Theorem normlem6 31319

Description: Lemma used to derive properties of norm. Part of Theorem 3.3(ii) of [Beran] p. 97. (Contributed by NM, 2-Aug-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
normlem1.1	⊢ 𝑆 ∈ ℂ
normlem1.2	⊢ 𝐹 ∈ ℋ
normlem1.3	⊢ 𝐺 ∈ ℋ
normlem2.4	⊢ 𝐵 = -(((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)))
normlem3.5	⊢ 𝐴 = (𝐺 ·ih 𝐺)
normlem3.6	⊢ 𝐶 = (𝐹 ·ih 𝐹)
normlem6.7	⊢ (abs‘𝑆) = 1

Assertion

Ref	Expression
normlem6	⊢ (abs‘𝐵) ≤ (2 · ((√‘𝐴) · (√‘𝐶)))

Proof of Theorem normlem6

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		normlem3.5	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 = (𝐺 ·ih 𝐺)
2		normlem1.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐺 ∈ ℋ
3		hiidrcl 31299	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺 ∈ ℋ → (𝐺 ·ih 𝐺) ∈ ℝ)
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ·ih 𝐺) ∈ ℝ
5	1, 4	eqeltri 2859	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
6	5	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 𝐴 ∈ ℝ)
7		normlem1.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑆 ∈ ℂ
8		normlem1.2	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐹 ∈ ℋ
9		normlem2.4	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = -(((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)))
10	7, 8, 2, 9	normlem2 31315	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ
11	10	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 𝐵 ∈ ℝ)
12		normlem3.6	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐶 = (𝐹 ·ih 𝐹)
13		hiidrcl 31299	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ ℋ → (𝐹 ·ih 𝐹) ∈ ℝ)
14	8, 13	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ·ih 𝐹) ∈ ℝ
15	12, 14	eqeltri 2859	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐶 ∈ ℝ
16	15	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 𝐶 ∈ ℝ)
17		oveq1 7404	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) → (𝑥↑2) = (if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0)↑2))
18	17	oveq2d 7413	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) → (𝐴 · (𝑥↑2)) = (𝐴 · (if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0)↑2)))
19		oveq2 7405	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) → (𝐵 · 𝑥) = (𝐵 · if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0)))
20	18, 19	oveq12d 7415	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) → ((𝐴 · (𝑥↑2)) + (𝐵 · 𝑥)) = ((𝐴 · (if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0)↑2)) + (𝐵 · if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0))))
21	20	oveq1d 7412	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) → (((𝐴 · (𝑥↑2)) + (𝐵 · 𝑥)) + 𝐶) = (((𝐴 · (if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0)↑2)) + (𝐵 · if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0))) + 𝐶))
22	21	breq2d 5113	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) → (0 ≤ (((𝐴 · (𝑥↑2)) + (𝐵 · 𝑥)) + 𝐶) ↔ 0 ≤ (((𝐴 · (if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0)↑2)) + (𝐵 · if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0))) + 𝐶)))
23		0re 11184	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℝ
24	23	elimel 4551	. . . . . . . . . 10 ⊢ if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) ∈ ℝ
25		normlem6.7	. . . . . . . . . 10 ⊢ (abs‘𝑆) = 1
26	7, 8, 2, 9, 1, 12, 24, 25	normlem5 31318	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ≤ (((𝐴 · (if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0)↑2)) + (𝐵 · if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0))) + 𝐶)
27	22, 26	dedth 4540	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 0 ≤ (((𝐴 · (𝑥↑2)) + (𝐵 · 𝑥)) + 𝐶))
28	27	adantl 485	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 0 ≤ (((𝐴 · (𝑥↑2)) + (𝐵 · 𝑥)) + 𝐶))
29	6, 11, 16, 28	discr 14254	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))) ≤ 0)
30	29	mptru 1568	. . . . 5 ⊢ ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))) ≤ 0
31	10	resqcli 14200	. . . . . 6 ⊢ (𝐵↑2) ∈ ℝ
32		4re 12303	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℝ
33	5, 15	remulcli 11199	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 · 𝐶) ∈ ℝ
34	32, 33	remulcli 11199	. . . . . 6 ⊢ (4 · (𝐴 · 𝐶)) ∈ ℝ
35	31, 34, 23	lesubadd2i 11748	. . . . 5 ⊢ (((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))) ≤ 0 ↔ (𝐵↑2) ≤ ((4 · (𝐴 · 𝐶)) + 0))
36	30, 35	mpbi 232	. . . 4 ⊢ (𝐵↑2) ≤ ((4 · (𝐴 · 𝐶)) + 0)
37	34	recni 11197	. . . . 5 ⊢ (4 · (𝐴 · 𝐶)) ∈ ℂ
38	37	addridi 11371	. . . 4 ⊢ ((4 · (𝐴 · 𝐶)) + 0) = (4 · (𝐴 · 𝐶))
39	36, 38	breqtri 5126	. . 3 ⊢ (𝐵↑2) ≤ (4 · (𝐴 · 𝐶))
40	10	sqge0i 14202	. . . 4 ⊢ 0 ≤ (𝐵↑2)
41		4pos 12329	. . . . . 6 ⊢ 0 < 4
42	23, 32, 41	ltleii 11307	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 4
43		hiidge0 31302	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ ℋ → 0 ≤ (𝐺 ·ih 𝐺))
44	2, 43	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ 0 ≤ (𝐺 ·ih 𝐺)
45	44, 1	breqtrri 5128	. . . . . 6 ⊢ 0 ≤ 𝐴
46		hiidge0 31302	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ ℋ → 0 ≤ (𝐹 ·ih 𝐹))
47	8, 46	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ 0 ≤ (𝐹 ·ih 𝐹)
48	47, 12	breqtrri 5128	. . . . . 6 ⊢ 0 ≤ 𝐶
49	5, 15	mulge0i 11735	. . . . . 6 ⊢ ((0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐶) → 0 ≤ (𝐴 · 𝐶))
50	45, 48, 49	mp2an 702	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ (𝐴 · 𝐶)
51	32, 33	mulge0i 11735	. . . . 5 ⊢ ((0 ≤ 4 ∧ 0 ≤ (𝐴 · 𝐶)) → 0 ≤ (4 · (𝐴 · 𝐶)))
52	42, 50, 51	mp2an 702	. . . 4 ⊢ 0 ≤ (4 · (𝐴 · 𝐶))
53	31, 34	sqrtlei 15417	. . . 4 ⊢ ((0 ≤ (𝐵↑2) ∧ 0 ≤ (4 · (𝐴 · 𝐶))) → ((𝐵↑2) ≤ (4 · (𝐴 · 𝐶)) ↔ (√‘(𝐵↑2)) ≤ (√‘(4 · (𝐴 · 𝐶)))))
54	40, 52, 53	mp2an 702	. . 3 ⊢ ((𝐵↑2) ≤ (4 · (𝐴 · 𝐶)) ↔ (√‘(𝐵↑2)) ≤ (√‘(4 · (𝐴 · 𝐶))))
55	39, 54	mpbi 232	. 2 ⊢ (√‘(𝐵↑2)) ≤ (√‘(4 · (𝐴 · 𝐶)))
56	10	absrei 15410	. 2 ⊢ (abs‘𝐵) = (√‘(𝐵↑2))
57	32, 33, 42, 50	sqrtmulii 15415	. . 3 ⊢ (√‘(4 · (𝐴 · 𝐶))) = ((√‘4) · (√‘(𝐴 · 𝐶)))
58		sqrt4 15300	. . . 4 ⊢ (√‘4) = 2
59	5, 15, 45, 48	sqrtmulii 15415	. . . 4 ⊢ (√‘(𝐴 · 𝐶)) = ((√‘𝐴) · (√‘𝐶))
60	58, 59	oveq12i 7409	. . 3 ⊢ ((√‘4) · (√‘(𝐴 · 𝐶))) = (2 · ((√‘𝐴) · (√‘𝐶)))
61	57, 60	eqtr2i 2787	. 2 ⊢ (2 · ((√‘𝐴) · (√‘𝐶))) = (√‘(4 · (𝐴 · 𝐶)))
62	55, 56, 61	3brtr4i 5131	1 ⊢ (abs‘𝐵) ≤ (2 · ((√‘𝐴) · (√‘𝐶)))

