Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stirlinglem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stirlinglem1 45088
Description: A simple limit of fractions is computed. (Contributed by Glauco Siliprandi, 30-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stirlinglem1.1 ๐ป = (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘›โ†‘2) / (๐‘› ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1))))
stirlinglem1.2 ๐น = (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (1 โˆ’ (1 / ((2 ยท ๐‘›) + 1))))
stirlinglem1.3 ๐บ = (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (1 / ((2 ยท ๐‘›) + 1)))
stirlinglem1.4 ๐ฟ = (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (1 / ๐‘›))
Assertion
Ref Expression
stirlinglem1 ๐ป โ‡ (1 / 2)

Proof of Theorem stirlinglem1
Dummy variable ๐‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 12869 . . . 4 โ„• = (โ„คโ‰ฅโ€˜1)
2 1zzd 12597 . . . 4 (โŠค โ†’ 1 โˆˆ โ„ค)
3 stirlinglem1.4 . . . . . . . . 9 ๐ฟ = (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (1 / ๐‘›))
4 ax-1cn 11170 . . . . . . . . . 10 1 โˆˆ โ„‚
5 divcnv 15803 . . . . . . . . . 10 (1 โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (1 / ๐‘›)) โ‡ 0)
64, 5ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (1 / ๐‘›)) โ‡ 0
73, 6eqbrtri 5168 . . . . . . . 8 ๐ฟ โ‡ 0
87a1i 11 . . . . . . 7 (โŠค โ†’ ๐ฟ โ‡ 0)
9 stirlinglem1.3 . . . . . . . . 9 ๐บ = (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (1 / ((2 ยท ๐‘›) + 1)))
10 nnex 12222 . . . . . . . . . 10 โ„• โˆˆ V
1110mptex 7226 . . . . . . . . 9 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (1 / ((2 ยท ๐‘›) + 1))) โˆˆ V
129, 11eqeltri 2827 . . . . . . . 8 ๐บ โˆˆ V
1312a1i 11 . . . . . . 7 (โŠค โ†’ ๐บ โˆˆ V)
143a1i 11 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ๐ฟ = (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (1 / ๐‘›)))
15 simpr 483 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› = ๐‘˜) โ†’ ๐‘› = ๐‘˜)
1615oveq2d 7427 . . . . . . . . . 10 ((๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› = ๐‘˜) โ†’ (1 / ๐‘›) = (1 / ๐‘˜))
17 id 22 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•)
18 nnrp 12989 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„+)
1918rpreccld 13030 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (1 / ๐‘˜) โˆˆ โ„+)
2014, 16, 17, 19fvmptd 7004 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (๐ฟโ€˜๐‘˜) = (1 / ๐‘˜))
21 nnrecre 12258 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (1 / ๐‘˜) โˆˆ โ„)
2220, 21eqeltrd 2831 . . . . . . . 8 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (๐ฟโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„)
2322adantl 480 . . . . . . 7 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ฟโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„)
249a1i 11 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ๐บ = (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (1 / ((2 ยท ๐‘›) + 1))))
2515oveq2d 7427 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› = ๐‘˜) โ†’ (2 ยท ๐‘›) = (2 ยท ๐‘˜))
2625oveq1d 7426 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› = ๐‘˜) โ†’ ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ((2 ยท ๐‘˜) + 1))
2726oveq2d 7427 . . . . . . . . . 10 ((๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› = ๐‘˜) โ†’ (1 / ((2 ยท ๐‘›) + 1)) = (1 / ((2 ยท ๐‘˜) + 1)))
