MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abvtrivd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem abvtrivd 19743
Description: The trivial absolute value. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
abvtriv.a 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
abvtriv.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
abvtriv.z 0 = (0g𝑅)
abvtriv.f 𝐹 = (𝑥𝐵 ↦ if(𝑥 = 0 , 0, 1))
abvtrivd.1 · = (.r𝑅)
abvtrivd.2 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
abvtrivd.3 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑦0 ) ∧ (𝑧𝐵𝑧0 )) → (𝑦 · 𝑧) ≠ 0 )
Assertion
Ref Expression
abvtrivd (𝜑𝐹𝐴)
Distinct variable groups:   𝑥, 0   𝑦,𝑧,𝐹   𝑥,𝑦,𝑧,𝜑   𝑥,𝑅,𝑦,𝑧   𝑥, ·   𝑥,𝐵
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦,𝑧)   𝐵(𝑦,𝑧)   · (𝑦,𝑧)   𝐹(𝑥)   0 (𝑦,𝑧)

Proof of Theorem abvtrivd
StepHypRef Expression
1 abvtriv.a . . 3 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
21a1i 11 . 2 (𝜑𝐴 = (AbsVal‘𝑅))
3 abvtriv.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑅)
43a1i 11 . 2 (𝜑𝐵 = (Base‘𝑅))
5 eqidd 2740 . 2 (𝜑 → (+g𝑅) = (+g𝑅))
6 abvtrivd.1 . . 3 · = (.r𝑅)
76a1i 11 . 2 (𝜑· = (.r𝑅))
8 abvtriv.z . . 3 0 = (0g𝑅)
98a1i 11 . 2 (𝜑0 = (0g𝑅))
10 abvtrivd.2 . 2 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
11 0re 10734 . . . . 5 0 ∈ ℝ
12 1re 10732 . . . . 5 1 ∈ ℝ
1311, 12ifcli 4471 . . . 4 if(𝑥 = 0 , 0, 1) ∈ ℝ
1413a1i 11 . . 3 ((𝜑𝑥𝐵) → if(𝑥 = 0 , 0, 1) ∈ ℝ)
15 abvtriv.f . . 3 𝐹 = (𝑥𝐵 ↦ if(𝑥 = 0 , 0, 1))
1614, 15fmptd 6901 . 2 (𝜑𝐹:𝐵⟶ℝ)
173, 8ring0cl 19454 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → 0𝐵)
18 iftrue 4430 . . . 4 (𝑥 = 0 → if(𝑥 = 0 , 0, 1) = 0)
19 c0ex 10726 . . . 4 0 ∈ V
2018, 15, 19fvmpt 6788 . . 3 ( 0𝐵 → (𝐹0 ) = 0)
2110, 17, 203syl 18 . 2 (𝜑 → (𝐹0 ) = 0)
22 0lt1 11253 . . 3 0 < 1
23 eqeq1 2743 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 = 0𝑦 = 0 ))
2423ifbid 4447 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → if(𝑥 = 0 , 0, 1) = if(𝑦 = 0 , 0, 1))
25 1ex 10728 . . . . . . 7 1 ∈ V
2619, 25ifex 4474 . . . . . 6 if(𝑦 = 0 , 0, 1) ∈ V
2724, 15, 26fvmpt 6788 . . . . 5 (𝑦𝐵 → (𝐹𝑦) = if(𝑦 = 0 , 0, 1))
28 ifnefalse 4436 . . . . 5 (𝑦0 → if(𝑦 = 0 , 0, 1) = 1)
2927, 28sylan9eq 2794 . . . 4 ((𝑦𝐵𝑦0 ) → (𝐹𝑦) = 1)
30293adant1 1131 . . 3 ((𝜑𝑦𝐵𝑦0 ) → (𝐹𝑦) = 1)
3122, 30breqtrrid 5078 . 2 ((𝜑𝑦𝐵𝑦0 ) → 0 < (𝐹𝑦))
32 1t1e1 11891 . . . 4 (1 · 1) = 1
3332eqcomi 2748 . . 3 1 = (1 · 1)
34103ad2ant1 1134 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑦0 ) ∧ (𝑧𝐵𝑧0 )) → 𝑅 ∈ Ring)
35 simp2l 1200 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑦0 ) ∧ (𝑧𝐵𝑧0 )) → 𝑦𝐵)
36 simp3l 1202 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑦0 ) ∧ (𝑧𝐵𝑧0 )) → 𝑧𝐵)
373, 6ringcl 19446 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦𝐵𝑧𝐵) → (𝑦 · 𝑧) ∈ 𝐵)
3834, 35, 36, 37syl3anc 1372 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑦0 ) ∧ (𝑧𝐵𝑧0 )) → (𝑦 · 𝑧) ∈ 𝐵)
39 eqeq1 2743 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑦 · 𝑧) → (𝑥 = 0 ↔ (𝑦 · 𝑧) = 0 ))
4039ifbid 4447 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑦 · 𝑧) → if(𝑥 = 0 , 0, 1) = if((𝑦 · 𝑧) = 0 , 0, 1))
