MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gcdaddmlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gcdaddmlem 16404
Description: Lemma for gcdaddm 16405. (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
gcdaddmlem.1 𝐾 ∈ ℤ
gcdaddmlem.2 𝑀 ∈ ℤ
gcdaddmlem.3 𝑁 ∈ ℤ
Assertion
Ref Expression
gcdaddmlem (𝑀 gcd 𝑁) = (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁))

Proof of Theorem gcdaddmlem
StepHypRef Expression
1 gcdaddmlem.2 . . . . . . 7 𝑀 ∈ ℤ
2 gcdaddmlem.3 . . . . . . 7 𝑁 ∈ ℤ
3 gcddvds 16383 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑁))
41, 2, 3mp2an 690 . . . . . 6 ((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑁)
54simpli 484 . . . . 5 (𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀
6 gcdcl 16386 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℕ0)
71, 2, 6mp2an 690 . . . . . . . . 9 (𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℕ0
87nn0zi 12528 . . . . . . . 8 (𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℤ
9 gcdaddmlem.1 . . . . . . . . 9 𝐾 ∈ ℤ
10 1z 12533 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℤ
11 dvds2ln 16171 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) ∧ ((𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑁) → (𝑀 gcd 𝑁) ∥ ((𝐾 · 𝑀) + (1 · 𝑁))))
129, 10, 11mpanl12 700 . . . . . . . 8 (((𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑁) → (𝑀 gcd 𝑁) ∥ ((𝐾 · 𝑀) + (1 · 𝑁))))
138, 1, 2, 12mp3an 1461 . . . . . . 7 (((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑁) → (𝑀 gcd 𝑁) ∥ ((𝐾 · 𝑀) + (1 · 𝑁)))
144, 13ax-mp 5 . . . . . 6 (𝑀 gcd 𝑁) ∥ ((𝐾 · 𝑀) + (1 · 𝑁))
15 zcn 12504 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
162, 15ax-mp 5 . . . . . . . 8 𝑁 ∈ ℂ
1716mulid2i 11160 . . . . . . 7 (1 · 𝑁) = 𝑁
1817oveq2i 7368 . . . . . 6 ((𝐾 · 𝑀) + (1 · 𝑁)) = ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)
1914, 18breqtri 5130 . . . . 5 (𝑀 gcd 𝑁) ∥ ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)
20 zmulcl 12552 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐾 · 𝑀) ∈ ℤ)
219, 1, 20mp2an 690 . . . . . . 7 (𝐾 · 𝑀) ∈ ℤ
22 zaddcl 12543 . . . . . . 7 (((𝐾 · 𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁) ∈ ℤ)
2321, 2, 22mp2an 690 . . . . . 6 ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁) ∈ ℤ
24 dvdslegcd 16384 . . . . . . 7 ((((𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁) ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁) = 0)) → (((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd 𝑁) ∥ ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) → (𝑀 gcd 𝑁) ≤ (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁))))
2524ex 413 . . . . . 6 (((𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁) ∈ ℤ) → (¬ (𝑀 = 0 ∧ ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁) = 0) → (((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd 𝑁) ∥ ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) → (𝑀 gcd 𝑁) ≤ (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)))))
268, 1, 23, 25mp3an 1461 . . . . 5 (¬ (𝑀 = 0 ∧ ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁) = 0) → (((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd 𝑁) ∥ ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) → (𝑀 gcd 𝑁) ≤ (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁))))
275, 19, 26mp2ani 696 . . . 4 (¬ (𝑀 = 0 ∧ ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁) = 0) → (𝑀 gcd 𝑁) ≤ (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)))
28 gcddvds 16383 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁) ∈ ℤ) → ((𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) ∥ ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)))
291, 23, 28mp2an 690 . . . . . 6 ((𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) ∥ ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁))
3029simpli 484 . . . . 5 (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) ∥ 𝑀
31 gcdcl 16386 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁) ∈ ℤ) → (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) ∈ ℕ0)
321, 23, 31mp2an 690 . . . . . . . . 9 (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) ∈ ℕ0
3332nn0zi 12528 . . . . . . . 8 (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) ∈ ℤ
34 znegcl 12538 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℤ → -𝐾 ∈ ℤ)
359, 34ax-mp 5 . . . . . . . . 9 -𝐾 ∈ ℤ
36 dvds2ln 16171 . . . . . . . . 9 (((-𝐾 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) ∧ ((𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁) ∈ ℤ)) → (((𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) ∥ ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) → (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) ∥ ((-𝐾 · 𝑀) + (1 · ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)))))
3735, 10, 36mpanl12 700 . . . . . . . 8 (((𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁) ∈ ℤ) → (((𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) ∥ ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) → (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) ∥ ((-𝐾 · 𝑀) + (1 · ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)))))
3833, 1, 23, 37mp3an 1461 . . . . . . 7 (((𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) ∥ ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) → (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) ∥ ((-𝐾 · 𝑀) + (1 · ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁))))
3929, 38ax-mp 5 . . . . . 6 (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) ∥ ((-𝐾 · 𝑀) + (1 · ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)))
40 zcn 12504 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℂ)
419, 40ax-mp 5 . . . . . . . . 9 𝐾 ∈ ℂ
42 zcn 12504 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
431, 42ax-mp 5 . . . . . . . . 9 𝑀 ∈ ℂ
