Theorem abvtrivd 20756

Description: The trivial absolute value. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
abvtriv.a	⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
abvtriv.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
abvtriv.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
abvtriv.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑥 = 0 , 0, 1))
abvtrivd.1	⊢ · = (.r‘𝑅)
abvtrivd.2	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
abvtrivd.3	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ 0 )) → (𝑦 · 𝑧) ≠ 0 )

Assertion

Ref	Expression
abvtrivd	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐴)

Distinct variable groups:   𝑥, 0   𝑦,𝑧,𝐹   𝑥,𝑦,𝑧,𝜑   𝑥,𝑅,𝑦,𝑧   𝑥, ·   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦,𝑧)   𝐵(𝑦,𝑧)   · (𝑦,𝑧)   𝐹(𝑥)   0 (𝑦,𝑧)

Proof of Theorem abvtrivd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abvtriv.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (AbsVal‘𝑅))
3		abvtriv.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4	3	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑅))
5		eqidd 2734	. 2 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅))
6		abvtrivd.1	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
7	6	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → · = (.r‘𝑅))
8		abvtriv.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
9	8	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 = (0g‘𝑅))
10		abvtrivd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
11		0re 11125	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
12		1re 11123	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
13	11, 12	ifcli 4524	. . . 4 ⊢ if(𝑥 = 0 , 0, 1) ∈ ℝ
14	13	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → if(𝑥 = 0 , 0, 1) ∈ ℝ)
15		abvtriv.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑥 = 0 , 0, 1))
16	14, 15	fmptd 7056	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵⟶ℝ)
17	3, 8	ring0cl 20193	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 0 ∈ 𝐵)
18		iftrue 4482	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 0 → if(𝑥 = 0 , 0, 1) = 0)
19		c0ex 11117	. . . 4 ⊢ 0 ∈ V
20	18, 15, 19	fvmpt 6938	. . 3 ⊢ ( 0 ∈ 𝐵 → (𝐹‘ 0 ) = 0)
21	10, 17, 20	3syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘ 0 ) = 0)
22		0lt1 11650	. . 3 ⊢ 0 < 1
23		eqeq1 2737	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 = 0 ↔ 𝑦 = 0 ))
24	23	ifbid 4500	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → if(𝑥 = 0 , 0, 1) = if(𝑦 = 0 , 0, 1))
25		1ex 11119	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ V
26	19, 25	ifex 4527	. . . . . 6 ⊢ if(𝑦 = 0 , 0, 1) ∈ V
27	24, 15, 26	fvmpt 6938	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → (𝐹‘𝑦) = if(𝑦 = 0 , 0, 1))
28		ifnefalse 4488	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ≠ 0 → if(𝑦 = 0 , 0, 1) = 1)
29	27, 28	sylan9eq 2788	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) → (𝐹‘𝑦) = 1)
30	29	3adant1 1130	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) → (𝐹‘𝑦) = 1)
31	22, 30	breqtrrid 5133	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) → 0 < (𝐹‘𝑦))
