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Theorem 3lexlogpow5ineq1 40540
Description: First inequality in inequality chain, proposed by Mario Carneiro (Contributed by metakunt, 22-May-2024.)
Assertion
Ref Expression
3lexlogpow5ineq1 9 < ((11 / 7)↑5)

Proof of Theorem 3lexlogpow5ineq1
StepHypRef Expression
1 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 5 = 5
2 2p2e4 12295 . . . . . . . . . . . 12 (2 + 2) = 4
32oveq1i 7372 . . . . . . . . . . 11 ((2 + 2) + 1) = (4 + 1)
4 4p1e5 12306 . . . . . . . . . . 11 (4 + 1) = 5
53, 4eqtri 2765 . . . . . . . . . 10 ((2 + 2) + 1) = 5
61, 5eqtr4i 2768 . . . . . . . . 9 5 = ((2 + 2) + 1)
76oveq2i 7373 . . . . . . . 8 (7↑5) = (7↑((2 + 2) + 1))
8 7cn 12254 . . . . . . . . . 10 7 ∈ ℂ
9 2nn0 12437 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℕ0
109, 9nn0addcli 12457 . . . . . . . . . 10 (2 + 2) ∈ ℕ0
118, 10pm3.2i 472 . . . . . . . . 9 (7 ∈ ℂ ∧ (2 + 2) ∈ ℕ0)
12 expp1 13981 . . . . . . . . 9 ((7 ∈ ℂ ∧ (2 + 2) ∈ ℕ0) → (7↑((2 + 2) + 1)) = ((7↑(2 + 2)) · 7))
1311, 12ax-mp 5 . . . . . . . 8 (7↑((2 + 2) + 1)) = ((7↑(2 + 2)) · 7)
148, 9, 93pm3.2i 1340 . . . . . . . . . . 11 (7 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ0)
15 expadd 14017 . . . . . . . . . . 11 ((7 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ0) → (7↑(2 + 2)) = ((7↑2) · (7↑2)))
1614, 15ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (7↑(2 + 2)) = ((7↑2) · (7↑2))
178sqvali 14091 . . . . . . . . . . . . 13 (7↑2) = (7 · 7)
18 7t7e49 12739 . . . . . . . . . . . . 13 (7 · 7) = 49
1917, 18eqtri 2765 . . . . . . . . . . . 12 (7↑2) = 49
2019, 19oveq12i 7374 . . . . . . . . . . 11 ((7↑2) · (7↑2)) = (49 · 49)
21 4nn0 12439 . . . . . . . . . . . . 13 4 ∈ ℕ0
22 9nn0 12444 . . . . . . . . . . . . 13 9 ∈ ℕ0
2321, 22deccl 12640 . . . . . . . . . . . 12 49 ∈ ℕ0
24 eqid 2737 . . . . . . . . . . . 12 49 = 49
25 1nn0 12436 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℕ0
2621, 21deccl 12640 . . . . . . . . . . . 12 44 ∈ ℕ0
27 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . 13 44 = 44
28 0nn0 12435 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ ℕ0
29 6nn0 12441 . . . . . . . . . . . . . 14 6 ∈ ℕ0
3021, 21nn0addcli 12457 . . . . . . . . . . . . . 14 (4 + 4) ∈ ℕ0
31 4t4e16 12724 . . . . . . . . . . . . . 14 (4 · 4) = 16
32 1p1e2 12285 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 + 1) = 2
33 4p4e8 12315 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (4 + 4) = 8
3433oveq2i 7373 . . . . . . . . . . . . . . 15 (6 + (4 + 4)) = (6 + 8)
35 8cn 12257 . . . . . . . . . . . . . . . 16 8 ∈ ℂ
36 6cn 12251 . . . . . . . . . . . . . . . 16 6 ∈ ℂ
37 8p6e14 12709 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (8 + 6) = 14
3835, 36, 37addcomli 11354 . . . . . . . . . . . . . . 15 (6 + 8) = 14
