Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  wallispi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wallispi 46026
Description: Wallis' formula for π : Wallis' product converges to π / 2 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
wallispi.1 𝐹 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) − 1)) · ((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1))))
wallispi.2 𝑊 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (seq1( · , 𝐹)‘𝑛))
Assertion
Ref Expression
wallispi 𝑊 ⇝ (π / 2)
Distinct variable groups:   𝑘,𝑛   𝑛,𝐹
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑘)   𝑊(𝑘,𝑛)

Proof of Theorem wallispi
Dummy variables 𝑗 𝑤 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 12919 . . . 4 ℕ = (ℤ‘1)
2 1zzd 12646 . . . 4 (⊤ → 1 ∈ ℤ)
3 wallispi.1 . . . . . . . 8 𝐹 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) − 1)) · ((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1))))
4 eqid 2735 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑𝑛) d𝑥) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑𝑛) d𝑥)
5 eqid 2735 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑𝑛) d𝑥)‘(2 · 𝑛)) / ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑𝑛) d𝑥)‘((2 · 𝑛) + 1)))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑𝑛) d𝑥)‘(2 · 𝑛)) / ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑𝑛) d𝑥)‘((2 · 𝑛) + 1))))
6 eqid 2735 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛)))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛))))
7 eqid 2735 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · 𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · 𝑛)))
83, 4, 5, 6, 7wallispilem5 46025 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛)))) ⇝ 1
98a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛)))) ⇝ 1)
10 2cnd 12342 . . . . . . 7 (⊤ → 2 ∈ ℂ)
11 picn 26516 . . . . . . . 8 π ∈ ℂ
1211a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → π ∈ ℂ)
13 pire 26515 . . . . . . . . 9 π ∈ ℝ
14 pipos 26517 . . . . . . . . 9 0 < π
1513, 14gt0ne0ii 11797 . . . . . . . 8 π ≠ 0
1615a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → π ≠ 0)
1710, 12, 16divcld 12041 . . . . . 6 (⊤ → (2 / π) ∈ ℂ)
18 nnex 12270 . . . . . . . 8 ℕ ∈ V
1918mptex 7243 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛))) ∈ V
2019a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛))) ∈ V)
2111a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ → π ∈ ℂ)
2221halfcld 12509 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → (π / 2) ∈ ℂ)
23 elnnuz 12920 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℕ ↔ 𝑛 ∈ (ℤ‘1))
2423biimpi 216 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ (ℤ‘1))
25 oveq2 7439 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = 𝑗 → (2 · 𝑘) = (2 · 𝑗))
2625oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = 𝑗 → ((2 · 𝑘) − 1) = ((2 · 𝑗) − 1))
2725, 26oveq12d 7449 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = 𝑗 → ((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) − 1)) = ((2 · 𝑗) / ((2 · 𝑗) − 1)))
2825oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = 𝑗 → ((2 · 𝑘) + 1) = ((2 · 𝑗) + 1))
2925, 28oveq12d 7449 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = 𝑗 → ((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1)) = ((2 · 𝑗) / ((2 · 𝑗) + 1)))
3027, 29oveq12d 7449 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = 𝑗 → (((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) − 1)) · ((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1))) = (((2 · 𝑗) / ((2 · 𝑗) − 1)) · ((2 · 𝑗) / ((2 · 𝑗) + 1))))
31 elfznn 13590 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ (1...𝑛) → 𝑗 ∈ ℕ)
32 2cnd 12342 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
33 nncn 12272 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℂ)
3432, 33mulcld 11279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 ∈ ℕ → (2 · 𝑗) ∈ ℂ)
35 1cnd 11254 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
3634, 35subcld 11618 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 ∈ ℕ → ((2 · 𝑗) − 1) ∈ ℂ)
