HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  normlem6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem normlem6 30635
Description: Lemma used to derive properties of norm. Part of Theorem 3.3(ii) of [Beran] p. 97. (Contributed by NM, 2-Aug-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
normlem1.1 ๐‘† โˆˆ โ„‚
normlem1.2 ๐น โˆˆ โ„‹
normlem1.3 ๐บ โˆˆ โ„‹
normlem2.4 ๐ต = -(((โˆ—โ€˜๐‘†) ยท (๐น ยทih ๐บ)) + (๐‘† ยท (๐บ ยทih ๐น)))
normlem3.5 ๐ด = (๐บ ยทih ๐บ)
normlem3.6 ๐ถ = (๐น ยทih ๐น)
normlem6.7 (absโ€˜๐‘†) = 1
Assertion
Ref Expression
normlem6 (absโ€˜๐ต) โ‰ค (2 ยท ((โˆšโ€˜๐ด) ยท (โˆšโ€˜๐ถ)))

Proof of Theorem normlem6
Dummy variable ๐‘ฅ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 normlem3.5 . . . . . . . . 9 ๐ด = (๐บ ยทih ๐บ)
2 normlem1.3 . . . . . . . . . 10 ๐บ โˆˆ โ„‹
3 hiidrcl 30615 . . . . . . . . . 10 (๐บ โˆˆ โ„‹ โ†’ (๐บ ยทih ๐บ) โˆˆ โ„)
42, 3ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (๐บ ยทih ๐บ) โˆˆ โ„
51, 4eqeltri 2827 . . . . . . . 8 ๐ด โˆˆ โ„
65a1i 11 . . . . . . 7 (โŠค โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
7 normlem1.1 . . . . . . . . 9 ๐‘† โˆˆ โ„‚
8 normlem1.2 . . . . . . . . 9 ๐น โˆˆ โ„‹
9 normlem2.4 . . . . . . . . 9 ๐ต = -(((โˆ—โ€˜๐‘†) ยท (๐น ยทih ๐บ)) + (๐‘† ยท (๐บ ยทih ๐น)))
107, 8, 2, 9normlem2 30631 . . . . . . . 8 ๐ต โˆˆ โ„
1110a1i 11 . . . . . . 7 (โŠค โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
12 normlem3.6 . . . . . . . . 9 ๐ถ = (๐น ยทih ๐น)
13 hiidrcl 30615 . . . . . . . . . 10 (๐น โˆˆ โ„‹ โ†’ (๐น ยทih ๐น) โˆˆ โ„)
148, 13ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (๐น ยทih ๐น) โˆˆ โ„
1512, 14eqeltri 2827 . . . . . . . 8 ๐ถ โˆˆ โ„
1615a1i 11 . . . . . . 7 (โŠค โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
17 oveq1 7418 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ = if(๐‘ฅ โˆˆ โ„, ๐‘ฅ, 0) โ†’ (๐‘ฅโ†‘2) = (if(๐‘ฅ โˆˆ โ„, ๐‘ฅ, 0)โ†‘2))
1817oveq2d 7427 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ = if(๐‘ฅ โˆˆ โ„, ๐‘ฅ, 0) โ†’ (๐ด ยท (๐‘ฅโ†‘2)) = (๐ด ยท (if(๐‘ฅ โˆˆ โ„, ๐‘ฅ, 0)โ†‘2)))
19 oveq2 7419 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ = if(๐‘ฅ โˆˆ โ„, ๐‘ฅ, 0) โ†’ (๐ต ยท ๐‘ฅ) = (๐ต ยท if(๐‘ฅ โˆˆ โ„, ๐‘ฅ, 0)))
