Theorem normlem6 31044

Description: Lemma used to derive properties of norm. Part of Theorem 3.3(ii) of [Beran] p. 97. (Contributed by NM, 2-Aug-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
normlem1.1	⊢ 𝑆 ∈ ℂ
normlem1.2	⊢ 𝐹 ∈ ℋ
normlem1.3	⊢ 𝐺 ∈ ℋ
normlem2.4	⊢ 𝐵 = -(((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)))
normlem3.5	⊢ 𝐴 = (𝐺 ·ih 𝐺)
normlem3.6	⊢ 𝐶 = (𝐹 ·ih 𝐹)
normlem6.7	⊢ (abs‘𝑆) = 1

Assertion

Ref	Expression
normlem6	⊢ (abs‘𝐵) ≤ (2 · ((√‘𝐴) · (√‘𝐶)))

Proof of Theorem normlem6

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		normlem3.5	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 = (𝐺 ·ih 𝐺)
2		normlem1.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐺 ∈ ℋ
3		hiidrcl 31024	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺 ∈ ℋ → (𝐺 ·ih 𝐺) ∈ ℝ)
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ·ih 𝐺) ∈ ℝ
5	1, 4	eqeltri 2824	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
6	5	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 𝐴 ∈ ℝ)
7		normlem1.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑆 ∈ ℂ
8		normlem1.2	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐹 ∈ ℋ
9		normlem2.4	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = -(((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)))
10	7, 8, 2, 9	normlem2 31040	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ
11	10	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 𝐵 ∈ ℝ)
12		normlem3.6	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐶 = (𝐹 ·ih 𝐹)
13		hiidrcl 31024	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ ℋ → (𝐹 ·ih 𝐹) ∈ ℝ)
14	8, 13	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ·ih 𝐹) ∈ ℝ
15	12, 14	eqeltri 2824	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐶 ∈ ℝ
16	15	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 𝐶 ∈ ℝ)
17		oveq1 7394	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) → (𝑥↑2) = (if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0)↑2))
18	17	oveq2d 7403	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) → (𝐴 · (𝑥↑2)) = (𝐴 · (if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0)↑2)))
19		oveq2 7395	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) → (𝐵 · 𝑥) = (𝐵 · if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0)))
20	18, 19	oveq12d 7405	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) → ((𝐴 · (𝑥↑2)) + (𝐵 · 𝑥)) = ((𝐴 · (if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0)↑2)) + (𝐵 · if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0))))
21	20	oveq1d 7402	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) → (((𝐴 · (𝑥↑2)) + (𝐵 · 𝑥)) + 𝐶) = (((𝐴 · (if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0)↑2)) + (𝐵 · if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0))) + 𝐶))
22	21	breq2d 5119	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) → (0 ≤ (((𝐴 · (𝑥↑2)) + (𝐵 · 𝑥)) + 𝐶) ↔ 0 ≤ (((𝐴 · (if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0)↑2)) + (𝐵 · if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0))) + 𝐶)))
23		0re 11176	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℝ
24	23	elimel 4558	. . . . . . . . . 10 ⊢ if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) ∈ ℝ
25		normlem6.7	. . . . . . . . . 10 ⊢ (abs‘𝑆) = 1
26	7, 8, 2, 9, 1, 12, 24, 25	normlem5 31043	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ≤ (((𝐴 · (if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0)↑2)) + (𝐵 · if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0))) + 𝐶)
