Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stirlinglem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stirlinglem1 41218
Description: A simple limit of fractions is computed. (Contributed by Glauco Siliprandi, 30-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stirlinglem1.1 𝐻 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑛↑2) / (𝑛 · ((2 · 𝑛) + 1))))
stirlinglem1.2 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 − (1 / ((2 · 𝑛) + 1))))
stirlinglem1.3 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / ((2 · 𝑛) + 1)))
stirlinglem1.4 𝐿 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛))
Assertion
Ref Expression
stirlinglem1 𝐻 ⇝ (1 / 2)

Proof of Theorem stirlinglem1
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 12029 . . . 4 ℕ = (ℤ‘1)
2 1zzd 11760 . . . 4 (⊤ → 1 ∈ ℤ)
3 stirlinglem1.4 . . . . . . . . 9 𝐿 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛))
4 ax-1cn 10330 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℂ
5 divcnv 14989 . . . . . . . . . 10 (1 ∈ ℂ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛)) ⇝ 0)
64, 5ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛)) ⇝ 0
73, 6eqbrtri 4907 . . . . . . . 8 𝐿 ⇝ 0
87a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → 𝐿 ⇝ 0)
9 stirlinglem1.3 . . . . . . . . 9 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / ((2 · 𝑛) + 1)))
10 nnex 11381 . . . . . . . . . 10 ℕ ∈ V
1110mptex 6758 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / ((2 · 𝑛) + 1))) ∈ V
129, 11eqeltri 2855 . . . . . . . 8 𝐺 ∈ V
1312a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → 𝐺 ∈ V)
143a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ → 𝐿 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛)))
15 simpr 479 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → 𝑛 = 𝑘)
1615oveq2d 6938 . . . . . . . . . 10 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → (1 / 𝑛) = (1 / 𝑘))
17 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ)
18 nnrp 12150 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ+)
1918rpreccld 12191 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ → (1 / 𝑘) ∈ ℝ+)
2014, 16, 17, 19fvmptd 6548 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → (𝐿𝑘) = (1 / 𝑘))
21 nnrecre 11417 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → (1 / 𝑘) ∈ ℝ)
2220, 21eqeltrd 2859 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → (𝐿𝑘) ∈ ℝ)
2322adantl 475 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐿𝑘) ∈ ℝ)
249a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ → 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / ((2 · 𝑛) + 1))))
2515oveq2d 6938 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → (2 · 𝑛) = (2 · 𝑘))
2625oveq1d 6937 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → ((2 · 𝑛) + 1) = ((2 · 𝑘) + 1))
2726oveq2d 6938 . . . . . . . . . 10 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → (1 / ((2 · 𝑛) + 1)) = (1 / ((2 · 𝑘) + 1)))
28 2re 11449 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℝ
2928a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
30 nnre 11382 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ)
3129, 30remulcld 10407 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ → (2 · 𝑘) ∈ ℝ)
32 0le2 11484 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ≤ 2
3332a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ → 0 ≤ 2)
3418rpge0d 12185 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ → 0 ≤ 𝑘)
3529, 30, 33, 34mulge0d 10952 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ → 0 ≤ (2 · 𝑘))