28 2re 12290 . . . . . . . . . . . . . 14 2 โˆˆ โ„
2928a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ 2 โˆˆ โ„)
30 nnre 12223 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„)
3129, 30remulcld 11248 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (2 ยท ๐‘˜) โˆˆ โ„)
32 0le2 12318 . . . . . . . . . . . . . 14 0 โ‰ค 2
3332a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ 0 โ‰ค 2)
3418rpge0d 13024 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ 0 โ‰ค ๐‘˜)
3529, 30, 33, 34mulge0d 11795 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ 0 โ‰ค (2 ยท ๐‘˜))
3631, 35ge0p1rpd 13050 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ((2 ยท ๐‘˜) + 1) โˆˆ โ„+)
3736rpreccld 13030 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (1 / ((2 ยท ๐‘˜) + 1)) โˆˆ โ„+)
3824, 27, 17, 37fvmptd 7004 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (๐บโ€˜๐‘˜) = (1 / ((2 ยท ๐‘˜) + 1)))
3937rpred 13020 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (1 / ((2 ยท ๐‘˜) + 1)) โˆˆ โ„)
4038, 39eqeltrd 2831 . . . . . . . 8 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (๐บโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„)
4140adantl 480 . . . . . . 7 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐บโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„)
42 1red 11219 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ 1 โˆˆ โ„)
43 0le1 11741 . . . . . . . . . . 11 0 โ‰ค 1
4443a1i 11 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ 0 โ‰ค 1)
4531, 42readdcld 11247 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ((2 ยท ๐‘˜) + 1) โˆˆ โ„)
46 nncn 12224 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„‚)
4746mullidd 11236 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (1 ยท ๐‘˜) = ๐‘˜)
48 1lt2 12387 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 < 2
4948a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ 1 < 2)
5042, 29, 18, 49ltmul1dd 13075 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (1 ยท ๐‘˜) < (2 ยท ๐‘˜))
5147, 50eqbrtrrd 5171 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘˜ < (2 ยท ๐‘˜))
5231ltp1d 12148 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (2 ยท ๐‘˜) < ((2 ยท ๐‘˜) + 1))
5330, 31, 45, 51, 52lttrd 11379 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘˜ < ((2 ยท ๐‘˜) + 1))
5430, 45, 53ltled 11366 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘˜ โ‰ค ((2 ยท ๐‘˜) + 1))
5518, 36, 42, 44, 54lediv2ad 13042 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (1 / ((2 ยท ๐‘˜) + 1)) โ‰ค (1 / ๐‘˜))
5655, 38, 203brtr4d 5179 . . . . . . . 8 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (๐บโ€˜๐‘˜) โ‰ค (๐ฟโ€˜๐‘˜))
5756adantl 480 . . . . . . 7 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐บโ€˜๐‘˜) โ‰ค (๐ฟโ€˜๐‘˜))
5837rpge0d 13024 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ 0 โ‰ค (1 / ((2 ยท ๐‘˜) + 1)))
5958, 38breqtrrd 5175 . . . . . . . 8 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ 0 โ‰ค (๐บโ€˜๐‘˜))
6059adantl 480 . . . . . . 7 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ 0 โ‰ค (๐บโ€˜๐‘˜))
611, 2, 8, 13, 23, 41, 57, 60climsqz2 15590 . . . . . 6 (โŠค โ†’ ๐บ โ‡ 0)
62 1cnd 11213 . . . . . 6 (โŠค โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
63 stirlinglem1.2 . . . . . . . 8 ๐น = (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (1 โˆ’ (1 / ((2 ยท ๐‘›) + 1))))
