Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  wallispi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wallispi 44397
Description: Wallis' formula for Ο€ : Wallis' product converges to Ο€ / 2 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
wallispi.1 𝐹 = (π‘˜ ∈ β„• ↦ (((2 Β· π‘˜) / ((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1)) Β· ((2 Β· π‘˜) / ((2 Β· π‘˜) + 1))))
wallispi.2 π‘Š = (𝑛 ∈ β„• ↦ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘›))
Assertion
Ref Expression
wallispi π‘Š ⇝ (Ο€ / 2)
Distinct variable groups:   π‘˜,𝑛   𝑛,𝐹
Allowed substitution hints:   𝐹(π‘˜)   π‘Š(π‘˜,𝑛)

Proof of Theorem wallispi
Dummy variables 𝑗 𝑀 π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 12811 . . . 4 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
2 1zzd 12539 . . . 4 (⊀ β†’ 1 ∈ β„€)
3 wallispi.1 . . . . . . . 8 𝐹 = (π‘˜ ∈ β„• ↦ (((2 Β· π‘˜) / ((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1)) Β· ((2 Β· π‘˜) / ((2 Β· π‘˜) + 1))))
4 eqid 2733 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ∫(0(,)Ο€)((sinβ€˜π‘₯)↑𝑛) dπ‘₯) = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ∫(0(,)Ο€)((sinβ€˜π‘₯)↑𝑛) dπ‘₯)
5 eqid 2733 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ β„• ↦ (((𝑛 ∈ β„•0 ↦ ∫(0(,)Ο€)((sinβ€˜π‘₯)↑𝑛) dπ‘₯)β€˜(2 Β· 𝑛)) / ((𝑛 ∈ β„•0 ↦ ∫(0(,)Ο€)((sinβ€˜π‘₯)↑𝑛) dπ‘₯)β€˜((2 Β· 𝑛) + 1)))) = (𝑛 ∈ β„• ↦ (((𝑛 ∈ β„•0 ↦ ∫(0(,)Ο€)((sinβ€˜π‘₯)↑𝑛) dπ‘₯)β€˜(2 Β· 𝑛)) / ((𝑛 ∈ β„•0 ↦ ∫(0(,)Ο€)((sinβ€˜π‘₯)↑𝑛) dπ‘₯)β€˜((2 Β· 𝑛) + 1))))
6 eqid 2733 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((Ο€ / 2) Β· (1 / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘›)))) = (𝑛 ∈ β„• ↦ ((Ο€ / 2) Β· (1 / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘›))))
7 eqid 2733 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ β„• ↦ (((2 Β· 𝑛) + 1) / (2 Β· 𝑛))) = (𝑛 ∈ β„• ↦ (((2 Β· 𝑛) + 1) / (2 Β· 𝑛)))
83, 4, 5, 6, 7wallispilem5 44396 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((Ο€ / 2) Β· (1 / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘›)))) ⇝ 1
98a1i 11 . . . . . 6 (⊀ β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((Ο€ / 2) Β· (1 / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘›)))) ⇝ 1)
10 2cnd 12236 . . . . . . 7 (⊀ β†’ 2 ∈ β„‚)
11 picn 25832 . . . . . . . 8 Ο€ ∈ β„‚
1211a1i 11 . . . . . . 7 (⊀ β†’ Ο€ ∈ β„‚)
13 pire 25831 . . . . . . . . 9 Ο€ ∈ ℝ
14 pipos 25833 . . . . . . . . 9 0 < Ο€
1513, 14gt0ne0ii 11696 . . . . . . . 8 Ο€ β‰  0
1615a1i 11 . . . . . . 7 (⊀ β†’ Ο€ β‰  0)
1710, 12, 16divcld 11936 . . . . . 6 (⊀ β†’ (2 / Ο€) ∈ β„‚)
18 nnex 12164 . . . . . . . 8 β„• ∈ V
1918mptex 7174 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ β„• ↦ (1 / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘›))) ∈ V
2019a1i 11 . . . . . 6 (⊀ β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ (1 / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘›))) ∈ V)
2111a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ β„• β†’ Ο€ ∈ β„‚)
2221halfcld 12403 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ β„• β†’ (Ο€ / 2) ∈ β„‚)
23 elnnuz 12812 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ β„• ↔ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
2423biimpi 215 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ β„• β†’ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
25 oveq2 7366 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘˜ = 𝑗 β†’ (2 Β· π‘˜) = (2 Β· 𝑗))
2625oveq1d 7373 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘˜ = 𝑗 β†’ ((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1) = ((2 Β· 𝑗) βˆ’ 1))
2725, 26oveq12d 7376 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘˜ = 𝑗 β†’ ((2 Β· π‘˜) / ((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1)) = ((2 Β· 𝑗) / ((2 Β· 𝑗) βˆ’ 1)))
2825oveq1d 7373 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘˜ = 𝑗 β†’ ((2 Β· π‘˜) + 1) = ((2 Β· 𝑗) + 1))
2925, 28oveq12d 7376 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘˜ = 𝑗 β†’ ((2 Β· π‘˜) / ((2 Β· π‘˜) + 1)) = ((2 Β· 𝑗) / ((2 Β· 𝑗) + 1)))
