Theorem cos01gt0 16365

Description: The cosine of a positive real number less than or equal to 1 is positive. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.)

Assertion

Ref	Expression
cos01gt0	⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → 0 < (cos‘𝐴))

Proof of Theorem cos01gt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0xr 11360	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℝ*
2		1re 11312	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℝ
3		elioc2 13544	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ (0(,]1) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 1)))
4	1, 2, 3	mp2an 705	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 1))
5	4	simp1bi 1163	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → 𝐴 ∈ ℝ)
6	5	resqcld 14272	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
7	6	recnd 11341	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
8		2cn 12422	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
9		3cn 12428	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℂ
10		3ne0 12456	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ≠ 0
11	9, 10	pm3.2i 476	. . . . . . 7 ⊢ (3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0)
12		div12 12000	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℂ ∧ (3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0)) → (2 · ((𝐴↑2) / 3)) = ((𝐴↑2) · (2 / 3)))
13	8, 11, 12	mp3an13 1481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴↑2) ∈ ℂ → (2 · ((𝐴↑2) / 3)) = ((𝐴↑2) · (2 / 3)))
14	7, 13	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (2 · ((𝐴↑2) / 3)) = ((𝐴↑2) · (2 / 3)))
15		2z 12732	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℤ
16		expgt0 14242	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴) → 0 < (𝐴↑2))
17	15, 16	mp3an2 1478	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 0 < (𝐴↑2))
18	17	3adant3 1150	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 1) → 0 < (𝐴↑2))
19	4, 18	sylbi 220	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → 0 < (𝐴↑2))
20		2lt3 12520	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 < 3
21		2re 12421	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℝ
22		3re 12427	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ∈ ℝ
23		3pos 12455	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < 3
24	21, 22, 22, 23	ltdiv1ii 12250	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 < 3 ↔ (2 / 3) < (3 / 3))
25	20, 24	mpbi 233	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 / 3) < (3 / 3)
26	9, 10	dividi 12054	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 / 3) = 1
27	25, 26	breqtri 5129	. . . . . . . 8 ⊢ (2 / 3) < 1
28	21, 22, 10	redivcli 12088	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 / 3) ∈ ℝ
29		ltmul2 12172	. . . . . . . . 9 ⊢ (((2 / 3) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ ((𝐴↑2) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴↑2))) → ((2 / 3) < 1 ↔ ((𝐴↑2) · (2 / 3)) < ((𝐴↑2) · 1)))
30	28, 2, 29	mp3an12 1480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴↑2) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴↑2)) → ((2 / 3) < 1 ↔ ((𝐴↑2) · (2 / 3)) < ((𝐴↑2) · 1)))
31	27, 30	mpbii 236	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴↑2) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴↑2)) → ((𝐴↑2) · (2 / 3)) < ((𝐴↑2) · 1))
32	6, 19, 31	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑2) · (2 / 3)) < ((𝐴↑2) · 1))
33	7	mulridd 11330	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑2) · 1) = (𝐴↑2))
34	32, 33	breqtrd 5130	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑2) · (2 / 3)) < (𝐴↑2))
35	14, 34	eqbrtrd 5126	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (2 · ((𝐴↑2) / 3)) < (𝐴↑2))
36		0re 11314	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℝ
37		ltle 11402	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 < 𝐴 → 0 ≤ 𝐴))
38	36, 37	mpan 703	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 < 𝐴 → 0 ≤ 𝐴))
39	38	imdistani 579	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))
40		le2sq2 14282	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 1)) → (𝐴↑2) ≤ (1↑2))
41	2, 40	mpanr1 716	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 ≤ 1) → (𝐴↑2) ≤ (1↑2))
