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Theorem wallispi 46085
Description: Wallis' formula for π : Wallis' product converges to π / 2 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
wallispi.1 𝐹 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) − 1)) · ((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1))))
wallispi.2 𝑊 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (seq1( · , 𝐹)‘𝑛))
Assertion
Ref Expression
wallispi 𝑊 ⇝ (π / 2)
Distinct variable groups:   𝑘,𝑛   𝑛,𝐹
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑘)   𝑊(𝑘,𝑛)

Proof of Theorem wallispi
Dummy variables 𝑗 𝑤 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 12921 . . . 4 ℕ = (ℤ‘1)
2 1zzd 12648 . . . 4 (⊤ → 1 ∈ ℤ)
3 wallispi.1 . . . . . . . 8 𝐹 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) − 1)) · ((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1))))
4 eqid 2737 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑𝑛) d𝑥) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑𝑛) d𝑥)
5 eqid 2737 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑𝑛) d𝑥)‘(2 · 𝑛)) / ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑𝑛) d𝑥)‘((2 · 𝑛) + 1)))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑𝑛) d𝑥)‘(2 · 𝑛)) / ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑𝑛) d𝑥)‘((2 · 𝑛) + 1))))
6 eqid 2737 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛)))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛))))
7 eqid 2737 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · 𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · 𝑛)))
83, 4, 5, 6, 7wallispilem5 46084 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛)))) ⇝ 1
98a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛)))) ⇝ 1)
10 2cnd 12344 . . . . . . 7 (⊤ → 2 ∈ ℂ)
11 picn 26501 . . . . . . . 8 π ∈ ℂ
1211a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → π ∈ ℂ)
13 pire 26500 . . . . . . . . 9 π ∈ ℝ
14 pipos 26502 . . . . . . . . 9 0 < π
1513, 14gt0ne0ii 11799 . . . . . . . 8 π ≠ 0
1615a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → π ≠ 0)
1710, 12, 16divcld 12043 . . . . . 6 (⊤ → (2 / π) ∈ ℂ)
18 nnex 12272 . . . . . . . 8 ℕ ∈ V
1918mptex 7243 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛))) ∈ V
2019a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛))) ∈ V)
2111a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ → π ∈ ℂ)
2221halfcld 12511 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → (π / 2) ∈ ℂ)
23 elnnuz 12922 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℕ ↔ 𝑛 ∈ (ℤ‘1))
2423biimpi 216 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ (ℤ‘1))
25 oveq2 7439 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = 𝑗 → (2 · 𝑘) = (2 · 𝑗))
2625oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = 𝑗 → ((2 · 𝑘) − 1) = ((2 · 𝑗) − 1))
2725, 26oveq12d 7449 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = 𝑗 → ((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) − 1)) = ((2 · 𝑗) / ((2 · 𝑗) − 1)))
2825oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = 𝑗 → ((2 · 𝑘) + 1) = ((2 · 𝑗) + 1))
2925, 28oveq12d 7449 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = 𝑗 → ((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1)) = ((2 · 𝑗) / ((2 · 𝑗) + 1)))
3027, 29oveq12d 7449 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = 𝑗 → (((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) − 1)) · ((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1))) = (((2 · 𝑗) / ((2 · 𝑗) − 1)) · ((2 · 𝑗) / ((2 · 𝑗) + 1))))
31 elfznn 13593 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ (1...𝑛) → 𝑗 ∈ ℕ)
32 2cnd 12344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
33 nncn 12274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℂ)
3432, 33mulcld 11281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 ∈ ℕ → (2 · 𝑗) ∈ ℂ)
35 1cnd 11256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
3634, 35subcld 11620 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 ∈ ℕ → ((2 · 𝑗) − 1) ∈ ℂ)
37 1red 11262 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
38 1t1e1 12428 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (1 · 1) = 1
3937, 37remulcld 11291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑗 ∈ ℕ → (1 · 1) ∈ ℝ)
40 2re 12340 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2 ∈ ℝ
4140a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑗 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
4241, 37remulcld 11291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑗 ∈ ℕ → (2 · 1) ∈ ℝ)
43 nnre 12273 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℝ)
4441, 43remulcld 11291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑗 ∈ ℕ → (2 · 𝑗) ∈ ℝ)
45 1rp 13038 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1 ∈ ℝ+
4645a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑗 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ+)
47 1lt2 12437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1 < 2
