Theorem wallispi 45991

Description: Wallis' formula for π : Wallis' product converges to π / 2 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
wallispi.1	⊢ 𝐹 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) − 1)) · ((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1))))
wallispi.2	⊢ 𝑊 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (seq1( · , 𝐹)‘𝑛))

Assertion

Ref	Expression
wallispi	⊢ 𝑊 ⇝ (π / 2)

Distinct variable groups:   𝑘,𝑛   𝑛,𝐹

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑘)   𝑊(𝑘,𝑛)

Proof of Theorem wallispi

Dummy variables 𝑗 𝑤 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 12946	. . . 4 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
2		1zzd 12674	. . . 4 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℤ)
3		wallispi.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) − 1)) · ((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1))))
4		eqid 2740	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑𝑛) d𝑥) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑𝑛) d𝑥)
5		eqid 2740	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑𝑛) d𝑥)‘(2 · 𝑛)) / ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑𝑛) d𝑥)‘((2 · 𝑛) + 1)))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑𝑛) d𝑥)‘(2 · 𝑛)) / ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑𝑛) d𝑥)‘((2 · 𝑛) + 1))))
6		eqid 2740	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛)))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛))))
7		eqid 2740	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · 𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · 𝑛)))
8	3, 4, 5, 6, 7	wallispilem5 45990	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛)))) ⇝ 1
9	8	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛)))) ⇝ 1)
10		2cnd 12371	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 2 ∈ ℂ)
11		picn 26519	. . . . . . . 8 ⊢ π ∈ ℂ
12	11	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → π ∈ ℂ)
13		pire 26518	. . . . . . . . 9 ⊢ π ∈ ℝ
14		pipos 26520	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < π
15	13, 14	gt0ne0ii 11826	. . . . . . . 8 ⊢ π ≠ 0
16	15	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → π ≠ 0)
17	10, 12, 16	divcld 12070	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (2 / π) ∈ ℂ)
18		nnex 12299	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ ∈ V
19	18	mptex 7260	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛))) ∈ V
20	19	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛))) ∈ V)
21	11	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → π ∈ ℂ)
22	21	halfcld 12538	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (π / 2) ∈ ℂ)
23		elnnuz 12947	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↔ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘1))
24	23	biimpi 216	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ (ℤ≥‘1))
25		oveq2 7456	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (2 · 𝑘) = (2 · 𝑗))
26	25	oveq1d 7463	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((2 · 𝑘) − 1) = ((2 · 𝑗) − 1))
27	25, 26	oveq12d 7466	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) − 1)) = ((2 · 𝑗) / ((2 · 𝑗) − 1)))
28	25	oveq1d 7463	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((2 · 𝑘) + 1) = ((2 · 𝑗) + 1))
29	25, 28	oveq12d 7466	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1)) = ((2 · 𝑗) / ((2 · 𝑗) + 1)))
30	27, 29	oveq12d 7466	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) − 1)) · ((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1))) = (((2 · 𝑗) / ((2 · 𝑗) − 1)) · ((2 · 𝑗) / ((2 · 𝑗) + 1))))
31		elfznn 13613	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑛) → 𝑗 ∈ ℕ)
32		2cnd 12371	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
33		nncn 12301	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℂ)
34	32, 33	mulcld 11310	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (2 · 𝑗) ∈ ℂ)
35		1cnd 11285	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
36	34, 35	subcld 11647	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → ((2 · 𝑗) − 1) ∈ ℂ)
37		1red 11291	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
38		1t1e1 12455	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (1 · 1) = 1
39	37, 37	remulcld 11320	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (1 · 1) ∈ ℝ)
40		2re 12367	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ 2 ∈ ℝ
41	40	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
42	41, 37	remulcld 11320	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (2 · 1) ∈ ℝ)
43		nnre 12300	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℝ)
44	41, 43	remulcld 11320	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (2 · 𝑗) ∈ ℝ)
45		1rp 13061	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ 1 ∈ ℝ+
46	45	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ+)
47		1lt2 12464	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ 1 < 2
48	47	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 1 < 2)
49	37, 41, 46, 48	ltmul1dd 13154	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (1 · 1) < (2 · 1))
50		0le2 12395	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ 0 ≤ 2
51	50	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 0 ≤ 2)
52		nnge1 12321	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑗)
53	37, 43, 41, 51, 52	lemul2ad 12235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (2 · 1) ≤ (2 · 𝑗))
54	39, 42, 44, 49, 53	ltletrd 11450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (1 · 1) < (2 · 𝑗))
55	38, 54	eqbrtrrid 5202	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 1 < (2 · 𝑗))
56	37, 55	gtned 11425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (2 · 𝑗) ≠ 1)
57	34, 35, 56	subne0d 11656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → ((2 · 𝑗) − 1) ≠ 0)
58	34, 36, 57	divcld 12070	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → ((2 · 𝑗) / ((2 · 𝑗) − 1)) ∈ ℂ)
