Theorem wallispi 46075

Description: Wallis' formula for π : Wallis' product converges to π / 2 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
wallispi.1	⊢ 𝐹 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) − 1)) · ((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1))))
wallispi.2	⊢ 𝑊 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (seq1( · , 𝐹)‘𝑛))

Assertion

Ref	Expression
wallispi	⊢ 𝑊 ⇝ (π / 2)

Distinct variable groups:   𝑘,𝑛   𝑛,𝐹

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑘)   𝑊(𝑘,𝑛)

Proof of Theorem wallispi

Dummy variables 𝑗 𝑤 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 12843	. . . 4 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
2		1zzd 12571	. . . 4 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℤ)
3		wallispi.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) − 1)) · ((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1))))
4		eqid 2730	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑𝑛) d𝑥) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑𝑛) d𝑥)
5		eqid 2730	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑𝑛) d𝑥)‘(2 · 𝑛)) / ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑𝑛) d𝑥)‘((2 · 𝑛) + 1)))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑𝑛) d𝑥)‘(2 · 𝑛)) / ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑𝑛) d𝑥)‘((2 · 𝑛) + 1))))
6		eqid 2730	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛)))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛))))
7		eqid 2730	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · 𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · 𝑛)))
8	3, 4, 5, 6, 7	wallispilem5 46074	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛)))) ⇝ 1
9	8	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛)))) ⇝ 1)
10		2cnd 12271	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 2 ∈ ℂ)
11		picn 26374	. . . . . . . 8 ⊢ π ∈ ℂ
12	11	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → π ∈ ℂ)
13		pire 26373	. . . . . . . . 9 ⊢ π ∈ ℝ
14		pipos 26375	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < π
15	13, 14	gt0ne0ii 11721	. . . . . . . 8 ⊢ π ≠ 0
16	15	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → π ≠ 0)
17	10, 12, 16	divcld 11965	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (2 / π) ∈ ℂ)
18		nnex 12199	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ ∈ V
19	18	mptex 7200	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛))) ∈ V
20	19	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛))) ∈ V)
21	11	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → π ∈ ℂ)
22	21	halfcld 12434	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (π / 2) ∈ ℂ)
23		elnnuz 12844	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↔ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘1))
24	23	biimpi 216	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ (ℤ≥‘1))
25		oveq2 7398	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (2 · 𝑘) = (2 · 𝑗))
26	25	oveq1d 7405	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((2 · 𝑘) − 1) = ((2 · 𝑗) − 1))
27	25, 26	oveq12d 7408	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) − 1)) = ((2 · 𝑗) / ((2 · 𝑗) − 1)))
28	25	oveq1d 7405	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((2 · 𝑘) + 1) = ((2 · 𝑗) + 1))
29	25, 28	oveq12d 7408	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1)) = ((2 · 𝑗) / ((2 · 𝑗) + 1)))
30	27, 29	oveq12d 7408	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) − 1)) · ((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1))) = (((2 · 𝑗) / ((2 · 𝑗) − 1)) · ((2 · 𝑗) / ((2 · 𝑗) + 1))))
31		elfznn 13521	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑛) → 𝑗 ∈ ℕ)
32		2cnd 12271	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
33		nncn 12201	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℂ)
34	32, 33	mulcld 11201	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (2 · 𝑗) ∈ ℂ)
35		1cnd 11176	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
36	34, 35	subcld 11540	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → ((2 · 𝑗) − 1) ∈ ℂ)
37		1red 11182	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
38		1t1e1 12350	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (1 · 1) = 1
39	37, 37	remulcld 11211	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (1 · 1) ∈ ℝ)
40		2re 12267	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ 2 ∈ ℝ
41	40	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
42	41, 37	remulcld 11211	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (2 · 1) ∈ ℝ)
43		nnre 12200	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℝ)
44	41, 43	remulcld 11211	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (2 · 𝑗) ∈ ℝ)
45		1rp 12962	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ 1 ∈ ℝ+
46	45	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ+)
47		1lt2 12359	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ 1 < 2
48	47	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 1 < 2)
49	37, 41, 46, 48	ltmul1dd 13057	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (1 · 1) < (2 · 1))
50		0le2 12295	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ 0 ≤ 2
51	50	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 0 ≤ 2)
52		nnge1 12221	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑗)
53	37, 43, 41, 51, 52	lemul2ad 12130	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (2 · 1) ≤ (2 · 𝑗))
54	39, 42, 44, 49, 53	ltletrd 11341	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (1 · 1) < (2 · 𝑗))
55	38, 54	eqbrtrrid 5146	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 1 < (2 · 𝑗))
56	37, 55	gtned 11316	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (2 · 𝑗) ≠ 1)
57	34, 35, 56	subne0d 11549	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → ((2 · 𝑗) − 1) ≠ 0)
58	34, 36, 57	divcld 11965	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → ((2 · 𝑗) / ((2 · 𝑗) − 1)) ∈ ℂ)
