Theorem 3lexlogpow5ineq2 41228

Description: Second inequality in inequality chain, proposed by Mario Carneiro. (Contributed by metakunt, 22-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
3lexlogpow5ineq2.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
3lexlogpow5ineq2.2	⊢ (𝜑 → 3 ≤ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
3lexlogpow5ineq2	⊢ (𝜑 → ((;11 / 7)↑5) ≤ ((2 logb 𝑋)↑5))

Proof of Theorem 3lexlogpow5ineq2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 12494	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
2		1nn 12229	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
3	1, 2	decnncl 12703	. . . . 5 ⊢ ;11 ∈ ℕ
4	3	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ;11 ∈ ℕ)
5	4	nnred 12233	. . 3 ⊢ (𝜑 → ;11 ∈ ℝ)
6		7re 12311	. . . 4 ⊢ 7 ∈ ℝ
7	6	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 7 ∈ ℝ)
8		0red 11223	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
9		7pos 12329	. . . . . 6 ⊢ 0 < 7
10	9	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 < 7)
11	8, 10	ltned 11356	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ≠ 7)
12	11	necomd 2994	. . 3 ⊢ (𝜑 → 7 ≠ 0)
13	5, 7, 12	redivcld 12048	. 2 ⊢ (𝜑 → (;11 / 7) ∈ ℝ)
14		2re 12292	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℝ
15	14	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
16		2pos 12321	. . . 4 ⊢ 0 < 2
17	16	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 < 2)
18		3lexlogpow5ineq2.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
19		3re 12298	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℝ
20	19	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℝ)
21		3pos 12323	. . . . 5 ⊢ 0 < 3
22	21	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 < 3)
23		3lexlogpow5ineq2.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 3 ≤ 𝑋)
24	8, 20, 18, 22, 23	ltletrd 11380	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑋)
25		1red 11221	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
26		1lt2 12389	. . . . . 6 ⊢ 1 < 2
27	26	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 < 2)
28	25, 27	ltned 11356	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ≠ 2)
29	28	necomd 2994	. . 3 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 1)
30	15, 17, 18, 24, 29	relogbcld 41146	. 2 ⊢ (𝜑 → (2 logb 𝑋) ∈ ℝ)
31		5nn0 12498	. . 3 ⊢ 5 ∈ ℕ0
32	31	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 5 ∈ ℕ0)
33		7nn 12310	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℕ
34	33	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 7 ∈ ℕ)
35	34	nnrpd 13020	. . 3 ⊢ (𝜑 → 7 ∈ ℝ+)
36		0nn0 12493	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
37		tru 1543	. . . . . 6 ⊢ ⊤
38		0red 11223	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 0 ∈ ℝ)
39		9re 12317	. . . . . . . 8 ⊢ 9 ∈ ℝ
40	39	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 9 ∈ ℝ)
41		9pos 12331	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 9
42	41	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 0 < 9)
43	38, 40, 42	ltled 11368	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 0 ≤ 9)
44	37, 43	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 9
45	2, 1, 36, 44	declei 12719	. . . 4 ⊢ 0 ≤ ;11
46	45	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ;11)
47	5, 35, 46	divge0d 13062	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (;11 / 7))
48	15, 17, 20, 22, 29	relogbcld 41146	. . 3 ⊢ (𝜑 → (2 logb 3) ∈ ℝ)
49		2exp11 17029	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2↑;11) = ;;;2048
50	49	eqcomi 2739	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;;;2048 = (2↑;11)
51	50	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ;;;2048 = (2↑;11))
52	51	oveq2d 7429	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (2 logb ;;;2048) = (2 logb (2↑;11)))
53	15, 17	elrpd 13019	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ+)
54	4	nnzd 12591	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ;11 ∈ ℤ)
55	53, 29, 54	relogbexpd 41147	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (2 logb (2↑;11)) = ;11)
56	52, 55	eqtrd 2770	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2 logb ;;;2048) = ;11)
57	56	eqcomd 2736	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ;11 = (2 logb ;;;2048))
58		2z 12600	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℤ
59	58	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
60	15	leidd 11786	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 2 ≤ 2)
61		2nn0 12495	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℕ0
62	61, 36	deccl 12698	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;20 ∈ ℕ0
63		4nn0 12497	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 4 ∈ ℕ0
