![]() |
Mathbox for Glauco Siliprandi |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > ltmulneg | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Multiplying by a negative number, swaps the order. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.) |
Ref | Expression |
---|---|
ltmulneg.a | โข (๐ โ ๐ด โ โ) |
ltmulneg.b | โข (๐ โ ๐ต โ โ) |
ltmulneg.c | โข (๐ โ ๐ถ โ โ) |
ltmulneg.n | โข (๐ โ ๐ถ < 0) |
Ref | Expression |
---|---|
ltmulneg | โข (๐ โ (๐ด < ๐ต โ (๐ต ยท ๐ถ) < (๐ด ยท ๐ถ))) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | ltmulneg.a | . . 3 โข (๐ โ ๐ด โ โ) | |
2 | ltmulneg.b | . . 3 โข (๐ โ ๐ต โ โ) | |
3 | ltmulneg.c | . . . 4 โข (๐ โ ๐ถ โ โ) | |
4 | ltmulneg.n | . . . 4 โข (๐ โ ๐ถ < 0) | |
5 | 3, 4 | negelrpd 13050 | . . 3 โข (๐ โ -๐ถ โ โ+) |
6 | 1, 2, 5 | ltmul1d 13099 | . 2 โข (๐ โ (๐ด < ๐ต โ (๐ด ยท -๐ถ) < (๐ต ยท -๐ถ))) |
7 | 3 | renegcld 11681 | . . . 4 โข (๐ โ -๐ถ โ โ) |
8 | 1, 7 | remulcld 11284 | . . 3 โข (๐ โ (๐ด ยท -๐ถ) โ โ) |
9 | 2, 7 | remulcld 11284 | . . 3 โข (๐ โ (๐ต ยท -๐ถ) โ โ) |
10 | 8, 9 | ltnegd 11832 | . 2 โข (๐ โ ((๐ด ยท -๐ถ) < (๐ต ยท -๐ถ) โ -(๐ต ยท -๐ถ) < -(๐ด ยท -๐ถ))) |
11 | 2 | recnd 11282 | . . . . 5 โข (๐ โ ๐ต โ โ) |
12 | 7 | recnd 11282 | . . . . 5 โข (๐ โ -๐ถ โ โ) |
13 | 11, 12 | mulneg2d 11708 | . . . 4 โข (๐ โ (๐ต ยท --๐ถ) = -(๐ต ยท -๐ถ)) |
14 | 3 | recnd 11282 | . . . . . 6 โข (๐ โ ๐ถ โ โ) |
15 | 14 | negnegd 11602 | . . . . 5 โข (๐ โ --๐ถ = ๐ถ) |
16 | 15 | oveq2d 7442 | . . . 4 โข (๐ โ (๐ต ยท --๐ถ) = (๐ต ยท ๐ถ)) |
17 | 13, 16 | eqtr3d 2770 | . . 3 โข (๐ โ -(๐ต ยท -๐ถ) = (๐ต ยท ๐ถ)) |
18 | 1 | recnd 11282 | . . . . 5 โข (๐ โ ๐ด โ โ) |
19 | 18, 12 | mulneg2d 11708 | . . . 4 โข (๐ โ (๐ด ยท --๐ถ) = -(๐ด ยท -๐ถ)) |
20 | 15 | oveq2d 7442 | . . . 4 โข (๐ โ (๐ด ยท --๐ถ) = (๐ด ยท ๐ถ)) |
21 | 19, 20 | eqtr3d 2770 | . . 3 โข (๐ โ -(๐ด ยท -๐ถ) = (๐ด ยท ๐ถ)) |
22 | 17, 21 | breq12d 5165 | . 2 โข (๐ โ (-(๐ต ยท -๐ถ) < -(๐ด ยท -๐ถ) โ (๐ต ยท ๐ถ) < (๐ด ยท ๐ถ))) |
23 | 6, 10, 22 | 3bitrd 304 | 1 โข (๐ โ (๐ด < ๐ต โ (๐ต ยท ๐ถ) < (๐ด ยท ๐ถ))) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โ wb 205 โ wcel 2098 class class class wbr 5152 (class class class)co 7426 โcr 11147 0cc0 11148 ยท cmul 11153 < clt 11288 -cneg 11485 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2166 ax-ext 2699 ax-sep 5303 ax-nul 5310 ax-pow 5369 ax-pr 5433 ax-un 7748 ax-resscn 11205 ax-1cn 11206 ax-icn 11207 ax-addcl 11208 ax-addrcl 11209 ax-mulcl 11210 ax-mulrcl 11211 ax-mulcom 11212 ax-addass 11213 ax-mulass 11214 ax-distr 11215 ax-i2m1 11216 ax-1ne0 11217 ax-1rid 11218 ax-rnegex 11219 ax-rrecex 11220 ax-cnre 11221 ax-pre-lttri 11222 ax-pre-lttrn 11223 ax-pre-ltadd 11224 ax-pre-mulgt0 11225 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 395 df-or 846 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2529 df-eu 2558 df-clab 2706 df-cleq 2720 df-clel 2806 df-nfc 2881 df-ne 2938 df-nel 3044 df-ral 3059 df-rex 3068 df-reu 3375 df-rab 3431 df-v 3475 df-sbc 3779 df-csb 3895 df-dif 3952 df-un 3954 df-in 3956 df-ss 3966 df-nul 4327 df-if 4533 df-pw 4608 df-sn 4633 df-pr 4635 df-op 4639 df-uni 4913 df-br 5153 df-opab 5215 df-mpt 5236 df-id 5580 df-po 5594 df-so 5595 df-xp 5688 df-rel 5689 df-cnv 5690 df-co 5691 df-dm 5692 df-rn 5693 df-res 5694 df-ima 5695 df-iota 6505 df-fun 6555 df-fn 6556 df-f 6557 df-f1 6558 df-fo 6559 df-f1o 6560 df-fv 6561 df-riota 7382 df-ov 7429 df-oprab 7430 df-mpo 7431 df-er 8733 df-en 8973 df-dom 8974 df-sdom 8975 df-pnf 11290 df-mnf 11291 df-xr 11292 df-ltxr 11293 df-le 11294 df-sub 11486 df-neg 11487 df-rp 13017 |
This theorem is referenced by: ltdiv23neg 44823 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |