Theorem bnd2 9962

Description: A variant of the Boundedness Axiom bnd 9961 that picks a subset 𝑧 out of a possibly proper class 𝐵 in which a property is true. (Contributed by NM, 4-Feb-2004.)

Hypothesis

Ref	Expression
bnd2.1	⊢ 𝐴 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
bnd2	⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 → ∃𝑧(𝑧 ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑧 𝜑))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑧   𝑥,𝑧,𝐴   𝑥,𝑦,𝐵,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐴(𝑦)

Proof of Theorem bnd2

Dummy variables 𝑤 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rex 3077	. . . 4 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ↔ ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑))
2	1	ralbii 3099	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑))
3		bnd2.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ V
4		raleq 3331	. . . . 5 ⊢ (𝑣 = 𝐴 → (∀𝑥 ∈ 𝑣 ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑)))
5		raleq 3331	. . . . . 6 ⊢ (𝑣 = 𝐴 → (∀𝑥 ∈ 𝑣 ∃𝑦 ∈ 𝑤 (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑤 (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑)))
6	5	exbidv 1920	. . . . 5 ⊢ (𝑣 = 𝐴 → (∃𝑤∀𝑥 ∈ 𝑣 ∃𝑦 ∈ 𝑤 (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑) ↔ ∃𝑤∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑤 (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑)))
7	4, 6	imbi12d 344	. . . 4 ⊢ (𝑣 = 𝐴 → ((∀𝑥 ∈ 𝑣 ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑) → ∃𝑤∀𝑥 ∈ 𝑣 ∃𝑦 ∈ 𝑤 (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑)) ↔ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑) → ∃𝑤∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑤 (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑))))
8		bnd 9961	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑣 ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑) → ∃𝑤∀𝑥 ∈ 𝑣 ∃𝑦 ∈ 𝑤 (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑))
9	3, 7, 8	vtocl 3570	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑) → ∃𝑤∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑤 (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑))
10	2, 9	sylbi 217	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 → ∃𝑤∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑤 (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑))
11		vex 3492	. . . . 5 ⊢ 𝑤 ∈ V
12	11	inex1 5335	. . . 4 ⊢ (𝑤 ∩ 𝐵) ∈ V
13		inss2 4259	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐵
14		sseq1 4034	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = (𝑤 ∩ 𝐵) → (𝑧 ⊆ 𝐵 ↔ (𝑤 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐵))
15	13, 14	mpbiri 258	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = (𝑤 ∩ 𝐵) → 𝑧 ⊆ 𝐵)
16	15	biantrurd 532	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = (𝑤 ∩ 𝐵) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑧 𝜑 ↔ (𝑧 ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑧 𝜑)))
17		rexeq 3330	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = (𝑤 ∩ 𝐵) → (∃𝑦 ∈ 𝑧 𝜑 ↔ ∃𝑦 ∈ (𝑤 ∩ 𝐵)𝜑))
18		rexin 4269	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑦 ∈ (𝑤 ∩ 𝐵)𝜑 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑤 (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑))
19	17, 18	bitrdi 287	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = (𝑤 ∩ 𝐵) → (∃𝑦 ∈ 𝑧 𝜑 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑤 (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑)))
20	19	ralbidv 3184	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = (𝑤 ∩ 𝐵) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑧 𝜑 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑤 (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑)))
21	16, 20	bitr3d 281	. . . 4 ⊢ (𝑧 = (𝑤 ∩ 𝐵) → ((𝑧 ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑧 𝜑) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑤 (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑)))
22	12, 21	spcev 3619	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑤 (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑) → ∃𝑧(𝑧 ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑧 𝜑))
23	22	exlimiv 1929	. 2 ⊢ (∃𝑤∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑤 (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑) → ∃𝑧(𝑧 ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑧 𝜑))
24	10, 23	syl 17	1 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 → ∃𝑧(𝑧 ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑧 𝜑))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537  ∃wex 1777   ∈ wcel 2108  ∀wral 3067  ∃wrex 3076  Vcvv 3488   ∩ cin 3975   ⊆ wss 3976

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-reg 9661  ax-inf2 9710

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-iin 5018  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-ov 7451  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-r1 9833  df-rank 9834

This theorem is referenced by:  ac6s  10553  bnd2d  48773