Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  wallispi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wallispi 45084
Description: Wallis' formula for Ο€ : Wallis' product converges to Ο€ / 2 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
wallispi.1 𝐹 = (π‘˜ ∈ β„• ↦ (((2 Β· π‘˜) / ((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1)) Β· ((2 Β· π‘˜) / ((2 Β· π‘˜) + 1))))
wallispi.2 π‘Š = (𝑛 ∈ β„• ↦ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘›))
Assertion
Ref Expression
wallispi π‘Š ⇝ (Ο€ / 2)
Distinct variable groups:   π‘˜,𝑛   𝑛,𝐹
Allowed substitution hints:   𝐹(π‘˜)   π‘Š(π‘˜,𝑛)

Proof of Theorem wallispi
Dummy variables 𝑗 𝑀 π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 12869 . . . 4 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
2 1zzd 12597 . . . 4 (⊀ β†’ 1 ∈ β„€)
3 wallispi.1 . . . . . . . 8 𝐹 = (π‘˜ ∈ β„• ↦ (((2 Β· π‘˜) / ((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1)) Β· ((2 Β· π‘˜) / ((2 Β· π‘˜) + 1))))
4 eqid 2730 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ∫(0(,)Ο€)((sinβ€˜π‘₯)↑𝑛) dπ‘₯) = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ∫(0(,)Ο€)((sinβ€˜π‘₯)↑𝑛) dπ‘₯)
5 eqid 2730 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ β„• ↦ (((𝑛 ∈ β„•0 ↦ ∫(0(,)Ο€)((sinβ€˜π‘₯)↑𝑛) dπ‘₯)β€˜(2 Β· 𝑛)) / ((𝑛 ∈ β„•0 ↦ ∫(0(,)Ο€)((sinβ€˜π‘₯)↑𝑛) dπ‘₯)β€˜((2 Β· 𝑛) + 1)))) = (𝑛 ∈ β„• ↦ (((𝑛 ∈ β„•0 ↦ ∫(0(,)Ο€)((sinβ€˜π‘₯)↑𝑛) dπ‘₯)β€˜(2 Β· 𝑛)) / ((𝑛 ∈ β„•0 ↦ ∫(0(,)Ο€)((sinβ€˜π‘₯)↑𝑛) dπ‘₯)β€˜((2 Β· 𝑛) + 1))))
6 eqid 2730 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((Ο€ / 2) Β· (1 / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘›)))) = (𝑛 ∈ β„• ↦ ((Ο€ / 2) Β· (1 / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘›))))
7 eqid 2730 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ β„• ↦ (((2 Β· 𝑛) + 1) / (2 Β· 𝑛))) = (𝑛 ∈ β„• ↦ (((2 Β· 𝑛) + 1) / (2 Β· 𝑛)))
83, 4, 5, 6, 7wallispilem5 45083 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((Ο€ / 2) Β· (1 / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘›)))) ⇝ 1
98a1i 11 . . . . . 6 (⊀ β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((Ο€ / 2) Β· (1 / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘›)))) ⇝ 1)
10 2cnd 12294 . . . . . . 7 (⊀ β†’ 2 ∈ β„‚)
11 picn 26205 . . . . . . . 8 Ο€ ∈ β„‚
1211a1i 11 . . . . . . 7 (⊀ β†’ Ο€ ∈ β„‚)
13 pire 26204 . . . . . . . . 9 Ο€ ∈ ℝ
14 pipos 26206 . . . . . . . . 9 0 < Ο€
1513, 14gt0ne0ii 11754 . . . . . . . 8 Ο€ β‰  0
1615a1i 11 . . . . . . 7 (⊀ β†’ Ο€ β‰  0)
1710, 12, 16divcld 11994 . . . . . 6 (⊀ β†’ (2 / Ο€) ∈ β„‚)
18 nnex 12222 . . . . . . . 8 β„• ∈ V
1918mptex 7226 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ β„• ↦ (1 / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘›))) ∈ V
2019a1i 11 . . . . . 6 (⊀ β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ (1 / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘›))) ∈ V)
2111a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ β„• β†’ Ο€ ∈ β„‚)
2221halfcld 12461 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ β„• β†’ (Ο€ / 2) ∈ β„‚)
23 elnnuz 12870 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ β„• ↔ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
2423biimpi 215 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ β„• β†’ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
25 oveq2 7419 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘˜ = 𝑗 β†’ (2 Β· π‘˜) = (2 Β· 𝑗))
2625oveq1d 7426 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘˜ = 𝑗 β†’ ((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1) = ((2 Β· 𝑗) βˆ’ 1))
2725, 26oveq12d 7429 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘˜ = 𝑗 β†’ ((2 Β· π‘˜) / ((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1)) = ((2 Β· 𝑗) / ((2 Β· 𝑗) βˆ’ 1)))
2825oveq1d 7426 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘˜ = 𝑗 β†’ ((2 Β· π‘˜) + 1) = ((2 Β· 𝑗) + 1))
2925, 28oveq12d 7429 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘˜ = 𝑗 β†’ ((2 Β· π‘˜) / ((2 Β· π‘˜) + 1)) = ((2 Β· 𝑗) / ((2 Β· 𝑗) + 1)))