2018, 19oveq12d 7429 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ = if(๐‘ฅ โˆˆ โ„, ๐‘ฅ, 0) โ†’ ((๐ด ยท (๐‘ฅโ†‘2)) + (๐ต ยท ๐‘ฅ)) = ((๐ด ยท (if(๐‘ฅ โˆˆ โ„, ๐‘ฅ, 0)โ†‘2)) + (๐ต ยท if(๐‘ฅ โˆˆ โ„, ๐‘ฅ, 0))))
2120oveq1d 7426 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = if(๐‘ฅ โˆˆ โ„, ๐‘ฅ, 0) โ†’ (((๐ด ยท (๐‘ฅโ†‘2)) + (๐ต ยท ๐‘ฅ)) + ๐ถ) = (((๐ด ยท (if(๐‘ฅ โˆˆ โ„, ๐‘ฅ, 0)โ†‘2)) + (๐ต ยท if(๐‘ฅ โˆˆ โ„, ๐‘ฅ, 0))) + ๐ถ))
2221breq2d 5159 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = if(๐‘ฅ โˆˆ โ„, ๐‘ฅ, 0) โ†’ (0 โ‰ค (((๐ด ยท (๐‘ฅโ†‘2)) + (๐ต ยท ๐‘ฅ)) + ๐ถ) โ†” 0 โ‰ค (((๐ด ยท (if(๐‘ฅ โˆˆ โ„, ๐‘ฅ, 0)โ†‘2)) + (๐ต ยท if(๐‘ฅ โˆˆ โ„, ๐‘ฅ, 0))) + ๐ถ)))
23 0re 11220 . . . . . . . . . . 11 0 โˆˆ โ„
2423elimel 4596 . . . . . . . . . 10 if(๐‘ฅ โˆˆ โ„, ๐‘ฅ, 0) โˆˆ โ„
25 normlem6.7 . . . . . . . . . 10 (absโ€˜๐‘†) = 1
267, 8, 2, 9, 1, 12, 24, 25normlem5 30634 . . . . . . . . 9 0 โ‰ค (((๐ด ยท (if(๐‘ฅ โˆˆ โ„, ๐‘ฅ, 0)โ†‘2)) + (๐ต ยท if(๐‘ฅ โˆˆ โ„, ๐‘ฅ, 0))) + ๐ถ)
2722, 26dedth 4585 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†’ 0 โ‰ค (((๐ด ยท (๐‘ฅโ†‘2)) + (๐ต ยท ๐‘ฅ)) + ๐ถ))
2827adantl 480 . . . . . . 7 ((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ 0 โ‰ค (((๐ด ยท (๐‘ฅโ†‘2)) + (๐ต ยท ๐‘ฅ)) + ๐ถ))
296, 11, 16, 28discr 14207 . . . . . 6 (โŠค โ†’ ((๐ตโ†‘2) โˆ’ (4 ยท (๐ด ยท ๐ถ))) โ‰ค 0)
3029mptru 1546 . . . . 5 ((๐ตโ†‘2) โˆ’ (4 ยท (๐ด ยท ๐ถ))) โ‰ค 0
3110resqcli 14154 . . . . . 6 (๐ตโ†‘2) โˆˆ โ„
32 4re 12300 . . . . . . 7 4 โˆˆ โ„
335, 15remulcli 11234 . . . . . . 7 (๐ด ยท ๐ถ) โˆˆ โ„
3432, 33remulcli 11234 . . . . . 6 (4 ยท (๐ด ยท ๐ถ)) โˆˆ โ„
3531, 34, 23lesubadd2i 11778 . . . . 5 (((๐ตโ†‘2) โˆ’ (4 ยท (๐ด ยท ๐ถ))) โ‰ค 0 โ†” (๐ตโ†‘2) โ‰ค ((4 ยท (๐ด ยท ๐ถ)) + 0))
3630, 35mpbi 229 . . . 4 (๐ตโ†‘2) โ‰ค ((4 ยท (๐ด ยท ๐ถ)) + 0)
3734recni 11232 . . . . 5 (4 ยท (๐ด ยท ๐ถ)) โˆˆ โ„‚
3837addridi 11405 . . . 4 ((4 ยท (๐ด ยท ๐ถ)) + 0) = (4 ยท (๐ด ยท ๐ถ))
3936, 38breqtri 5172 . . 3 (๐ตโ†‘2) โ‰ค (4 ยท (๐ด ยท ๐ถ))
4010sqge0i 14156 . . . 4 0 โ‰ค (๐ตโ†‘2)
41 4pos 12323 . . . . . 6 0 < 4
4223, 32, 41ltleii 11341 . . . . 5 0 โ‰ค 4
43 hiidge0 30618 . . . . . . . 8 (๐บ โˆˆ โ„‹ โ†’ 0 โ‰ค (๐บ ยทih ๐บ))
442, 43ax-mp 5 . . . . . . 7 0 โ‰ค (๐บ ยทih ๐บ)
4544, 1breqtrri 5174 . . . . . 6 0 โ‰ค ๐ด