4119, 25ifex 4474 . . . . . 6 if((𝑦 · 𝑧) = 0 , 0, 1) ∈ V
4240, 15, 41fvmpt 6788 . . . . 5 ((𝑦 · 𝑧) ∈ 𝐵 → (𝐹‘(𝑦 · 𝑧)) = if((𝑦 · 𝑧) = 0 , 0, 1))
4338, 42syl 17 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑦0 ) ∧ (𝑧𝐵𝑧0 )) → (𝐹‘(𝑦 · 𝑧)) = if((𝑦 · 𝑧) = 0 , 0, 1))
44 abvtrivd.3 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑦0 ) ∧ (𝑧𝐵𝑧0 )) → (𝑦 · 𝑧) ≠ 0 )
4544neneqd 2940 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑦0 ) ∧ (𝑧𝐵𝑧0 )) → ¬ (𝑦 · 𝑧) = 0 )
4645iffalsed 4435 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑦0 ) ∧ (𝑧𝐵𝑧0 )) → if((𝑦 · 𝑧) = 0 , 0, 1) = 1)
4743, 46eqtrd 2774 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑦0 ) ∧ (𝑧𝐵𝑧0 )) → (𝐹‘(𝑦 · 𝑧)) = 1)
4835, 27syl 17 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑦0 ) ∧ (𝑧𝐵𝑧0 )) → (𝐹𝑦) = if(𝑦 = 0 , 0, 1))
49 simp2r 1201 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑦0 ) ∧ (𝑧𝐵𝑧0 )) → 𝑦0 )
5049neneqd 2940 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑦0 ) ∧ (𝑧𝐵𝑧0 )) → ¬ 𝑦 = 0 )
5150iffalsed 4435 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑦0 ) ∧ (𝑧𝐵𝑧0 )) → if(𝑦 = 0 , 0, 1) = 1)
5248, 51eqtrd 2774 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑦0 ) ∧ (𝑧𝐵𝑧0 )) → (𝐹𝑦) = 1)
53 eqeq1 2743 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 = 0𝑧 = 0 ))
5453ifbid 4447 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑧 → if(𝑥 = 0 , 0, 1) = if(𝑧 = 0 , 0, 1))
5519, 25ifex 4474 . . . . . . 7 if(𝑧 = 0 , 0, 1) ∈ V
5654, 15, 55fvmpt 6788 . . . . . 6 (𝑧𝐵 → (𝐹𝑧) = if(𝑧 = 0 , 0, 1))
5736, 56syl 17 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑦0 ) ∧ (𝑧𝐵𝑧0 )) → (𝐹𝑧) = if(𝑧 = 0 , 0, 1))
58 simp3r 1203 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑦0 ) ∧ (𝑧𝐵𝑧0 )) → 𝑧0 )
5958neneqd 2940 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑦0 ) ∧ (𝑧𝐵𝑧0 )) → ¬ 𝑧 = 0 )
6059iffalsed 4435 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑦0 ) ∧ (𝑧𝐵𝑧0 )) → if(𝑧 = 0 , 0, 1) = 1)
6157, 60eqtrd 2774 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑦0 ) ∧ (𝑧𝐵𝑧0 )) → (𝐹𝑧) = 1)
6252, 61oveq12d 7201 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑦0 ) ∧ (𝑧𝐵𝑧0 )) → ((𝐹𝑦) · (𝐹𝑧)) = (1 · 1))
6333, 47, 623eqtr4a 2800 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑦0 ) ∧ (𝑧𝐵𝑧0 )) → (𝐹‘(𝑦 · 𝑧)) = ((𝐹𝑦) · (𝐹𝑧)))
64 breq1 5043 . . . . . 6 (0 = if((𝑦(+g𝑅)𝑧) = 0 , 0, 1) → (0 ≤ 2 ↔ if((𝑦(+g𝑅)𝑧) = 0 , 0, 1) ≤ 2))
65 breq1 5043 . . . . . 6 (1 = if((𝑦(+g𝑅)𝑧) = 0 , 0, 1) → (1 ≤ 2 ↔ if((𝑦(+g𝑅)𝑧) = 0 , 0, 1) ≤ 2))
66 0le2 11831 . . . . . 6 0 ≤ 2
67 1le2 11938 . . . . . 6 1 ≤ 2
6864, 65, 66, 67keephyp 4495 . . . . 5 if((𝑦(+g𝑅)𝑧) = 0 , 0, 1) ≤ 2
69 df-2 11792 . . . . 5 2 = (1 + 1)
7068, 69breqtri 5065 . . . 4 if((𝑦(+g𝑅)𝑧) = 0 , 0, 1) ≤ (1 + 1)
7170a1i 11 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑦0 ) ∧ (𝑧𝐵𝑧0 )) → if((𝑦(+g𝑅)𝑧) = 0 , 0, 1) ≤ (1 + 1))
72 ringgrp 19434 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
7310, 72syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ Grp)
74733ad2ant1 1134 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑦0 ) ∧ (𝑧𝐵𝑧0 )) → 𝑅 ∈ Grp)
