MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sin4lt0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sin4lt0 16145
Description: The sine of 4 is negative. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.)
Assertion
Ref Expression
sin4lt0 (sin‘4) < 0

Proof of Theorem sin4lt0
StepHypRef Expression
1 2t2e4 12380 . . . 4 (2 · 2) = 4
21fveq2i 6888 . . 3 (sin‘(2 · 2)) = (sin‘4)
3 2cn 12291 . . . 4 2 ∈ ℂ
4 sin2t 16127 . . . 4 (2 ∈ ℂ → (sin‘(2 · 2)) = (2 · ((sin‘2) · (cos‘2))))
53, 4ax-mp 5 . . 3 (sin‘(2 · 2)) = (2 · ((sin‘2) · (cos‘2)))
62, 5eqtr3i 2756 . 2 (sin‘4) = (2 · ((sin‘2) · (cos‘2)))
7 sincos2sgn 16144 . . . . . . 7 (0 < (sin‘2) ∧ (cos‘2) < 0)
87simpri 485 . . . . . 6 (cos‘2) < 0
9 2re 12290 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ
10 recoscl 16091 . . . . . . . 8 (2 ∈ ℝ → (cos‘2) ∈ ℝ)
119, 10ax-mp 5 . . . . . . 7 (cos‘2) ∈ ℝ
12 0re 11220 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ
13 resincl 16090 . . . . . . . . 9 (2 ∈ ℝ → (sin‘2) ∈ ℝ)
149, 13ax-mp 5 . . . . . . . 8 (sin‘2) ∈ ℝ
157simpli 483 . . . . . . . 8 0 < (sin‘2)
1614, 15pm3.2i 470 . . . . . . 7 ((sin‘2) ∈ ℝ ∧ 0 < (sin‘2))
17 ltmul2 12069 . . . . . . 7 (((cos‘2) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ ((sin‘2) ∈ ℝ ∧ 0 < (sin‘2))) → ((cos‘2) < 0 ↔ ((sin‘2) · (cos‘2)) < ((sin‘2) · 0)))
1811, 12, 16, 17mp3an 1457 . . . . . 6 ((cos‘2) < 0 ↔ ((sin‘2) · (cos‘2)) < ((sin‘2) · 0))
198, 18mpbi 229 . . . . 5 ((sin‘2) · (cos‘2)) < ((sin‘2) · 0)
2014recni 11232 . . . . . 6 (sin‘2) ∈ ℂ
2120mul01i 11408 . . . . 5 ((sin‘2) · 0) = 0
2219, 21breqtri 5166 . . . 4 ((sin‘2) · (cos‘2)) < 0
2314, 11remulcli 11234 . . . . 5 ((sin‘2) · (cos‘2)) ∈ ℝ
24 2pos 12319 . . . . . 6 0 < 2
259, 24pm3.2i 470 . . . . 5 (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
26 ltmul2 12069 . . . . 5 ((((sin‘2) · (cos‘2)) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (((sin‘2) · (cos‘2)) < 0 ↔ (2 · ((sin‘2) · (cos‘2))) < (2 · 0)))
2723, 12, 25, 26mp3an 1457 . . . 4 (((sin‘2) · (cos‘2)) < 0 ↔ (2 · ((sin‘2) · (cos‘2))) < (2 · 0))
2822, 27mpbi 229 . . 3 (2 · ((sin‘2) · (cos‘2))) < (2 · 0)
293mul01i 11408 . . 3 (2 · 0) = 0
3028, 29breqtri 5166 . 2 (2 · ((sin‘2) · (cos‘2))) < 0
316, 30eqbrtri 5162 1 (sin‘4) < 0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 205  wa 395   = wceq 1533  wcel 2098   class class class wbr 5141  cfv 6537  (class class class)co 7405  cc 11110  cr 11111  0cc0 11112   · cmul 11117   < clt 11252  2c2 12271  4c4 12273  sincsin 16013  cosccos 16014
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12981  df-ioc 13335  df-ico 13336  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-fl 13763  df-seq 13973  df-exp 14033  df-fac 14239  df-bc 14268  df-hash 14296  df-shft 15020  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-limsup 15421  df-clim 15438  df-rlim 15439  df-sum 15639  df-ef 16017  df-sin 16019  df-cos 16020
This theorem is referenced by:  pilem3  26345
  Copyright terms: Public domain W3C validator