46 hiidge0 30618 . . . . . . . 8 (๐น โˆˆ โ„‹ โ†’ 0 โ‰ค (๐น ยทih ๐น))
478, 46ax-mp 5 . . . . . . 7 0 โ‰ค (๐น ยทih ๐น)
4847, 12breqtrri 5174 . . . . . 6 0 โ‰ค ๐ถ
495, 15mulge0i 11765 . . . . . 6 ((0 โ‰ค ๐ด โˆง 0 โ‰ค ๐ถ) โ†’ 0 โ‰ค (๐ด ยท ๐ถ))
5045, 48, 49mp2an 688 . . . . 5 0 โ‰ค (๐ด ยท ๐ถ)
5132, 33mulge0i 11765 . . . . 5 ((0 โ‰ค 4 โˆง 0 โ‰ค (๐ด ยท ๐ถ)) โ†’ 0 โ‰ค (4 ยท (๐ด ยท ๐ถ)))
5242, 50, 51mp2an 688 . . . 4 0 โ‰ค (4 ยท (๐ด ยท ๐ถ))
5331, 34sqrtlei 15339 . . . 4 ((0 โ‰ค (๐ตโ†‘2) โˆง 0 โ‰ค (4 ยท (๐ด ยท ๐ถ))) โ†’ ((๐ตโ†‘2) โ‰ค (4 ยท (๐ด ยท ๐ถ)) โ†” (โˆšโ€˜(๐ตโ†‘2)) โ‰ค (โˆšโ€˜(4 ยท (๐ด ยท ๐ถ)))))
5440, 52, 53mp2an 688 . . 3 ((๐ตโ†‘2) โ‰ค (4 ยท (๐ด ยท ๐ถ)) โ†” (โˆšโ€˜(๐ตโ†‘2)) โ‰ค (โˆšโ€˜(4 ยท (๐ด ยท ๐ถ))))
5539, 54mpbi 229 . 2 (โˆšโ€˜(๐ตโ†‘2)) โ‰ค (โˆšโ€˜(4 ยท (๐ด ยท ๐ถ)))
5610absrei 15332 . 2 (absโ€˜๐ต) = (โˆšโ€˜(๐ตโ†‘2))
5732, 33, 42, 50sqrtmulii 15337 . . 3 (โˆšโ€˜(4 ยท (๐ด ยท ๐ถ))) = ((โˆšโ€˜4) ยท (โˆšโ€˜(๐ด ยท ๐ถ)))
58 sqrt4 15223 . . . 4 (โˆšโ€˜4) = 2
595, 15, 45, 48sqrtmulii 15337 . . . 4 (โˆšโ€˜(๐ด ยท ๐ถ)) = ((โˆšโ€˜๐ด) ยท (โˆšโ€˜๐ถ))
6058, 59oveq12i 7423 . . 3 ((โˆšโ€˜4) ยท (โˆšโ€˜(๐ด ยท ๐ถ))) = (2 ยท ((โˆšโ€˜๐ด) ยท (โˆšโ€˜๐ถ)))
6157, 60eqtr2i 2759 . 2 (2 ยท ((โˆšโ€˜๐ด) ยท (โˆšโ€˜๐ถ))) = (โˆšโ€˜(4 ยท (๐ด ยท ๐ถ)))
6255, 56, 613brtr4i 5177 1 (absโ€˜๐ต) โ‰ค (2 ยท ((โˆšโ€˜๐ด) ยท (โˆšโ€˜๐ถ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†” wb 205   = wceq 1539  โŠคwtru 1540   โˆˆ wcel 2104  ifcif 4527   class class class wbr 5147  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  โ„‚cc 11110  โ„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   ยท cmul 11117   โ‰ค cle 11253   โˆ’ cmin 11448  -cneg 11449  2c2 12271  4c4 12273  โ†‘cexp 14031  โˆ—ccj 15047  โˆšcsqrt 15184  abscabs 15185   โ„‹chba 30439   ยทih csp 30442
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-hfvadd 30520  ax-hv0cl 30523  ax-hfvmul 30525  ax-hvmulass 30527  ax-hvmul0 30530  ax-hfi 30599  ax-his1 30602  ax-his2 30603  ax-his3 30604  ax-his4 30605
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12979  df-seq 13971  df-exp 14032  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-hvsub 30491
This theorem is referenced by:  normlem7  30636
  Copyright terms: Public domain W3C validator