59	34, 35	addcld 11309	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → ((2 · 𝑗) + 1) ∈ ℂ)
60		0red 11293	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 0 ∈ ℝ)
61	44, 37	readdcld 11319	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → ((2 · 𝑗) + 1) ∈ ℝ)
62	46	rpgt0d 13102	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 0 < 1)
63		2rp 13062	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 2 ∈ ℝ+
64	63	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ+)
65		nnrp 13068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℝ+)
66	64, 65	rpmulcld 13115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (2 · 𝑗) ∈ ℝ+)
67	37, 66	ltaddrp2d 13133	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 1 < ((2 · 𝑗) + 1))
68	60, 37, 61, 62, 67	lttrd 11451	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 0 < ((2 · 𝑗) + 1))
69	60, 68	gtned 11425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → ((2 · 𝑗) + 1) ≠ 0)
70	34, 59, 69	divcld 12070	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → ((2 · 𝑗) / ((2 · 𝑗) + 1)) ∈ ℂ)
71	58, 70	mulcld 11310	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (((2 · 𝑗) / ((2 · 𝑗) − 1)) · ((2 · 𝑗) / ((2 · 𝑗) + 1))) ∈ ℂ)
72	31, 71	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑛) → (((2 · 𝑗) / ((2 · 𝑗) − 1)) · ((2 · 𝑗) / ((2 · 𝑗) + 1))) ∈ ℂ)
73	3, 30, 31, 72	fvmptd3 7052	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑛) → (𝐹‘𝑗) = (((2 · 𝑗) / ((2 · 𝑗) − 1)) · ((2 · 𝑗) / ((2 · 𝑗) + 1))))
74	63	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑛) → 2 ∈ ℝ+)
75	31	nnrpd 13097	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑛) → 𝑗 ∈ ℝ+)
76	74, 75	rpmulcld 13115	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑛) → (2 · 𝑗) ∈ ℝ+)
77	44, 37	resubcld 11718	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → ((2 · 𝑗) − 1) ∈ ℝ)
78		1m1e0 12365	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (1 − 1) = 0
79	37, 44, 37, 55	ltsub1dd 11902	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (1 − 1) < ((2 · 𝑗) − 1))
80	78, 79	eqbrtrrid 5202	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 0 < ((2 · 𝑗) − 1))
81	77, 80	elrpd 13096	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → ((2 · 𝑗) − 1) ∈ ℝ+)
82	31, 81	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑛) → ((2 · 𝑗) − 1) ∈ ℝ+)
83	76, 82	rpdivcld 13116	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑛) → ((2 · 𝑗) / ((2 · 𝑗) − 1)) ∈ ℝ+)
84	40	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑛) → 2 ∈ ℝ)
85	31	nnred 12308	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑛) → 𝑗 ∈ ℝ)
86	84, 85	remulcld 11320	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑛) → (2 · 𝑗) ∈ ℝ)
87	74	rpge0d 13103	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑛) → 0 ≤ 2)
88	75	rpge0d 13103	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑛) → 0 ≤ 𝑗)
89	84, 85, 87, 88	mulge0d 11867	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑛) → 0 ≤ (2 · 𝑗))
90	86, 89	ge0p1rpd 13129	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑛) → ((2 · 𝑗) + 1) ∈ ℝ+)
91	76, 90	rpdivcld 13116	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑛) → ((2 · 𝑗) / ((2 · 𝑗) + 1)) ∈ ℝ+)
92	83, 91	rpmulcld 13115	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑛) → (((2 · 𝑗) / ((2 · 𝑗) − 1)) · ((2 · 𝑗) / ((2 · 𝑗) + 1))) ∈ ℝ+)
93	73, 92	eqeltrd 2844	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑛) → (𝐹‘𝑗) ∈ ℝ+)
94	93	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑛)) → (𝐹‘𝑗) ∈ ℝ+)
95		rpmulcl 13080	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑗 ∈ ℝ+ ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → (𝑗 · 𝑤) ∈ ℝ+)
96	95	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑗 ∈ ℝ+ ∧ 𝑤 ∈ ℝ+)) → (𝑗 · 𝑤) ∈ ℝ+)
97	24, 94, 96	seqcl 14073	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (seq1( · , 𝐹)‘𝑛) ∈ ℝ+)
98	97	rpcnd 13101	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (seq1( · , 𝐹)‘𝑛) ∈ ℂ)
99	97	rpne0d 13104	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (seq1( · , 𝐹)‘𝑛) ≠ 0)
100	98, 99	reccld 12063	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛)) ∈ ℂ)
101	22, 100	mulcld 11310	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛))) ∈ ℂ)
102	6, 101	fmpti 7146	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛)))):ℕ⟶ℂ
103	102	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛)))):ℕ⟶ℂ)
104	103	ffvelcdmda 7118	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛))))‘𝑗) ∈ ℂ)
105		fveq2 6920	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑛) = (seq1( · , 𝐹)‘𝑗))
106	105	eleq1d 2829	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑛) ∈ ℝ+ ↔ (seq1( · , 𝐹)‘𝑗) ∈ ℝ+))
107	106, 97	vtoclga 3589	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (seq1( · , 𝐹)‘𝑗) ∈ ℝ+)
108	107	rpcnd 13101	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (seq1( · , 𝐹)‘𝑗) ∈ ℂ)
109	107	rpne0d 13104	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (seq1( · , 𝐹)‘𝑗) ≠ 0)
110	35, 108, 109	divrecd 12073	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑗)) = (1 · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑗))))
111	11	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → π ∈ ℂ)
112	64	rpne0d 13104	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 2 ≠ 0)
113	15	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → π ≠ 0)
114	32, 111, 112, 113	divcan6d 12089	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → ((2 / π) · (π / 2)) = 1)
115	114	eqcomd 2746	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 1 = ((2 / π) · (π / 2)))
116	115	oveq1d 7463	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (1 · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑗))) = (((2 / π) · (π / 2)) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑗))))
117	32, 111, 113	divcld 12070	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (2 / π) ∈ ℂ)
118	111	halfcld 12538	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (π / 2) ∈ ℂ)