3631, 35ge0p1rpd 12211 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℝ+)
3736rpreccld 12191 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ → (1 / ((2 · 𝑘) + 1)) ∈ ℝ+)
3824, 27, 17, 37fvmptd 6548 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → (𝐺𝑘) = (1 / ((2 · 𝑘) + 1)))
3937rpred 12181 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → (1 / ((2 · 𝑘) + 1)) ∈ ℝ)
4038, 39eqeltrd 2859 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → (𝐺𝑘) ∈ ℝ)
4140adantl 475 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺𝑘) ∈ ℝ)
42 1red 10377 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
43 0le1 10898 . . . . . . . . . . 11 0 ≤ 1
4443a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ → 0 ≤ 1)
4531, 42readdcld 10406 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℝ)
46 nncn 11383 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℂ)
4746mulid2d 10395 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ → (1 · 𝑘) = 𝑘)
48 1lt2 11553 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 < 2
4948a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℕ → 1 < 2)
5042, 29, 18, 49ltmul1dd 12236 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ → (1 · 𝑘) < (2 · 𝑘))
5147, 50eqbrtrrd 4910 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 < (2 · 𝑘))
5231ltp1d 11308 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ → (2 · 𝑘) < ((2 · 𝑘) + 1))
5330, 31, 45, 51, 52lttrd 10537 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 < ((2 · 𝑘) + 1))
5430, 45, 53ltled 10524 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ≤ ((2 · 𝑘) + 1))
5518, 36, 42, 44, 54lediv2ad 12203 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → (1 / ((2 · 𝑘) + 1)) ≤ (1 / 𝑘))
5655, 38, 203brtr4d 4918 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → (𝐺𝑘) ≤ (𝐿𝑘))
5756adantl 475 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺𝑘) ≤ (𝐿𝑘))
5837rpge0d 12185 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → 0 ≤ (1 / ((2 · 𝑘) + 1)))
5958, 38breqtrrd 4914 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → 0 ≤ (𝐺𝑘))
6059adantl 475 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝐺𝑘))
611, 2, 8, 13, 23, 41, 57, 60climsqz2 14780 . . . . . 6 (⊤ → 𝐺 ⇝ 0)
62 1cnd 10371 . . . . . 6 (⊤ → 1 ∈ ℂ)
63 stirlinglem1.2 . . . . . . . 8 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 − (1 / ((2 · 𝑛) + 1))))
6410mptex 6758 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 − (1 / ((2 · 𝑛) + 1)))) ∈ V
6563, 64eqeltri 2855 . . . . . . 7 𝐹 ∈ V
6665a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → 𝐹 ∈ V)
6741recnd 10405 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺𝑘) ∈ ℂ)
6863a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 − (1 / ((2 · 𝑛) + 1)))))
6927oveq2d 6938 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → (1 − (1 / ((2 · 𝑛) + 1))) = (1 − (1 / ((2 · 𝑘) + 1))))
70 1cnd 10371 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
71 2cnd 11453 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
7271, 46mulcld 10397 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ → (2 · 𝑘) ∈ ℂ)
7372, 70addcld 10396 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℂ)
7436rpne0d 12186 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → ((2 · 𝑘) + 1) ≠ 0)
7573, 74reccld 11144 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ → (1 / ((2 · 𝑘) + 1)) ∈ ℂ)
7670, 75subcld 10734 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → (1 − (1 / ((2 · 𝑘) + 1))) ∈ ℂ)
7768, 69, 17, 76fvmptd 6548 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → (𝐹𝑘) = (1 − (1 / ((2 · 𝑘) + 1))))
