MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abvtrivd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem abvtrivd 20299
Description: The trivial absolute value. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
abvtriv.a 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
abvtriv.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
abvtriv.z 0 = (0g𝑅)
abvtriv.f 𝐹 = (𝑥𝐵 ↦ if(𝑥 = 0 , 0, 1))
abvtrivd.1 · = (.r𝑅)
abvtrivd.2 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
abvtrivd.3 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑦0 ) ∧ (𝑧𝐵𝑧0 )) → (𝑦 · 𝑧) ≠ 0 )
Assertion
Ref Expression
abvtrivd (𝜑𝐹𝐴)
Distinct variable groups:   𝑥, 0   𝑦,𝑧,𝐹   𝑥,𝑦,𝑧,𝜑   𝑥,𝑅,𝑦,𝑧   𝑥, ·   𝑥,𝐵
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦,𝑧)   𝐵(𝑦,𝑧)   · (𝑦,𝑧)   𝐹(𝑥)   0 (𝑦,𝑧)

Proof of Theorem abvtrivd
StepHypRef Expression
1 abvtriv.a . . 3 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
21a1i 11 . 2 (𝜑𝐴 = (AbsVal‘𝑅))
3 abvtriv.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑅)
43a1i 11 . 2 (𝜑𝐵 = (Base‘𝑅))
5 eqidd 2737 . 2 (𝜑 → (+g𝑅) = (+g𝑅))
6 abvtrivd.1 . . 3 · = (.r𝑅)
76a1i 11 . 2 (𝜑· = (.r𝑅))
8 abvtriv.z . . 3 0 = (0g𝑅)
98a1i 11 . 2 (𝜑0 = (0g𝑅))
10 abvtrivd.2 . 2 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
11 0re 11157 . . . . 5 0 ∈ ℝ
12 1re 11155 . . . . 5 1 ∈ ℝ
1311, 12ifcli 4533 . . . 4 if(𝑥 = 0 , 0, 1) ∈ ℝ
1413a1i 11 . . 3 ((𝜑𝑥𝐵) → if(𝑥 = 0 , 0, 1) ∈ ℝ)
15 abvtriv.f . . 3 𝐹 = (𝑥𝐵 ↦ if(𝑥 = 0 , 0, 1))
1614, 15fmptd 7062 . 2 (𝜑𝐹:𝐵⟶ℝ)
173, 8ring0cl 19990 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → 0𝐵)
18 iftrue 4492 . . . 4 (𝑥 = 0 → if(𝑥 = 0 , 0, 1) = 0)
19 c0ex 11149 . . . 4 0 ∈ V
2018, 15, 19fvmpt 6948 . . 3 ( 0𝐵 → (𝐹0 ) = 0)
2110, 17, 203syl 18 . 2 (𝜑 → (𝐹0 ) = 0)
22 0lt1 11677 . . 3 0 < 1
23 eqeq1 2740 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 = 0𝑦 = 0 ))
2423ifbid 4509 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → if(𝑥 = 0 , 0, 1) = if(𝑦 = 0 , 0, 1))
25 1ex 11151 . . . . . . 7 1 ∈ V
2619, 25ifex 4536 . . . . . 6 if(𝑦 = 0 , 0, 1) ∈ V
2724, 15, 26fvmpt 6948 . . . . 5 (𝑦𝐵 → (𝐹𝑦) = if(𝑦 = 0 , 0, 1))
28 ifnefalse 4498 . . . . 5 (𝑦0 → if(𝑦 = 0 , 0, 1) = 1)
2927, 28sylan9eq 2796 . . . 4 ((𝑦𝐵𝑦0 ) → (𝐹𝑦) = 1)
30293adant1 1130 . . 3 ((𝜑𝑦𝐵𝑦0 ) → (𝐹𝑦) = 1)
3122, 30breqtrrid 5143 . 2 ((𝜑𝑦𝐵𝑦0 ) → 0 < (𝐹𝑦))
32 1t1e1 12315 . . . 4 (1 · 1) = 1
3332eqcomi 2745 . . 3 1 = (1 · 1)
34103ad2ant1 1133 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑦0 ) ∧ (𝑧𝐵𝑧0 )) → 𝑅 ∈ Ring)
35 simp2l 1199 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑦0 ) ∧ (𝑧𝐵𝑧0 )) → 𝑦𝐵)
36 simp3l 1201 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑦0 ) ∧ (𝑧𝐵𝑧0 )) → 𝑧𝐵)