75 eqid 2739 . . . . . 6 (+g𝑅) = (+g𝑅)
763, 75grpcl 18240 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑦𝐵𝑧𝐵) → (𝑦(+g𝑅)𝑧) ∈ 𝐵)
7774, 35, 36, 76syl3anc 1372 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑦0 ) ∧ (𝑧𝐵𝑧0 )) → (𝑦(+g𝑅)𝑧) ∈ 𝐵)
78 eqeq1 2743 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑦(+g𝑅)𝑧) → (𝑥 = 0 ↔ (𝑦(+g𝑅)𝑧) = 0 ))
7978ifbid 4447 . . . . 5 (𝑥 = (𝑦(+g𝑅)𝑧) → if(𝑥 = 0 , 0, 1) = if((𝑦(+g𝑅)𝑧) = 0 , 0, 1))
8019, 25ifex 4474 . . . . 5 if((𝑦(+g𝑅)𝑧) = 0 , 0, 1) ∈ V
8179, 15, 80fvmpt 6788 . . . 4 ((𝑦(+g𝑅)𝑧) ∈ 𝐵 → (𝐹‘(𝑦(+g𝑅)𝑧)) = if((𝑦(+g𝑅)𝑧) = 0 , 0, 1))
8277, 81syl 17 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑦0 ) ∧ (𝑧𝐵𝑧0 )) → (𝐹‘(𝑦(+g𝑅)𝑧)) = if((𝑦(+g𝑅)𝑧) = 0 , 0, 1))
8352, 61oveq12d 7201 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑦0 ) ∧ (𝑧𝐵𝑧0 )) → ((𝐹𝑦) + (𝐹𝑧)) = (1 + 1))
8471, 82, 833brtr4d 5072 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑦0 ) ∧ (𝑧𝐵𝑧0 )) → (𝐹‘(𝑦(+g𝑅)𝑧)) ≤ ((𝐹𝑦) + (𝐹𝑧)))
852, 4, 5, 7, 9, 10, 16, 21, 31, 63, 84isabvd 19723 1 (𝜑𝐹𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2114  wne 2935  ifcif 4424   class class class wbr 5040  cmpt 5120  cfv 6350  (class class class)co 7183  cr 10627  0cc0 10628  1c1 10629   + caddc 10631   · cmul 10633   < clt 10766  cle 10767  2c2 11784  Basecbs 16599  +gcplusg 16681  .rcmulr 16682  0gc0g 16829  Grpcgrp 18232  Ringcrg 19429  AbsValcabv 19719
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7492  ax-cnex 10684  ax-resscn 10685  ax-1cn 10686  ax-icn 10687  ax-addcl 10688  ax-addrcl 10689  ax-mulcl 10690  ax-mulrcl 10691  ax-mulcom 10692  ax-addass 10693  ax-mulass 10694  ax-distr 10695  ax-i2m1 10696  ax-1ne0 10697  ax-1rid 10698  ax-rnegex 10699  ax-rrecex 10700  ax-cnre 10701  ax-pre-lttri 10702  ax-pre-lttrn 10703  ax-pre-ltadd 10704  ax-pre-mulgt0 10705
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3402  df-sbc 3686  df-csb 3801  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4222  df-if 4425  df-pw 4500  df-sn 4527  df-pr 4529  df-tp 4531  df-op 4533  df-uni 4807  df-iun 4893  df-br 5041  df-opab 5103  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5439  df-eprel 5444  df-po 5452  df-so 5453  df-fr 5493  df-we 5495  df-xp 5541  df-rel 5542  df-cnv 5543  df-co 5544  df-dm 5545  df-rn 5546  df-res 5547  df-ima 5548  df-pred 6139  df-ord 6186  df-on 6187  df-lim 6188  df-suc 6189  df-iota 6308  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-riota 7140  df-ov 7186  df-oprab 7187  df-mpo 7188  df-om 7613  df-wrecs 7989  df-recs 8050  df-rdg 8088  df-er 8333  df-map 8452  df-en 8569  df-dom 8570  df-sdom 8571  df-pnf 10768  df-mnf 10769  df-xr 10770  df-ltxr 10771  df-le 10772  df-sub 10963  df-neg 10964  df-nn 11730  df-2 11792  df-ico 12840  df-ndx 16602  df-slot 16603  df-base 16605  df-sets 16606  df-plusg 16694  df-0g 16831  df-mgm 17981  df-sgrp 18030  df-mnd 18041  df-grp 18235  df-minusg 18236  df-mgp 19372  df-ring 19431  df-abv 19720
This theorem is referenced by:  abvtriv  19744  abvn0b  20207
  Copyright terms: Public domain W3C validator