MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abvtrivd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem abvtrivd 20313
Description: The trivial absolute value. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
abvtriv.a 𝐴 = (AbsValβ€˜π‘…)
abvtriv.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
abvtriv.z 0 = (0gβ€˜π‘…)
abvtriv.f 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ if(π‘₯ = 0 , 0, 1))
abvtrivd.1 Β· = (.rβ€˜π‘…)
abvtrivd.2 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
abvtrivd.3 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  0 )) β†’ (𝑦 Β· 𝑧) β‰  0 )
Assertion
Ref Expression
abvtrivd (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐴)
Distinct variable groups:   π‘₯, 0   𝑦,𝑧,𝐹   π‘₯,𝑦,𝑧,πœ‘   π‘₯,𝑅,𝑦,𝑧   π‘₯, Β·   π‘₯,𝐡
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘₯,𝑦,𝑧)   𝐡(𝑦,𝑧)   Β· (𝑦,𝑧)   𝐹(π‘₯)   0 (𝑦,𝑧)

Proof of Theorem abvtrivd
StepHypRef Expression
1 abvtriv.a . . 3 𝐴 = (AbsValβ€˜π‘…)
21a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐴 = (AbsValβ€˜π‘…))
3 abvtriv.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
43a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…))
5 eqidd 2734 . 2 (πœ‘ β†’ (+gβ€˜π‘…) = (+gβ€˜π‘…))
6 abvtrivd.1 . . 3 Β· = (.rβ€˜π‘…)
76a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ Β· = (.rβ€˜π‘…))
8 abvtriv.z . . 3 0 = (0gβ€˜π‘…)
98a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ 0 = (0gβ€˜π‘…))
10 abvtrivd.2 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
11 0re 11162 . . . . 5 0 ∈ ℝ
12 1re 11160 . . . . 5 1 ∈ ℝ
1311, 12ifcli 4534 . . . 4 if(π‘₯ = 0 , 0, 1) ∈ ℝ
1413a1i 11 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ if(π‘₯ = 0 , 0, 1) ∈ ℝ)
15 abvtriv.f . . 3 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ if(π‘₯ = 0 , 0, 1))
1614, 15fmptd 7063 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΅βŸΆβ„)
173, 8ring0cl 19995 . . 3 (𝑅 ∈ Ring β†’ 0 ∈ 𝐡)
18 iftrue 4493 . . . 4 (π‘₯ = 0 β†’ if(π‘₯ = 0 , 0, 1) = 0)
19 c0ex 11154 . . . 4 0 ∈ V
2018, 15, 19fvmpt 6949 . . 3 ( 0 ∈ 𝐡 β†’ (πΉβ€˜ 0 ) = 0)
2110, 17, 203syl 18 . 2 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜ 0 ) = 0)
22 0lt1 11682 . . 3 0 < 1
23 eqeq1 2737 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (π‘₯ = 0 ↔ 𝑦 = 0 ))
2423ifbid 4510 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑦 β†’ if(π‘₯ = 0 , 0, 1) = if(𝑦 = 0 , 0, 1))
25 1ex 11156 . . . . . . 7 1 ∈ V
2619, 25ifex 4537 . . . . . 6 if(𝑦 = 0 , 0, 1) ∈ V
2724, 15, 26fvmpt 6949 . . . . 5 (𝑦 ∈ 𝐡 β†’ (πΉβ€˜π‘¦) = if(𝑦 = 0 , 0, 1))
28 ifnefalse 4499 . . . . 5 (𝑦 β‰  0 β†’ if(𝑦 = 0 , 0, 1) = 1)
2927, 28sylan9eq 2793 . . . 4 ((𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  0 ) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) = 1)
30293adant1 1131 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  0 ) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) = 1)