4847a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑗 ∈ ℕ → 1 < 2)
4937, 41, 46, 48ltmul1dd 13132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑗 ∈ ℕ → (1 · 1) < (2 · 1))
50 0le2 12368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 0 ≤ 2
5150a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑗 ∈ ℕ → 0 ≤ 2)
52 nnge1 12294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑗 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑗)
5337, 43, 41, 51, 52lemul2ad 12208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑗 ∈ ℕ → (2 · 1) ≤ (2 · 𝑗))
5439, 42, 44, 49, 53ltletrd 11421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑗 ∈ ℕ → (1 · 1) < (2 · 𝑗))
5538, 54eqbrtrrid 5179 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗 ∈ ℕ → 1 < (2 · 𝑗))
5637, 55gtned 11396 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 ∈ ℕ → (2 · 𝑗) ≠ 1)
5734, 35, 56subne0d 11629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 ∈ ℕ → ((2 · 𝑗) − 1) ≠ 0)
5834, 36, 57divcld 12043 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 ∈ ℕ → ((2 · 𝑗) / ((2 · 𝑗) − 1)) ∈ ℂ)
5934, 35addcld 11280 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 ∈ ℕ → ((2 · 𝑗) + 1) ∈ ℂ)
60 0red 11264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 ∈ ℕ → 0 ∈ ℝ)
6144, 37readdcld 11290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗 ∈ ℕ → ((2 · 𝑗) + 1) ∈ ℝ)
6246rpgt0d 13080 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗 ∈ ℕ → 0 < 1)
63 2rp 13039 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2 ∈ ℝ+
6463a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑗 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ+)
65 nnrp 13046 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℝ+)
6664, 65rpmulcld 13093 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑗 ∈ ℕ → (2 · 𝑗) ∈ ℝ+)
6737, 66ltaddrp2d 13111 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗 ∈ ℕ → 1 < ((2 · 𝑗) + 1))
6860, 37, 61, 62, 67lttrd 11422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 ∈ ℕ → 0 < ((2 · 𝑗) + 1))
6960, 68gtned 11396 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 ∈ ℕ → ((2 · 𝑗) + 1) ≠ 0)
7034, 59, 69divcld 12043 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 ∈ ℕ → ((2 · 𝑗) / ((2 · 𝑗) + 1)) ∈ ℂ)
7158, 70mulcld 11281 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 ∈ ℕ → (((2 · 𝑗) / ((2 · 𝑗) − 1)) · ((2 · 𝑗) / ((2 · 𝑗) + 1))) ∈ ℂ)
7231, 71syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ (1...𝑛) → (((2 · 𝑗) / ((2 · 𝑗) − 1)) · ((2 · 𝑗) / ((2 · 𝑗) + 1))) ∈ ℂ)
733, 30, 31, 72fvmptd3 7039 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 ∈ (1...𝑛) → (𝐹𝑗) = (((2 · 𝑗) / ((2 · 𝑗) − 1)) · ((2 · 𝑗) / ((2 · 𝑗) + 1))))
7463a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 ∈ (1...𝑛) → 2 ∈ ℝ+)
7531nnrpd 13075 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 ∈ (1...𝑛) → 𝑗 ∈ ℝ+)
7674, 75rpmulcld 13093 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 ∈ (1...𝑛) → (2 · 𝑗) ∈ ℝ+)
7744, 37resubcld 11691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 ∈ ℕ → ((2 · 𝑗) − 1) ∈ ℝ)
78 1m1e0 12338 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (1 − 1) = 0
7937, 44, 37, 55ltsub1dd 11875 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 ∈ ℕ → (1 − 1) < ((2 · 𝑗) − 1))
8078, 79eqbrtrrid 5179 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 ∈ ℕ → 0 < ((2 · 𝑗) − 1))
8177, 80elrpd 13074 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 ∈ ℕ → ((2 · 𝑗) − 1) ∈ ℝ+)
8231, 81syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 ∈ (1...𝑛) → ((2 · 𝑗) − 1) ∈ ℝ+)
8376, 82rpdivcld 13094 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ (1...𝑛) → ((2 · 𝑗) / ((2 · 𝑗) − 1)) ∈ ℝ+)
8440a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 ∈ (1...𝑛) → 2 ∈ ℝ)
8531nnred 12281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 ∈ (1...𝑛) → 𝑗 ∈ ℝ)
8684, 85remulcld 11291 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 ∈ (1...𝑛) → (2 · 𝑗) ∈ ℝ)
8774rpge0d 13081 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 ∈ (1...𝑛) → 0 ≤ 2)
8875rpge0d 13081 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 ∈ (1...𝑛) → 0 ≤ 𝑗)
8984, 85, 87, 88mulge0d 11840 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 ∈ (1...𝑛) → 0 ≤ (2 · 𝑗))
9086, 89ge0p1rpd 13107 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 ∈ (1...𝑛) → ((2 · 𝑗) + 1) ∈ ℝ+)
9176, 90rpdivcld 13094 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ (1...𝑛) → ((2 · 𝑗) / ((2 · 𝑗) + 1)) ∈ ℝ+)
9283, 91rpmulcld 13093 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 ∈ (1...𝑛) → (((2 · 𝑗) / ((2 · 𝑗) − 1)) · ((2 · 𝑗) / ((2 · 𝑗) + 1))) ∈ ℝ+)
9373, 92eqeltrd 2841 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ (1...𝑛) → (𝐹𝑗) ∈ ℝ+)
9493adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑛)) → (𝐹𝑗) ∈ ℝ+)
95 rpmulcl 13058 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑗 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ+) → (𝑗 · 𝑤) ∈ ℝ+)
