Theorem 3lexlogpow5ineq2 40063

Description: Second inequality in inequality chain, proposed by Mario Carneiro. (Contributed by metakunt, 22-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
3lexlogpow5ineq2.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
3lexlogpow5ineq2.2	⊢ (𝜑 → 3 ≤ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
3lexlogpow5ineq2	⊢ (𝜑 → ((;11 / 7)↑5) ≤ ((2 logb 𝑋)↑5))

Proof of Theorem 3lexlogpow5ineq2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 12249	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
2		1nn 11984	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
3	1, 2	decnncl 12457	. . . . 5 ⊢ ;11 ∈ ℕ
4	3	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ;11 ∈ ℕ)
5	4	nnred 11988	. . 3 ⊢ (𝜑 → ;11 ∈ ℝ)
6		7re 12066	. . . 4 ⊢ 7 ∈ ℝ
7	6	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 7 ∈ ℝ)
8		0red 10978	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
9		7pos 12084	. . . . . 6 ⊢ 0 < 7
10	9	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 < 7)
11	8, 10	ltned 11111	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ≠ 7)
12	11	necomd 2999	. . 3 ⊢ (𝜑 → 7 ≠ 0)
13	5, 7, 12	redivcld 11803	. 2 ⊢ (𝜑 → (;11 / 7) ∈ ℝ)
14		2re 12047	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℝ
15	14	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
16		2pos 12076	. . . 4 ⊢ 0 < 2
17	16	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 < 2)
18		3lexlogpow5ineq2.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
19		3re 12053	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℝ
20	19	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℝ)
21		3pos 12078	. . . . 5 ⊢ 0 < 3
22	21	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 < 3)
23		3lexlogpow5ineq2.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 3 ≤ 𝑋)
24	8, 20, 18, 22, 23	ltletrd 11135	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑋)
25		1red 10976	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
26		1lt2 12144	. . . . . 6 ⊢ 1 < 2
27	26	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 < 2)
28	25, 27	ltned 11111	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ≠ 2)
29	28	necomd 2999	. . 3 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 1)
30	15, 17, 18, 24, 29	relogbcld 39981	. 2 ⊢ (𝜑 → (2 logb 𝑋) ∈ ℝ)
31		5nn0 12253	. . 3 ⊢ 5 ∈ ℕ0
32	31	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 5 ∈ ℕ0)
33		7nn 12065	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℕ
34	33	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 7 ∈ ℕ)
35	34	nnrpd 12770	. . 3 ⊢ (𝜑 → 7 ∈ ℝ+)
36		0nn0 12248	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
37		tru 1543	. . . . . 6 ⊢ ⊤
38		0red 10978	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 0 ∈ ℝ)
39		9re 12072	. . . . . . . 8 ⊢ 9 ∈ ℝ
40	39	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 9 ∈ ℝ)
41		9pos 12086	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 9
42	41	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 0 < 9)
43	38, 40, 42	ltled 11123	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 0 ≤ 9)
44	37, 43	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 9
45	2, 1, 36, 44	declei 12473	. . . 4 ⊢ 0 ≤ ;11
46	45	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ;11)
47	5, 35, 46	divge0d 12812	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (;11 / 7))
48	15, 17, 20, 22, 29	relogbcld 39981	. . 3 ⊢ (𝜑 → (2 logb 3) ∈ ℝ)
49		2exp11 16791	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2↑;11) = ;;;2048
50	49	eqcomi 2747	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;;;2048 = (2↑;11)
51	50	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ;;;2048 = (2↑;11))
52	51	oveq2d 7291	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (2 logb ;;;2048) = (2 logb (2↑;11)))
53	15, 17	elrpd 12769	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ+)
54	4	nnzd 12425	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ;11 ∈ ℤ)
55	53, 29, 54	relogbexpd 39982	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (2 logb (2↑;11)) = ;11)
56	52, 55	eqtrd 2778	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2 logb ;;;2048) = ;11)
57	56	eqcomd 2744	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ;11 = (2 logb ;;;2048))
58		2z 12352	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℤ
59	58	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
60	15	leidd 11541	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 2 ≤ 2)
61		2nn0 12250	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℕ0
62	61, 36	deccl 12452	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;20 ∈ ℕ0
63		4nn0 12252	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 4 ∈ ℕ0
