Theorem wallispi 43501

Description: Wallis' formula for π : Wallis' product converges to π / 2 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
wallispi.1	⊢ 𝐹 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) − 1)) · ((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1))))
wallispi.2	⊢ 𝑊 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (seq1( · , 𝐹)‘𝑛))

Assertion

Ref	Expression
wallispi	⊢ 𝑊 ⇝ (π / 2)

Distinct variable groups:   𝑘,𝑛   𝑛,𝐹

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑘)   𝑊(𝑘,𝑛)

Proof of Theorem wallispi

Dummy variables 𝑗 𝑤 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 12550	. . . 4 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
2		1zzd 12281	. . . 4 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℤ)
3		wallispi.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) − 1)) · ((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1))))
4		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑𝑛) d𝑥) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑𝑛) d𝑥)
5		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑𝑛) d𝑥)‘(2 · 𝑛)) / ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑𝑛) d𝑥)‘((2 · 𝑛) + 1)))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑𝑛) d𝑥)‘(2 · 𝑛)) / ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑𝑛) d𝑥)‘((2 · 𝑛) + 1))))
6		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛)))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛))))
7		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · 𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · 𝑛)))
8	3, 4, 5, 6, 7	wallispilem5 43500	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛)))) ⇝ 1
9	8	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛)))) ⇝ 1)
10		2cnd 11981	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 2 ∈ ℂ)
11		picn 25521	. . . . . . . 8 ⊢ π ∈ ℂ
12	11	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → π ∈ ℂ)
13		pire 25520	. . . . . . . . 9 ⊢ π ∈ ℝ
14		pipos 25522	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < π
15	13, 14	gt0ne0ii 11441	. . . . . . . 8 ⊢ π ≠ 0
16	15	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → π ≠ 0)
17	10, 12, 16	divcld 11681	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (2 / π) ∈ ℂ)
18		nnex 11909	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ ∈ V
19	18	mptex 7081	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛))) ∈ V
20	19	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛))) ∈ V)
21	11	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → π ∈ ℂ)
22	21	halfcld 12148	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (π / 2) ∈ ℂ)
23		elnnuz 12551	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↔ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘1))
24	23	biimpi 215	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ (ℤ≥‘1))
25		oveq2 7263	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (2 · 𝑘) = (2 · 𝑗))
26	25	oveq1d 7270	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((2 · 𝑘) − 1) = ((2 · 𝑗) − 1))
27	25, 26	oveq12d 7273	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) − 1)) = ((2 · 𝑗) / ((2 · 𝑗) − 1)))
28	25	oveq1d 7270	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((2 · 𝑘) + 1) = ((2 · 𝑗) + 1))
29	25, 28	oveq12d 7273	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1)) = ((2 · 𝑗) / ((2 · 𝑗) + 1)))
30	27, 29	oveq12d 7273	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) − 1)) · ((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1))) = (((2 · 𝑗) / ((2 · 𝑗) − 1)) · ((2 · 𝑗) / ((2 · 𝑗) + 1))))
31		elfznn 13214	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑛) → 𝑗 ∈ ℕ)
32		2cnd 11981	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
33		nncn 11911	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℂ)
34	32, 33	mulcld 10926	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (2 · 𝑗) ∈ ℂ)
35		1cnd 10901	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
36	34, 35	subcld 11262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → ((2 · 𝑗) − 1) ∈ ℂ)
37		1red 10907	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
38		1t1e1 12065	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (1 · 1) = 1
39	37, 37	remulcld 10936	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (1 · 1) ∈ ℝ)
40		2re 11977	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ 2 ∈ ℝ
41	40	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
42	41, 37	remulcld 10936	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (2 · 1) ∈ ℝ)
43		nnre 11910	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℝ)
44	41, 43	remulcld 10936	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (2 · 𝑗) ∈ ℝ)
45		1rp 12663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ 1 ∈ ℝ+
46	45	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ+)
47		1lt2 12074	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ 1 < 2
48	47	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 1 < 2)
49	37, 41, 46, 48	ltmul1dd 12756	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (1 · 1) < (2 · 1))
50		0le2 12005	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ 0 ≤ 2
51	50	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 0 ≤ 2)
52		nnge1 11931	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑗)
53	37, 43, 41, 51, 52	lemul2ad 11845	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (2 · 1) ≤ (2 · 𝑗))
54	39, 42, 44, 49, 53	ltletrd 11065	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (1 · 1) < (2 · 𝑗))
55	38, 54	eqbrtrrid 5106	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 1 < (2 · 𝑗))
56	37, 55	gtned 11040	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (2 · 𝑗) ≠ 1)
57	34, 35, 56	subne0d 11271	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → ((2 · 𝑗) − 1) ≠ 0)
58	34, 36, 57	divcld 11681	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → ((2 · 𝑗) / ((2 · 𝑗) − 1)) ∈ ℂ)
