MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgsdir2lem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lgsdir2lem2 27272
Description: Lemma for lgsdir2 27276. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lgsdir2lem2.1 (๐พ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โˆฅ (๐พ + 1) โˆง ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด) โ†’ ((๐ด mod 8) โˆˆ (0...๐พ) โ†’ (๐ด mod 8) โˆˆ ๐‘†)))
lgsdir2lem2.2 ๐‘€ = (๐พ + 1)
lgsdir2lem2.3 ๐‘ = (๐‘€ + 1)
lgsdir2lem2.4 ๐‘ โˆˆ ๐‘†
Assertion
Ref Expression
lgsdir2lem2 (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โˆฅ (๐‘ + 1) โˆง ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด) โ†’ ((๐ด mod 8) โˆˆ (0...๐‘) โ†’ (๐ด mod 8) โˆˆ ๐‘†)))

Proof of Theorem lgsdir2lem2
StepHypRef Expression
1 lgsdir2lem2.3 . . 3 ๐‘ = (๐‘€ + 1)
2 lgsdir2lem2.2 . . . . 5 ๐‘€ = (๐พ + 1)
3 lgsdir2lem2.1 . . . . . . 7 (๐พ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โˆฅ (๐พ + 1) โˆง ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด) โ†’ ((๐ด mod 8) โˆˆ (0...๐พ) โ†’ (๐ด mod 8) โˆˆ ๐‘†)))
43simp1i 1136 . . . . . 6 ๐พ โˆˆ โ„ค
5 peano2z 12628 . . . . . 6 (๐พ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐พ + 1) โˆˆ โ„ค)
64, 5ax-mp 5 . . . . 5 (๐พ + 1) โˆˆ โ„ค
72, 6eqeltri 2821 . . . 4 ๐‘€ โˆˆ โ„ค
8 peano2z 12628 . . . 4 (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘€ + 1) โˆˆ โ„ค)
97, 8ax-mp 5 . . 3 (๐‘€ + 1) โˆˆ โ„ค
101, 9eqeltri 2821 . 2 ๐‘ โˆˆ โ„ค
113simp2i 1137 . . . 4 2 โˆฅ (๐พ + 1)
12 2z 12619 . . . . 5 2 โˆˆ โ„ค
13 dvdsadd 16273 . . . . 5 ((2 โˆˆ โ„ค โˆง (๐พ + 1) โˆˆ โ„ค) โ†’ (2 โˆฅ (๐พ + 1) โ†” 2 โˆฅ (2 + (๐พ + 1))))
1412, 6, 13mp2an 690 . . . 4 (2 โˆฅ (๐พ + 1) โ†” 2 โˆฅ (2 + (๐พ + 1)))
1511, 14mpbi 229 . . 3 2 โˆฅ (2 + (๐พ + 1))
16 zcn 12588 . . . . . . . . . . 11 (๐พ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐พ โˆˆ โ„‚)
174, 16ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ๐พ โˆˆ โ„‚
18 ax-1cn 11191 . . . . . . . . . 10 1 โˆˆ โ„‚
1917, 18addcomi 11430 . . . . . . . . 9 (๐พ + 1) = (1 + ๐พ)
202, 19eqtri 2753 . . . . . . . 8 ๐‘€ = (1 + ๐พ)
2120oveq1i 7423 . . . . . . 7 (๐‘€ + 1) = ((1 + ๐พ) + 1)
221, 21eqtri 2753 . . . . . 6 ๐‘ = ((1 + ๐พ) + 1)
23 df-2 12300 . . . . . . . 8 2 = (1 + 1)
2423oveq1i 7423 . . . . . . 7 (2 + ๐พ) = ((1 + 1) + ๐พ)
2518, 17, 18add32i 11462 . . . . . . 7 ((1 + ๐พ) + 1) = ((1 + 1) + ๐พ)
2624, 25eqtr4i 2756 . . . . . 6 (2 + ๐พ) = ((1 + ๐พ) + 1)
2722, 26eqtr4i 2756 . . . . 5 ๐‘ = (2 + ๐พ)
2827oveq1i 7423 . . . 4 (๐‘ + 1) = ((2 + ๐พ) + 1)
29 2cn 12312 . . . . 5 2 โˆˆ โ„‚
3029, 17, 18addassi 11249 . . . 4 ((2 + ๐พ) + 1) = (2 + (๐พ + 1))
3128, 30eqtri 2753 . . 3 (๐‘ + 1) = (2 + (๐พ + 1))
3215, 31breqtrri 5171 . 2 2 โˆฅ (๐‘ + 1)
33 elfzuz2 13533 . . . . 5 ((๐ด mod 8) โˆˆ (0...๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜0))
34 fzm1 13608 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜0) โ†’ ((๐ด mod 8) โˆˆ (0...๐‘) โ†” ((๐ด mod 8) โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1)) โˆจ (๐ด mod 8) = ๐‘)))