59	34, 35	addcld 11200	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → ((2 · 𝑗) + 1) ∈ ℂ)
60		0red 11184	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 0 ∈ ℝ)
61	44, 37	readdcld 11210	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → ((2 · 𝑗) + 1) ∈ ℝ)
62	46	rpgt0d 13005	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 0 < 1)
63		2rp 12963	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 2 ∈ ℝ+
64	63	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ+)
65		nnrp 12970	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℝ+)
66	64, 65	rpmulcld 13018	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (2 · 𝑗) ∈ ℝ+)
67	37, 66	ltaddrp2d 13036	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 1 < ((2 · 𝑗) + 1))
68	60, 37, 61, 62, 67	lttrd 11342	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 0 < ((2 · 𝑗) + 1))
69	60, 68	gtned 11316	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → ((2 · 𝑗) + 1) ≠ 0)
70	34, 59, 69	divcld 11965	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → ((2 · 𝑗) / ((2 · 𝑗) + 1)) ∈ ℂ)
71	58, 70	mulcld 11201	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (((2 · 𝑗) / ((2 · 𝑗) − 1)) · ((2 · 𝑗) / ((2 · 𝑗) + 1))) ∈ ℂ)
72	31, 71	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑛) → (((2 · 𝑗) / ((2 · 𝑗) − 1)) · ((2 · 𝑗) / ((2 · 𝑗) + 1))) ∈ ℂ)
73	3, 30, 31, 72	fvmptd3 6994	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑛) → (𝐹‘𝑗) = (((2 · 𝑗) / ((2 · 𝑗) − 1)) · ((2 · 𝑗) / ((2 · 𝑗) + 1))))
74	63	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑛) → 2 ∈ ℝ+)
75	31	nnrpd 13000	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑛) → 𝑗 ∈ ℝ+)
76	74, 75	rpmulcld 13018	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑛) → (2 · 𝑗) ∈ ℝ+)
77	44, 37	resubcld 11613	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → ((2 · 𝑗) − 1) ∈ ℝ)
78		1m1e0 12265	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (1 − 1) = 0
79	37, 44, 37, 55	ltsub1dd 11797	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (1 − 1) < ((2 · 𝑗) − 1))
80	78, 79	eqbrtrrid 5146	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 0 < ((2 · 𝑗) − 1))
81	77, 80	elrpd 12999	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → ((2 · 𝑗) − 1) ∈ ℝ+)
82	31, 81	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑛) → ((2 · 𝑗) − 1) ∈ ℝ+)
83	76, 82	rpdivcld 13019	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑛) → ((2 · 𝑗) / ((2 · 𝑗) − 1)) ∈ ℝ+)
84	40	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑛) → 2 ∈ ℝ)
85	31	nnred 12208	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑛) → 𝑗 ∈ ℝ)
86	84, 85	remulcld 11211	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑛) → (2 · 𝑗) ∈ ℝ)
87	74	rpge0d 13006	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑛) → 0 ≤ 2)
88	75	rpge0d 13006	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑛) → 0 ≤ 𝑗)
89	84, 85, 87, 88	mulge0d 11762	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑛) → 0 ≤ (2 · 𝑗))
90	86, 89	ge0p1rpd 13032	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑛) → ((2 · 𝑗) + 1) ∈ ℝ+)
91	76, 90	rpdivcld 13019	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑛) → ((2 · 𝑗) / ((2 · 𝑗) + 1)) ∈ ℝ+)
92	83, 91	rpmulcld 13018	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑛) → (((2 · 𝑗) / ((2 · 𝑗) − 1)) · ((2 · 𝑗) / ((2 · 𝑗) + 1))) ∈ ℝ+)
93	73, 92	eqeltrd 2829	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑛) → (𝐹‘𝑗) ∈ ℝ+)
94	93	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑛)) → (𝐹‘𝑗) ∈ ℝ+)
95		rpmulcl 12983	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑗 ∈ ℝ+ ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → (𝑗 · 𝑤) ∈ ℝ+)
96	95	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑗 ∈ ℝ+ ∧ 𝑤 ∈ ℝ+)) → (𝑗 · 𝑤) ∈ ℝ+)
97	24, 94, 96	seqcl 13994	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (seq1( · , 𝐹)‘𝑛) ∈ ℝ+)
98	97	rpcnd 13004	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (seq1( · , 𝐹)‘𝑛) ∈ ℂ)
99	97	rpne0d 13007	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (seq1( · , 𝐹)‘𝑛) ≠ 0)
100	98, 99	reccld 11958	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛)) ∈ ℂ)
101	22, 100	mulcld 11201	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛))) ∈ ℂ)
102	6, 101	fmpti 7087	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛)))):ℕ⟶ℂ
103	102	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛)))):ℕ⟶ℂ)
104	103	ffvelcdmda 7059	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛))))‘𝑗) ∈ ℂ)
105		fveq2 6861	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑛) = (seq1( · , 𝐹)‘𝑗))
106	105	eleq1d 2814	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑛) ∈ ℝ+ ↔ (seq1( · , 𝐹)‘𝑗) ∈ ℝ+))
107	106, 97	vtoclga 3546	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (seq1( · , 𝐹)‘𝑗) ∈ ℝ+)
108	107	rpcnd 13004	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (seq1( · , 𝐹)‘𝑗) ∈ ℂ)
109	107	rpne0d 13007	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (seq1( · , 𝐹)‘𝑗) ≠ 0)
110	35, 108, 109	divrecd 11968	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑗)) = (1 · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑗))))
111	11	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → π ∈ ℂ)
112	64	rpne0d 13007	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 2 ≠ 0)
113	15	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → π ≠ 0)
114	32, 111, 112, 113	divcan6d 11984	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → ((2 / π) · (π / 2)) = 1)
115	114	eqcomd 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 1 = ((2 / π) · (π / 2)))
116	115	oveq1d 7405	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (1 · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑗))) = (((2 / π) · (π / 2)) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑗))))
117	32, 111, 113	divcld 11965	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (2 / π) ∈ ℂ)
118	111	halfcld 12434	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (π / 2) ∈ ℂ)
