Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  3lexlogpow5ineq1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 3lexlogpow5ineq1 39302
Description: First inequality in inequality chain, proposed by Mario Carneiro (Contributed by metakunt, 22-May-2024.)
Assertion
Ref Expression
3lexlogpow5ineq1 7 < ((3 / 2)↑5)

Proof of Theorem 3lexlogpow5ineq1
StepHypRef Expression
1 2cn 11700 . . . . . . 7 2 ∈ ℂ
2 halfcn 11840 . . . . . . 7 (1 / 2) ∈ ℂ
3 5nn0 11905 . . . . . . 7 5 ∈ ℕ0
41, 2, 33pm3.2i 1336 . . . . . 6 (2 ∈ ℂ ∧ (1 / 2) ∈ ℂ ∧ 5 ∈ ℕ0)
5 mulexp 13464 . . . . . 6 ((2 ∈ ℂ ∧ (1 / 2) ∈ ℂ ∧ 5 ∈ ℕ0) → ((2 · (1 / 2))↑5) = ((2↑5) · ((1 / 2)↑5)))
64, 5ax-mp 5 . . . . 5 ((2 · (1 / 2))↑5) = ((2↑5) · ((1 / 2)↑5))
76oveq2i 7151 . . . 4 (7 · ((2 · (1 / 2))↑5)) = (7 · ((2↑5) · ((1 / 2)↑5)))
8 2ne0 11729 . . . . . . . . 9 2 ≠ 0
91, 8recidi 11360 . . . . . . . 8 (2 · (1 / 2)) = 1
109oveq1i 7150 . . . . . . 7 ((2 · (1 / 2))↑5) = (1↑5)
11 1nn0 11901 . . . . . . . 8 1 ∈ ℕ0
12 4nn0 11904 . . . . . . . 8 4 ∈ ℕ0
13 4p1e5 11771 . . . . . . . 8 (4 + 1) = 5
14 2nn0 11902 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℕ0
15 2t2e4 11789 . . . . . . . . . . 11 (2 · 2) = 4
16 sq1 13554 . . . . . . . . . . 11 (1↑2) = 1
17 1t1e1 11787 . . . . . . . . . . 11 (1 · 1) = 1
1811, 14, 15, 16, 17numexp2x 16404 . . . . . . . . . 10 (1↑4) = 1
1918oveq1i 7150 . . . . . . . . 9 ((1↑4) · 1) = (1 · 1)
2019, 17eqtri 2845 . . . . . . . 8 ((1↑4) · 1) = 1
2111, 12, 13, 20numexpp1 16403 . . . . . . 7 (1↑5) = 1
2210, 21eqtri 2845 . . . . . 6 ((2 · (1 / 2))↑5) = 1
2322oveq2i 7151 . . . . 5 (7 · ((2 · (1 / 2))↑5)) = (7 · 1)
24 7cn 11719 . . . . . 6 7 ∈ ℂ
2524mulid1i 10634 . . . . 5 (7 · 1) = 7
2623, 25eqtri 2845 . . . 4 (7 · ((2 · (1 / 2))↑5)) = 7
277, 26eqtr3i 2847 . . 3 (7 · ((2↑5) · ((1 / 2)↑5))) = 7
28 2exp5 16411 . . . . . 6 (2↑5) = 32
29 3nn0 11903 . . . . . . . 8 3 ∈ ℕ0
3029, 14deccl 12101 . . . . . . 7 32 ∈ ℕ0
3130nn0cni 11897 . . . . . 6 32 ∈ ℂ
3228, 31eqeltri 2910 . . . . 5 (2↑5) ∈ ℂ
33 halfre 11839 . . . . . . . 8 (1 / 2) ∈ ℝ
3433, 3pm3.2i 474 . . . . . . 7 ((1 / 2) ∈ ℝ ∧ 5 ∈ ℕ0)
35 reexpcl 13442 . . . . . . 7 (((1 / 2) ∈ ℝ ∧ 5 ∈ ℕ0) → ((1 / 2)↑5) ∈ ℝ)
3634, 35ax-mp 5 . . . . . 6 ((1 / 2)↑5) ∈ ℝ
3736recni 10644 . . . . 5 ((1 / 2)↑5) ∈ ℂ
3824, 32, 37mulassi 10641 . . . 4 ((7 · (2↑5)) · ((1 / 2)↑5)) = (7 · ((2↑5) · ((1 / 2)↑5)))