37 1red 11260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
38 1t1e1 12426 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (1 · 1) = 1
3937, 37remulcld 11289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑗 ∈ ℕ → (1 · 1) ∈ ℝ)
40 2re 12338 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2 ∈ ℝ
4140a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑗 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
4241, 37remulcld 11289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑗 ∈ ℕ → (2 · 1) ∈ ℝ)
43 nnre 12271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℝ)
4441, 43remulcld 11289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑗 ∈ ℕ → (2 · 𝑗) ∈ ℝ)
45 1rp 13036 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1 ∈ ℝ+
4645a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑗 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ+)
47 1lt2 12435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1 < 2
4847a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑗 ∈ ℕ → 1 < 2)
4937, 41, 46, 48ltmul1dd 13130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑗 ∈ ℕ → (1 · 1) < (2 · 1))
50 0le2 12366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 0 ≤ 2
5150a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑗 ∈ ℕ → 0 ≤ 2)
52 nnge1 12292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑗 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑗)
5337, 43, 41, 51, 52lemul2ad 12206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑗 ∈ ℕ → (2 · 1) ≤ (2 · 𝑗))
5439, 42, 44, 49, 53ltletrd 11419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑗 ∈ ℕ → (1 · 1) < (2 · 𝑗))
5538, 54eqbrtrrid 5184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗 ∈ ℕ → 1 < (2 · 𝑗))
5637, 55gtned 11394 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 ∈ ℕ → (2 · 𝑗) ≠ 1)
5734, 35, 56subne0d 11627 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 ∈ ℕ → ((2 · 𝑗) − 1) ≠ 0)
5834, 36, 57divcld 12041 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 ∈ ℕ → ((2 · 𝑗) / ((2 · 𝑗) − 1)) ∈ ℂ)
5934, 35addcld 11278 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 ∈ ℕ → ((2 · 𝑗) + 1) ∈ ℂ)
60 0red 11262 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 ∈ ℕ → 0 ∈ ℝ)
6144, 37readdcld 11288 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗 ∈ ℕ → ((2 · 𝑗) + 1) ∈ ℝ)
6246rpgt0d 13078 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗 ∈ ℕ → 0 < 1)
63 2rp 13037 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2 ∈ ℝ+
6463a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑗 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ+)
65 nnrp 13044 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℝ+)
6664, 65rpmulcld 13091 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑗 ∈ ℕ → (2 · 𝑗) ∈ ℝ+)
6737, 66ltaddrp2d 13109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗 ∈ ℕ → 1 < ((2 · 𝑗) + 1))
6860, 37, 61, 62, 67lttrd 11420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 ∈ ℕ → 0 < ((2 · 𝑗) + 1))
6960, 68gtned 11394 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 ∈ ℕ → ((2 · 𝑗) + 1) ≠ 0)
7034, 59, 69divcld 12041 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 ∈ ℕ → ((2 · 𝑗) / ((2 · 𝑗) + 1)) ∈ ℂ)
7158, 70mulcld 11279 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 ∈ ℕ → (((2 · 𝑗) / ((2 · 𝑗) − 1)) · ((2 · 𝑗) / ((2 · 𝑗) + 1))) ∈ ℂ)
7231, 71syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ (1...𝑛) → (((2 · 𝑗) / ((2 · 𝑗) − 1)) · ((2 · 𝑗) / ((2 · 𝑗) + 1))) ∈ ℂ)
733, 30, 31, 72fvmptd3 7039 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 ∈ (1...𝑛) → (𝐹𝑗) = (((2 · 𝑗) / ((2 · 𝑗) − 1)) · ((2 · 𝑗) / ((2 · 𝑗) + 1))))
7463a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 ∈ (1...𝑛) → 2 ∈ ℝ+)
7531nnrpd 13073 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 ∈ (1...𝑛) → 𝑗 ∈ ℝ+)
7674, 75rpmulcld 13091 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 ∈ (1...𝑛) → (2 · 𝑗) ∈ ℝ+)
7744, 37resubcld 11689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 ∈ ℕ → ((2 · 𝑗) − 1) ∈ ℝ)
78 1m1e0 12336 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (1 − 1) = 0