3934, 38eqtri 2765 . . . . . . . . . . . . . 14 (6 + (4 + 4)) = 14
4025, 29, 30, 31, 32, 21, 39decaddci 12686 . . . . . . . . . . . . 13 ((4 · 4) + (4 + 4)) = 24
41 3nn0 12438 . . . . . . . . . . . . . 14 3 ∈ ℕ0
42 9t4e36 12749 . . . . . . . . . . . . . 14 (9 · 4) = 36
43 3p1e4 12305 . . . . . . . . . . . . . 14 (3 + 1) = 4
44 6p4e10 12697 . . . . . . . . . . . . . 14 (6 + 4) = 10
4541, 29, 21, 42, 43, 44decaddci2 12687 . . . . . . . . . . . . 13 ((9 · 4) + 4) = 40
4621, 22, 21, 21, 24, 27, 21, 28, 21, 40, 45decmac 12677 . . . . . . . . . . . 12 ((49 · 4) + 44) = 240
47 8nn0 12443 . . . . . . . . . . . . 13 8 ∈ ℕ0
48 9cn 12260 . . . . . . . . . . . . . . 15 9 ∈ ℂ
49 4cn 12245 . . . . . . . . . . . . . . 15 4 ∈ ℂ
5048, 49, 42mulcomli 11171 . . . . . . . . . . . . . 14 (4 · 9) = 36
5141, 29, 47, 50, 43, 21, 38decaddci 12686 . . . . . . . . . . . . 13 ((4 · 9) + 8) = 44
52 9t9e81 12754 . . . . . . . . . . . . 13 (9 · 9) = 81
5322, 21, 22, 24, 25, 47, 51, 52decmul1c 12690 . . . . . . . . . . . 12 (49 · 9) = 441
5423, 21, 22, 24, 25, 26, 46, 53decmul2c 12691 . . . . . . . . . . 11 (49 · 49) = 2401
5520, 54eqtri 2765 . . . . . . . . . 10 ((7↑2) · (7↑2)) = 2401
5616, 55eqtri 2765 . . . . . . . . 9 (7↑(2 + 2)) = 2401
5756oveq1i 7372 . . . . . . . 8 ((7↑(2 + 2)) · 7) = (2401 · 7)
587, 13, 573eqtri 2769 . . . . . . 7 (7↑5) = (2401 · 7)
59 7nn0 12442 . . . . . . . 8 7 ∈ ℕ0
609, 21deccl 12640 . . . . . . . . 9 24 ∈ ℕ0
6160, 28deccl 12640 . . . . . . . 8 240 ∈ ℕ0
62 eqid 2737 . . . . . . . 8 2401 = 2401
6325, 29deccl 12640 . . . . . . . . . 10 16 ∈ ℕ0
6463, 47deccl 12640 . . . . . . . . 9 168 ∈ ℕ0
65 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 240 = 240
66 eqid 2737 . . . . . . . . . . . 12 24 = 24
67 2cn 12235 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℂ
68 7t2e14 12734 . . . . . . . . . . . . . 14 (7 · 2) = 14
698, 67, 68mulcomli 11171 . . . . . . . . . . . . 13 (2 · 7) = 14
70 4p2e6 12313 . . . . . . . . . . . . 13 (4 + 2) = 6
7125, 21, 9, 69, 70decaddi 12685 . . . . . . . . . . . 12 ((2 · 7) + 2) = 16
72 7t4e28 12736 . . . . . . . . . . . . 13 (7 · 4) = 28
738, 49, 72mulcomli 11171 . . . . . . . . . . . 12 (4 · 7) = 28
7459, 9, 21, 66, 47, 9, 71, 73decmul1c 12690 . . . . . . . . . . 11 (24 · 7) = 168
7535addid1i 11349 . . . . . . . . . . 11 (8 + 0) = 8
7663, 47, 28, 74, 75decaddi 12685 . . . . . . . . . 10 ((24 · 7) + 0) = 168
77 0cn 11154 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℂ
788mul01i 11352 . . . . . . . . . . . 12 (7 · 0) = 0
7928dec0h 12647 . . . . . . . . . . . . 13 0 = 00
8079eqcomi 2746 . . . . . . . . . . . 12 00 = 0
8178, 80eqtr4i 2768 . . . . . . . . . . 11 (7 · 0) = 00
828, 77, 81mulcomli 11171 . . . . . . . . . 10 (0 · 7) = 00
8359, 60, 28, 65, 28, 28, 76, 82decmul1c 12690 . . . . . . . . 9 (240 · 7) = 1680
