MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abvtrivd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem abvtrivd 20100
Description: The trivial absolute value. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
abvtriv.a 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
abvtriv.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
abvtriv.z 0 = (0g𝑅)
abvtriv.f 𝐹 = (𝑥𝐵 ↦ if(𝑥 = 0 , 0, 1))
abvtrivd.1 · = (.r𝑅)
abvtrivd.2 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
abvtrivd.3 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑦0 ) ∧ (𝑧𝐵𝑧0 )) → (𝑦 · 𝑧) ≠ 0 )
Assertion
Ref Expression
abvtrivd (𝜑𝐹𝐴)
Distinct variable groups:   𝑥, 0   𝑦,𝑧,𝐹   𝑥,𝑦,𝑧,𝜑   𝑥,𝑅,𝑦,𝑧   𝑥, ·   𝑥,𝐵
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦,𝑧)   𝐵(𝑦,𝑧)   · (𝑦,𝑧)   𝐹(𝑥)   0 (𝑦,𝑧)

Proof of Theorem abvtrivd
StepHypRef Expression
1 abvtriv.a . . 3 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
21a1i 11 . 2 (𝜑𝐴 = (AbsVal‘𝑅))
3 abvtriv.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑅)
43a1i 11 . 2 (𝜑𝐵 = (Base‘𝑅))
5 eqidd 2739 . 2 (𝜑 → (+g𝑅) = (+g𝑅))
6 abvtrivd.1 . . 3 · = (.r𝑅)
76a1i 11 . 2 (𝜑· = (.r𝑅))
8 abvtriv.z . . 3 0 = (0g𝑅)
98a1i 11 . 2 (𝜑0 = (0g𝑅))
10 abvtrivd.2 . 2 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
11 0re 10977 . . . . 5 0 ∈ ℝ
12 1re 10975 . . . . 5 1 ∈ ℝ
1311, 12ifcli 4506 . . . 4 if(𝑥 = 0 , 0, 1) ∈ ℝ
1413a1i 11 . . 3 ((𝜑𝑥𝐵) → if(𝑥 = 0 , 0, 1) ∈ ℝ)
15 abvtriv.f . . 3 𝐹 = (𝑥𝐵 ↦ if(𝑥 = 0 , 0, 1))
1614, 15fmptd 6988 . 2 (𝜑𝐹:𝐵⟶ℝ)
173, 8ring0cl 19808 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → 0𝐵)
18 iftrue 4465 . . . 4 (𝑥 = 0 → if(𝑥 = 0 , 0, 1) = 0)
19 c0ex 10969 . . . 4 0 ∈ V
2018, 15, 19fvmpt 6875 . . 3 ( 0𝐵 → (𝐹0 ) = 0)
2110, 17, 203syl 18 . 2 (𝜑 → (𝐹0 ) = 0)
22 0lt1 11497 . . 3 0 < 1
23 eqeq1 2742 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 = 0𝑦 = 0 ))
2423ifbid 4482 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → if(𝑥 = 0 , 0, 1) = if(𝑦 = 0 , 0, 1))
25 1ex 10971 . . . . . . 7 1 ∈ V
2619, 25ifex 4509 . . . . . 6 if(𝑦 = 0 , 0, 1) ∈ V
2724, 15, 26fvmpt 6875 . . . . 5 (𝑦𝐵 → (𝐹𝑦) = if(𝑦 = 0 , 0, 1))
28 ifnefalse 4471 . . . . 5 (𝑦0 → if(𝑦 = 0 , 0, 1) = 1)
2927, 28sylan9eq 2798 . . . 4 ((𝑦𝐵𝑦0 ) → (𝐹𝑦) = 1)
30293adant1 1129 . . 3 ((𝜑𝑦𝐵𝑦0 ) → (𝐹𝑦) = 1)
3122, 30breqtrrid 5112 . 2 ((𝜑𝑦𝐵𝑦0 ) → 0 < (𝐹𝑦))
32 1t1e1 12135 . . . 4 (1 · 1) = 1
3332eqcomi 2747 . . 3 1 = (1 · 1)
34103ad2ant1 1132 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑦0 ) ∧ (𝑧𝐵𝑧0 )) → 𝑅 ∈ Ring)
35 simp2l 1198 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑦0 ) ∧ (𝑧𝐵𝑧0 )) → 𝑦𝐵)
36 simp3l 1200 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑦0 ) ∧ (𝑧𝐵𝑧0 )) → 𝑧𝐵)
