Theorem sin4lt0 16163

Description: The sine of 4 is negative. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.)

Assertion

Ref	Expression
sin4lt0	⊢ (sin‘4) < 0

Proof of Theorem sin4lt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2t2e4 12345	. . . 4 ⊢ (2 · 2) = 4
2	1	fveq2i 6861	. . 3 ⊢ (sin‘(2 · 2)) = (sin‘4)
3		2cn 12261	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
4		sin2t 16145	. . . 4 ⊢ (2 ∈ ℂ → (sin‘(2 · 2)) = (2 · ((sin‘2) · (cos‘2))))
5	3, 4	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (sin‘(2 · 2)) = (2 · ((sin‘2) · (cos‘2)))
6	2, 5	eqtr3i 2754	. 2 ⊢ (sin‘4) = (2 · ((sin‘2) · (cos‘2)))
7		sincos2sgn 16162	. . . . . . 7 ⊢ (0 < (sin‘2) ∧ (cos‘2) < 0)
8	7	simpri 485	. . . . . 6 ⊢ (cos‘2) < 0
9		2re 12260	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ
10		recoscl 16109	. . . . . . . 8 ⊢ (2 ∈ ℝ → (cos‘2) ∈ ℝ)
11	9, 10	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (cos‘2) ∈ ℝ
12		0re 11176	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
13		resincl 16108	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 ∈ ℝ → (sin‘2) ∈ ℝ)
14	9, 13	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (sin‘2) ∈ ℝ
15	7	simpli 483	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < (sin‘2)
16	14, 15	pm3.2i 470	. . . . . . 7 ⊢ ((sin‘2) ∈ ℝ ∧ 0 < (sin‘2))
17		ltmul2 12033	. . . . . . 7 ⊢ (((cos‘2) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ ((sin‘2) ∈ ℝ ∧ 0 < (sin‘2))) → ((cos‘2) < 0 ↔ ((sin‘2) · (cos‘2)) < ((sin‘2) · 0)))
18	11, 12, 16, 17	mp3an 1463	. . . . . 6 ⊢ ((cos‘2) < 0 ↔ ((sin‘2) · (cos‘2)) < ((sin‘2) · 0))
19	8, 18	mpbi 230	. . . . 5 ⊢ ((sin‘2) · (cos‘2)) < ((sin‘2) · 0)
20	14	recni 11188	. . . . . 6 ⊢ (sin‘2) ∈ ℂ
21	20	mul01i 11364	. . . . 5 ⊢ ((sin‘2) · 0) = 0
22	19, 21	breqtri 5132	. . . 4 ⊢ ((sin‘2) · (cos‘2)) < 0
23	14, 11	remulcli 11190	. . . . 5 ⊢ ((sin‘2) · (cos‘2)) ∈ ℝ
24		2pos 12289	. . . . . 6 ⊢ 0 < 2
25	9, 24	pm3.2i 470	. . . . 5 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
26		ltmul2 12033	. . . . 5 ⊢ ((((sin‘2) · (cos‘2)) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (((sin‘2) · (cos‘2)) < 0 ↔ (2 · ((sin‘2) · (cos‘2))) < (2 · 0)))
27	23, 12, 25, 26	mp3an 1463	. . . 4 ⊢ (((sin‘2) · (cos‘2)) < 0 ↔ (2 · ((sin‘2) · (cos‘2))) < (2 · 0))
28	22, 27	mpbi 230	. . 3 ⊢ (2 · ((sin‘2) · (cos‘2))) < (2 · 0)
29	3	mul01i 11364	. . 3 ⊢ (2 · 0) = 0
30	28, 29	breqtri 5132	. 2 ⊢ (2 · ((sin‘2) · (cos‘2))) < 0
31	6, 30	eqbrtri 5128	1 ⊢ (sin‘4) < 0

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5107  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  ℂcc 11066  ℝcr 11067  0cc0 11068   · cmul 11073   < clt 11208  2c2 12241  4c4 12243  sincsin 16029  cosccos 16030

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-inf2 9594  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-se 5592  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-isom 6520  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-er 8671  df-pm 8802  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-sup 9393  df-inf 9394  df-oi 9463  df-card 9892  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-7 12254  df-8 12255  df-9 12256  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-rp 12952  df-ioc 13311  df-ico 13312  df-fz 13469  df-fzo 13616  df-fl 13754  df-seq 13967  df-exp 14027  df-fac 14239  df-bc 14268  df-hash 14296  df-shft 15033  df-cj 15065  df-re 15066  df-im 15067  df-sqrt 15201  df-abs 15202  df-limsup 15437  df-clim 15454  df-rlim 15455  df-sum 15653  df-ef 16033  df-sin 16035  df-cos 16036

This theorem is referenced by:  pilem3  26363  sinnpoly  46892