3914, 14deccl 12101 . . . . . . 7 22 ∈ ℕ0
4014, 12deccl 12101 . . . . . . 7 24 ∈ ℕ0
41 4lt9 11828 . . . . . . . 8 4 < 9
42 4re 11709 . . . . . . . . 9 4 ∈ ℝ
43 9re 11724 . . . . . . . . 9 9 ∈ ℝ
4442, 43ltlei 10751 . . . . . . . 8 (4 < 9 → 4 ≤ 9)
4541, 44ax-mp 5 . . . . . . 7 4 ≤ 9
46 4nn 11708 . . . . . . . 8 4 ∈ ℕ
47 2lt4 11800 . . . . . . . 8 2 < 4
4814, 14, 46, 47declt 12114 . . . . . . 7 22 < 24
4939, 40, 12, 29, 45, 48declth 12116 . . . . . 6 224 < 243
5031, 24mulcomi 10638 . . . . . . . . 9 (32 · 7) = (7 · 32)
5128oveq2i 7151 . . . . . . . . 9 (7 · (2↑5)) = (7 · 32)
5250, 51eqtr4i 2848 . . . . . . . 8 (32 · 7) = (7 · (2↑5))
53 7nn0 11907 . . . . . . . . 9 7 ∈ ℕ0
54 eqid 2822 . . . . . . . . 9 32 = 32
55 1p1e2 11750 . . . . . . . . . 10 (1 + 1) = 2
56 3cn 11706 . . . . . . . . . . 11 3 ∈ ℂ
57 7t3e21 12196 . . . . . . . . . . 11 (7 · 3) = 21
5824, 56, 57mulcomli 10639 . . . . . . . . . 10 (3 · 7) = 21
5914, 11, 55, 58decsuc 12117 . . . . . . . . 9 ((3 · 7) + 1) = 22
60 7t2e14 12195 . . . . . . . . . 10 (7 · 2) = 14
6124, 1, 60mulcomli 10639 . . . . . . . . 9 (2 · 7) = 14
6253, 29, 14, 54, 12, 11, 59, 61decmul1c 12151 . . . . . . . 8 (32 · 7) = 224
6352, 62eqtr3i 2847 . . . . . . 7 (7 · (2↑5)) = 224
64 8nn0 11908 . . . . . . . . 9 8 ∈ ℕ0
65 sq3 13557 . . . . . . . . . 10 (3↑2) = 9
66 9t9e81 12215 . . . . . . . . . 10 (9 · 9) = 81
6729, 14, 15, 65, 66numexp2x 16404 . . . . . . . . 9 (3↑4) = 81
68 0nn0 11900 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℕ0
69 8t3e24 12202 . . . . . . . . . 10 (8 · 3) = 24
70 4cn 11710 . . . . . . . . . . 11 4 ∈ ℂ
7170addid1i 10816 . . . . . . . . . 10 (4 + 0) = 4
7214, 12, 68, 69, 71decaddi 12146 . . . . . . . . 9 ((8 · 3) + 0) = 24
73 ax-1cn 10584 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℂ
74 3t1e3 11790 . . . . . . . . . . 11 (3 · 1) = 3
7529dec0h 12108 . . . . . . . . . . . 12 3 = 03
7675eqcomi 2831 . . . . . . . . . . 11 03 = 3
7774, 76eqtr4i 2848 . . . . . . . . . 10 (3 · 1) = 03
7856, 73, 77mulcomli 10639 . . . . . . . . 9 (1 · 3) = 03
7929, 64, 11, 67, 29, 68, 72, 78decmul1c 12151 . . . . . . . 8 ((3↑4) · 3) = 243
8029, 12, 13, 79numexpp1 16403 . . . . . . 7 (3↑5) = 243
8163, 80breq12i 5051 . . . . . 6 ((7 · (2↑5)) < (3↑5) ↔ 224 < 243)
8249, 81mpbir 234 . . . . 5 (7 · (2↑5)) < (3↑5)
833nn0zi 11995 . . . . . . . 8 5 ∈ ℤ
