Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stirlinglem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stirlinglem1 46030
Description: A simple limit of fractions is computed. (Contributed by Glauco Siliprandi, 30-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stirlinglem1.1 𝐻 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑛↑2) / (𝑛 · ((2 · 𝑛) + 1))))
stirlinglem1.2 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 − (1 / ((2 · 𝑛) + 1))))
stirlinglem1.3 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / ((2 · 𝑛) + 1)))
stirlinglem1.4 𝐿 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛))
Assertion
Ref Expression
stirlinglem1 𝐻 ⇝ (1 / 2)

Proof of Theorem stirlinglem1
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 12919 . . . 4 ℕ = (ℤ‘1)
2 1zzd 12646 . . . 4 (⊤ → 1 ∈ ℤ)
3 stirlinglem1.4 . . . . . . . . 9 𝐿 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛))
4 ax-1cn 11211 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℂ
5 divcnv 15886 . . . . . . . . . 10 (1 ∈ ℂ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛)) ⇝ 0)
64, 5ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛)) ⇝ 0
73, 6eqbrtri 5169 . . . . . . . 8 𝐿 ⇝ 0
87a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → 𝐿 ⇝ 0)
9 stirlinglem1.3 . . . . . . . . 9 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / ((2 · 𝑛) + 1)))
10 nnex 12270 . . . . . . . . . 10 ℕ ∈ V
1110mptex 7243 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / ((2 · 𝑛) + 1))) ∈ V
129, 11eqeltri 2835 . . . . . . . 8 𝐺 ∈ V
1312a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → 𝐺 ∈ V)
143a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ → 𝐿 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛)))
15 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → 𝑛 = 𝑘)
1615oveq2d 7447 . . . . . . . . . 10 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → (1 / 𝑛) = (1 / 𝑘))
17 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ)
18 nnrp 13044 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ+)
1918rpreccld 13085 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ → (1 / 𝑘) ∈ ℝ+)
2014, 16, 17, 19fvmptd 7023 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → (𝐿𝑘) = (1 / 𝑘))
21 nnrecre 12306 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → (1 / 𝑘) ∈ ℝ)
2220, 21eqeltrd 2839 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → (𝐿𝑘) ∈ ℝ)
2322adantl 481 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐿𝑘) ∈ ℝ)
249a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ → 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / ((2 · 𝑛) + 1))))
2515oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → (2 · 𝑛) = (2 · 𝑘))
2625oveq1d 7446 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → ((2 · 𝑛) + 1) = ((2 · 𝑘) + 1))
2726oveq2d 7447 . . . . . . . . . 10 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → (1 / ((2 · 𝑛) + 1)) = (1 / ((2 · 𝑘) + 1)))
28 2re 12338 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℝ
2928a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
30 nnre 12271 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ)
3129, 30remulcld 11289 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ → (2 · 𝑘) ∈ ℝ)
32 0le2 12366 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ≤ 2
3332a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ → 0 ≤ 2)
3418rpge0d 13079 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ → 0 ≤ 𝑘)
3529, 30, 33, 34mulge0d 11838 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ → 0 ≤ (2 · 𝑘))
3631, 35ge0p1rpd 13105 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℝ+)
3736rpreccld 13085 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ → (1 / ((2 · 𝑘) + 1)) ∈ ℝ+)
3824, 27, 17, 37fvmptd 7023 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → (𝐺𝑘) = (1 / ((2 · 𝑘) + 1)))
3937rpred 13075 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → (1 / ((2 · 𝑘) + 1)) ∈ ℝ)
4038, 39eqeltrd 2839 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → (𝐺𝑘) ∈ ℝ)
4140adantl 481 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺𝑘) ∈ ℝ)
42 1red 11260 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
43 0le1 11784 . . . . . . . . . . 11 0 ≤ 1
4443a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ → 0 ≤ 1)
4531, 42readdcld 11288 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℝ)
