Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | hllat 37828 |
. . . 4
β’ (πΎ β HL β πΎ β Lat) |
2 | 1 | 3ad2ant1 1134 |
. . 3
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ π β€ π) β πΎ β Lat) |
3 | | simp23 1209 |
. . 3
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ π β€ π) β π β π΅) |
4 | | simp22 1208 |
. . . 4
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ π β€ π) β π β π΅) |
5 | | simp21 1207 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ π β€ π) β π β π΄) |
6 | | atmod.b |
. . . . . 6
β’ π΅ = (BaseβπΎ) |
7 | | atmod.a |
. . . . . 6
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
8 | 6, 7 | atbase 37754 |
. . . . 5
β’ (π β π΄ β π β π΅) |
9 | 5, 8 | syl 17 |
. . . 4
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ π β€ π) β π β π΅) |
10 | | atmod.j |
. . . . 5
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
11 | 6, 10 | latjcl 18329 |
. . . 4
β’ ((πΎ β Lat β§ π β π΅ β§ π β π΅) β (π β¨ π) β π΅) |
12 | 2, 4, 9, 11 | syl3anc 1372 |
. . 3
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ π β€ π) β (π β¨ π) β π΅) |
13 | | atmod.m |
. . . 4
β’ β§ =
(meetβπΎ) |
14 | 6, 13 | latmcom 18353 |
. . 3
β’ ((πΎ β Lat β§ π β π΅ β§ (π β¨ π) β π΅) β (π β§ (π β¨ π)) = ((π β¨ π) β§ π)) |
15 | 2, 3, 12, 14 | syl3anc 1372 |
. 2
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ π β€ π) β (π β§ (π β¨ π)) = ((π β¨ π) β§ π)) |
16 | | atmod.l |
. . 3
β’ β€ =
(leβπΎ) |
17 | 6, 16, 10, 13, 7 | atmod1i2 38325 |
. 2
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ π β€ π) β (π β¨ (π β§ π)) = ((π β¨ π) β§ π)) |
18 | 6, 13 | latmcom 18353 |
. . . 4
β’ ((πΎ β Lat β§ π β π΅ β§ π β π΅) β (π β§ π) = (π β§ π)) |
19 | 2, 9, 3, 18 | syl3anc 1372 |
. . 3
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ π β€ π) β (π β§ π) = (π β§ π)) |
20 | 19 | oveq2d 7374 |
. 2
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ π β€ π) β (π β¨ (π β§ π)) = (π β¨ (π β§ π))) |
21 | 15, 17, 20 | 3eqtr2rd 2784 |
1
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ π β€ π) β (π β¨ (π β§ π)) = (π β§ (π β¨ π))) |