3122, 30breqtrrid 5144 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  0 ) β†’ 0 < (πΉβ€˜π‘¦))
32 1t1e1 12320 . . . 4 (1 Β· 1) = 1
3332eqcomi 2742 . . 3 1 = (1 Β· 1)
34103ad2ant1 1134 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  0 )) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
35 simp2l 1200 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  0 )) β†’ 𝑦 ∈ 𝐡)
36 simp3l 1202 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  0 )) β†’ 𝑧 ∈ 𝐡)
373, 6ringcl 19986 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ (𝑦 Β· 𝑧) ∈ 𝐡)
3834, 35, 36, 37syl3anc 1372 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  0 )) β†’ (𝑦 Β· 𝑧) ∈ 𝐡)
39 eqeq1 2737 . . . . . . 7 (π‘₯ = (𝑦 Β· 𝑧) β†’ (π‘₯ = 0 ↔ (𝑦 Β· 𝑧) = 0 ))
4039ifbid 4510 . . . . . 6 (π‘₯ = (𝑦 Β· 𝑧) β†’ if(π‘₯ = 0 , 0, 1) = if((𝑦 Β· 𝑧) = 0 , 0, 1))
4119, 25ifex 4537 . . . . . 6 if((𝑦 Β· 𝑧) = 0 , 0, 1) ∈ V
4240, 15, 41fvmpt 6949 . . . . 5 ((𝑦 Β· 𝑧) ∈ 𝐡 β†’ (πΉβ€˜(𝑦 Β· 𝑧)) = if((𝑦 Β· 𝑧) = 0 , 0, 1))
4338, 42syl 17 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  0 )) β†’ (πΉβ€˜(𝑦 Β· 𝑧)) = if((𝑦 Β· 𝑧) = 0 , 0, 1))
44 abvtrivd.3 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  0 )) β†’ (𝑦 Β· 𝑧) β‰  0 )
4544neneqd 2945 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  0 )) β†’ Β¬ (𝑦 Β· 𝑧) = 0 )
4645iffalsed 4498 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  0 )) β†’ if((𝑦 Β· 𝑧) = 0 , 0, 1) = 1)
4743, 46eqtrd 2773 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  0 )) β†’ (πΉβ€˜(𝑦 Β· 𝑧)) = 1)
4835, 27syl 17 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  0 )) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) = if(𝑦 = 0 , 0, 1))
49 simp2r 1201 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  0 )) β†’ 𝑦 β‰  0 )
5049neneqd 2945 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  0 )) β†’ Β¬ 𝑦 = 0 )
5150iffalsed 4498 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  0 )) β†’ if(𝑦 = 0 , 0, 1) = 1)
5248, 51eqtrd 2773 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  0 )) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) = 1)
53 eqeq1 2737 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑧 β†’ (π‘₯ = 0 ↔ 𝑧 = 0 ))
5453ifbid 4510 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑧 β†’ if(π‘₯ = 0 , 0, 1) = if(𝑧 = 0 , 0, 1))
5519, 25ifex 4537 . . . . . . 7 if(𝑧 = 0 , 0, 1) ∈ V
5654, 15, 55fvmpt 6949 . . . . . 6 (𝑧 ∈ 𝐡 β†’ (πΉβ€˜π‘§) = if(𝑧 = 0 , 0, 1))
5736, 56syl 17 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  0 )) β†’ (πΉβ€˜π‘§) = if(𝑧 = 0 , 0, 1))
58 simp3r 1203 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  0 )) β†’ 𝑧 β‰  0 )
5958neneqd 2945 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  0 )) β†’ Β¬ 𝑧 = 0 )
6059iffalsed 4498 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  0 )) β†’ if(𝑧 = 0 , 0, 1) = 1)
6157, 60eqtrd 2773 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  0 )) β†’ (πΉβ€˜π‘§) = 1)