3027, 29oveq12d 7376 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ = 𝑗 β†’ (((2 Β· π‘˜) / ((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1)) Β· ((2 Β· π‘˜) / ((2 Β· π‘˜) + 1))) = (((2 Β· 𝑗) / ((2 Β· 𝑗) βˆ’ 1)) Β· ((2 Β· 𝑗) / ((2 Β· 𝑗) + 1))))
31 elfznn 13476 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ (1...𝑛) β†’ 𝑗 ∈ β„•)
32 2cnd 12236 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 ∈ β„• β†’ 2 ∈ β„‚)
33 nncn 12166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 ∈ β„• β†’ 𝑗 ∈ β„‚)
3432, 33mulcld 11180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 ∈ β„• β†’ (2 Β· 𝑗) ∈ β„‚)
35 1cnd 11155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 ∈ β„• β†’ 1 ∈ β„‚)
3634, 35subcld 11517 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 ∈ β„• β†’ ((2 Β· 𝑗) βˆ’ 1) ∈ β„‚)
37 1red 11161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗 ∈ β„• β†’ 1 ∈ ℝ)
38 1t1e1 12320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (1 Β· 1) = 1
3937, 37remulcld 11190 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑗 ∈ β„• β†’ (1 Β· 1) ∈ ℝ)
40 2re 12232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2 ∈ ℝ
4140a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑗 ∈ β„• β†’ 2 ∈ ℝ)
4241, 37remulcld 11190 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑗 ∈ β„• β†’ (2 Β· 1) ∈ ℝ)
43 nnre 12165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑗 ∈ β„• β†’ 𝑗 ∈ ℝ)
4441, 43remulcld 11190 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑗 ∈ β„• β†’ (2 Β· 𝑗) ∈ ℝ)
45 1rp 12924 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1 ∈ ℝ+
4645a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑗 ∈ β„• β†’ 1 ∈ ℝ+)
47 1lt2 12329 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1 < 2
4847a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑗 ∈ β„• β†’ 1 < 2)
4937, 41, 46, 48ltmul1dd 13017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑗 ∈ β„• β†’ (1 Β· 1) < (2 Β· 1))
50 0le2 12260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 0 ≀ 2
5150a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑗 ∈ β„• β†’ 0 ≀ 2)
52 nnge1 12186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑗 ∈ β„• β†’ 1 ≀ 𝑗)
5337, 43, 41, 51, 52lemul2ad 12100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑗 ∈ β„• β†’ (2 Β· 1) ≀ (2 Β· 𝑗))
5439, 42, 44, 49, 53ltletrd 11320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑗 ∈ β„• β†’ (1 Β· 1) < (2 Β· 𝑗))
5538, 54eqbrtrrid 5142 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗 ∈ β„• β†’ 1 < (2 Β· 𝑗))
5637, 55gtned 11295 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 ∈ β„• β†’ (2 Β· 𝑗) β‰  1)
5734, 35, 56subne0d 11526 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 ∈ β„• β†’ ((2 Β· 𝑗) βˆ’ 1) β‰  0)
5834, 36, 57divcld 11936 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 ∈ β„• β†’ ((2 Β· 𝑗) / ((2 Β· 𝑗) βˆ’ 1)) ∈ β„‚)
5934, 35addcld 11179 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 ∈ β„• β†’ ((2 Β· 𝑗) + 1) ∈ β„‚)
60 0red 11163 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 ∈ β„• β†’ 0 ∈ ℝ)
6144, 37readdcld 11189 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗 ∈ β„• β†’ ((2 Β· 𝑗) + 1) ∈ ℝ)
6246rpgt0d 12965 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗 ∈ β„• β†’ 0 < 1)
63 2rp 12925 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2 ∈ ℝ+
6463a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑗 ∈ β„• β†’ 2 ∈ ℝ+)
65 nnrp 12931 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑗 ∈ β„• β†’ 𝑗 ∈ ℝ+)
6664, 65rpmulcld 12978 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑗 ∈ β„• β†’ (2 Β· 𝑗) ∈ ℝ+)
6737, 66ltaddrp2d 12996 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗 ∈ β„• β†’ 1 < ((2 Β· 𝑗) + 1))
6860, 37, 61, 62, 67lttrd 11321 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 ∈ β„• β†’ 0 < ((2 Β· 𝑗) + 1))
6960, 68gtned 11295 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 ∈ β„• β†’ ((2 Β· 𝑗) + 1) β‰  0)
7034, 59, 69divcld 11936 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 ∈ β„• β†’ ((2 Β· 𝑗) / ((2 Β· 𝑗) + 1)) ∈ β„‚)
7158, 70mulcld 11180 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 ∈ β„• β†’ (((2 Β· 𝑗) / ((2 Β· 𝑗) βˆ’ 1)) Β· ((2 Β· 𝑗) / ((2 Β· 𝑗) + 1))) ∈ β„‚)