64	62, 63	deccl 12452	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;;204 ∈ ℕ0
65		8nn 12068	. . . . . . . . . 10 ⊢ 8 ∈ ℕ
66	64, 65	decnncl 12457	. . . . . . . . 9 ⊢ ;;;2048 ∈ ℕ
67	66	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ;;;2048 ∈ ℕ)
68	67	nnred 11988	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ;;;2048 ∈ ℝ)
69		4nn 12056	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℕ
70	62, 69	decnncl 12457	. . . . . . . . 9 ⊢ ;;204 ∈ ℕ
71		8nn0 12256	. . . . . . . . 9 ⊢ 8 ∈ ℕ0
72	70, 71, 36, 44	decltdi 12476	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < ;;;2048
73	72	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 < ;;;2048)
74	61, 1	deccl 12452	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;21 ∈ ℕ0
75	74, 71	deccl 12452	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;;218 ∈ ℕ0
76	75, 33	decnncl 12457	. . . . . . . . 9 ⊢ ;;;2187 ∈ ℕ
77	76	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ;;;2187 ∈ ℕ)
78	77	nnred 11988	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ;;;2187 ∈ ℝ)
79	74, 65	decnncl 12457	. . . . . . . . 9 ⊢ ;;218 ∈ ℕ
80		7nn0 12255	. . . . . . . . 9 ⊢ 7 ∈ ℕ0
81	79, 80, 36, 44	decltdi 12476	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < ;;;2187
82	81	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 < ;;;2187)
83		8re 12069	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 8 ∈ ℝ
84	83, 1	nn0addge1i 12281	. . . . . . . . . 10 ⊢ 8 ≤ (8 + 1)
85		8p1e9 12123	. . . . . . . . . 10 ⊢ (8 + 1) = 9
86	84, 85	breqtri 5099	. . . . . . . . 9 ⊢ 8 ≤ 9
87		4lt10 12573	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 < ;10
88		0lt1 11497	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < 1
89	61, 36, 2, 88	declt 12465	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;20 < ;21
90	62, 74, 63, 71, 87, 89	decltc 12466	. . . . . . . . 9 ⊢ ;;204 < ;;218
91	64, 75, 71, 80, 86, 90	decleh 12472	. . . . . . . 8 ⊢ ;;;2048 ≤ ;;;2187
92	91	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ;;;2048 ≤ ;;;2187)
93	59, 60, 68, 73, 78, 82, 92	logblebd 39984	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 logb ;;;2048) ≤ (2 logb ;;;2187))
94	57, 93	eqbrtrd 5096	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ;11 ≤ (2 logb ;;;2187))
95	5	recnd 11003	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ;11 ∈ ℂ)
96	7	recnd 11003	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 7 ∈ ℂ)
97	95, 96, 12	divcan1d 11752	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((;11 / 7) · 7) = ;11)
98	97	eqcomd 2744	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ;11 = ((;11 / 7) · 7))
99		3exp7 40061	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3↑7) = ;;;2187
100	99	eqcomi 2747	. . . . . . . . 9 ⊢ ;;;2187 = (3↑7)
101	100	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ;;;2187 = (3↑7))
102	101	oveq2d 7291	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2 logb ;;;2187) = (2 logb (3↑7)))
103	20, 22	elrpd 12769	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℝ+)
104	34	nnzd 12425	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 7 ∈ ℤ)
105	53, 29, 103, 104	relogbzexpd 39983	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2 logb (3↑7)) = (7 · (2 logb 3)))
106	102, 105	eqtrd 2778	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 logb ;;;2187) = (7 · (2 logb 3)))
107	48	recnd 11003	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2 logb 3) ∈ ℂ)
108	96, 107	mulcomd 10996	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (7 · (2 logb 3)) = ((2 logb 3) · 7))
109	106, 108	eqtrd 2778	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (2 logb ;;;2187) = ((2 logb 3) · 7))
110	94, 98, 109	3brtr3d 5105	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((;11 / 7) · 7) ≤ ((2 logb 3) · 7))
111	13, 48, 35	lemul1d 12815	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((;11 / 7) ≤ (2 logb 3) ↔ ((;11 / 7) · 7) ≤ ((2 logb 3) · 7)))
112	110, 111	mpbird 256	. . 3 ⊢ (𝜑 → (;11 / 7) ≤ (2 logb 3))
113	59, 60, 20, 22, 18, 24, 23	logblebd 39984	. . 3 ⊢ (𝜑 → (2 logb 3) ≤ (2 logb 𝑋))
114	13, 48, 30, 112, 113	letrd 11132	. 2 ⊢ (𝜑 → (;11 / 7) ≤ (2 logb 𝑋))
115	13, 30, 32, 47, 114	leexp1ad 39980	1 ⊢ (𝜑 → ((;11 / 7)↑5) ≤ ((2 logb 𝑋)↑5))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539  ⊤wtru 1540   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5074  (class class class)co 7275  ℝcr 10870  0cc0 10871  1c1 10872   + caddc 10874   · cmul 10876   < clt 11009   ≤ cle 11010   / cdiv 11632  ℕcn 11973  2c2 12028  3c3 12029  4c4 12030  5c5 12031  7c7 12033  8c8 12034  9c9 12035  ℕ₀cn0 12233  ℤcz 12319  ;cdc 12437  ↑cexp 13782   log_b clogb 25914

