MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cos01gt0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cos01gt0 16080
Description: The cosine of a positive real number less than or equal to 1 is positive. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.)
Assertion
Ref Expression
cos01gt0 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ 0 < (cosโ€˜๐ด))

Proof of Theorem cos01gt0
StepHypRef Expression
1 0xr 11209 . . . . . . . . . 10 0 โˆˆ โ„*
2 1re 11162 . . . . . . . . . 10 1 โˆˆ โ„
3 elioc2 13334 . . . . . . . . . 10 ((0 โˆˆ โ„* โˆง 1 โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†” (๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค 1)))
41, 2, 3mp2an 691 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†” (๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค 1))
54simp1bi 1146 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
65resqcld 14037 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„)
76recnd 11190 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
8 2cn 12235 . . . . . . 7 2 โˆˆ โ„‚
9 3cn 12241 . . . . . . . 8 3 โˆˆ โ„‚
10 3ne0 12266 . . . . . . . 8 3 โ‰  0
119, 10pm3.2i 472 . . . . . . 7 (3 โˆˆ โ„‚ โˆง 3 โ‰  0)
12 div12 11842 . . . . . . 7 ((2 โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„‚ โˆง (3 โˆˆ โ„‚ โˆง 3 โ‰  0)) โ†’ (2 ยท ((๐ดโ†‘2) / 3)) = ((๐ดโ†‘2) ยท (2 / 3)))
138, 11, 12mp3an13 1453 . . . . . 6 ((๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„‚ โ†’ (2 ยท ((๐ดโ†‘2) / 3)) = ((๐ดโ†‘2) ยท (2 / 3)))
147, 13syl 17 . . . . 5 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ (2 ยท ((๐ดโ†‘2) / 3)) = ((๐ดโ†‘2) ยท (2 / 3)))
15 2z 12542 . . . . . . . . . 10 2 โˆˆ โ„ค
16 expgt0 14008 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 2 โˆˆ โ„ค โˆง 0 < ๐ด) โ†’ 0 < (๐ดโ†‘2))
1715, 16mp3an2 1450 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ 0 < (๐ดโ†‘2))
18173adant3 1133 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค 1) โ†’ 0 < (๐ดโ†‘2))
194, 18sylbi 216 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ 0 < (๐ดโ†‘2))
20 2lt3 12332 . . . . . . . . . 10 2 < 3
21 2re 12234 . . . . . . . . . . 11 2 โˆˆ โ„
22 3re 12240 . . . . . . . . . . 11 3 โˆˆ โ„
23 3pos 12265 . . . . . . . . . . 11 0 < 3
2421, 22, 22, 23ltdiv1ii 12091 . . . . . . . . . 10 (2 < 3 โ†” (2 / 3) < (3 / 3))
2520, 24mpbi 229 . . . . . . . . 9 (2 / 3) < (3 / 3)
269, 10dividi 11895 . . . . . . . . 9 (3 / 3) = 1
2725, 26breqtri 5135 . . . . . . . 8 (2 / 3) < 1
2821, 22, 10redivcli 11929 . . . . . . . . 9 (2 / 3) โˆˆ โ„
29 ltmul2 12013 . . . . . . . . 9 (((2 / 3) โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„ โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (๐ดโ†‘2))) โ†’ ((2 / 3) < 1 โ†” ((๐ดโ†‘2) ยท (2 / 3)) < ((๐ดโ†‘2) ยท 1)))
3028, 2, 29mp3an12 1452 . . . . . . . 8 (((๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (๐ดโ†‘2)) โ†’ ((2 / 3) < 1 โ†” ((๐ดโ†‘2) ยท (2 / 3)) < ((๐ดโ†‘2) ยท 1)))
3127, 30mpbii 232 . . . . . . 7 (((๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (๐ดโ†‘2)) โ†’ ((๐ดโ†‘2) ยท (2 / 3)) < ((๐ดโ†‘2) ยท 1))
326, 19, 31syl2anc 585 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ ((๐ดโ†‘2) ยท (2 / 3)) < ((๐ดโ†‘2) ยท 1))
337mulid1d 11179 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ ((๐ดโ†‘2) ยท 1) = (๐ดโ†‘2))
3432, 33breqtrd 5136 . . . . 5 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ ((๐ดโ†‘2) ยท (2 / 3)) < (๐ดโ†‘2))
3514, 34eqbrtrd 5132 . . . 4 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ (2 ยท ((๐ดโ†‘2) / 3)) < (๐ดโ†‘2))
36 0re 11164 . . . . . . . . 9 0 โˆˆ โ„
37 ltle 11250 . . . . . . . . 9 ((0 โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โ†’ (0 < ๐ด โ†’ 0 โ‰ค ๐ด))
3836, 37mpan 689 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (0 < ๐ด โ†’ 0 โ‰ค ๐ด))
3938imdistani 570 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด))
40 le2sq2 14047 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (1 โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰ค 1)) โ†’ (๐ดโ†‘2) โ‰ค (1โ†‘2))
412, 40mpanr1 702 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐ด โ‰ค 1) โ†’ (๐ดโ†‘2) โ‰ค (1โ†‘2))
