Theorem abvtrivd 20809

Description: The trivial absolute value. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
abvtriv.a	⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
abvtriv.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
abvtriv.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
abvtriv.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑥 = 0 , 0, 1))
abvtrivd.1	⊢ · = (.r‘𝑅)
abvtrivd.2	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
abvtrivd.3	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ 0 )) → (𝑦 · 𝑧) ≠ 0 )

Assertion

Ref	Expression
abvtrivd	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐴)

Distinct variable groups:   𝑥, 0   𝑦,𝑧,𝐹   𝑥,𝑦,𝑧,𝜑   𝑥,𝑅,𝑦,𝑧   𝑥, ·   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦,𝑧)   𝐵(𝑦,𝑧)   · (𝑦,𝑧)   𝐹(𝑥)   0 (𝑦,𝑧)

Proof of Theorem abvtrivd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abvtriv.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (AbsVal‘𝑅))
3		abvtriv.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4	3	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑅))
5		eqidd 2737	. 2 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅))
6		abvtrivd.1	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
7	6	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → · = (.r‘𝑅))
8		abvtriv.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
9	8	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 = (0g‘𝑅))
10		abvtrivd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
11		0re 11146	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
12		1re 11144	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
13	11, 12	ifcli 4514	. . . 4 ⊢ if(𝑥 = 0 , 0, 1) ∈ ℝ
14	13	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → if(𝑥 = 0 , 0, 1) ∈ ℝ)
15		abvtriv.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑥 = 0 , 0, 1))
16	14, 15	fmptd 7066	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵⟶ℝ)
17	3, 8	ring0cl 20248	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 0 ∈ 𝐵)
18		iftrue 4472	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 0 → if(𝑥 = 0 , 0, 1) = 0)
19		c0ex 11138	. . . 4 ⊢ 0 ∈ V
20	18, 15, 19	fvmpt 6947	. . 3 ⊢ ( 0 ∈ 𝐵 → (𝐹‘ 0 ) = 0)
21	10, 17, 20	3syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘ 0 ) = 0)
22		0lt1 11672	. . 3 ⊢ 0 < 1
23		eqeq1 2740	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 = 0 ↔ 𝑦 = 0 ))
24	23	ifbid 4490	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → if(𝑥 = 0 , 0, 1) = if(𝑦 = 0 , 0, 1))
25		1ex 11140	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ V
26	19, 25	ifex 4517	. . . . . 6 ⊢ if(𝑦 = 0 , 0, 1) ∈ V
27	24, 15, 26	fvmpt 6947	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → (𝐹‘𝑦) = if(𝑦 = 0 , 0, 1))
28		ifnefalse 4478	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ≠ 0 → if(𝑦 = 0 , 0, 1) = 1)
29	27, 28	sylan9eq 2791	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) → (𝐹‘𝑦) = 1)
30	29	3adant1 1131	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) → (𝐹‘𝑦) = 1)
31	22, 30	breqtrrid 5123	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) → 0 < (𝐹‘𝑦))
32		1t1e1 12338	. . . 4 ⊢ (1 · 1) = 1
33	32	eqcomi 2745	. . 3 ⊢ 1 = (1 · 1)
34	10	3ad2ant1 1134	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ 0 )) → 𝑅 ∈ Ring)
35		simp2l 1201	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ 0 )) → 𝑦 ∈ 𝐵)
36		simp3l 1203	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ 0 )) → 𝑧 ∈ 𝐵)
37	3, 6	ringcl 20231	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑦 · 𝑧) ∈ 𝐵)
38	34, 35, 36, 37	syl3anc 1374	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ 0 )) → (𝑦 · 𝑧) ∈ 𝐵)
39		eqeq1 2740	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑦 · 𝑧) → (𝑥 = 0 ↔ (𝑦 · 𝑧) = 0 ))
40	39	ifbid 4490	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦 · 𝑧) → if(𝑥 = 0 , 0, 1) = if((𝑦 · 𝑧) = 0 , 0, 1))
41	19, 25	ifex 4517	. . . . . 6 ⊢ if((𝑦 · 𝑧) = 0 , 0, 1) ∈ V
42	40, 15, 41	fvmpt 6947	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 · 𝑧) ∈ 𝐵 → (𝐹‘(𝑦 · 𝑧)) = if((𝑦 · 𝑧) = 0 , 0, 1))
43	38, 42	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ 0 )) → (𝐹‘(𝑦 · 𝑧)) = if((𝑦 · 𝑧) = 0 , 0, 1))
44		abvtrivd.3	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ 0 )) → (𝑦 · 𝑧) ≠ 0 )
45	44	neneqd 2937	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ 0 )) → ¬ (𝑦 · 𝑧) = 0 )
