Theorem wallispi 47049

Description: Wallis' formula for π : Wallis' product converges to π / 2 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
wallispi.1	⊢ 𝐹 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) − 1)) · ((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1))))
wallispi.2	⊢ 𝑊 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (seq1( · , 𝐹)‘𝑛))

Assertion

Ref	Expression
wallispi	⊢ 𝑊 ⇝ (π / 2)

Distinct variable groups:   𝑘,𝑛   𝑛,𝐹

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑘)   𝑊(𝑘, 𝑛)

Proof of Theorem wallispi

Dummy variables 𝑗 𝑤 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 12997	. . . 4 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
2		1zzd 12720	. . . 4 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℤ)
3		wallispi.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) − 1)) · ((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1))))
4		eqid 2761	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑𝑛) d𝑥) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑𝑛) d𝑥)
5		eqid 2761	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑𝑛) d𝑥)‘(2 · 𝑛)) / ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑𝑛) d𝑥)‘((2 · 𝑛) + 1)))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑𝑛) d𝑥)‘(2 · 𝑛)) / ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑𝑛) d𝑥)‘((2 · 𝑛) + 1))))
6		eqid 2761	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛)))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛))))
7		eqid 2761	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · 𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · 𝑛)))
8	3, 4, 5, 6, 7	wallispilem5 47048	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛)))) ⇝ 1
9	8	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛)))) ⇝ 1)
10		2cnd 12414	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 2 ∈ ℂ)
11		picn 26778	. . . . . . . 8 ⊢ π ∈ ℂ
12	11	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → π ∈ ℂ)
13		pire 26776	. . . . . . . . 9 ⊢ π ∈ ℝ
14		pipos 26780	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < π
15	13, 14	gt0ne0ii 11845	. . . . . . . 8 ⊢ π ≠ 0
16	15	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → π ≠ 0)
17	10, 12, 16	divcld 12086	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (2 / π) ∈ ℂ)
18		nnex 12334	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ ∈ V
19	18	mptex 7227	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛))) ∈ V
20	19	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛))) ∈ V)
21	11	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → π ∈ ℂ)
22	21	halfcld 12584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (π / 2) ∈ ℂ)
23		elnnuz 12998	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↔ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘1))
24	23	biimpi 219	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ (ℤ≥‘1))
25		oveq2 7426	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (2 · 𝑘) = (2 · 𝑗))
26	25	oveq1d 7433	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((2 · 𝑘) − 1) = ((2 · 𝑗) − 1))
27	25, 26	oveq12d 7436	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) − 1)) = ((2 · 𝑗) / ((2 · 𝑗) − 1)))
28	25	oveq1d 7433	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((2 · 𝑘) + 1) = ((2 · 𝑗) + 1))
29	25, 28	oveq12d 7436	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1)) = ((2 · 𝑗) / ((2 · 𝑗) + 1)))
30	27, 29	oveq12d 7436	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) − 1)) · ((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1))) = (((2 · 𝑗) / ((2 · 𝑗) − 1)) · ((2 · 𝑗) / ((2 · 𝑗) + 1))))
31		elfznn 13680	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑛) → 𝑗 ∈ ℕ)
32		2cnd 12414	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
33		nncn 12336	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℂ)
34	32, 33	mulcld 11322	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (2 · 𝑗) ∈ ℂ)
35		1cnd 11295	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
36	34, 35	subcld 11662	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → ((2 · 𝑗) − 1) ∈ ℂ)
37		1red 11302	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
38		1t1e1 12497	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (1 · 1) = 1
39	37, 37	remulcld 11332	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (1 · 1) ∈ ℝ)
40		2re 12410	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ 2 ∈ ℝ
41	40	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