373, 6ringcl 19981 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦𝐵𝑧𝐵) → (𝑦 · 𝑧) ∈ 𝐵)
3834, 35, 36, 37syl3anc 1371 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑦0 ) ∧ (𝑧𝐵𝑧0 )) → (𝑦 · 𝑧) ∈ 𝐵)
39 eqeq1 2740 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑦 · 𝑧) → (𝑥 = 0 ↔ (𝑦 · 𝑧) = 0 ))
4039ifbid 4509 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑦 · 𝑧) → if(𝑥 = 0 , 0, 1) = if((𝑦 · 𝑧) = 0 , 0, 1))
4119, 25ifex 4536 . . . . . 6 if((𝑦 · 𝑧) = 0 , 0, 1) ∈ V
4240, 15, 41fvmpt 6948 . . . . 5 ((𝑦 · 𝑧) ∈ 𝐵 → (𝐹‘(𝑦 · 𝑧)) = if((𝑦 · 𝑧) = 0 , 0, 1))
4338, 42syl 17 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑦0 ) ∧ (𝑧𝐵𝑧0 )) → (𝐹‘(𝑦 · 𝑧)) = if((𝑦 · 𝑧) = 0 , 0, 1))
44 abvtrivd.3 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑦0 ) ∧ (𝑧𝐵𝑧0 )) → (𝑦 · 𝑧) ≠ 0 )
4544neneqd 2948 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑦0 ) ∧ (𝑧𝐵𝑧0 )) → ¬ (𝑦 · 𝑧) = 0 )
4645iffalsed 4497 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑦0 ) ∧ (𝑧𝐵𝑧0 )) → if((𝑦 · 𝑧) = 0 , 0, 1) = 1)
4743, 46eqtrd 2776 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑦0 ) ∧ (𝑧𝐵𝑧0 )) → (𝐹‘(𝑦 · 𝑧)) = 1)
4835, 27syl 17 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑦0 ) ∧ (𝑧𝐵𝑧0 )) → (𝐹𝑦) = if(𝑦 = 0 , 0, 1))
49 simp2r 1200 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑦0 ) ∧ (𝑧𝐵𝑧0 )) → 𝑦0 )
5049neneqd 2948 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑦0 ) ∧ (𝑧𝐵𝑧0 )) → ¬ 𝑦 = 0 )
5150iffalsed 4497 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑦0 ) ∧ (𝑧𝐵𝑧0 )) → if(𝑦 = 0 , 0, 1) = 1)
5248, 51eqtrd 2776 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑦0 ) ∧ (𝑧𝐵𝑧0 )) → (𝐹𝑦) = 1)
53 eqeq1 2740 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 = 0𝑧 = 0 ))
5453ifbid 4509 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑧 → if(𝑥 = 0 , 0, 1) = if(𝑧 = 0 , 0, 1))
5519, 25ifex 4536 . . . . . . 7 if(𝑧 = 0 , 0, 1) ∈ V
5654, 15, 55fvmpt 6948 . . . . . 6 (𝑧𝐵 → (𝐹𝑧) = if(𝑧 = 0 , 0, 1))
5736, 56syl 17 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑦0 ) ∧ (𝑧𝐵𝑧0 )) → (𝐹𝑧) = if(𝑧 = 0 , 0, 1))
58 simp3r 1202 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑦0 ) ∧ (𝑧𝐵𝑧0 )) → 𝑧0 )
5958neneqd 2948 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑦0 ) ∧ (𝑧𝐵𝑧0 )) → ¬ 𝑧 = 0 )
6059iffalsed 4497 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑦0 ) ∧ (𝑧𝐵𝑧0 )) → if(𝑧 = 0 , 0, 1) = 1)
6157, 60eqtrd 2776 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑦0 ) ∧ (𝑧𝐵𝑧0 )) → (𝐹𝑧) = 1)
6252, 61oveq12d 7375 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑦0 ) ∧ (𝑧𝐵𝑧0 )) → ((𝐹𝑦) · (𝐹𝑧)) = (1 · 1))