46	45	iffalsed 4477	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ 0 )) → if((𝑦 · 𝑧) = 0 , 0, 1) = 1)
47	43, 46	eqtrd 2771	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ 0 )) → (𝐹‘(𝑦 · 𝑧)) = 1)
48	35, 27	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ 0 )) → (𝐹‘𝑦) = if(𝑦 = 0 , 0, 1))
49		simp2r 1202	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ 0 )) → 𝑦 ≠ 0 )
50	49	neneqd 2937	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ 0 )) → ¬ 𝑦 = 0 )
51	50	iffalsed 4477	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ 0 )) → if(𝑦 = 0 , 0, 1) = 1)
52	48, 51	eqtrd 2771	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ 0 )) → (𝐹‘𝑦) = 1)
53		eqeq1 2740	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 = 0 ↔ 𝑧 = 0 ))
54	53	ifbid 4490	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → if(𝑥 = 0 , 0, 1) = if(𝑧 = 0 , 0, 1))
55	19, 25	ifex 4517	. . . . . . 7 ⊢ if(𝑧 = 0 , 0, 1) ∈ V
56	54, 15, 55	fvmpt 6947	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐵 → (𝐹‘𝑧) = if(𝑧 = 0 , 0, 1))
57	36, 56	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ 0 )) → (𝐹‘𝑧) = if(𝑧 = 0 , 0, 1))
58		simp3r 1204	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ 0 )) → 𝑧 ≠ 0 )
59	58	neneqd 2937	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ 0 )) → ¬ 𝑧 = 0 )
60	59	iffalsed 4477	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ 0 )) → if(𝑧 = 0 , 0, 1) = 1)
61	57, 60	eqtrd 2771	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ 0 )) → (𝐹‘𝑧) = 1)
62	52, 61	oveq12d 7385	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ 0 )) → ((𝐹‘𝑦) · (𝐹‘𝑧)) = (1 · 1))
63	33, 47, 62	3eqtr4a 2797	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ 0 )) → (𝐹‘(𝑦 · 𝑧)) = ((𝐹‘𝑦) · (𝐹‘𝑧)))
64		breq1 5088	. . . . . 6 ⊢ (0 = if((𝑦(+g‘𝑅)𝑧) = 0 , 0, 1) → (0 ≤ 2 ↔ if((𝑦(+g‘𝑅)𝑧) = 0 , 0, 1) ≤ 2))
65		breq1 5088	. . . . . 6 ⊢ (1 = if((𝑦(+g‘𝑅)𝑧) = 0 , 0, 1) → (1 ≤ 2 ↔ if((𝑦(+g‘𝑅)𝑧) = 0 , 0, 1) ≤ 2))
66		0le2 12283	. . . . . 6 ⊢ 0 ≤ 2
67		1le2 12385	. . . . . 6 ⊢ 1 ≤ 2
68	64, 65, 66, 67	keephyp 4538	. . . . 5 ⊢ if((𝑦(+g‘𝑅)𝑧) = 0 , 0, 1) ≤ 2
69		df-2 12244	. . . . 5 ⊢ 2 = (1 + 1)
70	68, 69	breqtri 5110	. . . 4 ⊢ if((𝑦(+g‘𝑅)𝑧) = 0 , 0, 1) ≤ (1 + 1)
71	70	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ 0 )) → if((𝑦(+g‘𝑅)𝑧) = 0 , 0, 1) ≤ (1 + 1))
72		ringgrp 20219	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
73	10, 72	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
74	73	3ad2ant1 1134	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ 0 )) → 𝑅 ∈ Grp)
75		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
76	3, 75	grpcl 18917	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑦(+g‘𝑅)𝑧) ∈ 𝐵)
77	74, 35, 36, 76	syl3anc 1374	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ 0 )) → (𝑦(+g‘𝑅)𝑧) ∈ 𝐵)
78		eqeq1 2740	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦(+g‘𝑅)𝑧) → (𝑥 = 0 ↔ (𝑦(+g‘𝑅)𝑧) = 0 ))
79	78	ifbid 4490	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦(+g‘𝑅)𝑧) → if(𝑥 = 0 , 0, 1) = if((𝑦(+g‘𝑅)𝑧) = 0 , 0, 1))
80	19, 25	ifex 4517	. . . . 5 ⊢ if((𝑦(+g‘𝑅)𝑧) = 0 , 0, 1) ∈ V
81	79, 15, 80	fvmpt 6947	. . . 4 ⊢ ((𝑦(+g‘𝑅)𝑧) ∈ 𝐵 → (𝐹‘(𝑦(+g‘𝑅)𝑧)) = if((𝑦(+g‘𝑅)𝑧) = 0 , 0, 1))
82	77, 81	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ 0 )) → (𝐹‘(𝑦(+g‘𝑅)𝑧)) = if((𝑦(+g‘𝑅)𝑧) = 0 , 0, 1))
83	52, 61	oveq12d 7385	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ 0 )) → ((𝐹‘𝑦) + (𝐹‘𝑧)) = (1 + 1))
84	71, 82, 83	3brtr4d 5117	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ 0 )) → (𝐹‘(𝑦(+g‘𝑅)𝑧)) ≤ ((𝐹‘𝑦) + (𝐹‘𝑧)))
85	2, 4, 5, 7, 9, 10, 16, 21, 31, 63, 84	isabvd 20789	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932  ifcif 4466   class class class wbr 5085   ↦ cmpt 5166  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  ℝcr 11037  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041   · cmul 11043   < clt 11179   ≤ cle 11180  2c2 12236  Basecbs 17179  +_gcplusg 17220  ._rcmulr 17221  0_gc0g 17402  Grpcgrp 18909  Ringcrg 20214  AbsValcabv 20785

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-map 8775  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-ico 13304  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-plusg 17233  df-0g 17404  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-grp 18912  df-minusg 18913  df-cmn 19757  df-abl 19758  df-mgp 20122  df-rng 20134  df-ur 20163  df-ring 20216  df-abv 20786

This theorem is referenced by:  abvtrivg  20810