119	108, 109	reccld 11958	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑗)) ∈ ℂ)
120	117, 118, 119	mulassd 11204	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (((2 / π) · (π / 2)) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑗))) = ((2 / π) · ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑗)))))
121	110, 116, 120	3eqtrd 2769	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑗)) = ((2 / π) · ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑗)))))
122		eqidd 2731	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛))))
123	105	oveq2d 7406	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛)) = (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑗)))
124	123	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑗) → (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛)) = (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑗)))
125		id 22	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℕ)
126	107	rpreccld 13012	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑗)) ∈ ℝ+)
127	122, 124, 125, 126	fvmptd 6978	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛)))‘𝑗) = (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑗)))
128		eqidd 2731	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛)))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛)))))
129	124	oveq2d 7406	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑗) → ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛))) = ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑗))))
130	118, 119	mulcld 11201	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑗))) ∈ ℂ)
131	128, 129, 125, 130	fvmptd 6978	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛))))‘𝑗) = ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑗))))
132	131	oveq2d 7406	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → ((2 / π) · ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛))))‘𝑗)) = ((2 / π) · ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑗)))))
133	121, 127, 132	3eqtr4d 2775	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛)))‘𝑗) = ((2 / π) · ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛))))‘𝑗)))
134	133	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛)))‘𝑗) = ((2 / π) · ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛))))‘𝑗)))
135	1, 2, 9, 17, 20, 104, 134	climmulc2 15610	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛))) ⇝ ((2 / π) · 1))
136		2cn 12268	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
137	136, 11, 15	divcli 11931	. . . . . 6 ⊢ (2 / π) ∈ ℂ
138	137	mulridi 11185	. . . . 5 ⊢ ((2 / π) · 1) = (2 / π)
139	135, 138	breqtrdi 5151	. . . 4 ⊢ (⊤ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛))) ⇝ (2 / π))
140		2ne0 12297	. . . . . 6 ⊢ 2 ≠ 0
141	136, 11, 140, 15	divne0i 11937	. . . . 5 ⊢ (2 / π) ≠ 0
142	141	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → (2 / π) ≠ 0)
143	127, 119	eqeltrd 2829	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛)))‘𝑗) ∈ ℂ)
144	108, 109	recne0d 11959	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑗)) ≠ 0)
145	127, 144	eqnetrd 2993	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛)))‘𝑗) ≠ 0)
146		nelsn 4633	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛)))‘𝑗) ≠ 0 → ¬ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛)))‘𝑗) ∈ {0})
147	145, 146	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → ¬ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛)))‘𝑗) ∈ {0})
148	143, 147	eldifd 3928	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛)))‘𝑗) ∈ (ℂ ∖ {0}))
149	148	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛)))‘𝑗) ∈ (ℂ ∖ {0}))
150	108, 109	recrecd 11962	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (1 / (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑗))) = (seq1( · , 𝐹)‘𝑗))
151	122, 124, 125, 119	fvmptd 6978	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛)))‘𝑗) = (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑗)))
152	151	oveq2d 7406	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (1 / ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛)))‘𝑗)) = (1 / (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑗))))
153		wallispi.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝑊 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (seq1( · , 𝐹)‘𝑛))
154	105, 153, 97	fvmpt3 6975	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (𝑊‘𝑗) = (seq1( · , 𝐹)‘𝑗))
155	150, 152, 154	3eqtr4rd 2776	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (𝑊‘𝑗) = (1 / ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛)))‘𝑗)))
156	155	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝑊‘𝑗) = (1 / ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛)))‘𝑗)))
157	18	mptex 7200	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (seq1( · , 𝐹)‘𝑛)) ∈ V
158	153, 157	eqeltri 2825	. . . . 5 ⊢ 𝑊 ∈ V
159	158	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → 𝑊 ∈ V)
160	1, 2, 139, 142, 149, 156, 159	climrec 45608	. . 3 ⊢ (⊤ → 𝑊 ⇝ (1 / (2 / π)))
161	160	mptru 1547	. 2 ⊢ 𝑊 ⇝ (1 / (2 / π))
162		recdiv 11895	. . 3 ⊢ (((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) ∧ (π ∈ ℂ ∧ π ≠ 0)) → (1 / (2 / π)) = (π / 2))
163	136, 140, 11, 15, 162	mp4an 693	. 2 ⊢ (1 / (2 / π)) = (π / 2)
164	161, 163	breqtri 5135	1 ⊢ 𝑊 ⇝ (π / 2)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 395   = wceq 1540  ⊤wtru 1541   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  Vcvv 3450   ∖ cdif 3914  {csn 4592   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5191  ⟶wf 6510  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  ℂcc 11073  ℝcr 11074  0cc0 11075  1c1 11076   + caddc 11078   · cmul 11080   < clt 11215   ≤ cle 11216   − cmin 11412   / cdiv 11842  ℕcn 12193  2c2 12248  ℕ₀cn0 12449  ℤ_≥cuz 12800  ℝ⁺crp 12958  (,)cioo 13313  ...cfz 13475  seqcseq 13973  ↑cexp 14033   ⇝ cli 15457  sincsin 16036  πcpi 16039  ∫citg 25526

