Theorem 3lexlogpow5ineq1 42453

Description: First inequality in inequality chain, proposed by Mario Carneiro (Contributed by metakunt, 22-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
3lexlogpow5ineq1	⊢ 9 < ((;11 / 7)↑5)

Proof of Theorem 3lexlogpow5ineq1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ 5 = 5
2		2p2e4 12289	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 + 2) = 4
3	2	oveq1i 7380	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 + 2) + 1) = (4 + 1)
4		4p1e5 12300	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (4 + 1) = 5
5	3, 4	eqtri 2760	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 + 2) + 1) = 5
6	1, 5	eqtr4i 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ 5 = ((2 + 2) + 1)
7	6	oveq2i 7381	. . . . . . . 8 ⊢ (7↑5) = (7↑((2 + 2) + 1))
8		7cn 12253	. . . . . . . . . 10 ⊢ 7 ∈ ℂ
9		2nn0 12432	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℕ0
10	9, 9	nn0addcli 12452	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 + 2) ∈ ℕ0
11	8, 10	pm3.2i 470	. . . . . . . . 9 ⊢ (7 ∈ ℂ ∧ (2 + 2) ∈ ℕ0)
12		expp1 14005	. . . . . . . . 9 ⊢ ((7 ∈ ℂ ∧ (2 + 2) ∈ ℕ0) → (7↑((2 + 2) + 1)) = ((7↑(2 + 2)) · 7))
13	11, 12	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (7↑((2 + 2) + 1)) = ((7↑(2 + 2)) · 7)
14	8, 9, 9	3pm3.2i 1341	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (7 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ0)
15		expadd 14041	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((7 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ0) → (7↑(2 + 2)) = ((7↑2) · (7↑2)))
16	14, 15	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (7↑(2 + 2)) = ((7↑2) · (7↑2))
17	8	sqvali 14117	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (7↑2) = (7 · 7)
18		7t7e49 12735	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (7 · 7) = ;49
19	17, 18	eqtri 2760	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (7↑2) = ;49
20	19, 19	oveq12i 7382	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((7↑2) · (7↑2)) = (;49 · ;49)
21		4nn0 12434	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 4 ∈ ℕ0
22		9nn0 12439	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 9 ∈ ℕ0
23	21, 22	deccl 12636	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;49 ∈ ℕ0
24		eqid 2737	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;49 = ;49
25		1nn0 12431	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℕ0
26	21, 21	deccl 12636	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;44 ∈ ℕ0
27		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ;44 = ;44
28		0nn0 12430	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ∈ ℕ0
29		6nn0 12436	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 6 ∈ ℕ0
30	21, 21	nn0addcli 12452	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (4 + 4) ∈ ℕ0
31		4t4e16 12720	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (4 · 4) = ;16
32		1p1e2 12279	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1 + 1) = 2
33		4p4e8 12309	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (4 + 4) = 8
34	33	oveq2i 7381	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (6 + (4 + 4)) = (6 + 8)
35		8cn 12256	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 8 ∈ ℂ
36		6cn 12250	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 6 ∈ ℂ
37		8p6e14 12705	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (8 + 6) = ;14
38	35, 36, 37	addcomli 11339	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (6 + 8) = ;14
39	34, 38	eqtri 2760	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (6 + (4 + 4)) = ;14
40	25, 29, 30, 31, 32, 21, 39	decaddci 12682	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((4 · 4) + (4 + 4)) = ;24
41		3nn0 12433	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 3 ∈ ℕ0
