Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  wallispi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wallispi 45086
Description: Wallis' formula for Ο€ : Wallis' product converges to Ο€ / 2 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
wallispi.1 𝐹 = (π‘˜ ∈ β„• ↦ (((2 Β· π‘˜) / ((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1)) Β· ((2 Β· π‘˜) / ((2 Β· π‘˜) + 1))))
wallispi.2 π‘Š = (𝑛 ∈ β„• ↦ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘›))
Assertion
Ref Expression
wallispi π‘Š ⇝ (Ο€ / 2)
Distinct variable groups:   π‘˜,𝑛   𝑛,𝐹
Allowed substitution hints:   𝐹(π‘˜)   π‘Š(π‘˜,𝑛)

Proof of Theorem wallispi
Dummy variables 𝑗 𝑀 π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 12870 . . . 4 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
2 1zzd 12598 . . . 4 (⊀ β†’ 1 ∈ β„€)
3 wallispi.1 . . . . . . . 8 𝐹 = (π‘˜ ∈ β„• ↦ (((2 Β· π‘˜) / ((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1)) Β· ((2 Β· π‘˜) / ((2 Β· π‘˜) + 1))))
4 eqid 2731 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ∫(0(,)Ο€)((sinβ€˜π‘₯)↑𝑛) dπ‘₯) = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ∫(0(,)Ο€)((sinβ€˜π‘₯)↑𝑛) dπ‘₯)
5 eqid 2731 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ β„• ↦ (((𝑛 ∈ β„•0 ↦ ∫(0(,)Ο€)((sinβ€˜π‘₯)↑𝑛) dπ‘₯)β€˜(2 Β· 𝑛)) / ((𝑛 ∈ β„•0 ↦ ∫(0(,)Ο€)((sinβ€˜π‘₯)↑𝑛) dπ‘₯)β€˜((2 Β· 𝑛) + 1)))) = (𝑛 ∈ β„• ↦ (((𝑛 ∈ β„•0 ↦ ∫(0(,)Ο€)((sinβ€˜π‘₯)↑𝑛) dπ‘₯)β€˜(2 Β· 𝑛)) / ((𝑛 ∈ β„•0 ↦ ∫(0(,)Ο€)((sinβ€˜π‘₯)↑𝑛) dπ‘₯)β€˜((2 Β· 𝑛) + 1))))
6 eqid 2731 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((Ο€ / 2) Β· (1 / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘›)))) = (𝑛 ∈ β„• ↦ ((Ο€ / 2) Β· (1 / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘›))))
7 eqid 2731 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ β„• ↦ (((2 Β· 𝑛) + 1) / (2 Β· 𝑛))) = (𝑛 ∈ β„• ↦ (((2 Β· 𝑛) + 1) / (2 Β· 𝑛)))
83, 4, 5, 6, 7wallispilem5 45085 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((Ο€ / 2) Β· (1 / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘›)))) ⇝ 1
98a1i 11 . . . . . 6 (⊀ β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((Ο€ / 2) Β· (1 / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘›)))) ⇝ 1)
10 2cnd 12295 . . . . . . 7 (⊀ β†’ 2 ∈ β„‚)
11 picn 26202 . . . . . . . 8 Ο€ ∈ β„‚
1211a1i 11 . . . . . . 7 (⊀ β†’ Ο€ ∈ β„‚)
13 pire 26201 . . . . . . . . 9 Ο€ ∈ ℝ
14 pipos 26203 . . . . . . . . 9 0 < Ο€
1513, 14gt0ne0ii 11755 . . . . . . . 8 Ο€ β‰  0
1615a1i 11 . . . . . . 7 (⊀ β†’ Ο€ β‰  0)
1710, 12, 16divcld 11995 . . . . . 6 (⊀ β†’ (2 / Ο€) ∈ β„‚)
18 nnex 12223 . . . . . . . 8 β„• ∈ V
1918mptex 7228 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ β„• ↦ (1 / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘›))) ∈ V
2019a1i 11 . . . . . 6 (⊀ β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ (1 / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘›))) ∈ V)
2111a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ β„• β†’ Ο€ ∈ β„‚)
2221halfcld 12462 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ β„• β†’ (Ο€ / 2) ∈ β„‚)
23 elnnuz 12871 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ β„• ↔ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
2423biimpi 215 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ β„• β†’ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
25 oveq2 7420 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘˜ = 𝑗 β†’ (2 Β· π‘˜) = (2 Β· 𝑗))
2625oveq1d 7427 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘˜ = 𝑗 β†’ ((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1) = ((2 Β· 𝑗) βˆ’ 1))
2725, 26oveq12d 7430 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘˜ = 𝑗 β†’ ((2 Β· π‘˜) / ((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1)) = ((2 Β· 𝑗) / ((2 Β· 𝑗) βˆ’ 1)))
2825oveq1d 7427 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘˜ = 𝑗 β†’ ((2 Β· π‘˜) + 1) = ((2 Β· 𝑗) + 1))
2925, 28oveq12d 7430 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘˜ = 𝑗 β†’ ((2 Β· π‘˜) / ((2 Β· π‘˜) + 1)) = ((2 Β· 𝑗) / ((2 Β· 𝑗) + 1)))