6333, 47, 623eqtr4a 2802 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑦0 ) ∧ (𝑧𝐵𝑧0 )) → (𝐹‘(𝑦 · 𝑧)) = ((𝐹𝑦) · (𝐹𝑧)))
64 breq1 5108 . . . . . 6 (0 = if((𝑦(+g𝑅)𝑧) = 0 , 0, 1) → (0 ≤ 2 ↔ if((𝑦(+g𝑅)𝑧) = 0 , 0, 1) ≤ 2))
65 breq1 5108 . . . . . 6 (1 = if((𝑦(+g𝑅)𝑧) = 0 , 0, 1) → (1 ≤ 2 ↔ if((𝑦(+g𝑅)𝑧) = 0 , 0, 1) ≤ 2))
66 0le2 12255 . . . . . 6 0 ≤ 2
67 1le2 12362 . . . . . 6 1 ≤ 2
6864, 65, 66, 67keephyp 4557 . . . . 5 if((𝑦(+g𝑅)𝑧) = 0 , 0, 1) ≤ 2
69 df-2 12216 . . . . 5 2 = (1 + 1)
7068, 69breqtri 5130 . . . 4 if((𝑦(+g𝑅)𝑧) = 0 , 0, 1) ≤ (1 + 1)
7170a1i 11 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑦0 ) ∧ (𝑧𝐵𝑧0 )) → if((𝑦(+g𝑅)𝑧) = 0 , 0, 1) ≤ (1 + 1))
72 ringgrp 19969 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
7310, 72syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ Grp)
74733ad2ant1 1133 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑦0 ) ∧ (𝑧𝐵𝑧0 )) → 𝑅 ∈ Grp)
75 eqid 2736 . . . . . 6 (+g𝑅) = (+g𝑅)
763, 75grpcl 18756 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑦𝐵𝑧𝐵) → (𝑦(+g𝑅)𝑧) ∈ 𝐵)
7774, 35, 36, 76syl3anc 1371 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑦0 ) ∧ (𝑧𝐵𝑧0 )) → (𝑦(+g𝑅)𝑧) ∈ 𝐵)
78 eqeq1 2740 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑦(+g𝑅)𝑧) → (𝑥 = 0 ↔ (𝑦(+g𝑅)𝑧) = 0 ))
7978ifbid 4509 . . . . 5 (𝑥 = (𝑦(+g𝑅)𝑧) → if(𝑥 = 0 , 0, 1) = if((𝑦(+g𝑅)𝑧) = 0 , 0, 1))
8019, 25ifex 4536 . . . . 5 if((𝑦(+g𝑅)𝑧) = 0 , 0, 1) ∈ V
8179, 15, 80fvmpt 6948 . . . 4 ((𝑦(+g𝑅)𝑧) ∈ 𝐵 → (𝐹‘(𝑦(+g𝑅)𝑧)) = if((𝑦(+g𝑅)𝑧) = 0 , 0, 1))
8277, 81syl 17 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑦0 ) ∧ (𝑧𝐵𝑧0 )) → (𝐹‘(𝑦(+g𝑅)𝑧)) = if((𝑦(+g𝑅)𝑧) = 0 , 0, 1))
8352, 61oveq12d 7375 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑦0 ) ∧ (𝑧𝐵𝑧0 )) → ((𝐹𝑦) + (𝐹𝑧)) = (1 + 1))
8471, 82, 833brtr4d 5137 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑦0 ) ∧ (𝑧𝐵𝑧0 )) → (𝐹‘(𝑦(+g𝑅)𝑧)) ≤ ((𝐹𝑦) + (𝐹𝑧)))
852, 4, 5, 7, 9, 10, 16, 21, 31, 63, 84isabvd 20279 1 (𝜑𝐹𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  ifcif 4486   class class class wbr 5105  cmpt 5188  cfv 6496  (class class class)co 7357  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056   < clt 11189  cle 11190  2c2 12208  Basecbs 17083  +gcplusg 17133  .rcmulr 17134  0gc0g 17321  Grpcgrp 18748  Ringcrg 19964  AbsValcabv 20275
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-map 8767  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-ico 13270  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-plusg 17146  df-0g 17323  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-mgp 19897  df-ring 19966  df-abv 20276
This theorem is referenced by:  abvtriv  20300  abvn0b  20772
  Copyright terms: Public domain W3C validator