3533, 34syl 17 . . . 4 ((๐ด mod 8) โˆˆ (0...๐‘) โ†’ ((๐ด mod 8) โˆˆ (0...๐‘) โ†” ((๐ด mod 8) โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1)) โˆจ (๐ด mod 8) = ๐‘)))
3635ibi 266 . . 3 ((๐ด mod 8) โˆˆ (0...๐‘) โ†’ ((๐ด mod 8) โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1)) โˆจ (๐ด mod 8) = ๐‘))
37 elfzuz2 13533 . . . . . . . 8 ((๐ด mod 8) โˆˆ (0...๐‘€) โ†’ ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜0))
38 fzm1 13608 . . . . . . . 8 (๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜0) โ†’ ((๐ด mod 8) โˆˆ (0...๐‘€) โ†” ((๐ด mod 8) โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1)) โˆจ (๐ด mod 8) = ๐‘€)))
3937, 38syl 17 . . . . . . 7 ((๐ด mod 8) โˆˆ (0...๐‘€) โ†’ ((๐ด mod 8) โˆˆ (0...๐‘€) โ†” ((๐ด mod 8) โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1)) โˆจ (๐ด mod 8) = ๐‘€)))
4039ibi 266 . . . . . 6 ((๐ด mod 8) โˆˆ (0...๐‘€) โ†’ ((๐ด mod 8) โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1)) โˆจ (๐ด mod 8) = ๐‘€))
41 zcn 12588 . . . . . . . . 9 (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
427, 41ax-mp 5 . . . . . . . 8 ๐‘€ โˆˆ โ„‚
4342, 18, 1mvrraddi 11502 . . . . . . 7 (๐‘ โˆ’ 1) = ๐‘€
4443oveq2i 7424 . . . . . 6 (0...(๐‘ โˆ’ 1)) = (0...๐‘€)
4540, 44eleq2s 2843 . . . . 5 ((๐ด mod 8) โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1)) โ†’ ((๐ด mod 8) โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1)) โˆจ (๐ด mod 8) = ๐‘€))
4617, 18, 2mvrraddi 11502 . . . . . . . . 9 (๐‘€ โˆ’ 1) = ๐พ
4746oveq2i 7424 . . . . . . . 8 (0...(๐‘€ โˆ’ 1)) = (0...๐พ)
4847eleq2i 2817 . . . . . . 7 ((๐ด mod 8) โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1)) โ†” (๐ด mod 8) โˆˆ (0...๐พ))
493simp3i 1138 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด) โ†’ ((๐ด mod 8) โˆˆ (0...๐พ) โ†’ (๐ด mod 8) โˆˆ ๐‘†))
5048, 49biimtrid 241 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด) โ†’ ((๐ด mod 8) โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1)) โ†’ (๐ด mod 8) โˆˆ ๐‘†))
51 2nn 12310 . . . . . . . . . . 11 2 โˆˆ โ„•
52 8nn 12332 . . . . . . . . . . 11 8 โˆˆ โ„•
53 4z 12621 . . . . . . . . . . . . . 14 4 โˆˆ โ„ค
54 dvdsmul2 16250 . . . . . . . . . . . . . 14 ((4 โˆˆ โ„ค โˆง 2 โˆˆ โ„ค) โ†’ 2 โˆฅ (4 ยท 2))
5553, 12, 54mp2an 690 . . . . . . . . . . . . 13 2 โˆฅ (4 ยท 2)
56 4t2e8 12405 . . . . . . . . . . . . 13 (4 ยท 2) = 8
5755, 56breqtri 5169 . . . . . . . . . . . 12 2 โˆฅ 8
58 dvdsmod 16300 . . . . . . . . . . . 12 (((2 โˆˆ โ„• โˆง 8 โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค) โˆง 2 โˆฅ 8) โ†’ (2 โˆฅ (๐ด mod 8) โ†” 2 โˆฅ ๐ด))
5957, 58mpan2 689 . . . . . . . . . . 11 ((2 โˆˆ โ„• โˆง 8 โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค) โ†’ (2 โˆฅ (๐ด mod 8) โ†” 2 โˆฅ ๐ด))
6051, 52, 59mp3an12 1447 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ โ„ค โ†’ (2 โˆฅ (๐ด mod 8) โ†” 2 โˆฅ ๐ด))
