MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cos01gt0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cos01gt0 16227
Description: The cosine of a positive real number less than or equal to 1 is positive. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.)
Assertion
Ref Expression
cos01gt0 (𝐴 ∈ (0(,]1) → 0 < (cos‘𝐴))

Proof of Theorem cos01gt0
StepHypRef Expression
1 0xr 11308 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℝ*
2 1re 11261 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℝ
3 elioc2 13450 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ (0(,]1) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴𝐴 ≤ 1)))
41, 2, 3mp2an 692 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (0(,]1) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴𝐴 ≤ 1))
54simp1bi 1146 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (0(,]1) → 𝐴 ∈ ℝ)
65resqcld 14165 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
76recnd 11289 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
8 2cn 12341 . . . . . . 7 2 ∈ ℂ
9 3cn 12347 . . . . . . . 8 3 ∈ ℂ
10 3ne0 12372 . . . . . . . 8 3 ≠ 0
119, 10pm3.2i 470 . . . . . . 7 (3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0)
12 div12 11944 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℂ ∧ (3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0)) → (2 · ((𝐴↑2) / 3)) = ((𝐴↑2) · (2 / 3)))
138, 11, 12mp3an13 1454 . . . . . 6 ((𝐴↑2) ∈ ℂ → (2 · ((𝐴↑2) / 3)) = ((𝐴↑2) · (2 / 3)))
147, 13syl 17 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (2 · ((𝐴↑2) / 3)) = ((𝐴↑2) · (2 / 3)))
15 2z 12649 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℤ
16 expgt0 14136 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴) → 0 < (𝐴↑2))
1715, 16mp3an2 1451 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 0 < (𝐴↑2))
18173adant3 1133 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴𝐴 ≤ 1) → 0 < (𝐴↑2))
194, 18sylbi 217 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,]1) → 0 < (𝐴↑2))
20 2lt3 12438 . . . . . . . . . 10 2 < 3
21 2re 12340 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℝ
22 3re 12346 . . . . . . . . . . 11 3 ∈ ℝ
23 3pos 12371 . . . . . . . . . . 11 0 < 3
2421, 22, 22, 23ltdiv1ii 12197 . . . . . . . . . 10 (2 < 3 ↔ (2 / 3) < (3 / 3))
2520, 24mpbi 230 . . . . . . . . 9 (2 / 3) < (3 / 3)
269, 10dividi 12000 . . . . . . . . 9 (3 / 3) = 1
2725, 26breqtri 5168 . . . . . . . 8 (2 / 3) < 1
2821, 22, 10redivcli 12034 . . . . . . . . 9 (2 / 3) ∈ ℝ
29 ltmul2 12118 . . . . . . . . 9 (((2 / 3) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ ((𝐴↑2) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴↑2))) → ((2 / 3) < 1 ↔ ((𝐴↑2) · (2 / 3)) < ((𝐴↑2) · 1)))
3028, 2, 29mp3an12 1453 . . . . . . . 8 (((𝐴↑2) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴↑2)) → ((2 / 3) < 1 ↔ ((𝐴↑2) · (2 / 3)) < ((𝐴↑2) · 1)))
3127, 30mpbii 233 . . . . . . 7 (((𝐴↑2) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴↑2)) → ((𝐴↑2) · (2 / 3)) < ((𝐴↑2) · 1))
326, 19, 31syl2anc 584 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑2) · (2 / 3)) < ((𝐴↑2) · 1))
337mulridd 11278 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑2) · 1) = (𝐴↑2))
3432, 33breqtrd 5169 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑2) · (2 / 3)) < (𝐴↑2))
3514, 34eqbrtrd 5165 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (2 · ((𝐴↑2) / 3)) < (𝐴↑2))
36 0re 11263 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℝ
37 ltle 11349 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 < 𝐴 → 0 ≤ 𝐴))
3836, 37mpan 690 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → (0 < 𝐴 → 0 ≤ 𝐴))
