MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgsdir2lem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lgsdir2lem2 27384
Description: Lemma for lgsdir2 27388. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lgsdir2lem2.1 (𝐾 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ (𝐾 + 1) ∧ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...𝐾) → (𝐴 mod 8) ∈ 𝑆)))
lgsdir2lem2.2 𝑀 = (𝐾 + 1)
lgsdir2lem2.3 𝑁 = (𝑀 + 1)
lgsdir2lem2.4 𝑁𝑆
Assertion
Ref Expression
lgsdir2lem2 (𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ (𝑁 + 1) ∧ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...𝑁) → (𝐴 mod 8) ∈ 𝑆)))

Proof of Theorem lgsdir2lem2
StepHypRef Expression
1 lgsdir2lem2.3 . . 3 𝑁 = (𝑀 + 1)
2 lgsdir2lem2.2 . . . . 5 𝑀 = (𝐾 + 1)
3 lgsdir2lem2.1 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ (𝐾 + 1) ∧ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...𝐾) → (𝐴 mod 8) ∈ 𝑆)))
43simp1i 1138 . . . . . 6 𝐾 ∈ ℤ
5 peano2z 12655 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 + 1) ∈ ℤ)
64, 5ax-mp 5 . . . . 5 (𝐾 + 1) ∈ ℤ
72, 6eqeltri 2834 . . . 4 𝑀 ∈ ℤ
8 peano2z 12655 . . . 4 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 + 1) ∈ ℤ)
97, 8ax-mp 5 . . 3 (𝑀 + 1) ∈ ℤ
101, 9eqeltri 2834 . 2 𝑁 ∈ ℤ
113simp2i 1139 . . . 4 2 ∥ (𝐾 + 1)
12 2z 12646 . . . . 5 2 ∈ ℤ
13 dvdsadd 16335 . . . . 5 ((2 ∈ ℤ ∧ (𝐾 + 1) ∈ ℤ) → (2 ∥ (𝐾 + 1) ↔ 2 ∥ (2 + (𝐾 + 1))))
1412, 6, 13mp2an 692 . . . 4 (2 ∥ (𝐾 + 1) ↔ 2 ∥ (2 + (𝐾 + 1)))
1511, 14mpbi 230 . . 3 2 ∥ (2 + (𝐾 + 1))
16 zcn 12615 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℂ)
174, 16ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 𝐾 ∈ ℂ
18 ax-1cn 11210 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℂ
1917, 18addcomi 11449 . . . . . . . . 9 (𝐾 + 1) = (1 + 𝐾)
202, 19eqtri 2762 . . . . . . . 8 𝑀 = (1 + 𝐾)
2120oveq1i 7440 . . . . . . 7 (𝑀 + 1) = ((1 + 𝐾) + 1)
221, 21eqtri 2762 . . . . . 6 𝑁 = ((1 + 𝐾) + 1)
23 df-2 12326 . . . . . . . 8 2 = (1 + 1)
2423oveq1i 7440 . . . . . . 7 (2 + 𝐾) = ((1 + 1) + 𝐾)
2518, 17, 18add32i 11482 . . . . . . 7 ((1 + 𝐾) + 1) = ((1 + 1) + 𝐾)
2624, 25eqtr4i 2765 . . . . . 6 (2 + 𝐾) = ((1 + 𝐾) + 1)
2722, 26eqtr4i 2765 . . . . 5 𝑁 = (2 + 𝐾)
2827oveq1i 7440 . . . 4 (𝑁 + 1) = ((2 + 𝐾) + 1)
29 2cn 12338 . . . . 5 2 ∈ ℂ
3029, 17, 18addassi 11268 . . . 4 ((2 + 𝐾) + 1) = (2 + (𝐾 + 1))
3128, 30eqtri 2762 . . 3 (𝑁 + 1) = (2 + (𝐾 + 1))
3215, 31breqtrri 5174 . 2 2 ∥ (𝑁 + 1)
33 elfzuz2 13565 . . . . 5 ((𝐴 mod 8) ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ‘0))
34 fzm1 13643 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘0) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...𝑁) ↔ ((𝐴 mod 8) ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∨ (𝐴 mod 8) = 𝑁)))
3533, 34syl 17 . . . 4 ((𝐴 mod 8) ∈ (0...𝑁) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...𝑁) ↔ ((𝐴 mod 8) ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∨ (𝐴 mod 8) = 𝑁)))
3635ibi 267 . . 3 ((𝐴 mod 8) ∈ (0...𝑁) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∨ (𝐴 mod 8) = 𝑁))
37 elfzuz2 13565 . . . . . . . 8 ((𝐴 mod 8) ∈ (0...𝑀) → 𝑀 ∈ (ℤ‘0))
38 fzm1 13643 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ (ℤ‘0) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...𝑀) ↔ ((𝐴 mod 8) ∈ (0...(𝑀 − 1)) ∨ (𝐴 mod 8) = 𝑀)))
3937, 38syl 17 . . . . . . 7 ((𝐴 mod 8) ∈ (0...𝑀) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...𝑀) ↔ ((𝐴 mod 8) ∈ (0...(𝑀 − 1)) ∨ (𝐴 mod 8) = 𝑀)))
4039ibi 267 . . . . . 6 ((𝐴 mod 8) ∈ (0...𝑀) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...(𝑀 − 1)) ∨ (𝐴 mod 8) = 𝑀))
41 zcn 12615 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
427, 41ax-mp 5 . . . . . . . 8 𝑀 ∈ ℂ
