MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abvtrivd Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem abvtrivd 20591
Description: The trivial absolute value. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
abvtriv.a 𝐴 = (AbsValβ€˜π‘…)
abvtriv.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
abvtriv.z 0 = (0gβ€˜π‘…)
abvtriv.f 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ if(π‘₯ = 0 , 0, 1))
abvtrivd.1 Β· = (.rβ€˜π‘…)
abvtrivd.2 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
abvtrivd.3 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  0 )) β†’ (𝑦 Β· 𝑧) β‰  0 )
Assertion
Ref Expression
abvtrivd (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐴)
Distinct variable groups:   π‘₯, 0   𝑦,𝑧,𝐹   π‘₯,𝑦,𝑧,πœ‘   π‘₯,𝑅,𝑦,𝑧   π‘₯, Β·   π‘₯,𝐡
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘₯,𝑦,𝑧)   𝐡(𝑦,𝑧)   Β· (𝑦,𝑧)   𝐹(π‘₯)   0 (𝑦,𝑧)
Proof of Theorem abvtrivd
StepHypRef Expression
1 abvtriv.a . . 3 𝐴 = (AbsValβ€˜π‘…)
21a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐴 = (AbsValβ€˜π‘…))
3 abvtriv.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
43a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…))
5 eqidd 2731 . 2 (πœ‘ β†’ (+gβ€˜π‘…) = (+gβ€˜π‘…))
6 abvtrivd.1 . . 3 Β· = (.rβ€˜π‘…)
76a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ Β· = (.rβ€˜π‘…))
8 abvtriv.z . . 3 0 = (0gβ€˜π‘…)
98a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ 0 = (0gβ€˜π‘…))
10 abvtrivd.2 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
11 0re 11220 . . . . 5 0 ∈ ℝ
12 1re 11218 . . . . 5 1 ∈ ℝ
1311, 12ifcli 4574 . . . 4 if(π‘₯ = 0 , 0, 1) ∈ ℝ
1413a1i 11 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ if(π‘₯ = 0 , 0, 1) ∈ ℝ)
15 abvtriv.f . . 3 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ if(π‘₯ = 0 , 0, 1))
1614, 15fmptd 7114 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΅βŸΆβ„)
173, 8ring0cl 20155 . . 3 (𝑅 ∈ Ring β†’ 0 ∈ 𝐡)
18 iftrue 4533 . . . 4 (π‘₯ = 0 β†’ if(π‘₯ = 0 , 0, 1) = 0)
19 c0ex 11212 . . . 4 0 ∈ V
2018, 15, 19fvmpt 6997 . . 3 ( 0 ∈ 𝐡 β†’ (πΉβ€˜ 0 ) = 0)
2110, 17, 203syl 18 . 2 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜ 0 ) = 0)
22 0lt1 11740 . . 3 0 < 1
23 eqeq1 2734 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (π‘₯ = 0 ↔ 𝑦 = 0 ))
2423ifbid 4550 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑦 β†’ if(π‘₯ = 0 , 0, 1) = if(𝑦 = 0 , 0, 1))
25 1ex 11214 . . . . . . 7 1 ∈ V
2619, 25ifex 4577 . . . . . 6 if(𝑦 = 0 , 0, 1) ∈ V
2724, 15, 26fvmpt 6997 . . . . 5 (𝑦 ∈ 𝐡 β†’ (πΉβ€˜π‘¦) = if(𝑦 = 0 , 0, 1))
28 ifnefalse 4539 . . . . 5 (𝑦 β‰  0 β†’ if(𝑦 = 0 , 0, 1) = 1)
2927, 28sylan9eq 2790 . . . 4 ((𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  0 ) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) = 1)
30293adant1 1128 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  0 ) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) = 1)