42	41, 37	remulcld 11332	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (2 · 1) ∈ ℝ)
43		nnre 12335	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℝ)
44	41, 43	remulcld 11332	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (2 · 𝑗) ∈ ℝ)
45		1rp 13117	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ 1 ∈ ℝ+
46	45	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ+)
47		1lt2 12508	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ 1 < 2
48	47	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 1 < 2)
49	37, 41, 46, 48	ltmul1dd 13212	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (1 · 1) < (2 · 1))
50		0le2 12438	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ 0 ≤ 2
51	50	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 0 ≤ 2)
52		nnge1 12359	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑗)
53	37, 43, 41, 51, 52	lemul2ad 12250	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (2 · 1) ≤ (2 · 𝑗))
54	39, 42, 44, 49, 53	ltletrd 11463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (1 · 1) < (2 · 𝑗))
55	38, 54	eqbrtrrid 5141	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 1 < (2 · 𝑗))
56	37, 55	gtned 11438	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (2 · 𝑗) ≠ 1)
57	34, 35, 56	subne0d 11672	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → ((2 · 𝑗) − 1) ≠ 0)
58	34, 36, 57	divcld 12086	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → ((2 · 𝑗) / ((2 · 𝑗) − 1)) ∈ ℂ)
59	34, 35	addcld 11321	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → ((2 · 𝑗) + 1) ∈ ℂ)
60		0red 11304	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 0 ∈ ℝ)
61	44, 37	readdcld 11331	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → ((2 · 𝑗) + 1) ∈ ℝ)
62	46	rpgt0d 13160	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 0 < 1)
63		2rp 13118	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 2 ∈ ℝ+
64	63	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ+)
65		nnrp 13125	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℝ+)
66	64, 65	rpmulcld 13173	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (2 · 𝑗) ∈ ℝ+)
67	37, 66	ltaddrp2d 13191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 1 < ((2 · 𝑗) + 1))
68	60, 37, 61, 62, 67	lttrd 11464	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 0 < ((2 · 𝑗) + 1))
69	60, 68	gtned 11438	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → ((2 · 𝑗) + 1) ≠ 0)
70	34, 59, 69	divcld 12086	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → ((2 · 𝑗) / ((2 · 𝑗) + 1)) ∈ ℂ)
71	58, 70	mulcld 11322	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (((2 · 𝑗) / ((2 · 𝑗) − 1)) · ((2 · 𝑗) / ((2 · 𝑗) + 1))) ∈ ℂ)
72	31, 71	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑛) → (((2 · 𝑗) / ((2 · 𝑗) − 1)) · ((2 · 𝑗) / ((2 · 𝑗) + 1))) ∈ ℂ)
73	3, 30, 31, 72	fvmptd3 7015	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑛) → (𝐹‘𝑗) = (((2 · 𝑗) / ((2 · 𝑗) − 1)) · ((2 · 𝑗) / ((2 · 𝑗) + 1))))
74	63	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑛) → 2 ∈ ℝ+)
75	31	nnrpd 13155	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑛) → 𝑗 ∈ ℝ+)
76	74, 75	rpmulcld 13173	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑛) → (2 · 𝑗) ∈ ℝ+)
77	44, 37	resubcld 11737	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → ((2 · 𝑗) − 1) ∈ ℝ)
78		1m1e0 12408	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (1 − 1) = 0
79	37, 44, 37, 55	ltsub1dd 11921	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (1 − 1) < ((2 · 𝑗) − 1))
80	78, 79	eqbrtrrid 5141	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 0 < ((2 · 𝑗) − 1))
81	77, 80	elrpd 13154	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → ((2 · 𝑗) − 1) ∈ ℝ+)
82	31, 81	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑛) → ((2 · 𝑗) − 1) ∈ ℝ+)
83	76, 82	rpdivcld 13174	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑛) → ((2 · 𝑗) / ((2 · 𝑗) − 1)) ∈ ℝ+)
84	40	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑛) → 2 ∈ ℝ)
85	31	nnred 12343	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑛) → 𝑗 ∈ ℝ)
86	84, 85	remulcld 11332	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑛) → (2 · 𝑗) ∈ ℝ)
87	74	rpge0d 13161	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑛) → 0 ≤ 2)
88	75	rpge0d 13161	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑛) → 0 ≤ 𝑗)
89	84, 85, 87, 88	mulge0d 11886	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑛) → 0 ≤ (2 · 𝑗))
