Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  atmod3i1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem atmod3i1 36880
Description: Version of modular law that holds in a Hilbert lattice, when one element is an atom. (Contributed by NM, 4-Jun-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 10-May-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
atmod.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
atmod.l = (le‘𝐾)
atmod.j = (join‘𝐾)
atmod.m = (meet‘𝐾)
atmod.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
atmod3i1 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑃 𝑋) → (𝑃 (𝑋 𝑌)) = (𝑋 (𝑃 𝑌)))

Proof of Theorem atmod3i1
StepHypRef Expression
1 simp1 1128 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑃 𝑋) → 𝐾 ∈ HL)
2 simp21 1198 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑃 𝑋) → 𝑃𝐴)
3 simp23 1200 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑃 𝑋) → 𝑌𝐵)
4 simp22 1199 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑃 𝑋) → 𝑋𝐵)
5 simp3 1130 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑃 𝑋) → 𝑃 𝑋)
6 atmod.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐾)
7 atmod.l . . . 4 = (le‘𝐾)
8 atmod.j . . . 4 = (join‘𝐾)
9 atmod.m . . . 4 = (meet‘𝐾)
10 atmod.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
116, 7, 8, 9, 10atmod1i1 36873 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑌𝐵𝑋𝐵) ∧ 𝑃 𝑋) → (𝑃 (𝑌 𝑋)) = ((𝑃 𝑌) 𝑋))
121, 2, 3, 4, 5, 11syl131anc 1375 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑃 𝑋) → (𝑃 (𝑌 𝑋)) = ((𝑃 𝑌) 𝑋))
13 hllat 36379 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
14133ad2ant1 1125 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑃 𝑋) → 𝐾 ∈ Lat)
156, 9latmcom 17673 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌) = (𝑌 𝑋))
1614, 4, 3, 15syl3anc 1363 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑃 𝑋) → (𝑋 𝑌) = (𝑌 𝑋))
1716oveq2d 7161 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑃 𝑋) → (𝑃 (𝑋 𝑌)) = (𝑃 (𝑌 𝑋)))
186, 10atbase 36305 . . . . 5 (𝑃𝐴𝑃𝐵)
192, 18syl 17 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑃 𝑋) → 𝑃𝐵)
206, 8latjcl 17649 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃𝐵𝑌𝐵) → (𝑃 𝑌) ∈ 𝐵)
2114, 19, 3, 20syl3anc 1363 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑃 𝑋) → (𝑃 𝑌) ∈ 𝐵)
226, 9latmcom 17673 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝑃 𝑌) ∈ 𝐵) → (𝑋 (𝑃 𝑌)) = ((𝑃 𝑌) 𝑋))
2314, 4, 21, 22syl3anc 1363 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑃 𝑋) → (𝑋 (𝑃 𝑌)) = ((𝑃 𝑌) 𝑋))
2412, 17, 233eqtr4d 2863 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑃 𝑋) → (𝑃 (𝑋 𝑌)) = (𝑋 (𝑃 𝑌)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105   class class class wbr 5057  cfv 6348  (class class class)co 7145  Basecbs 16471  lecple 16560  joincjn 17542  meetcmee 17543  Latclat 17643  Atomscatm 36279  HLchlt 36366
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-proset 17526  df-poset 17544  df-plt 17556  df-lub 17572  df-glb 17573  df-join 17574  df-meet 17575  df-p0 17637  df-lat 17644  df-clat 17706  df-oposet 36192  df-ol 36194  df-oml 36195  df-covers 36282  df-ats 36283  df-atl 36314  df-cvlat 36338  df-hlat 36367  df-psubsp 36519  df-pmap 36520  df-padd 36812
This theorem is referenced by:  dalawlem2  36888  dalawlem3  36889  dalawlem6  36892  lhpmcvr3  37041  cdleme0cp  37230  cdleme0cq  37231  cdleme1  37243  cdleme4  37254  cdleme5  37256  cdleme8  37266  cdleme9  37269  cdleme10  37270  cdleme15b  37291  cdleme22e  37360  cdleme22eALTN  37361  cdleme23c  37367  cdleme35b  37466  cdleme35e  37469  cdleme42a  37487  trlcoabs2N  37738  cdlemi1  37834  cdlemk4  37850  dia2dimlem1  38080  dia2dimlem2  38081  cdlemn10  38222  dihglbcpreN  38316
  Copyright terms: Public domain W3C validator