42		9t4e36 12745	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (9 · 4) = ;36
43		3p1e4 12299	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (3 + 1) = 4
44		6p4e10 12693	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (6 + 4) = ;10
45	41, 29, 21, 42, 43, 44	decaddci2 12683	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((9 · 4) + 4) = ;40
46	21, 22, 21, 21, 24, 27, 21, 28, 21, 40, 45	decmac 12673	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((;49 · 4) + ;44) = ;;240
47		8nn0 12438	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 8 ∈ ℕ0
48		9cn 12259	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 9 ∈ ℂ
49		4cn 12244	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 4 ∈ ℂ
50	48, 49, 42	mulcomli 11155	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (4 · 9) = ;36
51	41, 29, 47, 50, 43, 21, 38	decaddci 12682	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((4 · 9) + 8) = ;44
52		9t9e81 12750	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (9 · 9) = ;81
53	22, 21, 22, 24, 25, 47, 51, 52	decmul1c 12686	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (;49 · 9) = ;;441
54	23, 21, 22, 24, 25, 26, 46, 53	decmul2c 12687	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (;49 · ;49) = ;;;2401
55	20, 54	eqtri 2760	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((7↑2) · (7↑2)) = ;;;2401
56	16, 55	eqtri 2760	. . . . . . . . 9 ⊢ (7↑(2 + 2)) = ;;;2401
57	56	oveq1i 7380	. . . . . . . 8 ⊢ ((7↑(2 + 2)) · 7) = (;;;2401 · 7)
58	7, 13, 57	3eqtri 2764	. . . . . . 7 ⊢ (7↑5) = (;;;2401 · 7)
59		7nn0 12437	. . . . . . . 8 ⊢ 7 ∈ ℕ0
60	9, 21	deccl 12636	. . . . . . . . 9 ⊢ ;24 ∈ ℕ0
61	60, 28	deccl 12636	. . . . . . . 8 ⊢ ;;240 ∈ ℕ0
62		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ ;;;2401 = ;;;2401
63	25, 29	deccl 12636	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;16 ∈ ℕ0
64	63, 47	deccl 12636	. . . . . . . . 9 ⊢ ;;168 ∈ ℕ0
65		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;;240 = ;;240
66		eqid 2737	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;24 = ;24
67		2cn 12234	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℂ
68		7t2e14 12730	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (7 · 2) = ;14
69	8, 67, 68	mulcomli 11155	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 · 7) = ;14
70		4p2e6 12307	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (4 + 2) = 6
71	25, 21, 9, 69, 70	decaddi 12681	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 · 7) + 2) = ;16
72		7t4e28 12732	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (7 · 4) = ;28
73	8, 49, 72	mulcomli 11155	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (4 · 7) = ;28
74	59, 9, 21, 66, 47, 9, 71, 73	decmul1c 12686	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (;24 · 7) = ;;168
75	35	addridi 11334	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (8 + 0) = 8
76	63, 47, 28, 74, 75	decaddi 12681	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((;24 · 7) + 0) = ;;168
77		0cn 11138	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℂ
78	8	mul01i 11337	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (7 · 0) = 0
79	28	dec0h 12643	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 = ;00
80	79	eqcomi 2746	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;00 = 0
81	78, 80	eqtr4i 2763	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (7 · 0) = ;00
82	8, 77, 81	mulcomli 11155	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 · 7) = ;00
83	59, 60, 28, 65, 28, 28, 76, 82	decmul1c 12686	. . . . . . . . 9 ⊢ (;;240 · 7) = ;;;1680
84		00id 11322	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 + 0) = 0
85	64, 28, 28, 83, 84	decaddi 12681	. . . . . . . 8 ⊢ ((;;240 · 7) + 0) = ;;;1680