84 00id 11337 . . . . . . . . 9 (0 + 0) = 0
8564, 28, 28, 83, 84decaddi 12685 . . . . . . . 8 ((240 · 7) + 0) = 1680
86 ax-1cn 11116 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℂ
878mulid1i 11166 . . . . . . . . . 10 (7 · 1) = 7
8859dec0h 12647 . . . . . . . . . . 11 7 = 07
8988eqcomi 2746 . . . . . . . . . 10 07 = 7
9087, 89eqtr4i 2768 . . . . . . . . 9 (7 · 1) = 07
918, 86, 90mulcomli 11171 . . . . . . . 8 (1 · 7) = 07
9259, 61, 25, 62, 59, 28, 85, 91decmul1c 12690 . . . . . . 7 (2401 · 7) = 16807
9358, 92eqtri 2765 . . . . . 6 (7↑5) = 16807
9493oveq2i 7373 . . . . 5 (9 · (7↑5)) = (9 · 16807)
9564, 28deccl 12640 . . . . . . . . 9 1680 ∈ ℕ0
9695, 59deccl 12640 . . . . . . . 8 16807 ∈ ℕ0
9796nn0cni 12432 . . . . . . 7 16807 ∈ ℂ
9848, 97mulcomi 11170 . . . . . 6 (9 · 16807) = (16807 · 9)
99 eqid 2737 . . . . . . . 8 16807 = 16807
100 eqid 2737 . . . . . . . . 9 1680 = 1680
10129dec0h 12647 . . . . . . . . 9 6 = 06
102 5nn0 12440 . . . . . . . . . . . 12 5 ∈ ℕ0
10325, 102deccl 12640 . . . . . . . . . . 11 15 ∈ ℕ0
104103, 25deccl 12640 . . . . . . . . . 10 151 ∈ ℕ0
105 eqid 2737 . . . . . . . . . . 11 168 = 168
106 eqid 2737 . . . . . . . . . . . 12 16 = 16
10748mulid2i 11167 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 · 9) = 9
10836addid2i 11350 . . . . . . . . . . . . . 14 (0 + 6) = 6
109107, 108oveq12i 7374 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 · 9) + (0 + 6)) = (9 + 6)
110 9p6e15 12716 . . . . . . . . . . . . 13 (9 + 6) = 15
111109, 110eqtri 2765 . . . . . . . . . . . 12 ((1 · 9) + (0 + 6)) = 15
112 9t6e54 12751 . . . . . . . . . . . . . 14 (9 · 6) = 54
11348, 36, 112mulcomli 11171 . . . . . . . . . . . . 13 (6 · 9) = 54
114 5p1e6 12307 . . . . . . . . . . . . 13 (5 + 1) = 6
115 7p4e11 12701 . . . . . . . . . . . . . 14 (7 + 4) = 11
1168, 49, 115addcomli 11354 . . . . . . . . . . . . 13 (4 + 7) = 11
117102, 21, 59, 113, 114, 25, 116decaddci 12686 . . . . . . . . . . . 12 ((6 · 9) + 7) = 61
11825, 29, 28, 59, 106, 88, 22, 25, 29, 111, 117decmac 12677 . . . . . . . . . . 11 ((16 · 9) + 7) = 151
119 9t8e72 12753 . . . . . . . . . . . 12 (9 · 8) = 72
12048, 35, 119mulcomli 11171 . . . . . . . . . . 11 (8 · 9) = 72
12122, 63, 47, 105, 9, 59, 118, 120decmul1c 12690 . . . . . . . . . 10 (168 · 9) = 1512
12267addid1i 11349 . . . . . . . . . 10 (2 + 0) = 2
123104, 9, 28, 121, 122decaddi 12685 . . . . . . . . 9 ((168 · 9) + 0) = 1512
12448mul02i 11351 . . . . . . . . . . 11 (0 · 9) = 0
125124oveq1i 7372 . . . . . . . . . 10 ((0 · 9) + 6) = (0 + 6)
126125, 108eqtri 2765 . . . . . . . . 9 ((0 · 9) + 6) = 6
12764, 28, 28, 29, 100, 101, 22, 123, 126decma 12676 . . . . . . . 8 ((1680 · 9) + 6) = 15126
128 9t7e63 12752 . . . . . . . . 9 (9 · 7) = 63
12948, 8, 128mulcomli 11171 . . . . . . . 8 (7 · 9) = 63
