Theorem normlem6 30368

Description: Lemma used to derive properties of norm. Part of Theorem 3.3(ii) of [Beran] p. 97. (Contributed by NM, 2-Aug-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
normlem1.1	⊢ 𝑆 ∈ ℂ
normlem1.2	⊢ 𝐹 ∈ ℋ
normlem1.3	⊢ 𝐺 ∈ ℋ
normlem2.4	⊢ 𝐵 = -(((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)))
normlem3.5	⊢ 𝐴 = (𝐺 ·ih 𝐺)
normlem3.6	⊢ 𝐶 = (𝐹 ·ih 𝐹)
normlem6.7	⊢ (abs‘𝑆) = 1

Assertion

Ref	Expression
normlem6	⊢ (abs‘𝐵) ≤ (2 · ((√‘𝐴) · (√‘𝐶)))

Proof of Theorem normlem6

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		normlem3.5	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 = (𝐺 ·ih 𝐺)
2		normlem1.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐺 ∈ ℋ
3		hiidrcl 30348	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺 ∈ ℋ → (𝐺 ·ih 𝐺) ∈ ℝ)
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ·ih 𝐺) ∈ ℝ
5	1, 4	eqeltri 2830	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
6	5	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 𝐴 ∈ ℝ)
7		normlem1.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑆 ∈ ℂ
8		normlem1.2	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐹 ∈ ℋ
9		normlem2.4	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = -(((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)))
10	7, 8, 2, 9	normlem2 30364	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ
11	10	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 𝐵 ∈ ℝ)
12		normlem3.6	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐶 = (𝐹 ·ih 𝐹)
13		hiidrcl 30348	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ ℋ → (𝐹 ·ih 𝐹) ∈ ℝ)
14	8, 13	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ·ih 𝐹) ∈ ℝ
15	12, 14	eqeltri 2830	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐶 ∈ ℝ
16	15	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 𝐶 ∈ ℝ)
17		oveq1 7416	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) → (𝑥↑2) = (if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0)↑2))
18	17	oveq2d 7425	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) → (𝐴 · (𝑥↑2)) = (𝐴 · (if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0)↑2)))
19		oveq2 7417	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) → (𝐵 · 𝑥) = (𝐵 · if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0)))
20	18, 19	oveq12d 7427	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) → ((𝐴 · (𝑥↑2)) + (𝐵 · 𝑥)) = ((𝐴 · (if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0)↑2)) + (𝐵 · if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0))))
21	20	oveq1d 7424	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) → (((𝐴 · (𝑥↑2)) + (𝐵 · 𝑥)) + 𝐶) = (((𝐴 · (if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0)↑2)) + (𝐵 · if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0))) + 𝐶))
22	21	breq2d 5161	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) → (0 ≤ (((𝐴 · (𝑥↑2)) + (𝐵 · 𝑥)) + 𝐶) ↔ 0 ≤ (((𝐴 · (if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0)↑2)) + (𝐵 · if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0))) + 𝐶)))
23		0re 11216	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℝ
24	23	elimel 4598	. . . . . . . . . 10 ⊢ if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) ∈ ℝ
25		normlem6.7	. . . . . . . . . 10 ⊢ (abs‘𝑆) = 1
26	7, 8, 2, 9, 1, 12, 24, 25	normlem5 30367	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ≤ (((𝐴 · (if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0)↑2)) + (𝐵 · if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0))) + 𝐶)
