MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bnd2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bnd2 9933
Description: A variant of the Boundedness Axiom bnd 9932 that picks a subset 𝑧 out of a possibly proper class 𝐵 in which a property is true. (Contributed by NM, 4-Feb-2004.)
Hypothesis
Ref Expression
bnd2.1 𝐴 ∈ V
Assertion
Ref Expression
bnd2 (∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝜑 → ∃𝑧(𝑧𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝑧 𝜑))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑧   𝑥,𝑧,𝐴   𝑥,𝑦,𝐵,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐴(𝑦)

Proof of Theorem bnd2
Dummy variables 𝑤 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-rex 3071 . . . 4 (∃𝑦𝐵 𝜑 ↔ ∃𝑦(𝑦𝐵𝜑))
21ralbii 3093 . . 3 (∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝜑 ↔ ∀𝑥𝐴𝑦(𝑦𝐵𝜑))
3 bnd2.1 . . . 4 𝐴 ∈ V
4 raleq 3323 . . . . 5 (𝑣 = 𝐴 → (∀𝑥𝑣𝑦(𝑦𝐵𝜑) ↔ ∀𝑥𝐴𝑦(𝑦𝐵𝜑)))
5 raleq 3323 . . . . . 6 (𝑣 = 𝐴 → (∀𝑥𝑣𝑦𝑤 (𝑦𝐵𝜑) ↔ ∀𝑥𝐴𝑦𝑤 (𝑦𝐵𝜑)))
65exbidv 1921 . . . . 5 (𝑣 = 𝐴 → (∃𝑤𝑥𝑣𝑦𝑤 (𝑦𝐵𝜑) ↔ ∃𝑤𝑥𝐴𝑦𝑤 (𝑦𝐵𝜑)))
74, 6imbi12d 344 . . . 4 (𝑣 = 𝐴 → ((∀𝑥𝑣𝑦(𝑦𝐵𝜑) → ∃𝑤𝑥𝑣𝑦𝑤 (𝑦𝐵𝜑)) ↔ (∀𝑥𝐴𝑦(𝑦𝐵𝜑) → ∃𝑤𝑥𝐴𝑦𝑤 (𝑦𝐵𝜑))))
8 bnd 9932 . . . 4 (∀𝑥𝑣𝑦(𝑦𝐵𝜑) → ∃𝑤𝑥𝑣𝑦𝑤 (𝑦𝐵𝜑))
93, 7, 8vtocl 3558 . . 3 (∀𝑥𝐴𝑦(𝑦𝐵𝜑) → ∃𝑤𝑥𝐴𝑦𝑤 (𝑦𝐵𝜑))
102, 9sylbi 217 . 2 (∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝜑 → ∃𝑤𝑥𝐴𝑦𝑤 (𝑦𝐵𝜑))
11 vex 3484 . . . . 5 𝑤 ∈ V
1211inex1 5317 . . . 4 (𝑤𝐵) ∈ V
13 inss2 4238 . . . . . . 7 (𝑤𝐵) ⊆ 𝐵
14 sseq1 4009 . . . . . . 7 (𝑧 = (𝑤𝐵) → (𝑧𝐵 ↔ (𝑤𝐵) ⊆ 𝐵))
1513, 14mpbiri 258 . . . . . 6 (𝑧 = (𝑤𝐵) → 𝑧𝐵)
1615biantrurd 532 . . . . 5 (𝑧 = (𝑤𝐵) → (∀𝑥𝐴𝑦𝑧 𝜑 ↔ (𝑧𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝑧 𝜑)))
17 rexeq 3322 . . . . . . 7 (𝑧 = (𝑤𝐵) → (∃𝑦𝑧 𝜑 ↔ ∃𝑦 ∈ (𝑤𝐵)𝜑))
18 rexin 4250 . . . . . . 7 (∃𝑦 ∈ (𝑤𝐵)𝜑 ↔ ∃𝑦𝑤 (𝑦𝐵𝜑))
1917, 18bitrdi 287 . . . . . 6 (𝑧 = (𝑤𝐵) → (∃𝑦𝑧 𝜑 ↔ ∃𝑦𝑤 (𝑦𝐵𝜑)))
2019ralbidv 3178 . . . . 5 (𝑧 = (𝑤𝐵) → (∀𝑥𝐴𝑦𝑧 𝜑 ↔ ∀𝑥𝐴𝑦𝑤 (𝑦𝐵𝜑)))
2116, 20bitr3d 281 . . . 4 (𝑧 = (𝑤𝐵) → ((𝑧𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝑧 𝜑) ↔ ∀𝑥𝐴𝑦𝑤 (𝑦𝐵𝜑)))
2212, 21spcev 3606 . . 3 (∀𝑥𝐴𝑦𝑤 (𝑦𝐵𝜑) → ∃𝑧(𝑧𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝑧 𝜑))
2322exlimiv 1930 . 2 (∃𝑤𝑥𝐴𝑦𝑤 (𝑦𝐵𝜑) → ∃𝑧(𝑧𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝑧 𝜑))
2410, 23syl 17 1 (∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝜑 → ∃𝑧(𝑧𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝑧 𝜑))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wex 1779  wcel 2108  wral 3061  wrex 3070  Vcvv 3480  cin 3950  wss 3951
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-reg 9632  ax-inf2 9681
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-r1 9804  df-rank 9805
This theorem is referenced by:  ac6s  10524  bnd2d  49200
  Copyright terms: Public domain W3C validator