6410mptex 7226 . . . . . . . 8 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (1 โˆ’ (1 / ((2 ยท ๐‘›) + 1)))) โˆˆ V
6563, 64eqeltri 2827 . . . . . . 7 ๐น โˆˆ V
6665a1i 11 . . . . . 6 (โŠค โ†’ ๐น โˆˆ V)
6741recnd 11246 . . . . . 6 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐บโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
6863a1i 11 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ๐น = (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (1 โˆ’ (1 / ((2 ยท ๐‘›) + 1)))))
6927oveq2d 7427 . . . . . . . . 9 ((๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› = ๐‘˜) โ†’ (1 โˆ’ (1 / ((2 ยท ๐‘›) + 1))) = (1 โˆ’ (1 / ((2 ยท ๐‘˜) + 1))))
70 1cnd 11213 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
71 2cnd 12294 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
7271, 46mulcld 11238 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (2 ยท ๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
7372, 70addcld 11237 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ((2 ยท ๐‘˜) + 1) โˆˆ โ„‚)
7436rpne0d 13025 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ((2 ยท ๐‘˜) + 1) โ‰  0)
7573, 74reccld 11987 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (1 / ((2 ยท ๐‘˜) + 1)) โˆˆ โ„‚)
7670, 75subcld 11575 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (1 โˆ’ (1 / ((2 ยท ๐‘˜) + 1))) โˆˆ โ„‚)
7768, 69, 17, 76fvmptd 7004 . . . . . . . 8 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) = (1 โˆ’ (1 / ((2 ยท ๐‘˜) + 1))))
7838eqcomd 2736 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (1 / ((2 ยท ๐‘˜) + 1)) = (๐บโ€˜๐‘˜))
7978oveq2d 7427 . . . . . . . 8 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (1 โˆ’ (1 / ((2 ยท ๐‘˜) + 1))) = (1 โˆ’ (๐บโ€˜๐‘˜)))
8077, 79eqtrd 2770 . . . . . . 7 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) = (1 โˆ’ (๐บโ€˜๐‘˜)))
8180adantl 480 . . . . . 6 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) = (1 โˆ’ (๐บโ€˜๐‘˜)))
821, 2, 61, 62, 66, 67, 81climsubc2 15587 . . . . 5 (โŠค โ†’ ๐น โ‡ (1 โˆ’ 0))
83 1m0e1 12337 . . . . 5 (1 โˆ’ 0) = 1
8482, 83breqtrdi 5188 . . . 4 (โŠค โ†’ ๐น โ‡ 1)
8562halfcld 12461 . . . 4 (โŠค โ†’ (1 / 2) โˆˆ โ„‚)
86 stirlinglem1.1 . . . . . 6 ๐ป = (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘›โ†‘2) / (๐‘› ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1))))
8710mptex 7226 . . . . . 6 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘›โ†‘2) / (๐‘› ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1)))) โˆˆ V
8886, 87eqeltri 2827 . . . . 5 ๐ป โˆˆ V
8988a1i 11 . . . 4 (โŠค โ†’ ๐ป โˆˆ V)
9077, 76eqeltrd 2831 . . . . 5 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
9190adantl 480 . . . 4 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
92 nncn 12224 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„‚)
9392sqcld 14113 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘›โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
9493mullidd 11236 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ (1 ยท (๐‘›โ†‘2)) = (๐‘›โ†‘2))
9594eqcomd 2736 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘›โ†‘2) = (1 ยท (๐‘›โ†‘2)))
96 2cnd 12294 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
9796, 92mulcld 11238 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ (2 ยท ๐‘›) โˆˆ โ„‚)