7937, 44, 37, 55ltsub1dd 11873 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 ∈ ℕ → (1 − 1) < ((2 · 𝑗) − 1))
8078, 79eqbrtrrid 5184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 ∈ ℕ → 0 < ((2 · 𝑗) − 1))
8177, 80elrpd 13072 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 ∈ ℕ → ((2 · 𝑗) − 1) ∈ ℝ+)
8231, 81syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 ∈ (1...𝑛) → ((2 · 𝑗) − 1) ∈ ℝ+)
8376, 82rpdivcld 13092 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ (1...𝑛) → ((2 · 𝑗) / ((2 · 𝑗) − 1)) ∈ ℝ+)
8440a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 ∈ (1...𝑛) → 2 ∈ ℝ)
8531nnred 12279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 ∈ (1...𝑛) → 𝑗 ∈ ℝ)
8684, 85remulcld 11289 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 ∈ (1...𝑛) → (2 · 𝑗) ∈ ℝ)
8774rpge0d 13079 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 ∈ (1...𝑛) → 0 ≤ 2)
8875rpge0d 13079 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 ∈ (1...𝑛) → 0 ≤ 𝑗)
8984, 85, 87, 88mulge0d 11838 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 ∈ (1...𝑛) → 0 ≤ (2 · 𝑗))
9086, 89ge0p1rpd 13105 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 ∈ (1...𝑛) → ((2 · 𝑗) + 1) ∈ ℝ+)
9176, 90rpdivcld 13092 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ (1...𝑛) → ((2 · 𝑗) / ((2 · 𝑗) + 1)) ∈ ℝ+)
9283, 91rpmulcld 13091 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 ∈ (1...𝑛) → (((2 · 𝑗) / ((2 · 𝑗) − 1)) · ((2 · 𝑗) / ((2 · 𝑗) + 1))) ∈ ℝ+)
9373, 92eqeltrd 2839 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ (1...𝑛) → (𝐹𝑗) ∈ ℝ+)
9493adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑛)) → (𝐹𝑗) ∈ ℝ+)
95 rpmulcl 13056 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑗 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ+) → (𝑗 · 𝑤) ∈ ℝ+)
9695adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑗 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ+)) → (𝑗 · 𝑤) ∈ ℝ+)
9724, 94, 96seqcl 14060 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ → (seq1( · , 𝐹)‘𝑛) ∈ ℝ+)
9897rpcnd 13077 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ → (seq1( · , 𝐹)‘𝑛) ∈ ℂ)
9997rpne0d 13080 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ → (seq1( · , 𝐹)‘𝑛) ≠ 0)
10098, 99reccld 12034 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛)) ∈ ℂ)
10122, 100mulcld 11279 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛))) ∈ ℂ)
1026, 101fmpti 7132 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛)))):ℕ⟶ℂ
103102a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛)))):ℕ⟶ℂ)
104103ffvelcdmda 7104 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛))))‘𝑗) ∈ ℂ)
105 fveq2 6907 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 𝑗 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑛) = (seq1( · , 𝐹)‘𝑗))
106105eleq1d 2824 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑗 → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑛) ∈ ℝ+ ↔ (seq1( · , 𝐹)‘𝑗) ∈ ℝ+))
107106, 97vtoclga 3577 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ ℕ → (seq1( · , 𝐹)‘𝑗) ∈ ℝ+)
108107rpcnd 13077 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ ℕ → (seq1( · , 𝐹)‘𝑗) ∈ ℂ)
109107rpne0d 13080 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ ℕ → (seq1( · , 𝐹)‘𝑗) ≠ 0)
11035, 108, 109divrecd 12044 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ ℕ → (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑗)) = (1 · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑗))))
11111a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ ℕ → π ∈ ℂ)
11264rpne0d 13080 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ ℕ → 2 ≠ 0)
11315a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ ℕ → π ≠ 0)
11432, 111, 112, 113divcan6d 12060 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ ℕ → ((2 / π) · (π / 2)) = 1)
115114eqcomd 2741 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ ℕ → 1 = ((2 / π) · (π / 2)))
116115oveq1d 7446 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ ℕ → (1 · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑗))) = (((2 / π) · (π / 2)) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑗))))