13022, 95, 59, 99, 41, 29, 127, 129decmul1c 12690 . . . . . . 7 (16807 · 9) = 151263
131104, 9deccl 12640 . . . . . . . . 9 1512 ∈ ℕ0
132131, 29deccl 12640 . . . . . . . 8 15126 ∈ ℕ0
13363, 25deccl 12640 . . . . . . . . . 10 161 ∈ ℕ0
134133, 28deccl 12640 . . . . . . . . 9 1610 ∈ ℕ0
135134, 102deccl 12640 . . . . . . . 8 16105 ∈ ℕ0
136 3lt10 12762 . . . . . . . 8 3 < 10
137 6lt10 12759 . . . . . . . . 9 6 < 10
138 2lt10 12763 . . . . . . . . . 10 2 < 10
139 1lt10 12764 . . . . . . . . . . 11 1 < 10
140 6nn 12249 . . . . . . . . . . . 12 6 ∈ ℕ
141 5lt6 12341 . . . . . . . . . . . 12 5 < 6
14225, 102, 140, 141declt 12653 . . . . . . . . . . 11 15 < 16
143103, 63, 25, 25, 139, 142decltc 12654 . . . . . . . . . 10 151 < 161
144104, 133, 9, 28, 138, 143decltc 12654 . . . . . . . . 9 1512 < 1610
145131, 134, 29, 102, 137, 144decltc 12654 . . . . . . . 8 15126 < 16105
146132, 135, 41, 25, 136, 145decltc 12654 . . . . . . 7 151263 < 161051
147130, 146eqbrtri 5131 . . . . . 6 (16807 · 9) < 161051
14898, 147eqbrtri 5131 . . . . 5 (9 · 16807) < 161051
14994, 148eqbrtri 5131 . . . 4 (9 · (7↑5)) < 161051
1504eqcomi 2746 . . . . . . . 8 5 = (4 + 1)
151150oveq2i 7373 . . . . . . 7 (11↑5) = (11↑(4 + 1))
15225, 25deccl 12640 . . . . . . . . . . 11 11 ∈ ℕ0
153152nn0cni 12432 . . . . . . . . . 10 11 ∈ ℂ
154153, 21pm3.2i 472 . . . . . . . . 9 (11 ∈ ℂ ∧ 4 ∈ ℕ0)
155 expp1 13981 . . . . . . . . 9 ((11 ∈ ℂ ∧ 4 ∈ ℕ0) → (11↑(4 + 1)) = ((11↑4) · 11))
156154, 155ax-mp 5 . . . . . . . 8 (11↑(4 + 1)) = ((11↑4) · 11)
1572eqcomi 2746 . . . . . . . . . . 11 4 = (2 + 2)
158157oveq2i 7373 . . . . . . . . . 10 (11↑4) = (11↑(2 + 2))
159153, 9, 93pm3.2i 1340 . . . . . . . . . . . 12 (11 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ0)
160 expadd 14017 . . . . . . . . . . . 12 ((11 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ0) → (11↑(2 + 2)) = ((11↑2) · (11↑2)))
161159, 160ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (11↑(2 + 2)) = ((11↑2) · (11↑2))
162153sqvali 14091 . . . . . . . . . . . . . 14 (11↑2) = (11 · 11)
163 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . 15 11 = 11
164153mulid2i 11167 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 · 11) = 11
16525, 25, 32, 164decsuc 12656 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 · 11) + 1) = 12
166152, 25, 25, 163, 25, 25, 165, 164decmul1c 12690 . . . . . . . . . . . . . 14 (11 · 11) = 121
167162, 166eqtri 2765 . . . . . . . . . . . . 13 (11↑2) = 121
168167, 167oveq12i 7374 . . . . . . . . . . . 12 ((11↑2) · (11↑2)) = (121 · 121)
16925, 9deccl 12640 . . . . . . . . . . . . . 14 12 ∈ ℕ0
170169, 25deccl 12640 . . . . . . . . . . . . 13 121 ∈ ℕ0
171 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . 13 121 = 121
172 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . 14 12 = 12