98 1cnd 11213 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
9992, 97, 98adddid 11242 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘› ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1)) = ((๐‘› ยท (2 ยท ๐‘›)) + (๐‘› ยท 1)))
10092, 96, 92mul12d 11427 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘› ยท (2 ยท ๐‘›)) = (2 ยท (๐‘› ยท ๐‘›)))
10192sqvald 14112 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘›โ†‘2) = (๐‘› ยท ๐‘›))
102101eqcomd 2736 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘› ยท ๐‘›) = (๐‘›โ†‘2))
103102oveq2d 7427 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ (2 ยท (๐‘› ยท ๐‘›)) = (2 ยท (๐‘›โ†‘2)))
104100, 103eqtrd 2770 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘› ยท (2 ยท ๐‘›)) = (2 ยท (๐‘›โ†‘2)))
10592mulridd 11235 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘› ยท 1) = ๐‘›)
106104, 105oveq12d 7429 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘› ยท (2 ยท ๐‘›)) + (๐‘› ยท 1)) = ((2 ยท (๐‘›โ†‘2)) + ๐‘›))
107 2ne0 12320 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 โ‰  0
108107a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ 2 โ‰  0)
10992, 96, 108divcan2d 11996 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ (2 ยท (๐‘› / 2)) = ๐‘›)
110109eqcomd 2736 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘› = (2 ยท (๐‘› / 2)))
111110oveq2d 7427 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ ((2 ยท (๐‘›โ†‘2)) + ๐‘›) = ((2 ยท (๐‘›โ†‘2)) + (2 ยท (๐‘› / 2))))
11292halfcld 12461 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘› / 2) โˆˆ โ„‚)
11396, 93, 112adddid 11242 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ (2 ยท ((๐‘›โ†‘2) + (๐‘› / 2))) = ((2 ยท (๐‘›โ†‘2)) + (2 ยท (๐‘› / 2))))
114111, 113eqtr4d 2773 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ ((2 ยท (๐‘›โ†‘2)) + ๐‘›) = (2 ยท ((๐‘›โ†‘2) + (๐‘› / 2))))
11599, 106, 1143eqtrd 2774 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘› ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1)) = (2 ยท ((๐‘›โ†‘2) + (๐‘› / 2))))
11695, 115oveq12d 7429 . . . . . . . . . . 11 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘›โ†‘2) / (๐‘› ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1))) = ((1 ยท (๐‘›โ†‘2)) / (2 ยท ((๐‘›โ†‘2) + (๐‘› / 2)))))
11793, 112addcld 11237 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘›โ†‘2) + (๐‘› / 2)) โˆˆ โ„‚)
118 nnrp 12989 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„+)
119 2z 12598 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 โˆˆ โ„ค
120119a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ 2 โˆˆ โ„ค)
121118, 120rpexpcld 14214 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘›โ†‘2) โˆˆ โ„+)
122118rphalfcld 13032 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘› / 2) โˆˆ โ„+)
123121, 122rpaddcld 13035 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘›โ†‘2) + (๐‘› / 2)) โˆˆ โ„+)
124123rpne0d 13025 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘›โ†‘2) + (๐‘› / 2)) โ‰  0)
12598, 96, 93, 117, 108, 124divmuldivd 12035 . . . . . . . . . . 11 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ ((1 / 2) ยท ((๐‘›โ†‘2) / ((๐‘›โ†‘2) + (๐‘› / 2)))) = ((1 ยท (๐‘›โ†‘2)) / (2 ยท ((๐‘›โ†‘2) + (๐‘› / 2)))))
12693, 112pncand 11576 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ (((๐‘›โ†‘2) + (๐‘› / 2)) โˆ’ (๐‘› / 2)) = (๐‘›โ†‘2))
