Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  atmod3i1 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem atmod3i1 39038
Description: Version of modular law that holds in a Hilbert lattice, when one element is an atom. (Contributed by NM, 4-Jun-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 10-May-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
atmod.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
atmod.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
atmod.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
atmod.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
atmod.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
atmod3i1 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑃 ≀ 𝑋) β†’ (𝑃 ∨ (𝑋 ∧ π‘Œ)) = (𝑋 ∧ (𝑃 ∨ π‘Œ)))
Proof of Theorem atmod3i1
StepHypRef Expression
1 simp1 1136 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑃 ≀ 𝑋) β†’ 𝐾 ∈ HL)
2 simp21 1206 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑃 ≀ 𝑋) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
3 simp23 1208 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑃 ≀ 𝑋) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
4 simp22 1207 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑃 ≀ 𝑋) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
5 simp3 1138 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑃 ≀ 𝑋) β†’ 𝑃 ≀ 𝑋)
6 atmod.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
7 atmod.l . . . 4 ≀ = (leβ€˜πΎ)
8 atmod.j . . . 4 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
9 atmod.m . . . 4 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
10 atmod.a . . . 4 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
116, 7, 8, 9, 10atmod1i1 39031 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑃 ≀ 𝑋) β†’ (𝑃 ∨ (π‘Œ ∧ 𝑋)) = ((𝑃 ∨ π‘Œ) ∧ 𝑋))
121, 2, 3, 4, 5, 11syl131anc 1383 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑃 ≀ 𝑋) β†’ (𝑃 ∨ (π‘Œ ∧ 𝑋)) = ((𝑃 ∨ π‘Œ) ∧ 𝑋))
13 hllat 38536 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ Lat)
14133ad2ant1 1133 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑃 ≀ 𝑋) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
156, 9latmcom 18420 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) = (π‘Œ ∧ 𝑋))
1614, 4, 3, 15syl3anc 1371 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑃 ≀ 𝑋) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) = (π‘Œ ∧ 𝑋))
1716oveq2d 7427 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑃 ≀ 𝑋) β†’ (𝑃 ∨ (𝑋 ∧ π‘Œ)) = (𝑃 ∨ (π‘Œ ∧ 𝑋)))
186, 10atbase 38462 . . . . 5 (𝑃 ∈ 𝐴 β†’ 𝑃 ∈ 𝐡)
192, 18syl 17 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑃 ≀ 𝑋) β†’ 𝑃 ∈ 𝐡)
206, 8latjcl 18396 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑃 ∨ π‘Œ) ∈ 𝐡)
2114, 19, 3, 20syl3anc 1371 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑃 ≀ 𝑋) β†’ (𝑃 ∨ π‘Œ) ∈ 𝐡)
226, 9latmcom 18420 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (𝑃 ∨ π‘Œ) ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∧ (𝑃 ∨ π‘Œ)) = ((𝑃 ∨ π‘Œ) ∧ 𝑋))
2314, 4, 21, 22syl3anc 1371 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑃 ≀ 𝑋) β†’ (𝑋 ∧ (𝑃 ∨ π‘Œ)) = ((𝑃 ∨ π‘Œ) ∧ 𝑋))
2412, 17, 233eqtr4d 2782 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑃 ≀ 𝑋) β†’ (𝑃 ∨ (𝑋 ∧ π‘Œ)) = (𝑋 ∧ (𝑃 ∨ π‘Œ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5148  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  Basecbs 17148  lecple 17208  joincjn 18268  meetcmee 18269  Latclat 18388  Atomscatm 38436  HLchlt 38523
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-proset 18252  df-poset 18270  df-plt 18287  df-lub 18303  df-glb 18304  df-join 18305  df-meet 18306  df-p0 18382  df-lat 18389  df-clat 18456  df-oposet 38349  df-ol 38351  df-oml 38352  df-covers 38439  df-ats 38440  df-atl 38471  df-cvlat 38495  df-hlat 38524  df-psubsp 38677  df-pmap 38678  df-padd 38970
This theorem is referenced by:  dalawlem2  39046  dalawlem3  39047  dalawlem6  39050  lhpmcvr3  39199  cdleme0cp  39388  cdleme0cq  39389  cdleme1  39401  cdleme4  39412  cdleme5  39414  cdleme8  39424  cdleme9  39427  cdleme10  39428  cdleme15b  39449  cdleme22e  39518  cdleme22eALTN  39519  cdleme23c  39525  cdleme35b  39624  cdleme35e  39627  cdleme42a  39645  trlcoabs2N  39896  cdlemi1  39992  cdlemk4  40008  dia2dimlem1  40238  dia2dimlem2  40239  cdlemn10  40380  dihglbcpreN  40474
  Copyright terms: Public domain W3C validator