3027, 29oveq12d 7430 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ = 𝑗 β†’ (((2 Β· π‘˜) / ((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1)) Β· ((2 Β· π‘˜) / ((2 Β· π‘˜) + 1))) = (((2 Β· 𝑗) / ((2 Β· 𝑗) βˆ’ 1)) Β· ((2 Β· 𝑗) / ((2 Β· 𝑗) + 1))))
31 elfznn 13535 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ (1...𝑛) β†’ 𝑗 ∈ β„•)
32 2cnd 12295 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 ∈ β„• β†’ 2 ∈ β„‚)
33 nncn 12225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 ∈ β„• β†’ 𝑗 ∈ β„‚)
3432, 33mulcld 11239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 ∈ β„• β†’ (2 Β· 𝑗) ∈ β„‚)
35 1cnd 11214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 ∈ β„• β†’ 1 ∈ β„‚)
3634, 35subcld 11576 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 ∈ β„• β†’ ((2 Β· 𝑗) βˆ’ 1) ∈ β„‚)
37 1red 11220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗 ∈ β„• β†’ 1 ∈ ℝ)
38 1t1e1 12379 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (1 Β· 1) = 1
3937, 37remulcld 11249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑗 ∈ β„• β†’ (1 Β· 1) ∈ ℝ)
40 2re 12291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2 ∈ ℝ
4140a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑗 ∈ β„• β†’ 2 ∈ ℝ)
4241, 37remulcld 11249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑗 ∈ β„• β†’ (2 Β· 1) ∈ ℝ)
43 nnre 12224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑗 ∈ β„• β†’ 𝑗 ∈ ℝ)
4441, 43remulcld 11249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑗 ∈ β„• β†’ (2 Β· 𝑗) ∈ ℝ)
45 1rp 12983 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1 ∈ ℝ+
4645a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑗 ∈ β„• β†’ 1 ∈ ℝ+)
47 1lt2 12388 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1 < 2
4847a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑗 ∈ β„• β†’ 1 < 2)
4937, 41, 46, 48ltmul1dd 13076 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑗 ∈ β„• β†’ (1 Β· 1) < (2 Β· 1))
50 0le2 12319 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 0 ≀ 2
5150a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑗 ∈ β„• β†’ 0 ≀ 2)
52 nnge1 12245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑗 ∈ β„• β†’ 1 ≀ 𝑗)
5337, 43, 41, 51, 52lemul2ad 12159 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑗 ∈ β„• β†’ (2 Β· 1) ≀ (2 Β· 𝑗))
5439, 42, 44, 49, 53ltletrd 11379 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑗 ∈ β„• β†’ (1 Β· 1) < (2 Β· 𝑗))
5538, 54eqbrtrrid 5185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗 ∈ β„• β†’ 1 < (2 Β· 𝑗))
5637, 55gtned 11354 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 ∈ β„• β†’ (2 Β· 𝑗) β‰  1)
5734, 35, 56subne0d 11585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 ∈ β„• β†’ ((2 Β· 𝑗) βˆ’ 1) β‰  0)
5834, 36, 57divcld 11995 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 ∈ β„• β†’ ((2 Β· 𝑗) / ((2 Β· 𝑗) βˆ’ 1)) ∈ β„‚)
5934, 35addcld 11238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 ∈ β„• β†’ ((2 Β· 𝑗) + 1) ∈ β„‚)
60 0red 11222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 ∈ β„• β†’ 0 ∈ ℝ)
6144, 37readdcld 11248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗 ∈ β„• β†’ ((2 Β· 𝑗) + 1) ∈ ℝ)
6246rpgt0d 13024 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗 ∈ β„• β†’ 0 < 1)
63 2rp 12984 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2 ∈ ℝ+
6463a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑗 ∈ β„• β†’ 2 ∈ ℝ+)
65 nnrp 12990 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑗 ∈ β„• β†’ 𝑗 ∈ ℝ+)
6664, 65rpmulcld 13037 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑗 ∈ β„• β†’ (2 Β· 𝑗) ∈ ℝ+)
6737, 66ltaddrp2d 13055 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗 ∈ β„• β†’ 1 < ((2 Β· 𝑗) + 1))
6860, 37, 61, 62, 67lttrd 11380 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 ∈ β„• β†’ 0 < ((2 Β· 𝑗) + 1))
6960, 68gtned 11354 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 ∈ β„• β†’ ((2 Β· 𝑗) + 1) β‰  0)
7034, 59, 69divcld 11995 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 ∈ β„• β†’ ((2 Β· 𝑗) / ((2 Β· 𝑗) + 1)) ∈ β„‚)
7158, 70mulcld 11239 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 ∈ β„• β†’ (((2 Β· 𝑗) / ((2 Β· 𝑗) βˆ’ 1)) Β· ((2 Β· 𝑗) / ((2 Β· 𝑗) + 1))) ∈ β„‚)