11732, 111, 113divcld 12041 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ ℕ → (2 / π) ∈ ℂ)
118111halfcld 12509 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ ℕ → (π / 2) ∈ ℂ)
119108, 109reccld 12034 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ ℕ → (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑗)) ∈ ℂ)
120117, 118, 119mulassd 11282 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ ℕ → (((2 / π) · (π / 2)) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑗))) = ((2 / π) · ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑗)))))
121110, 116, 1203eqtrd 2779 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ ℕ → (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑗)) = ((2 / π) · ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑗)))))
122 eqidd 2736 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ ℕ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛))))
123105oveq2d 7447 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑗 → (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛)) = (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑗)))
124123adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑗) → (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛)) = (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑗)))
125 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℕ)
126107rpreccld 13085 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ ℕ → (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑗)) ∈ ℝ+)
127122, 124, 125, 126fvmptd 7023 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛)))‘𝑗) = (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑗)))
128 eqidd 2736 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ ℕ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛)))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛)))))
129124oveq2d 7447 . . . . . . . . . 10 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑗) → ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛))) = ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑗))))
130118, 119mulcld 11279 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ ℕ → ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑗))) ∈ ℂ)
131128, 129, 125, 130fvmptd 7023 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛))))‘𝑗) = ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑗))))
132131oveq2d 7447 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ ℕ → ((2 / π) · ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛))))‘𝑗)) = ((2 / π) · ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑗)))))
133121, 127, 1323eqtr4d 2785 . . . . . . 7 (𝑗 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛)))‘𝑗) = ((2 / π) · ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛))))‘𝑗)))
134133adantl 481 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛)))‘𝑗) = ((2 / π) · ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛))))‘𝑗)))
1351, 2, 9, 17, 20, 104, 134climmulc2 15670 . . . . 5 (⊤ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛))) ⇝ ((2 / π) · 1))
136 2cn 12339 . . . . . . 7 2 ∈ ℂ
137136, 11, 15divcli 12007 . . . . . 6 (2 / π) ∈ ℂ
138137mulridi 11263 . . . . 5 ((2 / π) · 1) = (2 / π)
139135, 138breqtrdi 5189 . . . 4 (⊤ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛))) ⇝ (2 / π))
140 2ne0 12368 . . . . . 6 2 ≠ 0
141136, 11, 140, 15divne0i 12013 . . . . 5 (2 / π) ≠ 0
142141a1i 11 . . . 4 (⊤ → (2 / π) ≠ 0)
143127, 119eqeltrd 2839 . . . . . 6 (𝑗 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛)))‘𝑗) ∈ ℂ)
144108, 109recne0d 12035 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ ℕ → (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑗)) ≠ 0)
145127, 144eqnetrd 3006 . . . . . . 7 (𝑗 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛)))‘𝑗) ≠ 0)
146 nelsn 4671 . . . . . . 7 (((𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛)))‘𝑗) ≠ 0 → ¬ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛)))‘𝑗) ∈ {0})
147145, 146syl 17 . . . . . 6 (𝑗 ∈ ℕ → ¬ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛)))‘𝑗) ∈ {0})
