MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgsdir2lem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lgsdir2lem2 27272
Description: Lemma for lgsdir2 27276. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lgsdir2lem2.1 (𝐾 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ (𝐾 + 1) ∧ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...𝐾) → (𝐴 mod 8) ∈ 𝑆)))
lgsdir2lem2.2 𝑀 = (𝐾 + 1)
lgsdir2lem2.3 𝑁 = (𝑀 + 1)
lgsdir2lem2.4 𝑁𝑆
Assertion
Ref Expression
lgsdir2lem2 (𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ (𝑁 + 1) ∧ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...𝑁) → (𝐴 mod 8) ∈ 𝑆)))

Proof of Theorem lgsdir2lem2
StepHypRef Expression
1 lgsdir2lem2.3 . . 3 𝑁 = (𝑀 + 1)
2 lgsdir2lem2.2 . . . . 5 𝑀 = (𝐾 + 1)
3 lgsdir2lem2.1 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ (𝐾 + 1) ∧ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...𝐾) → (𝐴 mod 8) ∈ 𝑆)))
43simp1i 1137 . . . . . 6 𝐾 ∈ ℤ
5 peano2z 12634 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 + 1) ∈ ℤ)
64, 5ax-mp 5 . . . . 5 (𝐾 + 1) ∈ ℤ
72, 6eqeltri 2825 . . . 4 𝑀 ∈ ℤ
8 peano2z 12634 . . . 4 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 + 1) ∈ ℤ)
97, 8ax-mp 5 . . 3 (𝑀 + 1) ∈ ℤ
101, 9eqeltri 2825 . 2 𝑁 ∈ ℤ
113simp2i 1138 . . . 4 2 ∥ (𝐾 + 1)
12 2z 12625 . . . . 5 2 ∈ ℤ
13 dvdsadd 16279 . . . . 5 ((2 ∈ ℤ ∧ (𝐾 + 1) ∈ ℤ) → (2 ∥ (𝐾 + 1) ↔ 2 ∥ (2 + (𝐾 + 1))))
1412, 6, 13mp2an 691 . . . 4 (2 ∥ (𝐾 + 1) ↔ 2 ∥ (2 + (𝐾 + 1)))
1511, 14mpbi 229 . . 3 2 ∥ (2 + (𝐾 + 1))
16 zcn 12594 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℂ)
174, 16ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 𝐾 ∈ ℂ
18 ax-1cn 11197 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℂ
1917, 18addcomi 11436 . . . . . . . . 9 (𝐾 + 1) = (1 + 𝐾)
202, 19eqtri 2756 . . . . . . . 8 𝑀 = (1 + 𝐾)
2120oveq1i 7430 . . . . . . 7 (𝑀 + 1) = ((1 + 𝐾) + 1)
221, 21eqtri 2756 . . . . . 6 𝑁 = ((1 + 𝐾) + 1)
23 df-2 12306 . . . . . . . 8 2 = (1 + 1)
2423oveq1i 7430 . . . . . . 7 (2 + 𝐾) = ((1 + 1) + 𝐾)
2518, 17, 18add32i 11468 . . . . . . 7 ((1 + 𝐾) + 1) = ((1 + 1) + 𝐾)
2624, 25eqtr4i 2759 . . . . . 6 (2 + 𝐾) = ((1 + 𝐾) + 1)
2722, 26eqtr4i 2759 . . . . 5 𝑁 = (2 + 𝐾)
2827oveq1i 7430 . . . 4 (𝑁 + 1) = ((2 + 𝐾) + 1)
29 2cn 12318 . . . . 5 2 ∈ ℂ
3029, 17, 18addassi 11255 . . . 4 ((2 + 𝐾) + 1) = (2 + (𝐾 + 1))
3128, 30eqtri 2756 . . 3 (𝑁 + 1) = (2 + (𝐾 + 1))
3215, 31breqtrri 5175 . 2 2 ∥ (𝑁 + 1)
33 elfzuz2 13539 . . . . 5 ((𝐴 mod 8) ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ‘0))
34 fzm1 13614 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘0) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...𝑁) ↔ ((𝐴 mod 8) ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∨ (𝐴 mod 8) = 𝑁)))
3533, 34syl 17 . . . 4 ((𝐴 mod 8) ∈ (0...𝑁) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...𝑁) ↔ ((𝐴 mod 8) ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∨ (𝐴 mod 8) = 𝑁)))
3635ibi 267 . . 3 ((𝐴 mod 8) ∈ (0...𝑁) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∨ (𝐴 mod 8) = 𝑁))
37 elfzuz2 13539 . . . . . . . 8 ((𝐴 mod 8) ∈ (0...𝑀) → 𝑀 ∈ (ℤ‘0))
38 fzm1 13614 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ (ℤ‘0) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...𝑀) ↔ ((𝐴 mod 8) ∈ (0...(𝑀 − 1)) ∨ (𝐴 mod 8) = 𝑀)))
3937, 38syl 17 . . . . . . 7 ((𝐴 mod 8) ∈ (0...𝑀) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...𝑀) ↔ ((𝐴 mod 8) ∈ (0...(𝑀 − 1)) ∨ (𝐴 mod 8) = 𝑀)))
4039ibi 267 . . . . . 6 ((𝐴 mod 8) ∈ (0...𝑀) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...(𝑀 − 1)) ∨ (𝐴 mod 8) = 𝑀))
41 zcn 12594 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
427, 41ax-mp 5 . . . . . . . 8 𝑀 ∈ ℂ
4342, 18, 1mvrraddi 11508 . . . . . . 7 (𝑁 − 1) = 𝑀
4443oveq2i 7431 . . . . . 6 (0...(𝑁 − 1)) = (0...𝑀)