32		1t1e1 12293	. . . 4 ⊢ (1 · 1) = 1
33	32	eqcomi 2742	. . 3 ⊢ 1 = (1 · 1)
34	10	3ad2ant1 1133	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ 0 )) → 𝑅 ∈ Ring)
35		simp2l 1200	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ 0 )) → 𝑦 ∈ 𝐵)
36		simp3l 1202	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ 0 )) → 𝑧 ∈ 𝐵)
37	3, 6	ringcl 20176	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑦 · 𝑧) ∈ 𝐵)
38	34, 35, 36, 37	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ 0 )) → (𝑦 · 𝑧) ∈ 𝐵)
39		eqeq1 2737	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑦 · 𝑧) → (𝑥 = 0 ↔ (𝑦 · 𝑧) = 0 ))
40	39	ifbid 4500	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦 · 𝑧) → if(𝑥 = 0 , 0, 1) = if((𝑦 · 𝑧) = 0 , 0, 1))
41	19, 25	ifex 4527	. . . . . 6 ⊢ if((𝑦 · 𝑧) = 0 , 0, 1) ∈ V
42	40, 15, 41	fvmpt 6938	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 · 𝑧) ∈ 𝐵 → (𝐹‘(𝑦 · 𝑧)) = if((𝑦 · 𝑧) = 0 , 0, 1))
43	38, 42	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ 0 )) → (𝐹‘(𝑦 · 𝑧)) = if((𝑦 · 𝑧) = 0 , 0, 1))
44		abvtrivd.3	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ 0 )) → (𝑦 · 𝑧) ≠ 0 )
45	44	neneqd 2934	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ 0 )) → ¬ (𝑦 · 𝑧) = 0 )
46	45	iffalsed 4487	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ 0 )) → if((𝑦 · 𝑧) = 0 , 0, 1) = 1)
47	43, 46	eqtrd 2768	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ 0 )) → (𝐹‘(𝑦 · 𝑧)) = 1)
48	35, 27	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ 0 )) → (𝐹‘𝑦) = if(𝑦 = 0 , 0, 1))
49		simp2r 1201	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ 0 )) → 𝑦 ≠ 0 )
50	49	neneqd 2934	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ 0 )) → ¬ 𝑦 = 0 )
51	50	iffalsed 4487	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ 0 )) → if(𝑦 = 0 , 0, 1) = 1)
52	48, 51	eqtrd 2768	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ 0 )) → (𝐹‘𝑦) = 1)
53		eqeq1 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 = 0 ↔ 𝑧 = 0 ))
54	53	ifbid 4500	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → if(𝑥 = 0 , 0, 1) = if(𝑧 = 0 , 0, 1))
55	19, 25	ifex 4527	. . . . . . 7 ⊢ if(𝑧 = 0 , 0, 1) ∈ V
56	54, 15, 55	fvmpt 6938	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐵 → (𝐹‘𝑧) = if(𝑧 = 0 , 0, 1))
57	36, 56	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ 0 )) → (𝐹‘𝑧) = if(𝑧 = 0 , 0, 1))
58		simp3r 1203	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ 0 )) → 𝑧 ≠ 0 )
59	58	neneqd 2934	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ 0 )) → ¬ 𝑧 = 0 )
60	59	iffalsed 4487	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ 0 )) → if(𝑧 = 0 , 0, 1) = 1)
61	57, 60	eqtrd 2768	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ 0 )) → (𝐹‘𝑧) = 1)
62	52, 61	oveq12d 7373	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ 0 )) → ((𝐹‘𝑦) · (𝐹‘𝑧)) = (1 · 1))
63	33, 47, 62	3eqtr4a 2794	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ 0 )) → (𝐹‘(𝑦 · 𝑧)) = ((𝐹‘𝑦) · (𝐹‘𝑧)))
64		breq1 5098	. . . . . 6 ⊢ (0 = if((𝑦(+g‘𝑅)𝑧) = 0 , 0, 1) → (0 ≤ 2 ↔ if((𝑦(+g‘𝑅)𝑧) = 0 , 0, 1) ≤ 2))
65		breq1 5098	. . . . . 6 ⊢ (1 = if((𝑦(+g‘𝑅)𝑧) = 0 , 0, 1) → (1 ≤ 2 ↔ if((𝑦(+g‘𝑅)𝑧) = 0 , 0, 1) ≤ 2))
