Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  atmod4i1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem atmod4i1 37034
 Description: Version of modular law that holds in a Hilbert lattice, when one element is an atom. (Contributed by NM, 10-Jun-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 10-May-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
atmod.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
atmod.l = (le‘𝐾)
atmod.j = (join‘𝐾)
atmod.m = (meet‘𝐾)
atmod.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
atmod4i1 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑃 𝑌) → ((𝑋 𝑌) 𝑃) = ((𝑋 𝑃) 𝑌))

Proof of Theorem atmod4i1
StepHypRef Expression
1 hllat 36531 . . . 4 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
213ad2ant1 1129 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑃 𝑌) → 𝐾 ∈ Lat)
3 simp22 1203 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑃 𝑌) → 𝑋𝐵)
4 simp23 1204 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑃 𝑌) → 𝑌𝐵)
5 atmod.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐾)
6 atmod.m . . . . 5 = (meet‘𝐾)
75, 6latmcl 17637 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵)
82, 3, 4, 7syl3anc 1367 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑃 𝑌) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵)
9 simp21 1202 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑃 𝑌) → 𝑃𝐴)
10 atmod.a . . . . 5 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
115, 10atbase 36457 . . . 4 (𝑃𝐴𝑃𝐵)
129, 11syl 17 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑃 𝑌) → 𝑃𝐵)
13 atmod.j . . . 4 = (join‘𝐾)
145, 13latjcom 17644 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵𝑃𝐵) → ((𝑋 𝑌) 𝑃) = (𝑃 (𝑋 𝑌)))
152, 8, 12, 14syl3anc 1367 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑃 𝑌) → ((𝑋 𝑌) 𝑃) = (𝑃 (𝑋 𝑌)))
16 atmod.l . . 3 = (le‘𝐾)
175, 16, 13, 6, 10atmod1i1 37025 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑃 𝑌) → (𝑃 (𝑋 𝑌)) = ((𝑃 𝑋) 𝑌))
185, 13latjcom 17644 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃𝐵𝑋𝐵) → (𝑃 𝑋) = (𝑋 𝑃))
192, 12, 3, 18syl3anc 1367 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑃 𝑌) → (𝑃 𝑋) = (𝑋 𝑃))
2019oveq1d 7144 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑃 𝑌) → ((𝑃 𝑋) 𝑌) = ((𝑋 𝑃) 𝑌))
2115, 17, 203eqtrd 2859 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑃 𝑌) → ((𝑋 𝑌) 𝑃) = ((𝑋 𝑃) 𝑌))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5038  ‘cfv 6327  (class class class)co 7129  Basecbs 16458  lecple 16547  joincjn 17529  meetcmee 17530  Latclat 17630  Atomscatm 36431  HLchlt 36518 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-rep 5162  ax-sep 5175  ax-nul 5182  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7435 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rab 3134  df-v 3472  df-sbc 3749  df-csb 3857  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-op 4546  df-uni 4811  df-iun 4893  df-iin 4894  df-br 5039  df-opab 5101  df-mpt 5119  df-id 5432  df-xp 5533  df-rel 5534  df-cnv 5535  df-co 5536  df-dm 5537  df-rn 5538  df-res 5539  df-ima 5540  df-iota 6286  df-fun 6329  df-fn 6330  df-f 6331  df-f1 6332  df-fo 6333  df-f1o 6334  df-fv 6335  df-riota 7087  df-ov 7132  df-oprab 7133  df-mpo 7134  df-1st 7663  df-2nd 7664  df-proset 17513  df-poset 17531  df-plt 17543  df-lub 17559  df-glb 17560  df-join 17561  df-meet 17562  df-p0 17624  df-lat 17631  df-clat 17693  df-oposet 36344  df-ol 36346  df-oml 36347  df-covers 36434  df-ats 36435  df-atl 36466  df-cvlat 36490  df-hlat 36519  df-psubsp 36671  df-pmap 36672  df-padd 36964 This theorem is referenced by:  dalawlem3  37041  dalawlem7  37045  dalawlem11  37049  cdleme9  37421  cdleme20aN  37477  cdleme22cN  37510  cdleme22d  37511  cdlemh1  37983  dia2dimlem1  38232  dia2dimlem2  38233  dia2dimlem3  38234
 Copyright terms: Public domain W3C validator