Theorem lgsdir2lem2 27314

Description: Lemma for lgsdir2 27318. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lgsdir2lem2.1	⊢ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ (𝐾 + 1) ∧ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...𝐾) → (𝐴 mod 8) ∈ 𝑆)))
lgsdir2lem2.2	⊢ 𝑀 = (𝐾 + 1)
lgsdir2lem2.3	⊢ 𝑁 = (𝑀 + 1)
lgsdir2lem2.4	⊢ 𝑁 ∈ 𝑆

Assertion

Ref	Expression
lgsdir2lem2	⊢ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ (𝑁 + 1) ∧ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...𝑁) → (𝐴 mod 8) ∈ 𝑆)))

Proof of Theorem lgsdir2lem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lgsdir2lem2.3	. . 3 ⊢ 𝑁 = (𝑀 + 1)
2		lgsdir2lem2.2	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = (𝐾 + 1)
3		lgsdir2lem2.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ (𝐾 + 1) ∧ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...𝐾) → (𝐴 mod 8) ∈ 𝑆)))
4	3	simp1i 1145	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 ∈ ℤ
5		peano2z 12566	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 + 1) ∈ ℤ)
6	4, 5	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (𝐾 + 1) ∈ ℤ
7	2, 6	eqeltri 2836	. . . 4 ⊢ 𝑀 ∈ ℤ
8		peano2z 12566	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 + 1) ∈ ℤ)
9	7, 8	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (𝑀 + 1) ∈ ℤ
10	1, 9	eqeltri 2836	. 2 ⊢ 𝑁 ∈ ℤ
11	3	simp2i 1146	. . . 4 ⊢ 2 ∥ (𝐾 + 1)
12		2z 12557	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
13		dvdsadd 16269	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ (𝐾 + 1) ∈ ℤ) → (2 ∥ (𝐾 + 1) ↔ 2 ∥ (2 + (𝐾 + 1))))
14	12, 6, 13	mp2an 698	. . . 4 ⊢ (2 ∥ (𝐾 + 1) ↔ 2 ∥ (2 + (𝐾 + 1)))
15	11, 14	mpbi 231	. . 3 ⊢ 2 ∥ (2 + (𝐾 + 1))
16		zcn 12527	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℂ)
17	4, 16	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐾 ∈ ℂ
18		ax-1cn 11094	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℂ
19	17, 18	addcomi 11335	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 + 1) = (1 + 𝐾)
20	2, 19	eqtri 2763	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑀 = (1 + 𝐾)
21	20	oveq1i 7373	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 + 1) = ((1 + 𝐾) + 1)
22	1, 21	eqtri 2763	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = ((1 + 𝐾) + 1)
23		df-2 12242	. . . . . . . 8 ⊢ 2 = (1 + 1)
24	23	oveq1i 7373	. . . . . . 7 ⊢ (2 + 𝐾) = ((1 + 1) + 𝐾)
25	18, 17, 18	add32i 11368	. . . . . . 7 ⊢ ((1 + 𝐾) + 1) = ((1 + 1) + 𝐾)
26	24, 25	eqtr4i 2766	. . . . . 6 ⊢ (2 + 𝐾) = ((1 + 𝐾) + 1)
27	22, 26	eqtr4i 2766	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (2 + 𝐾)
28	27	oveq1i 7373	. . . 4 ⊢ (𝑁 + 1) = ((2 + 𝐾) + 1)
29		2cn 12254	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℂ
30	29, 17, 18	addassi 11153	. . . 4 ⊢ ((2 + 𝐾) + 1) = (2 + (𝐾 + 1))
31	28, 30	eqtri 2763	. . 3 ⊢ (𝑁 + 1) = (2 + (𝐾 + 1))
32	15, 31	breqtrri 5106	. 2 ⊢ 2 ∥ (𝑁 + 1)
33		elfzuz2 13481	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 mod 8) ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0))
34		fzm1 13559	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘0) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...𝑁) ↔ ((𝐴 mod 8) ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∨ (𝐴 mod 8) = 𝑁)))
35	33, 34	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 mod 8) ∈ (0...𝑁) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...𝑁) ↔ ((𝐴 mod 8) ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∨ (𝐴 mod 8) = 𝑁)))
36	35	ibi 268	. . 3 ⊢ ((𝐴 mod 8) ∈ (0...𝑁) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∨ (𝐴 mod 8) = 𝑁))
37		elfzuz2 13481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 mod 8) ∈ (0...𝑀) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘0))
38		fzm1 13559	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘0) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...𝑀) ↔ ((𝐴 mod 8) ∈ (0...(𝑀 − 1)) ∨ (𝐴 mod 8) = 𝑀)))
39	37, 38	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 mod 8) ∈ (0...𝑀) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...𝑀) ↔ ((𝐴 mod 8) ∈ (0...(𝑀 − 1)) ∨ (𝐴 mod 8) = 𝑀)))
40	39	ibi 268	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 mod 8) ∈ (0...𝑀) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...(𝑀 − 1)) ∨ (𝐴 mod 8) = 𝑀))
41		zcn 12527	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
42	7, 41	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑀 ∈ ℂ
43	42, 18, 1	mvrraddi 11408	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 − 1) = 𝑀
44	43	oveq2i 7374	. . . . . 6 ⊢ (0...(𝑁 − 1)) = (0...𝑀)
45	40, 44	eleq2s 2858	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 mod 8) ∈ (0...(𝑁 − 1)) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...(𝑀 − 1)) ∨ (𝐴 mod 8) = 𝑀))
46	17, 18, 2	mvrraddi 11408	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 − 1) = 𝐾
47	46	oveq2i 7374	. . . . . . . 8 ⊢ (0...(𝑀 − 1)) = (0...𝐾)
48	47	eleq2i 2832	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 mod 8) ∈ (0...(𝑀 − 1)) ↔ (𝐴 mod 8) ∈ (0...𝐾))
49	3	simp3i 1147	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...𝐾) → (𝐴 mod 8) ∈ 𝑆))
50	48, 49	biimtrid 243	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...(𝑀 − 1)) → (𝐴 mod 8) ∈ 𝑆))
51		2nn 12252	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℕ
52		8nn 12274	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 8 ∈ ℕ
53		4z 12559	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 4 ∈ ℤ
54		dvdsmul2 16245	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((4 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → 2 ∥ (4 · 2))
55	53, 12, 54	mp2an 698	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∥ (4 · 2)
56		4t2e8 12342	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (4 · 2) = 8
57	55, 56	breqtri 5104	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∥ 8
58		dvdsmod 16296	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((2 ∈ ℕ ∧ 8 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 2 ∥ 8) → (2 ∥ (𝐴 mod 8) ↔ 2 ∥ 𝐴))
59	57, 58	mpan2 697	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 8 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (2 ∥ (𝐴 mod 8) ↔ 2 ∥ 𝐴))
60	51, 52, 59	mp3an12 1459	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (2 ∥ (𝐴 mod 8) ↔ 2 ∥ 𝐴))
61	60	notbid 319	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ (𝐴 mod 8) ↔ ¬ 2 ∥ 𝐴))
62	61	biimpar 478	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → ¬ 2 ∥ (𝐴 mod 8))
63	11, 2	breqtrri 5106	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∥ 𝑀
64		id 22	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 mod 8) = 𝑀 → (𝐴 mod 8) = 𝑀)
65	63, 64	breqtrrid 5117	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 mod 8) = 𝑀 → 2 ∥ (𝐴 mod 8))
66	62, 65	nsyl 140	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → ¬ (𝐴 mod 8) = 𝑀)
67	66	pm2.21d 121	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → ((𝐴 mod 8) = 𝑀 → (𝐴 mod 8) ∈ 𝑆))
68	50, 67	jaod 865	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → (((𝐴 mod 8) ∈ (0...(𝑀 − 1)) ∨ (𝐴 mod 8) = 𝑀) → (𝐴 mod 8) ∈ 𝑆))
69	45, 68	syl5 34	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...(𝑁 − 1)) → (𝐴 mod 8) ∈ 𝑆))
70		lgsdir2lem2.4	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 ∈ 𝑆
71		eleq1 2828	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 mod 8) = 𝑁 → ((𝐴 mod 8) ∈ 𝑆 ↔ 𝑁 ∈ 𝑆))
72	70, 71	mpbiri 259	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 mod 8) = 𝑁 → (𝐴 mod 8) ∈ 𝑆)
73	72	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → ((𝐴 mod 8) = 𝑁 → (𝐴 mod 8) ∈ 𝑆))
74	69, 73	jaod 865	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → (((𝐴 mod 8) ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∨ (𝐴 mod 8) = 𝑁) → (𝐴 mod 8) ∈ 𝑆))
75	36, 74	syl5 34	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...𝑁) → (𝐴 mod 8) ∈ 𝑆))
76	10, 32, 75	3pm3.2i 1346	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ (𝑁 + 1) ∧ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...𝑁) → (𝐴 mod 8) ∈ 𝑆)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∨ wo 853   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   class class class wbr 5079  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363  ℂcc 11034  0cc0 11036  1c1 11037   + caddc 11039   · cmul 11041   − cmin 11375  ℕcn 12172  2c2 12234  4c4 12236  8c8 12240  ℤcz 12522  ℤ_≥cuz 12786  ...cfz 13459   mod cmo 13826   ∥ cdvds 16219

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113  ax-pre-sup 11114

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-sup 9352  df-inf 9353  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-div 11806  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-4 12244  df-5 12245  df-6 12246  df-7 12247  df-8 12248  df-n0 12436  df-z 12523  df-uz 12787  df-rp 12941  df-fz 13460  df-fl 13749  df-mod 13827  df-dvds 16220

This theorem is referenced by:  lgsdir2lem3  27315