MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cos01gt0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cos01gt0 16139
Description: The cosine of a positive real number less than or equal to 1 is positive. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.)
Assertion
Ref Expression
cos01gt0 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ 0 < (cosโ€˜๐ด))

Proof of Theorem cos01gt0
StepHypRef Expression
1 0xr 11266 . . . . . . . . . 10 0 โˆˆ โ„*
2 1re 11219 . . . . . . . . . 10 1 โˆˆ โ„
3 elioc2 13392 . . . . . . . . . 10 ((0 โˆˆ โ„* โˆง 1 โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†” (๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค 1)))
41, 2, 3mp2an 689 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†” (๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค 1))
54simp1bi 1144 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
65resqcld 14095 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„)
76recnd 11247 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
8 2cn 12292 . . . . . . 7 2 โˆˆ โ„‚
9 3cn 12298 . . . . . . . 8 3 โˆˆ โ„‚
10 3ne0 12323 . . . . . . . 8 3 โ‰  0
119, 10pm3.2i 470 . . . . . . 7 (3 โˆˆ โ„‚ โˆง 3 โ‰  0)
12 div12 11899 . . . . . . 7 ((2 โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„‚ โˆง (3 โˆˆ โ„‚ โˆง 3 โ‰  0)) โ†’ (2 ยท ((๐ดโ†‘2) / 3)) = ((๐ดโ†‘2) ยท (2 / 3)))
138, 11, 12mp3an13 1451 . . . . . 6 ((๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„‚ โ†’ (2 ยท ((๐ดโ†‘2) / 3)) = ((๐ดโ†‘2) ยท (2 / 3)))
147, 13syl 17 . . . . 5 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ (2 ยท ((๐ดโ†‘2) / 3)) = ((๐ดโ†‘2) ยท (2 / 3)))
15 2z 12599 . . . . . . . . . 10 2 โˆˆ โ„ค
16 expgt0 14066 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 2 โˆˆ โ„ค โˆง 0 < ๐ด) โ†’ 0 < (๐ดโ†‘2))
1715, 16mp3an2 1448 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ 0 < (๐ดโ†‘2))
18173adant3 1131 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค 1) โ†’ 0 < (๐ดโ†‘2))
194, 18sylbi 216 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ 0 < (๐ดโ†‘2))
20 2lt3 12389 . . . . . . . . . 10 2 < 3
21 2re 12291 . . . . . . . . . . 11 2 โˆˆ โ„
22 3re 12297 . . . . . . . . . . 11 3 โˆˆ โ„
23 3pos 12322 . . . . . . . . . . 11 0 < 3
2421, 22, 22, 23ltdiv1ii 12148 . . . . . . . . . 10 (2 < 3 โ†” (2 / 3) < (3 / 3))
2520, 24mpbi 229 . . . . . . . . 9 (2 / 3) < (3 / 3)
269, 10dividi 11952 . . . . . . . . 9 (3 / 3) = 1
2725, 26breqtri 5173 . . . . . . . 8 (2 / 3) < 1
2821, 22, 10redivcli 11986 . . . . . . . . 9 (2 / 3) โˆˆ โ„
29 ltmul2 12070 . . . . . . . . 9 (((2 / 3) โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„ โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (๐ดโ†‘2))) โ†’ ((2 / 3) < 1 โ†” ((๐ดโ†‘2) ยท (2 / 3)) < ((๐ดโ†‘2) ยท 1)))
3028, 2, 29mp3an12 1450 . . . . . . . 8 (((๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (๐ดโ†‘2)) โ†’ ((2 / 3) < 1 โ†” ((๐ดโ†‘2) ยท (2 / 3)) < ((๐ดโ†‘2) ยท 1)))
3127, 30mpbii 232 . . . . . . 7 (((๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (๐ดโ†‘2)) โ†’ ((๐ดโ†‘2) ยท (2 / 3)) < ((๐ดโ†‘2) ยท 1))
326, 19, 31syl2anc 583 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ ((๐ดโ†‘2) ยท (2 / 3)) < ((๐ดโ†‘2) ยท 1))
337mulridd 11236 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ ((๐ดโ†‘2) ยท 1) = (๐ดโ†‘2))
3432, 33breqtrd 5174 . . . . 5 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ ((๐ดโ†‘2) ยท (2 / 3)) < (๐ดโ†‘2))
3514, 34eqbrtrd 5170 . . . 4 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ (2 ยท ((๐ดโ†‘2) / 3)) < (๐ดโ†‘2))
36 0re 11221 . . . . . . . . 9 0 โˆˆ โ„
37 ltle 11307 . . . . . . . . 9 ((0 โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โ†’ (0 < ๐ด โ†’ 0 โ‰ค ๐ด))
3836, 37mpan 687 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (0 < ๐ด โ†’ 0 โ‰ค ๐ด))
3938imdistani 568 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด))
40 le2sq2 14105 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (1 โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰ค 1)) โ†’ (๐ดโ†‘2) โ‰ค (1โ†‘2))
412, 40mpanr1 700 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐ด โ‰ค 1) โ†’ (๐ดโ†‘2) โ‰ค (1โ†‘2))
4239, 41stoic3 1777 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค 1) โ†’ (๐ดโ†‘2) โ‰ค (1โ†‘2))
434, 42sylbi 216 . . . . 5 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ (๐ดโ†‘2) โ‰ค (1โ†‘2))