173170nn0cni 12432 . . . . . . . . . . . . . . . 16 121 ∈ ℂ
174173mulid2i 11167 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 · 121) = 121
17525dec0h 12647 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 = 01
17667addid2i 11350 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0 + 2) = 2
17749, 86, 4addcomli 11354 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 + 4) = 5
17828, 25, 9, 21, 175, 66, 176, 177decadd 12679 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 + 24) = 25
17925, 9, 9, 172, 2decaddi 12685 . . . . . . . . . . . . . . 15 (12 + 2) = 14
180 5cn 12248 . . . . . . . . . . . . . . . 16 5 ∈ ℂ
181180, 86, 114addcomli 11354 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 + 5) = 6
182169, 25, 9, 102, 174, 178, 179, 181decadd 12679 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 · 121) + (1 + 24)) = 146
1839dec0h 12647 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 = 02
18428, 28nn0addcli 12457 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0 + 0) ∈ ℕ0
185 2t1e2 12323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (2 · 1) = 2
186185oveq1i 7372 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((2 · 1) + 0) = (2 + 0)
187186, 122eqtri 2765 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((2 · 1) + 0) = 2
188 2t2e4 12324 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (2 · 2) = 4
18921dec0h 12647 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 4 = 04
190189eqcomi 2746 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 04 = 4
191188, 190eqtr4i 2768 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (2 · 2) = 04
1929, 25, 9, 172, 21, 28, 187, 191decmul2c 12691 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2 · 12) = 24
19384oveq2i 7373 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (4 + (0 + 0)) = (4 + 0)
19449addid1i 11349 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (4 + 0) = 4
195193, 194eqtri 2765 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (4 + (0 + 0)) = 4
1969, 21, 184, 192, 195decaddi 12685 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2 · 12) + (0 + 0)) = 24
197185oveq1i 7372 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((2 · 1) + 2) = (2 + 2)
198197, 2eqtri 2765 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((2 · 1) + 2) = 4
199198, 190eqtr4i 2768 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2 · 1) + 2) = 04
200169, 25, 28, 9, 171, 183, 9, 21, 28, 196, 199decma2c 12678 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 · 121) + 2) = 244
20125, 9, 25, 9, 172, 172, 170, 21, 60, 182, 200decmac 12677 . . . . . . . . . . . . 13 ((12 · 121) + 12) = 1464
202170, 169, 25, 171, 25, 169, 201, 174decmul1c 12690 . . . . . . . . . . . 12 (121 · 121) = 14641
203168, 202eqtri 2765 . . . . . . . . . . 11 ((11↑2) · (11↑2)) = 14641