90	86, 89	ge0p1rpd 13187	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑛) → ((2 · 𝑗) + 1) ∈ ℝ+)
91	76, 90	rpdivcld 13174	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑛) → ((2 · 𝑗) / ((2 · 𝑗) + 1)) ∈ ℝ+)
92	83, 91	rpmulcld 13173	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑛) → (((2 · 𝑗) / ((2 · 𝑗) − 1)) · ((2 · 𝑗) / ((2 · 𝑗) + 1))) ∈ ℝ+)
93	73, 92	eqeltrd 2861	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑛) → (𝐹‘𝑗) ∈ ℝ+)
94	93	adantl 487	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑛)) → (𝐹‘𝑗) ∈ ℝ+)
95		rpmulcl 13138	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑗 ∈ ℝ+ ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → (𝑗 · 𝑤) ∈ ℝ+)
96	95	adantl 487	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑗 ∈ ℝ+ ∧ 𝑤 ∈ ℝ+)) → (𝑗 · 𝑤) ∈ ℝ+)
97	24, 94, 96	seqcl 14158	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (seq1( · , 𝐹)‘𝑛) ∈ ℝ+)
98	97	rpcnd 13159	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (seq1( · , 𝐹)‘𝑛) ∈ ℂ)
99	97	rpne0d 13162	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (seq1( · , 𝐹)‘𝑛) ≠ 0)
100	98, 99	reccld 12079	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛)) ∈ ℂ)
101	22, 100	mulcld 11322	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛))) ∈ ℂ)
102	6, 101	fmpti 7110	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛)))):ℕ⟶ℂ
103	102	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛)))):ℕ⟶ℂ)
104	103	ffvelcdmda 7082	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛))))‘𝑗) ∈ ℂ)
105		fveq2 6883	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑛) = (seq1( · , 𝐹)‘𝑗))
106	105	eleq1d 2846	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑛) ∈ ℝ+ ↔ (seq1( · , 𝐹)‘𝑗) ∈ ℝ+))
107	106, 97	vtoclga 3537	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (seq1( · , 𝐹)‘𝑗) ∈ ℝ+)
108	107	rpcnd 13159	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (seq1( · , 𝐹)‘𝑗) ∈ ℂ)
109	107	rpne0d 13162	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (seq1( · , 𝐹)‘𝑗) ≠ 0)
110	35, 108, 109	divrecd 12089	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑗)) = (1 · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑗))))
111	11	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → π ∈ ℂ)
112	64	rpne0d 13162	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 2 ≠ 0)
113	15	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → π ≠ 0)
114	32, 111, 112, 113	divcan6d 12105	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → ((2 / π) · (π / 2)) = 1)
115	114	eqcomd 2767	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 1 = ((2 / π) · (π / 2)))
116	115	oveq1d 7433	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (1 · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑗))) = (((2 / π) · (π / 2)) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑗))))
117	32, 111, 113	divcld 12086	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (2 / π) ∈ ℂ)
118	111	halfcld 12584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (π / 2) ∈ ℂ)
119	108, 109	reccld 12079	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑗)) ∈ ℂ)
120	117, 118, 119	mulassd 11325	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (((2 / π) · (π / 2)) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑗))) = ((2 / π) · ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑗)))))
121	110, 116, 120	3eqtrd 2800	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑗)) = ((2 / π) · ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑗)))))
122		eqidd 2762	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛))))
123	105	oveq2d 7434	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛)) = (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑗)))
124	123	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑗) → (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛)) = (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑗)))
125		id 23	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℕ)
126	107	rpreccld 13167	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑗)) ∈ ℝ+)
127	122, 124, 125, 126	fvmptd 6999	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛)))‘𝑗) = (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑗)))
128		eqidd 2762	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛)))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛)))))
