MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abvtrivd Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem abvtrivd 20734
Description: The trivial absolute value. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
abvtriv.a 𝐴 = (AbsValβ€˜π‘…)
abvtriv.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
abvtriv.z 0 = (0gβ€˜π‘…)
abvtriv.f 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ if(π‘₯ = 0 , 0, 1))
abvtrivd.1 Β· = (.rβ€˜π‘…)
abvtrivd.2 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
abvtrivd.3 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  0 )) β†’ (𝑦 Β· 𝑧) β‰  0 )
Assertion
Ref Expression
abvtrivd (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐴)
Distinct variable groups:   π‘₯, 0   𝑦,𝑧,𝐹   π‘₯,𝑦,𝑧,πœ‘   π‘₯,𝑅,𝑦,𝑧   π‘₯, Β·   π‘₯,𝐡
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘₯,𝑦,𝑧)   𝐡(𝑦,𝑧)   Β· (𝑦,𝑧)   𝐹(π‘₯)   0 (𝑦,𝑧)
Proof of Theorem abvtrivd
StepHypRef Expression
1 abvtriv.a . . 3 𝐴 = (AbsValβ€˜π‘…)
21a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐴 = (AbsValβ€˜π‘…))
3 abvtriv.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
43a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…))
5 eqidd 2729 . 2 (πœ‘ β†’ (+gβ€˜π‘…) = (+gβ€˜π‘…))
6 abvtrivd.1 . . 3 Β· = (.rβ€˜π‘…)
76a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ Β· = (.rβ€˜π‘…))
8 abvtriv.z . . 3 0 = (0gβ€˜π‘…)
98a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ 0 = (0gβ€˜π‘…))
10 abvtrivd.2 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
11 0re 11256 . . . . 5 0 ∈ ℝ
12 1re 11254 . . . . 5 1 ∈ ℝ
1311, 12ifcli 4579 . . . 4 if(π‘₯ = 0 , 0, 1) ∈ ℝ
1413a1i 11 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ if(π‘₯ = 0 , 0, 1) ∈ ℝ)
15 abvtriv.f . . 3 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ if(π‘₯ = 0 , 0, 1))
1614, 15fmptd 7129 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΅βŸΆβ„)
173, 8ring0cl 20217 . . 3 (𝑅 ∈ Ring β†’ 0 ∈ 𝐡)
18 iftrue 4538 . . . 4 (π‘₯ = 0 β†’ if(π‘₯ = 0 , 0, 1) = 0)
19 c0ex 11248 . . . 4 0 ∈ V
2018, 15, 19fvmpt 7010 . . 3 ( 0 ∈ 𝐡 β†’ (πΉβ€˜ 0 ) = 0)
2110, 17, 203syl 18 . 2 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜ 0 ) = 0)
22 0lt1 11776 . . 3 0 < 1
23 eqeq1 2732 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (π‘₯ = 0 ↔ 𝑦 = 0 ))
2423ifbid 4555 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑦 β†’ if(π‘₯ = 0 , 0, 1) = if(𝑦 = 0 , 0, 1))
25 1ex 11250 . . . . . . 7 1 ∈ V
2619, 25ifex 4582 . . . . . 6 if(𝑦 = 0 , 0, 1) ∈ V
2724, 15, 26fvmpt 7010 . . . . 5 (𝑦 ∈ 𝐡 β†’ (πΉβ€˜π‘¦) = if(𝑦 = 0 , 0, 1))
28 ifnefalse 4544 . . . . 5 (𝑦 β‰  0 β†’ if(𝑦 = 0 , 0, 1) = 1)
2927, 28sylan9eq 2788 . . . 4 ((𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  0 ) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) = 1)
30293adant1 1127 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  0 ) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) = 1)
3122, 30breqtrrid 5190 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  0 ) β†’ 0 < (πΉβ€˜π‘¦))
