Theorem bnd2 9915

Description: A variant of the Boundedness Axiom bnd 9914 that picks a subset 𝑧 out of a possibly proper class 𝐵 in which a property is true. (Contributed by NM, 4-Feb-2004.)

Hypothesis

Ref	Expression
bnd2.1	⊢ 𝐴 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
bnd2	⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 → ∃𝑧(𝑧 ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑧 𝜑))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑧   𝑥,𝑧,𝐴   𝑥,𝑦,𝐵,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐴(𝑦)

Proof of Theorem bnd2

Dummy variables 𝑤 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rex 3060	. . . 4 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ↔ ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑))
2	1	ralbii 3081	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑))
3		bnd2.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ V
4		raleq 3306	. . . . 5 ⊢ (𝑣 = 𝐴 → (∀𝑥 ∈ 𝑣 ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑)))
5		raleq 3306	. . . . . 6 ⊢ (𝑣 = 𝐴 → (∀𝑥 ∈ 𝑣 ∃𝑦 ∈ 𝑤 (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑤 (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑)))
6	5	exbidv 1920	. . . . 5 ⊢ (𝑣 = 𝐴 → (∃𝑤∀𝑥 ∈ 𝑣 ∃𝑦 ∈ 𝑤 (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑) ↔ ∃𝑤∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑤 (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑)))
7	4, 6	imbi12d 344	. . . 4 ⊢ (𝑣 = 𝐴 → ((∀𝑥 ∈ 𝑣 ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑) → ∃𝑤∀𝑥 ∈ 𝑣 ∃𝑦 ∈ 𝑤 (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑)) ↔ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑) → ∃𝑤∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑤 (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑))))
8		bnd 9914	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑣 ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑) → ∃𝑤∀𝑥 ∈ 𝑣 ∃𝑦 ∈ 𝑤 (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑))
9	3, 7, 8	vtocl 3541	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑) → ∃𝑤∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑤 (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑))
10	2, 9	sylbi 217	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 → ∃𝑤∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑤 (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑))
11		vex 3467	. . . . 5 ⊢ 𝑤 ∈ V
12	11	inex1 5297	. . . 4 ⊢ (𝑤 ∩ 𝐵) ∈ V
13		inss2 4218	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐵
14		sseq1 3989	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = (𝑤 ∩ 𝐵) → (𝑧 ⊆ 𝐵 ↔ (𝑤 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐵))
15	13, 14	mpbiri 258	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = (𝑤 ∩ 𝐵) → 𝑧 ⊆ 𝐵)
16	15	biantrurd 532	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = (𝑤 ∩ 𝐵) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑧 𝜑 ↔ (𝑧 ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑧 𝜑)))
17		rexeq 3305	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = (𝑤 ∩ 𝐵) → (∃𝑦 ∈ 𝑧 𝜑 ↔ ∃𝑦 ∈ (𝑤 ∩ 𝐵)𝜑))
18		rexin 4230	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑦 ∈ (𝑤 ∩ 𝐵)𝜑 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑤 (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑))
19	17, 18	bitrdi 287	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = (𝑤 ∩ 𝐵) → (∃𝑦 ∈ 𝑧 𝜑 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑤 (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑)))
20	19	ralbidv 3165	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = (𝑤 ∩ 𝐵) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑧 𝜑 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑤 (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑)))
21	16, 20	bitr3d 281	. . . 4 ⊢ (𝑧 = (𝑤 ∩ 𝐵) → ((𝑧 ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑧 𝜑) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑤 (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑)))
22	12, 21	spcev 3589	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑤 (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑) → ∃𝑧(𝑧 ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑧 𝜑))
23	22	exlimiv 1929	. 2 ⊢ (∃𝑤∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑤 (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑) → ∃𝑧(𝑧 ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑧 𝜑))
24	10, 23	syl 17	1 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 → ∃𝑧(𝑧 ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑧 𝜑))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539  ∃wex 1778   ∈ wcel 2107  ∀wral 3050  ∃wrex 3059  Vcvv 3463   ∩ cin 3930   ⊆ wss 3931

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5259  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7737  ax-reg 9614  ax-inf2 9663

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4888  df-int 4927  df-iun 4973  df-iin 4974  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-tr 5240  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6301  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-ov 7416  df-om 7870  df-2nd 7997  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-r1 9786  df-rank 9787

This theorem is referenced by:  ac6s  10506  bnd2d  49208