Theorem 3lexlogpow5ineq2 40368

Description: Second inequality in inequality chain, proposed by Mario Carneiro. (Contributed by metakunt, 22-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
3lexlogpow5ineq2.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
3lexlogpow5ineq2.2	⊢ (𝜑 → 3 ≤ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
3lexlogpow5ineq2	⊢ (𝜑 → ((;11 / 7)↑5) ≤ ((2 logb 𝑋)↑5))

Proof of Theorem 3lexlogpow5ineq2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 12354	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
2		1nn 12089	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
3	1, 2	decnncl 12562	. . . . 5 ⊢ ;11 ∈ ℕ
4	3	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ;11 ∈ ℕ)
5	4	nnred 12093	. . 3 ⊢ (𝜑 → ;11 ∈ ℝ)
6		7re 12171	. . . 4 ⊢ 7 ∈ ℝ
7	6	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 7 ∈ ℝ)
8		0red 11083	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
9		7pos 12189	. . . . . 6 ⊢ 0 < 7
10	9	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 < 7)
11	8, 10	ltned 11216	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ≠ 7)
12	11	necomd 2997	. . 3 ⊢ (𝜑 → 7 ≠ 0)
13	5, 7, 12	redivcld 11908	. 2 ⊢ (𝜑 → (;11 / 7) ∈ ℝ)
14		2re 12152	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℝ
15	14	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
16		2pos 12181	. . . 4 ⊢ 0 < 2
17	16	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 < 2)
18		3lexlogpow5ineq2.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
19		3re 12158	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℝ
20	19	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℝ)
21		3pos 12183	. . . . 5 ⊢ 0 < 3
22	21	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 < 3)
23		3lexlogpow5ineq2.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 3 ≤ 𝑋)
24	8, 20, 18, 22, 23	ltletrd 11240	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑋)
25		1red 11081	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
26		1lt2 12249	. . . . . 6 ⊢ 1 < 2
27	26	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 < 2)
28	25, 27	ltned 11216	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ≠ 2)
29	28	necomd 2997	. . 3 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 1)
30	15, 17, 18, 24, 29	relogbcld 40286	. 2 ⊢ (𝜑 → (2 logb 𝑋) ∈ ℝ)
31		5nn0 12358	. . 3 ⊢ 5 ∈ ℕ0
32	31	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 5 ∈ ℕ0)
33		7nn 12170	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℕ
34	33	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 7 ∈ ℕ)
35	34	nnrpd 12875	. . 3 ⊢ (𝜑 → 7 ∈ ℝ+)
36		0nn0 12353	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
37		tru 1545	. . . . . 6 ⊢ ⊤
38		0red 11083	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 0 ∈ ℝ)
39		9re 12177	. . . . . . . 8 ⊢ 9 ∈ ℝ
40	39	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 9 ∈ ℝ)
41		9pos 12191	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 9
42	41	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 0 < 9)
43	38, 40, 42	ltled 11228	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 0 ≤ 9)
44	37, 43	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 9
45	2, 1, 36, 44	declei 12578	. . . 4 ⊢ 0 ≤ ;11
46	45	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ;11)
47	5, 35, 46	divge0d 12917	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (;11 / 7))
48	15, 17, 20, 22, 29	relogbcld 40286	. . 3 ⊢ (𝜑 → (2 logb 3) ∈ ℝ)
49		2exp11 16888	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2↑;11) = ;;;2048
50	49	eqcomi 2746	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;;;2048 = (2↑;11)
51	50	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ;;;2048 = (2↑;11))
52	51	oveq2d 7357	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (2 logb ;;;2048) = (2 logb (2↑;11)))
53	15, 17	elrpd 12874	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ+)
54	4	nnzd 12530	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ;11 ∈ ℤ)
55	53, 29, 54	relogbexpd 40287	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (2 logb (2↑;11)) = ;11)
56	52, 55	eqtrd 2777	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2 logb ;;;2048) = ;11)
57	56	eqcomd 2743	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ;11 = (2 logb ;;;2048))
58		2z 12457	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℤ
59	58	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
60	15	leidd 11646	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 2 ≤ 2)
61		2nn0 12355	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℕ0
62	61, 36	deccl 12557	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;20 ∈ ℕ0
63		4nn0 12357	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 4 ∈ ℕ0