7231, 71syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ (1...𝑛) β†’ (((2 Β· 𝑗) / ((2 Β· 𝑗) βˆ’ 1)) Β· ((2 Β· 𝑗) / ((2 Β· 𝑗) + 1))) ∈ β„‚)
733, 30, 31, 72fvmptd3 6972 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 ∈ (1...𝑛) β†’ (πΉβ€˜π‘—) = (((2 Β· 𝑗) / ((2 Β· 𝑗) βˆ’ 1)) Β· ((2 Β· 𝑗) / ((2 Β· 𝑗) + 1))))
7463a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 ∈ (1...𝑛) β†’ 2 ∈ ℝ+)
7531nnrpd 12960 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 ∈ (1...𝑛) β†’ 𝑗 ∈ ℝ+)
7674, 75rpmulcld 12978 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 ∈ (1...𝑛) β†’ (2 Β· 𝑗) ∈ ℝ+)
7744, 37resubcld 11588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 ∈ β„• β†’ ((2 Β· 𝑗) βˆ’ 1) ∈ ℝ)
78 1m1e0 12230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (1 βˆ’ 1) = 0
7937, 44, 37, 55ltsub1dd 11772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 ∈ β„• β†’ (1 βˆ’ 1) < ((2 Β· 𝑗) βˆ’ 1))
8078, 79eqbrtrrid 5142 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 ∈ β„• β†’ 0 < ((2 Β· 𝑗) βˆ’ 1))
8177, 80elrpd 12959 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 ∈ β„• β†’ ((2 Β· 𝑗) βˆ’ 1) ∈ ℝ+)
8231, 81syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 ∈ (1...𝑛) β†’ ((2 Β· 𝑗) βˆ’ 1) ∈ ℝ+)
8376, 82rpdivcld 12979 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ (1...𝑛) β†’ ((2 Β· 𝑗) / ((2 Β· 𝑗) βˆ’ 1)) ∈ ℝ+)
8440a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 ∈ (1...𝑛) β†’ 2 ∈ ℝ)
8531nnred 12173 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 ∈ (1...𝑛) β†’ 𝑗 ∈ ℝ)
8684, 85remulcld 11190 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 ∈ (1...𝑛) β†’ (2 Β· 𝑗) ∈ ℝ)
8774rpge0d 12966 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 ∈ (1...𝑛) β†’ 0 ≀ 2)
8875rpge0d 12966 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 ∈ (1...𝑛) β†’ 0 ≀ 𝑗)
8984, 85, 87, 88mulge0d 11737 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 ∈ (1...𝑛) β†’ 0 ≀ (2 Β· 𝑗))
9086, 89ge0p1rpd 12992 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 ∈ (1...𝑛) β†’ ((2 Β· 𝑗) + 1) ∈ ℝ+)
9176, 90rpdivcld 12979 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ (1...𝑛) β†’ ((2 Β· 𝑗) / ((2 Β· 𝑗) + 1)) ∈ ℝ+)
9283, 91rpmulcld 12978 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 ∈ (1...𝑛) β†’ (((2 Β· 𝑗) / ((2 Β· 𝑗) βˆ’ 1)) Β· ((2 Β· 𝑗) / ((2 Β· 𝑗) + 1))) ∈ ℝ+)
9373, 92eqeltrd 2834 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ (1...𝑛) β†’ (πΉβ€˜π‘—) ∈ ℝ+)
9493adantl 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛 ∈ β„• ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑛)) β†’ (πΉβ€˜π‘—) ∈ ℝ+)
95 rpmulcl 12943 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑗 ∈ ℝ+ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) β†’ (𝑗 Β· 𝑀) ∈ ℝ+)
9695adantl 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛 ∈ β„• ∧ (𝑗 ∈ ℝ+ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+)) β†’ (𝑗 Β· 𝑀) ∈ ℝ+)
9724, 94, 96seqcl 13934 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ β„• β†’ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘›) ∈ ℝ+)
9897rpcnd 12964 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ β„• β†’ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘›) ∈ β„‚)
9997rpne0d 12967 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ β„• β†’ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘›) β‰  0)
10098, 99reccld 11929 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ β„• β†’ (1 / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘›)) ∈ β„‚)
10122, 100mulcld 11180 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ β„• β†’ ((Ο€ / 2) Β· (1 / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘›))) ∈ β„‚)
1026, 101fmpti 7061 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((Ο€ / 2) Β· (1 / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘›)))):β„•βŸΆβ„‚
103102a1i 11 . . . . . . 7 (⊀ β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((Ο€ / 2) Β· (1 / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘›)))):β„•βŸΆβ„‚)
104103ffvelcdmda 7036 . . . . . 6 ((⊀ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((Ο€ / 2) Β· (1 / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘›))))β€˜π‘—) ∈ β„‚)