42	39, 41	stoic3 1808	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 1) → (𝐴↑2) ≤ (1↑2))
43	4, 42	sylbi 220	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴↑2) ≤ (1↑2))
44		sq1 14342	. . . . 5 ⊢ (1↑2) = 1
45	43, 44	breqtrdi 5145	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴↑2) ≤ 1)
46		redivcl 12040	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴↑2) ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ ∧ 3 ≠ 0) → ((𝐴↑2) / 3) ∈ ℝ)
47	22, 10, 46	mp3an23 1482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴↑2) ∈ ℝ → ((𝐴↑2) / 3) ∈ ℝ)
48	6, 47	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑2) / 3) ∈ ℝ)
49		remulcl 11289	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ ((𝐴↑2) / 3) ∈ ℝ) → (2 · ((𝐴↑2) / 3)) ∈ ℝ)
50	21, 48, 49	sylancr 599	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (2 · ((𝐴↑2) / 3)) ∈ ℝ)
51		ltletr 11406	. . . . . 6 ⊢ (((2 · ((𝐴↑2) / 3)) ∈ ℝ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (((2 · ((𝐴↑2) / 3)) < (𝐴↑2) ∧ (𝐴↑2) ≤ 1) → (2 · ((𝐴↑2) / 3)) < 1))
52	2, 51	mp3an3 1479	. . . . 5 ⊢ (((2 · ((𝐴↑2) / 3)) ∈ ℝ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℝ) → (((2 · ((𝐴↑2) / 3)) < (𝐴↑2) ∧ (𝐴↑2) ≤ 1) → (2 · ((𝐴↑2) / 3)) < 1))
53	50, 6, 52	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (((2 · ((𝐴↑2) / 3)) < (𝐴↑2) ∧ (𝐴↑2) ≤ 1) → (2 · ((𝐴↑2) / 3)) < 1))
54	35, 45, 53	mp2and 712	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (2 · ((𝐴↑2) / 3)) < 1)
55		posdif 11813	. . . 4 ⊢ (((2 · ((𝐴↑2) / 3)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((2 · ((𝐴↑2) / 3)) < 1 ↔ 0 < (1 − (2 · ((𝐴↑2) / 3)))))
56	50, 2, 55	sylancl 598	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((2 · ((𝐴↑2) / 3)) < 1 ↔ 0 < (1 − (2 · ((𝐴↑2) / 3)))))
57	54, 56	mpbid 235	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → 0 < (1 − (2 · ((𝐴↑2) / 3))))
58		cos01bnd 16360	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((1 − (2 · ((𝐴↑2) / 3))) < (cos‘𝐴) ∧ (cos‘𝐴) < (1 − ((𝐴↑2) / 3))))
59	58	simpld 500	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (1 − (2 · ((𝐴↑2) / 3))) < (cos‘𝐴))
60		resubcl 11626	. . . 4 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (2 · ((𝐴↑2) / 3)) ∈ ℝ) → (1 − (2 · ((𝐴↑2) / 3))) ∈ ℝ)
61	2, 50, 60	sylancr 599	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (1 − (2 · ((𝐴↑2) / 3))) ∈ ℝ)
62	5	recoscld 16318	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (cos‘𝐴) ∈ ℝ)
63		lttr 11390	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (1 − (2 · ((𝐴↑2) / 3))) ∈ ℝ ∧ (cos‘𝐴) ∈ ℝ) → ((0 < (1 − (2 · ((𝐴↑2) / 3))) ∧ (1 − (2 · ((𝐴↑2) / 3))) < (cos‘𝐴)) → 0 < (cos‘𝐴)))
64	36, 61, 62, 63	mp3an2i 1495	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((0 < (1 − (2 · ((𝐴↑2) / 3))) ∧ (1 − (2 · ((𝐴↑2) / 3))) < (cos‘𝐴)) → 0 < (cos‘𝐴)))
65	57, 59, 64	mp2and 712	1 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → 0 < (cos‘𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955   class class class wbr 5102  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421  ℂcc 11202  ℝcr 11203  0cc0 11204  1c1 11205   · cmul 11209  ℝ^*cxr 11346   < clt 11347   ≤ cle 11348   − cmin 11545   / cdiv 11977  2c2 12401  3c3 12402  ℤcz 12697  (,]cioc 13481  ↑cexp 14208  cosccos 16236

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-inf2 9646  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281  ax-pre-sup 11282

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-isom 6548  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8480  df-er 8721  df-pm 8854  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-fin 8981  df-sup 9438  df-inf 9439  df-oi 9508  df-card 10024  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-div 11978  df-nn 12340  df-2 12409  df-3 12410  df-4 12411  df-5 12412  df-6 12413  df-7 12414  df-8 12415  df-n0 12611  df-z 12698  df-uz 12970  df-rp 13125  df-ioc 13485  df-ico 13486  df-fz 13644  df-fzo 13793  df-fl 13936  df-seq 14149  df-exp 14209  df-fac 14422  df-hash 14479  df-shft 15226  df-cj 15272  df-re 15273  df-im 15274  df-sqrt 15408  df-abs 15409  df-limsup 15644  df-clim 15661  df-rlim 15662  df-sum 15860  df-ef 16239  df-cos 16242

This theorem is used by:  sin02gt0  16366  sincos1sgn  16367  tangtx  26840