Theorem normlem6 31408

Description: Lemma used to derive properties of norm. Part of Theorem 3.3(ii) of [Beran] p. 97. (Contributed by NM, 2-Aug-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
normlem1.1	⊢ 𝑆 ∈ ℂ
normlem1.2	⊢ 𝐹 ∈ ℋ
normlem1.3	⊢ 𝐺 ∈ ℋ
normlem2.4	⊢ 𝐵 = -(((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)))
normlem3.5	⊢ 𝐴 = (𝐺 ·ih 𝐺)
normlem3.6	⊢ 𝐶 = (𝐹 ·ih 𝐹)
normlem6.7	⊢ (abs‘𝑆) = 1

Assertion

Ref	Expression
normlem6	⊢ (abs‘𝐵) ≤ (2 · ((√‘𝐴) · (√‘𝐶)))

Proof of Theorem normlem6

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		normlem3.5	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 = (𝐺 ·ih 𝐺)
2		normlem1.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐺 ∈ ℋ
3		hiidrcl 31388	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺 ∈ ℋ → (𝐺 ·ih 𝐺) ∈ ℝ)
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ·ih 𝐺) ∈ ℝ
5	1, 4	eqeltri 2865	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
6	5	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 𝐴 ∈ ℝ)
7		normlem1.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑆 ∈ ℂ
8		normlem1.2	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐹 ∈ ℋ
9		normlem2.4	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = -(((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)))
10	7, 8, 2, 9	normlem2 31404	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ
11	10	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 𝐵 ∈ ℝ)
12		normlem3.6	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐶 = (𝐹 ·ih 𝐹)
13		hiidrcl 31388	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ ℋ → (𝐹 ·ih 𝐹) ∈ ℝ)
14	8, 13	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ·ih 𝐹) ∈ ℝ
15	12, 14	eqeltri 2865	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐶 ∈ ℝ
16	15	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 𝐶 ∈ ℝ)
17		oveq1 7418	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) → (𝑥↑2) = (if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0)↑2))
18	17	oveq2d 7427	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) → (𝐴 · (𝑥↑2)) = (𝐴 · (if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0)↑2)))
19		oveq2 7419	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) → (𝐵 · 𝑥) = (𝐵 · if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0)))
20	18, 19	oveq12d 7429	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) → ((𝐴 · (𝑥↑2)) + (𝐵 · 𝑥)) = ((𝐴 · (if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0)↑2)) + (𝐵 · if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0))))
21	20	oveq1d 7426	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) → (((𝐴 · (𝑥↑2)) + (𝐵 · 𝑥)) + 𝐶) = (((𝐴 · (if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0)↑2)) + (𝐵 · if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0))) + 𝐶))
22	21	breq2d 5125	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) → (0 ≤ (((𝐴 · (𝑥↑2)) + (𝐵 · 𝑥)) + 𝐶) ↔ 0 ≤ (((𝐴 · (if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0)↑2)) + (𝐵 · if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0))) + 𝐶)))
23		0re 11210	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℝ
24	23	elimel 4562	. . . . . . . . . 10 ⊢ if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) ∈ ℝ
25		normlem6.7	. . . . . . . . . 10 ⊢ (abs‘𝑆) = 1
26	7, 8, 2, 9, 1, 12, 24, 25	normlem5 31407	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ≤ (((𝐴 · (if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0)↑2)) + (𝐵 · if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0))) + 𝐶)
27	22, 26	dedth 4551	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 0 ≤ (((𝐴 · (𝑥↑2)) + (𝐵 · 𝑥)) + 𝐶))