148143, 147eldifd 3974 . . . . 5 (𝑗 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛)))‘𝑗) ∈ (ℂ ∖ {0}))
149148adantl 481 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛)))‘𝑗) ∈ (ℂ ∖ {0}))
150108, 109recrecd 12038 . . . . . 6 (𝑗 ∈ ℕ → (1 / (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑗))) = (seq1( · , 𝐹)‘𝑗))
151122, 124, 125, 119fvmptd 7023 . . . . . . 7 (𝑗 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛)))‘𝑗) = (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑗)))
152151oveq2d 7447 . . . . . 6 (𝑗 ∈ ℕ → (1 / ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛)))‘𝑗)) = (1 / (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑗))))
153 wallispi.2 . . . . . . 7 𝑊 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (seq1( · , 𝐹)‘𝑛))
154105, 153, 97fvmpt3 7020 . . . . . 6 (𝑗 ∈ ℕ → (𝑊𝑗) = (seq1( · , 𝐹)‘𝑗))
155150, 152, 1543eqtr4rd 2786 . . . . 5 (𝑗 ∈ ℕ → (𝑊𝑗) = (1 / ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛)))‘𝑗)))
156155adantl 481 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝑊𝑗) = (1 / ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛)))‘𝑗)))
15718mptex 7243 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (seq1( · , 𝐹)‘𝑛)) ∈ V
158153, 157eqeltri 2835 . . . . 5 𝑊 ∈ V
159158a1i 11 . . . 4 (⊤ → 𝑊 ∈ V)
1601, 2, 139, 142, 149, 156, 159climrec 45559 . . 3 (⊤ → 𝑊 ⇝ (1 / (2 / π)))
161160mptru 1544 . 2 𝑊 ⇝ (1 / (2 / π))
162 recdiv 11971 . . 3 (((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) ∧ (π ∈ ℂ ∧ π ≠ 0)) → (1 / (2 / π)) = (π / 2))
163136, 140, 11, 15, 162mp4an 693 . 2 (1 / (2 / π)) = (π / 2)
164161, 163breqtri 5173 1 𝑊 ⇝ (π / 2)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wa 395   = wceq 1537  wtru 1538  wcel 2106  wne 2938  Vcvv 3478  cdif 3960  {csn 4631   class class class wbr 5148  cmpt 5231  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  cc 11151  cr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158   < clt 11293  cle 11294  cmin 11490   / cdiv 11918  cn 12264  2c2 12319  0cn0 12524  cuz 12876  +crp 13032  (,)cioo 13384  ...cfz 13544  seqcseq 14039  cexp 14099  cli 15517  sincsin 16096  πcpi 16099  citg 25667
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cc 10473  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231  ax-addf 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-symdif 4259  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-disj 5116  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-ofr 7698  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-oadd 8509  df-omul 8510  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-fi 9449  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-dju 9939  df-card 9977  df-acn 9980  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-ioo 13388  df-ioc 13389  df-ico 13390  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-mod 13907  df-seq 14040  df-exp 14100  df-fac 14310  df-bc 14339  df-hash 14367  df-shft 15103  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-limsup 15504  df-clim 15521  df-rlim 15522  df-sum 15720  df-ef 16100  df-sin 16102  df-cos 16103  df-pi 16105  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-rest 17469  df-topn 17470  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-topgen 17490  df-pt 17491  df-prds 17494  df-xrs 17549  df-qtop 17554  df-imas 17555  df-xps 17557  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-mulg 19099  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-fbas 21379  df-fg 21380  df-cnfld 21383  df-top 22916  df-topon 22933  df-topsp 22955  df-bases 22969  df-cld 23043  df-ntr 23044  df-cls 23045  df-nei 23122  df-lp 23160  df-perf 23161  df-cn 23251  df-cnp 23252  df-haus 23339  df-cmp 23411  df-tx 23586  df-hmeo 23779  df-fil 23870  df-fm 23962  df-flim 23963  df-flf 23964  df-xms 24346  df-ms 24347  df-tms 24348  df-cncf 24918  df-ovol 25513  df-vol 25514  df-mbf 25668  df-itg1 25669  df-itg2 25670  df-ibl 25671  df-itg 25672  df-0p 25719  df-limc 25916  df-dv 25917
This theorem is referenced by:  wallispi2  46029
  Copyright terms: Public domain W3C validator