Users' Mathboxes Mathbox for Emmett Weisz < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  bnd2d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bnd2d 47058
Description: Deduction form of bnd2 9825. (Contributed by Emmett Weisz, 19-Jan-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
bnd2d.1 (𝜑𝐴 ∈ V)
bnd2d.2 (𝜑 → ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝜓)
Assertion
Ref Expression
bnd2d (𝜑 → ∃𝑧(𝑧𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝑧 𝜓))
Distinct variable groups:   𝜓,𝑧   𝑥,𝑧,𝐴   𝑥,𝑦,𝐵,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧)   𝜓(𝑥,𝑦)   𝐴(𝑦)

Proof of Theorem bnd2d
StepHypRef Expression
1 bnd2d.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ V)
2 bnd2d.2 . 2 (𝜑 → ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝜓)
3 raleq 3307 . . . 4 (𝐴 = if(𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅) → (∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝜓 ↔ ∀𝑥 ∈ if (𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅)∃𝑦𝐵 𝜓))
4 raleq 3307 . . . . . 6 (𝐴 = if(𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅) → (∀𝑥𝐴𝑦𝑧 𝜓 ↔ ∀𝑥 ∈ if (𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅)∃𝑦𝑧 𝜓))
54anbi2d 629 . . . . 5 (𝐴 = if(𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅) → ((𝑧𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝑧 𝜓) ↔ (𝑧𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ if (𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅)∃𝑦𝑧 𝜓)))
65exbidv 1924 . . . 4 (𝐴 = if(𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅) → (∃𝑧(𝑧𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝑧 𝜓) ↔ ∃𝑧(𝑧𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ if (𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅)∃𝑦𝑧 𝜓)))
73, 6imbi12d 344 . . 3 (𝐴 = if(𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅) → ((∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝜓 → ∃𝑧(𝑧𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝑧 𝜓)) ↔ (∀𝑥 ∈ if (𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅)∃𝑦𝐵 𝜓 → ∃𝑧(𝑧𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ if (𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅)∃𝑦𝑧 𝜓))))
8 0ex 5262 . . . . 5 ∅ ∈ V
98elimel 4553 . . . 4 if(𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅) ∈ V
109bnd2 9825 . . 3 (∀𝑥 ∈ if (𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅)∃𝑦𝐵 𝜓 → ∃𝑧(𝑧𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ if (𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅)∃𝑦𝑧 𝜓))
117, 10dedth 4542 . 2 (𝐴 ∈ V → (∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝜓 → ∃𝑧(𝑧𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝑧 𝜓)))
121, 2, 11sylc 65 1 (𝜑 → ∃𝑧(𝑧𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝑧 𝜓))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wex 1781  wcel 2106  wral 3062  wrex 3071  Vcvv 3443  wss 3908  c0 4280  ifcif 4484
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7668  ax-reg 9524  ax-inf2 9573
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-int 4906  df-iun 4954  df-iin 4955  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-ov 7356  df-om 7799  df-2nd 7918  df-frecs 8208  df-wrecs 8239  df-recs 8313  df-rdg 8352  df-r1 9696  df-rank 9697
This theorem is referenced by:  setrec1lem3  47066
  Copyright terms: Public domain W3C validator