28	27	adantl 486	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 0 ≤ (((𝐴 · (𝑥↑2)) + (𝐵 · 𝑥)) + 𝐶))
29	6, 11, 16, 28	discr 14276	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))) ≤ 0)
30	29	mptru 1574	. . . . 5 ⊢ ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))) ≤ 0
31	10	resqcli 14222	. . . . . 6 ⊢ (𝐵↑2) ∈ ℝ
32		4re 12325	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℝ
33	5, 15	remulcli 11225	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 · 𝐶) ∈ ℝ
34	32, 33	remulcli 11225	. . . . . 6 ⊢ (4 · (𝐴 · 𝐶)) ∈ ℝ
35	31, 34, 23	lesubadd2i 11774	. . . . 5 ⊢ (((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))) ≤ 0 ↔ (𝐵↑2) ≤ ((4 · (𝐴 · 𝐶)) + 0))
36	30, 35	mpbi 233	. . . 4 ⊢ (𝐵↑2) ≤ ((4 · (𝐴 · 𝐶)) + 0)
37	34	recni 11223	. . . . 5 ⊢ (4 · (𝐴 · 𝐶)) ∈ ℂ
38	37	addridi 11397	. . . 4 ⊢ ((4 · (𝐴 · 𝐶)) + 0) = (4 · (𝐴 · 𝐶))
39	36, 38	breqtri 5140	. . 3 ⊢ (𝐵↑2) ≤ (4 · (𝐴 · 𝐶))
40	10	sqge0i 14224	. . . 4 ⊢ 0 ≤ (𝐵↑2)
41		4pos 12351	. . . . . 6 ⊢ 0 < 4
42	23, 32, 41	ltleii 11333	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 4
43		hiidge0 31391	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ ℋ → 0 ≤ (𝐺 ·ih 𝐺))
44	2, 43	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ 0 ≤ (𝐺 ·ih 𝐺)
45	44, 1	breqtrri 5142	. . . . . 6 ⊢ 0 ≤ 𝐴
46		hiidge0 31391	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ ℋ → 0 ≤ (𝐹 ·ih 𝐹))
47	8, 46	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ 0 ≤ (𝐹 ·ih 𝐹)
48	47, 12	breqtrri 5142	. . . . . 6 ⊢ 0 ≤ 𝐶
49	5, 15	mulge0i 11761	. . . . . 6 ⊢ ((0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐶) → 0 ≤ (𝐴 · 𝐶))
50	45, 48, 49	mp2an 704	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ (𝐴 · 𝐶)
51	32, 33	mulge0i 11761	. . . . 5 ⊢ ((0 ≤ 4 ∧ 0 ≤ (𝐴 · 𝐶)) → 0 ≤ (4 · (𝐴 · 𝐶)))
52	42, 50, 51	mp2an 704	. . . 4 ⊢ 0 ≤ (4 · (𝐴 · 𝐶))
53	31, 34	sqrtlei 15440	. . . 4 ⊢ ((0 ≤ (𝐵↑2) ∧ 0 ≤ (4 · (𝐴 · 𝐶))) → ((𝐵↑2) ≤ (4 · (𝐴 · 𝐶)) ↔ (√‘(𝐵↑2)) ≤ (√‘(4 · (𝐴 · 𝐶)))))
54	40, 52, 53	mp2an 704	. . 3 ⊢ ((𝐵↑2) ≤ (4 · (𝐴 · 𝐶)) ↔ (√‘(𝐵↑2)) ≤ (√‘(4 · (𝐴 · 𝐶))))
55	39, 54	mpbi 233	. 2 ⊢ (√‘(𝐵↑2)) ≤ (√‘(4 · (𝐴 · 𝐶)))
56	10	absrei 15433	. 2 ⊢ (abs‘𝐵) = (√‘(𝐵↑2))
57	32, 33, 42, 50	sqrtmulii 15438	. . 3 ⊢ (√‘(4 · (𝐴 · 𝐶))) = ((√‘4) · (√‘(𝐴 · 𝐶)))
58		sqrt4 15323	. . . 4 ⊢ (√‘4) = 2
59	5, 15, 45, 48	sqrtmulii 15438	. . . 4 ⊢ (√‘(𝐴 · 𝐶)) = ((√‘𝐴) · (√‘𝐶))
60	58, 59	oveq12i 7423	. . 3 ⊢ ((√‘4) · (√‘(𝐴 · 𝐶))) = (2 · ((√‘𝐴) · (√‘𝐶)))
61	57, 60	eqtr2i 2793	. 2 ⊢ (2 · ((√‘𝐴) · (√‘𝐶))) = (√‘(4 · (𝐴 · 𝐶)))
62	55, 56, 61	3brtr4i 5145	1 ⊢ (abs‘𝐵) ≤ (2 · ((√‘𝐴) · (√‘𝐶)))

Syntax hints:   ↔ wb 209   = wceq 1567  ⊤wtru 1568   ∈ wcel 2149  ifcif 4492   class class class wbr 5113  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  ℂcc 11098  ℝcr 11099  0cc0 11100  1c1 11101   + caddc 11103   · cmul 11105   ≤ cle 11244   − cmin 11441  -cneg 11442  2c2 12295  4c4 12297  ↑cexp 14097  ∗ccj 15147  √csqrt 15284  abscabs 15285   ℋchba 31212   ·_ih csp 31215

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177  ax-pre-sup 11178  ax-hfvadd 31293  ax-hv0cl 31296  ax-hfvmul 31298  ax-hvmulass 31300  ax-hvmul0 31303  ax-hfi 31372  ax-his1 31375  ax-his2 31376  ax-his3 31377  ax-his4 31378

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-sup 9402  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11872  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-n0 12505  df-z 12592  df-uz 12863  df-rp 13017  df-seq 14038  df-exp 14098  df-cj 15150  df-re 15151  df-im 15152  df-sqrt 15286  df-abs 15287  df-hvsub 31264

This theorem is referenced by:  normlem7  31409