4540, 44eleq2s 2847 . . . . 5 ((𝐴 mod 8) ∈ (0...(𝑁 − 1)) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...(𝑀 − 1)) ∨ (𝐴 mod 8) = 𝑀))
4617, 18, 2mvrraddi 11508 . . . . . . . . 9 (𝑀 − 1) = 𝐾
4746oveq2i 7431 . . . . . . . 8 (0...(𝑀 − 1)) = (0...𝐾)
4847eleq2i 2821 . . . . . . 7 ((𝐴 mod 8) ∈ (0...(𝑀 − 1)) ↔ (𝐴 mod 8) ∈ (0...𝐾))
493simp3i 1139 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...𝐾) → (𝐴 mod 8) ∈ 𝑆))
5048, 49biimtrid 241 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...(𝑀 − 1)) → (𝐴 mod 8) ∈ 𝑆))
51 2nn 12316 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℕ
52 8nn 12338 . . . . . . . . . . 11 8 ∈ ℕ
53 4z 12627 . . . . . . . . . . . . . 14 4 ∈ ℤ
54 dvdsmul2 16256 . . . . . . . . . . . . . 14 ((4 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → 2 ∥ (4 · 2))
5553, 12, 54mp2an 691 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∥ (4 · 2)
56 4t2e8 12411 . . . . . . . . . . . . 13 (4 · 2) = 8
5755, 56breqtri 5173 . . . . . . . . . . . 12 2 ∥ 8
58 dvdsmod 16306 . . . . . . . . . . . 12 (((2 ∈ ℕ ∧ 8 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 2 ∥ 8) → (2 ∥ (𝐴 mod 8) ↔ 2 ∥ 𝐴))
5957, 58mpan2 690 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ ℕ ∧ 8 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (2 ∥ (𝐴 mod 8) ↔ 2 ∥ 𝐴))
6051, 52, 59mp3an12 1448 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℤ → (2 ∥ (𝐴 mod 8) ↔ 2 ∥ 𝐴))
6160notbid 318 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ (𝐴 mod 8) ↔ ¬ 2 ∥ 𝐴))
6261biimpar 477 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → ¬ 2 ∥ (𝐴 mod 8))
6311, 2breqtrri 5175 . . . . . . . . 9 2 ∥ 𝑀
64 id 22 . . . . . . . . 9 ((𝐴 mod 8) = 𝑀 → (𝐴 mod 8) = 𝑀)
6563, 64breqtrrid 5186 . . . . . . . 8 ((𝐴 mod 8) = 𝑀 → 2 ∥ (𝐴 mod 8))
6662, 65nsyl 140 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → ¬ (𝐴 mod 8) = 𝑀)
6766pm2.21d 121 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → ((𝐴 mod 8) = 𝑀 → (𝐴 mod 8) ∈ 𝑆))
6850, 67jaod 858 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → (((𝐴 mod 8) ∈ (0...(𝑀 − 1)) ∨ (𝐴 mod 8) = 𝑀) → (𝐴 mod 8) ∈ 𝑆))
6945, 68syl5 34 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...(𝑁 − 1)) → (𝐴 mod 8) ∈ 𝑆))
70 lgsdir2lem2.4 . . . . . 6 𝑁𝑆
71 eleq1 2817 . . . . . 6 ((𝐴 mod 8) = 𝑁 → ((𝐴 mod 8) ∈ 𝑆𝑁𝑆))
7270, 71mpbiri 258 . . . . 5 ((𝐴 mod 8) = 𝑁 → (𝐴 mod 8) ∈ 𝑆)
7372a1i 11 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → ((𝐴 mod 8) = 𝑁 → (𝐴 mod 8) ∈ 𝑆))
7469, 73jaod 858 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → (((𝐴 mod 8) ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∨ (𝐴 mod 8) = 𝑁) → (𝐴 mod 8) ∈ 𝑆))
7536, 74syl5 34 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...𝑁) → (𝐴 mod 8) ∈ 𝑆))
7610, 32, 753pm3.2i 1337 1 (𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ (𝑁 + 1) ∧ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...𝑁) → (𝐴 mod 8) ∈ 𝑆)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 395  wo 846  w3a 1085   = wceq 1534  wcel 2099   class class class wbr 5148  cfv 6548  (class class class)co 7420  cc 11137  0cc0 11139  1c1 11140   + caddc 11142   · cmul 11144  cmin 11475  cn 12243  2c2 12298  4c4 12300  8c8 12304  cz 12589  cuz 12853  ...cfz 13517   mod cmo 13867  cdvds 16231
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216  ax-pre-sup 11217
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-sup 9466  df-inf 9467  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11903  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-4 12308  df-5 12309  df-6 12310  df-7 12311  df-8 12312  df-n0 12504  df-z 12590  df-uz 12854  df-rp 13008  df-fz 13518  df-fl 13790  df-mod 13868  df-dvds 16232
This theorem is referenced by:  lgsdir2lem3  27273
  Copyright terms: Public domain W3C validator