3027, 29oveq12d 7429 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ = 𝑗 β†’ (((2 Β· π‘˜) / ((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1)) Β· ((2 Β· π‘˜) / ((2 Β· π‘˜) + 1))) = (((2 Β· 𝑗) / ((2 Β· 𝑗) βˆ’ 1)) Β· ((2 Β· 𝑗) / ((2 Β· 𝑗) + 1))))
31 elfznn 13534 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ (1...𝑛) β†’ 𝑗 ∈ β„•)
32 2cnd 12294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 ∈ β„• β†’ 2 ∈ β„‚)
33 nncn 12224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 ∈ β„• β†’ 𝑗 ∈ β„‚)
3432, 33mulcld 11238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 ∈ β„• β†’ (2 Β· 𝑗) ∈ β„‚)
35 1cnd 11213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 ∈ β„• β†’ 1 ∈ β„‚)
3634, 35subcld 11575 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 ∈ β„• β†’ ((2 Β· 𝑗) βˆ’ 1) ∈ β„‚)
37 1red 11219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗 ∈ β„• β†’ 1 ∈ ℝ)
38 1t1e1 12378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (1 Β· 1) = 1
3937, 37remulcld 11248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑗 ∈ β„• β†’ (1 Β· 1) ∈ ℝ)
40 2re 12290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2 ∈ ℝ
4140a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑗 ∈ β„• β†’ 2 ∈ ℝ)
4241, 37remulcld 11248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑗 ∈ β„• β†’ (2 Β· 1) ∈ ℝ)
43 nnre 12223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑗 ∈ β„• β†’ 𝑗 ∈ ℝ)
4441, 43remulcld 11248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑗 ∈ β„• β†’ (2 Β· 𝑗) ∈ ℝ)
45 1rp 12982 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1 ∈ ℝ+
4645a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑗 ∈ β„• β†’ 1 ∈ ℝ+)
47 1lt2 12387 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1 < 2
4847a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑗 ∈ β„• β†’ 1 < 2)
4937, 41, 46, 48ltmul1dd 13075 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑗 ∈ β„• β†’ (1 Β· 1) < (2 Β· 1))
50 0le2 12318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 0 ≀ 2
5150a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑗 ∈ β„• β†’ 0 ≀ 2)
52 nnge1 12244 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑗 ∈ β„• β†’ 1 ≀ 𝑗)
5337, 43, 41, 51, 52lemul2ad 12158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑗 ∈ β„• β†’ (2 Β· 1) ≀ (2 Β· 𝑗))
5439, 42, 44, 49, 53ltletrd 11378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑗 ∈ β„• β†’ (1 Β· 1) < (2 Β· 𝑗))
5538, 54eqbrtrrid 5183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗 ∈ β„• β†’ 1 < (2 Β· 𝑗))
5637, 55gtned 11353 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 ∈ β„• β†’ (2 Β· 𝑗) β‰  1)
5734, 35, 56subne0d 11584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 ∈ β„• β†’ ((2 Β· 𝑗) βˆ’ 1) β‰  0)
5834, 36, 57divcld 11994 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 ∈ β„• β†’ ((2 Β· 𝑗) / ((2 Β· 𝑗) βˆ’ 1)) ∈ β„‚)
5934, 35addcld 11237 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 ∈ β„• β†’ ((2 Β· 𝑗) + 1) ∈ β„‚)
60 0red 11221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 ∈ β„• β†’ 0 ∈ ℝ)
6144, 37readdcld 11247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗 ∈ β„• β†’ ((2 Β· 𝑗) + 1) ∈ ℝ)
6246rpgt0d 13023 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗 ∈ β„• β†’ 0 < 1)
63 2rp 12983 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2 ∈ ℝ+
6463a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑗 ∈ β„• β†’ 2 ∈ ℝ+)
65 nnrp 12989 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑗 ∈ β„• β†’ 𝑗 ∈ ℝ+)
6664, 65rpmulcld 13036 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑗 ∈ β„• β†’ (2 Β· 𝑗) ∈ ℝ+)
6737, 66ltaddrp2d 13054 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗 ∈ β„• β†’ 1 < ((2 Β· 𝑗) + 1))
6860, 37, 61, 62, 67lttrd 11379 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 ∈ β„• β†’ 0 < ((2 Β· 𝑗) + 1))
6960, 68gtned 11353 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 ∈ β„• β†’ ((2 Β· 𝑗) + 1) β‰  0)
7034, 59, 69divcld 11994 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 ∈ β„• β†’ ((2 Β· 𝑗) / ((2 Β· 𝑗) + 1)) ∈ β„‚)