7231, 71syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ (1...𝑛) β†’ (((2 Β· 𝑗) / ((2 Β· 𝑗) βˆ’ 1)) Β· ((2 Β· 𝑗) / ((2 Β· 𝑗) + 1))) ∈ β„‚)
733, 30, 31, 72fvmptd3 7022 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 ∈ (1...𝑛) β†’ (πΉβ€˜π‘—) = (((2 Β· 𝑗) / ((2 Β· 𝑗) βˆ’ 1)) Β· ((2 Β· 𝑗) / ((2 Β· 𝑗) + 1))))
7463a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 ∈ (1...𝑛) β†’ 2 ∈ ℝ+)
7531nnrpd 13019 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 ∈ (1...𝑛) β†’ 𝑗 ∈ ℝ+)
7674, 75rpmulcld 13037 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 ∈ (1...𝑛) β†’ (2 Β· 𝑗) ∈ ℝ+)
7744, 37resubcld 11647 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 ∈ β„• β†’ ((2 Β· 𝑗) βˆ’ 1) ∈ ℝ)
78 1m1e0 12289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (1 βˆ’ 1) = 0
7937, 44, 37, 55ltsub1dd 11831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 ∈ β„• β†’ (1 βˆ’ 1) < ((2 Β· 𝑗) βˆ’ 1))
8078, 79eqbrtrrid 5185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 ∈ β„• β†’ 0 < ((2 Β· 𝑗) βˆ’ 1))
8177, 80elrpd 13018 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 ∈ β„• β†’ ((2 Β· 𝑗) βˆ’ 1) ∈ ℝ+)
8231, 81syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 ∈ (1...𝑛) β†’ ((2 Β· 𝑗) βˆ’ 1) ∈ ℝ+)
8376, 82rpdivcld 13038 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ (1...𝑛) β†’ ((2 Β· 𝑗) / ((2 Β· 𝑗) βˆ’ 1)) ∈ ℝ+)
8440a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 ∈ (1...𝑛) β†’ 2 ∈ ℝ)
8531nnred 12232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 ∈ (1...𝑛) β†’ 𝑗 ∈ ℝ)
8684, 85remulcld 11249 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 ∈ (1...𝑛) β†’ (2 Β· 𝑗) ∈ ℝ)
8774rpge0d 13025 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 ∈ (1...𝑛) β†’ 0 ≀ 2)
8875rpge0d 13025 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 ∈ (1...𝑛) β†’ 0 ≀ 𝑗)
8984, 85, 87, 88mulge0d 11796 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 ∈ (1...𝑛) β†’ 0 ≀ (2 Β· 𝑗))
9086, 89ge0p1rpd 13051 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 ∈ (1...𝑛) β†’ ((2 Β· 𝑗) + 1) ∈ ℝ+)
9176, 90rpdivcld 13038 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ (1...𝑛) β†’ ((2 Β· 𝑗) / ((2 Β· 𝑗) + 1)) ∈ ℝ+)
9283, 91rpmulcld 13037 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 ∈ (1...𝑛) β†’ (((2 Β· 𝑗) / ((2 Β· 𝑗) βˆ’ 1)) Β· ((2 Β· 𝑗) / ((2 Β· 𝑗) + 1))) ∈ ℝ+)
9373, 92eqeltrd 2832 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ (1...𝑛) β†’ (πΉβ€˜π‘—) ∈ ℝ+)
9493adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛 ∈ β„• ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑛)) β†’ (πΉβ€˜π‘—) ∈ ℝ+)
95 rpmulcl 13002 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑗 ∈ ℝ+ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) β†’ (𝑗 Β· 𝑀) ∈ ℝ+)
9695adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛 ∈ β„• ∧ (𝑗 ∈ ℝ+ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+)) β†’ (𝑗 Β· 𝑀) ∈ ℝ+)
9724, 94, 96seqcl 13993 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ β„• β†’ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘›) ∈ ℝ+)
9897rpcnd 13023 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ β„• β†’ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘›) ∈ β„‚)
9997rpne0d 13026 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ β„• β†’ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘›) β‰  0)
10098, 99reccld 11988 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ β„• β†’ (1 / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘›)) ∈ β„‚)
10122, 100mulcld 11239 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ β„• β†’ ((Ο€ / 2) Β· (1 / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘›))) ∈ β„‚)
1026, 101fmpti 7114 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((Ο€ / 2) Β· (1 / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘›)))):β„•βŸΆβ„‚
103102a1i 11 . . . . . . 7 (⊀ β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((Ο€ / 2) Β· (1 / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘›)))):β„•βŸΆβ„‚)
104103ffvelcdmda 7087 . . . . . 6 ((⊀ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((Ο€ / 2) Β· (1 / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘›))))β€˜π‘—) ∈ β„‚)