32 1t1e1 12414 . . . 4 (1 Β· 1) = 1
3332eqcomi 2737 . . 3 1 = (1 Β· 1)
34103ad2ant1 1130 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  0 )) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
35 simp2l 1196 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  0 )) β†’ 𝑦 ∈ 𝐡)
36 simp3l 1198 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  0 )) β†’ 𝑧 ∈ 𝐡)
373, 6ringcl 20204 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ (𝑦 Β· 𝑧) ∈ 𝐡)
3834, 35, 36, 37syl3anc 1368 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  0 )) β†’ (𝑦 Β· 𝑧) ∈ 𝐡)
39 eqeq1 2732 . . . . . . 7 (π‘₯ = (𝑦 Β· 𝑧) β†’ (π‘₯ = 0 ↔ (𝑦 Β· 𝑧) = 0 ))
4039ifbid 4555 . . . . . 6 (π‘₯ = (𝑦 Β· 𝑧) β†’ if(π‘₯ = 0 , 0, 1) = if((𝑦 Β· 𝑧) = 0 , 0, 1))
4119, 25ifex 4582 . . . . . 6 if((𝑦 Β· 𝑧) = 0 , 0, 1) ∈ V
4240, 15, 41fvmpt 7010 . . . . 5 ((𝑦 Β· 𝑧) ∈ 𝐡 β†’ (πΉβ€˜(𝑦 Β· 𝑧)) = if((𝑦 Β· 𝑧) = 0 , 0, 1))
4338, 42syl 17 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  0 )) β†’ (πΉβ€˜(𝑦 Β· 𝑧)) = if((𝑦 Β· 𝑧) = 0 , 0, 1))
44 abvtrivd.3 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  0 )) β†’ (𝑦 Β· 𝑧) β‰  0 )
4544neneqd 2942 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  0 )) β†’ Β¬ (𝑦 Β· 𝑧) = 0 )
4645iffalsed 4543 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  0 )) β†’ if((𝑦 Β· 𝑧) = 0 , 0, 1) = 1)
4743, 46eqtrd 2768 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  0 )) β†’ (πΉβ€˜(𝑦 Β· 𝑧)) = 1)
4835, 27syl 17 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  0 )) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) = if(𝑦 = 0 , 0, 1))
49 simp2r 1197 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  0 )) β†’ 𝑦 β‰  0 )
5049neneqd 2942 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  0 )) β†’ Β¬ 𝑦 = 0 )
5150iffalsed 4543 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  0 )) β†’ if(𝑦 = 0 , 0, 1) = 1)
5248, 51eqtrd 2768 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  0 )) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) = 1)
53 eqeq1 2732 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑧 β†’ (π‘₯ = 0 ↔ 𝑧 = 0 ))
5453ifbid 4555 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑧 β†’ if(π‘₯ = 0 , 0, 1) = if(𝑧 = 0 , 0, 1))
5519, 25ifex 4582 . . . . . . 7 if(𝑧 = 0 , 0, 1) ∈ V
5654, 15, 55fvmpt 7010 . . . . . 6 (𝑧 ∈ 𝐡 β†’ (πΉβ€˜π‘§) = if(𝑧 = 0 , 0, 1))
5736, 56syl 17 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  0 )) β†’ (πΉβ€˜π‘§) = if(𝑧 = 0 , 0, 1))
58 simp3r 1199 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  0 )) β†’ 𝑧 β‰  0 )
5958neneqd 2942 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  0 )) β†’ Β¬ 𝑧 = 0 )
6059iffalsed 4543 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  0 )) β†’ if(𝑧 = 0 , 0, 1) = 1)
6157, 60eqtrd 2768 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  0 )) β†’ (πΉβ€˜π‘§) = 1)
6252, 61oveq12d 7444 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  0 )) β†’ ((πΉβ€˜π‘¦) Β· (πΉβ€˜π‘§)) = (1 Β· 1))