7158, 70mulcld 11238 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 ∈ β„• β†’ (((2 Β· 𝑗) / ((2 Β· 𝑗) βˆ’ 1)) Β· ((2 Β· 𝑗) / ((2 Β· 𝑗) + 1))) ∈ β„‚)
7231, 71syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ (1...𝑛) β†’ (((2 Β· 𝑗) / ((2 Β· 𝑗) βˆ’ 1)) Β· ((2 Β· 𝑗) / ((2 Β· 𝑗) + 1))) ∈ β„‚)
733, 30, 31, 72fvmptd3 7020 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 ∈ (1...𝑛) β†’ (πΉβ€˜π‘—) = (((2 Β· 𝑗) / ((2 Β· 𝑗) βˆ’ 1)) Β· ((2 Β· 𝑗) / ((2 Β· 𝑗) + 1))))
7463a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 ∈ (1...𝑛) β†’ 2 ∈ ℝ+)
7531nnrpd 13018 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 ∈ (1...𝑛) β†’ 𝑗 ∈ ℝ+)
7674, 75rpmulcld 13036 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 ∈ (1...𝑛) β†’ (2 Β· 𝑗) ∈ ℝ+)
7744, 37resubcld 11646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 ∈ β„• β†’ ((2 Β· 𝑗) βˆ’ 1) ∈ ℝ)
78 1m1e0 12288 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (1 βˆ’ 1) = 0
7937, 44, 37, 55ltsub1dd 11830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 ∈ β„• β†’ (1 βˆ’ 1) < ((2 Β· 𝑗) βˆ’ 1))
8078, 79eqbrtrrid 5183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 ∈ β„• β†’ 0 < ((2 Β· 𝑗) βˆ’ 1))
8177, 80elrpd 13017 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 ∈ β„• β†’ ((2 Β· 𝑗) βˆ’ 1) ∈ ℝ+)
8231, 81syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 ∈ (1...𝑛) β†’ ((2 Β· 𝑗) βˆ’ 1) ∈ ℝ+)
8376, 82rpdivcld 13037 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ (1...𝑛) β†’ ((2 Β· 𝑗) / ((2 Β· 𝑗) βˆ’ 1)) ∈ ℝ+)
8440a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 ∈ (1...𝑛) β†’ 2 ∈ ℝ)
8531nnred 12231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 ∈ (1...𝑛) β†’ 𝑗 ∈ ℝ)
8684, 85remulcld 11248 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 ∈ (1...𝑛) β†’ (2 Β· 𝑗) ∈ ℝ)
8774rpge0d 13024 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 ∈ (1...𝑛) β†’ 0 ≀ 2)
8875rpge0d 13024 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 ∈ (1...𝑛) β†’ 0 ≀ 𝑗)
8984, 85, 87, 88mulge0d 11795 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 ∈ (1...𝑛) β†’ 0 ≀ (2 Β· 𝑗))
9086, 89ge0p1rpd 13050 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 ∈ (1...𝑛) β†’ ((2 Β· 𝑗) + 1) ∈ ℝ+)
9176, 90rpdivcld 13037 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ (1...𝑛) β†’ ((2 Β· 𝑗) / ((2 Β· 𝑗) + 1)) ∈ ℝ+)
9283, 91rpmulcld 13036 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 ∈ (1...𝑛) β†’ (((2 Β· 𝑗) / ((2 Β· 𝑗) βˆ’ 1)) Β· ((2 Β· 𝑗) / ((2 Β· 𝑗) + 1))) ∈ ℝ+)
9373, 92eqeltrd 2831 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ (1...𝑛) β†’ (πΉβ€˜π‘—) ∈ ℝ+)
9493adantl 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛 ∈ β„• ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑛)) β†’ (πΉβ€˜π‘—) ∈ ℝ+)
95 rpmulcl 13001 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑗 ∈ ℝ+ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) β†’ (𝑗 Β· 𝑀) ∈ ℝ+)
9695adantl 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛 ∈ β„• ∧ (𝑗 ∈ ℝ+ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+)) β†’ (𝑗 Β· 𝑀) ∈ ℝ+)
9724, 94, 96seqcl 13992 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ β„• β†’ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘›) ∈ ℝ+)
9897rpcnd 13022 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ β„• β†’ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘›) ∈ β„‚)
9997rpne0d 13025 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ β„• β†’ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘›) β‰  0)
10098, 99reccld 11987 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ β„• β†’ (1 / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘›)) ∈ β„‚)
10122, 100mulcld 11238 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ β„• β†’ ((Ο€ / 2) Β· (1 / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘›))) ∈ β„‚)
1026, 101fmpti 7112 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((Ο€ / 2) Β· (1 / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘›)))):β„•βŸΆβ„‚
103102a1i 11 . . . . . . 7 (⊀ β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((Ο€ / 2) Β· (1 / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘›)))):β„•βŸΆβ„‚)