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949  ax-addf 10950  ax-mulf 10951

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-of 7533  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-supp 7978  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-2o 8298  df-er 8498  df-map 8617  df-pm 8618  df-ixp 8686  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-fsupp 9129  df-fi 9170  df-sup 9201  df-inf 9202  df-oi 9269  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-q 12689  df-rp 12731  df-xneg 12848  df-xadd 12849  df-xmul 12850  df-ioo 13083  df-ioc 13084  df-ico 13085  df-icc 13086  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-fl 13512  df-mod 13590  df-seq 13722  df-exp 13783  df-fac 13988  df-bc 14017  df-hash 14045  df-shft 14778  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-limsup 15180  df-clim 15197  df-rlim 15198  df-sum 15398  df-ef 15777  df-sin 15779  df-cos 15780  df-pi 15782  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-starv 16977  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-ip 16980  df-tset 16981  df-ple 16982  df-ds 16984  df-unif 16985  df-hom 16986  df-cco 16987  df-rest 17133  df-topn 17134  df-0g 17152  df-gsum 17153  df-topgen 17154  df-pt 17155  df-prds 17158  df-xrs 17213  df-qtop 17218  df-imas 17219  df-xps 17221  df-mre 17295  df-mrc 17296  df-acs 17298  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-submnd 18431  df-mulg 18701  df-cntz 18923  df-cmn 19388  df-psmet 20589  df-xmet 20590  df-met 20591  df-bl 20592  df-mopn 20593  df-fbas 20594  df-fg 20595  df-cnfld 20598  df-top 22043  df-topon 22060  df-topsp 22082  df-bases 22096  df-cld 22170  df-ntr 22171  df-cls 22172  df-nei 22249  df-lp 22287  df-perf 22288  df-cn 22378  df-cnp 22379  df-haus 22466  df-tx 22713  df-hmeo 22906  df-fil 22997  df-fm 23089  df-flim 23090  df-flf 23091  df-xms 23473  df-ms 23474  df-tms 23475  df-cncf 24041  df-limc 25030  df-dv 25031  df-log 25712  df-cxp 25713  df-logb 25915

This theorem is referenced by:  3lexlogpow5ineq4  40064