64	62, 63	deccl 12557	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;;204 ∈ ℕ0
65		8nn 12173	. . . . . . . . . 10 ⊢ 8 ∈ ℕ
66	64, 65	decnncl 12562	. . . . . . . . 9 ⊢ ;;;2048 ∈ ℕ
67	66	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ;;;2048 ∈ ℕ)
68	67	nnred 12093	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ;;;2048 ∈ ℝ)
69		4nn 12161	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℕ
70	62, 69	decnncl 12562	. . . . . . . . 9 ⊢ ;;204 ∈ ℕ
71		8nn0 12361	. . . . . . . . 9 ⊢ 8 ∈ ℕ0
72	70, 71, 36, 44	decltdi 12581	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < ;;;2048
73	72	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 < ;;;2048)
74	61, 1	deccl 12557	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;21 ∈ ℕ0
75	74, 71	deccl 12557	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;;218 ∈ ℕ0
76	75, 33	decnncl 12562	. . . . . . . . 9 ⊢ ;;;2187 ∈ ℕ
77	76	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ;;;2187 ∈ ℕ)
78	77	nnred 12093	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ;;;2187 ∈ ℝ)
79	74, 65	decnncl 12562	. . . . . . . . 9 ⊢ ;;218 ∈ ℕ
80		7nn0 12360	. . . . . . . . 9 ⊢ 7 ∈ ℕ0
81	79, 80, 36, 44	decltdi 12581	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < ;;;2187
82	81	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 < ;;;2187)
83		8re 12174	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 8 ∈ ℝ
84	83, 1	nn0addge1i 12386	. . . . . . . . . 10 ⊢ 8 ≤ (8 + 1)
85		8p1e9 12228	. . . . . . . . . 10 ⊢ (8 + 1) = 9
86	84, 85	breqtri 5121	. . . . . . . . 9 ⊢ 8 ≤ 9
87		4lt10 12678	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 < ;10
88		0lt1 11602	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < 1
89	61, 36, 2, 88	declt 12570	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;20 < ;21
90	62, 74, 63, 71, 87, 89	decltc 12571	. . . . . . . . 9 ⊢ ;;204 < ;;218
91	64, 75, 71, 80, 86, 90	decleh 12577	. . . . . . . 8 ⊢ ;;;2048 ≤ ;;;2187
92	91	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ;;;2048 ≤ ;;;2187)
93	59, 60, 68, 73, 78, 82, 92	logblebd 40289	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 logb ;;;2048) ≤ (2 logb ;;;2187))
94	57, 93	eqbrtrd 5118	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ;11 ≤ (2 logb ;;;2187))
95	5	recnd 11108	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ;11 ∈ ℂ)
96	7	recnd 11108	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 7 ∈ ℂ)
97	95, 96, 12	divcan1d 11857	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((;11 / 7) · 7) = ;11)
98	97	eqcomd 2743	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ;11 = ((;11 / 7) · 7))
99		3exp7 40366	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3↑7) = ;;;2187
100	99	eqcomi 2746	. . . . . . . . 9 ⊢ ;;;2187 = (3↑7)
101	100	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ;;;2187 = (3↑7))
102	101	oveq2d 7357	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2 logb ;;;2187) = (2 logb (3↑7)))
103	20, 22	elrpd 12874	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℝ+)
104	34	nnzd 12530	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 7 ∈ ℤ)
105	53, 29, 103, 104	relogbzexpd 40288	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2 logb (3↑7)) = (7 · (2 logb 3)))
106	102, 105	eqtrd 2777	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 logb ;;;2187) = (7 · (2 logb 3)))
107	48	recnd 11108	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2 logb 3) ∈ ℂ)
108	96, 107	mulcomd 11101	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (7 · (2 logb 3)) = ((2 logb 3) · 7))
109	106, 108	eqtrd 2777	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (2 logb ;;;2187) = ((2 logb 3) · 7))
110	94, 98, 109	3brtr3d 5127	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((;11 / 7) · 7) ≤ ((2 logb 3) · 7))
111	13, 48, 35	lemul1d 12920	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((;11 / 7) ≤ (2 logb 3) ↔ ((;11 / 7) · 7) ≤ ((2 logb 3) · 7)))
112	110, 111	mpbird 257	. . 3 ⊢ (𝜑 → (;11 / 7) ≤ (2 logb 3))
113	59, 60, 20, 22, 18, 24, 23	logblebd 40289	. . 3 ⊢ (𝜑 → (2 logb 3) ≤ (2 logb 𝑋))
114	13, 48, 30, 112, 113	letrd 11237	. 2 ⊢ (𝜑 → (;11 / 7) ≤ (2 logb 𝑋))
115	13, 30, 32, 47, 114	leexp1ad 40285	1 ⊢ (𝜑 → ((;11 / 7)↑5) ≤ ((2 logb 𝑋)↑5))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541  ⊤wtru 1542   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5096  (class class class)co 7341  ℝcr 10975  0cc0 10976  1c1 10977   + caddc 10979   · cmul 10981   < clt 11114   ≤ cle 11115   / cdiv 11737  ℕcn 12078  2c2 12133  3c3 12134  4c4 12135  5c5 12136  7c7 12138  8c8 12139  9c9 12140  ℕ₀cn0 12338  ℤcz 12424  ;cdc 12542  ↑cexp 13887   log_b clogb 26019

