MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgsdir2lem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lgsdir2lem2 25835
Description: Lemma for lgsdir2 25839. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lgsdir2lem2.1 (𝐾 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ (𝐾 + 1) ∧ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...𝐾) → (𝐴 mod 8) ∈ 𝑆)))
lgsdir2lem2.2 𝑀 = (𝐾 + 1)
lgsdir2lem2.3 𝑁 = (𝑀 + 1)
lgsdir2lem2.4 𝑁𝑆
Assertion
Ref Expression
lgsdir2lem2 (𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ (𝑁 + 1) ∧ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...𝑁) → (𝐴 mod 8) ∈ 𝑆)))

Proof of Theorem lgsdir2lem2
StepHypRef Expression
1 lgsdir2lem2.3 . . 3 𝑁 = (𝑀 + 1)
2 lgsdir2lem2.2 . . . . 5 𝑀 = (𝐾 + 1)
3 lgsdir2lem2.1 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ (𝐾 + 1) ∧ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...𝐾) → (𝐴 mod 8) ∈ 𝑆)))
43simp1i 1133 . . . . . 6 𝐾 ∈ ℤ
5 peano2z 12017 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 + 1) ∈ ℤ)
64, 5ax-mp 5 . . . . 5 (𝐾 + 1) ∈ ℤ
72, 6eqeltri 2914 . . . 4 𝑀 ∈ ℤ
8 peano2z 12017 . . . 4 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 + 1) ∈ ℤ)
97, 8ax-mp 5 . . 3 (𝑀 + 1) ∈ ℤ
101, 9eqeltri 2914 . 2 𝑁 ∈ ℤ
113simp2i 1134 . . . 4 2 ∥ (𝐾 + 1)
12 2z 12008 . . . . 5 2 ∈ ℤ
13 dvdsadd 15647 . . . . 5 ((2 ∈ ℤ ∧ (𝐾 + 1) ∈ ℤ) → (2 ∥ (𝐾 + 1) ↔ 2 ∥ (2 + (𝐾 + 1))))
1412, 6, 13mp2an 688 . . . 4 (2 ∥ (𝐾 + 1) ↔ 2 ∥ (2 + (𝐾 + 1)))
1511, 14mpbi 231 . . 3 2 ∥ (2 + (𝐾 + 1))
16 zcn 11980 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℂ)
174, 16ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 𝐾 ∈ ℂ
18 ax-1cn 10589 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℂ
1917, 18addcomi 10825 . . . . . . . . 9 (𝐾 + 1) = (1 + 𝐾)
202, 19eqtri 2849 . . . . . . . 8 𝑀 = (1 + 𝐾)
2120oveq1i 7160 . . . . . . 7 (𝑀 + 1) = ((1 + 𝐾) + 1)
221, 21eqtri 2849 . . . . . 6 𝑁 = ((1 + 𝐾) + 1)
23 df-2 11694 . . . . . . . 8 2 = (1 + 1)
2423oveq1i 7160 . . . . . . 7 (2 + 𝐾) = ((1 + 1) + 𝐾)
2518, 17, 18add32i 10857 . . . . . . 7 ((1 + 𝐾) + 1) = ((1 + 1) + 𝐾)
2624, 25eqtr4i 2852 . . . . . 6 (2 + 𝐾) = ((1 + 𝐾) + 1)
2722, 26eqtr4i 2852 . . . . 5 𝑁 = (2 + 𝐾)
2827oveq1i 7160 . . . 4 (𝑁 + 1) = ((2 + 𝐾) + 1)
29 2cn 11706 . . . . 5 2 ∈ ℂ
3029, 17, 18addassi 10645 . . . 4 ((2 + 𝐾) + 1) = (2 + (𝐾 + 1))
3128, 30eqtri 2849 . . 3 (𝑁 + 1) = (2 + (𝐾 + 1))
3215, 31breqtrri 5090 . 2 2 ∥ (𝑁 + 1)
33 elfzuz2 12907 . . . . 5 ((𝐴 mod 8) ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ‘0))
34 fzm1 12982 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘0) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...𝑁) ↔ ((𝐴 mod 8) ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∨ (𝐴 mod 8) = 𝑁)))
3533, 34syl 17 . . . 4 ((𝐴 mod 8) ∈ (0...𝑁) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...𝑁) ↔ ((𝐴 mod 8) ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∨ (𝐴 mod 8) = 𝑁)))
3635ibi 268 . . 3 ((𝐴 mod 8) ∈ (0...𝑁) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∨ (𝐴 mod 8) = 𝑁))
37 elfzuz2 12907 . . . . . . . 8 ((𝐴 mod 8) ∈ (0...𝑀) → 𝑀 ∈ (ℤ‘0))
38 fzm1 12982 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ (ℤ‘0) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...𝑀) ↔ ((𝐴 mod 8) ∈ (0...(𝑀 − 1)) ∨ (𝐴 mod 8) = 𝑀)))
3937, 38syl 17 . . . . . . 7 ((𝐴 mod 8) ∈ (0...𝑀) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...𝑀) ↔ ((𝐴 mod 8) ∈ (0...(𝑀 − 1)) ∨ (𝐴 mod 8) = 𝑀)))
4039ibi 268 . . . . . 6 ((𝐴 mod 8) ∈ (0...𝑀) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...(𝑀 − 1)) ∨ (𝐴 mod 8) = 𝑀))
41 zcn 11980 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
427, 41ax-mp 5 . . . . . . . 8 𝑀 ∈ ℂ
4342, 18, 1mvrraddi 10897 . . . . . . 7 (𝑁 − 1) = 𝑀
4443oveq2i 7161 . . . . . 6 (0...(𝑁 − 1)) = (0...𝑀)