3122, 30breqtrrid 5185 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  0 ) β†’ 0 < (πΉβ€˜π‘¦))
32 1t1e1 12378 . . . 4 (1 Β· 1) = 1
3332eqcomi 2739 . . 3 1 = (1 Β· 1)
34103ad2ant1 1131 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  0 )) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
35 simp2l 1197 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  0 )) β†’ 𝑦 ∈ 𝐡)
36 simp3l 1199 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  0 )) β†’ 𝑧 ∈ 𝐡)
373, 6ringcl 20144 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ (𝑦 Β· 𝑧) ∈ 𝐡)
3834, 35, 36, 37syl3anc 1369 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  0 )) β†’ (𝑦 Β· 𝑧) ∈ 𝐡)
39 eqeq1 2734 . . . . . . 7 (π‘₯ = (𝑦 Β· 𝑧) β†’ (π‘₯ = 0 ↔ (𝑦 Β· 𝑧) = 0 ))
4039ifbid 4550 . . . . . 6 (π‘₯ = (𝑦 Β· 𝑧) β†’ if(π‘₯ = 0 , 0, 1) = if((𝑦 Β· 𝑧) = 0 , 0, 1))
4119, 25ifex 4577 . . . . . 6 if((𝑦 Β· 𝑧) = 0 , 0, 1) ∈ V
4240, 15, 41fvmpt 6997 . . . . 5 ((𝑦 Β· 𝑧) ∈ 𝐡 β†’ (πΉβ€˜(𝑦 Β· 𝑧)) = if((𝑦 Β· 𝑧) = 0 , 0, 1))
4338, 42syl 17 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  0 )) β†’ (πΉβ€˜(𝑦 Β· 𝑧)) = if((𝑦 Β· 𝑧) = 0 , 0, 1))
44 abvtrivd.3 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  0 )) β†’ (𝑦 Β· 𝑧) β‰  0 )
4544neneqd 2943 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  0 )) β†’ Β¬ (𝑦 Β· 𝑧) = 0 )
4645iffalsed 4538 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  0 )) β†’ if((𝑦 Β· 𝑧) = 0 , 0, 1) = 1)
4743, 46eqtrd 2770 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  0 )) β†’ (πΉβ€˜(𝑦 Β· 𝑧)) = 1)
4835, 27syl 17 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  0 )) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) = if(𝑦 = 0 , 0, 1))
49 simp2r 1198 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  0 )) β†’ 𝑦 β‰  0 )
5049neneqd 2943 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  0 )) β†’ Β¬ 𝑦 = 0 )
5150iffalsed 4538 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  0 )) β†’ if(𝑦 = 0 , 0, 1) = 1)
5248, 51eqtrd 2770 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  0 )) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) = 1)
53 eqeq1 2734 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑧 β†’ (π‘₯ = 0 ↔ 𝑧 = 0 ))
5453ifbid 4550 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑧 β†’ if(π‘₯ = 0 , 0, 1) = if(𝑧 = 0 , 0, 1))
5519, 25ifex 4577 . . . . . . 7 if(𝑧 = 0 , 0, 1) ∈ V
5654, 15, 55fvmpt 6997 . . . . . 6 (𝑧 ∈ 𝐡 β†’ (πΉβ€˜π‘§) = if(𝑧 = 0 , 0, 1))
5736, 56syl 17 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  0 )) β†’ (πΉβ€˜π‘§) = if(𝑧 = 0 , 0, 1))
58 simp3r 1200 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  0 )) β†’ 𝑧 β‰  0 )
5958neneqd 2943 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  0 )) β†’ Β¬ 𝑧 = 0 )
6059iffalsed 4538 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  0 )) β†’ if(𝑧 = 0 , 0, 1) = 1)
6157, 60eqtrd 2770 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  0 )) β†’ (πΉβ€˜π‘§) = 1)