66		0le2 12238	. . . . . 6 ⊢ 0 ≤ 2
67		1le2 12340	. . . . . 6 ⊢ 1 ≤ 2
68	64, 65, 66, 67	keephyp 4548	. . . . 5 ⊢ if((𝑦(+g‘𝑅)𝑧) = 0 , 0, 1) ≤ 2
69		df-2 12199	. . . . 5 ⊢ 2 = (1 + 1)
70	68, 69	breqtri 5120	. . . 4 ⊢ if((𝑦(+g‘𝑅)𝑧) = 0 , 0, 1) ≤ (1 + 1)
71	70	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ 0 )) → if((𝑦(+g‘𝑅)𝑧) = 0 , 0, 1) ≤ (1 + 1))
72		ringgrp 20164	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
73	10, 72	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
74	73	3ad2ant1 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ 0 )) → 𝑅 ∈ Grp)
75		eqid 2733	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
76	3, 75	grpcl 18862	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑦(+g‘𝑅)𝑧) ∈ 𝐵)
77	74, 35, 36, 76	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ 0 )) → (𝑦(+g‘𝑅)𝑧) ∈ 𝐵)
78		eqeq1 2737	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦(+g‘𝑅)𝑧) → (𝑥 = 0 ↔ (𝑦(+g‘𝑅)𝑧) = 0 ))
79	78	ifbid 4500	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦(+g‘𝑅)𝑧) → if(𝑥 = 0 , 0, 1) = if((𝑦(+g‘𝑅)𝑧) = 0 , 0, 1))
80	19, 25	ifex 4527	. . . . 5 ⊢ if((𝑦(+g‘𝑅)𝑧) = 0 , 0, 1) ∈ V
81	79, 15, 80	fvmpt 6938	. . . 4 ⊢ ((𝑦(+g‘𝑅)𝑧) ∈ 𝐵 → (𝐹‘(𝑦(+g‘𝑅)𝑧)) = if((𝑦(+g‘𝑅)𝑧) = 0 , 0, 1))
82	77, 81	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ 0 )) → (𝐹‘(𝑦(+g‘𝑅)𝑧)) = if((𝑦(+g‘𝑅)𝑧) = 0 , 0, 1))
83	52, 61	oveq12d 7373	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ 0 )) → ((𝐹‘𝑦) + (𝐹‘𝑧)) = (1 + 1))
84	71, 82, 83	3brtr4d 5127	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ 0 )) → (𝐹‘(𝑦(+g‘𝑅)𝑧)) ≤ ((𝐹‘𝑦) + (𝐹‘𝑧)))
85	2, 4, 5, 7, 9, 10, 16, 21, 31, 63, 84	isabvd 20736	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2929  ifcif 4476   class class class wbr 5095   ↦ cmpt 5176  ‘cfv 6489  (class class class)co 7355  ℝcr 11016  0cc0 11017  1c1 11018   + caddc 11020   · cmul 11022   < clt 11157   ≤ cle 11158  2c2 12191  Basecbs 17127  +_gcplusg 17168  ._rcmulr 17169  0_gc0g 17350  Grpcgrp 18854  Ringcrg 20159  AbsValcabv 20732

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11073  ax-resscn 11074  ax-1cn 11075  ax-icn 11076  ax-addcl 11077  ax-addrcl 11078  ax-mulcl 11079  ax-mulrcl 11080  ax-mulcom 11081  ax-addass 11082  ax-mulass 11083  ax-distr 11084  ax-i2m1 11085  ax-1ne0 11086  ax-1rid 11087  ax-rnegex 11088  ax-rrecex 11089  ax-cnre 11090  ax-pre-lttri 11091  ax-pre-lttrn 11092  ax-pre-ltadd 11093  ax-pre-mulgt0 11094

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-om 7806  df-2nd 7931  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-er 8631  df-map 8761  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11159  df-mnf 11160  df-xr 11161  df-ltxr 11162  df-le 11163  df-sub 11357  df-neg 11358  df-nn 12137  df-2 12199  df-ico 13258  df-sets 17082  df-slot 17100  df-ndx 17112  df-base 17128  df-plusg 17181  df-0g 17352  df-mgm 18556  df-sgrp 18635  df-mnd 18651  df-grp 18857  df-minusg 18858  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20067  df-rng 20079  df-ur 20108  df-ring 20161  df-abv 20733

This theorem is referenced by:  abvtrivg  20757