Theorem breqtri 5124

Description: Substitution of equal classes into a binary relation. (Contributed by NM, 1-Aug-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
breqtr.1	⊢ 𝐴𝑅𝐵
breqtr.2	⊢ 𝐵 = 𝐶

Assertion

Ref	Expression
breqtri	⊢ 𝐴𝑅𝐶

Proof of Theorem breqtri

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breqtr.1	. 2 ⊢ 𝐴𝑅𝐵
2		breqtr.2	. . 3 ⊢ 𝐵 = 𝐶
3	2	breq2i 5107	. 2 ⊢ (𝐴𝑅𝐵 ↔ 𝐴𝑅𝐶)
4	1, 3	mpbi 230	1 ⊢ 𝐴𝑅𝐶

Syntax hints:   = wceq 1542   class class class wbr 5099

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2709

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-rab 3401  df-v 3443  df-dif 3905  df-un 3907  df-ss 3919  df-nul 4287  df-if 4481  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-br 5100

This theorem is referenced by:  breqtrri  5126  3brtr3i  5128  supsrlem  11026  0lt1  11663  le9lt10  12638  9lt10  12742  hashunlei  14352  sqrt2gt1lt2  15201  trireciplem  15789  cos1bnd  16116  cos2bnd  16117  cos01gt0  16120  sin4lt0  16124  rpnnen2lem3  16145  z4even  16303  gcdaddmlem  16455  dec2dvds  16995  abvtrivd  20769  sincos4thpi  26482  log2cnv  26914  log2ublem2  26917  log2ublem3  26918  log2le1  26920  birthday  26924  harmonicbnd3  26978  lgam1  27034  basellem7  27057  ppiublem1  27173  ppiub  27175  bposlem4  27258  bposlem5  27259  bposlem9  27263  lgsdir2lem2  27297  lgsdir2lem3  27298  1reno  28497  ex-fl  30526  siilem1  30930  normlem5  31193  normlem6  31194  norm-ii-i  31216  norm3adifii  31227  cmm2i  31686  mayetes3i  31808  nmopcoadji  32180  mdoc2i  32505  dmdoc2i  32507  dp2lt10  32967  dp2ltsuc  32969  dplti  32988  sqsscirc1  34067  ballotlem1c  34667  hgt750lem  34810  problem5  35865  circum  35870  bj-pinftyccb  37428  bj-minftyccb  37432  poimirlem25  37848  cntotbnd  37999  3lexlogpow5ineq1  42376  3lexlogpow5ineq2  42377  aks4d1p1p2  42392  aks4d1p1p7  42396  posbezout  42422  aks6d1c7lem1  42502  jm2.23  43305  tr3dom  43836  halffl  45611  wallispi  46381  stirlinglem1  46385  fouriersw  46542  sinnpoly  47204