq2d 7166	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · --𝐶) = (𝐵 · 𝐶))
17	13, 16	eqtr3d 2858	. . 3 ⊢ (𝜑 → -(𝐵 · -𝐶) = (𝐵 · 𝐶))
18	1	recnd 10663	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
19	18, 12	mulneg2d 11088	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · --𝐶) = -(𝐴 · -𝐶))
20	15	oveq2d 7166	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · --𝐶) = (𝐴 · 𝐶))
21	19, 20	eqtr3d 2858	. . 3 ⊢ (𝜑 → -(𝐴 · -𝐶) = (𝐴 · 𝐶))
22	17, 21	breq12d 5071	. 2 ⊢ (𝜑 → (-(𝐵 · -𝐶) < -(𝐴 · -𝐶) ↔ (𝐵 · 𝐶) < (𝐴 · 𝐶)))
23	6, 10, 22	3bitrd 307	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐵 · 𝐶) < (𝐴 · 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∈ wcel 2110   class class class wbr 5058  (class class class)co 7150  ℝcr 10530  0cc0 10531   · cmul 10536   < clt 10669  -cneg 10865

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-op 4567  df-uni 4832  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-id 5454  df-po 5468  df-so 5469  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-rp 12384

This theorem is referenced by:  ltdiv23neg  41659