129	124	oveq2d 7434	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑗) → ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛))) = ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑗))))
130	118, 119	mulcld 11322	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑗))) ∈ ℂ)
131	128, 129, 125, 130	fvmptd 6999	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛))))‘𝑗) = ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑗))))
132	131	oveq2d 7434	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → ((2 / π) · ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛))))‘𝑗)) = ((2 / π) · ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑗)))))
133	121, 127, 132	3eqtr4d 2806	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛)))‘𝑗) = ((2 / π) · ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛))))‘𝑗)))
134	133	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛)))‘𝑗) = ((2 / π) · ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛))))‘𝑗)))
135	1, 2, 9, 17, 20, 104, 134	climmulc2 15797	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛))) ⇝ ((2 / π) · 1))
136		2cn 12411	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
137	136, 11, 15	divcli 12052	. . . . . 6 ⊢ (2 / π) ∈ ℂ
138	137	mulridi 11306	. . . . 5 ⊢ ((2 / π) · 1) = (2 / π)
139	135, 138	breqtrdi 5146	. . . 4 ⊢ (⊤ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛))) ⇝ (2 / π))
140		2ne0 12442	. . . . . 6 ⊢ 2 ≠ 0
141	136, 11, 140, 15	divne0i 12058	. . . . 5 ⊢ (2 / π) ≠ 0
142	141	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → (2 / π) ≠ 0)
143	127, 119	eqeltrd 2861	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛)))‘𝑗) ∈ ℂ)
144	108, 109	recne0d 12080	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑗)) ≠ 0)
145	127, 144	eqnetrd 3023	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛)))‘𝑗) ≠ 0)
146		nelsn 4627	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛)))‘𝑗) ≠ 0 → ¬ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛)))‘𝑗) ∈ {0})
147	145, 146	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → ¬ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛)))‘𝑗) ∈ {0})
148	143, 147	eldifd 3910	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛)))‘𝑗) ∈ (ℂ ∖ {0}))
149	148	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛)))‘𝑗) ∈ (ℂ ∖ {0}))
150	108, 109	recrecd 12083	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (1 / (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑗))) = (seq1( · , 𝐹)‘𝑗))
151	122, 124, 125, 119	fvmptd 6999	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛)))‘𝑗) = (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑗)))
152	151	oveq2d 7434	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (1 / ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛)))‘𝑗)) = (1 / (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑗))))
153		wallispi.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝑊 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (seq1( · , 𝐹)‘𝑛))
154	105, 153, 97	fvmpt3 6996	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (𝑊‘𝑗) = (seq1( · , 𝐹)‘𝑗))
155	150, 152, 154	3eqtr4rd 2807	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (𝑊‘𝑗) = (1 / ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛)))‘𝑗)))
156	155	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝑊‘𝑗) = (1 / ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛)))‘𝑗)))
157	18	mptex 7227	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (seq1( · , 𝐹)‘𝑛)) ∈ V
158	153, 157	eqeltri 2857	. . . . 5 ⊢ 𝑊 ∈ V
159	158	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → 𝑊 ∈ V)
160	1, 2, 139, 142, 149, 156, 159	climrec 46584	. . 3 ⊢ (⊤ → 𝑊 ⇝ (1 / (2 / π)))
161	160	mptru 1577	. 2 ⊢ 𝑊 ⇝ (1 / (2 / π))
162		recdiv 12016	. . 3 ⊢ (((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) ∧ (π ∈ ℂ ∧ π ≠ 0)) → (1 / (2 / π)) = (π / 2))
163	136, 140, 11, 15, 162	mp4an 706	. 2 ⊢ (1 / (2 / π)) = (π / 2)
164	161, 163	breqtri 5130	1 ⊢ 𝑊 ⇝ (π / 2)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ∧ wa 401   = wceq 1570  ⊤wtru 1571   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  Vcvv 3451   ∖ cdif 3896  {csn 4584   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418  ℂcc 11191  ℝcr 11192  0cc0 11193  1c1 11194   + caddc 11196   · cmul 11198   < clt 11336   ≤ cle 11337   − cmin 11534   / cdiv 11966  ℕcn 12328  2c2 12390  ℕ₀cn0 12599  ℤ_≥cuz 12958  ℝ⁺crp 13113  (,)cioo 13469  ...cfz 13632  seqcseq 14137  ↑cexp 14197   ⇝ cli 15644  sincsin 16222  πcpi 16225  ∫citg 25932