7838eqcomd 2784 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → (1 / ((2 · 𝑘) + 1)) = (𝐺𝑘))
7978oveq2d 6938 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → (1 − (1 / ((2 · 𝑘) + 1))) = (1 − (𝐺𝑘)))
8077, 79eqtrd 2814 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ → (𝐹𝑘) = (1 − (𝐺𝑘)))
8180adantl 475 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) = (1 − (𝐺𝑘)))
821, 2, 61, 62, 66, 67, 81climsubc2 14777 . . . . 5 (⊤ → 𝐹 ⇝ (1 − 0))
83 1m0e1 11503 . . . . 5 (1 − 0) = 1
8482, 83syl6breq 4927 . . . 4 (⊤ → 𝐹 ⇝ 1)
8562halfcld 11627 . . . 4 (⊤ → (1 / 2) ∈ ℂ)
86 stirlinglem1.1 . . . . . 6 𝐻 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑛↑2) / (𝑛 · ((2 · 𝑛) + 1))))
8710mptex 6758 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑛↑2) / (𝑛 · ((2 · 𝑛) + 1)))) ∈ V
8886, 87eqeltri 2855 . . . . 5 𝐻 ∈ V
8988a1i 11 . . . 4 (⊤ → 𝐻 ∈ V)
9077, 76eqeltrd 2859 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
9190adantl 475 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
92 nncn 11383 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℂ)
9392sqcld 13325 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛↑2) ∈ ℂ)
9493mulid2d 10395 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ → (1 · (𝑛↑2)) = (𝑛↑2))
9594eqcomd 2784 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛↑2) = (1 · (𝑛↑2)))
96 2cnd 11453 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
9796, 92mulcld 10397 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 𝑛) ∈ ℂ)
98 1cnd 10371 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
9992, 97, 98adddid 10401 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 · ((2 · 𝑛) + 1)) = ((𝑛 · (2 · 𝑛)) + (𝑛 · 1)))
10092, 96, 92mul12d 10585 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 · (2 · 𝑛)) = (2 · (𝑛 · 𝑛)))
10192sqvald 13324 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛↑2) = (𝑛 · 𝑛))
102101eqcomd 2784 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 · 𝑛) = (𝑛↑2))
103102oveq2d 6938 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℕ → (2 · (𝑛 · 𝑛)) = (2 · (𝑛↑2)))
104100, 103eqtrd 2814 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 · (2 · 𝑛)) = (2 · (𝑛↑2)))
10592mulid1d 10394 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 · 1) = 𝑛)
106104, 105oveq12d 6940 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑛 · (2 · 𝑛)) + (𝑛 · 1)) = ((2 · (𝑛↑2)) + 𝑛))
107 2ne0 11486 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 ≠ 0
108107a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ ℕ → 2 ≠ 0)
10992, 96, 108divcan2d 11153 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℕ → (2 · (𝑛 / 2)) = 𝑛)
110109eqcomd 2784 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 = (2 · (𝑛 / 2)))
111110oveq2d 6938 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℕ → ((2 · (𝑛↑2)) + 𝑛) = ((2 · (𝑛↑2)) + (2 · (𝑛 / 2))))
11292halfcld 11627 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 / 2) ∈ ℂ)
11396, 93, 112adddid 10401 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℕ → (2 · ((𝑛↑2) + (𝑛 / 2))) = ((2 · (𝑛↑2)) + (2 · (𝑛 / 2))))
114111, 113eqtr4d 2817 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ → ((2 · (𝑛↑2)) + 𝑛) = (2 · ((𝑛↑2) + (𝑛 / 2))))
11599, 106, 1143eqtrd 2818 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 · ((2 · 𝑛) + 1)) = (2 · ((𝑛↑2) + (𝑛 / 2))))
11695, 115oveq12d 6940 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑛↑2) / (𝑛 · ((2 · 𝑛) + 1))) = ((1 · (𝑛↑2)) / (2 · ((𝑛↑2) + (𝑛 / 2)))))
11793, 112addcld 10396 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑛↑2) + (𝑛 / 2)) ∈ ℂ)
118 nnrp 12150 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ+)
