Theorem normlem6 29477

Description: Lemma used to derive properties of norm. Part of Theorem 3.3(ii) of [Beran] p. 97. (Contributed by NM, 2-Aug-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
normlem1.1	⊢ 𝑆 ∈ ℂ
normlem1.2	⊢ 𝐹 ∈ ℋ
normlem1.3	⊢ 𝐺 ∈ ℋ
normlem2.4	⊢ 𝐵 = -(((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)))
normlem3.5	⊢ 𝐴 = (𝐺 ·ih 𝐺)
normlem3.6	⊢ 𝐶 = (𝐹 ·ih 𝐹)
normlem6.7	⊢ (abs‘𝑆) = 1

Assertion

Ref	Expression
normlem6	⊢ (abs‘𝐵) ≤ (2 · ((√‘𝐴) · (√‘𝐶)))

Proof of Theorem normlem6

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		normlem3.5	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 = (𝐺 ·ih 𝐺)
2		normlem1.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐺 ∈ ℋ
3		hiidrcl 29457	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺 ∈ ℋ → (𝐺 ·ih 𝐺) ∈ ℝ)
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ·ih 𝐺) ∈ ℝ
5	1, 4	eqeltri 2835	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
6	5	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 𝐴 ∈ ℝ)
7		normlem1.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑆 ∈ ℂ
8		normlem1.2	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐹 ∈ ℋ
9		normlem2.4	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = -(((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)))
10	7, 8, 2, 9	normlem2 29473	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ
11	10	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 𝐵 ∈ ℝ)
12		normlem3.6	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐶 = (𝐹 ·ih 𝐹)
13		hiidrcl 29457	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ ℋ → (𝐹 ·ih 𝐹) ∈ ℝ)
14	8, 13	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ·ih 𝐹) ∈ ℝ
15	12, 14	eqeltri 2835	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐶 ∈ ℝ
16	15	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 𝐶 ∈ ℝ)
17		oveq1 7282	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) → (𝑥↑2) = (if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0)↑2))
18	17	oveq2d 7291	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) → (𝐴 · (𝑥↑2)) = (𝐴 · (if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0)↑2)))
19		oveq2 7283	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) → (𝐵 · 𝑥) = (𝐵 · if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0)))
20	18, 19	oveq12d 7293	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) → ((𝐴 · (𝑥↑2)) + (𝐵 · 𝑥)) = ((𝐴 · (if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0)↑2)) + (𝐵 · if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0))))
21	20	oveq1d 7290	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) → (((𝐴 · (𝑥↑2)) + (𝐵 · 𝑥)) + 𝐶) = (((𝐴 · (if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0)↑2)) + (𝐵 · if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0))) + 𝐶))
22	21	breq2d 5086	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) → (0 ≤ (((𝐴 · (𝑥↑2)) + (𝐵 · 𝑥)) + 𝐶) ↔ 0 ≤ (((𝐴 · (if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0)↑2)) + (𝐵 · if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0))) + 𝐶)))
23		0re 10977	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℝ
24	23	elimel 4528	. . . . . . . . . 10 ⊢ if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) ∈ ℝ
25		normlem6.7	. . . . . . . . . 10 ⊢ (abs‘𝑆) = 1
26	7, 8, 2, 9, 1, 12, 24, 25	normlem5 29476	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ≤ (((𝐴 · (if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0)↑2)) + (𝐵 · if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0))) + 𝐶)