59	34, 35	addcld 10925	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → ((2 · 𝑗) + 1) ∈ ℂ)
60		0red 10909	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 0 ∈ ℝ)
61	44, 37	readdcld 10935	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → ((2 · 𝑗) + 1) ∈ ℝ)
62	46	rpgt0d 12704	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 0 < 1)
63		2rp 12664	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 2 ∈ ℝ+
64	63	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ+)
65		nnrp 12670	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℝ+)
66	64, 65	rpmulcld 12717	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (2 · 𝑗) ∈ ℝ+)
67	37, 66	ltaddrp2d 12735	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 1 < ((2 · 𝑗) + 1))
68	60, 37, 61, 62, 67	lttrd 11066	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 0 < ((2 · 𝑗) + 1))
69	60, 68	gtned 11040	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → ((2 · 𝑗) + 1) ≠ 0)
70	34, 59, 69	divcld 11681	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → ((2 · 𝑗) / ((2 · 𝑗) + 1)) ∈ ℂ)
71	58, 70	mulcld 10926	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (((2 · 𝑗) / ((2 · 𝑗) − 1)) · ((2 · 𝑗) / ((2 · 𝑗) + 1))) ∈ ℂ)
72	31, 71	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑛) → (((2 · 𝑗) / ((2 · 𝑗) − 1)) · ((2 · 𝑗) / ((2 · 𝑗) + 1))) ∈ ℂ)
73	3, 30, 31, 72	fvmptd3 6880	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑛) → (𝐹‘𝑗) = (((2 · 𝑗) / ((2 · 𝑗) − 1)) · ((2 · 𝑗) / ((2 · 𝑗) + 1))))
74	63	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑛) → 2 ∈ ℝ+)
75	31	nnrpd 12699	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑛) → 𝑗 ∈ ℝ+)
76	74, 75	rpmulcld 12717	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑛) → (2 · 𝑗) ∈ ℝ+)
77	44, 37	resubcld 11333	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → ((2 · 𝑗) − 1) ∈ ℝ)
78		1m1e0 11975	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (1 − 1) = 0
79	37, 44, 37, 55	ltsub1dd 11517	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (1 − 1) < ((2 · 𝑗) − 1))
80	78, 79	eqbrtrrid 5106	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 0 < ((2 · 𝑗) − 1))
81	77, 80	elrpd 12698	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → ((2 · 𝑗) − 1) ∈ ℝ+)
82	31, 81	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑛) → ((2 · 𝑗) − 1) ∈ ℝ+)
83	76, 82	rpdivcld 12718	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑛) → ((2 · 𝑗) / ((2 · 𝑗) − 1)) ∈ ℝ+)
84	40	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑛) → 2 ∈ ℝ)
85	31	nnred 11918	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑛) → 𝑗 ∈ ℝ)
86	84, 85	remulcld 10936	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑛) → (2 · 𝑗) ∈ ℝ)
87	74	rpge0d 12705	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑛) → 0 ≤ 2)
88	75	rpge0d 12705	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑛) → 0 ≤ 𝑗)
89	84, 85, 87, 88	mulge0d 11482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑛) → 0 ≤ (2 · 𝑗))
90	86, 89	ge0p1rpd 12731	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑛) → ((2 · 𝑗) + 1) ∈ ℝ+)
91	76, 90	rpdivcld 12718	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑛) → ((2 · 𝑗) / ((2 · 𝑗) + 1)) ∈ ℝ+)
92	83, 91	rpmulcld 12717	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑛) → (((2 · 𝑗) / ((2 · 𝑗) − 1)) · ((2 · 𝑗) / ((2 · 𝑗) + 1))) ∈ ℝ+)
93	73, 92	eqeltrd 2839	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑛) → (𝐹‘𝑗) ∈ ℝ+)
94	93	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑛)) → (𝐹‘𝑗) ∈ ℝ+)
95		rpmulcl 12682	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑗 ∈ ℝ+ ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → (𝑗 · 𝑤) ∈ ℝ+)
96	95	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑗 ∈ ℝ+ ∧ 𝑤 ∈ ℝ+)) → (𝑗 · 𝑤) ∈ ℝ+)
97	24, 94, 96	seqcl 13671	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (seq1( · , 𝐹)‘𝑛) ∈ ℝ+)
98	97	rpcnd 12703	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (seq1( · , 𝐹)‘𝑛) ∈ ℂ)
99	97	rpne0d 12706	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (seq1( · , 𝐹)‘𝑛) ≠ 0)
100	98, 99	reccld 11674	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛)) ∈ ℂ)
101	22, 100	mulcld 10926	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛))) ∈ ℂ)
102	6, 101	fmpti 6968	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛)))):ℕ⟶ℂ
103	102	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛)))):ℕ⟶ℂ)
104	103	ffvelrnda 6943	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛))))‘𝑗) ∈ ℂ)
105		fveq2 6756	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑛) = (seq1( · , 𝐹)‘𝑗))
106	105	eleq1d 2823	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑛) ∈ ℝ+ ↔ (seq1( · , 𝐹)‘𝑗) ∈ ℝ+))
107	106, 97	vtoclga 3503	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (seq1( · , 𝐹)‘𝑗) ∈ ℝ+)
108	107	rpcnd 12703	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (seq1( · , 𝐹)‘𝑗) ∈ ℂ)
109	107	rpne0d 12706	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (seq1( · , 𝐹)‘𝑗) ≠ 0)
110	35, 108, 109	divrecd 11684	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑗)) = (1 · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑗))))
111	11	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → π ∈ ℂ)
112	64	rpne0d 12706	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 2 ≠ 0)
113	15	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → π ≠ 0)
114	32, 111, 112, 113	divcan6d 11700	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → ((2 / π) · (π / 2)) = 1)
115	114	eqcomd 2744	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 1 = ((2 / π) · (π / 2)))
116	115	oveq1d 7270	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (1 · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑗))) = (((2 / π) · (π / 2)) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑗))))
117	32, 111, 113	divcld 11681	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (2 / π) ∈ ℂ)
118	111	halfcld 12148	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (π / 2) ∈ ℂ)