6333, 47, 623eqtr4a 2794 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  0 )) β†’ (πΉβ€˜(𝑦 Β· 𝑧)) = ((πΉβ€˜π‘¦) Β· (πΉβ€˜π‘§)))
64 breq1 5155 . . . . . 6 (0 = if((𝑦(+gβ€˜π‘…)𝑧) = 0 , 0, 1) β†’ (0 ≀ 2 ↔ if((𝑦(+gβ€˜π‘…)𝑧) = 0 , 0, 1) ≀ 2))
65 breq1 5155 . . . . . 6 (1 = if((𝑦(+gβ€˜π‘…)𝑧) = 0 , 0, 1) β†’ (1 ≀ 2 ↔ if((𝑦(+gβ€˜π‘…)𝑧) = 0 , 0, 1) ≀ 2))
66 0le2 12354 . . . . . 6 0 ≀ 2
67 1le2 12461 . . . . . 6 1 ≀ 2
6864, 65, 66, 67keephyp 4603 . . . . 5 if((𝑦(+gβ€˜π‘…)𝑧) = 0 , 0, 1) ≀ 2
69 df-2 12315 . . . . 5 2 = (1 + 1)
7068, 69breqtri 5177 . . . 4 if((𝑦(+gβ€˜π‘…)𝑧) = 0 , 0, 1) ≀ (1 + 1)
7170a1i 11 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  0 )) β†’ if((𝑦(+gβ€˜π‘…)𝑧) = 0 , 0, 1) ≀ (1 + 1))
72 ringgrp 20192 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑅 ∈ Grp)
7310, 72syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Grp)
74733ad2ant1 1130 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  0 )) β†’ 𝑅 ∈ Grp)
75 eqid 2728 . . . . . 6 (+gβ€˜π‘…) = (+gβ€˜π‘…)
763, 75grpcl 18912 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ (𝑦(+gβ€˜π‘…)𝑧) ∈ 𝐡)
7774, 35, 36, 76syl3anc 1368 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  0 )) β†’ (𝑦(+gβ€˜π‘…)𝑧) ∈ 𝐡)
78 eqeq1 2732 . . . . . 6 (π‘₯ = (𝑦(+gβ€˜π‘…)𝑧) β†’ (π‘₯ = 0 ↔ (𝑦(+gβ€˜π‘…)𝑧) = 0 ))
7978ifbid 4555 . . . . 5 (π‘₯ = (𝑦(+gβ€˜π‘…)𝑧) β†’ if(π‘₯ = 0 , 0, 1) = if((𝑦(+gβ€˜π‘…)𝑧) = 0 , 0, 1))
8019, 25ifex 4582 . . . . 5 if((𝑦(+gβ€˜π‘…)𝑧) = 0 , 0, 1) ∈ V
8179, 15, 80fvmpt 7010 . . . 4 ((𝑦(+gβ€˜π‘…)𝑧) ∈ 𝐡 β†’ (πΉβ€˜(𝑦(+gβ€˜π‘…)𝑧)) = if((𝑦(+gβ€˜π‘…)𝑧) = 0 , 0, 1))
8277, 81syl 17 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  0 )) β†’ (πΉβ€˜(𝑦(+gβ€˜π‘…)𝑧)) = if((𝑦(+gβ€˜π‘…)𝑧) = 0 , 0, 1))
8352, 61oveq12d 7444 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  0 )) β†’ ((πΉβ€˜π‘¦) + (πΉβ€˜π‘§)) = (1 + 1))
8471, 82, 833brtr4d 5184 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  0 )) β†’ (πΉβ€˜(𝑦(+gβ€˜π‘…)𝑧)) ≀ ((πΉβ€˜π‘¦) + (πΉβ€˜π‘§)))
852, 4, 5, 7, 9, 10, 16, 21, 31, 63, 84isabvd 20714 1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2937  ifcif 4532   class class class wbr 5152   ↦ cmpt 5235  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  β„cr 11147  0cc0 11148  1c1 11149   + caddc 11151   Β· cmul 11153   < clt 11288   ≀ cle 11289  2c2 12307  Basecbs 17189  +gcplusg 17242  .rcmulr 17243  0gc0g 17430  Grpcgrp 18904  Ringcrg 20187  AbsValcabv 20710
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-2nd 8002  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-er 8733  df-map 8855  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-nn 12253  df-2 12315  df-ico 13372  df-sets 17142  df-slot 17160  df-ndx 17172  df-base 17190  df-plusg 17255  df-0g 17432  df-mgm 18609  df-sgrp 18688  df-mnd 18704  df-grp 18907  df-minusg 18908  df-cmn 19751  df-abl 19752  df-mgp 20089  df-rng 20107  df-ur 20136  df-ring 20189  df-abv 20711
This theorem is referenced by:  abvtriv  20735  abvn0b  21266  0ringufd  33265
  Copyright terms: Public domain W3C validator