Theorem 3lexlogpow5ineq2 39607

Description: Second inequality in inequality chain, proposed by Mario Carneiro. (Contributed by metakunt, 22-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
3lexlogpow5ineq2.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
3lexlogpow5ineq2.2	⊢ (𝜑 → 3 ≤ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
3lexlogpow5ineq2	⊢ (𝜑 → ((;11 / 7)↑5) ≤ ((2 logb 𝑋)↑5))

Proof of Theorem 3lexlogpow5ineq2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 11935	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
2		1nn 11670	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
3	1, 2	decnncl 12142	. . . . 5 ⊢ ;11 ∈ ℕ
4	3	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ;11 ∈ ℕ)
5	4	nnred 11674	. . 3 ⊢ (𝜑 → ;11 ∈ ℝ)
6		7re 11752	. . . 4 ⊢ 7 ∈ ℝ
7	6	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 7 ∈ ℝ)
8		0red 10667	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
9		7pos 11770	. . . . . 6 ⊢ 0 < 7
10	9	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 < 7)
11	8, 10	ltned 10799	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ≠ 7)
12	11	necomd 3004	. . 3 ⊢ (𝜑 → 7 ≠ 0)
13	5, 7, 12	redivcld 11491	. 2 ⊢ (𝜑 → (;11 / 7) ∈ ℝ)
14		2re 11733	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℝ
15	14	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
16		2pos 11762	. . . 4 ⊢ 0 < 2
17	16	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 < 2)
18		3lexlogpow5ineq2.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
19		3re 11739	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℝ
20	19	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℝ)
21		3pos 11764	. . . . 5 ⊢ 0 < 3
22	21	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 < 3)
23		3lexlogpow5ineq2.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 3 ≤ 𝑋)
24	8, 20, 18, 22, 23	ltletrd 10823	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑋)
25		1red 10665	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
26		1lt2 11830	. . . . . 6 ⊢ 1 < 2
27	26	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 < 2)
28	25, 27	ltned 10799	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ≠ 2)
29	28	necomd 3004	. . 3 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 1)
30	15, 17, 18, 24, 29	relogbcld 39524	. 2 ⊢ (𝜑 → (2 logb 𝑋) ∈ ℝ)
31		5nn0 11939	. . 3 ⊢ 5 ∈ ℕ0
32	31	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 5 ∈ ℕ0)
33		7nn 11751	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℕ
34	33	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 7 ∈ ℕ)
35	34	nnrpd 12455	. . 3 ⊢ (𝜑 → 7 ∈ ℝ+)
36		0nn0 11934	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
37		tru 1543	. . . . . 6 ⊢ ⊤
38		0red 10667	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 0 ∈ ℝ)
39		9re 11758	. . . . . . . 8 ⊢ 9 ∈ ℝ
40	39	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 9 ∈ ℝ)
41		9pos 11772	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 9
42	41	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 0 < 9)
43	38, 40, 42	ltled 10811	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 0 ≤ 9)
44	37, 43	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 9
45	2, 1, 36, 44	declei 12158	. . . 4 ⊢ 0 ≤ ;11
46	45	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ;11)
47	5, 35, 46	divge0d 12497	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (;11 / 7))
48	15, 17, 20, 22, 29	relogbcld 39524	. . 3 ⊢ (𝜑 → (2 logb 3) ∈ ℝ)
49		2exp11 16466	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2↑;11) = ;;;2048
50	49	eqcomi 2768	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;;;2048 = (2↑;11)
51	50	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ;;;2048 = (2↑;11))
52	51	oveq2d 7159	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (2 logb ;;;2048) = (2 logb (2↑;11)))
53	15, 17	elrpd 12454	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ+)
54	4	nnzd 12110	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ;11 ∈ ℤ)
55	53, 29, 54	relogbexpd 39525	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (2 logb (2↑;11)) = ;11)
56	52, 55	eqtrd 2794	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2 logb ;;;2048) = ;11)
57	56	eqcomd 2765	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ;11 = (2 logb ;;;2048))
58		2z 12038	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℤ
59	58	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
60	15	leidd 11229	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 2 ≤ 2)
61		2nn0 11936	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℕ0
62	61, 36	deccl 12137	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;20 ∈ ℕ0
63		4nn0 11938	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 4 ∈ ℕ0