3938imdistani 568 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))
40 le2sq2 14175 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 1)) → (𝐴↑2) ≤ (1↑2))
412, 40mpanr1 703 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 ≤ 1) → (𝐴↑2) ≤ (1↑2))
4239, 41stoic3 1776 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴𝐴 ≤ 1) → (𝐴↑2) ≤ (1↑2))
434, 42sylbi 217 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴↑2) ≤ (1↑2))
44 sq1 14234 . . . . 5 (1↑2) = 1
4543, 44breqtrdi 5184 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴↑2) ≤ 1)
46 redivcl 11986 . . . . . . . 8 (((𝐴↑2) ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ ∧ 3 ≠ 0) → ((𝐴↑2) / 3) ∈ ℝ)
4722, 10, 46mp3an23 1455 . . . . . . 7 ((𝐴↑2) ∈ ℝ → ((𝐴↑2) / 3) ∈ ℝ)
486, 47syl 17 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑2) / 3) ∈ ℝ)
49 remulcl 11240 . . . . . 6 ((2 ∈ ℝ ∧ ((𝐴↑2) / 3) ∈ ℝ) → (2 · ((𝐴↑2) / 3)) ∈ ℝ)
5021, 48, 49sylancr 587 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (2 · ((𝐴↑2) / 3)) ∈ ℝ)
51 ltletr 11353 . . . . . 6 (((2 · ((𝐴↑2) / 3)) ∈ ℝ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (((2 · ((𝐴↑2) / 3)) < (𝐴↑2) ∧ (𝐴↑2) ≤ 1) → (2 · ((𝐴↑2) / 3)) < 1))
522, 51mp3an3 1452 . . . . 5 (((2 · ((𝐴↑2) / 3)) ∈ ℝ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℝ) → (((2 · ((𝐴↑2) / 3)) < (𝐴↑2) ∧ (𝐴↑2) ≤ 1) → (2 · ((𝐴↑2) / 3)) < 1))
5350, 6, 52syl2anc 584 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (((2 · ((𝐴↑2) / 3)) < (𝐴↑2) ∧ (𝐴↑2) ≤ 1) → (2 · ((𝐴↑2) / 3)) < 1))
5435, 45, 53mp2and 699 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (2 · ((𝐴↑2) / 3)) < 1)
55 posdif 11756 . . . 4 (((2 · ((𝐴↑2) / 3)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((2 · ((𝐴↑2) / 3)) < 1 ↔ 0 < (1 − (2 · ((𝐴↑2) / 3)))))
5650, 2, 55sylancl 586 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((2 · ((𝐴↑2) / 3)) < 1 ↔ 0 < (1 − (2 · ((𝐴↑2) / 3)))))
5754, 56mpbid 232 . 2 (𝐴 ∈ (0(,]1) → 0 < (1 − (2 · ((𝐴↑2) / 3))))
58 cos01bnd 16222 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((1 − (2 · ((𝐴↑2) / 3))) < (cos‘𝐴) ∧ (cos‘𝐴) < (1 − ((𝐴↑2) / 3))))
5958simpld 494 . 2 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (1 − (2 · ((𝐴↑2) / 3))) < (cos‘𝐴))
60 resubcl 11573 . . . 4 ((1 ∈ ℝ ∧ (2 · ((𝐴↑2) / 3)) ∈ ℝ) → (1 − (2 · ((𝐴↑2) / 3))) ∈ ℝ)
612, 50, 60sylancr 587 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (1 − (2 · ((𝐴↑2) / 3))) ∈ ℝ)
625recoscld 16180 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (cos‘𝐴) ∈ ℝ)
63 lttr 11337 . . 3 ((0 ∈ ℝ ∧ (1 − (2 · ((𝐴↑2) / 3))) ∈ ℝ ∧ (cos‘𝐴) ∈ ℝ) → ((0 < (1 − (2 · ((𝐴↑2) / 3))) ∧ (1 − (2 · ((𝐴↑2) / 3))) < (cos‘𝐴)) → 0 < (cos‘𝐴)))
6436, 61, 62, 63mp3an2i 1468 . 2 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((0 < (1 − (2 · ((𝐴↑2) / 3))) ∧ (1 − (2 · ((𝐴↑2) / 3))) < (cos‘𝐴)) → 0 < (cos‘𝐴)))
6557, 59, 64mp2and 699 1 (𝐴 ∈ (0(,]1) → 0 < (cos‘𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940   class class class wbr 5143  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   · cmul 11160  *cxr 11294   < clt 11295  cle 11296  cmin 11492   / cdiv 11920  2c2 12321  3c3 12322  cz 12613  (,]cioc 13388  cexp 14102  cosccos 16100
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-ioc 13392  df-ico 13393  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-seq 14043  df-exp 14103  df-fac 14313  df-hash 14370  df-shft 15106  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-limsup 15507  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723  df-ef 16103  df-cos 16106
This theorem is referenced by:  sin02gt0  16228  sincos1sgn  16229  tangtx  26547
  Copyright terms: Public domain W3C validator