Theorem atmod3i1 40356

Description: Version of modular law that holds in a Hilbert lattice, when one element is an atom. (Contributed by NM, 4-Jun-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 10-May-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
atmod.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
atmod.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
atmod.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
atmod.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
atmod.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
atmod3i1	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋) → (𝑃 ∨ (𝑋 ∧ 𝑌)) = (𝑋 ∧ (𝑃 ∨ 𝑌)))

Proof of Theorem atmod3i1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1142	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋) → 𝐾 ∈ HL)
2		simp21 1213	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋) → 𝑃 ∈ 𝐴)
3		simp23 1215	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋) → 𝑌 ∈ 𝐵)
4		simp22 1214	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋) → 𝑋 ∈ 𝐵)
5		simp3 1144	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋) → 𝑃 ≤ 𝑋)
6		atmod.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
7		atmod.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
8		atmod.j	. . . 4 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
9		atmod.m	. . . 4 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
10		atmod.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
11	6, 7, 8, 9, 10	atmod1i1 40349	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋) → (𝑃 ∨ (𝑌 ∧ 𝑋)) = ((𝑃 ∨ 𝑌) ∧ 𝑋))
12	1, 2, 3, 4, 5, 11	syl131anc 1391	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋) → (𝑃 ∨ (𝑌 ∧ 𝑋)) = ((𝑃 ∨ 𝑌) ∧ 𝑋))
13		hllat 39855	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
14	13	3ad2ant1 1139	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋) → 𝐾 ∈ Lat)
15	6, 9	latmcom 18420	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑌) = (𝑌 ∧ 𝑋))
16	14, 4, 3, 15	syl3anc 1379	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋) → (𝑋 ∧ 𝑌) = (𝑌 ∧ 𝑋))
17	16	oveq2d 7372	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋) → (𝑃 ∨ (𝑋 ∧ 𝑌)) = (𝑃 ∨ (𝑌 ∧ 𝑋)))
18	6, 10	atbase 39781	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ 𝐵)
19	2, 18	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋) → 𝑃 ∈ 𝐵)
20	6, 8	latjcl 18396	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑃 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵)
21	14, 19, 3, 20	syl3anc 1379	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋) → (𝑃 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵)
22	6, 9	latmcom 18420	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑃 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ (𝑃 ∨ 𝑌)) = ((𝑃 ∨ 𝑌) ∧ 𝑋))
23	14, 4, 21, 22	syl3anc 1379	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋) → (𝑋 ∧ (𝑃 ∨ 𝑌)) = ((𝑃 ∨ 𝑌) ∧ 𝑋))
24	12, 17, 23	3eqtr4d 2784	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋) → (𝑃 ∨ (𝑋 ∧ 𝑌)) = (𝑋 ∧ (𝑃 ∨ 𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   class class class wbr 5072  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  Basecbs 17170  lecple 17218  joincjn 18268  meetcmee 18269  Latclat 18388  Atomscatm 39755  HLchlt 39842

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-id 5513  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-proset 18251  df-poset 18270  df-plt 18285  df-lub 18301  df-glb 18302  df-join 18303  df-meet 18304  df-p0 18380  df-lat 18389  df-clat 18456  df-oposet 39668  df-ol 39670  df-oml 39671  df-covers 39758  df-ats 39759  df-atl 39790  df-cvlat 39814  df-hlat 39843  df-psubsp 39995  df-pmap 39996  df-padd 40288

This theorem is referenced by:  dalawlem2  40364  dalawlem3  40365  dalawlem6  40368  lhpmcvr3  40517  cdleme0cp  40706  cdleme0cq  40707  cdleme1  40719  cdleme4  40730  cdleme5  40732  cdleme8  40742  cdleme9  40745  cdleme10  40746  cdleme15b  40767  cdleme22e  40836  cdleme22eALTN  40837  cdleme23c  40843  cdleme35b  40942  cdleme35e  40945  cdleme42a  40963  trlcoabs2N  41214  cdlemi1  41310  cdlemk4  41326  dia2dimlem1  41556  dia2dimlem2  41557  cdlemn10  41698  dihglbcpreN  41792