64	62, 63	deccl 12137	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;;204 ∈ ℕ0
65		8nn 11754	. . . . . . . . . 10 ⊢ 8 ∈ ℕ
66	64, 65	decnncl 12142	. . . . . . . . 9 ⊢ ;;;2048 ∈ ℕ
67	66	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ;;;2048 ∈ ℕ)
68	67	nnred 11674	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ;;;2048 ∈ ℝ)
69		4nn 11742	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℕ
70	62, 69	decnncl 12142	. . . . . . . . 9 ⊢ ;;204 ∈ ℕ
71		8nn0 11942	. . . . . . . . 9 ⊢ 8 ∈ ℕ0
72	70, 71, 36, 44	decltdi 12161	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < ;;;2048
73	72	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 < ;;;2048)
74	61, 1	deccl 12137	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;21 ∈ ℕ0
75	74, 71	deccl 12137	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;;218 ∈ ℕ0
76	75, 33	decnncl 12142	. . . . . . . . 9 ⊢ ;;;2187 ∈ ℕ
77	76	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ;;;2187 ∈ ℕ)
78	77	nnred 11674	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ;;;2187 ∈ ℝ)
79	74, 65	decnncl 12142	. . . . . . . . 9 ⊢ ;;218 ∈ ℕ
80		7nn0 11941	. . . . . . . . 9 ⊢ 7 ∈ ℕ0
81	79, 80, 36, 44	decltdi 12161	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < ;;;2187
82	81	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 < ;;;2187)
83		8re 11755	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 8 ∈ ℝ
84	83, 1	nn0addge1i 11967	. . . . . . . . . 10 ⊢ 8 ≤ (8 + 1)
85		8p1e9 11809	. . . . . . . . . 10 ⊢ (8 + 1) = 9
86	84, 85	breqtri 5050	. . . . . . . . 9 ⊢ 8 ≤ 9
87		4lt10 12258	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 < ;10
88		0lt1 11185	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < 1
89	61, 36, 2, 88	declt 12150	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;20 < ;21
90	62, 74, 63, 71, 87, 89	decltc 12151	. . . . . . . . 9 ⊢ ;;204 < ;;218
91	64, 75, 71, 80, 86, 90	decleh 12157	. . . . . . . 8 ⊢ ;;;2048 ≤ ;;;2187
92	91	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ;;;2048 ≤ ;;;2187)
93	59, 60, 68, 73, 78, 82, 92	logblebd 39527	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 logb ;;;2048) ≤ (2 logb ;;;2187))
94	57, 93	eqbrtrd 5047	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ;11 ≤ (2 logb ;;;2187))
95	5	recnd 10692	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ;11 ∈ ℂ)
96	7	recnd 10692	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 7 ∈ ℂ)
97	95, 96, 12	divcan1d 11440	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((;11 / 7) · 7) = ;11)
98	97	eqcomd 2765	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ;11 = ((;11 / 7) · 7))
99		3exp7 39605	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3↑7) = ;;;2187
100	99	eqcomi 2768	. . . . . . . . 9 ⊢ ;;;2187 = (3↑7)
101	100	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ;;;2187 = (3↑7))
102	101	oveq2d 7159	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2 logb ;;;2187) = (2 logb (3↑7)))
103	20, 22	elrpd 12454	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℝ+)
104	34	nnzd 12110	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 7 ∈ ℤ)
105	53, 29, 103, 104	relogbzexpd 39526	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2 logb (3↑7)) = (7 · (2 logb 3)))
106	102, 105	eqtrd 2794	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 logb ;;;2187) = (7 · (2 logb 3)))
107	48	recnd 10692	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2 logb 3) ∈ ℂ)
108	96, 107	mulcomd 10685	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (7 · (2 logb 3)) = ((2 logb 3) · 7))
109	106, 108	eqtrd 2794	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (2 logb ;;;2187) = ((2 logb 3) · 7))
110	94, 98, 109	3brtr3d 5056	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((;11 / 7) · 7) ≤ ((2 logb 3) · 7))
111	13, 48, 35	lemul1d 12500	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((;11 / 7) ≤ (2 logb 3) ↔ ((;11 / 7) · 7) ≤ ((2 logb 3) · 7)))
112	110, 111	mpbird 260	. . 3 ⊢ (𝜑 → (;11 / 7) ≤ (2 logb 3))
113	59, 60, 20, 22, 18, 24, 23	logblebd 39527	. . 3 ⊢ (𝜑 → (2 logb 3) ≤ (2 logb 𝑋))
114	13, 48, 30, 112, 113	letrd 10820	. 2 ⊢ (𝜑 → (;11 / 7) ≤ (2 logb 𝑋))
115	13, 30, 32, 47, 114	leexp1ad 39523	1 ⊢ (𝜑 → ((;11 / 7)↑5) ≤ ((2 logb 𝑋)↑5))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539  ⊤wtru 1540   ∈ wcel 2112   class class class wbr 5025  (class class class)co 7143  ℝcr 10559  0cc0 10560  1c1 10561   + caddc 10563   · cmul 10565   < clt 10698   ≤ cle 10699   / cdiv 11320  ℕcn 11659  2c2 11714  3c3 11715  4c4 11716  5c5 11717  7c7 11719  8c8 11720  9c9 11721  ℕ₀cn0 11919  ℤcz 12005  ;cdc 12122  ↑cexp 13464   log_b clogb 25434