64	62, 63	deccl 12698	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;;204 ∈ ℕ0
65		8nn 12313	. . . . . . . . . 10 ⊢ 8 ∈ ℕ
66	64, 65	decnncl 12703	. . . . . . . . 9 ⊢ ;;;2048 ∈ ℕ
67	66	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ;;;2048 ∈ ℕ)
68	67	nnred 12233	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ;;;2048 ∈ ℝ)
69		4nn 12301	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℕ
70	62, 69	decnncl 12703	. . . . . . . . 9 ⊢ ;;204 ∈ ℕ
71		8nn0 12501	. . . . . . . . 9 ⊢ 8 ∈ ℕ0
72	70, 71, 36, 44	decltdi 12722	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < ;;;2048
73	72	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 < ;;;2048)
74	61, 1	deccl 12698	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;21 ∈ ℕ0
75	74, 71	deccl 12698	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;;218 ∈ ℕ0
76	75, 33	decnncl 12703	. . . . . . . . 9 ⊢ ;;;2187 ∈ ℕ
77	76	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ;;;2187 ∈ ℕ)
78	77	nnred 12233	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ;;;2187 ∈ ℝ)
79	74, 65	decnncl 12703	. . . . . . . . 9 ⊢ ;;218 ∈ ℕ
80		7nn0 12500	. . . . . . . . 9 ⊢ 7 ∈ ℕ0
81	79, 80, 36, 44	decltdi 12722	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < ;;;2187
82	81	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 < ;;;2187)
83		8re 12314	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 8 ∈ ℝ
84	83, 1	nn0addge1i 12526	. . . . . . . . . 10 ⊢ 8 ≤ (8 + 1)
85		8p1e9 12368	. . . . . . . . . 10 ⊢ (8 + 1) = 9
86	84, 85	breqtri 5174	. . . . . . . . 9 ⊢ 8 ≤ 9
87		4lt10 12819	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 < ;10
88		0lt1 11742	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < 1
89	61, 36, 2, 88	declt 12711	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;20 < ;21
90	62, 74, 63, 71, 87, 89	decltc 12712	. . . . . . . . 9 ⊢ ;;204 < ;;218
91	64, 75, 71, 80, 86, 90	decleh 12718	. . . . . . . 8 ⊢ ;;;2048 ≤ ;;;2187
92	91	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ;;;2048 ≤ ;;;2187)
93	59, 60, 68, 73, 78, 82, 92	logblebd 41149	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 logb ;;;2048) ≤ (2 logb ;;;2187))
94	57, 93	eqbrtrd 5171	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ;11 ≤ (2 logb ;;;2187))
95	5	recnd 11248	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ;11 ∈ ℂ)
96	7	recnd 11248	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 7 ∈ ℂ)
97	95, 96, 12	divcan1d 11997	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((;11 / 7) · 7) = ;11)
98	97	eqcomd 2736	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ;11 = ((;11 / 7) · 7))
99		3exp7 41226	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3↑7) = ;;;2187
100	99	eqcomi 2739	. . . . . . . . 9 ⊢ ;;;2187 = (3↑7)
101	100	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ;;;2187 = (3↑7))
102	101	oveq2d 7429	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2 logb ;;;2187) = (2 logb (3↑7)))
103	20, 22	elrpd 13019	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℝ+)
104	34	nnzd 12591	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 7 ∈ ℤ)
105	53, 29, 103, 104	relogbzexpd 41148	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2 logb (3↑7)) = (7 · (2 logb 3)))
106	102, 105	eqtrd 2770	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 logb ;;;2187) = (7 · (2 logb 3)))
107	48	recnd 11248	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2 logb 3) ∈ ℂ)
108	96, 107	mulcomd 11241	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (7 · (2 logb 3)) = ((2 logb 3) · 7))
109	106, 108	eqtrd 2770	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (2 logb ;;;2187) = ((2 logb 3) · 7))
110	94, 98, 109	3brtr3d 5180	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((;11 / 7) · 7) ≤ ((2 logb 3) · 7))
111	13, 48, 35	lemul1d 13065	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((;11 / 7) ≤ (2 logb 3) ↔ ((;11 / 7) · 7) ≤ ((2 logb 3) · 7)))
112	110, 111	mpbird 256	. . 3 ⊢ (𝜑 → (;11 / 7) ≤ (2 logb 3))
113	59, 60, 20, 22, 18, 24, 23	logblebd 41149	. . 3 ⊢ (𝜑 → (2 logb 3) ≤ (2 logb 𝑋))
114	13, 48, 30, 112, 113	letrd 11377	. 2 ⊢ (𝜑 → (;11 / 7) ≤ (2 logb 𝑋))
115	13, 30, 32, 47, 114	leexp1ad 41145	1 ⊢ (𝜑 → ((;11 / 7)↑5) ≤ ((2 logb 𝑋)↑5))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539  ⊤wtru 1540   ∈ wcel 2104   class class class wbr 5149  (class class class)co 7413  ℝcr 11113  0cc0 11114  1c1 11115   + caddc 11117   · cmul 11119   < clt 11254   ≤ cle 11255   / cdiv 11877  ℕcn 12218  2c2 12273  3c3 12274  4c4 12275  5c5 12276  7c7 12278  8c8 12279  9c9 12280  ℕ₀cn0 12478  ℤcz 12564  ;cdc 12683  ↑cexp 14033   log_b clogb 26503