9695adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑗 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ+)) → (𝑗 · 𝑤) ∈ ℝ+)
9724, 94, 96seqcl 14063 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ → (seq1( · , 𝐹)‘𝑛) ∈ ℝ+)
9897rpcnd 13079 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ → (seq1( · , 𝐹)‘𝑛) ∈ ℂ)
9997rpne0d 13082 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ → (seq1( · , 𝐹)‘𝑛) ≠ 0)
10098, 99reccld 12036 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛)) ∈ ℂ)
10122, 100mulcld 11281 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛))) ∈ ℂ)
1026, 101fmpti 7132 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛)))):ℕ⟶ℂ
103102a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛)))):ℕ⟶ℂ)
104103ffvelcdmda 7104 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛))))‘𝑗) ∈ ℂ)
105 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 𝑗 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑛) = (seq1( · , 𝐹)‘𝑗))
106105eleq1d 2826 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑗 → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑛) ∈ ℝ+ ↔ (seq1( · , 𝐹)‘𝑗) ∈ ℝ+))
107106, 97vtoclga 3577 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ ℕ → (seq1( · , 𝐹)‘𝑗) ∈ ℝ+)
108107rpcnd 13079 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ ℕ → (seq1( · , 𝐹)‘𝑗) ∈ ℂ)
109107rpne0d 13082 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ ℕ → (seq1( · , 𝐹)‘𝑗) ≠ 0)
11035, 108, 109divrecd 12046 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ ℕ → (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑗)) = (1 · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑗))))
11111a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ ℕ → π ∈ ℂ)
11264rpne0d 13082 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ ℕ → 2 ≠ 0)
11315a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ ℕ → π ≠ 0)
11432, 111, 112, 113divcan6d 12062 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ ℕ → ((2 / π) · (π / 2)) = 1)
115114eqcomd 2743 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ ℕ → 1 = ((2 / π) · (π / 2)))
116115oveq1d 7446 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ ℕ → (1 · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑗))) = (((2 / π) · (π / 2)) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑗))))
11732, 111, 113divcld 12043 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ ℕ → (2 / π) ∈ ℂ)
118111halfcld 12511 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ ℕ → (π / 2) ∈ ℂ)
119108, 109reccld 12036 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ ℕ → (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑗)) ∈ ℂ)
120117, 118, 119mulassd 11284 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ ℕ → (((2 / π) · (π / 2)) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑗))) = ((2 / π) · ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑗)))))
121110, 116, 1203eqtrd 2781 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ ℕ → (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑗)) = ((2 / π) · ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑗)))))
122 eqidd 2738 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ ℕ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛))))
123105oveq2d 7447 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑗 → (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛)) = (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑗)))
124123adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑗) → (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛)) = (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑗)))
125 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℕ)
126107rpreccld 13087 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ ℕ → (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑗)) ∈ ℝ+)
127122, 124, 125, 126fvmptd 7023 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛)))‘𝑗) = (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑗)))
128 eqidd 2738 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ ℕ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛)))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛)))))
129124oveq2d 7447 . . . . . . . . . 10 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑗) → ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛))) = ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑗))))
130118, 119mulcld 11281 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ ℕ → ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑗))) ∈ ℂ)
131128, 129, 125, 130fvmptd 7023 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛))))‘𝑗) = ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑗))))
132131oveq2d 7447 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ ℕ → ((2 / π) · ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛))))‘𝑗)) = ((2 / π) · ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑗)))))