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5233  ax-sep 5247  ax-nul 5254  ax-pow 5312  ax-pr 5376  ax-un 7654  ax-inf2 9502  ax-cnex 11032  ax-resscn 11033  ax-1cn 11034  ax-icn 11035  ax-addcl 11036  ax-addrcl 11037  ax-mulcl 11038  ax-mulrcl 11039  ax-mulcom 11040  ax-addass 11041  ax-mulass 11042  ax-distr 11043  ax-i2m1 11044  ax-1ne0 11045  ax-1rid 11046  ax-rnegex 11047  ax-rrecex 11048  ax-cnre 11049  ax-pre-lttri 11050  ax-pre-lttrn 11051  ax-pre-ltadd 11052  ax-pre-mulgt0 11053  ax-pre-sup 11054  ax-addf 11055  ax-mulf 11056

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3444  df-sbc 3731  df-csb 3847  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3920  df-nul 4274  df-if 4478  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4857  df-int 4899  df-iun 4947  df-iin 4948  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5180  df-tr 5214  df-id 5522  df-eprel 5528  df-po 5536  df-so 5537  df-fr 5579  df-se 5580  df-we 5581  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6242  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6435  df-fun 6485  df-fn 6486  df-f 6487  df-f1 6488  df-fo 6489  df-f1o 6490  df-fv 6491  df-isom 6492  df-riota 7297  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-of 7599  df-om 7785  df-1st 7903  df-2nd 7904  df-supp 8052  df-frecs 8171  df-wrecs 8202  df-recs 8276  df-rdg 8315  df-1o 8371  df-2o 8372  df-er 8573  df-map 8692  df-pm 8693  df-ixp 8761  df-en 8809  df-dom 8810  df-sdom 8811  df-fin 8812  df-fsupp 9231  df-fi 9272  df-sup 9303  df-inf 9304  df-oi 9371  df-card 9800  df-pnf 11116  df-mnf 11117  df-xr 11118  df-ltxr 11119  df-le 11120  df-sub 11312  df-neg 11313  df-div 11738  df-nn 12079  df-2 12141  df-3 12142  df-4 12143  df-5 12144  df-6 12145  df-7 12146  df-8 12147  df-9 12148  df-n0 12339  df-z 12425  df-dec 12543  df-uz 12688  df-q 12794  df-rp 12836  df-xneg 12953  df-xadd 12954  df-xmul 12955  df-ioo 13188  df-ioc 13189  df-ico 13190  df-icc 13191  df-fz 13345  df-fzo 13488  df-fl 13617  df-mod 13695  df-seq 13827  df-exp 13888  df-fac 14093  df-bc 14122  df-hash 14150  df-shft 14877  df-cj 14909  df-re 14910  df-im 14911  df-sqrt 15045  df-abs 15046  df-limsup 15279  df-clim 15296  df-rlim 15297  df-sum 15497  df-ef 15876  df-sin 15878  df-cos 15879  df-pi 15881  df-struct 16945  df-sets 16962  df-slot 16980  df-ndx 16992  df-base 17010  df-ress 17039  df-plusg 17072  df-mulr 17073  df-starv 17074  df-sca 17075  df-vsca 17076  df-ip 17077  df-tset 17078  df-ple 17079  df-ds 17081  df-unif 17082  df-hom 17083  df-cco 17084  df-rest 17230  df-topn 17231  df-0g 17249  df-gsum 17250  df-topgen 17251  df-pt 17252  df-prds 17255  df-xrs 17310  df-qtop 17315  df-imas 17316  df-xps 17318  df-mre 17392  df-mrc 17393  df-acs 17395  df-mgm 18423  df-sgrp 18472  df-mnd 18483  df-submnd 18528  df-mulg 18797  df-cntz 19019  df-cmn 19483  df-psmet 20694  df-xmet 20695  df-met 20696  df-bl 20697  df-mopn 20698  df-fbas 20699  df-fg 20700  df-cnfld 20703  df-top 22148  df-topon 22165  df-topsp 22187  df-bases 22201  df-cld 22275  df-ntr 22276  df-cls 22277  df-nei 22354  df-lp 22392  df-perf 22393  df-cn 22483  df-cnp 22484  df-haus 22571  df-tx 22818  df-hmeo 23011  df-fil 23102  df-fm 23194  df-flim 23195  df-flf 23196  df-xms 23578  df-ms 23579  df-tms 23580  df-cncf 24146  df-limc 25135  df-dv 25136  df-log 25817  df-cxp 25818  df-logb 26020

This theorem is referenced by:  3lexlogpow5ineq4  40369