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-inf2 9601  ax-cc 10395  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153  ax-addf 11154

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-symdif 4219  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-iin 4961  df-disj 5078  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-se 5595  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-isom 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-of 7656  df-ofr 7657  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-oadd 8441  df-omul 8442  df-er 8674  df-map 8804  df-pm 8805  df-ixp 8874  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-fsupp 9320  df-fi 9369  df-sup 9400  df-inf 9401  df-oi 9470  df-dju 9861  df-card 9899  df-acn 9902  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-z 12537  df-dec 12657  df-uz 12801  df-q 12915  df-rp 12959  df-xneg 13079  df-xadd 13080  df-xmul 13081  df-ioo 13317  df-ioc 13318  df-ico 13319  df-icc 13320  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-fl 13761  df-mod 13839  df-seq 13974  df-exp 14034  df-fac 14246  df-bc 14275  df-hash 14303  df-shft 15040  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-limsup 15444  df-clim 15461  df-rlim 15462  df-sum 15660  df-ef 16040  df-sin 16042  df-cos 16043  df-pi 16045  df-struct 17124  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-ress 17208  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-starv 17242  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-unif 17250  df-hom 17251  df-cco 17252  df-rest 17392  df-topn 17393  df-0g 17411  df-gsum 17412  df-topgen 17413  df-pt 17414  df-prds 17417  df-xrs 17472  df-qtop 17477  df-imas 17478  df-xps 17480  df-mre 17554  df-mrc 17555  df-acs 17557  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-submnd 18718  df-mulg 19007  df-cntz 19256  df-cmn 19719  df-psmet 21263  df-xmet 21264  df-met 21265  df-bl 21266  df-mopn 21267  df-fbas 21268  df-fg 21269  df-cnfld 21272  df-top 22788  df-topon 22805  df-topsp 22827  df-bases 22840  df-cld 22913  df-ntr 22914  df-cls 22915  df-nei 22992  df-lp 23030  df-perf 23031  df-cn 23121  df-cnp 23122  df-haus 23209  df-cmp 23281  df-tx 23456  df-hmeo 23649  df-fil 23740  df-fm 23832  df-flim 23833  df-flf 23834  df-xms 24215  df-ms 24216  df-tms 24217  df-cncf 24778  df-ovol 25372  df-vol 25373  df-mbf 25527  df-itg1 25528  df-itg2 25529  df-ibl 25530  df-itg 25531  df-0p 25578  df-limc 25774  df-dv 25775

This theorem is referenced by:  wallispi2  46078