Theorem 3lexlogpow5ineq1 39341

Description: First inequality in inequality chain, proposed by Mario Carneiro (Contributed by metakunt, 22-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
3lexlogpow5ineq1	⊢ 7 < ((3 / 2)↑5)

Proof of Theorem 3lexlogpow5ineq1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2cn 11700	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
2		halfcn 11840	. . . . . . 7 ⊢ (1 / 2) ∈ ℂ
3		5nn0 11905	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℕ0
4	1, 2, 3	3pm3.2i 1336	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ (1 / 2) ∈ ℂ ∧ 5 ∈ ℕ0)
5		mulexp 13464	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ (1 / 2) ∈ ℂ ∧ 5 ∈ ℕ0) → ((2 · (1 / 2))↑5) = ((2↑5) · ((1 / 2)↑5)))
6	4, 5	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ((2 · (1 / 2))↑5) = ((2↑5) · ((1 / 2)↑5))
7	6	oveq2i 7146	. . . 4 ⊢ (7 · ((2 · (1 / 2))↑5)) = (7 · ((2↑5) · ((1 / 2)↑5)))
8		2ne0 11729	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ≠ 0
9	1, 8	recidi 11360	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · (1 / 2)) = 1
10	9	oveq1i 7145	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · (1 / 2))↑5) = (1↑5)
11		1nn0 11901	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℕ0
12		4nn0 11904	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℕ0
13		4p1e5 11771	. . . . . . . 8 ⊢ (4 + 1) = 5
14		2nn0 11902	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℕ0
15		2t2e4 11789	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 · 2) = 4
16		sq1 13554	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1↑2) = 1
17		1t1e1 11787	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 · 1) = 1
18	11, 14, 15, 16, 17	numexp2x 16405	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1↑4) = 1
19	18	oveq1i 7145	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1↑4) · 1) = (1 · 1)
20	19, 17	eqtri 2821	. . . . . . . 8 ⊢ ((1↑4) · 1) = 1
21	11, 12, 13, 20	numexpp1 16404	. . . . . . 7 ⊢ (1↑5) = 1
22	10, 21	eqtri 2821	. . . . . 6 ⊢ ((2 · (1 / 2))↑5) = 1
23	22	oveq2i 7146	. . . . 5 ⊢ (7 · ((2 · (1 / 2))↑5)) = (7 · 1)
24		7cn 11719	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℂ
25	24	mulid1i 10634	. . . . 5 ⊢ (7 · 1) = 7
26	23, 25	eqtri 2821	. . . 4 ⊢ (7 · ((2 · (1 / 2))↑5)) = 7
27	7, 26	eqtr3i 2823	. . 3 ⊢ (7 · ((2↑5) · ((1 / 2)↑5))) = 7
28		2exp5 16412	. . . . . 6 ⊢ (2↑5) = ;32
29		3nn0 11903	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℕ0
30	29, 14	deccl 12101	. . . . . . 7 ⊢ ;32 ∈ ℕ0
31	30	nn0cni 11897	. . . . . 6 ⊢ ;32 ∈ ℂ
32	28, 31	eqeltri 2886	. . . . 5 ⊢ (2↑5) ∈ ℂ
33		halfre 11839	. . . . . . . 8 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
34	33, 3	pm3.2i 474	. . . . . . 7 ⊢ ((1 / 2) ∈ ℝ ∧ 5 ∈ ℕ0)
35		reexpcl 13442	. . . . . . 7 ⊢ (((1 / 2) ∈ ℝ ∧ 5 ∈ ℕ0) → ((1 / 2)↑5) ∈ ℝ)
36	34, 35	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ((1 / 2)↑5) ∈ ℝ