105 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 𝑗 β†’ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘›) = (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘—))
106105eleq1d 2817 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑗 β†’ ((seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘›) ∈ ℝ+ ↔ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘—) ∈ ℝ+))
107106, 97vtoclga 3566 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ β„• β†’ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘—) ∈ ℝ+)
108107rpcnd 13023 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ β„• β†’ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘—) ∈ β„‚)
109107rpne0d 13026 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ β„• β†’ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘—) β‰  0)
11035, 108, 109divrecd 11998 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ β„• β†’ (1 / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘—)) = (1 Β· (1 / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘—))))
11111a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ β„• β†’ Ο€ ∈ β„‚)
11264rpne0d 13026 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ β„• β†’ 2 β‰  0)
11315a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ β„• β†’ Ο€ β‰  0)
11432, 111, 112, 113divcan6d 12014 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ β„• β†’ ((2 / Ο€) Β· (Ο€ / 2)) = 1)
115114eqcomd 2737 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ β„• β†’ 1 = ((2 / Ο€) Β· (Ο€ / 2)))
116115oveq1d 7427 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ β„• β†’ (1 Β· (1 / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘—))) = (((2 / Ο€) Β· (Ο€ / 2)) Β· (1 / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘—))))
11732, 111, 113divcld 11995 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ β„• β†’ (2 / Ο€) ∈ β„‚)
118111halfcld 12462 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ β„• β†’ (Ο€ / 2) ∈ β„‚)
119108, 109reccld 11988 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ β„• β†’ (1 / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘—)) ∈ β„‚)
120117, 118, 119mulassd 11242 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ β„• β†’ (((2 / Ο€) Β· (Ο€ / 2)) Β· (1 / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘—))) = ((2 / Ο€) Β· ((Ο€ / 2) Β· (1 / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘—)))))
121110, 116, 1203eqtrd 2775 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ β„• β†’ (1 / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘—)) = ((2 / Ο€) Β· ((Ο€ / 2) Β· (1 / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘—)))))
122 eqidd 2732 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ β„• β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ (1 / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘›))) = (𝑛 ∈ β„• ↦ (1 / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘›))))
123105oveq2d 7428 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑗 β†’ (1 / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘›)) = (1 / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘—)))
124123adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝑗 ∈ β„• ∧ 𝑛 = 𝑗) β†’ (1 / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘›)) = (1 / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘—)))
125 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ β„• β†’ 𝑗 ∈ β„•)
126107rpreccld 13031 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ β„• β†’ (1 / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘—)) ∈ ℝ+)
127122, 124, 125, 126fvmptd 7006 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ β„• β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (1 / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘›)))β€˜π‘—) = (1 / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘—)))
128 eqidd 2732 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ β„• β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((Ο€ / 2) Β· (1 / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘›)))) = (𝑛 ∈ β„• ↦ ((Ο€ / 2) Β· (1 / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘›)))))