6252, 61oveq12d 7376 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  0 )) β†’ ((πΉβ€˜π‘¦) Β· (πΉβ€˜π‘§)) = (1 Β· 1))
6333, 47, 623eqtr4a 2799 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  0 )) β†’ (πΉβ€˜(𝑦 Β· 𝑧)) = ((πΉβ€˜π‘¦) Β· (πΉβ€˜π‘§)))
64 breq1 5109 . . . . . 6 (0 = if((𝑦(+gβ€˜π‘…)𝑧) = 0 , 0, 1) β†’ (0 ≀ 2 ↔ if((𝑦(+gβ€˜π‘…)𝑧) = 0 , 0, 1) ≀ 2))
65 breq1 5109 . . . . . 6 (1 = if((𝑦(+gβ€˜π‘…)𝑧) = 0 , 0, 1) β†’ (1 ≀ 2 ↔ if((𝑦(+gβ€˜π‘…)𝑧) = 0 , 0, 1) ≀ 2))
66 0le2 12260 . . . . . 6 0 ≀ 2
67 1le2 12367 . . . . . 6 1 ≀ 2
6864, 65, 66, 67keephyp 4558 . . . . 5 if((𝑦(+gβ€˜π‘…)𝑧) = 0 , 0, 1) ≀ 2
69 df-2 12221 . . . . 5 2 = (1 + 1)
7068, 69breqtri 5131 . . . 4 if((𝑦(+gβ€˜π‘…)𝑧) = 0 , 0, 1) ≀ (1 + 1)
7170a1i 11 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  0 )) β†’ if((𝑦(+gβ€˜π‘…)𝑧) = 0 , 0, 1) ≀ (1 + 1))
72 ringgrp 19974 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑅 ∈ Grp)
7310, 72syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Grp)
74733ad2ant1 1134 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  0 )) β†’ 𝑅 ∈ Grp)
75 eqid 2733 . . . . . 6 (+gβ€˜π‘…) = (+gβ€˜π‘…)
763, 75grpcl 18761 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ (𝑦(+gβ€˜π‘…)𝑧) ∈ 𝐡)
7774, 35, 36, 76syl3anc 1372 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  0 )) β†’ (𝑦(+gβ€˜π‘…)𝑧) ∈ 𝐡)
78 eqeq1 2737 . . . . . 6 (π‘₯ = (𝑦(+gβ€˜π‘…)𝑧) β†’ (π‘₯ = 0 ↔ (𝑦(+gβ€˜π‘…)𝑧) = 0 ))
7978ifbid 4510 . . . . 5 (π‘₯ = (𝑦(+gβ€˜π‘…)𝑧) β†’ if(π‘₯ = 0 , 0, 1) = if((𝑦(+gβ€˜π‘…)𝑧) = 0 , 0, 1))
8019, 25ifex 4537 . . . . 5 if((𝑦(+gβ€˜π‘…)𝑧) = 0 , 0, 1) ∈ V
8179, 15, 80fvmpt 6949 . . . 4 ((𝑦(+gβ€˜π‘…)𝑧) ∈ 𝐡 β†’ (πΉβ€˜(𝑦(+gβ€˜π‘…)𝑧)) = if((𝑦(+gβ€˜π‘…)𝑧) = 0 , 0, 1))
8277, 81syl 17 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  0 )) β†’ (πΉβ€˜(𝑦(+gβ€˜π‘…)𝑧)) = if((𝑦(+gβ€˜π‘…)𝑧) = 0 , 0, 1))
8352, 61oveq12d 7376 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  0 )) β†’ ((πΉβ€˜π‘¦) + (πΉβ€˜π‘§)) = (1 + 1))
8471, 82, 833brtr4d 5138 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  0 )) β†’ (πΉβ€˜(𝑦(+gβ€˜π‘…)𝑧)) ≀ ((πΉβ€˜π‘¦) + (πΉβ€˜π‘§)))
852, 4, 5, 7, 9, 10, 16, 21, 31, 63, 84isabvd 20293 1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  ifcif 4487   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5189  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  β„cr 11055  0cc0 11056  1c1 11057   + caddc 11059   Β· cmul 11061   < clt 11194   ≀ cle 11195  2c2 12213  Basecbs 17088  +gcplusg 17138  .rcmulr 17139  0gc0g 17326  Grpcgrp 18753  Ringcrg 19969  AbsValcabv 20289
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-map 8770  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-2 12221  df-ico 13276  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-plusg 17151  df-0g 17328  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-grp 18756  df-minusg 18757  df-mgp 19902  df-ring 19971  df-abv 20290
This theorem is referenced by:  abvtriv  20314  abvn0b  20788
  Copyright terms: Public domain W3C validator