Theorem abvtrivd 20679

Description: The trivial absolute value. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
abvtriv.a	⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
abvtriv.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
abvtriv.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
abvtriv.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑥 = 0 , 0, 1))
abvtrivd.1	⊢ · = (.r‘𝑅)
abvtrivd.2	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
abvtrivd.3	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ 0 )) → (𝑦 · 𝑧) ≠ 0 )

Assertion

Ref	Expression
abvtrivd	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐴)

Distinct variable groups:   𝑥, 0   𝑦,𝑧,𝐹   𝑥,𝑦,𝑧,𝜑   𝑥,𝑅,𝑦,𝑧   𝑥, ·   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦,𝑧)   𝐵(𝑦,𝑧)   · (𝑦,𝑧)   𝐹(𝑥)   0 (𝑦,𝑧)

Proof of Theorem abvtrivd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abvtriv.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (AbsVal‘𝑅))
3		abvtriv.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4	3	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑅))
5		eqidd 2732	. 2 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅))
6		abvtrivd.1	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
7	6	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → · = (.r‘𝑅))
8		abvtriv.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
9	8	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 = (0g‘𝑅))
10		abvtrivd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
11		0re 11223	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
12		1re 11221	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
13	11, 12	ifcli 4575	. . . 4 ⊢ if(𝑥 = 0 , 0, 1) ∈ ℝ
14	13	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → if(𝑥 = 0 , 0, 1) ∈ ℝ)
15		abvtriv.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑥 = 0 , 0, 1))
16	14, 15	fmptd 7115	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵⟶ℝ)
17	3, 8	ring0cl 20162	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 0 ∈ 𝐵)
18		iftrue 4534	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 0 → if(𝑥 = 0 , 0, 1) = 0)
19		c0ex 11215	. . . 4 ⊢ 0 ∈ V
20	18, 15, 19	fvmpt 6998	. . 3 ⊢ ( 0 ∈ 𝐵 → (𝐹‘ 0 ) = 0)
21	10, 17, 20	3syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘ 0 ) = 0)
22		0lt1 11743	. . 3 ⊢ 0 < 1
23		eqeq1 2735	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 = 0 ↔ 𝑦 = 0 ))
24	23	ifbid 4551	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → if(𝑥 = 0 , 0, 1) = if(𝑦 = 0 , 0, 1))
25		1ex 11217	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ V
26	19, 25	ifex 4578	. . . . . 6 ⊢ if(𝑦 = 0 , 0, 1) ∈ V
27	24, 15, 26	fvmpt 6998	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → (𝐹‘𝑦) = if(𝑦 = 0 , 0, 1))
28		ifnefalse 4540	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ≠ 0 → if(𝑦 = 0 , 0, 1) = 1)
29	27, 28	sylan9eq 2791	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) → (𝐹‘𝑦) = 1)
30	29	3adant1 1129	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) → (𝐹‘𝑦) = 1)
31	22, 30	breqtrrid 5186	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) → 0 < (𝐹‘𝑦))
32		1t1e1 12381	. . . 4 ⊢ (1 · 1) = 1
33	32	eqcomi 2740	. . 3 ⊢ 1 = (1 · 1)
34	10	3ad2ant1 1132	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ 0 )) → 𝑅 ∈ Ring)
35		simp2l 1198	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ 0 )) → 𝑦 ∈ 𝐵)
36		simp3l 1200	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ 0 )) → 𝑧 ∈ 𝐵)
37	3, 6	ringcl 20151	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑦 · 𝑧) ∈ 𝐵)
38	34, 35, 36, 37	syl3anc 1370	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ 0 )) → (𝑦 · 𝑧) ∈ 𝐵)
39		eqeq1 2735	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑦 · 𝑧) → (𝑥 = 0 ↔ (𝑦 · 𝑧) = 0 ))
40	39	ifbid 4551	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦 · 𝑧) → if(𝑥 = 0 , 0, 1) = if((𝑦 · 𝑧) = 0 , 0, 1))
41	19, 25	ifex 4578	. . . . . 6 ⊢ if((𝑦 · 𝑧) = 0 , 0, 1) ∈ V
42	40, 15, 41	fvmpt 6998	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 · 𝑧) ∈ 𝐵 → (𝐹‘(𝑦 · 𝑧)) = if((𝑦 · 𝑧) = 0 , 0, 1))
43	38, 42	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ 0 )) → (𝐹‘(𝑦 · 𝑧)) = if((𝑦 · 𝑧) = 0 , 0, 1))
44		abvtrivd.3	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ 0 )) → (𝑦 · 𝑧) ≠ 0 )
45	44	neneqd 2944	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ 0 )) → ¬ (𝑦 · 𝑧) = 0 )