27	22, 26	dedth 4587	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 0 ≤ (((𝐴 · (𝑥↑2)) + (𝐵 · 𝑥)) + 𝐶))
28	27	adantl 483	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 0 ≤ (((𝐴 · (𝑥↑2)) + (𝐵 · 𝑥)) + 𝐶))
29	6, 11, 16, 28	discr 14203	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))) ≤ 0)
30	29	mptru 1549	. . . . 5 ⊢ ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))) ≤ 0
31	10	resqcli 14150	. . . . . 6 ⊢ (𝐵↑2) ∈ ℝ
32		4re 12296	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℝ
33	5, 15	remulcli 11230	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 · 𝐶) ∈ ℝ
34	32, 33	remulcli 11230	. . . . . 6 ⊢ (4 · (𝐴 · 𝐶)) ∈ ℝ
35	31, 34, 23	lesubadd2i 11774	. . . . 5 ⊢ (((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))) ≤ 0 ↔ (𝐵↑2) ≤ ((4 · (𝐴 · 𝐶)) + 0))
36	30, 35	mpbi 229	. . . 4 ⊢ (𝐵↑2) ≤ ((4 · (𝐴 · 𝐶)) + 0)
37	34	recni 11228	. . . . 5 ⊢ (4 · (𝐴 · 𝐶)) ∈ ℂ
38	37	addridi 11401	. . . 4 ⊢ ((4 · (𝐴 · 𝐶)) + 0) = (4 · (𝐴 · 𝐶))
39	36, 38	breqtri 5174	. . 3 ⊢ (𝐵↑2) ≤ (4 · (𝐴 · 𝐶))
40	10	sqge0i 14152	. . . 4 ⊢ 0 ≤ (𝐵↑2)
41		4pos 12319	. . . . . 6 ⊢ 0 < 4
42	23, 32, 41	ltleii 11337	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 4
43		hiidge0 30351	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ ℋ → 0 ≤ (𝐺 ·ih 𝐺))
44	2, 43	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ 0 ≤ (𝐺 ·ih 𝐺)
45	44, 1	breqtrri 5176	. . . . . 6 ⊢ 0 ≤ 𝐴
46		hiidge0 30351	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ ℋ → 0 ≤ (𝐹 ·ih 𝐹))
47	8, 46	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ 0 ≤ (𝐹 ·ih 𝐹)
48	47, 12	breqtrri 5176	. . . . . 6 ⊢ 0 ≤ 𝐶
49	5, 15	mulge0i 11761	. . . . . 6 ⊢ ((0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐶) → 0 ≤ (𝐴 · 𝐶))
50	45, 48, 49	mp2an 691	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ (𝐴 · 𝐶)
51	32, 33	mulge0i 11761	. . . . 5 ⊢ ((0 ≤ 4 ∧ 0 ≤ (𝐴 · 𝐶)) → 0 ≤ (4 · (𝐴 · 𝐶)))
52	42, 50, 51	mp2an 691	. . . 4 ⊢ 0 ≤ (4 · (𝐴 · 𝐶))
53	31, 34	sqrtlei 15335	. . . 4 ⊢ ((0 ≤ (𝐵↑2) ∧ 0 ≤ (4 · (𝐴 · 𝐶))) → ((𝐵↑2) ≤ (4 · (𝐴 · 𝐶)) ↔ (√‘(𝐵↑2)) ≤ (√‘(4 · (𝐴 · 𝐶)))))
54	40, 52, 53	mp2an 691	. . 3 ⊢ ((𝐵↑2) ≤ (4 · (𝐴 · 𝐶)) ↔ (√‘(𝐵↑2)) ≤ (√‘(4 · (𝐴 · 𝐶))))
55	39, 54	mpbi 229	. 2 ⊢ (√‘(𝐵↑2)) ≤ (√‘(4 · (𝐴 · 𝐶)))
56	10	absrei 15328	. 2 ⊢ (abs‘𝐵) = (√‘(𝐵↑2))
57	32, 33, 42, 50	sqrtmulii 15333	. . 3 ⊢ (√‘(4 · (𝐴 · 𝐶))) = ((√‘4) · (√‘(𝐴 · 𝐶)))
58		sqrt4 15219	. . . 4 ⊢ (√‘4) = 2
59	5, 15, 45, 48	sqrtmulii 15333	. . . 4 ⊢ (√‘(𝐴 · 𝐶)) = ((√‘𝐴) · (√‘𝐶))
60	58, 59	oveq12i 7421	. . 3 ⊢ ((√‘4) · (√‘(𝐴 · 𝐶))) = (2 · ((√‘𝐴) · (√‘𝐶)))
61	57, 60	eqtr2i 2762	. 2 ⊢ (2 · ((√‘𝐴) · (√‘𝐶))) = (√‘(4 · (𝐴 · 𝐶)))
62	55, 56, 61	3brtr4i 5179	1 ⊢ (abs‘𝐵) ≤ (2 · ((√‘𝐴) · (√‘𝐶)))

Syntax hints:   ↔ wb 205   = wceq 1542  ⊤wtru 1543   ∈ wcel 2107  ifcif 4529   class class class wbr 5149  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409  ℂcc 11108  ℝcr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   · cmul 11115   ≤ cle 11249   − cmin 11444  -cneg 11445  2c2 12267  4c4 12269  ↑cexp 14027  ∗ccj 15043  √csqrt 15180  abscabs 15181   ℋchba 30172   ·_ih csp 30175

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-hfvadd 30253  ax-hv0cl 30256  ax-hfvmul 30258  ax-hvmulass 30260  ax-hvmul0 30263  ax-hfi 30332  ax-his1 30335  ax-his2 30336  ax-his3 30337  ax-his4 30338

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9437  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-seq 13967  df-exp 14028  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-hvsub 30224

This theorem is referenced by:  normlem7  30369