119	108, 109	reccld 11674	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑗)) ∈ ℂ)
120	117, 118, 119	mulassd 10929	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (((2 / π) · (π / 2)) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑗))) = ((2 / π) · ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑗)))))
121	110, 116, 120	3eqtrd 2782	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑗)) = ((2 / π) · ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑗)))))
122		eqidd 2739	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛))))
123	105	oveq2d 7271	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛)) = (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑗)))
124	123	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑗) → (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛)) = (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑗)))
125		id 22	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℕ)
126	107	rpreccld 12711	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑗)) ∈ ℝ+)
127	122, 124, 125, 126	fvmptd 6864	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛)))‘𝑗) = (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑗)))
128		eqidd 2739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛)))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛)))))
129	124	oveq2d 7271	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑗) → ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛))) = ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑗))))
130	118, 119	mulcld 10926	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑗))) ∈ ℂ)
131	128, 129, 125, 130	fvmptd 6864	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛))))‘𝑗) = ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑗))))
132	131	oveq2d 7271	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → ((2 / π) · ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛))))‘𝑗)) = ((2 / π) · ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑗)))))
133	121, 127, 132	3eqtr4d 2788	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛)))‘𝑗) = ((2 / π) · ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛))))‘𝑗)))
134	133	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛)))‘𝑗) = ((2 / π) · ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛))))‘𝑗)))
135	1, 2, 9, 17, 20, 104, 134	climmulc2 15274	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛))) ⇝ ((2 / π) · 1))
136		2cn 11978	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
137	136, 11, 15	divcli 11647	. . . . . 6 ⊢ (2 / π) ∈ ℂ
138	137	mulid1i 10910	. . . . 5 ⊢ ((2 / π) · 1) = (2 / π)
139	135, 138	breqtrdi 5111	. . . 4 ⊢ (⊤ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛))) ⇝ (2 / π))
140		2ne0 12007	. . . . . 6 ⊢ 2 ≠ 0
141	136, 11, 140, 15	divne0i 11653	. . . . 5 ⊢ (2 / π) ≠ 0
142	141	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → (2 / π) ≠ 0)
143	127, 119	eqeltrd 2839	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛)))‘𝑗) ∈ ℂ)
144	108, 109	recne0d 11675	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑗)) ≠ 0)
145	127, 144	eqnetrd 3010	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛)))‘𝑗) ≠ 0)
146		nelsn 4598	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛)))‘𝑗) ≠ 0 → ¬ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛)))‘𝑗) ∈ {0})
147	145, 146	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → ¬ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛)))‘𝑗) ∈ {0})
148	143, 147	eldifd 3894	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛)))‘𝑗) ∈ (ℂ ∖ {0}))
149	148	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛)))‘𝑗) ∈ (ℂ ∖ {0}))
150	108, 109	recrecd 11678	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (1 / (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑗))) = (seq1( · , 𝐹)‘𝑗))
151	122, 124, 125, 119	fvmptd 6864	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛)))‘𝑗) = (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑗)))
152	151	oveq2d 7271	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (1 / ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛)))‘𝑗)) = (1 / (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑗))))
153		wallispi.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝑊 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (seq1( · , 𝐹)‘𝑛))
154	105, 153, 97	fvmpt3 6861	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (𝑊‘𝑗) = (seq1( · , 𝐹)‘𝑗))
155	150, 152, 154	3eqtr4rd 2789	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (𝑊‘𝑗) = (1 / ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛)))‘𝑗)))
156	155	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝑊‘𝑗) = (1 / ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛)))‘𝑗)))
157	18	mptex 7081	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (seq1( · , 𝐹)‘𝑛)) ∈ V
158	153, 157	eqeltri 2835	. . . . 5 ⊢ 𝑊 ∈ V
159	158	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → 𝑊 ∈ V)
160	1, 2, 139, 142, 149, 156, 159	climrec 43034	. . 3 ⊢ (⊤ → 𝑊 ⇝ (1 / (2 / π)))
161	160	mptru 1546	. 2 ⊢ 𝑊 ⇝ (1 / (2 / π))
162		recdiv 11611	. . 3 ⊢ (((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) ∧ (π ∈ ℂ ∧ π ≠ 0)) → (1 / (2 / π)) = (π / 2))
163	136, 140, 11, 15, 162	mp4an 689	. 2 ⊢ (1 / (2 / π)) = (π / 2)
164	161, 163	breqtri 5095	1 ⊢ 𝑊 ⇝ (π / 2)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 395   = wceq 1539  ⊤wtru 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  Vcvv 3422   ∖ cdif 3880  {csn 4558   class class class wbr 5070   ↦ cmpt 5153  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  ℂcc 10800  ℝcr 10801  0cc0 10802  1c1 10803   + caddc 10805   · cmul 10807   < clt 10940   ≤ cle 10941   − cmin 11135   / cdiv 11562  ℕcn 11903  2c2 11958  ℕ₀cn0 12163  ℤ_≥cuz 12511  ℝ⁺crp 12659  (,)cioo 13008  ...cfz 13168  seqcseq 13649  ↑cexp 13710   ⇝ cli 15121  sincsin 15701  πcpi 15704  ∫citg 24687

