Theorem bnd2d 43547

Description: Deduction form of bnd2 9055. (Contributed by Emmett Weisz, 19-Jan-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
bnd2d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
bnd2d.2	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜓)

Assertion

Ref	Expression
bnd2d	⊢ (𝜑 → ∃𝑧(𝑧 ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑧 𝜓))

Distinct variable groups:   𝜓,𝑧   𝑥,𝑧,𝐴   𝑥,𝑦,𝐵,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧)   𝜓(𝑥,𝑦)   𝐴(𝑦)

Proof of Theorem bnd2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bnd2d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
2		bnd2d.2	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜓)
3		raleq 3330	. . . 4 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜓 ↔ ∀𝑥 ∈ if (𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅)∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜓))
4		raleq 3330	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑧 𝜓 ↔ ∀𝑥 ∈ if (𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅)∃𝑦 ∈ 𝑧 𝜓))
5	4	anbi2d 622	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅) → ((𝑧 ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑧 𝜓) ↔ (𝑧 ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ if (𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅)∃𝑦 ∈ 𝑧 𝜓)))
6	5	exbidv 1964	. . . 4 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅) → (∃𝑧(𝑧 ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑧 𝜓) ↔ ∃𝑧(𝑧 ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ if (𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅)∃𝑦 ∈ 𝑧 𝜓)))
7	3, 6	imbi12d 336	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅) → ((∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜓 → ∃𝑧(𝑧 ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑧 𝜓)) ↔ (∀𝑥 ∈ if (𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅)∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜓 → ∃𝑧(𝑧 ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ if (𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅)∃𝑦 ∈ 𝑧 𝜓))))
8		0ex 5028	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
9	8	elimel 4374	. . . 4 ⊢ if(𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅) ∈ V
10	9	bnd2 9055	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ if (𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅)∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜓 → ∃𝑧(𝑧 ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ if (𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅)∃𝑦 ∈ 𝑧 𝜓))
11	7, 10	dedth 4363	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜓 → ∃𝑧(𝑧 ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑧 𝜓)))
12	1, 2, 11	sylc 65	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑧(𝑧 ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑧 𝜓))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   = wceq 1601  ∃wex 1823   ∈ wcel 2107  ∀wral 3090  ∃wrex 3091  Vcvv 3398   ⊆ wss 3792  ∅c0 4141  ifcif 4307

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5008  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-reg 8788  ax-inf2 8837

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-int 4713  df-iun 4757  df-iin 4758  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-om 7346  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-rdg 7791  df-r1 8926  df-rank 8927

This theorem is referenced by:  setrec1lem3  43555