Theorem lgsdir2lem2 27635

Description: Lemma for lgsdir2 27639. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lgsdir2lem2.1	⊢ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ (𝐾 + 1) ∧ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...𝐾) → (𝐴 mod 8) ∈ 𝑆)))
lgsdir2lem2.2	⊢ 𝑀 = (𝐾 + 1)
lgsdir2lem2.3	⊢ 𝑁 = (𝑀 + 1)
lgsdir2lem2.4	⊢ 𝑁 ∈ 𝑆

Assertion

Ref	Expression
lgsdir2lem2	⊢ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ (𝑁 + 1) ∧ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...𝑁) → (𝐴 mod 8) ∈ 𝑆)))

Proof of Theorem lgsdir2lem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lgsdir2lem2.3	. . 3 ⊢ 𝑁 = (𝑀 + 1)
2		lgsdir2lem2.2	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = (𝐾 + 1)
3		lgsdir2lem2.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ (𝐾 + 1) ∧ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...𝐾) → (𝐴 mod 8) ∈ 𝑆)))
4	3	simp1i 1157	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 ∈ ℤ
5		peano2z 12718	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 + 1) ∈ ℤ)
6	4, 5	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (𝐾 + 1) ∈ ℤ
7	2, 6	eqeltri 2857	. . . 4 ⊢ 𝑀 ∈ ℤ
8		peano2z 12718	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 + 1) ∈ ℤ)
9	7, 8	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (𝑀 + 1) ∈ ℤ
10	1, 9	eqeltri 2857	. 2 ⊢ 𝑁 ∈ ℤ
11	3	simp2i 1158	. . . 4 ⊢ 2 ∥ (𝐾 + 1)
12		2z 12709	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
13		dvdsadd 16452	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ (𝐾 + 1) ∈ ℤ) → (2 ∥ (𝐾 + 1) ↔ 2 ∥ (2 + (𝐾 + 1))))
14	12, 6, 13	mp2an 705	. . . 4 ⊢ (2 ∥ (𝐾 + 1) ↔ 2 ∥ (2 + (𝐾 + 1)))
15	11, 14	mpbi 233	. . 3 ⊢ 2 ∥ (2 + (𝐾 + 1))
16		zcn 12679	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℂ)
17	4, 16	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐾 ∈ ℂ
18		ax-1cn 11239	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℂ
19	17, 18	addcomi 11482	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 + 1) = (1 + 𝐾)
20	2, 19	eqtri 2784	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑀 = (1 + 𝐾)
21	20	oveq1i 7422	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 + 1) = ((1 + 𝐾) + 1)
22	1, 21	eqtri 2784	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = ((1 + 𝐾) + 1)
23		df-2 12386	. . . . . . . 8 ⊢ 2 = (1 + 1)
24	23	oveq1i 7422	. . . . . . 7 ⊢ (2 + 𝐾) = ((1 + 1) + 𝐾)
25	18, 17, 18	add32i 11515	. . . . . . 7 ⊢ ((1 + 𝐾) + 1) = ((1 + 1) + 𝐾)
26	24, 25	eqtr4i 2787	. . . . . 6 ⊢ (2 + 𝐾) = ((1 + 𝐾) + 1)
27	22, 26	eqtr4i 2787	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (2 + 𝐾)
28	27	oveq1i 7422	. . . 4 ⊢ (𝑁 + 1) = ((2 + 𝐾) + 1)
29		2cn 12399	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℂ
30	29, 17, 18	addassi 11300	. . . 4 ⊢ ((2 + 𝐾) + 1) = (2 + (𝐾 + 1))
31	28, 30	eqtri 2784	. . 3 ⊢ (𝑁 + 1) = (2 + (𝐾 + 1))
32	15, 31	breqtrri 5132	. 2 ⊢ 2 ∥ (𝑁 + 1)
33		elfzuz2 13642	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 mod 8) ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0))
34		fzm1 13721	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘0) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...𝑁) ↔ ((𝐴 mod 8) ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∨ (𝐴 mod 8) = 𝑁)))
35	33, 34	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝐴 mod 8) ∈ (0...𝑁) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...𝑁) ↔ ((𝐴 mod 8) ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∨ (𝐴 mod 8) = 𝑁)))
36	35	ibi 270	. . 3 ⊢ ((𝐴 mod 8) ∈ (0...𝑁) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∨ (𝐴 mod 8) = 𝑁))
37		elfzuz2 13642	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 mod 8) ∈ (0...𝑀) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘0))
38		fzm1 13721	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘0) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...𝑀) ↔ ((𝐴 mod 8) ∈ (0...(𝑀 − 1)) ∨ (𝐴 mod 8) = 𝑀)))
39	37, 38	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 mod 8) ∈ (0...𝑀) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...𝑀) ↔ ((𝐴 mod 8) ∈ (0...(𝑀 − 1)) ∨ (𝐴 mod 8) = 𝑀)))
40	39	ibi 270	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 mod 8) ∈ (0...𝑀) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...(𝑀 − 1)) ∨ (𝐴 mod 8) = 𝑀))
41		zcn 12679	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
42	7, 41	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑀 ∈ ℂ
43	42, 18, 1	mvrraddi 11555	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 − 1) = 𝑀
44	43	oveq2i 7423	. . . . . 6 ⊢ (0...(𝑁 − 1)) = (0...𝑀)
45	40, 44	eleq2s 2879	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 mod 8) ∈ (0...(𝑁 − 1)) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...(𝑀 − 1)) ∨ (𝐴 mod 8) = 𝑀))
46	17, 18, 2	mvrraddi 11555	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 − 1) = 𝐾
47	46	oveq2i 7423	. . . . . . . 8 ⊢ (0...(𝑀 − 1)) = (0...𝐾)
48	47	eleq2i 2853	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 mod 8) ∈ (0...(𝑀 − 1)) ↔ (𝐴 mod 8) ∈ (0...𝐾))
49	3	simp3i 1159	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...𝐾) → (𝐴 mod 8) ∈ 𝑆))
50	48, 49	biimtrid 245	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...(𝑀 − 1)) → (𝐴 mod 8) ∈ 𝑆))
51		2nn 12397	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℕ
52		8nn 12419	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 8 ∈ ℕ
53		4z 12711	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 4 ∈ ℤ
54		dvdsmul2 16428	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((4 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → 2 ∥ (4 · 2))
55	53, 12, 54	mp2an 705	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∥ (4 · 2)
56		4t2e8 12492	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (4 · 2) = 8
57	55, 56	breqtri 5130	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∥ 8
58		dvdsmod 16479	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((2 ∈ ℕ ∧ 8 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 2 ∥ 8) → (2 ∥ (𝐴 mod 8) ↔ 2 ∥ 𝐴))
59	57, 58	mpan2 704	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 8 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (2 ∥ (𝐴 mod 8) ↔ 2 ∥ 𝐴))
60	51, 52, 59	mp3an12 1480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (2 ∥ (𝐴 mod 8) ↔ 2 ∥ 𝐴))
61	60	notbid 321	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ (𝐴 mod 8) ↔ ¬ 2 ∥ 𝐴))
62	61	biimpar 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → ¬ 2 ∥ (𝐴 mod 8))
63	11, 2	breqtrri 5132	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∥ 𝑀
64		id 23	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 mod 8) = 𝑀 → (𝐴 mod 8) = 𝑀)
65	63, 64	breqtrrid 5143	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 mod 8) = 𝑀 → 2 ∥ (𝐴 mod 8))
66	62, 65	nsyl 141	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → ¬ (𝐴 mod 8) = 𝑀)
67	66	pm2.21d 122	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → ((𝐴 mod 8) = 𝑀 → (𝐴 mod 8) ∈ 𝑆))
68	50, 67	jaod 873	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → (((𝐴 mod 8) ∈ (0...(𝑀 − 1)) ∨ (𝐴 mod 8) = 𝑀) → (𝐴 mod 8) ∈ 𝑆))
69	45, 68	syl5 35	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...(𝑁 − 1)) → (𝐴 mod 8) ∈ 𝑆))
70		lgsdir2lem2.4	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 ∈ 𝑆
71		eleq1 2849	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 mod 8) = 𝑁 → ((𝐴 mod 8) ∈ 𝑆 ↔ 𝑁 ∈ 𝑆))
72	70, 71	mpbiri 261	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 mod 8) = 𝑁 → (𝐴 mod 8) ∈ 𝑆)
73	72	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → ((𝐴 mod 8) = 𝑁 → (𝐴 mod 8) ∈ 𝑆))
74	69, 73	jaod 873	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → (((𝐴 mod 8) ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∨ (𝐴 mod 8) = 𝑁) → (𝐴 mod 8) ∈ 𝑆))
75	36, 74	syl5 35	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...𝑁) → (𝐴 mod 8) ∈ 𝑆))
76	10, 32, 75	3pm3.2i 1358	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ (𝑁 + 1) ∧ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...𝑁) → (𝐴 mod 8) ∈ 𝑆)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412  ℂcc 11179  0cc0 11181  1c1 11182   + caddc 11184   · cmul 11186   − cmin 11522  ℕcn 12316  2c2 12378  4c4 12380  8c8 12384  ℤcz 12674  ℤ_≥cuz 12946  ...cfz 13620   mod cmo 13989   ∥ cdvds 16402

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258  ax-pre-sup 11259

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8701  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-sup 9418  df-inf 9419  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-div 11955  df-nn 12317  df-2 12386  df-3 12387  df-4 12388  df-5 12389  df-6 12390  df-7 12391  df-8 12392  df-n0 12588  df-z 12675  df-uz 12947  df-rp 13102  df-fz 13621  df-fl 13912  df-mod 13990  df-dvds 16403

This theorem is used by:  lgsdir2lem3  27636