6252, 61oveq12d 7429 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  0 )) β†’ ((πΉβ€˜π‘¦) Β· (πΉβ€˜π‘§)) = (1 Β· 1))
6333, 47, 623eqtr4a 2796 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  0 )) β†’ (πΉβ€˜(𝑦 Β· 𝑧)) = ((πΉβ€˜π‘¦) Β· (πΉβ€˜π‘§)))
64 breq1 5150 . . . . . 6 (0 = if((𝑦(+gβ€˜π‘…)𝑧) = 0 , 0, 1) β†’ (0 ≀ 2 ↔ if((𝑦(+gβ€˜π‘…)𝑧) = 0 , 0, 1) ≀ 2))
65 breq1 5150 . . . . . 6 (1 = if((𝑦(+gβ€˜π‘…)𝑧) = 0 , 0, 1) β†’ (1 ≀ 2 ↔ if((𝑦(+gβ€˜π‘…)𝑧) = 0 , 0, 1) ≀ 2))
66 0le2 12318 . . . . . 6 0 ≀ 2
67 1le2 12425 . . . . . 6 1 ≀ 2
6864, 65, 66, 67keephyp 4598 . . . . 5 if((𝑦(+gβ€˜π‘…)𝑧) = 0 , 0, 1) ≀ 2
69 df-2 12279 . . . . 5 2 = (1 + 1)
7068, 69breqtri 5172 . . . 4 if((𝑦(+gβ€˜π‘…)𝑧) = 0 , 0, 1) ≀ (1 + 1)
7170a1i 11 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  0 )) β†’ if((𝑦(+gβ€˜π‘…)𝑧) = 0 , 0, 1) ≀ (1 + 1))
72 ringgrp 20132 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑅 ∈ Grp)
7310, 72syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Grp)
74733ad2ant1 1131 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  0 )) β†’ 𝑅 ∈ Grp)
75 eqid 2730 . . . . . 6 (+gβ€˜π‘…) = (+gβ€˜π‘…)
763, 75grpcl 18863 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ (𝑦(+gβ€˜π‘…)𝑧) ∈ 𝐡)
7774, 35, 36, 76syl3anc 1369 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  0 )) β†’ (𝑦(+gβ€˜π‘…)𝑧) ∈ 𝐡)
78 eqeq1 2734 . . . . . 6 (π‘₯ = (𝑦(+gβ€˜π‘…)𝑧) β†’ (π‘₯ = 0 ↔ (𝑦(+gβ€˜π‘…)𝑧) = 0 ))
7978ifbid 4550 . . . . 5 (π‘₯ = (𝑦(+gβ€˜π‘…)𝑧) β†’ if(π‘₯ = 0 , 0, 1) = if((𝑦(+gβ€˜π‘…)𝑧) = 0 , 0, 1))
8019, 25ifex 4577 . . . . 5 if((𝑦(+gβ€˜π‘…)𝑧) = 0 , 0, 1) ∈ V
8179, 15, 80fvmpt 6997 . . . 4 ((𝑦(+gβ€˜π‘…)𝑧) ∈ 𝐡 β†’ (πΉβ€˜(𝑦(+gβ€˜π‘…)𝑧)) = if((𝑦(+gβ€˜π‘…)𝑧) = 0 , 0, 1))
8277, 81syl 17 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  0 )) β†’ (πΉβ€˜(𝑦(+gβ€˜π‘…)𝑧)) = if((𝑦(+gβ€˜π‘…)𝑧) = 0 , 0, 1))
8352, 61oveq12d 7429 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  0 )) β†’ ((πΉβ€˜π‘¦) + (πΉβ€˜π‘§)) = (1 + 1))
8471, 82, 833brtr4d 5179 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  0 )) β†’ (πΉβ€˜(𝑦(+gβ€˜π‘…)𝑧)) ≀ ((πΉβ€˜π‘¦) + (πΉβ€˜π‘§)))
852, 4, 5, 7, 9, 10, 16, 21, 31, 63, 84isabvd 20571 1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   β‰  wne 2938  ifcif 4527   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  β„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   Β· cmul 11117   < clt 11252   ≀ cle 11253  2c2 12271  Basecbs 17148  +gcplusg 17201  .rcmulr 17202  0gc0g 17389  Grpcgrp 18855  Ringcrg 20127  AbsValcabv 20567
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-ico 13334  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-plusg 17214  df-0g 17391  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-cmn 19691  df-abl 19692  df-mgp 20029  df-rng 20047  df-ur 20076  df-ring 20129  df-abv 20568
This theorem is referenced by:  abvtriv  20592  abvn0b  21120
  Copyright terms: Public domain W3C validator