27	22, 26	dedth 4547	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 0 ≤ (((𝐴 · (𝑥↑2)) + (𝐵 · 𝑥)) + 𝐶))
28	27	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 0 ≤ (((𝐴 · (𝑥↑2)) + (𝐵 · 𝑥)) + 𝐶))
29	6, 11, 16, 28	discr 14205	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))) ≤ 0)
30	29	mptru 1547	. . . . 5 ⊢ ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))) ≤ 0
31	10	resqcli 14151	. . . . . 6 ⊢ (𝐵↑2) ∈ ℝ
32		4re 12270	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℝ
33	5, 15	remulcli 11190	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 · 𝐶) ∈ ℝ
34	32, 33	remulcli 11190	. . . . . 6 ⊢ (4 · (𝐴 · 𝐶)) ∈ ℝ
35	31, 34, 23	lesubadd2i 11738	. . . . 5 ⊢ (((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))) ≤ 0 ↔ (𝐵↑2) ≤ ((4 · (𝐴 · 𝐶)) + 0))
36	30, 35	mpbi 230	. . . 4 ⊢ (𝐵↑2) ≤ ((4 · (𝐴 · 𝐶)) + 0)
37	34	recni 11188	. . . . 5 ⊢ (4 · (𝐴 · 𝐶)) ∈ ℂ
38	37	addridi 11361	. . . 4 ⊢ ((4 · (𝐴 · 𝐶)) + 0) = (4 · (𝐴 · 𝐶))
39	36, 38	breqtri 5132	. . 3 ⊢ (𝐵↑2) ≤ (4 · (𝐴 · 𝐶))
40	10	sqge0i 14153	. . . 4 ⊢ 0 ≤ (𝐵↑2)
41		4pos 12293	. . . . . 6 ⊢ 0 < 4
42	23, 32, 41	ltleii 11297	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 4
43		hiidge0 31027	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ ℋ → 0 ≤ (𝐺 ·ih 𝐺))
44	2, 43	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ 0 ≤ (𝐺 ·ih 𝐺)
45	44, 1	breqtrri 5134	. . . . . 6 ⊢ 0 ≤ 𝐴
46		hiidge0 31027	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ ℋ → 0 ≤ (𝐹 ·ih 𝐹))
47	8, 46	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ 0 ≤ (𝐹 ·ih 𝐹)
48	47, 12	breqtrri 5134	. . . . . 6 ⊢ 0 ≤ 𝐶
49	5, 15	mulge0i 11725	. . . . . 6 ⊢ ((0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐶) → 0 ≤ (𝐴 · 𝐶))
50	45, 48, 49	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ (𝐴 · 𝐶)
51	32, 33	mulge0i 11725	. . . . 5 ⊢ ((0 ≤ 4 ∧ 0 ≤ (𝐴 · 𝐶)) → 0 ≤ (4 · (𝐴 · 𝐶)))
52	42, 50, 51	mp2an 692	. . . 4 ⊢ 0 ≤ (4 · (𝐴 · 𝐶))
53	31, 34	sqrtlei 15355	. . . 4 ⊢ ((0 ≤ (𝐵↑2) ∧ 0 ≤ (4 · (𝐴 · 𝐶))) → ((𝐵↑2) ≤ (4 · (𝐴 · 𝐶)) ↔ (√‘(𝐵↑2)) ≤ (√‘(4 · (𝐴 · 𝐶)))))
54	40, 52, 53	mp2an 692	. . 3 ⊢ ((𝐵↑2) ≤ (4 · (𝐴 · 𝐶)) ↔ (√‘(𝐵↑2)) ≤ (√‘(4 · (𝐴 · 𝐶))))
55	39, 54	mpbi 230	. 2 ⊢ (√‘(𝐵↑2)) ≤ (√‘(4 · (𝐴 · 𝐶)))
56	10	absrei 15348	. 2 ⊢ (abs‘𝐵) = (√‘(𝐵↑2))
57	32, 33, 42, 50	sqrtmulii 15353	. . 3 ⊢ (√‘(4 · (𝐴 · 𝐶))) = ((√‘4) · (√‘(𝐴 · 𝐶)))
58		sqrt4 15238	. . . 4 ⊢ (√‘4) = 2
59	5, 15, 45, 48	sqrtmulii 15353	. . . 4 ⊢ (√‘(𝐴 · 𝐶)) = ((√‘𝐴) · (√‘𝐶))
60	58, 59	oveq12i 7399	. . 3 ⊢ ((√‘4) · (√‘(𝐴 · 𝐶))) = (2 · ((√‘𝐴) · (√‘𝐶)))
61	57, 60	eqtr2i 2753	. 2 ⊢ (2 · ((√‘𝐴) · (√‘𝐶))) = (√‘(4 · (𝐴 · 𝐶)))
62	55, 56, 61	3brtr4i 5137	1 ⊢ (abs‘𝐵) ≤ (2 · ((√‘𝐴) · (√‘𝐶)))

Syntax hints:   ↔ wb 206   = wceq 1540  ⊤wtru 1541   ∈ wcel 2109  ifcif 4488   class class class wbr 5107  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  ℂcc 11066  ℝcr 11067  0cc0 11068  1c1 11069   + caddc 11071   · cmul 11073   ≤ cle 11209   − cmin 11405  -cneg 11406  2c2 12241  4c4 12243  ↑cexp 14026  ∗ccj 15062  √csqrt 15199  abscabs 15200   ℋchba 30848   ·_ih csp 30851

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146  ax-hfvadd 30929  ax-hv0cl 30932  ax-hfvmul 30934  ax-hvmulass 30936  ax-hvmul0 30939  ax-hfi 31008  ax-his1 31011  ax-his2 31012  ax-his3 31013  ax-his4 31014

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-sup 9393  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-rp 12952  df-seq 13967  df-exp 14027  df-cj 15065  df-re 15066  df-im 15067  df-sqrt 15201  df-abs 15202  df-hvsub 30900

This theorem is referenced by:  normlem7  31045