127126eqcomd 2736 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘›โ†‘2) = (((๐‘›โ†‘2) + (๐‘› / 2)) โˆ’ (๐‘› / 2)))
128127oveq1d 7426 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘›โ†‘2) / ((๐‘›โ†‘2) + (๐‘› / 2))) = ((((๐‘›โ†‘2) + (๐‘› / 2)) โˆ’ (๐‘› / 2)) / ((๐‘›โ†‘2) + (๐‘› / 2))))
129117, 112, 117, 124divsubdird 12033 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ ((((๐‘›โ†‘2) + (๐‘› / 2)) โˆ’ (๐‘› / 2)) / ((๐‘›โ†‘2) + (๐‘› / 2))) = ((((๐‘›โ†‘2) + (๐‘› / 2)) / ((๐‘›โ†‘2) + (๐‘› / 2))) โˆ’ ((๐‘› / 2) / ((๐‘›โ†‘2) + (๐‘› / 2)))))
130117, 124dividd 11992 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ (((๐‘›โ†‘2) + (๐‘› / 2)) / ((๐‘›โ†‘2) + (๐‘› / 2))) = 1)
131130oveq1d 7426 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ ((((๐‘›โ†‘2) + (๐‘› / 2)) / ((๐‘›โ†‘2) + (๐‘› / 2))) โˆ’ ((๐‘› / 2) / ((๐‘›โ†‘2) + (๐‘› / 2)))) = (1 โˆ’ ((๐‘› / 2) / ((๐‘›โ†‘2) + (๐‘› / 2)))))
132128, 129, 1313eqtrd 2774 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘›โ†‘2) / ((๐‘›โ†‘2) + (๐‘› / 2))) = (1 โˆ’ ((๐‘› / 2) / ((๐‘›โ†‘2) + (๐‘› / 2)))))
133 nnne0 12250 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘› โ‰  0)
13496, 92, 133divcld 11994 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ (2 / ๐‘›) โˆˆ โ„‚)
13596, 92, 108, 133divne0d 12010 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ (2 / ๐‘›) โ‰  0)
136112, 117, 134, 124, 135divcan5rd 12021 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ (((๐‘› / 2) ยท (2 / ๐‘›)) / (((๐‘›โ†‘2) + (๐‘› / 2)) ยท (2 / ๐‘›))) = ((๐‘› / 2) / ((๐‘›โ†‘2) + (๐‘› / 2))))
13792, 96, 133, 108divcan6d 12013 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘› / 2) ยท (2 / ๐‘›)) = 1)
13893, 112, 134adddird 11243 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ (((๐‘›โ†‘2) + (๐‘› / 2)) ยท (2 / ๐‘›)) = (((๐‘›โ†‘2) ยท (2 / ๐‘›)) + ((๐‘› / 2) ยท (2 / ๐‘›))))
13993, 96, 92, 133div12d 12030 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘›โ†‘2) ยท (2 / ๐‘›)) = (2 ยท ((๐‘›โ†‘2) / ๐‘›)))
140 1e2m1 12343 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1 = (2 โˆ’ 1)
141140oveq2i 7422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐‘›โ†‘1) = (๐‘›โ†‘(2 โˆ’ 1))
14292exp1d 14110 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘›โ†‘1) = ๐‘›)
14392, 133, 120expm1d 14125 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘›โ†‘(2 โˆ’ 1)) = ((๐‘›โ†‘2) / ๐‘›))
144141, 142, 1433eqtr3a 2794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘› = ((๐‘›โ†‘2) / ๐‘›))
145144eqcomd 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘›โ†‘2) / ๐‘›) = ๐‘›)
146145oveq2d 7427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ (2 ยท ((๐‘›โ†‘2) / ๐‘›)) = (2 ยท ๐‘›))
147139, 146eqtrd 2770 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘›โ†‘2) ยท (2 / ๐‘›)) = (2 ยท ๐‘›))
148147, 137oveq12d 7429 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ (((๐‘›โ†‘2) ยท (2 / ๐‘›)) + ((๐‘› / 2) ยท (2 / ๐‘›))) = ((2 ยท ๐‘›) + 1))
149138, 148eqtrd 2770 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ (((๐‘›โ†‘2) + (๐‘› / 2)) ยท (2 / ๐‘›)) = ((2 ยท ๐‘›) + 1))
150137, 149oveq12d 7429 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ (((๐‘› / 2) ยท (2 / ๐‘›)) / (((๐‘›โ†‘2) + (๐‘› / 2)) ยท (2 / ๐‘›))) = (1 / ((2 ยท ๐‘›) + 1)))
151136, 150eqtr3d 2772 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘› / 2) / ((๐‘›โ†‘2) + (๐‘› / 2))) = (1 / ((2 ยท ๐‘›) + 1)))