105 fveq2 6843 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 𝑗 β†’ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘›) = (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘—))
106105eleq1d 2819 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑗 β†’ ((seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘›) ∈ ℝ+ ↔ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘—) ∈ ℝ+))
107106, 97vtoclga 3533 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ β„• β†’ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘—) ∈ ℝ+)
108107rpcnd 12964 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ β„• β†’ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘—) ∈ β„‚)
109107rpne0d 12967 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ β„• β†’ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘—) β‰  0)
11035, 108, 109divrecd 11939 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ β„• β†’ (1 / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘—)) = (1 Β· (1 / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘—))))
11111a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ β„• β†’ Ο€ ∈ β„‚)
11264rpne0d 12967 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ β„• β†’ 2 β‰  0)
11315a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ β„• β†’ Ο€ β‰  0)
11432, 111, 112, 113divcan6d 11955 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ β„• β†’ ((2 / Ο€) Β· (Ο€ / 2)) = 1)
115114eqcomd 2739 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ β„• β†’ 1 = ((2 / Ο€) Β· (Ο€ / 2)))
116115oveq1d 7373 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ β„• β†’ (1 Β· (1 / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘—))) = (((2 / Ο€) Β· (Ο€ / 2)) Β· (1 / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘—))))
11732, 111, 113divcld 11936 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ β„• β†’ (2 / Ο€) ∈ β„‚)
118111halfcld 12403 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ β„• β†’ (Ο€ / 2) ∈ β„‚)
119108, 109reccld 11929 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ β„• β†’ (1 / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘—)) ∈ β„‚)
120117, 118, 119mulassd 11183 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ β„• β†’ (((2 / Ο€) Β· (Ο€ / 2)) Β· (1 / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘—))) = ((2 / Ο€) Β· ((Ο€ / 2) Β· (1 / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘—)))))
121110, 116, 1203eqtrd 2777 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ β„• β†’ (1 / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘—)) = ((2 / Ο€) Β· ((Ο€ / 2) Β· (1 / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘—)))))
122 eqidd 2734 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ β„• β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ (1 / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘›))) = (𝑛 ∈ β„• ↦ (1 / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘›))))
123105oveq2d 7374 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑗 β†’ (1 / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘›)) = (1 / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘—)))
124123adantl 483 . . . . . . . . 9 ((𝑗 ∈ β„• ∧ 𝑛 = 𝑗) β†’ (1 / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘›)) = (1 / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘—)))
125 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ β„• β†’ 𝑗 ∈ β„•)
126107rpreccld 12972 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ β„• β†’ (1 / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘—)) ∈ ℝ+)
127122, 124, 125, 126fvmptd 6956 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ β„• β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (1 / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘›)))β€˜π‘—) = (1 / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘—)))
128 eqidd 2734 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ β„• β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((Ο€ / 2) Β· (1 / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘›)))) = (𝑛 ∈ β„• ↦ ((Ο€ / 2) Β· (1 / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘›)))))
