MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cos01gt0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cos01gt0 16224
Description: The cosine of a positive real number less than or equal to 1 is positive. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.)
Assertion
Ref Expression
cos01gt0 (𝐴 ∈ (0(,]1) → 0 < (cos‘𝐴))

Proof of Theorem cos01gt0
StepHypRef Expression
1 0xr 11306 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℝ*
2 1re 11259 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℝ
3 elioc2 13447 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ (0(,]1) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴𝐴 ≤ 1)))
41, 2, 3mp2an 692 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (0(,]1) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴𝐴 ≤ 1))
54simp1bi 1144 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (0(,]1) → 𝐴 ∈ ℝ)
65resqcld 14162 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
76recnd 11287 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
8 2cn 12339 . . . . . . 7 2 ∈ ℂ
9 3cn 12345 . . . . . . . 8 3 ∈ ℂ
10 3ne0 12370 . . . . . . . 8 3 ≠ 0
119, 10pm3.2i 470 . . . . . . 7 (3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0)
12 div12 11942 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℂ ∧ (3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0)) → (2 · ((𝐴↑2) / 3)) = ((𝐴↑2) · (2 / 3)))
138, 11, 12mp3an13 1451 . . . . . 6 ((𝐴↑2) ∈ ℂ → (2 · ((𝐴↑2) / 3)) = ((𝐴↑2) · (2 / 3)))
147, 13syl 17 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (2 · ((𝐴↑2) / 3)) = ((𝐴↑2) · (2 / 3)))
15 2z 12647 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℤ
16 expgt0 14133 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴) → 0 < (𝐴↑2))
1715, 16mp3an2 1448 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 0 < (𝐴↑2))
18173adant3 1131 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴𝐴 ≤ 1) → 0 < (𝐴↑2))
194, 18sylbi 217 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,]1) → 0 < (𝐴↑2))
20 2lt3 12436 . . . . . . . . . 10 2 < 3
21 2re 12338 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℝ
22 3re 12344 . . . . . . . . . . 11 3 ∈ ℝ
23 3pos 12369 . . . . . . . . . . 11 0 < 3
2421, 22, 22, 23ltdiv1ii 12195 . . . . . . . . . 10 (2 < 3 ↔ (2 / 3) < (3 / 3))
2520, 24mpbi 230 . . . . . . . . 9 (2 / 3) < (3 / 3)
269, 10dividi 11998 . . . . . . . . 9 (3 / 3) = 1
2725, 26breqtri 5173 . . . . . . . 8 (2 / 3) < 1
2821, 22, 10redivcli 12032 . . . . . . . . 9 (2 / 3) ∈ ℝ
29 ltmul2 12116 . . . . . . . . 9 (((2 / 3) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ ((𝐴↑2) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴↑2))) → ((2 / 3) < 1 ↔ ((𝐴↑2) · (2 / 3)) < ((𝐴↑2) · 1)))
3028, 2, 29mp3an12 1450 . . . . . . . 8 (((𝐴↑2) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴↑2)) → ((2 / 3) < 1 ↔ ((𝐴↑2) · (2 / 3)) < ((𝐴↑2) · 1)))
3127, 30mpbii 233 . . . . . . 7 (((𝐴↑2) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴↑2)) → ((𝐴↑2) · (2 / 3)) < ((𝐴↑2) · 1))
326, 19, 31syl2anc 584 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑2) · (2 / 3)) < ((𝐴↑2) · 1))
337mulridd 11276 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑2) · 1) = (𝐴↑2))
3432, 33breqtrd 5174 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑2) · (2 / 3)) < (𝐴↑2))
3514, 34eqbrtrd 5170 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (2 · ((𝐴↑2) / 3)) < (𝐴↑2))
36 0re 11261 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℝ
37 ltle 11347 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 < 𝐴 → 0 ≤ 𝐴))
3836, 37mpan 690 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → (0 < 𝐴 → 0 ≤ 𝐴))
3938imdistani 568 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))