86		ax-1cn 11098	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
87	8	mulridi 11150	. . . . . . . . . 10 ⊢ (7 · 1) = 7
88	59	dec0h 12643	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 7 = ;07
89	88	eqcomi 2746	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;07 = 7
90	87, 89	eqtr4i 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ (7 · 1) = ;07
91	8, 86, 90	mulcomli 11155	. . . . . . . 8 ⊢ (1 · 7) = ;07
92	59, 61, 25, 62, 59, 28, 85, 91	decmul1c 12686	. . . . . . 7 ⊢ (;;;2401 · 7) = ;;;;16807
93	58, 92	eqtri 2760	. . . . . 6 ⊢ (7↑5) = ;;;;16807
94	93	oveq2i 7381	. . . . 5 ⊢ (9 · (7↑5)) = (9 · ;;;;16807)
95	64, 28	deccl 12636	. . . . . . . . 9 ⊢ ;;;1680 ∈ ℕ0
96	95, 59	deccl 12636	. . . . . . . 8 ⊢ ;;;;16807 ∈ ℕ0
97	96	nn0cni 12427	. . . . . . 7 ⊢ ;;;;16807 ∈ ℂ
98	48, 97	mulcomi 11154	. . . . . 6 ⊢ (9 · ;;;;16807) = (;;;;16807 · 9)
99		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ ;;;;16807 = ;;;;16807
100		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ ;;;1680 = ;;;1680
101	29	dec0h 12643	. . . . . . . . 9 ⊢ 6 = ;06
102		5nn0 12435	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 5 ∈ ℕ0
103	25, 102	deccl 12636	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;15 ∈ ℕ0
104	103, 25	deccl 12636	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;;151 ∈ ℕ0
105		eqid 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;;168 = ;;168
106		eqid 2737	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;16 = ;16
107	48	mullidi 11151	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1 · 9) = 9
108	36	addlidi 11335	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0 + 6) = 6
109	107, 108	oveq12i 7382	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1 · 9) + (0 + 6)) = (9 + 6)
110		9p6e15 12712	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (9 + 6) = ;15
111	109, 110	eqtri 2760	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 · 9) + (0 + 6)) = ;15
112		9t6e54 12747	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (9 · 6) = ;54
113	48, 36, 112	mulcomli 11155	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (6 · 9) = ;54
114		5p1e6 12301	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (5 + 1) = 6
115		7p4e11 12697	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (7 + 4) = ;11
116	8, 49, 115	addcomli 11339	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (4 + 7) = ;11
117	102, 21, 59, 113, 114, 25, 116	decaddci 12682	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((6 · 9) + 7) = ;61
118	25, 29, 28, 59, 106, 88, 22, 25, 29, 111, 117	decmac 12673	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((;16 · 9) + 7) = ;;151
119		9t8e72 12749	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (9 · 8) = ;72
120	48, 35, 119	mulcomli 11155	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (8 · 9) = ;72
121	22, 63, 47, 105, 9, 59, 118, 120	decmul1c 12686	. . . . . . . . . 10 ⊢ (;;168 · 9) = ;;;1512
122	67	addridi 11334	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 + 0) = 2
123	104, 9, 28, 121, 122	decaddi 12681	. . . . . . . . 9 ⊢ ((;;168 · 9) + 0) = ;;;1512
124	48	mul02i 11336	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 · 9) = 0
125	124	oveq1i 7380	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 · 9) + 6) = (0 + 6)
126	125, 108	eqtri 2760	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 · 9) + 6) = 6
127	64, 28, 28, 29, 100, 101, 22, 123, 126	decma 12672	. . . . . . . 8 ⊢ ((;;;1680 · 9) + 6) = ;;;;15126
128		9t7e63 12748	. . . . . . . . 9 ⊢ (9 · 7) = ;63
129	48, 8, 128	mulcomli 11155	. . . . . . . 8 ⊢ (7 · 9) = ;63
130	22, 95, 59, 99, 41, 29, 127, 129	decmul1c 12686	. . . . . . 7 ⊢ (;;;;16807 · 9) = ;;;;;151263
131	104, 9	deccl 12636	. . . . . . . . 9 ⊢ ;;;1512 ∈ ℕ0