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-rep 5149  ax-sep 5162  ax-nul 5169  ax-pow 5227  ax-pr 5291  ax-un 7452  ax-inf2 9122  ax-cnex 10616  ax-resscn 10617  ax-1cn 10618  ax-icn 10619  ax-addcl 10620  ax-addrcl 10621  ax-mulcl 10622  ax-mulrcl 10623  ax-mulcom 10624  ax-addass 10625  ax-mulass 10626  ax-distr 10627  ax-i2m1 10628  ax-1ne0 10629  ax-1rid 10630  ax-rnegex 10631  ax-rrecex 10632  ax-cnre 10633  ax-pre-lttri 10634  ax-pre-lttrn 10635  ax-pre-ltadd 10636  ax-pre-mulgt0 10637  ax-pre-sup 10638  ax-addf 10639  ax-mulf 10640

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2899  df-ne 2950  df-nel 3054  df-ral 3073  df-rex 3074  df-reu 3075  df-rmo 3076  df-rab 3077  df-v 3409  df-sbc 3694  df-csb 3802  df-dif 3857  df-un 3859  df-in 3861  df-ss 3871  df-pss 3873  df-nul 4222  df-if 4414  df-pw 4489  df-sn 4516  df-pr 4518  df-tp 4520  df-op 4522  df-uni 4792  df-int 4832  df-iun 4878  df-iin 4879  df-br 5026  df-opab 5088  df-mpt 5106  df-tr 5132  df-id 5423  df-eprel 5428  df-po 5436  df-so 5437  df-fr 5476  df-se 5477  df-we 5478  df-xp 5523  df-rel 5524  df-cnv 5525  df-co 5526  df-dm 5527  df-rn 5528  df-res 5529  df-ima 5530  df-pred 6119  df-ord 6165  df-on 6166  df-lim 6167  df-suc 6168  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7101  df-ov 7146  df-oprab 7147  df-mpo 7148  df-of 7398  df-om 7573  df-1st 7686  df-2nd 7687  df-supp 7829  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-1o 8105  df-2o 8106  df-oadd 8109  df-er 8292  df-map 8411  df-pm 8412  df-ixp 8473  df-en 8521  df-dom 8522  df-sdom 8523  df-fin 8524  df-fsupp 8852  df-fi 8893  df-sup 8924  df-inf 8925  df-oi 8992  df-card 9386  df-pnf 10700  df-mnf 10701  df-xr 10702  df-ltxr 10703  df-le 10704  df-sub 10895  df-neg 10896  df-div 11321  df-nn 11660  df-2 11722  df-3 11723  df-4 11724  df-5 11725  df-6 11726  df-7 11727  df-8 11728  df-9 11729  df-n0 11920  df-z 12006  df-dec 12123  df-uz 12268  df-q 12374  df-rp 12416  df-xneg 12533  df-xadd 12534  df-xmul 12535  df-ioo 12768  df-ioc 12769  df-ico 12770  df-icc 12771  df-fz 12925  df-fzo 13068  df-fl 13196  df-mod 13272  df-seq 13404  df-exp 13465  df-fac 13669  df-bc 13698  df-hash 13726  df-shft 14459  df-cj 14491  df-re 14492  df-im 14493  df-sqrt 14627  df-abs 14628  df-limsup 14861  df-clim 14878  df-rlim 14879  df-sum 15076  df-ef 15454  df-sin 15456  df-cos 15457  df-pi 15459  df-struct 16528  df-ndx 16529  df-slot 16530  df-base 16532  df-sets 16533  df-ress 16534  df-plusg 16621  df-mulr 16622  df-starv 16623  df-sca 16624  df-vsca 16625  df-ip 16626  df-tset 16627  df-ple 16628  df-ds 16630  df-unif 16631  df-hom 16632  df-cco 16633  df-rest 16739  df-topn 16740  df-0g 16758  df-gsum 16759  df-topgen 16760  df-pt 16761  df-prds 16764  df-xrs 16818  df-qtop 16823  df-imas 16824  df-xps 16826  df-mre 16900  df-mrc 16901  df-acs 16903  df-mgm 17903  df-sgrp 17952  df-mnd 17963  df-submnd 18008  df-mulg 18277  df-cntz 18499  df-cmn 18960  df-psmet 20143  df-xmet 20144  df-met 20145  df-bl 20146  df-mopn 20147  df-fbas 20148  df-fg 20149  df-cnfld 20152  df-top 21579  df-topon 21596  df-topsp 21618  df-bases 21631  df-cld 21704  df-ntr 21705  df-cls 21706  df-nei 21783  df-lp 21821  df-perf 21822  df-cn 21912  df-cnp 21913  df-haus 22000  df-tx 22247  df-hmeo 22440  df-fil 22531  df-fm 22623  df-flim 22624  df-flf 22625  df-xms 23007  df-ms 23008  df-tms 23009  df-cncf 23564  df-limc 24550  df-dv 24551  df-log 25232  df-cxp 25233  df-logb 25435

This theorem is referenced by:  3lexlogpow5ineq4  39608