Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  atmod3i2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem atmod3i2 39370
Description: Version of modular law that holds in a Hilbert lattice, when one element is an atom. (Contributed by NM, 10-Jun-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 10-May-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
atmod.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
atmod.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
atmod.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
atmod.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
atmod.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
atmod3i2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ (𝑋 ∨ (π‘Œ ∧ 𝑃)) = (π‘Œ ∧ (𝑋 ∨ 𝑃)))
Proof of Theorem atmod3i2
StepHypRef Expression
1 hllat 38867 . . . 4 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ Lat)
213ad2ant1 1130 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
3 simp23 1205 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
4 simp22 1204 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
5 simp21 1203 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
6 atmod.b . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
7 atmod.a . . . . . 6 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
86, 7atbase 38793 . . . . 5 (𝑃 ∈ 𝐴 β†’ 𝑃 ∈ 𝐡)
95, 8syl 17 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ 𝑃 ∈ 𝐡)
10 atmod.j . . . . 5 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
116, 10latjcl 18438 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∨ 𝑃) ∈ 𝐡)
122, 4, 9, 11syl3anc 1368 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ (𝑋 ∨ 𝑃) ∈ 𝐡)
13 atmod.m . . . 4 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
146, 13latmcom 18462 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 ∨ 𝑃) ∈ 𝐡) β†’ (π‘Œ ∧ (𝑋 ∨ 𝑃)) = ((𝑋 ∨ 𝑃) ∧ π‘Œ))
152, 3, 12, 14syl3anc 1368 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ (π‘Œ ∧ (𝑋 ∨ 𝑃)) = ((𝑋 ∨ 𝑃) ∧ π‘Œ))
16 atmod.l . . 3 ≀ = (leβ€˜πΎ)
176, 16, 10, 13, 7atmod1i2 39364 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ (𝑋 ∨ (𝑃 ∧ π‘Œ)) = ((𝑋 ∨ 𝑃) ∧ π‘Œ))
186, 13latmcom 18462 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑃 ∧ π‘Œ) = (π‘Œ ∧ 𝑃))
192, 9, 3, 18syl3anc 1368 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ (𝑃 ∧ π‘Œ) = (π‘Œ ∧ 𝑃))
2019oveq2d 7442 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ (𝑋 ∨ (𝑃 ∧ π‘Œ)) = (𝑋 ∨ (π‘Œ ∧ 𝑃)))
2115, 17, 203eqtr2rd 2775 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ (𝑋 ∨ (π‘Œ ∧ 𝑃)) = (π‘Œ ∧ (𝑋 ∨ 𝑃)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5152  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  Basecbs 17187  lecple 17247  joincjn 18310  meetcmee 18311  Latclat 18430  Atomscatm 38767  HLchlt 38854
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-iin 5003  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-proset 18294  df-poset 18312  df-plt 18329  df-lub 18345  df-glb 18346  df-join 18347  df-meet 18348  df-p0 18424  df-lat 18431  df-clat 18498  df-oposet 38680  df-ol 38682  df-oml 38683  df-covers 38770  df-ats 38771  df-atl 38802  df-cvlat 38826  df-hlat 38855  df-psubsp 39008  df-pmap 39009  df-padd 39301
This theorem is referenced by:  dalawlem3  39378
  Copyright terms: Public domain W3C validator