129124oveq2d 7374 . . . . . . . . . 10 ((𝑗 ∈ β„• ∧ 𝑛 = 𝑗) β†’ ((Ο€ / 2) Β· (1 / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘›))) = ((Ο€ / 2) Β· (1 / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘—))))
130118, 119mulcld 11180 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ β„• β†’ ((Ο€ / 2) Β· (1 / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘—))) ∈ β„‚)
131128, 129, 125, 130fvmptd 6956 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ β„• β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((Ο€ / 2) Β· (1 / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘›))))β€˜π‘—) = ((Ο€ / 2) Β· (1 / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘—))))
132131oveq2d 7374 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ β„• β†’ ((2 / Ο€) Β· ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((Ο€ / 2) Β· (1 / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘›))))β€˜π‘—)) = ((2 / Ο€) Β· ((Ο€ / 2) Β· (1 / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘—)))))
133121, 127, 1323eqtr4d 2783 . . . . . . 7 (𝑗 ∈ β„• β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (1 / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘›)))β€˜π‘—) = ((2 / Ο€) Β· ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((Ο€ / 2) Β· (1 / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘›))))β€˜π‘—)))
134133adantl 483 . . . . . 6 ((⊀ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (1 / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘›)))β€˜π‘—) = ((2 / Ο€) Β· ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((Ο€ / 2) Β· (1 / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘›))))β€˜π‘—)))
1351, 2, 9, 17, 20, 104, 134climmulc2 15525 . . . . 5 (⊀ β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ (1 / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘›))) ⇝ ((2 / Ο€) Β· 1))
136 2cn 12233 . . . . . . 7 2 ∈ β„‚
137136, 11, 15divcli 11902 . . . . . 6 (2 / Ο€) ∈ β„‚
138137mulid1i 11164 . . . . 5 ((2 / Ο€) Β· 1) = (2 / Ο€)
139135, 138breqtrdi 5147 . . . 4 (⊀ β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ (1 / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘›))) ⇝ (2 / Ο€))
140 2ne0 12262 . . . . . 6 2 β‰  0
141136, 11, 140, 15divne0i 11908 . . . . 5 (2 / Ο€) β‰  0
142141a1i 11 . . . 4 (⊀ β†’ (2 / Ο€) β‰  0)
143127, 119eqeltrd 2834 . . . . . 6 (𝑗 ∈ β„• β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (1 / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘›)))β€˜π‘—) ∈ β„‚)
144108, 109recne0d 11930 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ β„• β†’ (1 / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘—)) β‰  0)
145127, 144eqnetrd 3008 . . . . . . 7 (𝑗 ∈ β„• β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (1 / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘›)))β€˜π‘—) β‰  0)
146 nelsn 4627 . . . . . . 7 (((𝑛 ∈ β„• ↦ (1 / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘›)))β€˜π‘—) β‰  0 β†’ Β¬ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (1 / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘›)))β€˜π‘—) ∈ {0})
147145, 146syl 17 . . . . . 6 (𝑗 ∈ β„• β†’ Β¬ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (1 / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘›)))β€˜π‘—) ∈ {0})
148143, 147eldifd 3922 . . . . 5 (𝑗 ∈ β„• β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (1 / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘›)))β€˜π‘—) ∈ (β„‚ βˆ– {0}))
149148adantl 483 . . . 4 ((⊀ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (1 / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘›)))β€˜π‘—) ∈ (β„‚ βˆ– {0}))
150108, 109recrecd 11933 . . . . . 6 (𝑗 ∈ β„• β†’ (1 / (1 / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘—))) = (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘—))
151122, 124, 125, 119fvmptd 6956 . . . . . . 7 (𝑗 ∈ β„• β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (1 / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘›)))β€˜π‘—) = (1 / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘—)))
152151oveq2d 7374 . . . . . 6 (𝑗 ∈ β„• β†’ (1 / ((𝑛 ∈ β„• ↦ (1 / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘›)))β€˜π‘—)) = (1 / (1 / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘—))))
