Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  atmod3i2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem atmod3i2 37041
Description: Version of modular law that holds in a Hilbert lattice, when one element is an atom. (Contributed by NM, 10-Jun-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 10-May-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
atmod.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
atmod.l = (le‘𝐾)
atmod.j = (join‘𝐾)
atmod.m = (meet‘𝐾)
atmod.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
atmod3i2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 𝑌) → (𝑋 (𝑌 𝑃)) = (𝑌 (𝑋 𝑃)))

Proof of Theorem atmod3i2
StepHypRef Expression
1 hllat 36539 . . . 4 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
213ad2ant1 1130 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 𝑌) → 𝐾 ∈ Lat)
3 simp23 1205 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 𝑌) → 𝑌𝐵)
4 simp22 1204 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 𝑌) → 𝑋𝐵)
5 simp21 1203 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 𝑌) → 𝑃𝐴)
6 atmod.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐾)
7 atmod.a . . . . . 6 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
86, 7atbase 36465 . . . . 5 (𝑃𝐴𝑃𝐵)
95, 8syl 17 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 𝑌) → 𝑃𝐵)
10 atmod.j . . . . 5 = (join‘𝐾)
116, 10latjcl 17639 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐵) → (𝑋 𝑃) ∈ 𝐵)
122, 4, 9, 11syl3anc 1368 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 𝑌) → (𝑋 𝑃) ∈ 𝐵)
13 atmod.m . . . 4 = (meet‘𝐾)
146, 13latmcom 17663 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌𝐵 ∧ (𝑋 𝑃) ∈ 𝐵) → (𝑌 (𝑋 𝑃)) = ((𝑋 𝑃) 𝑌))
152, 3, 12, 14syl3anc 1368 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 𝑌) → (𝑌 (𝑋 𝑃)) = ((𝑋 𝑃) 𝑌))
16 atmod.l . . 3 = (le‘𝐾)
176, 16, 10, 13, 7atmod1i2 37035 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 𝑌) → (𝑋 (𝑃 𝑌)) = ((𝑋 𝑃) 𝑌))
186, 13latmcom 17663 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃𝐵𝑌𝐵) → (𝑃 𝑌) = (𝑌 𝑃))
192, 9, 3, 18syl3anc 1368 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 𝑌) → (𝑃 𝑌) = (𝑌 𝑃))
2019oveq2d 7146 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 𝑌) → (𝑋 (𝑃 𝑌)) = (𝑋 (𝑌 𝑃)))
2115, 17, 203eqtr2rd 2863 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 𝑌) → (𝑋 (𝑌 𝑃)) = (𝑌 (𝑋 𝑃)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2115   class class class wbr 5039  cfv 6328  (class class class)co 7130  Basecbs 16461  lecple 16550  joincjn 17532  meetcmee 17533  Latclat 17633  Atomscatm 36439  HLchlt 36526
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-rep 5163  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-op 4547  df-uni 4812  df-iun 4894  df-iin 4895  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-id 5433  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7088  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-1st 7664  df-2nd 7665  df-proset 17516  df-poset 17534  df-plt 17546  df-lub 17562  df-glb 17563  df-join 17564  df-meet 17565  df-p0 17627  df-lat 17634  df-clat 17696  df-oposet 36352  df-ol 36354  df-oml 36355  df-covers 36442  df-ats 36443  df-atl 36474  df-cvlat 36498  df-hlat 36527  df-psubsp 36679  df-pmap 36680  df-padd 36972
This theorem is referenced by:  dalawlem3  37049
  Copyright terms: Public domain W3C validator