Theorem ltmulneg 45341

Description: Multiplying by a negative number, swaps the order. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltmulneg.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltmulneg.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ltmulneg.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
ltmulneg.n	⊢ (𝜑 → 𝐶 < 0)

Assertion

Ref	Expression
ltmulneg	⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐵 · 𝐶) < (𝐴 · 𝐶)))

Proof of Theorem ltmulneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltmulneg.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltmulneg.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		ltmulneg.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
4		ltmulneg.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 < 0)
5	3, 4	negelrpd 13066	. . 3 ⊢ (𝜑 → -𝐶 ∈ ℝ+)
6	1, 2, 5	ltmul1d 13115	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐴 · -𝐶) < (𝐵 · -𝐶)))
7	3	renegcld 11687	. . . 4 ⊢ (𝜑 → -𝐶 ∈ ℝ)
8	1, 7	remulcld 11288	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · -𝐶) ∈ ℝ)
9	2, 7	remulcld 11288	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · -𝐶) ∈ ℝ)
10	8, 9	ltnegd 11838	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · -𝐶) < (𝐵 · -𝐶) ↔ -(𝐵 · -𝐶) < -(𝐴 · -𝐶)))
11	2	recnd 11286	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
12	7	recnd 11286	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → -𝐶 ∈ ℂ)
13	11, 12	mulneg2d 11714	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · --𝐶) = -(𝐵 · -𝐶))
14	3	recnd 11286	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
15	14	negnegd 11608	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → --𝐶 = 𝐶)
16	15	oveq2d 7446	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · --𝐶) = (𝐵 · 𝐶))
17	13, 16	eqtr3d 2776	. . 3 ⊢ (𝜑 → -(𝐵 · -𝐶) = (𝐵 · 𝐶))
18	1	recnd 11286	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
19	18, 12	mulneg2d 11714	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · --𝐶) = -(𝐴 · -𝐶))
20	15	oveq2d 7446	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · --𝐶) = (𝐴 · 𝐶))
21	19, 20	eqtr3d 2776	. . 3 ⊢ (𝜑 → -(𝐴 · -𝐶) = (𝐴 · 𝐶))
22	17, 21	breq12d 5160	. 2 ⊢ (𝜑 → (-(𝐵 · -𝐶) < -(𝐴 · -𝐶) ↔ (𝐵 · 𝐶) < (𝐴 · 𝐶)))
23	6, 10, 22	3bitrd 305	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐵 · 𝐶) < (𝐴 · 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∈ wcel 2105   class class class wbr 5147  (class class class)co 7430  ℝcr 11151  0cc0 11152   · cmul 11157   < clt 11292  -cneg 11490

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5582  df-po 5596  df-so 5597  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-rp 13032

This theorem is referenced by:  ltdiv23neg  45343