46	45	iffalsed 4539	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ 0 )) → if((𝑦 · 𝑧) = 0 , 0, 1) = 1)
47	43, 46	eqtrd 2771	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ 0 )) → (𝐹‘(𝑦 · 𝑧)) = 1)
48	35, 27	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ 0 )) → (𝐹‘𝑦) = if(𝑦 = 0 , 0, 1))
49		simp2r 1199	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ 0 )) → 𝑦 ≠ 0 )
50	49	neneqd 2944	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ 0 )) → ¬ 𝑦 = 0 )
51	50	iffalsed 4539	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ 0 )) → if(𝑦 = 0 , 0, 1) = 1)
52	48, 51	eqtrd 2771	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ 0 )) → (𝐹‘𝑦) = 1)
53		eqeq1 2735	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 = 0 ↔ 𝑧 = 0 ))
54	53	ifbid 4551	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → if(𝑥 = 0 , 0, 1) = if(𝑧 = 0 , 0, 1))
55	19, 25	ifex 4578	. . . . . . 7 ⊢ if(𝑧 = 0 , 0, 1) ∈ V
56	54, 15, 55	fvmpt 6998	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐵 → (𝐹‘𝑧) = if(𝑧 = 0 , 0, 1))
57	36, 56	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ 0 )) → (𝐹‘𝑧) = if(𝑧 = 0 , 0, 1))
58		simp3r 1201	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ 0 )) → 𝑧 ≠ 0 )
59	58	neneqd 2944	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ 0 )) → ¬ 𝑧 = 0 )
60	59	iffalsed 4539	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ 0 )) → if(𝑧 = 0 , 0, 1) = 1)
61	57, 60	eqtrd 2771	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ 0 )) → (𝐹‘𝑧) = 1)
62	52, 61	oveq12d 7430	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ 0 )) → ((𝐹‘𝑦) · (𝐹‘𝑧)) = (1 · 1))
63	33, 47, 62	3eqtr4a 2797	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ 0 )) → (𝐹‘(𝑦 · 𝑧)) = ((𝐹‘𝑦) · (𝐹‘𝑧)))
64		breq1 5151	. . . . . 6 ⊢ (0 = if((𝑦(+g‘𝑅)𝑧) = 0 , 0, 1) → (0 ≤ 2 ↔ if((𝑦(+g‘𝑅)𝑧) = 0 , 0, 1) ≤ 2))
65		breq1 5151	. . . . . 6 ⊢ (1 = if((𝑦(+g‘𝑅)𝑧) = 0 , 0, 1) → (1 ≤ 2 ↔ if((𝑦(+g‘𝑅)𝑧) = 0 , 0, 1) ≤ 2))
66		0le2 12321	. . . . . 6 ⊢ 0 ≤ 2
67		1le2 12428	. . . . . 6 ⊢ 1 ≤ 2
68	64, 65, 66, 67	keephyp 4599	. . . . 5 ⊢ if((𝑦(+g‘𝑅)𝑧) = 0 , 0, 1) ≤ 2
69		df-2 12282	. . . . 5 ⊢ 2 = (1 + 1)
70	68, 69	breqtri 5173	. . . 4 ⊢ if((𝑦(+g‘𝑅)𝑧) = 0 , 0, 1) ≤ (1 + 1)
71	70	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ 0 )) → if((𝑦(+g‘𝑅)𝑧) = 0 , 0, 1) ≤ (1 + 1))
72		ringgrp 20139	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
73	10, 72	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
74	73	3ad2ant1 1132	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ 0 )) → 𝑅 ∈ Grp)
75		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
76	3, 75	grpcl 18869	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑦(+g‘𝑅)𝑧) ∈ 𝐵)
77	74, 35, 36, 76	syl3anc 1370	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ 0 )) → (𝑦(+g‘𝑅)𝑧) ∈ 𝐵)
78		eqeq1 2735	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦(+g‘𝑅)𝑧) → (𝑥 = 0 ↔ (𝑦(+g‘𝑅)𝑧) = 0 ))
79	78	ifbid 4551	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦(+g‘𝑅)𝑧) → if(𝑥 = 0 , 0, 1) = if((𝑦(+g‘𝑅)𝑧) = 0 , 0, 1))
80	19, 25	ifex 4578	. . . . 5 ⊢ if((𝑦(+g‘𝑅)𝑧) = 0 , 0, 1) ∈ V
81	79, 15, 80	fvmpt 6998	. . . 4 ⊢ ((𝑦(+g‘𝑅)𝑧) ∈ 𝐵 → (𝐹‘(𝑦(+g‘𝑅)𝑧)) = if((𝑦(+g‘𝑅)𝑧) = 0 , 0, 1))
82	77, 81	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ 0 )) → (𝐹‘(𝑦(+g‘𝑅)𝑧)) = if((𝑦(+g‘𝑅)𝑧) = 0 , 0, 1))
83	52, 61	oveq12d 7430	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ 0 )) → ((𝐹‘𝑦) + (𝐹‘𝑧)) = (1 + 1))
84	71, 82, 83	3brtr4d 5180	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ 0 )) → (𝐹‘(𝑦(+g‘𝑅)𝑧)) ≤ ((𝐹‘𝑦) + (𝐹‘𝑧)))
85	2, 4, 5, 7, 9, 10, 16, 21, 31, 63, 84	isabvd 20659	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2939  ifcif 4528   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412  ℝcr 11115  0cc0 11116  1c1 11117   + caddc 11119   · cmul 11121   < clt 11255   ≤ cle 11256  2c2 12274  Basecbs 17151  +_gcplusg 17204  ._rcmulr 17205  0_gc0g 17392  Grpcgrp 18861  Ringcrg 20134  AbsValcabv 20655

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-er 8709  df-map 8828  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-nn 12220  df-2 12282  df-ico 13337  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-plusg 17217  df-0g 17394  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-cmn 19698  df-abl 19699  df-mgp 20036  df-rng 20054  df-ur 20083  df-ring 20136  df-abv 20656

This theorem is referenced by:  abvtriv  20680  abvn0b  21209