119 2z 11761 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 ∈ ℤ
120119a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℕ → 2 ∈ ℤ)
121118, 120rpexpcld 13353 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛↑2) ∈ ℝ+)
122118rphalfcld 12193 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 / 2) ∈ ℝ+)
123121, 122rpaddcld 12196 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑛↑2) + (𝑛 / 2)) ∈ ℝ+)
124123rpne0d 12186 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑛↑2) + (𝑛 / 2)) ≠ 0)
12598, 96, 93, 117, 108, 124divmuldivd 11192 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ → ((1 / 2) · ((𝑛↑2) / ((𝑛↑2) + (𝑛 / 2)))) = ((1 · (𝑛↑2)) / (2 · ((𝑛↑2) + (𝑛 / 2)))))
12693, 112pncand 10735 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℕ → (((𝑛↑2) + (𝑛 / 2)) − (𝑛 / 2)) = (𝑛↑2))
127126eqcomd 2784 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛↑2) = (((𝑛↑2) + (𝑛 / 2)) − (𝑛 / 2)))
128127oveq1d 6937 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑛↑2) / ((𝑛↑2) + (𝑛 / 2))) = ((((𝑛↑2) + (𝑛 / 2)) − (𝑛 / 2)) / ((𝑛↑2) + (𝑛 / 2))))
129117, 112, 117, 124divsubdird 11190 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℕ → ((((𝑛↑2) + (𝑛 / 2)) − (𝑛 / 2)) / ((𝑛↑2) + (𝑛 / 2))) = ((((𝑛↑2) + (𝑛 / 2)) / ((𝑛↑2) + (𝑛 / 2))) − ((𝑛 / 2) / ((𝑛↑2) + (𝑛 / 2)))))
130117, 124dividd 11149 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℕ → (((𝑛↑2) + (𝑛 / 2)) / ((𝑛↑2) + (𝑛 / 2))) = 1)
131130oveq1d 6937 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℕ → ((((𝑛↑2) + (𝑛 / 2)) / ((𝑛↑2) + (𝑛 / 2))) − ((𝑛 / 2) / ((𝑛↑2) + (𝑛 / 2)))) = (1 − ((𝑛 / 2) / ((𝑛↑2) + (𝑛 / 2)))))
132128, 129, 1313eqtrd 2818 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑛↑2) / ((𝑛↑2) + (𝑛 / 2))) = (1 − ((𝑛 / 2) / ((𝑛↑2) + (𝑛 / 2)))))
133 nnne0 11410 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ≠ 0)
13496, 92, 133divcld 11151 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℕ → (2 / 𝑛) ∈ ℂ)
13596, 92, 108, 133divne0d 11167 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℕ → (2 / 𝑛) ≠ 0)
136112, 117, 134, 124, 135divcan5rd 11178 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℕ → (((𝑛 / 2) · (2 / 𝑛)) / (((𝑛↑2) + (𝑛 / 2)) · (2 / 𝑛))) = ((𝑛 / 2) / ((𝑛↑2) + (𝑛 / 2))))
13792, 96, 133, 108divcan6d 11170 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑛 / 2) · (2 / 𝑛)) = 1)
13893, 112, 134adddird 10402 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ ℕ → (((𝑛↑2) + (𝑛 / 2)) · (2 / 𝑛)) = (((𝑛↑2) · (2 / 𝑛)) + ((𝑛 / 2) · (2 / 𝑛))))
13993, 96, 92, 133div12d 11187 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑛↑2) · (2 / 𝑛)) = (2 · ((𝑛↑2) / 𝑛)))
140 1e2m1 11509 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1 = (2 − 1)
141140oveq2i 6933 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑛↑1) = (𝑛↑(2 − 1))
14292exp1d 13322 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛↑1) = 𝑛)
14392, 133, 120expm1d 13337 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛↑(2 − 1)) = ((𝑛↑2) / 𝑛))
144141, 142, 1433eqtr3a 2838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 = ((𝑛↑2) / 𝑛))
145144eqcomd 2784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑛↑2) / 𝑛) = 𝑛)
146145oveq2d 6938 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 ∈ ℕ → (2 · ((𝑛↑2) / 𝑛)) = (2 · 𝑛))
147139, 146eqtrd 2814 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑛↑2) · (2 / 𝑛)) = (2 · 𝑛))
148147, 137oveq12d 6940 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ ℕ → (((𝑛↑2) · (2 / 𝑛)) + ((𝑛 / 2) · (2 / 𝑛))) = ((2 · 𝑛) + 1))
