Theorem abvtrivd 20015

Description: The trivial absolute value. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
abvtriv.a	⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
abvtriv.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
abvtriv.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
abvtriv.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑥 = 0 , 0, 1))
abvtrivd.1	⊢ · = (.r‘𝑅)
abvtrivd.2	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
abvtrivd.3	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ 0 )) → (𝑦 · 𝑧) ≠ 0 )

Assertion

Ref	Expression
abvtrivd	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐴)

Distinct variable groups:   𝑥, 0   𝑦,𝑧,𝐹   𝑥,𝑦,𝑧,𝜑   𝑥,𝑅,𝑦,𝑧   𝑥, ·   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦,𝑧)   𝐵(𝑦,𝑧)   · (𝑦,𝑧)   𝐹(𝑥)   0 (𝑦,𝑧)

Proof of Theorem abvtrivd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abvtriv.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (AbsVal‘𝑅))
3		abvtriv.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4	3	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑅))
5		eqidd 2739	. 2 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅))
6		abvtrivd.1	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
7	6	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → · = (.r‘𝑅))
8		abvtriv.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
9	8	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 = (0g‘𝑅))
10		abvtrivd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
11		0re 10908	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
12		1re 10906	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
13	11, 12	ifcli 4503	. . . 4 ⊢ if(𝑥 = 0 , 0, 1) ∈ ℝ
14	13	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → if(𝑥 = 0 , 0, 1) ∈ ℝ)
15		abvtriv.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑥 = 0 , 0, 1))
16	14, 15	fmptd 6970	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵⟶ℝ)
17	3, 8	ring0cl 19723	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 0 ∈ 𝐵)
18		iftrue 4462	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 0 → if(𝑥 = 0 , 0, 1) = 0)
19		c0ex 10900	. . . 4 ⊢ 0 ∈ V
20	18, 15, 19	fvmpt 6857	. . 3 ⊢ ( 0 ∈ 𝐵 → (𝐹‘ 0 ) = 0)
21	10, 17, 20	3syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘ 0 ) = 0)
22		0lt1 11427	. . 3 ⊢ 0 < 1
23		eqeq1 2742	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 = 0 ↔ 𝑦 = 0 ))
24	23	ifbid 4479	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → if(𝑥 = 0 , 0, 1) = if(𝑦 = 0 , 0, 1))
25		1ex 10902	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ V
26	19, 25	ifex 4506	. . . . . 6 ⊢ if(𝑦 = 0 , 0, 1) ∈ V
27	24, 15, 26	fvmpt 6857	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → (𝐹‘𝑦) = if(𝑦 = 0 , 0, 1))
28		ifnefalse 4468	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ≠ 0 → if(𝑦 = 0 , 0, 1) = 1)
29	27, 28	sylan9eq 2799	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) → (𝐹‘𝑦) = 1)
30	29	3adant1 1128	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) → (𝐹‘𝑦) = 1)
31	22, 30	breqtrrid 5108	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) → 0 < (𝐹‘𝑦))
32		1t1e1 12065	. . . 4 ⊢ (1 · 1) = 1
33	32	eqcomi 2747	. . 3 ⊢ 1 = (1 · 1)
34	10	3ad2ant1 1131	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ 0 )) → 𝑅 ∈ Ring)
35		simp2l 1197	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ 0 )) → 𝑦 ∈ 𝐵)
36		simp3l 1199	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ 0 )) → 𝑧 ∈ 𝐵)
37	3, 6	ringcl 19715	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑦 · 𝑧) ∈ 𝐵)
38	34, 35, 36, 37	syl3anc 1369	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ 0 )) → (𝑦 · 𝑧) ∈ 𝐵)
39		eqeq1 2742	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑦 · 𝑧) → (𝑥 = 0 ↔ (𝑦 · 𝑧) = 0 ))
40	39	ifbid 4479	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦 · 𝑧) → if(𝑥 = 0 , 0, 1) = if((𝑦 · 𝑧) = 0 , 0, 1))
41	19, 25	ifex 4506	. . . . . 6 ⊢ if((𝑦 · 𝑧) = 0 , 0, 1) ∈ V
42	40, 15, 41	fvmpt 6857	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 · 𝑧) ∈ 𝐵 → (𝐹‘(𝑦 · 𝑧)) = if((𝑦 · 𝑧) = 0 , 0, 1))
43	38, 42	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ 0 )) → (𝐹‘(𝑦 · 𝑧)) = if((𝑦 · 𝑧) = 0 , 0, 1))
44		abvtrivd.3	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ 0 )) → (𝑦 · 𝑧) ≠ 0 )
45	44	neneqd 2947	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ 0 )) → ¬ (𝑦 · 𝑧) = 0 )