152151oveq2d 7427 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ (1 โˆ’ ((๐‘› / 2) / ((๐‘›โ†‘2) + (๐‘› / 2)))) = (1 โˆ’ (1 / ((2 ยท ๐‘›) + 1))))
153132, 152eqtrd 2770 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘›โ†‘2) / ((๐‘›โ†‘2) + (๐‘› / 2))) = (1 โˆ’ (1 / ((2 ยท ๐‘›) + 1))))
154153oveq2d 7427 . . . . . . . . . . 11 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ ((1 / 2) ยท ((๐‘›โ†‘2) / ((๐‘›โ†‘2) + (๐‘› / 2)))) = ((1 / 2) ยท (1 โˆ’ (1 / ((2 ยท ๐‘›) + 1)))))
155116, 125, 1543eqtr2d 2776 . . . . . . . . . 10 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘›โ†‘2) / (๐‘› ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1))) = ((1 / 2) ยท (1 โˆ’ (1 / ((2 ยท ๐‘›) + 1)))))
156155mpteq2ia 5250 . . . . . . . . 9 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘›โ†‘2) / (๐‘› ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1)))) = (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((1 / 2) ยท (1 โˆ’ (1 / ((2 ยท ๐‘›) + 1)))))
15786, 156eqtri 2758 . . . . . . . 8 ๐ป = (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((1 / 2) ยท (1 โˆ’ (1 / ((2 ยท ๐‘›) + 1)))))
158157a1i 11 . . . . . . 7 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ๐ป = (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((1 / 2) ยท (1 โˆ’ (1 / ((2 ยท ๐‘›) + 1))))))
15969oveq2d 7427 . . . . . . 7 ((๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› = ๐‘˜) โ†’ ((1 / 2) ยท (1 โˆ’ (1 / ((2 ยท ๐‘›) + 1)))) = ((1 / 2) ยท (1 โˆ’ (1 / ((2 ยท ๐‘˜) + 1)))))
16070halfcld 12461 . . . . . . . 8 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (1 / 2) โˆˆ โ„‚)
161160, 76mulcld 11238 . . . . . . 7 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ((1 / 2) ยท (1 โˆ’ (1 / ((2 ยท ๐‘˜) + 1)))) โˆˆ โ„‚)
162158, 159, 17, 161fvmptd 7004 . . . . . 6 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (๐ปโ€˜๐‘˜) = ((1 / 2) ยท (1 โˆ’ (1 / ((2 ยท ๐‘˜) + 1)))))
16377oveq2d 7427 . . . . . 6 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ((1 / 2) ยท (๐นโ€˜๐‘˜)) = ((1 / 2) ยท (1 โˆ’ (1 / ((2 ยท ๐‘˜) + 1)))))
164162, 163eqtr4d 2773 . . . . 5 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (๐ปโ€˜๐‘˜) = ((1 / 2) ยท (๐นโ€˜๐‘˜)))
165164adantl 480 . . . 4 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ปโ€˜๐‘˜) = ((1 / 2) ยท (๐นโ€˜๐‘˜)))
1661, 2, 84, 85, 89, 91, 165climmulc2 15585 . . 3 (โŠค โ†’ ๐ป โ‡ ((1 / 2) ยท 1))
167166mptru 1546 . 2 ๐ป โ‡ ((1 / 2) ยท 1)
168 halfcn 12431 . . 3 (1 / 2) โˆˆ โ„‚
169168mulridi 11222 . 2 ((1 / 2) ยท 1) = (1 / 2)
170167, 169breqtri 5172 1 ๐ป โ‡ (1 / 2)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โˆง wa 394   = wceq 1539  โŠคwtru 1540   โˆˆ wcel 2104   โ‰  wne 2938  Vcvv 3472   class class class wbr 5147   โ†ฆ cmpt 5230  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  โ„‚cc 11110  โ„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   ยท cmul 11117   < clt 11252   โ‰ค cle 11253   โˆ’ cmin 11448   / cdiv 11875  โ„•cn 12216  2c2 12271  โ„คcz 12562  โ„+crp 12978  โ†‘cexp 14031   โ‡ cli 15432
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12979  df-fl 13761  df-seq 13971  df-exp 14032  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15436  df-rlim 15437
This theorem is referenced by:  stirlinglem15  45102
  Copyright terms: Public domain W3C validator