132	131, 29	deccl 12636	. . . . . . . 8 ⊢ ;;;;15126 ∈ ℕ0
133	63, 25	deccl 12636	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;;161 ∈ ℕ0
134	133, 28	deccl 12636	. . . . . . . . 9 ⊢ ;;;1610 ∈ ℕ0
135	134, 102	deccl 12636	. . . . . . . 8 ⊢ ;;;;16105 ∈ ℕ0
136		3lt10 12758	. . . . . . . 8 ⊢ 3 < ;10
137		6lt10 12755	. . . . . . . . 9 ⊢ 6 < ;10
138		2lt10 12759	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 < ;10
139		1lt10 12760	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 < ;10
140		6nn 12248	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 6 ∈ ℕ
141		5lt6 12335	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 5 < 6
142	25, 102, 140, 141	declt 12649	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;15 < ;16
143	103, 63, 25, 25, 139, 142	decltc 12650	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;;151 < ;;161
144	104, 133, 9, 28, 138, 143	decltc 12650	. . . . . . . . 9 ⊢ ;;;1512 < ;;;1610
145	131, 134, 29, 102, 137, 144	decltc 12650	. . . . . . . 8 ⊢ ;;;;15126 < ;;;;16105
146	132, 135, 41, 25, 136, 145	decltc 12650	. . . . . . 7 ⊢ ;;;;;151263 < ;;;;;161051
147	130, 146	eqbrtri 5121	. . . . . 6 ⊢ (;;;;16807 · 9) < ;;;;;161051
148	98, 147	eqbrtri 5121	. . . . 5 ⊢ (9 · ;;;;16807) < ;;;;;161051
149	94, 148	eqbrtri 5121	. . . 4 ⊢ (9 · (7↑5)) < ;;;;;161051
150	4	eqcomi 2746	. . . . . . . 8 ⊢ 5 = (4 + 1)
151	150	oveq2i 7381	. . . . . . 7 ⊢ (;11↑5) = (;11↑(4 + 1))
152	25, 25	deccl 12636	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;11 ∈ ℕ0
153	152	nn0cni 12427	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;11 ∈ ℂ
154	153, 21	pm3.2i 470	. . . . . . . . 9 ⊢ (;11 ∈ ℂ ∧ 4 ∈ ℕ0)
155		expp1 14005	. . . . . . . . 9 ⊢ ((;11 ∈ ℂ ∧ 4 ∈ ℕ0) → (;11↑(4 + 1)) = ((;11↑4) · ;11))
156	154, 155	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (;11↑(4 + 1)) = ((;11↑4) · ;11)
157	2	eqcomi 2746	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 4 = (2 + 2)
158	157	oveq2i 7381	. . . . . . . . . 10 ⊢ (;11↑4) = (;11↑(2 + 2))
159	153, 9, 9	3pm3.2i 1341	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (;11 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ0)
160		expadd 14041	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((;11 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ0) → (;11↑(2 + 2)) = ((;11↑2) · (;11↑2)))
161	159, 160	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (;11↑(2 + 2)) = ((;11↑2) · (;11↑2))
162	153	sqvali 14117	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (;11↑2) = (;11 · ;11)
163		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ;11 = ;11
164	153	mullidi 11151	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (1 · ;11) = ;11
165	25, 25, 32, 164	decsuc 12652	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((1 · ;11) + 1) = ;12
166	152, 25, 25, 163, 25, 25, 165, 164	decmul1c 12686	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (;11 · ;11) = ;;121
167	162, 166	eqtri 2760	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (;11↑2) = ;;121
168	167, 167	oveq12i 7382	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((;11↑2) · (;11↑2)) = (;;121 · ;;121)
169	25, 9	deccl 12636	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ;12 ∈ ℕ0
170	169, 25	deccl 12636	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ;;121 ∈ ℕ0
171		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ;;121 = ;;121
172		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ;12 = ;12
173	170	nn0cni 12427	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ;;121 ∈ ℂ
174	173	mullidi 11151	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1 · ;;121) = ;;121
175	25	dec0h 12643	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 1 = ;01
