Theorem ltmulneg 44092

Description: Multiplying by a negative number, swaps the order. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltmulneg.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltmulneg.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ltmulneg.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
ltmulneg.n	⊢ (𝜑 → 𝐶 < 0)

Assertion

Ref	Expression
ltmulneg	⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐵 · 𝐶) < (𝐴 · 𝐶)))

Proof of Theorem ltmulneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltmulneg.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltmulneg.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		ltmulneg.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
4		ltmulneg.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 < 0)
5	3, 4	negelrpd 13007	. . 3 ⊢ (𝜑 → -𝐶 ∈ ℝ+)
6	1, 2, 5	ltmul1d 13056	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐴 · -𝐶) < (𝐵 · -𝐶)))
7	3	renegcld 11640	. . . 4 ⊢ (𝜑 → -𝐶 ∈ ℝ)
8	1, 7	remulcld 11243	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · -𝐶) ∈ ℝ)
9	2, 7	remulcld 11243	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · -𝐶) ∈ ℝ)
10	8, 9	ltnegd 11791	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · -𝐶) < (𝐵 · -𝐶) ↔ -(𝐵 · -𝐶) < -(𝐴 · -𝐶)))
11	2	recnd 11241	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
12	7	recnd 11241	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → -𝐶 ∈ ℂ)
13	11, 12	mulneg2d 11667	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · --𝐶) = -(𝐵 · -𝐶))
14	3	recnd 11241	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
15	14	negnegd 11561	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → --𝐶 = 𝐶)
16	15	oveq2d 7424	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · --𝐶) = (𝐵 · 𝐶))
17	13, 16	eqtr3d 2774	. . 3 ⊢ (𝜑 → -(𝐵 · -𝐶) = (𝐵 · 𝐶))
18	1	recnd 11241	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
19	18, 12	mulneg2d 11667	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · --𝐶) = -(𝐴 · -𝐶))
20	15	oveq2d 7424	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · --𝐶) = (𝐴 · 𝐶))
21	19, 20	eqtr3d 2774	. . 3 ⊢ (𝜑 → -(𝐴 · -𝐶) = (𝐴 · 𝐶))
22	17, 21	breq12d 5161	. 2 ⊢ (𝜑 → (-(𝐵 · -𝐶) < -(𝐴 · -𝐶) ↔ (𝐵 · 𝐶) < (𝐴 · 𝐶)))
23	6, 10, 22	3bitrd 304	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐵 · 𝐶) < (𝐴 · 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5148  (class class class)co 7408  ℝcr 11108  0cc0 11109   · cmul 11114   < clt 11247  -cneg 11444

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-rp 12974

This theorem is referenced by:  ltdiv23neg  44094