204161, 203eqtri 2765 . . . . . . . . . 10 (11↑(2 + 2)) = 14641
205158, 204eqtri 2765 . . . . . . . . 9 (11↑4) = 14641
206205oveq1i 7372 . . . . . . . 8 ((11↑4) · 11) = (14641 · 11)
207156, 206eqtri 2765 . . . . . . 7 (11↑(4 + 1)) = (14641 · 11)
208151, 207eqtri 2765 . . . . . 6 (11↑5) = (14641 · 11)
20925, 21deccl 12640 . . . . . . . . 9 14 ∈ ℕ0
210209, 29deccl 12640 . . . . . . . 8 146 ∈ ℕ0
211210, 21deccl 12640 . . . . . . 7 1464 ∈ ℕ0
212 eqid 2737 . . . . . . 7 14641 = 14641
213 eqid 2737 . . . . . . . 8 1464 = 1464
214 eqid 2737 . . . . . . . . 9 146 = 146
215194, 190eqtr4i 2768 . . . . . . . . . 10 (4 + 0) = 04
21649, 77, 215addcomli 11354 . . . . . . . . 9 (0 + 4) = 04
217 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 14 = 14
2188addid1i 11349 . . . . . . . . . . . 12 (7 + 0) = 7
219218, 89eqtr4i 2768 . . . . . . . . . . 11 (7 + 0) = 07
2208, 77, 219addcomli 11354 . . . . . . . . . 10 (0 + 7) = 07
22128, 102nn0addcli 12457 . . . . . . . . . . 11 (0 + 5) ∈ ℕ0
222180addid2i 11350 . . . . . . . . . . . . 13 (0 + 5) = 5
223222oveq2i 7373 . . . . . . . . . . . 12 (1 + (0 + 5)) = (1 + 5)
224223, 181eqtri 2765 . . . . . . . . . . 11 (1 + (0 + 5)) = 6
22525, 25, 221, 164, 224decaddi 12685 . . . . . . . . . 10 ((1 · 11) + (0 + 5)) = 16
22649mulid1i 11166 . . . . . . . . . . . . 13 (4 · 1) = 4
227 0p1e1 12282 . . . . . . . . . . . . 13 (0 + 1) = 1
228226, 227oveq12i 7374 . . . . . . . . . . . 12 ((4 · 1) + (0 + 1)) = (4 + 1)
229228, 4eqtri 2765 . . . . . . . . . . 11 ((4 · 1) + (0 + 1)) = 5
230226oveq1i 7372 . . . . . . . . . . . 12 ((4 · 1) + 7) = (4 + 7)
231230, 116eqtri 2765 . . . . . . . . . . 11 ((4 · 1) + 7) = 11
23225, 25, 28, 59, 163, 88, 21, 25, 25, 229, 231decma2c 12678 . . . . . . . . . 10 ((4 · 11) + 7) = 51
23325, 21, 28, 59, 217, 220, 152, 25, 102, 225, 232decmac 12677 . . . . . . . . 9 ((14 · 11) + (0 + 7)) = 161
23436mulid1i 11166 . . . . . . . . . . . 12 (6 · 1) = 6
23586addid2i 11350 . . . . . . . . . . . 12 (0 + 1) = 1
236234, 235oveq12i 7374 . . . . . . . . . . 11 ((6 · 1) + (0 + 1)) = (6 + 1)
237 6p1e7 12308 . . . . . . . . . . 11 (6 + 1) = 7
238236, 237eqtri 2765 . . . . . . . . . 10 ((6 · 1) + (0 + 1)) = 7
239 eqid 2737 . . . . . . . . . . . 12 4 = 4
240234, 239oveq12i 7374 . . . . . . . . . . 11 ((6 · 1) + 4) = (6 + 4)
241240, 44eqtri 2765 . . . . . . . . . 10 ((6 · 1) + 4) = 10
24225, 25, 28, 21, 163, 189, 29, 28, 25, 238, 241decma2c 12678 . . . . . . . . 9 ((6 · 11) + 4) = 70
243209, 29, 28, 21, 214, 216, 152, 28, 59, 233, 242decmac 12677 . . . . . . . 8 ((146 · 11) + (0 + 4)) = 1610
244226, 84oveq12i 7374 . . . . . . . . . 10 ((4 · 1) + (0 + 0)) = (4 + 0)
245244, 194eqtri 2765 . . . . . . . . 9 ((4 · 1) + (0 + 0)) = 4
246226oveq1i 7372 . . . . . . . . . . 11 ((4 · 1) + 1) = (4 + 1)