104103ffvelcdmda 7085 . . . . . 6 ((⊀ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((Ο€ / 2) Β· (1 / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘›))))β€˜π‘—) ∈ β„‚)
105 fveq2 6890 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 𝑗 β†’ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘›) = (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘—))
106105eleq1d 2816 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑗 β†’ ((seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘›) ∈ ℝ+ ↔ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘—) ∈ ℝ+))
107106, 97vtoclga 3565 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ β„• β†’ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘—) ∈ ℝ+)
108107rpcnd 13022 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ β„• β†’ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘—) ∈ β„‚)
109107rpne0d 13025 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ β„• β†’ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘—) β‰  0)
11035, 108, 109divrecd 11997 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ β„• β†’ (1 / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘—)) = (1 Β· (1 / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘—))))
11111a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ β„• β†’ Ο€ ∈ β„‚)
11264rpne0d 13025 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ β„• β†’ 2 β‰  0)
11315a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ β„• β†’ Ο€ β‰  0)
11432, 111, 112, 113divcan6d 12013 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ β„• β†’ ((2 / Ο€) Β· (Ο€ / 2)) = 1)
115114eqcomd 2736 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ β„• β†’ 1 = ((2 / Ο€) Β· (Ο€ / 2)))
116115oveq1d 7426 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ β„• β†’ (1 Β· (1 / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘—))) = (((2 / Ο€) Β· (Ο€ / 2)) Β· (1 / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘—))))
11732, 111, 113divcld 11994 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ β„• β†’ (2 / Ο€) ∈ β„‚)
118111halfcld 12461 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ β„• β†’ (Ο€ / 2) ∈ β„‚)
119108, 109reccld 11987 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ β„• β†’ (1 / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘—)) ∈ β„‚)
120117, 118, 119mulassd 11241 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ β„• β†’ (((2 / Ο€) Β· (Ο€ / 2)) Β· (1 / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘—))) = ((2 / Ο€) Β· ((Ο€ / 2) Β· (1 / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘—)))))
121110, 116, 1203eqtrd 2774 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ β„• β†’ (1 / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘—)) = ((2 / Ο€) Β· ((Ο€ / 2) Β· (1 / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘—)))))
122 eqidd 2731 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ β„• β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ (1 / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘›))) = (𝑛 ∈ β„• ↦ (1 / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘›))))
123105oveq2d 7427 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑗 β†’ (1 / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘›)) = (1 / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘—)))
124123adantl 480 . . . . . . . . 9 ((𝑗 ∈ β„• ∧ 𝑛 = 𝑗) β†’ (1 / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘›)) = (1 / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘—)))
125 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ β„• β†’ 𝑗 ∈ β„•)
126107rpreccld 13030 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ β„• β†’ (1 / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘—)) ∈ ℝ+)
127122, 124, 125, 126fvmptd 7004 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ β„• β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (1 / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘›)))β€˜π‘—) = (1 / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘—)))