373, 6ringcl 19800 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦𝐵𝑧𝐵) → (𝑦 · 𝑧) ∈ 𝐵)
3834, 35, 36, 37syl3anc 1370 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑦0 ) ∧ (𝑧𝐵𝑧0 )) → (𝑦 · 𝑧) ∈ 𝐵)
39 eqeq1 2742 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑦 · 𝑧) → (𝑥 = 0 ↔ (𝑦 · 𝑧) = 0 ))
4039ifbid 4482 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑦 · 𝑧) → if(𝑥 = 0 , 0, 1) = if((𝑦 · 𝑧) = 0 , 0, 1))
4119, 25ifex 4509 . . . . . 6 if((𝑦 · 𝑧) = 0 , 0, 1) ∈ V
4240, 15, 41fvmpt 6875 . . . . 5 ((𝑦 · 𝑧) ∈ 𝐵 → (𝐹‘(𝑦 · 𝑧)) = if((𝑦 · 𝑧) = 0 , 0, 1))
4338, 42syl 17 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑦0 ) ∧ (𝑧𝐵𝑧0 )) → (𝐹‘(𝑦 · 𝑧)) = if((𝑦 · 𝑧) = 0 , 0, 1))
44 abvtrivd.3 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑦0 ) ∧ (𝑧𝐵𝑧0 )) → (𝑦 · 𝑧) ≠ 0 )
4544neneqd 2948 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑦0 ) ∧ (𝑧𝐵𝑧0 )) → ¬ (𝑦 · 𝑧) = 0 )
4645iffalsed 4470 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑦0 ) ∧ (𝑧𝐵𝑧0 )) → if((𝑦 · 𝑧) = 0 , 0, 1) = 1)
4743, 46eqtrd 2778 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑦0 ) ∧ (𝑧𝐵𝑧0 )) → (𝐹‘(𝑦 · 𝑧)) = 1)
4835, 27syl 17 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑦0 ) ∧ (𝑧𝐵𝑧0 )) → (𝐹𝑦) = if(𝑦 = 0 , 0, 1))
49 simp2r 1199 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑦0 ) ∧ (𝑧𝐵𝑧0 )) → 𝑦0 )
5049neneqd 2948 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑦0 ) ∧ (𝑧𝐵𝑧0 )) → ¬ 𝑦 = 0 )
5150iffalsed 4470 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑦0 ) ∧ (𝑧𝐵𝑧0 )) → if(𝑦 = 0 , 0, 1) = 1)
5248, 51eqtrd 2778 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑦0 ) ∧ (𝑧𝐵𝑧0 )) → (𝐹𝑦) = 1)
53 eqeq1 2742 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 = 0𝑧 = 0 ))
5453ifbid 4482 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑧 → if(𝑥 = 0 , 0, 1) = if(𝑧 = 0 , 0, 1))
5519, 25ifex 4509 . . . . . . 7 if(𝑧 = 0 , 0, 1) ∈ V
5654, 15, 55fvmpt 6875 . . . . . 6 (𝑧𝐵 → (𝐹𝑧) = if(𝑧 = 0 , 0, 1))
5736, 56syl 17 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑦0 ) ∧ (𝑧𝐵𝑧0 )) → (𝐹𝑧) = if(𝑧 = 0 , 0, 1))
58 simp3r 1201 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑦0 ) ∧ (𝑧𝐵𝑧0 )) → 𝑧0 )
5958neneqd 2948 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑦0 ) ∧ (𝑧𝐵𝑧0 )) → ¬ 𝑧 = 0 )
6059iffalsed 4470 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑦0 ) ∧ (𝑧𝐵𝑧0 )) → if(𝑧 = 0 , 0, 1) = 1)
6157, 60eqtrd 2778 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑦0 ) ∧ (𝑧𝐵𝑧0 )) → (𝐹𝑧) = 1)
6252, 61oveq12d 7293 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑦0 ) ∧ (𝑧𝐵𝑧0 )) → ((𝐹𝑦) · (𝐹𝑧)) = (1 · 1))