44 sq1 14164 . . . . 5 (1โ†‘2) = 1
4543, 44breqtrdi 5189 . . . 4 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ (๐ดโ†‘2) โ‰ค 1)
46 redivcl 11938 . . . . . . . 8 (((๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„ โˆง 3 โˆˆ โ„ โˆง 3 โ‰  0) โ†’ ((๐ดโ†‘2) / 3) โˆˆ โ„)
4722, 10, 46mp3an23 1452 . . . . . . 7 ((๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„ โ†’ ((๐ดโ†‘2) / 3) โˆˆ โ„)
486, 47syl 17 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ ((๐ดโ†‘2) / 3) โˆˆ โ„)
49 remulcl 11198 . . . . . 6 ((2 โˆˆ โ„ โˆง ((๐ดโ†‘2) / 3) โˆˆ โ„) โ†’ (2 ยท ((๐ดโ†‘2) / 3)) โˆˆ โ„)
5021, 48, 49sylancr 586 . . . . 5 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ (2 ยท ((๐ดโ†‘2) / 3)) โˆˆ โ„)
51 ltletr 11311 . . . . . 6 (((2 ยท ((๐ดโ†‘2) / 3)) โˆˆ โ„ โˆง (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„) โ†’ (((2 ยท ((๐ดโ†‘2) / 3)) < (๐ดโ†‘2) โˆง (๐ดโ†‘2) โ‰ค 1) โ†’ (2 ยท ((๐ดโ†‘2) / 3)) < 1))
522, 51mp3an3 1449 . . . . 5 (((2 ยท ((๐ดโ†‘2) / 3)) โˆˆ โ„ โˆง (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„) โ†’ (((2 ยท ((๐ดโ†‘2) / 3)) < (๐ดโ†‘2) โˆง (๐ดโ†‘2) โ‰ค 1) โ†’ (2 ยท ((๐ดโ†‘2) / 3)) < 1))
5350, 6, 52syl2anc 583 . . . 4 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ (((2 ยท ((๐ดโ†‘2) / 3)) < (๐ดโ†‘2) โˆง (๐ดโ†‘2) โ‰ค 1) โ†’ (2 ยท ((๐ดโ†‘2) / 3)) < 1))
5435, 45, 53mp2and 696 . . 3 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ (2 ยท ((๐ดโ†‘2) / 3)) < 1)
55 posdif 11712 . . . 4 (((2 ยท ((๐ดโ†‘2) / 3)) โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„) โ†’ ((2 ยท ((๐ดโ†‘2) / 3)) < 1 โ†” 0 < (1 โˆ’ (2 ยท ((๐ดโ†‘2) / 3)))))
5650, 2, 55sylancl 585 . . 3 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ ((2 ยท ((๐ดโ†‘2) / 3)) < 1 โ†” 0 < (1 โˆ’ (2 ยท ((๐ดโ†‘2) / 3)))))
5754, 56mpbid 231 . 2 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ 0 < (1 โˆ’ (2 ยท ((๐ดโ†‘2) / 3))))
58 cos01bnd 16134 . . 3 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ ((1 โˆ’ (2 ยท ((๐ดโ†‘2) / 3))) < (cosโ€˜๐ด) โˆง (cosโ€˜๐ด) < (1 โˆ’ ((๐ดโ†‘2) / 3))))
5958simpld 494 . 2 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ (1 โˆ’ (2 ยท ((๐ดโ†‘2) / 3))) < (cosโ€˜๐ด))
60 resubcl 11529 . . . 4 ((1 โˆˆ โ„ โˆง (2 ยท ((๐ดโ†‘2) / 3)) โˆˆ โ„) โ†’ (1 โˆ’ (2 ยท ((๐ดโ†‘2) / 3))) โˆˆ โ„)
612, 50, 60sylancr 586 . . 3 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ (1 โˆ’ (2 ยท ((๐ดโ†‘2) / 3))) โˆˆ โ„)
625recoscld 16092 . . 3 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ (cosโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
63 lttr 11295 . . 3 ((0 โˆˆ โ„ โˆง (1 โˆ’ (2 ยท ((๐ดโ†‘2) / 3))) โˆˆ โ„ โˆง (cosโ€˜๐ด) โˆˆ โ„) โ†’ ((0 < (1 โˆ’ (2 ยท ((๐ดโ†‘2) / 3))) โˆง (1 โˆ’ (2 ยท ((๐ดโ†‘2) / 3))) < (cosโ€˜๐ด)) โ†’ 0 < (cosโ€˜๐ด)))
6436, 61, 62, 63mp3an2i 1465 . 2 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ ((0 < (1 โˆ’ (2 ยท ((๐ดโ†‘2) / 3))) โˆง (1 โˆ’ (2 ยท ((๐ดโ†‘2) / 3))) < (cosโ€˜๐ด)) โ†’ 0 < (cosโ€˜๐ด)))
6557, 59, 64mp2and 696 1 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ 0 < (cosโ€˜๐ด))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆง w3a 1086   = wceq 1540   โˆˆ wcel 2105   โ‰  wne 2939   class class class wbr 5148  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7412  โ„‚cc 11111  โ„cr 11112  0cc0 11113  1c1 11114   ยท cmul 11118  โ„*cxr 11252   < clt 11253   โ‰ค cle 11254   โˆ’ cmin 11449   / cdiv 11876  2c2 12272  3c3 12273  โ„คcz 12563  (,]cioc 13330  โ†‘cexp 14032  cosccos 16013
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7728  ax-inf2 9639  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190  ax-pre-sup 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-er 8706  df-pm 8826  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-sup 9440  df-inf 9441  df-oi 9508  df-card 9937  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-rp 12980  df-ioc 13334  df-ico 13335  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-fl 13762  df-seq 13972  df-exp 14033  df-fac 14239  df-hash 14296  df-shft 15019  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-limsup 15420  df-clim 15437  df-rlim 15438  df-sum 15638  df-ef 16016  df-cos 16019
This theorem is referenced by:  sin02gt0  16140  sincos1sgn  16141  tangtx  26252
  Copyright terms: Public domain W3C validator