Theorem atmod3i1 36023

Description: Version of modular law that holds in a Hilbert lattice, when one element is an atom. (Contributed by NM, 4-Jun-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 10-May-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
atmod.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
atmod.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
atmod.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
atmod.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
atmod.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
atmod3i1	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋) → (𝑃 ∨ (𝑋 ∧ 𝑌)) = (𝑋 ∧ (𝑃 ∨ 𝑌)))

Proof of Theorem atmod3i1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1127	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋) → 𝐾 ∈ HL)
2		simp21 1220	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋) → 𝑃 ∈ 𝐴)
3		simp23 1222	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋) → 𝑌 ∈ 𝐵)
4		simp22 1221	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋) → 𝑋 ∈ 𝐵)
5		simp3 1129	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋) → 𝑃 ≤ 𝑋)
6		atmod.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
7		atmod.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
8		atmod.j	. . . 4 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
9		atmod.m	. . . 4 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
10		atmod.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
11	6, 7, 8, 9, 10	atmod1i1 36016	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋) → (𝑃 ∨ (𝑌 ∧ 𝑋)) = ((𝑃 ∨ 𝑌) ∧ 𝑋))
12	1, 2, 3, 4, 5, 11	syl131anc 1451	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋) → (𝑃 ∨ (𝑌 ∧ 𝑋)) = ((𝑃 ∨ 𝑌) ∧ 𝑋))
13		hllat 35522	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
14	13	3ad2ant1 1124	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋) → 𝐾 ∈ Lat)
15	6, 9	latmcom 17465	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑌) = (𝑌 ∧ 𝑋))
16	14, 4, 3, 15	syl3anc 1439	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋) → (𝑋 ∧ 𝑌) = (𝑌 ∧ 𝑋))
17	16	oveq2d 6940	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋) → (𝑃 ∨ (𝑋 ∧ 𝑌)) = (𝑃 ∨ (𝑌 ∧ 𝑋)))
18	6, 10	atbase 35448	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ 𝐵)
19	2, 18	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋) → 𝑃 ∈ 𝐵)
20	6, 8	latjcl 17441	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑃 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵)
21	14, 19, 3, 20	syl3anc 1439	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋) → (𝑃 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵)
22	6, 9	latmcom 17465	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑃 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ (𝑃 ∨ 𝑌)) = ((𝑃 ∨ 𝑌) ∧ 𝑋))
23	14, 4, 21, 22	syl3anc 1439	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋) → (𝑋 ∧ (𝑃 ∨ 𝑌)) = ((𝑃 ∨ 𝑌) ∧ 𝑋))
24	12, 17, 23	3eqtr4d 2824	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋) → (𝑃 ∨ (𝑋 ∧ 𝑌)) = (𝑋 ∧ (𝑃 ∨ 𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1071   = wceq 1601   ∈ wcel 2107   class class class wbr 4888  ‘cfv 6137  (class class class)co 6924  Basecbs 16259  lecple 16349  joincjn 17334  meetcmee 17335  Latclat 17435  Atomscatm 35422  HLchlt 35509

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5008  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-op 4405  df-uni 4674  df-iun 4757  df-iin 4758  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-id 5263  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-1st 7447  df-2nd 7448  df-proset 17318  df-poset 17336  df-plt 17348  df-lub 17364  df-glb 17365  df-join 17366  df-meet 17367  df-p0 17429  df-lat 17436  df-clat 17498  df-oposet 35335  df-ol 35337  df-oml 35338  df-covers 35425  df-ats 35426  df-atl 35457  df-cvlat 35481  df-hlat 35510  df-psubsp 35662  df-pmap 35663  df-padd 35955

This theorem is referenced by:  dalawlem2  36031  dalawlem3  36032  dalawlem6  36035  lhpmcvr3  36184  cdleme0cp  36373  cdleme0cq  36374  cdleme1  36386  cdleme4  36397  cdleme5  36399  cdleme8  36409  cdleme9  36412  cdleme10  36413  cdleme15b  36434  cdleme22e  36503  cdleme22eALTN  36504  cdleme23c  36510  cdleme35b  36609  cdleme35e  36612  cdleme42a  36630  trlcoabs2N  36881  cdlemi1  36977  cdlemk4  36993  dia2dimlem1  37223  dia2dimlem2  37224  cdlemn10  37365  dihglbcpreN  37459