176	67	addlidi 11335	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (0 + 2) = 2
177	49, 86, 4	addcomli 11339	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (1 + 4) = 5
178	28, 25, 9, 21, 175, 66, 176, 177	decadd 12675	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1 + ;24) = ;25
179	25, 9, 9, 172, 2	decaddi 12681	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (;12 + 2) = ;14
180		5cn 12247	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 5 ∈ ℂ
181	180, 86, 114	addcomli 11339	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1 + 5) = 6
182	169, 25, 9, 102, 174, 178, 179, 181	decadd 12675	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((1 · ;;121) + (1 + ;24)) = ;;146
183	9	dec0h 12643	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 = ;02
184	28, 28	nn0addcli 12452	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (0 + 0) ∈ ℕ0
185		2t1e2 12317	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (2 · 1) = 2
186	185	oveq1i 7380	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((2 · 1) + 0) = (2 + 0)
187	186, 122	eqtri 2760	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((2 · 1) + 0) = 2
188		2t2e4 12318	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (2 · 2) = 4
189	21	dec0h 12643	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 4 = ;04
190	189	eqcomi 2746	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ;04 = 4
191	188, 190	eqtr4i 2763	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (2 · 2) = ;04
192	9, 25, 9, 172, 21, 28, 187, 191	decmul2c 12687	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (2 · ;12) = ;24
193	84	oveq2i 7381	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (4 + (0 + 0)) = (4 + 0)
194	49	addridi 11334	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (4 + 0) = 4
195	193, 194	eqtri 2760	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (4 + (0 + 0)) = 4
196	9, 21, 184, 192, 195	decaddi 12681	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((2 · ;12) + (0 + 0)) = ;24
197	185	oveq1i 7380	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((2 · 1) + 2) = (2 + 2)
198	197, 2	eqtri 2760	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((2 · 1) + 2) = 4
199	198, 190	eqtr4i 2763	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((2 · 1) + 2) = ;04
200	169, 25, 28, 9, 171, 183, 9, 21, 28, 196, 199	decma2c 12674	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((2 · ;;121) + 2) = ;;244
201	25, 9, 25, 9, 172, 172, 170, 21, 60, 182, 200	decmac 12673	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((;12 · ;;121) + ;12) = ;;;1464
202	170, 169, 25, 171, 25, 169, 201, 174	decmul1c 12686	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (;;121 · ;;121) = ;;;;14641
203	168, 202	eqtri 2760	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((;11↑2) · (;11↑2)) = ;;;;14641
204	161, 203	eqtri 2760	. . . . . . . . . 10 ⊢ (;11↑(2 + 2)) = ;;;;14641
205	158, 204	eqtri 2760	. . . . . . . . 9 ⊢ (;11↑4) = ;;;;14641
206	205	oveq1i 7380	. . . . . . . 8 ⊢ ((;11↑4) · ;11) = (;;;;14641 · ;11)
207	156, 206	eqtri 2760	. . . . . . 7 ⊢ (;11↑(4 + 1)) = (;;;;14641 · ;11)
208	151, 207	eqtri 2760	. . . . . 6 ⊢ (;11↑5) = (;;;;14641 · ;11)
209	25, 21	deccl 12636	. . . . . . . . 9 ⊢ ;14 ∈ ℕ0
210	209, 29	deccl 12636	. . . . . . . 8 ⊢ ;;146 ∈ ℕ0
211	210, 21	deccl 12636	. . . . . . 7 ⊢ ;;;1464 ∈ ℕ0
212		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ ;;;;14641 = ;;;;14641
213		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ ;;;1464 = ;;;1464
214		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ ;;146 = ;;146
215	194, 190	eqtr4i 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (4 + 0) = ;04
216	49, 77, 215	addcomli 11339	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 + 4) = ;04