129124oveq2d 7428 . . . . . . . . . 10 ((𝑗 ∈ β„• ∧ 𝑛 = 𝑗) β†’ ((Ο€ / 2) Β· (1 / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘›))) = ((Ο€ / 2) Β· (1 / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘—))))
130118, 119mulcld 11239 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ β„• β†’ ((Ο€ / 2) Β· (1 / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘—))) ∈ β„‚)
131128, 129, 125, 130fvmptd 7006 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ β„• β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((Ο€ / 2) Β· (1 / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘›))))β€˜π‘—) = ((Ο€ / 2) Β· (1 / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘—))))
132131oveq2d 7428 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ β„• β†’ ((2 / Ο€) Β· ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((Ο€ / 2) Β· (1 / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘›))))β€˜π‘—)) = ((2 / Ο€) Β· ((Ο€ / 2) Β· (1 / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘—)))))
133121, 127, 1323eqtr4d 2781 . . . . . . 7 (𝑗 ∈ β„• β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (1 / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘›)))β€˜π‘—) = ((2 / Ο€) Β· ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((Ο€ / 2) Β· (1 / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘›))))β€˜π‘—)))
134133adantl 481 . . . . . 6 ((⊀ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (1 / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘›)))β€˜π‘—) = ((2 / Ο€) Β· ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((Ο€ / 2) Β· (1 / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘›))))β€˜π‘—)))
1351, 2, 9, 17, 20, 104, 134climmulc2 15586 . . . . 5 (⊀ β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ (1 / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘›))) ⇝ ((2 / Ο€) Β· 1))
136 2cn 12292 . . . . . . 7 2 ∈ β„‚
137136, 11, 15divcli 11961 . . . . . 6 (2 / Ο€) ∈ β„‚
138137mulridi 11223 . . . . 5 ((2 / Ο€) Β· 1) = (2 / Ο€)
139135, 138breqtrdi 5190 . . . 4 (⊀ β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ (1 / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘›))) ⇝ (2 / Ο€))
140 2ne0 12321 . . . . . 6 2 β‰  0
141136, 11, 140, 15divne0i 11967 . . . . 5 (2 / Ο€) β‰  0
142141a1i 11 . . . 4 (⊀ β†’ (2 / Ο€) β‰  0)
143127, 119eqeltrd 2832 . . . . . 6 (𝑗 ∈ β„• β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (1 / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘›)))β€˜π‘—) ∈ β„‚)
144108, 109recne0d 11989 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ β„• β†’ (1 / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘—)) β‰  0)
145127, 144eqnetrd 3007 . . . . . . 7 (𝑗 ∈ β„• β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (1 / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘›)))β€˜π‘—) β‰  0)
146 nelsn 4669 . . . . . . 7 (((𝑛 ∈ β„• ↦ (1 / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘›)))β€˜π‘—) β‰  0 β†’ Β¬ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (1 / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘›)))β€˜π‘—) ∈ {0})
147145, 146syl 17 . . . . . 6 (𝑗 ∈ β„• β†’ Β¬ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (1 / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘›)))β€˜π‘—) ∈ {0})
148143, 147eldifd 3960 . . . . 5 (𝑗 ∈ β„• β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (1 / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘›)))β€˜π‘—) ∈ (β„‚ βˆ– {0}))
149148adantl 481 . . . 4 ((⊀ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (1 / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘›)))β€˜π‘—) ∈ (β„‚ βˆ– {0}))
150108, 109recrecd 11992 . . . . . 6 (𝑗 ∈ β„• β†’ (1 / (1 / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘—))) = (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘—))
151122, 124, 125, 119fvmptd 7006 . . . . . . 7 (𝑗 ∈ β„• β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (1 / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘›)))β€˜π‘—) = (1 / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘—)))
152151oveq2d 7428 . . . . . 6 (𝑗 ∈ β„• β†’ (1 / ((𝑛 ∈ β„• ↦ (1 / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘›)))β€˜π‘—)) = (1 / (1 / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘—))))