84 halfgt0 11841 . . . . . . . 8 0 < (1 / 2)
8533, 83, 843pm3.2i 1336 . . . . . . 7 ((1 / 2) ∈ ℝ ∧ 5 ∈ ℤ ∧ 0 < (1 / 2))
86 expgt0 13458 . . . . . . 7 (((1 / 2) ∈ ℝ ∧ 5 ∈ ℤ ∧ 0 < (1 / 2)) → 0 < ((1 / 2)↑5))
8785, 86ax-mp 5 . . . . . 6 0 < ((1 / 2)↑5)
88 7re 11718 . . . . . . . 8 7 ∈ ℝ
89 2re 11699 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℝ
9089, 3pm3.2i 474 . . . . . . . . 9 (2 ∈ ℝ ∧ 5 ∈ ℕ0)
91 reexpcl 13442 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℝ ∧ 5 ∈ ℕ0) → (2↑5) ∈ ℝ)
9290, 91ax-mp 5 . . . . . . . 8 (2↑5) ∈ ℝ
9388, 92remulcli 10646 . . . . . . 7 (7 · (2↑5)) ∈ ℝ
94 3re 11705 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℝ
9594, 3pm3.2i 474 . . . . . . . 8 (3 ∈ ℝ ∧ 5 ∈ ℕ0)
96 reexpcl 13442 . . . . . . . 8 ((3 ∈ ℝ ∧ 5 ∈ ℕ0) → (3↑5) ∈ ℝ)
9795, 96ax-mp 5 . . . . . . 7 (3↑5) ∈ ℝ
9893, 97, 36ltmul1i 11547 . . . . . 6 (0 < ((1 / 2)↑5) → ((7 · (2↑5)) < (3↑5) ↔ ((7 · (2↑5)) · ((1 / 2)↑5)) < ((3↑5) · ((1 / 2)↑5))))
9987, 98ax-mp 5 . . . . 5 ((7 · (2↑5)) < (3↑5) ↔ ((7 · (2↑5)) · ((1 / 2)↑5)) < ((3↑5) · ((1 / 2)↑5)))
10082, 99mpbi 233 . . . 4 ((7 · (2↑5)) · ((1 / 2)↑5)) < ((3↑5) · ((1 / 2)↑5))
10138, 100eqbrtrri 5065 . . 3 (7 · ((2↑5) · ((1 / 2)↑5))) < ((3↑5) · ((1 / 2)↑5))
10227, 101eqbrtrri 5065 . 2 7 < ((3↑5) · ((1 / 2)↑5))
10356, 1, 8divreci 11374 . . . 4 (3 / 2) = (3 · (1 / 2))
104103oveq1i 7150 . . 3 ((3 / 2)↑5) = ((3 · (1 / 2))↑5)
10556, 2, 33pm3.2i 1336 . . . 4 (3 ∈ ℂ ∧ (1 / 2) ∈ ℂ ∧ 5 ∈ ℕ0)
106 mulexp 13464 . . . 4 ((3 ∈ ℂ ∧ (1 / 2) ∈ ℂ ∧ 5 ∈ ℕ0) → ((3 · (1 / 2))↑5) = ((3↑5) · ((1 / 2)↑5)))
107105, 106ax-mp 5 . . 3 ((3 · (1 / 2))↑5) = ((3↑5) · ((1 / 2)↑5))
108104, 107eqtr2i 2846 . 2 ((3↑5) · ((1 / 2)↑5)) = ((3 / 2)↑5)
109102, 108breqtri 5067 1 7 < ((3 / 2)↑5)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 209  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2114   class class class wbr 5042  (class class class)co 7140  cc 10524  cr 10525  0cc0 10526  1c1 10527   · cmul 10531   < clt 10664  cle 10665   / cdiv 11286  2c2 11680  3c3 11681  4c4 11682  5c5 11683  7c7 11685  8c8 11686  9c9 11687  0cn0 11885  cz 11969  cdc 12086  cexp 13425
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-rp 12378  df-seq 13365  df-exp 13426
This theorem is referenced by:  3lexlogpow5ineq3  39304
  Copyright terms: Public domain W3C validator