Theorem 3lexlogpow5ineq2 40920

Description: Second inequality in inequality chain, proposed by Mario Carneiro. (Contributed by metakunt, 22-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
3lexlogpow5ineq2.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
3lexlogpow5ineq2.2	⊢ (𝜑 → 3 ≤ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
3lexlogpow5ineq2	⊢ (𝜑 → ((;11 / 7)↑5) ≤ ((2 logb 𝑋)↑5))

Proof of Theorem 3lexlogpow5ineq2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 12488	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
2		1nn 12223	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
3	1, 2	decnncl 12697	. . . . 5 ⊢ ;11 ∈ ℕ
4	3	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ;11 ∈ ℕ)
5	4	nnred 12227	. . 3 ⊢ (𝜑 → ;11 ∈ ℝ)
6		7re 12305	. . . 4 ⊢ 7 ∈ ℝ
7	6	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 7 ∈ ℝ)
8		0red 11217	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
9		7pos 12323	. . . . . 6 ⊢ 0 < 7
10	9	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 < 7)
11	8, 10	ltned 11350	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ≠ 7)
12	11	necomd 2997	. . 3 ⊢ (𝜑 → 7 ≠ 0)
13	5, 7, 12	redivcld 12042	. 2 ⊢ (𝜑 → (;11 / 7) ∈ ℝ)
14		2re 12286	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℝ
15	14	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
16		2pos 12315	. . . 4 ⊢ 0 < 2
17	16	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 < 2)
18		3lexlogpow5ineq2.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
19		3re 12292	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℝ
20	19	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℝ)
21		3pos 12317	. . . . 5 ⊢ 0 < 3
22	21	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 < 3)
23		3lexlogpow5ineq2.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 3 ≤ 𝑋)
24	8, 20, 18, 22, 23	ltletrd 11374	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑋)
25		1red 11215	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
26		1lt2 12383	. . . . . 6 ⊢ 1 < 2
27	26	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 < 2)
28	25, 27	ltned 11350	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ≠ 2)
29	28	necomd 2997	. . 3 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 1)
30	15, 17, 18, 24, 29	relogbcld 40838	. 2 ⊢ (𝜑 → (2 logb 𝑋) ∈ ℝ)
31		5nn0 12492	. . 3 ⊢ 5 ∈ ℕ0
32	31	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 5 ∈ ℕ0)
33		7nn 12304	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℕ
34	33	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 7 ∈ ℕ)
35	34	nnrpd 13014	. . 3 ⊢ (𝜑 → 7 ∈ ℝ+)
36		0nn0 12487	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
37		tru 1546	. . . . . 6 ⊢ ⊤
38		0red 11217	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 0 ∈ ℝ)
39		9re 12311	. . . . . . . 8 ⊢ 9 ∈ ℝ
40	39	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 9 ∈ ℝ)
41		9pos 12325	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 9
42	41	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 0 < 9)
43	38, 40, 42	ltled 11362	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 0 ≤ 9)
44	37, 43	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 9
45	2, 1, 36, 44	declei 12713	. . . 4 ⊢ 0 ≤ ;11
46	45	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ;11)
47	5, 35, 46	divge0d 13056	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (;11 / 7))
48	15, 17, 20, 22, 29	relogbcld 40838	. . 3 ⊢ (𝜑 → (2 logb 3) ∈ ℝ)
49		2exp11 17023	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2↑;11) = ;;;2048
50	49	eqcomi 2742	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;;;2048 = (2↑;11)
51	50	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ;;;2048 = (2↑;11))
52	51	oveq2d 7425	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (2 logb ;;;2048) = (2 logb (2↑;11)))
53	15, 17	elrpd 13013	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ+)
54	4	nnzd 12585	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ;11 ∈ ℤ)
55	53, 29, 54	relogbexpd 40839	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (2 logb (2↑;11)) = ;11)
56	52, 55	eqtrd 2773	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2 logb ;;;2048) = ;11)
57	56	eqcomd 2739	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ;11 = (2 logb ;;;2048))
58		2z 12594	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℤ
59	58	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
60	15	leidd 11780	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 2 ≤ 2)
61		2nn0 12489	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℕ0
62	61, 36	deccl 12692	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;20 ∈ ℕ0
63		4nn0 12491	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 4 ∈ ℕ0
64	62, 63	deccl 12692	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;;204 ∈ ℕ0
65		8nn 12307	. . . . . . . . . 10 ⊢ 8 ∈ ℕ
66	64, 65	decnncl 12697	. . . . . . . . 9 ⊢ ;;;2048 ∈ ℕ
67	66	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ;;;2048 ∈ ℕ)
68	67	nnred 12227	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ;;;2048 ∈ ℝ)
69		4nn 12295	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℕ
70	62, 69	decnncl 12697	. . . . . . . . 9 ⊢ ;;204 ∈ ℕ
71		8nn0 12495	. . . . . . . . 9 ⊢ 8 ∈ ℕ0
72	70, 71, 36, 44	decltdi 12716	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < ;;;2048