46	45	iffalsed 4467	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ 0 )) → if((𝑦 · 𝑧) = 0 , 0, 1) = 1)
47	43, 46	eqtrd 2778	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ 0 )) → (𝐹‘(𝑦 · 𝑧)) = 1)
48	35, 27	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ 0 )) → (𝐹‘𝑦) = if(𝑦 = 0 , 0, 1))
49		simp2r 1198	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ 0 )) → 𝑦 ≠ 0 )
50	49	neneqd 2947	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ 0 )) → ¬ 𝑦 = 0 )
51	50	iffalsed 4467	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ 0 )) → if(𝑦 = 0 , 0, 1) = 1)
52	48, 51	eqtrd 2778	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ 0 )) → (𝐹‘𝑦) = 1)
53		eqeq1 2742	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 = 0 ↔ 𝑧 = 0 ))
54	53	ifbid 4479	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → if(𝑥 = 0 , 0, 1) = if(𝑧 = 0 , 0, 1))
55	19, 25	ifex 4506	. . . . . . 7 ⊢ if(𝑧 = 0 , 0, 1) ∈ V
56	54, 15, 55	fvmpt 6857	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐵 → (𝐹‘𝑧) = if(𝑧 = 0 , 0, 1))
57	36, 56	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ 0 )) → (𝐹‘𝑧) = if(𝑧 = 0 , 0, 1))
58		simp3r 1200	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ 0 )) → 𝑧 ≠ 0 )
59	58	neneqd 2947	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ 0 )) → ¬ 𝑧 = 0 )
60	59	iffalsed 4467	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ 0 )) → if(𝑧 = 0 , 0, 1) = 1)
61	57, 60	eqtrd 2778	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ 0 )) → (𝐹‘𝑧) = 1)
62	52, 61	oveq12d 7273	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ 0 )) → ((𝐹‘𝑦) · (𝐹‘𝑧)) = (1 · 1))
63	33, 47, 62	3eqtr4a 2805	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ 0 )) → (𝐹‘(𝑦 · 𝑧)) = ((𝐹‘𝑦) · (𝐹‘𝑧)))
64		breq1 5073	. . . . . 6 ⊢ (0 = if((𝑦(+g‘𝑅)𝑧) = 0 , 0, 1) → (0 ≤ 2 ↔ if((𝑦(+g‘𝑅)𝑧) = 0 , 0, 1) ≤ 2))
65		breq1 5073	. . . . . 6 ⊢ (1 = if((𝑦(+g‘𝑅)𝑧) = 0 , 0, 1) → (1 ≤ 2 ↔ if((𝑦(+g‘𝑅)𝑧) = 0 , 0, 1) ≤ 2))
66		0le2 12005	. . . . . 6 ⊢ 0 ≤ 2
67		1le2 12112	. . . . . 6 ⊢ 1 ≤ 2
68	64, 65, 66, 67	keephyp 4527	. . . . 5 ⊢ if((𝑦(+g‘𝑅)𝑧) = 0 , 0, 1) ≤ 2
69		df-2 11966	. . . . 5 ⊢ 2 = (1 + 1)
70	68, 69	breqtri 5095	. . . 4 ⊢ if((𝑦(+g‘𝑅)𝑧) = 0 , 0, 1) ≤ (1 + 1)
71	70	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ 0 )) → if((𝑦(+g‘𝑅)𝑧) = 0 , 0, 1) ≤ (1 + 1))
72		ringgrp 19703	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
73	10, 72	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
74	73	3ad2ant1 1131	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ 0 )) → 𝑅 ∈ Grp)
75		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
76	3, 75	grpcl 18500	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑦(+g‘𝑅)𝑧) ∈ 𝐵)
77	74, 35, 36, 76	syl3anc 1369	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ 0 )) → (𝑦(+g‘𝑅)𝑧) ∈ 𝐵)
78		eqeq1 2742	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦(+g‘𝑅)𝑧) → (𝑥 = 0 ↔ (𝑦(+g‘𝑅)𝑧) = 0 ))
79	78	ifbid 4479	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦(+g‘𝑅)𝑧) → if(𝑥 = 0 , 0, 1) = if((𝑦(+g‘𝑅)𝑧) = 0 , 0, 1))
80	19, 25	ifex 4506	. . . . 5 ⊢ if((𝑦(+g‘𝑅)𝑧) = 0 , 0, 1) ∈ V
81	79, 15, 80	fvmpt 6857	. . . 4 ⊢ ((𝑦(+g‘𝑅)𝑧) ∈ 𝐵 → (𝐹‘(𝑦(+g‘𝑅)𝑧)) = if((𝑦(+g‘𝑅)𝑧) = 0 , 0, 1))
82	77, 81	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ 0 )) → (𝐹‘(𝑦(+g‘𝑅)𝑧)) = if((𝑦(+g‘𝑅)𝑧) = 0 , 0, 1))
83	52, 61	oveq12d 7273	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ 0 )) → ((𝐹‘𝑦) + (𝐹‘𝑧)) = (1 + 1))
84	71, 82, 83	3brtr4d 5102	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ 0 )) → (𝐹‘(𝑦(+g‘𝑅)𝑧)) ≤ ((𝐹‘𝑦) + (𝐹‘𝑧)))
85	2, 4, 5, 7, 9, 10, 16, 21, 31, 63, 84	isabvd 19995	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  ifcif 4456   class class class wbr 5070   ↦ cmpt 5153  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  ℝcr 10801  0cc0 10802  1c1 10803   + caddc 10805   · cmul 10807   < clt 10940   ≤ cle 10941  2c2 11958  Basecbs 16840  +_gcplusg 16888  ._rcmulr 16889  0_gc0g 17067  Grpcgrp 18492  Ringcrg 19698  AbsValcabv 19991

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-map 8575  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-ico 13014  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-plusg 16901  df-0g 17069  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-mgp 19636  df-ring 19700  df-abv 19992

This theorem is referenced by:  abvtriv  20016  abvn0b  20486