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-inf2 9635  ax-cc 10506  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270  ax-pre-sup 11271  ax-addf 11272

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-symdif 4199  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-disj 5071  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-of 7691  df-ofr 7692  df-om 7876  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-supp 8171  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8469  df-2o 8470  df-oadd 8473  df-omul 8474  df-er 8710  df-map 8842  df-pm 8843  df-ixp 8919  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-fsupp 9347  df-fi 9396  df-sup 9427  df-inf 9428  df-oi 9497  df-dju 9975  df-card 10013  df-acn 10016  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-div 11967  df-nn 12329  df-2 12398  df-3 12399  df-4 12400  df-5 12401  df-6 12402  df-7 12403  df-8 12404  df-9 12405  df-n0 12600  df-z 12687  df-dec 12808  df-uz 12959  df-q 13069  df-rp 13114  df-xneg 13234  df-xadd 13235  df-xmul 13236  df-ioo 13473  df-ioc 13474  df-ico 13475  df-icc 13476  df-fz 13633  df-fzo 13782  df-fl 13925  df-mod 14003  df-seq 14138  df-exp 14198  df-fac 14411  df-bc 14440  df-hash 14468  df-shft 15213  df-cj 15259  df-re 15260  df-im 15261  df-sqrt 15395  df-abs 15396  df-limsup 15631  df-clim 15648  df-rlim 15649  df-sum 15847  df-ef 16226  df-sin 16228  df-cos 16229  df-pi 16231  df-struct 17318  df-sets 17335  df-slot 17353  df-ndx 17365  df-base 17381  df-ress 17402  df-plusg 17434  df-mulr 17435  df-starv 17436  df-sca 17437  df-vsca 17438  df-ip 17439  df-tset 17440  df-ple 17441  df-ds 17443  df-unif 17444  df-hom 17445  df-cco 17446  df-rest 17586  df-topn 17587  df-0g 17605  df-gsum 17606  df-topgen 17607  df-pt 17608  df-prds 17611  df-xrs 17667  df-qtop 17672  df-imas 17673  df-xps 17675  df-mre 17749  df-mrc 17750  df-acs 17752  df-mgm 18809  df-sgrp 18901  df-mnd 18917  df-submnd 18972  df-mulg 19271  df-cntz 19524  df-cmn 19989  df-psmet 21663  df-xmet 21664  df-met 21665  df-bl 21666  df-mopn 21667  df-fbas 21668  df-fg 21669  df-cnfld 21672  df-top 23205  df-topon 23222  df-topsp 23244  df-bases 23257  df-cld 23330  df-ntr 23331  df-cls 23332  df-nei 23409  df-lp 23447  df-perf 23448  df-cn 23538  df-cnp 23539  df-haus 23626  df-cmp 23698  df-tx 23874  df-hmeo 24067  df-fil 24158  df-fm 24250  df-flim 24251  df-flf 24252  df-xms 24632  df-ms 24633  df-tms 24634  df-cncf 25192  df-ovol 25778  df-vol 25779  df-mbf 25933  df-itg1 25934  df-itg2 25935  df-ibl 25936  df-itg 25937  df-0p 25984  df-limc 26179  df-dv 26180

This theorem is used by:  wallispi2  47052