153 wallispi.2 . . . . . . 7 π‘Š = (𝑛 ∈ β„• ↦ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘›))
154105, 153, 97fvmpt3 6953 . . . . . 6 (𝑗 ∈ β„• β†’ (π‘Šβ€˜π‘—) = (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘—))
155150, 152, 1543eqtr4rd 2784 . . . . 5 (𝑗 ∈ β„• β†’ (π‘Šβ€˜π‘—) = (1 / ((𝑛 ∈ β„• ↦ (1 / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘›)))β€˜π‘—)))
156155adantl 483 . . . 4 ((⊀ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (π‘Šβ€˜π‘—) = (1 / ((𝑛 ∈ β„• ↦ (1 / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘›)))β€˜π‘—)))
15718mptex 7174 . . . . . 6 (𝑛 ∈ β„• ↦ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘›)) ∈ V
158153, 157eqeltri 2830 . . . . 5 π‘Š ∈ V
159158a1i 11 . . . 4 (⊀ β†’ π‘Š ∈ V)
1601, 2, 139, 142, 149, 156, 159climrec 43930 . . 3 (⊀ β†’ π‘Š ⇝ (1 / (2 / Ο€)))
161160mptru 1549 . 2 π‘Š ⇝ (1 / (2 / Ο€))
162 recdiv 11866 . . 3 (((2 ∈ β„‚ ∧ 2 β‰  0) ∧ (Ο€ ∈ β„‚ ∧ Ο€ β‰  0)) β†’ (1 / (2 / Ο€)) = (Ο€ / 2))
163136, 140, 11, 15, 162mp4an 692 . 2 (1 / (2 / Ο€)) = (Ο€ / 2)
164161, 163breqtri 5131 1 π‘Š ⇝ (Ο€ / 2)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   ∧ wa 397   = wceq 1542  βŠ€wtru 1543   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  Vcvv 3444   βˆ– cdif 3908  {csn 4587   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5189  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  β„‚cc 11054  β„cr 11055  0cc0 11056  1c1 11057   + caddc 11059   Β· cmul 11061   < clt 11194   ≀ cle 11195   βˆ’ cmin 11390   / cdiv 11817  β„•cn 12158  2c2 12213  β„•0cn0 12418  β„€β‰₯cuz 12768  β„+crp 12920  (,)cioo 13270  ...cfz 13430  seqcseq 13912  β†‘cexp 13973   ⇝ cli 15372  sincsin 15951  Ο€cpi 15954  βˆ«citg 24998
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9582  ax-cc 10376  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134  ax-addf 11135  ax-mulf 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-symdif 4203  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-iin 4958  df-disj 5072  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7618  df-ofr 7619  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-supp 8094  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-2o 8414  df-oadd 8417  df-omul 8418  df-er 8651  df-map 8770  df-pm 8771  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9309  df-fi 9352  df-sup 9383  df-inf 9384  df-oi 9451  df-dju 9842  df-card 9880  df-acn 9883  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-n0 12419  df-z 12505  df-dec 12624  df-uz 12769  df-q 12879  df-rp 12921  df-xneg 13038  df-xadd 13039  df-xmul 13040  df-ioo 13274  df-ioc 13275  df-ico 13276  df-icc 13277  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-fl 13703  df-mod 13781  df-seq 13913  df-exp 13974  df-fac 14180  df-bc 14209  df-hash 14237  df-shft 14958  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-limsup 15359  df-clim 15376  df-rlim 15377  df-sum 15577  df-ef 15955  df-sin 15957  df-cos 15958  df-pi 15960  df-struct 17024  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-mulr 17152  df-starv 17153  df-sca 17154  df-vsca 17155  df-ip 17156  df-tset 17157  df-ple 17158  df-ds 17160  df-unif 17161  df-hom 17162  df-cco 17163  df-rest 17309  df-topn 17310  df-0g 17328  df-gsum 17329  df-topgen 17330  df-pt 17331  df-prds 17334  df-xrs 17389  df-qtop 17394  df-imas 17395  df-xps 17397  df-mre 17471  df-mrc 17472  df-acs 17474  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-submnd 18607  df-mulg 18878  df-cntz 19102  df-cmn 19569  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-cnfld 20813  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cld 22386  df-ntr 22387  df-cls 22388  df-nei 22465  df-lp 22503  df-perf 22504  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-haus 22682  df-cmp 22754  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-fil 23213  df-fm 23305  df-flim 23306  df-flf 23307  df-xms 23689  df-ms 23690  df-tms 23691  df-cncf 24257  df-ovol 24844  df-vol 24845  df-mbf 24999  df-itg1 25000  df-itg2 25001  df-ibl 25002  df-itg 25003  df-0p 25050  df-limc 25246  df-dv 25247
This theorem is referenced by:  wallispi2  44400
  Copyright terms: Public domain W3C validator