Theorem bnd2 9933

Description: A variant of the Boundedness Axiom bnd 9932 that picks a subset 𝑧 out of a possibly proper class 𝐵 in which a property is true. (Contributed by NM, 4-Feb-2004.)

Hypothesis

Ref	Expression
bnd2.1	⊢ 𝐴 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
bnd2	⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 → ∃𝑧(𝑧 ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑧 𝜑))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑧   𝑥,𝑧,𝐴   𝑥,𝑦,𝐵,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐴(𝑦)

Proof of Theorem bnd2

Dummy variables 𝑤 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rex 3071	. . . 4 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ↔ ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑))
2	1	ralbii 3093	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑))
3		bnd2.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ V
4		raleq 3323	. . . . 5 ⊢ (𝑣 = 𝐴 → (∀𝑥 ∈ 𝑣 ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑)))
5		raleq 3323	. . . . . 6 ⊢ (𝑣 = 𝐴 → (∀𝑥 ∈ 𝑣 ∃𝑦 ∈ 𝑤 (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑤 (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑)))
6	5	exbidv 1921	. . . . 5 ⊢ (𝑣 = 𝐴 → (∃𝑤∀𝑥 ∈ 𝑣 ∃𝑦 ∈ 𝑤 (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑) ↔ ∃𝑤∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑤 (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑)))
7	4, 6	imbi12d 344	. . . 4 ⊢ (𝑣 = 𝐴 → ((∀𝑥 ∈ 𝑣 ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑) → ∃𝑤∀𝑥 ∈ 𝑣 ∃𝑦 ∈ 𝑤 (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑)) ↔ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑) → ∃𝑤∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑤 (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑))))
8		bnd 9932	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑣 ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑) → ∃𝑤∀𝑥 ∈ 𝑣 ∃𝑦 ∈ 𝑤 (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑))
9	3, 7, 8	vtocl 3558	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑) → ∃𝑤∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑤 (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑))
10	2, 9	sylbi 217	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 → ∃𝑤∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑤 (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑))
11		vex 3484	. . . . 5 ⊢ 𝑤 ∈ V
12	11	inex1 5317	. . . 4 ⊢ (𝑤 ∩ 𝐵) ∈ V
13		inss2 4238	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐵
14		sseq1 4009	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = (𝑤 ∩ 𝐵) → (𝑧 ⊆ 𝐵 ↔ (𝑤 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐵))
15	13, 14	mpbiri 258	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = (𝑤 ∩ 𝐵) → 𝑧 ⊆ 𝐵)
16	15	biantrurd 532	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = (𝑤 ∩ 𝐵) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑧 𝜑 ↔ (𝑧 ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑧 𝜑)))
17		rexeq 3322	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = (𝑤 ∩ 𝐵) → (∃𝑦 ∈ 𝑧 𝜑 ↔ ∃𝑦 ∈ (𝑤 ∩ 𝐵)𝜑))
18		rexin 4250	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑦 ∈ (𝑤 ∩ 𝐵)𝜑 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑤 (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑))
19	17, 18	bitrdi 287	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = (𝑤 ∩ 𝐵) → (∃𝑦 ∈ 𝑧 𝜑 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑤 (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑)))
20	19	ralbidv 3178	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = (𝑤 ∩ 𝐵) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑧 𝜑 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑤 (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑)))
21	16, 20	bitr3d 281	. . . 4 ⊢ (𝑧 = (𝑤 ∩ 𝐵) → ((𝑧 ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑧 𝜑) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑤 (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑)))
22	12, 21	spcev 3606	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑤 (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑) → ∃𝑧(𝑧 ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑧 𝜑))
23	22	exlimiv 1930	. 2 ⊢ (∃𝑤∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑤 (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑) → ∃𝑧(𝑧 ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑧 𝜑))
24	10, 23	syl 17	1 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 → ∃𝑧(𝑧 ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑧 𝜑))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2108  ∀wral 3061  ∃wrex 3070  Vcvv 3480   ∩ cin 3950   ⊆ wss 3951

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-reg 9632  ax-inf2 9681

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-r1 9804  df-rank 9805

This theorem is referenced by:  ac6s  10524  bnd2d  49200