4239, 41stoic3 1779 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค 1) โ†’ (๐ดโ†‘2) โ‰ค (1โ†‘2))
434, 42sylbi 216 . . . . 5 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ (๐ดโ†‘2) โ‰ค (1โ†‘2))
44 sq1 14106 . . . . 5 (1โ†‘2) = 1
4543, 44breqtrdi 5151 . . . 4 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ (๐ดโ†‘2) โ‰ค 1)
46 redivcl 11881 . . . . . . . 8 (((๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„ โˆง 3 โˆˆ โ„ โˆง 3 โ‰  0) โ†’ ((๐ดโ†‘2) / 3) โˆˆ โ„)
4722, 10, 46mp3an23 1454 . . . . . . 7 ((๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„ โ†’ ((๐ดโ†‘2) / 3) โˆˆ โ„)
486, 47syl 17 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ ((๐ดโ†‘2) / 3) โˆˆ โ„)
49 remulcl 11143 . . . . . 6 ((2 โˆˆ โ„ โˆง ((๐ดโ†‘2) / 3) โˆˆ โ„) โ†’ (2 ยท ((๐ดโ†‘2) / 3)) โˆˆ โ„)
5021, 48, 49sylancr 588 . . . . 5 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ (2 ยท ((๐ดโ†‘2) / 3)) โˆˆ โ„)
51 ltletr 11254 . . . . . 6 (((2 ยท ((๐ดโ†‘2) / 3)) โˆˆ โ„ โˆง (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„) โ†’ (((2 ยท ((๐ดโ†‘2) / 3)) < (๐ดโ†‘2) โˆง (๐ดโ†‘2) โ‰ค 1) โ†’ (2 ยท ((๐ดโ†‘2) / 3)) < 1))
522, 51mp3an3 1451 . . . . 5 (((2 ยท ((๐ดโ†‘2) / 3)) โˆˆ โ„ โˆง (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„) โ†’ (((2 ยท ((๐ดโ†‘2) / 3)) < (๐ดโ†‘2) โˆง (๐ดโ†‘2) โ‰ค 1) โ†’ (2 ยท ((๐ดโ†‘2) / 3)) < 1))
5350, 6, 52syl2anc 585 . . . 4 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ (((2 ยท ((๐ดโ†‘2) / 3)) < (๐ดโ†‘2) โˆง (๐ดโ†‘2) โ‰ค 1) โ†’ (2 ยท ((๐ดโ†‘2) / 3)) < 1))
5435, 45, 53mp2and 698 . . 3 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ (2 ยท ((๐ดโ†‘2) / 3)) < 1)
55 posdif 11655 . . . 4 (((2 ยท ((๐ดโ†‘2) / 3)) โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„) โ†’ ((2 ยท ((๐ดโ†‘2) / 3)) < 1 โ†” 0 < (1 โˆ’ (2 ยท ((๐ดโ†‘2) / 3)))))
5650, 2, 55sylancl 587 . . 3 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ ((2 ยท ((๐ดโ†‘2) / 3)) < 1 โ†” 0 < (1 โˆ’ (2 ยท ((๐ดโ†‘2) / 3)))))
5754, 56mpbid 231 . 2 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ 0 < (1 โˆ’ (2 ยท ((๐ดโ†‘2) / 3))))
58 cos01bnd 16075 . . 3 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ ((1 โˆ’ (2 ยท ((๐ดโ†‘2) / 3))) < (cosโ€˜๐ด) โˆง (cosโ€˜๐ด) < (1 โˆ’ ((๐ดโ†‘2) / 3))))
5958simpld 496 . 2 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ (1 โˆ’ (2 ยท ((๐ดโ†‘2) / 3))) < (cosโ€˜๐ด))
60 resubcl 11472 . . . 4 ((1 โˆˆ โ„ โˆง (2 ยท ((๐ดโ†‘2) / 3)) โˆˆ โ„) โ†’ (1 โˆ’ (2 ยท ((๐ดโ†‘2) / 3))) โˆˆ โ„)
612, 50, 60sylancr 588 . . 3 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ (1 โˆ’ (2 ยท ((๐ดโ†‘2) / 3))) โˆˆ โ„)
625recoscld 16033 . . 3 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ (cosโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
63 lttr 11238 . . 3 ((0 โˆˆ โ„ โˆง (1 โˆ’ (2 ยท ((๐ดโ†‘2) / 3))) โˆˆ โ„ โˆง (cosโ€˜๐ด) โˆˆ โ„) โ†’ ((0 < (1 โˆ’ (2 ยท ((๐ดโ†‘2) / 3))) โˆง (1 โˆ’ (2 ยท ((๐ดโ†‘2) / 3))) < (cosโ€˜๐ด)) โ†’ 0 < (cosโ€˜๐ด)))
6436, 61, 62, 63mp3an2i 1467 . 2 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ ((0 < (1 โˆ’ (2 ยท ((๐ดโ†‘2) / 3))) โˆง (1 โˆ’ (2 ยท ((๐ดโ†‘2) / 3))) < (cosโ€˜๐ด)) โ†’ 0 < (cosโ€˜๐ด)))
6557, 59, 64mp2and 698 1 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ 0 < (cosโ€˜๐ด))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2944   class class class wbr 5110  โ€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  โ„‚cc 11056  โ„cr 11057  0cc0 11058  1c1 11059   ยท cmul 11063  โ„*cxr 11195   < clt 11196   โ‰ค cle 11197   โˆ’ cmin 11392   / cdiv 11819  2c2 12215  3c3 12216  โ„คcz 12506  (,]cioc 13272  โ†‘cexp 13974  cosccos 15954
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-pm 8775  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-rp 12923  df-ioc 13276  df-ico 13277  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-seq 13914  df-exp 13975  df-fac 14181  df-hash 14238  df-shft 14959  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-limsup 15360  df-clim 15377  df-rlim 15378  df-sum 15578  df-ef 15957  df-cos 15960
This theorem is referenced by:  sin02gt0  16081  sincos1sgn  16082  tangtx  25878
  Copyright terms: Public domain W3C validator