40 le2sq2 14172 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 1)) → (𝐴↑2) ≤ (1↑2))
412, 40mpanr1 703 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 ≤ 1) → (𝐴↑2) ≤ (1↑2))
4239, 41stoic3 1773 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴𝐴 ≤ 1) → (𝐴↑2) ≤ (1↑2))
434, 42sylbi 217 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴↑2) ≤ (1↑2))
44 sq1 14231 . . . . 5 (1↑2) = 1
4543, 44breqtrdi 5189 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴↑2) ≤ 1)
46 redivcl 11984 . . . . . . . 8 (((𝐴↑2) ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ ∧ 3 ≠ 0) → ((𝐴↑2) / 3) ∈ ℝ)
4722, 10, 46mp3an23 1452 . . . . . . 7 ((𝐴↑2) ∈ ℝ → ((𝐴↑2) / 3) ∈ ℝ)
486, 47syl 17 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑2) / 3) ∈ ℝ)
49 remulcl 11238 . . . . . 6 ((2 ∈ ℝ ∧ ((𝐴↑2) / 3) ∈ ℝ) → (2 · ((𝐴↑2) / 3)) ∈ ℝ)
5021, 48, 49sylancr 587 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (2 · ((𝐴↑2) / 3)) ∈ ℝ)
51 ltletr 11351 . . . . . 6 (((2 · ((𝐴↑2) / 3)) ∈ ℝ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (((2 · ((𝐴↑2) / 3)) < (𝐴↑2) ∧ (𝐴↑2) ≤ 1) → (2 · ((𝐴↑2) / 3)) < 1))
522, 51mp3an3 1449 . . . . 5 (((2 · ((𝐴↑2) / 3)) ∈ ℝ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℝ) → (((2 · ((𝐴↑2) / 3)) < (𝐴↑2) ∧ (𝐴↑2) ≤ 1) → (2 · ((𝐴↑2) / 3)) < 1))
5350, 6, 52syl2anc 584 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (((2 · ((𝐴↑2) / 3)) < (𝐴↑2) ∧ (𝐴↑2) ≤ 1) → (2 · ((𝐴↑2) / 3)) < 1))
5435, 45, 53mp2and 699 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (2 · ((𝐴↑2) / 3)) < 1)
55 posdif 11754 . . . 4 (((2 · ((𝐴↑2) / 3)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((2 · ((𝐴↑2) / 3)) < 1 ↔ 0 < (1 − (2 · ((𝐴↑2) / 3)))))
5650, 2, 55sylancl 586 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((2 · ((𝐴↑2) / 3)) < 1 ↔ 0 < (1 − (2 · ((𝐴↑2) / 3)))))
5754, 56mpbid 232 . 2 (𝐴 ∈ (0(,]1) → 0 < (1 − (2 · ((𝐴↑2) / 3))))
58 cos01bnd 16219 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((1 − (2 · ((𝐴↑2) / 3))) < (cos‘𝐴) ∧ (cos‘𝐴) < (1 − ((𝐴↑2) / 3))))
5958simpld 494 . 2 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (1 − (2 · ((𝐴↑2) / 3))) < (cos‘𝐴))
60 resubcl 11571 . . . 4 ((1 ∈ ℝ ∧ (2 · ((𝐴↑2) / 3)) ∈ ℝ) → (1 − (2 · ((𝐴↑2) / 3))) ∈ ℝ)
612, 50, 60sylancr 587 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (1 − (2 · ((𝐴↑2) / 3))) ∈ ℝ)
625recoscld 16177 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (cos‘𝐴) ∈ ℝ)
63 lttr 11335 . . 3 ((0 ∈ ℝ ∧ (1 − (2 · ((𝐴↑2) / 3))) ∈ ℝ ∧ (cos‘𝐴) ∈ ℝ) → ((0 < (1 − (2 · ((𝐴↑2) / 3))) ∧ (1 − (2 · ((𝐴↑2) / 3))) < (cos‘𝐴)) → 0 < (cos‘𝐴)))
6436, 61, 62, 63mp3an2i 1465 . 2 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((0 < (1 − (2 · ((𝐴↑2) / 3))) ∧ (1 − (2 · ((𝐴↑2) / 3))) < (cos‘𝐴)) → 0 < (cos‘𝐴)))
6557, 59, 64mp2and 699 1 (𝐴 ∈ (0(,]1) → 0 < (cos‘𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938   class class class wbr 5148  cfv 6563  (class class class)co 7431  cc 11151  cr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   · cmul 11158  *cxr 11292   < clt 11293  cle 11294  cmin 11490   / cdiv 11918  2c2 12319  3c3 12320  cz 12611  (,]cioc 13385  cexp 14099  cosccos 16097
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-pm 8868  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-ioc 13389  df-ico 13390  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-seq 14040  df-exp 14100  df-fac 14310  df-hash 14367  df-shft 15103  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-limsup 15504  df-clim 15521  df-rlim 15522  df-sum 15720  df-ef 16100  df-cos 16103
This theorem is referenced by:  sin02gt0  16225  sincos1sgn  16226  tangtx  26562
  Copyright terms: Public domain W3C validator