46 nncn 12272 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℂ)
4746mullidd 11277 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ → (1 · 𝑘) = 𝑘)
48 1lt2 12435 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 < 2
4948a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℕ → 1 < 2)
5042, 29, 18, 49ltmul1dd 13130 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ → (1 · 𝑘) < (2 · 𝑘))
5147, 50eqbrtrrd 5172 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 < (2 · 𝑘))
5231ltp1d 12196 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ → (2 · 𝑘) < ((2 · 𝑘) + 1))
5330, 31, 45, 51, 52lttrd 11420 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 < ((2 · 𝑘) + 1))
5430, 45, 53ltled 11407 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ≤ ((2 · 𝑘) + 1))
5518, 36, 42, 44, 54lediv2ad 13097 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → (1 / ((2 · 𝑘) + 1)) ≤ (1 / 𝑘))
5655, 38, 203brtr4d 5180 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → (𝐺𝑘) ≤ (𝐿𝑘))
5756adantl 481 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺𝑘) ≤ (𝐿𝑘))
5837rpge0d 13079 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → 0 ≤ (1 / ((2 · 𝑘) + 1)))
5958, 38breqtrrd 5176 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → 0 ≤ (𝐺𝑘))
6059adantl 481 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝐺𝑘))
611, 2, 8, 13, 23, 41, 57, 60climsqz2 15675 . . . . . 6 (⊤ → 𝐺 ⇝ 0)
62 1cnd 11254 . . . . . 6 (⊤ → 1 ∈ ℂ)
63 stirlinglem1.2 . . . . . . . 8 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 − (1 / ((2 · 𝑛) + 1))))
6410mptex 7243 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 − (1 / ((2 · 𝑛) + 1)))) ∈ V
6563, 64eqeltri 2835 . . . . . . 7 𝐹 ∈ V
6665a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → 𝐹 ∈ V)
6741recnd 11287 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺𝑘) ∈ ℂ)
6863a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 − (1 / ((2 · 𝑛) + 1)))))
6927oveq2d 7447 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → (1 − (1 / ((2 · 𝑛) + 1))) = (1 − (1 / ((2 · 𝑘) + 1))))
70 1cnd 11254 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
71 2cnd 12342 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
7271, 46mulcld 11279 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ → (2 · 𝑘) ∈ ℂ)
7372, 70addcld 11278 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℂ)
7436rpne0d 13080 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → ((2 · 𝑘) + 1) ≠ 0)
7573, 74reccld 12034 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ → (1 / ((2 · 𝑘) + 1)) ∈ ℂ)
7670, 75subcld 11618 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → (1 − (1 / ((2 · 𝑘) + 1))) ∈ ℂ)
7768, 69, 17, 76fvmptd 7023 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → (𝐹𝑘) = (1 − (1 / ((2 · 𝑘) + 1))))
7838eqcomd 2741 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → (1 / ((2 · 𝑘) + 1)) = (𝐺𝑘))
7978oveq2d 7447 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → (1 − (1 / ((2 · 𝑘) + 1))) = (1 − (𝐺𝑘)))
8077, 79eqtrd 2775 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ → (𝐹𝑘) = (1 − (𝐺𝑘)))
8180adantl 481 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) = (1 − (𝐺𝑘)))
821, 2, 61, 62, 66, 67, 81climsubc2 15672 . . . . 5 (⊤ → 𝐹 ⇝ (1 − 0))
83 1m0e1 12385 . . . . 5 (1 − 0) = 1
8482, 83breqtrdi 5189 . . . 4 (⊤ → 𝐹 ⇝ 1)
8562halfcld 12509 . . . 4 (⊤ → (1 / 2) ∈ ℂ)
86 stirlinglem1.1 . . . . . 6 𝐻 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑛↑2) / (𝑛 · ((2 · 𝑛) + 1))))
8710mptex 7243 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑛↑2) / (𝑛 · ((2 · 𝑛) + 1)))) ∈ V
8886, 87eqeltri 2835 . . . . 5 𝐻 ∈ V
8988a1i 11 . . . 4 (⊤ → 𝐻 ∈ V)
9077, 76eqeltrd 2839 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
9190adantl 481 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
92 nncn 12272 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℂ)
9392sqcld 14181 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛↑2) ∈ ℂ)
9493mullidd 11277 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ → (1 · (𝑛↑2)) = (𝑛↑2))
9594eqcomd 2741 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛↑2) = (1 · (𝑛↑2)))
96 2cnd 12342 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
9796, 92mulcld 11279 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 𝑛) ∈ ℂ)
98 1cnd 11254 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