4441, 43mulneg1i 11601 . . . . . . . 8 (-𝐾 · 𝑀) = -(𝐾 · 𝑀)
45 zcn 12504 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 · 𝑀) + 𝑁) ∈ ℤ → ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁) ∈ ℂ)
4623, 45ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁) ∈ ℂ
4746mulid2i 11160 . . . . . . . 8 (1 · ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) = ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)
4844, 47oveq12i 7369 . . . . . . 7 ((-𝐾 · 𝑀) + (1 · ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁))) = (-(𝐾 · 𝑀) + ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁))
4941, 43mulcli 11162 . . . . . . . . . 10 (𝐾 · 𝑀) ∈ ℂ
5049negcli 11469 . . . . . . . . . 10 -(𝐾 · 𝑀) ∈ ℂ
5149negidi 11470 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 · 𝑀) + -(𝐾 · 𝑀)) = 0
5249, 50, 51addcomli 11347 . . . . . . . . 9 (-(𝐾 · 𝑀) + (𝐾 · 𝑀)) = 0
5352oveq1i 7367 . . . . . . . 8 ((-(𝐾 · 𝑀) + (𝐾 · 𝑀)) + 𝑁) = (0 + 𝑁)
5450, 49, 16addassi 11165 . . . . . . . 8 ((-(𝐾 · 𝑀) + (𝐾 · 𝑀)) + 𝑁) = (-(𝐾 · 𝑀) + ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁))
5516addid2i 11343 . . . . . . . 8 (0 + 𝑁) = 𝑁
5653, 54, 553eqtr3i 2772 . . . . . . 7 (-(𝐾 · 𝑀) + ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) = 𝑁
5748, 56eqtri 2764 . . . . . 6 ((-𝐾 · 𝑀) + (1 · ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁))) = 𝑁
5839, 57breqtri 5130 . . . . 5 (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) ∥ 𝑁
59 dvdslegcd 16384 . . . . . . 7 ((((𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → (((𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) ∥ 𝑁) → (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) ≤ (𝑀 gcd 𝑁)))
6059ex 413 . . . . . 6 (((𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → (((𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) ∥ 𝑁) → (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) ≤ (𝑀 gcd 𝑁))))
6133, 1, 2, 60mp3an 1461 . . . . 5 (¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → (((𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) ∥ 𝑁) → (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) ≤ (𝑀 gcd 𝑁)))
6230, 58, 61mp2ani 696 . . . 4 (¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) ≤ (𝑀 gcd 𝑁))
6327, 62anim12i 613 . . 3 ((¬ (𝑀 = 0 ∧ ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁) = 0) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → ((𝑀 gcd 𝑁) ≤ (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) ∧ (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) ≤ (𝑀 gcd 𝑁)))
648zrei 12505 . . . 4 (𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℝ
6533zrei 12505 . . . 4 (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) ∈ ℝ
6664, 65letri3i 11271 . . 3 ((𝑀 gcd 𝑁) = (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) ↔ ((𝑀 gcd 𝑁) ≤ (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) ∧ (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) ≤ (𝑀 gcd 𝑁)))
6763, 66sylibr 233 . 2 ((¬ (𝑀 = 0 ∧ ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁) = 0) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → (𝑀 gcd 𝑁) = (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)))
68 pm4.57 989 . . 3 (¬ (¬ (𝑀 = 0 ∧ ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁) = 0) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ↔ ((𝑀 = 0 ∧ ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁) = 0) ∨ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)))
69 oveq2 7365 . . . . . . . . . 10 (𝑀 = 0 → (𝐾 · 𝑀) = (𝐾 · 0))
7041mul01i 11345 . . . . . . . . . 10 (𝐾 · 0) = 0
7169, 70eqtrdi 2792 . . . . . . . . 9 (𝑀 = 0 → (𝐾 · 𝑀) = 0)
7271oveq1d 7372 . . . . . . . 8 (𝑀 = 0 → ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁) = (0 + 𝑁))
7372, 55eqtrdi 2792 . . . . . . 7 (𝑀 = 0 → ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁) = 𝑁)
7473eqeq1d 2738 . . . . . 6 (𝑀 = 0 → (((𝐾 · 𝑀) + 𝑁) = 0 ↔ 𝑁 = 0))
7574pm5.32i 575 . . . . 5 ((𝑀 = 0 ∧ ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁) = 0) ↔ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0))
76 oveq12 7366 . . . . . 6 ((𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → (𝑀 gcd 𝑁) = (0 gcd 0))
77 oveq12 7366 . . . . . . 7 ((𝑀 = 0 ∧ ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁) = 0) → (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) = (0 gcd 0))
7875, 77sylbir 234 . . . . . 6 ((𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) = (0 gcd 0))
7976, 78eqtr4d 2779 . . . . 5 ((𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → (𝑀 gcd 𝑁) = (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)))
8075, 79sylbi 216 . . . 4 ((𝑀 = 0 ∧ ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁) = 0) → (𝑀 gcd 𝑁) = (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)))
8180, 79jaoi 855 . . 3 (((𝑀 = 0 ∧ ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁) = 0) ∨ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → (𝑀 gcd 𝑁) = (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)))
8268, 81sylbi 216 . 2 (¬ (¬ (𝑀 = 0 ∧ ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁) = 0) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → (𝑀 gcd 𝑁) = (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)))
8367, 82pm2.61i 182 1 (𝑀 gcd 𝑁) = (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396  wo 845  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106   class class class wbr 5105  (class class class)co 7357  cc 11049  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056  cle 11190  -cneg 11386  0cn0 12413  cz 12499  cdvds 16136   gcd cgcd 16374
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9378  df-inf 9379  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-seq 13907  df-exp 13968  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-dvds 16137  df-gcd 16375
This theorem is referenced by:  gcdaddm  16405
  Copyright terms: Public domain W3C validator