6160notbid 317 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„ค โ†’ (ยฌ 2 โˆฅ (๐ด mod 8) โ†” ยฌ 2 โˆฅ ๐ด))
6261biimpar 476 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด) โ†’ ยฌ 2 โˆฅ (๐ด mod 8))
6311, 2breqtrri 5171 . . . . . . . . 9 2 โˆฅ ๐‘€
64 id 22 . . . . . . . . 9 ((๐ด mod 8) = ๐‘€ โ†’ (๐ด mod 8) = ๐‘€)
6563, 64breqtrrid 5182 . . . . . . . 8 ((๐ด mod 8) = ๐‘€ โ†’ 2 โˆฅ (๐ด mod 8))
6662, 65nsyl 140 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด) โ†’ ยฌ (๐ด mod 8) = ๐‘€)
6766pm2.21d 121 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด) โ†’ ((๐ด mod 8) = ๐‘€ โ†’ (๐ด mod 8) โˆˆ ๐‘†))
6850, 67jaod 857 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด) โ†’ (((๐ด mod 8) โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1)) โˆจ (๐ด mod 8) = ๐‘€) โ†’ (๐ด mod 8) โˆˆ ๐‘†))
6945, 68syl5 34 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด) โ†’ ((๐ด mod 8) โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1)) โ†’ (๐ด mod 8) โˆˆ ๐‘†))
70 lgsdir2lem2.4 . . . . . 6 ๐‘ โˆˆ ๐‘†
71 eleq1 2813 . . . . . 6 ((๐ด mod 8) = ๐‘ โ†’ ((๐ด mod 8) โˆˆ ๐‘† โ†” ๐‘ โˆˆ ๐‘†))
7270, 71mpbiri 257 . . . . 5 ((๐ด mod 8) = ๐‘ โ†’ (๐ด mod 8) โˆˆ ๐‘†)
7372a1i 11 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด) โ†’ ((๐ด mod 8) = ๐‘ โ†’ (๐ด mod 8) โˆˆ ๐‘†))
7469, 73jaod 857 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด) โ†’ (((๐ด mod 8) โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1)) โˆจ (๐ด mod 8) = ๐‘) โ†’ (๐ด mod 8) โˆˆ ๐‘†))
7536, 74syl5 34 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด) โ†’ ((๐ด mod 8) โˆˆ (0...๐‘) โ†’ (๐ด mod 8) โˆˆ ๐‘†))
7610, 32, 753pm3.2i 1336 1 (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โˆฅ (๐‘ + 1) โˆง ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด) โ†’ ((๐ด mod 8) โˆˆ (0...๐‘) โ†’ (๐ด mod 8) โˆˆ ๐‘†)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   โˆจ wo 845   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   class class class wbr 5144  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7413  โ„‚cc 11131  0cc0 11133  1c1 11134   + caddc 11136   ยท cmul 11138   โˆ’ cmin 11469  โ„•cn 12237  2c2 12292  4c4 12294  8c8 12298  โ„คcz 12583  โ„คโ‰ฅcuz 12847  ...cfz 13511   mod cmo 13861   โˆฅ cdvds 16225
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210  ax-pre-sup 11211
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-iun 4994  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7866  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-sup 9460  df-inf 9461  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11897  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-4 12302  df-5 12303  df-6 12304  df-7 12305  df-8 12306  df-n0 12498  df-z 12584  df-uz 12848  df-rp 13002  df-fz 13512  df-fl 13784  df-mod 13862  df-dvds 16226
This theorem is referenced by:  lgsdir2lem3  27273
  Copyright terms: Public domain W3C validator