4342, 18, 1mvrraddi 11522 . . . . . . 7 (𝑁 − 1) = 𝑀
4443oveq2i 7441 . . . . . 6 (0...(𝑁 − 1)) = (0...𝑀)
4540, 44eleq2s 2856 . . . . 5 ((𝐴 mod 8) ∈ (0...(𝑁 − 1)) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...(𝑀 − 1)) ∨ (𝐴 mod 8) = 𝑀))
4617, 18, 2mvrraddi 11522 . . . . . . . . 9 (𝑀 − 1) = 𝐾
4746oveq2i 7441 . . . . . . . 8 (0...(𝑀 − 1)) = (0...𝐾)
4847eleq2i 2830 . . . . . . 7 ((𝐴 mod 8) ∈ (0...(𝑀 − 1)) ↔ (𝐴 mod 8) ∈ (0...𝐾))
493simp3i 1140 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...𝐾) → (𝐴 mod 8) ∈ 𝑆))
5048, 49biimtrid 242 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...(𝑀 − 1)) → (𝐴 mod 8) ∈ 𝑆))
51 2nn 12336 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℕ
52 8nn 12358 . . . . . . . . . . 11 8 ∈ ℕ
53 4z 12648 . . . . . . . . . . . . . 14 4 ∈ ℤ
54 dvdsmul2 16312 . . . . . . . . . . . . . 14 ((4 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → 2 ∥ (4 · 2))
5553, 12, 54mp2an 692 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∥ (4 · 2)
56 4t2e8 12431 . . . . . . . . . . . . 13 (4 · 2) = 8
5755, 56breqtri 5172 . . . . . . . . . . . 12 2 ∥ 8
58 dvdsmod 16362 . . . . . . . . . . . 12 (((2 ∈ ℕ ∧ 8 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 2 ∥ 8) → (2 ∥ (𝐴 mod 8) ↔ 2 ∥ 𝐴))
5957, 58mpan2 691 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ ℕ ∧ 8 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (2 ∥ (𝐴 mod 8) ↔ 2 ∥ 𝐴))
6051, 52, 59mp3an12 1450 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℤ → (2 ∥ (𝐴 mod 8) ↔ 2 ∥ 𝐴))
6160notbid 318 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ (𝐴 mod 8) ↔ ¬ 2 ∥ 𝐴))
6261biimpar 477 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → ¬ 2 ∥ (𝐴 mod 8))
6311, 2breqtrri 5174 . . . . . . . . 9 2 ∥ 𝑀
64 id 22 . . . . . . . . 9 ((𝐴 mod 8) = 𝑀 → (𝐴 mod 8) = 𝑀)
6563, 64breqtrrid 5185 . . . . . . . 8 ((𝐴 mod 8) = 𝑀 → 2 ∥ (𝐴 mod 8))
6662, 65nsyl 140 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → ¬ (𝐴 mod 8) = 𝑀)
6766pm2.21d 121 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → ((𝐴 mod 8) = 𝑀 → (𝐴 mod 8) ∈ 𝑆))
6850, 67jaod 859 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → (((𝐴 mod 8) ∈ (0...(𝑀 − 1)) ∨ (𝐴 mod 8) = 𝑀) → (𝐴 mod 8) ∈ 𝑆))
6945, 68syl5 34 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...(𝑁 − 1)) → (𝐴 mod 8) ∈ 𝑆))
70 lgsdir2lem2.4 . . . . . 6 𝑁𝑆
71 eleq1 2826 . . . . . 6 ((𝐴 mod 8) = 𝑁 → ((𝐴 mod 8) ∈ 𝑆𝑁𝑆))
7270, 71mpbiri 258 . . . . 5 ((𝐴 mod 8) = 𝑁 → (𝐴 mod 8) ∈ 𝑆)
7372a1i 11 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → ((𝐴 mod 8) = 𝑁 → (𝐴 mod 8) ∈ 𝑆))
7469, 73jaod 859 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → (((𝐴 mod 8) ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∨ (𝐴 mod 8) = 𝑁) → (𝐴 mod 8) ∈ 𝑆))
7536, 74syl5 34 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...𝑁) → (𝐴 mod 8) ∈ 𝑆))
7610, 32, 753pm3.2i 1338 1 (𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ (𝑁 + 1) ∧ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...𝑁) → (𝐴 mod 8) ∈ 𝑆)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847  w3a 1086   = wceq 1536  wcel 2105   class class class wbr 5147  cfv 6562  (class class class)co 7430  cc 11150  0cc0 11152  1c1 11153   + caddc 11155   · cmul 11157  cmin 11489  cn 12263  2c2 12318  4c4 12320  8c8 12324  cz 12610  cuz 12875  ...cfz 13543   mod cmo 13905  cdvds 16286
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-sup 9479  df-inf 9480  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-rp 13032  df-fz 13544  df-fl 13828  df-mod 13906  df-dvds 16287
This theorem is referenced by:  lgsdir2lem3  27385
  Copyright terms: Public domain W3C validator