37	36	recni 10644	. . . . 5 ⊢ ((1 / 2)↑5) ∈ ℂ
38	24, 32, 37	mulassi 10641	. . . 4 ⊢ ((7 · (2↑5)) · ((1 / 2)↑5)) = (7 · ((2↑5) · ((1 / 2)↑5)))
39	14, 14	deccl 12101	. . . . . . 7 ⊢ ;22 ∈ ℕ0
40	14, 12	deccl 12101	. . . . . . 7 ⊢ ;24 ∈ ℕ0
41		4lt9 11828	. . . . . . . 8 ⊢ 4 < 9
42		4re 11709	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℝ
43		9re 11724	. . . . . . . . 9 ⊢ 9 ∈ ℝ
44	42, 43	ltlei 10751	. . . . . . . 8 ⊢ (4 < 9 → 4 ≤ 9)
45	41, 44	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ 4 ≤ 9
46		4nn 11708	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℕ
47		2lt4 11800	. . . . . . . 8 ⊢ 2 < 4
48	14, 14, 46, 47	declt 12114	. . . . . . 7 ⊢ ;22 < ;24
49	39, 40, 12, 29, 45, 48	declth 12116	. . . . . 6 ⊢ ;;224 < ;;243
50	31, 24	mulcomi 10638	. . . . . . . . 9 ⊢ (;32 · 7) = (7 · ;32)
51	28	oveq2i 7146	. . . . . . . . 9 ⊢ (7 · (2↑5)) = (7 · ;32)
52	50, 51	eqtr4i 2824	. . . . . . . 8 ⊢ (;32 · 7) = (7 · (2↑5))
53		7nn0 11907	. . . . . . . . 9 ⊢ 7 ∈ ℕ0
54		eqid 2798	. . . . . . . . 9 ⊢ ;32 = ;32
55		1p1e2 11750	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 + 1) = 2
56		3cn 11706	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ∈ ℂ
57		7t3e21 12196	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (7 · 3) = ;21
58	24, 56, 57	mulcomli 10639	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 · 7) = ;21
59	14, 11, 55, 58	decsuc 12117	. . . . . . . . 9 ⊢ ((3 · 7) + 1) = ;22
60		7t2e14 12195	. . . . . . . . . 10 ⊢ (7 · 2) = ;14
61	24, 1, 60	mulcomli 10639	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 · 7) = ;14
62	53, 29, 14, 54, 12, 11, 59, 61	decmul1c 12151	. . . . . . . 8 ⊢ (;32 · 7) = ;;224
63	52, 62	eqtr3i 2823	. . . . . . 7 ⊢ (7 · (2↑5)) = ;;224
64		8nn0 11908	. . . . . . . . 9 ⊢ 8 ∈ ℕ0
65		sq3 13557	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3↑2) = 9
66		9t9e81 12215	. . . . . . . . . 10 ⊢ (9 · 9) = ;81
67	29, 14, 15, 65, 66	numexp2x 16405	. . . . . . . . 9 ⊢ (3↑4) = ;81
68		0nn0 11900	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℕ0
69		8t3e24 12202	. . . . . . . . . 10 ⊢ (8 · 3) = ;24
70		4cn 11710	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 4 ∈ ℂ
71	70	addid1i 10816	. . . . . . . . . 10 ⊢ (4 + 0) = 4
72	14, 12, 68, 69, 71	decaddi 12146	. . . . . . . . 9 ⊢ ((8 · 3) + 0) = ;24
73		ax-1cn 10584	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℂ
74		3t1e3 11790	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (3 · 1) = 3
75	29	dec0h 12108	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 3 = ;03
76	75	eqcomi 2807	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;03 = 3
77	74, 76	eqtr4i 2824	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 · 1) = ;03
78	56, 73, 77	mulcomli 10639	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 · 3) = ;03
