Theorem bnd2d 48773

Description: Deduction form of bnd2 9962. (Contributed by Emmett Weisz, 19-Jan-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
bnd2d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
bnd2d.2	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜓)

Assertion

Ref	Expression
bnd2d	⊢ (𝜑 → ∃𝑧(𝑧 ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑧 𝜓))

Distinct variable groups:   𝜓,𝑧   𝑥,𝑧,𝐴   𝑥,𝑦,𝐵,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧)   𝜓(𝑥,𝑦)   𝐴(𝑦)

Proof of Theorem bnd2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bnd2d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
2		bnd2d.2	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜓)
3		raleq 3331	. . . 4 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜓 ↔ ∀𝑥 ∈ if (𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅)∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜓))
4		raleq 3331	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑧 𝜓 ↔ ∀𝑥 ∈ if (𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅)∃𝑦 ∈ 𝑧 𝜓))
5	4	anbi2d 629	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅) → ((𝑧 ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑧 𝜓) ↔ (𝑧 ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ if (𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅)∃𝑦 ∈ 𝑧 𝜓)))
6	5	exbidv 1920	. . . 4 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅) → (∃𝑧(𝑧 ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑧 𝜓) ↔ ∃𝑧(𝑧 ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ if (𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅)∃𝑦 ∈ 𝑧 𝜓)))
7	3, 6	imbi12d 344	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅) → ((∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜓 → ∃𝑧(𝑧 ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑧 𝜓)) ↔ (∀𝑥 ∈ if (𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅)∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜓 → ∃𝑧(𝑧 ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ if (𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅)∃𝑦 ∈ 𝑧 𝜓))))
8		0ex 5325	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
9	8	elimel 4617	. . . 4 ⊢ if(𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅) ∈ V
10	9	bnd2 9962	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ if (𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅)∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜓 → ∃𝑧(𝑧 ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ if (𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅)∃𝑦 ∈ 𝑧 𝜓))
11	7, 10	dedth 4606	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜓 → ∃𝑧(𝑧 ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑧 𝜓)))
12	1, 2, 11	sylc 65	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑧(𝑧 ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑧 𝜓))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537  ∃wex 1777   ∈ wcel 2108  ∀wral 3067  ∃wrex 3076  Vcvv 3488   ⊆ wss 3976  ∅c0 4352  ifcif 4548

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-reg 9661  ax-inf2 9710

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-iin 5018  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-ov 7451  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-r1 9833  df-rank 9834

This theorem is referenced by:  setrec1lem3  48781