247246, 4eqtri 2765 . . . . . . . . . 10 ((4 · 1) + 1) = 5
248102dec0h 12647 . . . . . . . . . . 11 5 = 05
249248eqcomi 2746 . . . . . . . . . 10 05 = 5
250247, 249eqtr4i 2768 . . . . . . . . 9 ((4 · 1) + 1) = 05
25125, 25, 28, 25, 163, 175, 21, 102, 28, 245, 250decma2c 12678 . . . . . . . 8 ((4 · 11) + 1) = 45
252210, 21, 28, 25, 213, 175, 152, 102, 21, 243, 251decmac 12677 . . . . . . 7 ((1464 · 11) + 1) = 16105
253152, 211, 25, 212, 25, 25, 252, 164decmul1c 12690 . . . . . 6 (14641 · 11) = 161051
254208, 253eqtri 2765 . . . . 5 (11↑5) = 161051
255254eqcomi 2746 . . . 4 161051 = (11↑5)
256149, 255breqtri 5135 . . 3 (9 · (7↑5)) < (11↑5)
257 7re 12253 . . . . . 6 7 ∈ ℝ
258 5nn 12246 . . . . . . 7 5 ∈ ℕ
259258nnzi 12534 . . . . . 6 5 ∈ ℤ
260 7pos 12271 . . . . . 6 0 < 7
261257, 259, 2603pm3.2i 1340 . . . . 5 (7 ∈ ℝ ∧ 5 ∈ ℤ ∧ 0 < 7)
262 expgt0 14008 . . . . 5 ((7 ∈ ℝ ∧ 5 ∈ ℤ ∧ 0 < 7) → 0 < (7↑5))
263261, 262ax-mp 5 . . . 4 0 < (7↑5)
264 9re 12259 . . . . 5 9 ∈ ℝ
265 1nn 12171 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℕ
26625, 265decnncl 12645 . . . . . . . 8 11 ∈ ℕ
267266nnrei 12169 . . . . . . 7 11 ∈ ℝ
268267, 102pm3.2i 472 . . . . . 6 (11 ∈ ℝ ∧ 5 ∈ ℕ0)
269 reexpcl 13991 . . . . . 6 ((11 ∈ ℝ ∧ 5 ∈ ℕ0) → (11↑5) ∈ ℝ)
270268, 269ax-mp 5 . . . . 5 (11↑5) ∈ ℝ
271257, 102pm3.2i 472 . . . . . 6 (7 ∈ ℝ ∧ 5 ∈ ℕ0)
272 reexpcl 13991 . . . . . 6 ((7 ∈ ℝ ∧ 5 ∈ ℕ0) → (7↑5) ∈ ℝ)
273271, 272ax-mp 5 . . . . 5 (7↑5) ∈ ℝ
274264, 270, 273ltmuldivi 12082 . . . 4 (0 < (7↑5) → ((9 · (7↑5)) < (11↑5) ↔ 9 < ((11↑5) / (7↑5))))
275263, 274ax-mp 5 . . 3 ((9 · (7↑5)) < (11↑5) ↔ 9 < ((11↑5) / (7↑5)))
276256, 275mpbi 229 . 2 9 < ((11↑5) / (7↑5))
277153a1i 11 . . . . 5 (⊤ → 11 ∈ ℂ)
2788a1i 11 . . . . 5 (⊤ → 7 ∈ ℂ)
279 0red 11165 . . . . . . 7 (⊤ → 0 ∈ ℝ)
280260a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → 0 < 7)
281279, 280ltned 11298 . . . . . 6 (⊤ → 0 ≠ 7)
282281necomd 3000 . . . . 5 (⊤ → 7 ≠ 0)
283102a1i 11 . . . . 5 (⊤ → 5 ∈ ℕ0)
284277, 278, 282, 283expdivd 14072 . . . 4 (⊤ → ((11 / 7)↑5) = ((11↑5) / (7↑5)))
285284eqcomd 2743 . . 3 (⊤ → ((11↑5) / (7↑5)) = ((11 / 7)↑5))
286285mptru 1549 . 2 ((11↑5) / (7↑5)) = ((11 / 7)↑5)
287276, 286breqtri 5135 1 9 < ((11 / 7)↑5)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 205  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wtru 1543  wcel 2107   class class class wbr 5110  (class class class)co 7362  cc 11056  cr 11057  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061   · cmul 11063   < clt 11196   / cdiv 11819  2c2 12215  3c3 12216  4c4 12217  5c5 12218  6c6 12219  7c7 12220  8c8 12221  9c9 12222  0cn0 12420  cz 12506  cdc 12625  cexp 13974
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-rp 12923  df-seq 13914  df-exp 13975
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