9992, 97, 98adddid 11283 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 · ((2 · 𝑛) + 1)) = ((𝑛 · (2 · 𝑛)) + (𝑛 · 1)))
10092, 96, 92mul12d 11468 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 · (2 · 𝑛)) = (2 · (𝑛 · 𝑛)))
10192sqvald 14180 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛↑2) = (𝑛 · 𝑛))
102101eqcomd 2741 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 · 𝑛) = (𝑛↑2))
103102oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℕ → (2 · (𝑛 · 𝑛)) = (2 · (𝑛↑2)))
104100, 103eqtrd 2775 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 · (2 · 𝑛)) = (2 · (𝑛↑2)))
10592mulridd 11276 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 · 1) = 𝑛)
106104, 105oveq12d 7449 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑛 · (2 · 𝑛)) + (𝑛 · 1)) = ((2 · (𝑛↑2)) + 𝑛))
107 2ne0 12368 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 ≠ 0
108107a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ ℕ → 2 ≠ 0)
10992, 96, 108divcan2d 12043 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℕ → (2 · (𝑛 / 2)) = 𝑛)
110109eqcomd 2741 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 = (2 · (𝑛 / 2)))
111110oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℕ → ((2 · (𝑛↑2)) + 𝑛) = ((2 · (𝑛↑2)) + (2 · (𝑛 / 2))))
11292halfcld 12509 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 / 2) ∈ ℂ)
11396, 93, 112adddid 11283 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℕ → (2 · ((𝑛↑2) + (𝑛 / 2))) = ((2 · (𝑛↑2)) + (2 · (𝑛 / 2))))
114111, 113eqtr4d 2778 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ → ((2 · (𝑛↑2)) + 𝑛) = (2 · ((𝑛↑2) + (𝑛 / 2))))
11599, 106, 1143eqtrd 2779 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 · ((2 · 𝑛) + 1)) = (2 · ((𝑛↑2) + (𝑛 / 2))))
11695, 115oveq12d 7449 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑛↑2) / (𝑛 · ((2 · 𝑛) + 1))) = ((1 · (𝑛↑2)) / (2 · ((𝑛↑2) + (𝑛 / 2)))))
11793, 112addcld 11278 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑛↑2) + (𝑛 / 2)) ∈ ℂ)
118 nnrp 13044 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ+)
119 2z 12647 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 ∈ ℤ
120119a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℕ → 2 ∈ ℤ)
121118, 120rpexpcld 14283 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛↑2) ∈ ℝ+)
122118rphalfcld 13087 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 / 2) ∈ ℝ+)
123121, 122rpaddcld 13090 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑛↑2) + (𝑛 / 2)) ∈ ℝ+)
124123rpne0d 13080 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑛↑2) + (𝑛 / 2)) ≠ 0)
12598, 96, 93, 117, 108, 124divmuldivd 12082 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ → ((1 / 2) · ((𝑛↑2) / ((𝑛↑2) + (𝑛 / 2)))) = ((1 · (𝑛↑2)) / (2 · ((𝑛↑2) + (𝑛 / 2)))))
12693, 112pncand 11619 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℕ → (((𝑛↑2) + (𝑛 / 2)) − (𝑛 / 2)) = (𝑛↑2))
127126eqcomd 2741 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛↑2) = (((𝑛↑2) + (𝑛 / 2)) − (𝑛 / 2)))
128127oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑛↑2) / ((𝑛↑2) + (𝑛 / 2))) = ((((𝑛↑2) + (𝑛 / 2)) − (𝑛 / 2)) / ((𝑛↑2) + (𝑛 / 2))))
129117, 112, 117, 124divsubdird 12080 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℕ → ((((𝑛↑2) + (𝑛 / 2)) − (𝑛 / 2)) / ((𝑛↑2) + (𝑛 / 2))) = ((((𝑛↑2) + (𝑛 / 2)) / ((𝑛↑2) + (𝑛 / 2))) − ((𝑛 / 2) / ((𝑛↑2) + (𝑛 / 2)))))
130117, 124dividd 12039 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℕ → (((𝑛↑2) + (𝑛 / 2)) / ((𝑛↑2) + (𝑛 / 2))) = 1)
131130oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℕ → ((((𝑛↑2) + (𝑛 / 2)) / ((𝑛↑2) + (𝑛 / 2))) − ((𝑛 / 2) / ((𝑛↑2) + (𝑛 / 2)))) = (1 − ((𝑛 / 2) / ((𝑛↑2) + (𝑛 / 2)))))
132128, 129, 1313eqtrd 2779 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑛↑2) / ((𝑛↑2) + (𝑛 / 2))) = (1 − ((𝑛 / 2) / ((𝑛↑2) + (𝑛 / 2)))))
133 nnne0 12298 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ≠ 0)
13496, 92, 133divcld 12041 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℕ → (2 / 𝑛) ∈ ℂ)
13596, 92, 108, 133divne0d 12057 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℕ → (2 / 𝑛) ≠ 0)
136112, 117, 134, 124, 135divcan5rd 12068 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℕ → (((𝑛 / 2) · (2 / 𝑛)) / (((𝑛↑2) + (𝑛 / 2)) · (2 / 𝑛))) = ((𝑛 / 2) / ((𝑛↑2) + (𝑛 / 2))))
13792, 96, 133, 108divcan6d 12060 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑛 / 2) · (2 / 𝑛)) = 1)