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7729  ax-inf2 9640  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-pre-sup 11192  ax-addf 11193  ax-mulf 11194

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7674  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-supp 8151  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-2o 8471  df-er 8707  df-map 8826  df-pm 8827  df-ixp 8896  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-fsupp 9366  df-fi 9410  df-sup 9441  df-inf 9442  df-oi 9509  df-card 9938  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11452  df-neg 11453  df-div 11878  df-nn 12219  df-2 12281  df-3 12282  df-4 12283  df-5 12284  df-6 12285  df-7 12286  df-8 12287  df-9 12288  df-n0 12479  df-z 12565  df-dec 12684  df-uz 12829  df-q 12939  df-rp 12981  df-xneg 13098  df-xadd 13099  df-xmul 13100  df-ioo 13334  df-ioc 13335  df-ico 13336  df-icc 13337  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-fl 13763  df-mod 13841  df-seq 13973  df-exp 14034  df-fac 14240  df-bc 14269  df-hash 14297  df-shft 15020  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-limsup 15421  df-clim 15438  df-rlim 15439  df-sum 15639  df-ef 16017  df-sin 16019  df-cos 16020  df-pi 16022  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-ress 17180  df-plusg 17216  df-mulr 17217  df-starv 17218  df-sca 17219  df-vsca 17220  df-ip 17221  df-tset 17222  df-ple 17223  df-ds 17225  df-unif 17226  df-hom 17227  df-cco 17228  df-rest 17374  df-topn 17375  df-0g 17393  df-gsum 17394  df-topgen 17395  df-pt 17396  df-prds 17399  df-xrs 17454  df-qtop 17459  df-imas 17460  df-xps 17462  df-mre 17536  df-mrc 17537  df-acs 17539  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-submnd 18708  df-mulg 18989  df-cntz 19224  df-cmn 19693  df-psmet 21138  df-xmet 21139  df-met 21140  df-bl 21141  df-mopn 21142  df-fbas 21143  df-fg 21144  df-cnfld 21147  df-top 22618  df-topon 22635  df-topsp 22657  df-bases 22671  df-cld 22745  df-ntr 22746  df-cls 22747  df-nei 22824  df-lp 22862  df-perf 22863  df-cn 22953  df-cnp 22954  df-haus 23041  df-tx 23288  df-hmeo 23481  df-fil 23572  df-fm 23664  df-flim 23665  df-flf 23666  df-xms 24048  df-ms 24049  df-tms 24050  df-cncf 24620  df-limc 25617  df-dv 25618  df-log 26299  df-cxp 26300  df-logb 26504

This theorem is referenced by:  3lexlogpow5ineq4  41229