Syntax hints:   ↔ wb 208   = wceq 1561  ⊤wtru 1562   ∈ wcel 2143  ifcif 4481   class class class wbr 5101  ‘cfv 6522  (class class class)co 7397  ℂcc 11072  ℝcr 11073  0cc0 11074  1c1 11075   + caddc 11077   · cmul 11079   ≤ cle 11218   − cmin 11415  -cneg 11416  2c2 12273  4c4 12275  ↑cexp 14075  ∗ccj 15124  √csqrt 15261  abscabs 15262   ℋchba 31123   ·_ih csp 31126

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pow 5323  ax-pr 5391  ax-un 7719  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151  ax-pre-sup 11152  ax-hfvadd 31204  ax-hv0cl 31207  ax-hfvmul 31209  ax-hvmulass 31211  ax-hvmul0 31214  ax-hfi 31283  ax-his1 31286  ax-his2 31287  ax-his3 31288  ax-his4 31289

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-tr 5209  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6289  df-ord 6350  df-on 6351  df-lim 6352  df-suc 6353  df-iota 6478  df-fun 6524  df-fn 6525  df-f 6526  df-f1 6527  df-fo 6528  df-f1o 6529  df-fv 6530  df-riota 7354  df-ov 7400  df-oprab 7401  df-mpo 7402  df-om 7848  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8382  df-er 8679  df-en 8929  df-dom 8930  df-sdom 8931  df-sup 9389  df-pnf 11219  df-mnf 11220  df-xr 11221  df-ltxr 11222  df-le 11223  df-sub 11417  df-neg 11418  df-div 11846  df-nn 12212  df-2 12281  df-3 12282  df-4 12283  df-n0 12483  df-z 12570  df-uz 12841  df-rp 12995  df-seq 14016  df-exp 14076  df-cj 15127  df-re 15128  df-im 15129  df-sqrt 15263  df-abs 15264  df-hvsub 31175

This theorem is referenced by:  normlem7  31320