13893, 112, 134adddird 11284 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ ℕ → (((𝑛↑2) + (𝑛 / 2)) · (2 / 𝑛)) = (((𝑛↑2) · (2 / 𝑛)) + ((𝑛 / 2) · (2 / 𝑛))))
13993, 96, 92, 133div12d 12077 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑛↑2) · (2 / 𝑛)) = (2 · ((𝑛↑2) / 𝑛)))
140 1e2m1 12391 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1 = (2 − 1)
141140oveq2i 7442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑛↑1) = (𝑛↑(2 − 1))
14292exp1d 14178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛↑1) = 𝑛)
14392, 133, 120expm1d 14193 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛↑(2 − 1)) = ((𝑛↑2) / 𝑛))
144141, 142, 1433eqtr3a 2799 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 = ((𝑛↑2) / 𝑛))
145144eqcomd 2741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑛↑2) / 𝑛) = 𝑛)
146145oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 ∈ ℕ → (2 · ((𝑛↑2) / 𝑛)) = (2 · 𝑛))
147139, 146eqtrd 2775 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑛↑2) · (2 / 𝑛)) = (2 · 𝑛))
148147, 137oveq12d 7449 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ ℕ → (((𝑛↑2) · (2 / 𝑛)) + ((𝑛 / 2) · (2 / 𝑛))) = ((2 · 𝑛) + 1))
149138, 148eqtrd 2775 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℕ → (((𝑛↑2) + (𝑛 / 2)) · (2 / 𝑛)) = ((2 · 𝑛) + 1))
150137, 149oveq12d 7449 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℕ → (((𝑛 / 2) · (2 / 𝑛)) / (((𝑛↑2) + (𝑛 / 2)) · (2 / 𝑛))) = (1 / ((2 · 𝑛) + 1)))
151136, 150eqtr3d 2777 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑛 / 2) / ((𝑛↑2) + (𝑛 / 2))) = (1 / ((2 · 𝑛) + 1)))
152151oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ → (1 − ((𝑛 / 2) / ((𝑛↑2) + (𝑛 / 2)))) = (1 − (1 / ((2 · 𝑛) + 1))))
153132, 152eqtrd 2775 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑛↑2) / ((𝑛↑2) + (𝑛 / 2))) = (1 − (1 / ((2 · 𝑛) + 1))))
154153oveq2d 7447 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ → ((1 / 2) · ((𝑛↑2) / ((𝑛↑2) + (𝑛 / 2)))) = ((1 / 2) · (1 − (1 / ((2 · 𝑛) + 1)))))
155116, 125, 1543eqtr2d 2781 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑛↑2) / (𝑛 · ((2 · 𝑛) + 1))) = ((1 / 2) · (1 − (1 / ((2 · 𝑛) + 1)))))
156155mpteq2ia 5251 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑛↑2) / (𝑛 · ((2 · 𝑛) + 1)))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / 2) · (1 − (1 / ((2 · 𝑛) + 1)))))
15786, 156eqtri 2763 . . . . . . . 8 𝐻 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / 2) · (1 − (1 / ((2 · 𝑛) + 1)))))
158157a1i 11 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ → 𝐻 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / 2) · (1 − (1 / ((2 · 𝑛) + 1))))))
15969oveq2d 7447 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → ((1 / 2) · (1 − (1 / ((2 · 𝑛) + 1)))) = ((1 / 2) · (1 − (1 / ((2 · 𝑘) + 1)))))
16070halfcld 12509 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → (1 / 2) ∈ ℂ)
161160, 76mulcld 11279 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ → ((1 / 2) · (1 − (1 / ((2 · 𝑘) + 1)))) ∈ ℂ)
162158, 159, 17, 161fvmptd 7023 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ → (𝐻𝑘) = ((1 / 2) · (1 − (1 / ((2 · 𝑘) + 1)))))
16377oveq2d 7447 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ → ((1 / 2) · (𝐹𝑘)) = ((1 / 2) · (1 − (1 / ((2 · 𝑘) + 1)))))
164162, 163eqtr4d 2778 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ → (𝐻𝑘) = ((1 / 2) · (𝐹𝑘)))
165164adantl 481 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐻𝑘) = ((1 / 2) · (𝐹𝑘)))
1661, 2, 84, 85, 89, 91, 165climmulc2 15670 . . 3 (⊤ → 𝐻 ⇝ ((1 / 2) · 1))
167166mptru 1544 . 2 𝐻 ⇝ ((1 / 2) · 1)
168 halfcn 12479 . . 3 (1 / 2) ∈ ℂ
169168mulridi 11263 . 2 ((1 / 2) · 1) = (1 / 2)
170167, 169breqtri 5173 1 𝐻 ⇝ (1 / 2)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 395   = wceq 1537  wtru 1538  wcel 2106  wne 2938  Vcvv 3478   class class class wbr 5148  cmpt 5231  cfv 6563  (class class class)co 7431  cc 11151  cr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158   < clt 11293  cle 11294  cmin 11490   / cdiv 11918  cn 12264  2c2 12319  cz 12611  +crp 13032  cexp 14099  cli 15517
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-pm 8868  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fl 13829  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-rlim 15522
This theorem is referenced by:  stirlinglem15  46044
  Copyright terms: Public domain W3C validator