4540, 44eleq2s 2936 . . . . 5 ((𝐴 mod 8) ∈ (0...(𝑁 − 1)) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...(𝑀 − 1)) ∨ (𝐴 mod 8) = 𝑀))
4617, 18, 2mvrraddi 10897 . . . . . . . . 9 (𝑀 − 1) = 𝐾
4746oveq2i 7161 . . . . . . . 8 (0...(𝑀 − 1)) = (0...𝐾)
4847eleq2i 2909 . . . . . . 7 ((𝐴 mod 8) ∈ (0...(𝑀 − 1)) ↔ (𝐴 mod 8) ∈ (0...𝐾))
493simp3i 1135 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...𝐾) → (𝐴 mod 8) ∈ 𝑆))
5048, 49syl5bi 243 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...(𝑀 − 1)) → (𝐴 mod 8) ∈ 𝑆))
51 2nn 11704 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℕ
52 8nn 11726 . . . . . . . . . . 11 8 ∈ ℕ
53 4z 12010 . . . . . . . . . . . . . 14 4 ∈ ℤ
54 dvdsmul2 15627 . . . . . . . . . . . . . 14 ((4 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → 2 ∥ (4 · 2))
5553, 12, 54mp2an 688 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∥ (4 · 2)
56 4t2e8 11799 . . . . . . . . . . . . 13 (4 · 2) = 8
5755, 56breqtri 5088 . . . . . . . . . . . 12 2 ∥ 8
58 dvdsmod 15673 . . . . . . . . . . . 12 (((2 ∈ ℕ ∧ 8 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 2 ∥ 8) → (2 ∥ (𝐴 mod 8) ↔ 2 ∥ 𝐴))
5957, 58mpan2 687 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ ℕ ∧ 8 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (2 ∥ (𝐴 mod 8) ↔ 2 ∥ 𝐴))
6051, 52, 59mp3an12 1444 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℤ → (2 ∥ (𝐴 mod 8) ↔ 2 ∥ 𝐴))
6160notbid 319 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ (𝐴 mod 8) ↔ ¬ 2 ∥ 𝐴))
6261biimpar 478 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → ¬ 2 ∥ (𝐴 mod 8))
6311, 2breqtrri 5090 . . . . . . . . 9 2 ∥ 𝑀
64 id 22 . . . . . . . . 9 ((𝐴 mod 8) = 𝑀 → (𝐴 mod 8) = 𝑀)
6563, 64breqtrrid 5101 . . . . . . . 8 ((𝐴 mod 8) = 𝑀 → 2 ∥ (𝐴 mod 8))
6662, 65nsyl 142 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → ¬ (𝐴 mod 8) = 𝑀)
6766pm2.21d 121 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → ((𝐴 mod 8) = 𝑀 → (𝐴 mod 8) ∈ 𝑆))
6850, 67jaod 855 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → (((𝐴 mod 8) ∈ (0...(𝑀 − 1)) ∨ (𝐴 mod 8) = 𝑀) → (𝐴 mod 8) ∈ 𝑆))
6945, 68syl5 34 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...(𝑁 − 1)) → (𝐴 mod 8) ∈ 𝑆))
70 lgsdir2lem2.4 . . . . . 6 𝑁𝑆
71 eleq1 2905 . . . . . 6 ((𝐴 mod 8) = 𝑁 → ((𝐴 mod 8) ∈ 𝑆𝑁𝑆))
7270, 71mpbiri 259 . . . . 5 ((𝐴 mod 8) = 𝑁 → (𝐴 mod 8) ∈ 𝑆)
7372a1i 11 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → ((𝐴 mod 8) = 𝑁 → (𝐴 mod 8) ∈ 𝑆))
7469, 73jaod 855 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → (((𝐴 mod 8) ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∨ (𝐴 mod 8) = 𝑁) → (𝐴 mod 8) ∈ 𝑆))
7536, 74syl5 34 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...𝑁) → (𝐴 mod 8) ∈ 𝑆))
7610, 32, 753pm3.2i 1333 1 (𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ (𝑁 + 1) ∧ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...𝑁) → (𝐴 mod 8) ∈ 𝑆)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  wo 843  w3a 1081   = wceq 1530  wcel 2107   class class class wbr 5063  cfv 6354  (class class class)co 7150  cc 10529  0cc0 10531  1c1 10532   + caddc 10534   · cmul 10536  cmin 10864  cn 11632  2c2 11686  4c4 11688  8c8 11692  cz 11975  cuz 12237  ...cfz 12887   mod cmo 13232  cdvds 15602
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7574  df-1st 7685  df-2nd 7686  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-er 8284  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-sup 8900  df-inf 8901  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-5 11697  df-6 11698  df-7 11699  df-8 11700  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-rp 12385  df-fz 12888  df-fl 13157  df-mod 13233  df-dvds 15603
This theorem is referenced by:  lgsdir2lem3  25836
  Copyright terms: Public domain W3C validator