73	72	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 < ;;;2048)
74	61, 1	deccl 12692	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;21 ∈ ℕ0
75	74, 71	deccl 12692	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;;218 ∈ ℕ0
76	75, 33	decnncl 12697	. . . . . . . . 9 ⊢ ;;;2187 ∈ ℕ
77	76	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ;;;2187 ∈ ℕ)
78	77	nnred 12227	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ;;;2187 ∈ ℝ)
79	74, 65	decnncl 12697	. . . . . . . . 9 ⊢ ;;218 ∈ ℕ
80		7nn0 12494	. . . . . . . . 9 ⊢ 7 ∈ ℕ0
81	79, 80, 36, 44	decltdi 12716	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < ;;;2187
82	81	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 < ;;;2187)
83		8re 12308	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 8 ∈ ℝ
84	83, 1	nn0addge1i 12520	. . . . . . . . . 10 ⊢ 8 ≤ (8 + 1)
85		8p1e9 12362	. . . . . . . . . 10 ⊢ (8 + 1) = 9
86	84, 85	breqtri 5174	. . . . . . . . 9 ⊢ 8 ≤ 9
87		4lt10 12813	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 < ;10
88		0lt1 11736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < 1
89	61, 36, 2, 88	declt 12705	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;20 < ;21
90	62, 74, 63, 71, 87, 89	decltc 12706	. . . . . . . . 9 ⊢ ;;204 < ;;218
91	64, 75, 71, 80, 86, 90	decleh 12712	. . . . . . . 8 ⊢ ;;;2048 ≤ ;;;2187
92	91	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ;;;2048 ≤ ;;;2187)
93	59, 60, 68, 73, 78, 82, 92	logblebd 40841	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 logb ;;;2048) ≤ (2 logb ;;;2187))
94	57, 93	eqbrtrd 5171	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ;11 ≤ (2 logb ;;;2187))
95	5	recnd 11242	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ;11 ∈ ℂ)
96	7	recnd 11242	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 7 ∈ ℂ)
97	95, 96, 12	divcan1d 11991	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((;11 / 7) · 7) = ;11)
98	97	eqcomd 2739	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ;11 = ((;11 / 7) · 7))
99		3exp7 40918	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3↑7) = ;;;2187
100	99	eqcomi 2742	. . . . . . . . 9 ⊢ ;;;2187 = (3↑7)
101	100	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ;;;2187 = (3↑7))
102	101	oveq2d 7425	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2 logb ;;;2187) = (2 logb (3↑7)))
103	20, 22	elrpd 13013	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℝ+)
104	34	nnzd 12585	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 7 ∈ ℤ)
105	53, 29, 103, 104	relogbzexpd 40840	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2 logb (3↑7)) = (7 · (2 logb 3)))
106	102, 105	eqtrd 2773	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 logb ;;;2187) = (7 · (2 logb 3)))
107	48	recnd 11242	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2 logb 3) ∈ ℂ)
108	96, 107	mulcomd 11235	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (7 · (2 logb 3)) = ((2 logb 3) · 7))
109	106, 108	eqtrd 2773	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (2 logb ;;;2187) = ((2 logb 3) · 7))
110	94, 98, 109	3brtr3d 5180	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((;11 / 7) · 7) ≤ ((2 logb 3) · 7))
111	13, 48, 35	lemul1d 13059	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((;11 / 7) ≤ (2 logb 3) ↔ ((;11 / 7) · 7) ≤ ((2 logb 3) · 7)))
112	110, 111	mpbird 257	. . 3 ⊢ (𝜑 → (;11 / 7) ≤ (2 logb 3))
113	59, 60, 20, 22, 18, 24, 23	logblebd 40841	. . 3 ⊢ (𝜑 → (2 logb 3) ≤ (2 logb 𝑋))
114	13, 48, 30, 112, 113	letrd 11371	. 2 ⊢ (𝜑 → (;11 / 7) ≤ (2 logb 𝑋))
115	13, 30, 32, 47, 114	leexp1ad 40837	1 ⊢ (𝜑 → ((;11 / 7)↑5) ≤ ((2 logb 𝑋)↑5))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542  ⊤wtru 1543   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5149  (class class class)co 7409  ℝcr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   · cmul 11115   < clt 11248   ≤ cle 11249   / cdiv 11871  ℕcn 12212  2c2 12267  3c3 12268  4c4 12269  5c5 12270  7c7 12272  8c8 12273  9c9 12274  ℕ₀cn0 12472  ℤcz 12558  ;cdc 12677  ↑cexp 14027   log_b clogb 26269

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-ioc 13329  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-mod 13835  df-seq 13967  df-exp 14028  df-fac 14234  df-bc 14263  df-hash 14291  df-shft 15014  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-limsup 15415  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-sum 15633  df-ef 16011  df-sin 16013  df-cos 16014  df-pi 16016  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-topgen 17389  df-pt 17390  df-prds 17393  df-xrs 17448  df-qtop 17453  df-imas 17454  df-xps 17456  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-mulg 18951  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-fbas 20941  df-fg 20942  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cld 22523  df-ntr 22524  df-cls 22525  df-nei 22602  df-lp 22640  df-perf 22641  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-haus 22819  df-tx 23066  df-hmeo 23259  df-fil 23350  df-fm 23442  df-flim 23443  df-flf 23444  df-xms 23826  df-ms 23827  df-tms 23828  df-cncf 24394  df-limc 25383  df-dv 25384  df-log 26065  df-cxp 26066  df-logb 26270

This theorem is referenced by:  3lexlogpow5ineq4  40921