128 eqidd 2731 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ β„• β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((Ο€ / 2) Β· (1 / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘›)))) = (𝑛 ∈ β„• ↦ ((Ο€ / 2) Β· (1 / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘›)))))
129124oveq2d 7427 . . . . . . . . . 10 ((𝑗 ∈ β„• ∧ 𝑛 = 𝑗) β†’ ((Ο€ / 2) Β· (1 / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘›))) = ((Ο€ / 2) Β· (1 / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘—))))
130118, 119mulcld 11238 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ β„• β†’ ((Ο€ / 2) Β· (1 / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘—))) ∈ β„‚)
131128, 129, 125, 130fvmptd 7004 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ β„• β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((Ο€ / 2) Β· (1 / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘›))))β€˜π‘—) = ((Ο€ / 2) Β· (1 / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘—))))
132131oveq2d 7427 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ β„• β†’ ((2 / Ο€) Β· ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((Ο€ / 2) Β· (1 / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘›))))β€˜π‘—)) = ((2 / Ο€) Β· ((Ο€ / 2) Β· (1 / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘—)))))
133121, 127, 1323eqtr4d 2780 . . . . . . 7 (𝑗 ∈ β„• β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (1 / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘›)))β€˜π‘—) = ((2 / Ο€) Β· ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((Ο€ / 2) Β· (1 / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘›))))β€˜π‘—)))
134133adantl 480 . . . . . 6 ((⊀ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (1 / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘›)))β€˜π‘—) = ((2 / Ο€) Β· ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((Ο€ / 2) Β· (1 / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘›))))β€˜π‘—)))
1351, 2, 9, 17, 20, 104, 134climmulc2 15585 . . . . 5 (⊀ β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ (1 / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘›))) ⇝ ((2 / Ο€) Β· 1))
136 2cn 12291 . . . . . . 7 2 ∈ β„‚
137136, 11, 15divcli 11960 . . . . . 6 (2 / Ο€) ∈ β„‚
138137mulridi 11222 . . . . 5 ((2 / Ο€) Β· 1) = (2 / Ο€)
139135, 138breqtrdi 5188 . . . 4 (⊀ β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ (1 / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘›))) ⇝ (2 / Ο€))
140 2ne0 12320 . . . . . 6 2 β‰  0
141136, 11, 140, 15divne0i 11966 . . . . 5 (2 / Ο€) β‰  0
142141a1i 11 . . . 4 (⊀ β†’ (2 / Ο€) β‰  0)
143127, 119eqeltrd 2831 . . . . . 6 (𝑗 ∈ β„• β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (1 / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘›)))β€˜π‘—) ∈ β„‚)
144108, 109recne0d 11988 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ β„• β†’ (1 / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘—)) β‰  0)
145127, 144eqnetrd 3006 . . . . . . 7 (𝑗 ∈ β„• β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (1 / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘›)))β€˜π‘—) β‰  0)
146 nelsn 4667 . . . . . . 7 (((𝑛 ∈ β„• ↦ (1 / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘›)))β€˜π‘—) β‰  0 β†’ Β¬ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (1 / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘›)))β€˜π‘—) ∈ {0})
147145, 146syl 17 . . . . . 6 (𝑗 ∈ β„• β†’ Β¬ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (1 / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘›)))β€˜π‘—) ∈ {0})
148143, 147eldifd 3958 . . . . 5 (𝑗 ∈ β„• β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (1 / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘›)))β€˜π‘—) ∈ (β„‚ βˆ– {0}))
149148adantl 480 . . . 4 ((⊀ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (1 / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘›)))β€˜π‘—) ∈ (β„‚ βˆ– {0}))
150108, 109recrecd 11991 . . . . . 6 (𝑗 ∈ β„• β†’ (1 / (1 / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘—))) = (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘—))