133121, 127, 1323eqtr4d 2787 . . . . . . 7 (𝑗 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛)))‘𝑗) = ((2 / π) · ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛))))‘𝑗)))
134133adantl 481 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛)))‘𝑗) = ((2 / π) · ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛))))‘𝑗)))
1351, 2, 9, 17, 20, 104, 134climmulc2 15673 . . . . 5 (⊤ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛))) ⇝ ((2 / π) · 1))
136 2cn 12341 . . . . . . 7 2 ∈ ℂ
137136, 11, 15divcli 12009 . . . . . 6 (2 / π) ∈ ℂ
138137mulridi 11265 . . . . 5 ((2 / π) · 1) = (2 / π)
139135, 138breqtrdi 5184 . . . 4 (⊤ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛))) ⇝ (2 / π))
140 2ne0 12370 . . . . . 6 2 ≠ 0
141136, 11, 140, 15divne0i 12015 . . . . 5 (2 / π) ≠ 0
142141a1i 11 . . . 4 (⊤ → (2 / π) ≠ 0)
143127, 119eqeltrd 2841 . . . . . 6 (𝑗 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛)))‘𝑗) ∈ ℂ)
144108, 109recne0d 12037 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ ℕ → (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑗)) ≠ 0)
145127, 144eqnetrd 3008 . . . . . . 7 (𝑗 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛)))‘𝑗) ≠ 0)
146 nelsn 4666 . . . . . . 7 (((𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛)))‘𝑗) ≠ 0 → ¬ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛)))‘𝑗) ∈ {0})
147145, 146syl 17 . . . . . 6 (𝑗 ∈ ℕ → ¬ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛)))‘𝑗) ∈ {0})
148143, 147eldifd 3962 . . . . 5 (𝑗 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛)))‘𝑗) ∈ (ℂ ∖ {0}))
149148adantl 481 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛)))‘𝑗) ∈ (ℂ ∖ {0}))
150108, 109recrecd 12040 . . . . . 6 (𝑗 ∈ ℕ → (1 / (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑗))) = (seq1( · , 𝐹)‘𝑗))
151122, 124, 125, 119fvmptd 7023 . . . . . . 7 (𝑗 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛)))‘𝑗) = (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑗)))
152151oveq2d 7447 . . . . . 6 (𝑗 ∈ ℕ → (1 / ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛)))‘𝑗)) = (1 / (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑗))))
153 wallispi.2 . . . . . . 7 𝑊 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (seq1( · , 𝐹)‘𝑛))
154105, 153, 97fvmpt3 7020 . . . . . 6 (𝑗 ∈ ℕ → (𝑊𝑗) = (seq1( · , 𝐹)‘𝑗))
155150, 152, 1543eqtr4rd 2788 . . . . 5 (𝑗 ∈ ℕ → (𝑊𝑗) = (1 / ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛)))‘𝑗)))
156155adantl 481 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝑊𝑗) = (1 / ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛)))‘𝑗)))
15718mptex 7243 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (seq1( · , 𝐹)‘𝑛)) ∈ V
158153, 157eqeltri 2837 . . . . 5 𝑊 ∈ V
159158a1i 11 . . . 4 (⊤ → 𝑊 ∈ V)
1601, 2, 139, 142, 149, 156, 159climrec 45618 . . 3 (⊤ → 𝑊 ⇝ (1 / (2 / π)))
161160mptru 1547 . 2 𝑊 ⇝ (1 / (2 / π))
162 recdiv 11973 . . 3 (((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) ∧ (π ∈ ℂ ∧ π ≠ 0)) → (1 / (2 / π)) = (π / 2))
163136, 140, 11, 15, 162mp4an 693 . 2 (1 / (2 / π)) = (π / 2)
164161, 163breqtri 5168 1 𝑊 ⇝ (π / 2)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wa 395   = wceq 1540  wtru 1541  wcel 2108  wne 2940  Vcvv 3480  cdif 3948  {csn 4626   class class class wbr 5143  cmpt 5225  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160   < clt 11295  cle 11296  cmin 11492   / cdiv 11920  cn 12266  2c2 12321  0cn0 12526  cuz 12878  +crp 13034  (,)cioo 13387  ...cfz 13547  seqcseq 14042  cexp 14102  cli 15520  sincsin 16099  πcpi 16102  citg 25653
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cc 10475  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-symdif 4253  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-disj 5111  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-ofr 7698  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-omul 8511  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-dju 9941  df-card 9979  df-acn 9982  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-ioc 13392  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-fac 14313  df-bc 14342  df-hash 14370  df-shft 15106  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-limsup 15507  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723  df-ef 16103  df-sin 16105  df-cos 16106  df-pi 16108  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-mulg 19086  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-fbas 21361  df-fg 21362  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cld 23027  df-ntr 23028  df-cls 23029  df-nei 23106  df-lp 23144  df-perf 23145  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-haus 23323  df-cmp 23395  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-fil 23854  df-fm 23946  df-flim 23947  df-flf 23948  df-xms 24330  df-ms 24331  df-tms 24332  df-cncf 24904  df-ovol 25499  df-vol 25500  df-mbf 25654  df-itg1 25655  df-itg2 25656  df-ibl 25657  df-itg 25658  df-0p 25705  df-limc 25901  df-dv 25902
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