79	29, 64, 11, 67, 29, 68, 72, 78	decmul1c 12151	. . . . . . . 8 ⊢ ((3↑4) · 3) = ;;243
80	29, 12, 13, 79	numexpp1 16404	. . . . . . 7 ⊢ (3↑5) = ;;243
81	63, 80	breq12i 5039	. . . . . 6 ⊢ ((7 · (2↑5)) < (3↑5) ↔ ;;224 < ;;243)
82	49, 81	mpbir 234	. . . . 5 ⊢ (7 · (2↑5)) < (3↑5)
83	3	nn0zi 11995	. . . . . . . 8 ⊢ 5 ∈ ℤ
84		halfgt0 11841	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < (1 / 2)
85	33, 83, 84	3pm3.2i 1336	. . . . . . 7 ⊢ ((1 / 2) ∈ ℝ ∧ 5 ∈ ℤ ∧ 0 < (1 / 2))
86		expgt0 13458	. . . . . . 7 ⊢ (((1 / 2) ∈ ℝ ∧ 5 ∈ ℤ ∧ 0 < (1 / 2)) → 0 < ((1 / 2)↑5))
87	85, 86	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 0 < ((1 / 2)↑5)
88		7re 11718	. . . . . . . 8 ⊢ 7 ∈ ℝ
89		2re 11699	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℝ
90	89, 3	pm3.2i 474	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 5 ∈ ℕ0)
91		reexpcl 13442	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 5 ∈ ℕ0) → (2↑5) ∈ ℝ)
92	90, 91	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (2↑5) ∈ ℝ
93	88, 92	remulcli 10646	. . . . . . 7 ⊢ (7 · (2↑5)) ∈ ℝ
94		3re 11705	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℝ
95	94, 3	pm3.2i 474	. . . . . . . 8 ⊢ (3 ∈ ℝ ∧ 5 ∈ ℕ0)
96		reexpcl 13442	. . . . . . . 8 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ 5 ∈ ℕ0) → (3↑5) ∈ ℝ)
97	95, 96	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (3↑5) ∈ ℝ
98	93, 97, 36	ltmul1i 11547	. . . . . 6 ⊢ (0 < ((1 / 2)↑5) → ((7 · (2↑5)) < (3↑5) ↔ ((7 · (2↑5)) · ((1 / 2)↑5)) < ((3↑5) · ((1 / 2)↑5))))
99	87, 98	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ((7 · (2↑5)) < (3↑5) ↔ ((7 · (2↑5)) · ((1 / 2)↑5)) < ((3↑5) · ((1 / 2)↑5)))
100	82, 99	mpbi 233	. . . 4 ⊢ ((7 · (2↑5)) · ((1 / 2)↑5)) < ((3↑5) · ((1 / 2)↑5))
101	38, 100	eqbrtrri 5053	. . 3 ⊢ (7 · ((2↑5) · ((1 / 2)↑5))) < ((3↑5) · ((1 / 2)↑5))
102	27, 101	eqbrtrri 5053	. 2 ⊢ 7 < ((3↑5) · ((1 / 2)↑5))
103	56, 1, 8	divreci 11374	. . . 4 ⊢ (3 / 2) = (3 · (1 / 2))
104	103	oveq1i 7145	. . 3 ⊢ ((3 / 2)↑5) = ((3 · (1 / 2))↑5)
105	56, 2, 3	3pm3.2i 1336	. . . 4 ⊢ (3 ∈ ℂ ∧ (1 / 2) ∈ ℂ ∧ 5 ∈ ℕ0)
106		mulexp 13464	. . . 4 ⊢ ((3 ∈ ℂ ∧ (1 / 2) ∈ ℂ ∧ 5 ∈ ℕ0) → ((3 · (1 / 2))↑5) = ((3↑5) · ((1 / 2)↑5)))
107	105, 106	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((3 · (1 / 2))↑5) = ((3↑5) · ((1 / 2)↑5))
108	104, 107	eqtr2i 2822	. 2 ⊢ ((3↑5) · ((1 / 2)↑5)) = ((3 / 2)↑5)
109	102, 108	breqtri 5055	1 ⊢ 7 < ((3 / 2)↑5)

Syntax hints:   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5030  (class class class)co 7135  ℂcc 10524  ℝcr 10525  0cc0 10526  1c1 10527   · cmul 10531   < clt 10664   ≤ cle 10665   / cdiv 11286  2c2 11680  3c3 11681  4c4 11682  5c5 11683  7c7 11685  8c8 11686  9c9 11687  ℕ₀cn0 11885  ℤcz 11969  ;cdc 12086  ↑cexp 13425

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-rp 12378  df-seq 13365  df-exp 13426

This theorem is referenced by:  3lexlogpow5ineq3  39343