119	108, 109	reccld 12063	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑗)) ∈ ℂ)
120	117, 118, 119	mulassd 11313	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (((2 / π) · (π / 2)) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑗))) = ((2 / π) · ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑗)))))
121	110, 116, 120	3eqtrd 2784	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑗)) = ((2 / π) · ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑗)))))
122		eqidd 2741	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛))))
123	105	oveq2d 7464	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛)) = (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑗)))
124	123	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑗) → (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛)) = (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑗)))
125		id 22	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℕ)
126	107	rpreccld 13109	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑗)) ∈ ℝ+)
127	122, 124, 125, 126	fvmptd 7036	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛)))‘𝑗) = (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑗)))
128		eqidd 2741	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛)))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛)))))
129	124	oveq2d 7464	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑗) → ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛))) = ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑗))))
130	118, 119	mulcld 11310	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑗))) ∈ ℂ)
131	128, 129, 125, 130	fvmptd 7036	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛))))‘𝑗) = ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑗))))
132	131	oveq2d 7464	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → ((2 / π) · ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛))))‘𝑗)) = ((2 / π) · ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑗)))))
133	121, 127, 132	3eqtr4d 2790	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛)))‘𝑗) = ((2 / π) · ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛))))‘𝑗)))
134	133	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛)))‘𝑗) = ((2 / π) · ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛))))‘𝑗)))
135	1, 2, 9, 17, 20, 104, 134	climmulc2 15683	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛))) ⇝ ((2 / π) · 1))
136		2cn 12368	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
137	136, 11, 15	divcli 12036	. . . . . 6 ⊢ (2 / π) ∈ ℂ
138	137	mulridi 11294	. . . . 5 ⊢ ((2 / π) · 1) = (2 / π)
139	135, 138	breqtrdi 5207	. . . 4 ⊢ (⊤ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛))) ⇝ (2 / π))
140		2ne0 12397	. . . . . 6 ⊢ 2 ≠ 0
141	136, 11, 140, 15	divne0i 12042	. . . . 5 ⊢ (2 / π) ≠ 0
142	141	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → (2 / π) ≠ 0)
143	127, 119	eqeltrd 2844	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛)))‘𝑗) ∈ ℂ)
144	108, 109	recne0d 12064	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑗)) ≠ 0)
145	127, 144	eqnetrd 3014	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛)))‘𝑗) ≠ 0)
146		nelsn 4688	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛)))‘𝑗) ≠ 0 → ¬ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛)))‘𝑗) ∈ {0})
147	145, 146	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → ¬ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛)))‘𝑗) ∈ {0})
148	143, 147	eldifd 3987	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛)))‘𝑗) ∈ (ℂ ∖ {0}))
149	148	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛)))‘𝑗) ∈ (ℂ ∖ {0}))
150	108, 109	recrecd 12067	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (1 / (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑗))) = (seq1( · , 𝐹)‘𝑗))
151	122, 124, 125, 119	fvmptd 7036	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛)))‘𝑗) = (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑗)))
152	151	oveq2d 7464	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (1 / ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛)))‘𝑗)) = (1 / (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑗))))
153		wallispi.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝑊 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (seq1( · , 𝐹)‘𝑛))
154	105, 153, 97	fvmpt3 7033	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (𝑊‘𝑗) = (seq1( · , 𝐹)‘𝑗))
155	150, 152, 154	3eqtr4rd 2791	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (𝑊‘𝑗) = (1 / ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛)))‘𝑗)))
156	155	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝑊‘𝑗) = (1 / ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛)))‘𝑗)))
157	18	mptex 7260	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (seq1( · , 𝐹)‘𝑛)) ∈ V
158	153, 157	eqeltri 2840	. . . . 5 ⊢ 𝑊 ∈ V
159	158	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → 𝑊 ∈ V)
160	1, 2, 139, 142, 149, 156, 159	climrec 45524	. . 3 ⊢ (⊤ → 𝑊 ⇝ (1 / (2 / π)))
161	160	mptru 1544	. 2 ⊢ 𝑊 ⇝ (1 / (2 / π))
162		recdiv 12000	. . 3 ⊢ (((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) ∧ (π ∈ ℂ ∧ π ≠ 0)) → (1 / (2 / π)) = (π / 2))
163	136, 140, 11, 15, 162	mp4an 692	. 2 ⊢ (1 / (2 / π)) = (π / 2)
164	161, 163	breqtri 5191	1 ⊢ 𝑊 ⇝ (π / 2)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 395   = wceq 1537  ⊤wtru 1538   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  Vcvv 3488   ∖ cdif 3973  {csn 4648   class class class wbr 5166   ↦ cmpt 5249  ⟶wf 6569  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  ℂcc 11182  ℝcr 11183  0cc0 11184  1c1 11185   + caddc 11187   · cmul 11189   < clt 11324   ≤ cle 11325   − cmin 11520   / cdiv 11947  ℕcn 12293  2c2 12348  ℕ₀cn0 12553  ℤ_≥cuz 12903  ℝ⁺crp 13057  (,)cioo 13407  ...cfz 13567  seqcseq 14052  ↑cexp 14112   ⇝ cli 15530  sincsin 16111  πcpi 16114  ∫citg 25672