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-inf2 9329  ax-cc 10122  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880  ax-addf 10881  ax-mulf 10882

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-symdif 4173  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-iin 4924  df-disj 5036  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-of 7511  df-ofr 7512  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-supp 7949  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-2o 8268  df-oadd 8271  df-omul 8272  df-er 8456  df-map 8575  df-pm 8576  df-ixp 8644  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-fsupp 9059  df-fi 9100  df-sup 9131  df-inf 9132  df-oi 9199  df-dju 9590  df-card 9628  df-acn 9631  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-q 12618  df-rp 12660  df-xneg 12777  df-xadd 12778  df-xmul 12779  df-ioo 13012  df-ioc 13013  df-ico 13014  df-icc 13015  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-fl 13440  df-mod 13518  df-seq 13650  df-exp 13711  df-fac 13916  df-bc 13945  df-hash 13973  df-shft 14706  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-limsup 15108  df-clim 15125  df-rlim 15126  df-sum 15326  df-ef 15705  df-sin 15707  df-cos 15708  df-pi 15710  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-starv 16903  df-sca 16904  df-vsca 16905  df-ip 16906  df-tset 16907  df-ple 16908  df-ds 16910  df-unif 16911  df-hom 16912  df-cco 16913  df-rest 17050  df-topn 17051  df-0g 17069  df-gsum 17070  df-topgen 17071  df-pt 17072  df-prds 17075  df-xrs 17130  df-qtop 17135  df-imas 17136  df-xps 17138  df-mre 17212  df-mrc 17213  df-acs 17215  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-submnd 18346  df-mulg 18616  df-cntz 18838  df-cmn 19303  df-psmet 20502  df-xmet 20503  df-met 20504  df-bl 20505  df-mopn 20506  df-fbas 20507  df-fg 20508  df-cnfld 20511  df-top 21951  df-topon 21968  df-topsp 21990  df-bases 22004  df-cld 22078  df-ntr 22079  df-cls 22080  df-nei 22157  df-lp 22195  df-perf 22196  df-cn 22286  df-cnp 22287  df-haus 22374  df-cmp 22446  df-tx 22621  df-hmeo 22814  df-fil 22905  df-fm 22997  df-flim 22998  df-flf 22999  df-xms 23381  df-ms 23382  df-tms 23383  df-cncf 23947  df-ovol 24533  df-vol 24534  df-mbf 24688  df-itg1 24689  df-itg2 24690  df-ibl 24691  df-itg 24692  df-0p 24739  df-limc 24935  df-dv 24936

This theorem is referenced by:  wallispi2  43504