217		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;14 = ;14
218	8	addridi 11334	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (7 + 0) = 7
219	218, 89	eqtr4i 2763	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (7 + 0) = ;07
220	8, 77, 219	addcomli 11339	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 + 7) = ;07
221	28, 102	nn0addcli 12452	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 + 5) ∈ ℕ0
222	180	addlidi 11335	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0 + 5) = 5
223	222	oveq2i 7381	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 + (0 + 5)) = (1 + 5)
224	223, 181	eqtri 2760	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 + (0 + 5)) = 6
225	25, 25, 221, 164, 224	decaddi 12681	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 · ;11) + (0 + 5)) = ;16
226	49	mulridi 11150	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (4 · 1) = 4
227		0p1e1 12276	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0 + 1) = 1
228	226, 227	oveq12i 7382	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((4 · 1) + (0 + 1)) = (4 + 1)
229	228, 4	eqtri 2760	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((4 · 1) + (0 + 1)) = 5
230	226	oveq1i 7380	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((4 · 1) + 7) = (4 + 7)
231	230, 116	eqtri 2760	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((4 · 1) + 7) = ;11
232	25, 25, 28, 59, 163, 88, 21, 25, 25, 229, 231	decma2c 12674	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((4 · ;11) + 7) = ;51
233	25, 21, 28, 59, 217, 220, 152, 25, 102, 225, 232	decmac 12673	. . . . . . . . 9 ⊢ ((;14 · ;11) + (0 + 7)) = ;;161
234	36	mulridi 11150	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (6 · 1) = 6
235	86	addlidi 11335	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 + 1) = 1
236	234, 235	oveq12i 7382	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((6 · 1) + (0 + 1)) = (6 + 1)
237		6p1e7 12302	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (6 + 1) = 7
238	236, 237	eqtri 2760	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((6 · 1) + (0 + 1)) = 7
239		eqid 2737	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 4 = 4
240	234, 239	oveq12i 7382	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((6 · 1) + 4) = (6 + 4)
241	240, 44	eqtri 2760	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((6 · 1) + 4) = ;10
242	25, 25, 28, 21, 163, 189, 29, 28, 25, 238, 241	decma2c 12674	. . . . . . . . 9 ⊢ ((6 · ;11) + 4) = ;70
243	209, 29, 28, 21, 214, 216, 152, 28, 59, 233, 242	decmac 12673	. . . . . . . 8 ⊢ ((;;146 · ;11) + (0 + 4)) = ;;;1610
244	226, 84	oveq12i 7382	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((4 · 1) + (0 + 0)) = (4 + 0)
245	244, 194	eqtri 2760	. . . . . . . . 9 ⊢ ((4 · 1) + (0 + 0)) = 4
246	226	oveq1i 7380	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((4 · 1) + 1) = (4 + 1)
247	246, 4	eqtri 2760	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((4 · 1) + 1) = 5
248	102	dec0h 12643	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 5 = ;05
249	248	eqcomi 2746	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;05 = 5
250	247, 249	eqtr4i 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ ((4 · 1) + 1) = ;05
251	25, 25, 28, 25, 163, 175, 21, 102, 28, 245, 250	decma2c 12674	. . . . . . . 8 ⊢ ((4 · ;11) + 1) = ;45
252	210, 21, 28, 25, 213, 175, 152, 102, 21, 243, 251	decmac 12673	. . . . . . 7 ⊢ ((;;;1464 · ;11) + 1) = ;;;;16105
253	152, 211, 25, 212, 25, 25, 252, 164	decmul1c 12686	. . . . . 6 ⊢ (;;;;14641 · ;11) = ;;;;;161051
254	208, 253	eqtri 2760	. . . . 5 ⊢ (;11↑5) = ;;;;;161051
255	254	eqcomi 2746	. . . 4 ⊢ ;;;;;161051 = (;11↑5)
256	149, 255	breqtri 5125	. . 3 ⊢ (9 · (7↑5)) < (;11↑5)