149138, 148eqtrd 2814 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℕ → (((𝑛↑2) + (𝑛 / 2)) · (2 / 𝑛)) = ((2 · 𝑛) + 1))
150137, 149oveq12d 6940 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℕ → (((𝑛 / 2) · (2 / 𝑛)) / (((𝑛↑2) + (𝑛 / 2)) · (2 / 𝑛))) = (1 / ((2 · 𝑛) + 1)))
151136, 150eqtr3d 2816 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑛 / 2) / ((𝑛↑2) + (𝑛 / 2))) = (1 / ((2 · 𝑛) + 1)))
152151oveq2d 6938 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ → (1 − ((𝑛 / 2) / ((𝑛↑2) + (𝑛 / 2)))) = (1 − (1 / ((2 · 𝑛) + 1))))
153132, 152eqtrd 2814 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑛↑2) / ((𝑛↑2) + (𝑛 / 2))) = (1 − (1 / ((2 · 𝑛) + 1))))
154153oveq2d 6938 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ → ((1 / 2) · ((𝑛↑2) / ((𝑛↑2) + (𝑛 / 2)))) = ((1 / 2) · (1 − (1 / ((2 · 𝑛) + 1)))))
155116, 125, 1543eqtr2d 2820 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑛↑2) / (𝑛 · ((2 · 𝑛) + 1))) = ((1 / 2) · (1 − (1 / ((2 · 𝑛) + 1)))))
156155mpteq2ia 4975 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑛↑2) / (𝑛 · ((2 · 𝑛) + 1)))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / 2) · (1 − (1 / ((2 · 𝑛) + 1)))))
15786, 156eqtri 2802 . . . . . . . 8 𝐻 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / 2) · (1 − (1 / ((2 · 𝑛) + 1)))))
158157a1i 11 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ → 𝐻 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / 2) · (1 − (1 / ((2 · 𝑛) + 1))))))
15969oveq2d 6938 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → ((1 / 2) · (1 − (1 / ((2 · 𝑛) + 1)))) = ((1 / 2) · (1 − (1 / ((2 · 𝑘) + 1)))))
16070halfcld 11627 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → (1 / 2) ∈ ℂ)
161160, 76mulcld 10397 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ → ((1 / 2) · (1 − (1 / ((2 · 𝑘) + 1)))) ∈ ℂ)
162158, 159, 17, 161fvmptd 6548 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ → (𝐻𝑘) = ((1 / 2) · (1 − (1 / ((2 · 𝑘) + 1)))))
16377oveq2d 6938 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ → ((1 / 2) · (𝐹𝑘)) = ((1 / 2) · (1 − (1 / ((2 · 𝑘) + 1)))))
164162, 163eqtr4d 2817 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ → (𝐻𝑘) = ((1 / 2) · (𝐹𝑘)))
165164adantl 475 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐻𝑘) = ((1 / 2) · (𝐹𝑘)))
1661, 2, 84, 85, 89, 91, 165climmulc2 14775 . . 3 (⊤ → 𝐻 ⇝ ((1 / 2) · 1))
167166mptru 1609 . 2 𝐻 ⇝ ((1 / 2) · 1)
168 halfcn 11597 . . 3 (1 / 2) ∈ ℂ
169168mulid1i 10381 . 2 ((1 / 2) · 1) = (1 / 2)
170167, 169breqtri 4911 1 𝐻 ⇝ (1 / 2)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 386   = wceq 1601  wtru 1602  wcel 2107  wne 2969  Vcvv 3398   class class class wbr 4886  cmpt 4965  cfv 6135  (class class class)co 6922  cc 10270  cr 10271  0cc0 10272  1c1 10273   + caddc 10275   · cmul 10277   < clt 10411  cle 10412  cmin 10606   / cdiv 11032  cn 11374  2c2 11430  cz 11728  +crp 12137  cexp 13178  cli 14623
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349  ax-pre-sup 10350
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-2nd 7446  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-er 8026  df-pm 8143  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-sup 8636  df-inf 8637  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-div 11033  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-n0 11643  df-z 11729  df-uz 11993  df-rp 12138  df-fl 12912  df-seq 13120  df-exp 13179  df-cj 14246  df-re 14247  df-im 14248  df-sqrt 14382  df-abs 14383  df-clim 14627  df-rlim 14628
This theorem is referenced by:  stirlinglem15  41232
  Copyright terms: Public domain W3C validator