153 wallispi.2 . . . . . . 7 π‘Š = (𝑛 ∈ β„• ↦ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘›))
154105, 153, 97fvmpt3 7003 . . . . . 6 (𝑗 ∈ β„• β†’ (π‘Šβ€˜π‘—) = (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘—))
155150, 152, 1543eqtr4rd 2782 . . . . 5 (𝑗 ∈ β„• β†’ (π‘Šβ€˜π‘—) = (1 / ((𝑛 ∈ β„• ↦ (1 / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘›)))β€˜π‘—)))
156155adantl 481 . . . 4 ((⊀ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (π‘Šβ€˜π‘—) = (1 / ((𝑛 ∈ β„• ↦ (1 / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘›)))β€˜π‘—)))
15718mptex 7228 . . . . . 6 (𝑛 ∈ β„• ↦ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘›)) ∈ V
158153, 157eqeltri 2828 . . . . 5 π‘Š ∈ V
159158a1i 11 . . . 4 (⊀ β†’ π‘Š ∈ V)
1601, 2, 139, 142, 149, 156, 159climrec 44619 . . 3 (⊀ β†’ π‘Š ⇝ (1 / (2 / Ο€)))
161160mptru 1547 . 2 π‘Š ⇝ (1 / (2 / Ο€))
162 recdiv 11925 . . 3 (((2 ∈ β„‚ ∧ 2 β‰  0) ∧ (Ο€ ∈ β„‚ ∧ Ο€ β‰  0)) β†’ (1 / (2 / Ο€)) = (Ο€ / 2))
163136, 140, 11, 15, 162mp4an 690 . 2 (1 / (2 / Ο€)) = (Ο€ / 2)
164161, 163breqtri 5174 1 π‘Š ⇝ (Ο€ / 2)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   ∧ wa 395   = wceq 1540  βŠ€wtru 1541   ∈ wcel 2105   β‰  wne 2939  Vcvv 3473   βˆ– cdif 3946  {csn 4629   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7412  β„‚cc 11111  β„cr 11112  0cc0 11113  1c1 11114   + caddc 11116   Β· cmul 11118   < clt 11253   ≀ cle 11254   βˆ’ cmin 11449   / cdiv 11876  β„•cn 12217  2c2 12272  β„•0cn0 12477  β„€β‰₯cuz 12827  β„+crp 12979  (,)cioo 13329  ...cfz 13489  seqcseq 13971  β†‘cexp 14032   ⇝ cli 15433  sincsin 16012  Ο€cpi 16015  βˆ«citg 25368
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-inf2 9639  ax-cc 10433  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190  ax-pre-sup 11191  ax-addf 11192  ax-mulf 11193
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-symdif 4243  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-disj 5115  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7673  df-ofr 7674  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-supp 8150  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-2o 8470  df-oadd 8473  df-omul 8474  df-er 8706  df-map 8825  df-pm 8826  df-ixp 8895  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-fsupp 9365  df-fi 9409  df-sup 9440  df-inf 9441  df-oi 9508  df-dju 9899  df-card 9937  df-acn 9940  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-z 12564  df-dec 12683  df-uz 12828  df-q 12938  df-rp 12980  df-xneg 13097  df-xadd 13098  df-xmul 13099  df-ioo 13333  df-ioc 13334  df-ico 13335  df-icc 13336  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-fl 13762  df-mod 13840  df-seq 13972  df-exp 14033  df-fac 14239  df-bc 14268  df-hash 14296  df-shft 15019  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-limsup 15420  df-clim 15437  df-rlim 15438  df-sum 15638  df-ef 16016  df-sin 16018  df-cos 16019  df-pi 16021  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-starv 17217  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-unif 17225  df-hom 17226  df-cco 17227  df-rest 17373  df-topn 17374  df-0g 17392  df-gsum 17393  df-topgen 17394  df-pt 17395  df-prds 17398  df-xrs 17453  df-qtop 17458  df-imas 17459  df-xps 17461  df-mre 17535  df-mrc 17536  df-acs 17538  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-submnd 18707  df-mulg 18988  df-cntz 19223  df-cmn 19692  df-psmet 21137  df-xmet 21138  df-met 21139  df-bl 21140  df-mopn 21141  df-fbas 21142  df-fg 21143  df-cnfld 21146  df-top 22617  df-topon 22634  df-topsp 22656  df-bases 22670  df-cld 22744  df-ntr 22745  df-cls 22746  df-nei 22823  df-lp 22861  df-perf 22862  df-cn 22952  df-cnp 22953  df-haus 23040  df-cmp 23112  df-tx 23287  df-hmeo 23480  df-fil 23571  df-fm 23663  df-flim 23664  df-flf 23665  df-xms 24047  df-ms 24048  df-tms 24049  df-cncf 24619  df-ovol 25214  df-vol 25215  df-mbf 25369  df-itg1 25370  df-itg2 25371  df-ibl 25372  df-itg 25373  df-0p 25420  df-limc 25616  df-dv 25617
This theorem is referenced by:  wallispi2  45089
  Copyright terms: Public domain W3C validator