257		7re 12252	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℝ
258		5nn 12245	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℕ
259	258	nnzi 12529	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℤ
260		7pos 12270	. . . . . 6 ⊢ 0 < 7
261	257, 259, 260	3pm3.2i 1341	. . . . 5 ⊢ (7 ∈ ℝ ∧ 5 ∈ ℤ ∧ 0 < 7)
262		expgt0 14032	. . . . 5 ⊢ ((7 ∈ ℝ ∧ 5 ∈ ℤ ∧ 0 < 7) → 0 < (7↑5))
263	261, 262	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 0 < (7↑5)
264		9re 12258	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℝ
265		1nn 12170	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℕ
266	25, 265	decnncl 12641	. . . . . . . 8 ⊢ ;11 ∈ ℕ
267	266	nnrei 12168	. . . . . . 7 ⊢ ;11 ∈ ℝ
268	267, 102	pm3.2i 470	. . . . . 6 ⊢ (;11 ∈ ℝ ∧ 5 ∈ ℕ0)
269		reexpcl 14015	. . . . . 6 ⊢ ((;11 ∈ ℝ ∧ 5 ∈ ℕ0) → (;11↑5) ∈ ℝ)
270	268, 269	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (;11↑5) ∈ ℝ
271	257, 102	pm3.2i 470	. . . . . 6 ⊢ (7 ∈ ℝ ∧ 5 ∈ ℕ0)
272		reexpcl 14015	. . . . . 6 ⊢ ((7 ∈ ℝ ∧ 5 ∈ ℕ0) → (7↑5) ∈ ℝ)
273	271, 272	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (7↑5) ∈ ℝ
274	264, 270, 273	ltmuldivi 12076	. . . 4 ⊢ (0 < (7↑5) → ((9 · (7↑5)) < (;11↑5) ↔ 9 < ((;11↑5) / (7↑5))))
275	263, 274	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((9 · (7↑5)) < (;11↑5) ↔ 9 < ((;11↑5) / (7↑5)))
276	256, 275	mpbi 230	. 2 ⊢ 9 < ((;11↑5) / (7↑5))
277	153	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ;11 ∈ ℂ)
278	8	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 7 ∈ ℂ)
279		0red 11149	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 0 ∈ ℝ)
280	260	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 0 < 7)
281	279, 280	ltned 11283	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 0 ≠ 7)
282	281	necomd 2988	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 7 ≠ 0)
283	102	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 5 ∈ ℕ0)
284	277, 278, 282, 283	expdivd 14097	. . . 4 ⊢ (⊤ → ((;11 / 7)↑5) = ((;11↑5) / (7↑5)))
285	284	eqcomd 2743	. . 3 ⊢ (⊤ → ((;11↑5) / (7↑5)) = ((;11 / 7)↑5))
286	285	mptru 1549	. 2 ⊢ ((;11↑5) / (7↑5)) = ((;11 / 7)↑5)
287	276, 286	breqtri 5125	1 ⊢ 9 < ((;11 / 7)↑5)

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542  ⊤wtru 1543   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5100  (class class class)co 7370  ℂcc 11038  ℝcr 11039  0cc0 11040  1c1 11041   + caddc 11043   · cmul 11045   < clt 11180   / cdiv 11808  2c2 12214  3c3 12215  4c4 12216  5c5 12217  6c6 12218  7c7 12219  8c8 12220  9c9 12221  ℕ₀cn0 12415  ℤcz 12502  ;cdc 12621  ↑cexp 13998

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692  ax-cnex 11096  ax-resscn 11097  ax-1cn 11098  ax-icn 11099  ax-addcl 11100  ax-addrcl 11101  ax-mulcl 11102  ax-mulrcl 11103  ax-mulcom 11104  ax-addass 11105  ax-mulass 11106  ax-distr 11107  ax-i2m1 11108  ax-1ne0 11109  ax-1rid 11110  ax-rnegex 11111  ax-rrecex 11112  ax-cnre 11113  ax-pre-lttri 11114  ax-pre-lttrn 11115  ax-pre-ltadd 11116  ax-pre-mulgt0 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5529  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5587  df-we 5589  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6269  df-ord 6330  df-on 6331  df-lim 6332  df-suc 6333  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-om 7821  df-2nd 7946  df-frecs 8235  df-wrecs 8266  df-recs 8315  df-rdg 8353  df-er 8647  df-en 8898  df-dom 8899  df-sdom 8900  df-pnf 11182  df-mnf 11183  df-xr 11184  df-ltxr 11185  df-le 11186  df-sub 11380  df-neg 11381  df-div 11809  df-nn 12160  df-2 12222  df-3 12223  df-4 12224  df-5 12225  df-6 12226  df-7 12227  df-8 12228  df-9 12229  df-n0 12416  df-z 12503  df-dec 12622  df-uz 12766  df-rp 12920  df-seq 13939  df-exp 13999

This theorem is referenced by:  3lexlogpow5ineq4  42455