27	22, 26	dedth 4517	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 0 ≤ (((𝐴 · (𝑥↑2)) + (𝐵 · 𝑥)) + 𝐶))
28	27	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 0 ≤ (((𝐴 · (𝑥↑2)) + (𝐵 · 𝑥)) + 𝐶))
29	6, 11, 16, 28	discr 13955	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))) ≤ 0)
30	29	mptru 1546	. . . . 5 ⊢ ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))) ≤ 0
31	10	resqcli 13903	. . . . . 6 ⊢ (𝐵↑2) ∈ ℝ
32		4re 12057	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℝ
33	5, 15	remulcli 10991	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 · 𝐶) ∈ ℝ
34	32, 33	remulcli 10991	. . . . . 6 ⊢ (4 · (𝐴 · 𝐶)) ∈ ℝ
35	31, 34, 23	lesubadd2i 11535	. . . . 5 ⊢ (((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))) ≤ 0 ↔ (𝐵↑2) ≤ ((4 · (𝐴 · 𝐶)) + 0))
36	30, 35	mpbi 229	. . . 4 ⊢ (𝐵↑2) ≤ ((4 · (𝐴 · 𝐶)) + 0)
37	34	recni 10989	. . . . 5 ⊢ (4 · (𝐴 · 𝐶)) ∈ ℂ
38	37	addid1i 11162	. . . 4 ⊢ ((4 · (𝐴 · 𝐶)) + 0) = (4 · (𝐴 · 𝐶))
39	36, 38	breqtri 5099	. . 3 ⊢ (𝐵↑2) ≤ (4 · (𝐴 · 𝐶))
40	10	sqge0i 13905	. . . 4 ⊢ 0 ≤ (𝐵↑2)
41		4pos 12080	. . . . . 6 ⊢ 0 < 4
42	23, 32, 41	ltleii 11098	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 4
43		hiidge0 29460	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ ℋ → 0 ≤ (𝐺 ·ih 𝐺))
44	2, 43	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ 0 ≤ (𝐺 ·ih 𝐺)
45	44, 1	breqtrri 5101	. . . . . 6 ⊢ 0 ≤ 𝐴
46		hiidge0 29460	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ ℋ → 0 ≤ (𝐹 ·ih 𝐹))
47	8, 46	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ 0 ≤ (𝐹 ·ih 𝐹)
48	47, 12	breqtrri 5101	. . . . . 6 ⊢ 0 ≤ 𝐶
49	5, 15	mulge0i 11522	. . . . . 6 ⊢ ((0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐶) → 0 ≤ (𝐴 · 𝐶))
50	45, 48, 49	mp2an 689	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ (𝐴 · 𝐶)
51	32, 33	mulge0i 11522	. . . . 5 ⊢ ((0 ≤ 4 ∧ 0 ≤ (𝐴 · 𝐶)) → 0 ≤ (4 · (𝐴 · 𝐶)))
52	42, 50, 51	mp2an 689	. . . 4 ⊢ 0 ≤ (4 · (𝐴 · 𝐶))
53	31, 34	sqrtlei 15100	. . . 4 ⊢ ((0 ≤ (𝐵↑2) ∧ 0 ≤ (4 · (𝐴 · 𝐶))) → ((𝐵↑2) ≤ (4 · (𝐴 · 𝐶)) ↔ (√‘(𝐵↑2)) ≤ (√‘(4 · (𝐴 · 𝐶)))))
54	40, 52, 53	mp2an 689	. . 3 ⊢ ((𝐵↑2) ≤ (4 · (𝐴 · 𝐶)) ↔ (√‘(𝐵↑2)) ≤ (√‘(4 · (𝐴 · 𝐶))))
55	39, 54	mpbi 229	. 2 ⊢ (√‘(𝐵↑2)) ≤ (√‘(4 · (𝐴 · 𝐶)))
56	10	absrei 15093	. 2 ⊢ (abs‘𝐵) = (√‘(𝐵↑2))
57	32, 33, 42, 50	sqrtmulii 15098	. . 3 ⊢ (√‘(4 · (𝐴 · 𝐶))) = ((√‘4) · (√‘(𝐴 · 𝐶)))
58		sqrt4 14984	. . . 4 ⊢ (√‘4) = 2
59	5, 15, 45, 48	sqrtmulii 15098	. . . 4 ⊢ (√‘(𝐴 · 𝐶)) = ((√‘𝐴) · (√‘𝐶))
60	58, 59	oveq12i 7287	. . 3 ⊢ ((√‘4) · (√‘(𝐴 · 𝐶))) = (2 · ((√‘𝐴) · (√‘𝐶)))
61	57, 60	eqtr2i 2767	. 2 ⊢ (2 · ((√‘𝐴) · (√‘𝐶))) = (√‘(4 · (𝐴 · 𝐶)))
62	55, 56, 61	3brtr4i 5104	1 ⊢ (abs‘𝐵) ≤ (2 · ((√‘𝐴) · (√‘𝐶)))

Syntax hints:   ↔ wb 205   = wceq 1539  ⊤wtru 1540   ∈ wcel 2106  ifcif 4459   class class class wbr 5074  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  ℂcc 10869  ℝcr 10870  0cc0 10871  1c1 10872   + caddc 10874   · cmul 10876   ≤ cle 11010   − cmin 11205  -cneg 11206  2c2 12028  4c4 12030  ↑cexp 13782  ∗ccj 14807  √csqrt 14944  abscabs 14945   ℋchba 29281   ·_ih csp 29284

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949  ax-hfvadd 29362  ax-hv0cl 29365  ax-hfvmul 29367  ax-hvmulass 29369  ax-hvmul0 29372  ax-hfi 29441  ax-his1 29444  ax-his2 29445  ax-his3 29446  ax-his4 29447

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-sup 9201  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-rp 12731  df-seq 13722  df-exp 13783  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-hvsub 29333

This theorem is referenced by:  normlem7  29478