6333, 47, 623eqtr4a 2804 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑦0 ) ∧ (𝑧𝐵𝑧0 )) → (𝐹‘(𝑦 · 𝑧)) = ((𝐹𝑦) · (𝐹𝑧)))
64 breq1 5077 . . . . . 6 (0 = if((𝑦(+g𝑅)𝑧) = 0 , 0, 1) → (0 ≤ 2 ↔ if((𝑦(+g𝑅)𝑧) = 0 , 0, 1) ≤ 2))
65 breq1 5077 . . . . . 6 (1 = if((𝑦(+g𝑅)𝑧) = 0 , 0, 1) → (1 ≤ 2 ↔ if((𝑦(+g𝑅)𝑧) = 0 , 0, 1) ≤ 2))
66 0le2 12075 . . . . . 6 0 ≤ 2
67 1le2 12182 . . . . . 6 1 ≤ 2
6864, 65, 66, 67keephyp 4530 . . . . 5 if((𝑦(+g𝑅)𝑧) = 0 , 0, 1) ≤ 2
69 df-2 12036 . . . . 5 2 = (1 + 1)
7068, 69breqtri 5099 . . . 4 if((𝑦(+g𝑅)𝑧) = 0 , 0, 1) ≤ (1 + 1)
7170a1i 11 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑦0 ) ∧ (𝑧𝐵𝑧0 )) → if((𝑦(+g𝑅)𝑧) = 0 , 0, 1) ≤ (1 + 1))
72 ringgrp 19788 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
7310, 72syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ Grp)
74733ad2ant1 1132 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑦0 ) ∧ (𝑧𝐵𝑧0 )) → 𝑅 ∈ Grp)
75 eqid 2738 . . . . . 6 (+g𝑅) = (+g𝑅)
763, 75grpcl 18585 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑦𝐵𝑧𝐵) → (𝑦(+g𝑅)𝑧) ∈ 𝐵)
7774, 35, 36, 76syl3anc 1370 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑦0 ) ∧ (𝑧𝐵𝑧0 )) → (𝑦(+g𝑅)𝑧) ∈ 𝐵)
78 eqeq1 2742 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑦(+g𝑅)𝑧) → (𝑥 = 0 ↔ (𝑦(+g𝑅)𝑧) = 0 ))
7978ifbid 4482 . . . . 5 (𝑥 = (𝑦(+g𝑅)𝑧) → if(𝑥 = 0 , 0, 1) = if((𝑦(+g𝑅)𝑧) = 0 , 0, 1))
8019, 25ifex 4509 . . . . 5 if((𝑦(+g𝑅)𝑧) = 0 , 0, 1) ∈ V
8179, 15, 80fvmpt 6875 . . . 4 ((𝑦(+g𝑅)𝑧) ∈ 𝐵 → (𝐹‘(𝑦(+g𝑅)𝑧)) = if((𝑦(+g𝑅)𝑧) = 0 , 0, 1))
8277, 81syl 17 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑦0 ) ∧ (𝑧𝐵𝑧0 )) → (𝐹‘(𝑦(+g𝑅)𝑧)) = if((𝑦(+g𝑅)𝑧) = 0 , 0, 1))
8352, 61oveq12d 7293 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑦0 ) ∧ (𝑧𝐵𝑧0 )) → ((𝐹𝑦) + (𝐹𝑧)) = (1 + 1))
8471, 82, 833brtr4d 5106 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑦0 ) ∧ (𝑧𝐵𝑧0 )) → (𝐹‘(𝑦(+g𝑅)𝑧)) ≤ ((𝐹𝑦) + (𝐹𝑧)))
852, 4, 5, 7, 9, 10, 16, 21, 31, 63, 84isabvd 20080 1 (𝜑𝐹𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2106  wne 2943  ifcif 4459   class class class wbr 5074  cmpt 5157  cfv 6433  (class class class)co 7275  cr 10870  0cc0 10871  1c1 10872   + caddc 10874   · cmul 10876   < clt 11009  cle 11010  2c2 12028  Basecbs 16912  +gcplusg 16962  .rcmulr 16963  0gc0g 17150  Grpcgrp 18577  Ringcrg 19783  AbsValcabv 20076
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-ico 13085  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-plusg 16975  df-0g 17152  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-mgp 19721  df-ring 19785  df-abv 20077
This theorem is referenced by:  abvtriv  20101  abvn0b  20573
  Copyright terms: Public domain W3C validator