Theorem bnd2 9986

Description: A variant of the Boundedness Axiom bnd 9985 that picks a subset 𝑧 out of a possibly proper class 𝐵 in which a property is true. (Contributed by NM, 4-Feb-2004.)

Hypothesis

Ref	Expression
bnd2.1	⊢ 𝐴 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
bnd2	⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 → ∃𝑧(𝑧 ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑧 𝜑))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑧   𝑥,𝑧,𝐴   𝑥,𝑦,𝐵,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥, 𝑦)   𝐴(𝑦)

Proof of Theorem bnd2

Dummy variables 𝑤 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rex 3091	. . . 4 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ↔ ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑))
2	1	ralbii 3112	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑))
3		bnd2.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ V
4		raleq 3320	. . . . 5 ⊢ (𝑣 = 𝐴 → (∀𝑥 ∈ 𝑣 ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑)))
5		raleq 3320	. . . . . 6 ⊢ (𝑣 = 𝐴 → (∀𝑥 ∈ 𝑣 ∃𝑦 ∈ 𝑤 (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑤 (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑)))
6	5	exbidv 1956	. . . . 5 ⊢ (𝑣 = 𝐴 → (∃𝑤∀𝑥 ∈ 𝑣 ∃𝑦 ∈ 𝑤 (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑) ↔ ∃𝑤∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑤 (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑)))
7	4, 6	imbi12d 347	. . . 4 ⊢ (𝑣 = 𝐴 → ((∀𝑥 ∈ 𝑣 ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑) → ∃𝑤∀𝑥 ∈ 𝑣 ∃𝑦 ∈ 𝑤 (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑)) ↔ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑) → ∃𝑤∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑤 (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑))))
8		bnd 9985	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑣 ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑) → ∃𝑤∀𝑥 ∈ 𝑣 ∃𝑦 ∈ 𝑤 (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑))
9	3, 7, 8	vtocl 3524	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑) → ∃𝑤∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑤 (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑))
10	2, 9	sylbi 220	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 → ∃𝑤∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑤 (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑))
11		vex 3458	. . . . 5 ⊢ 𝑤 ∈ V
12	11	inex1 5282	. . . 4 ⊢ (𝑤 ∩ 𝐵) ∈ V
13		inss2 4137	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐵
14		sseq1 3938	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = (𝑤 ∩ 𝐵) → (𝑧 ⊆ 𝐵 ↔ (𝑤 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐵))
15	13, 14	mpbiri 261	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = (𝑤 ∩ 𝐵) → 𝑧 ⊆ 𝐵)
16	15	biantrurd 542	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = (𝑤 ∩ 𝐵) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑧 𝜑 ↔ (𝑧 ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑧 𝜑)))
17		rexeq 3319	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = (𝑤 ∩ 𝐵) → (∃𝑦 ∈ 𝑧 𝜑 ↔ ∃𝑦 ∈ (𝑤 ∩ 𝐵)𝜑))
18		rexin 4150	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑦 ∈ (𝑤 ∩ 𝐵)𝜑 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑤 (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑))
19	17, 18	bitrdi 290	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = (𝑤 ∩ 𝐵) → (∃𝑦 ∈ 𝑧 𝜑 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑤 (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑)))
20	19	ralbidv 3189	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = (𝑤 ∩ 𝐵) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑧 𝜑 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑤 (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑)))
21	16, 20	bitr3d 284	. . . 4 ⊢ (𝑧 = (𝑤 ∩ 𝐵) → ((𝑧 ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑧 𝜑) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑤 (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑)))
22	12, 21	spcev 3564	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑤 (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑) → ∃𝑧(𝑧 ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑧 𝜑))
23	22	exlimiv 1965	. 2 ⊢ (∃𝑤∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑤 (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑) → ∃𝑧(𝑧 ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑧 𝜑))
24	10, 23	syl 18	1 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 → ∃𝑧(𝑧 ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑧 𝜑))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080  ∃wrex 3090  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900   ∩ cin 4092

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-reg 9616  ax-inf2 9672

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7449  df-om 7905  df-2nd 8029  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-r1 9798  df-rank 9799  df-scott 9959

This theorem is used by:  bnd2d  9998  ac6s  10592