151122, 124, 125, 119fvmptd 7004 . . . . . . 7 (𝑗 ∈ β„• β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (1 / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘›)))β€˜π‘—) = (1 / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘—)))
152151oveq2d 7427 . . . . . 6 (𝑗 ∈ β„• β†’ (1 / ((𝑛 ∈ β„• ↦ (1 / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘›)))β€˜π‘—)) = (1 / (1 / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘—))))
153 wallispi.2 . . . . . . 7 π‘Š = (𝑛 ∈ β„• ↦ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘›))
154105, 153, 97fvmpt3 7001 . . . . . 6 (𝑗 ∈ β„• β†’ (π‘Šβ€˜π‘—) = (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘—))
155150, 152, 1543eqtr4rd 2781 . . . . 5 (𝑗 ∈ β„• β†’ (π‘Šβ€˜π‘—) = (1 / ((𝑛 ∈ β„• ↦ (1 / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘›)))β€˜π‘—)))
156155adantl 480 . . . 4 ((⊀ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (π‘Šβ€˜π‘—) = (1 / ((𝑛 ∈ β„• ↦ (1 / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘›)))β€˜π‘—)))
15718mptex 7226 . . . . . 6 (𝑛 ∈ β„• ↦ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘›)) ∈ V
158153, 157eqeltri 2827 . . . . 5 π‘Š ∈ V
159158a1i 11 . . . 4 (⊀ β†’ π‘Š ∈ V)
1601, 2, 139, 142, 149, 156, 159climrec 44617 . . 3 (⊀ β†’ π‘Š ⇝ (1 / (2 / Ο€)))
161160mptru 1546 . 2 π‘Š ⇝ (1 / (2 / Ο€))
162 recdiv 11924 . . 3 (((2 ∈ β„‚ ∧ 2 β‰  0) ∧ (Ο€ ∈ β„‚ ∧ Ο€ β‰  0)) β†’ (1 / (2 / Ο€)) = (Ο€ / 2))
163136, 140, 11, 15, 162mp4an 689 . 2 (1 / (2 / Ο€)) = (Ο€ / 2)
164161, 163breqtri 5172 1 π‘Š ⇝ (Ο€ / 2)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   ∧ wa 394   = wceq 1539  βŠ€wtru 1540   ∈ wcel 2104   β‰  wne 2938  Vcvv 3472   βˆ– cdif 3944  {csn 4627   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  β„‚cc 11110  β„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   Β· cmul 11117   < clt 11252   ≀ cle 11253   βˆ’ cmin 11448   / cdiv 11875  β„•cn 12216  2c2 12271  β„•0cn0 12476  β„€β‰₯cuz 12826  β„+crp 12978  (,)cioo 13328  ...cfz 13488  seqcseq 13970  β†‘cexp 14031   ⇝ cli 15432  sincsin 16011  Ο€cpi 16014  βˆ«citg 25367
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cc 10432  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-symdif 4241  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-disj 5113  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-ofr 7673  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-oadd 8472  df-omul 8473  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-acn 9939  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-xneg 13096  df-xadd 13097  df-xmul 13098  df-ioo 13332  df-ioc 13333  df-ico 13334  df-icc 13335  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-fl 13761  df-mod 13839  df-seq 13971  df-exp 14032  df-fac 14238  df-bc 14267  df-hash 14295  df-shft 15018  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-limsup 15419  df-clim 15436  df-rlim 15437  df-sum 15637  df-ef 16015  df-sin 16017  df-cos 16018  df-pi 16020  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-starv 17216  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-unif 17224  df-hom 17225  df-cco 17226  df-rest 17372  df-topn 17373  df-0g 17391  df-gsum 17392  df-topgen 17393  df-pt 17394  df-prds 17397  df-xrs 17452  df-qtop 17457  df-imas 17458  df-xps 17460  df-mre 17534  df-mrc 17535  df-acs 17537  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-mulg 18987  df-cntz 19222  df-cmn 19691  df-psmet 21136  df-xmet 21137  df-met 21138  df-bl 21139  df-mopn 21140  df-fbas 21141  df-fg 21142  df-cnfld 21145  df-top 22616  df-topon 22633  df-topsp 22655  df-bases 22669  df-cld 22743  df-ntr 22744  df-cls 22745  df-nei 22822  df-lp 22860  df-perf 22861  df-cn 22951  df-cnp 22952  df-haus 23039  df-cmp 23111  df-tx 23286  df-hmeo 23479  df-fil 23570  df-fm 23662  df-flim 23663  df-flf 23664  df-xms 24046  df-ms 24047  df-tms 24048  df-cncf 24618  df-ovol 25213  df-vol 25214  df-mbf 25368  df-itg1 25369  df-itg2 25370  df-ibl 25371  df-itg 25372  df-0p 25419  df-limc 25615  df-dv 25616
This theorem is referenced by:  wallispi2  45087
  Copyright terms: Public domain W3C validator