Theorem ltmulneg 42886

Description: Multiplying by a negative number, swaps the order. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltmulneg.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltmulneg.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ltmulneg.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
ltmulneg.n	⊢ (𝜑 → 𝐶 < 0)

Assertion

Ref	Expression
ltmulneg	⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐵 · 𝐶) < (𝐴 · 𝐶)))

Proof of Theorem ltmulneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltmulneg.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltmulneg.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		ltmulneg.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
4		ltmulneg.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 < 0)
5	3, 4	negelrpd 12746	. . 3 ⊢ (𝜑 → -𝐶 ∈ ℝ+)
6	1, 2, 5	ltmul1d 12795	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐴 · -𝐶) < (𝐵 · -𝐶)))
7	3	renegcld 11385	. . . 4 ⊢ (𝜑 → -𝐶 ∈ ℝ)
8	1, 7	remulcld 10989	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · -𝐶) ∈ ℝ)
9	2, 7	remulcld 10989	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · -𝐶) ∈ ℝ)
10	8, 9	ltnegd 11536	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · -𝐶) < (𝐵 · -𝐶) ↔ -(𝐵 · -𝐶) < -(𝐴 · -𝐶)))
11	2	recnd 10987	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
12	7	recnd 10987	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → -𝐶 ∈ ℂ)
13	11, 12	mulneg2d 11412	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · --𝐶) = -(𝐵 · -𝐶))
14	3	recnd 10987	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
15	14	negnegd 11306	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → --𝐶 = 𝐶)
16	15	oveq2d 7284	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · --𝐶) = (𝐵 · 𝐶))
17	13, 16	eqtr3d 2781	. . 3 ⊢ (𝜑 → -(𝐵 · -𝐶) = (𝐵 · 𝐶))
18	1	recnd 10987	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
19	18, 12	mulneg2d 11412	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · --𝐶) = -(𝐴 · -𝐶))
20	15	oveq2d 7284	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · --𝐶) = (𝐴 · 𝐶))
21	19, 20	eqtr3d 2781	. . 3 ⊢ (𝜑 → -(𝐴 · -𝐶) = (𝐴 · 𝐶))
22	17, 21	breq12d 5091	. 2 ⊢ (𝜑 → (-(𝐵 · -𝐶) < -(𝐴 · -𝐶) ↔ (𝐵 · 𝐶) < (𝐴 · 𝐶)))
23	6, 10, 22	3bitrd 304	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐵 · 𝐶) < (𝐴 · 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5078  (class class class)co 7268  ℝcr 10854  0cc0 10855   · cmul 10860   < clt 10993  -cneg 11189

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579  ax-resscn 10912  ax-1cn 10913  ax-icn 10914  ax-addcl 10915  ax-addrcl 10916  ax-mulcl 10917  ax-mulrcl 10918  ax-mulcom 10919  ax-addass 10920  ax-mulass 10921  ax-distr 10922  ax-i2m1 10923  ax-1ne0 10924  ax-1rid 10925  ax-rnegex 10926  ax-rrecex 10927  ax-cnre 10928  ax-pre-lttri 10929  ax-pre-lttrn 10930  ax-pre-ltadd 10931  ax-pre-mulgt0 10932

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3072  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-op 4573  df-uni 4845  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-id 5488  df-po 5502  df-so 5503  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-er 8472  df-en 8708  df-dom 8709  df-sdom 8710  df-pnf 10995  df-mnf 10996  df-xr 10997  df-ltxr 10998  df-le 10999  df-sub 11190  df-neg 11191  df-rp 12713

This theorem is referenced by:  ltdiv23neg  42888