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-inf2 9710  ax-cc 10504  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262  ax-addf 11263

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-symdif 4272  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-iin 5018  df-disj 5134  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-of 7714  df-ofr 7715  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-supp 8202  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-oadd 8526  df-omul 8527  df-er 8763  df-map 8886  df-pm 8887  df-ixp 8956  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-fsupp 9432  df-fi 9480  df-sup 9511  df-inf 9512  df-oi 9579  df-dju 9970  df-card 10008  df-acn 10011  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-q 13014  df-rp 13058  df-xneg 13175  df-xadd 13176  df-xmul 13177  df-ioo 13411  df-ioc 13412  df-ico 13413  df-icc 13414  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-fl 13843  df-mod 13921  df-seq 14053  df-exp 14113  df-fac 14323  df-bc 14352  df-hash 14380  df-shft 15116  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-limsup 15517  df-clim 15534  df-rlim 15535  df-sum 15735  df-ef 16115  df-sin 16117  df-cos 16118  df-pi 16120  df-struct 17194  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-starv 17326  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-unif 17334  df-hom 17335  df-cco 17336  df-rest 17482  df-topn 17483  df-0g 17501  df-gsum 17502  df-topgen 17503  df-pt 17504  df-prds 17507  df-xrs 17562  df-qtop 17567  df-imas 17568  df-xps 17570  df-mre 17644  df-mrc 17645  df-acs 17647  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-submnd 18819  df-mulg 19108  df-cntz 19357  df-cmn 19824  df-psmet 21379  df-xmet 21380  df-met 21381  df-bl 21382  df-mopn 21383  df-fbas 21384  df-fg 21385  df-cnfld 21388  df-top 22921  df-topon 22938  df-topsp 22960  df-bases 22974  df-cld 23048  df-ntr 23049  df-cls 23050  df-nei 23127  df-lp 23165  df-perf 23166  df-cn 23256  df-cnp 23257  df-haus 23344  df-cmp 23416  df-tx 23591  df-hmeo 23784  df-fil 23875  df-fm 23967  df-flim 23968  df-flf 23969  df-xms 24351  df-ms 24352  df-tms 24353  df-cncf 24923  df-ovol 25518  df-vol 25519  df-mbf 25673  df-itg1 25674  df-itg2 25675  df-ibl 25676  df-itg 25677  df-0p 25724  df-limc 25921  df-dv 25922

This theorem is referenced by:  wallispi2  45994