Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  3lexlogpow5ineq2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 3lexlogpow5ineq2 42056
Description: Second inequality in inequality chain, proposed by Mario Carneiro. (Contributed by metakunt, 22-May-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
3lexlogpow5ineq2.1 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
3lexlogpow5ineq2.2 (𝜑 → 3 ≤ 𝑋)
Assertion
Ref Expression
3lexlogpow5ineq2 (𝜑 → ((11 / 7)↑5) ≤ ((2 logb 𝑋)↑5))

Proof of Theorem 3lexlogpow5ineq2
StepHypRef Expression
1 1nn0 12542 . . . . . 6 1 ∈ ℕ0
2 1nn 12277 . . . . . 6 1 ∈ ℕ
31, 2decnncl 12753 . . . . 5 11 ∈ ℕ
43a1i 11 . . . 4 (𝜑11 ∈ ℕ)
54nnred 12281 . . 3 (𝜑11 ∈ ℝ)
6 7re 12359 . . . 4 7 ∈ ℝ
76a1i 11 . . 3 (𝜑 → 7 ∈ ℝ)
8 0red 11264 . . . . 5 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
9 7pos 12377 . . . . . 6 0 < 7
109a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → 0 < 7)
118, 10ltned 11397 . . . 4 (𝜑 → 0 ≠ 7)
1211necomd 2996 . . 3 (𝜑 → 7 ≠ 0)
135, 7, 12redivcld 12095 . 2 (𝜑 → (11 / 7) ∈ ℝ)
14 2re 12340 . . . 4 2 ∈ ℝ
1514a1i 11 . . 3 (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
16 2pos 12369 . . . 4 0 < 2
1716a1i 11 . . 3 (𝜑 → 0 < 2)
18 3lexlogpow5ineq2.1 . . 3 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
19 3re 12346 . . . . 5 3 ∈ ℝ
2019a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 3 ∈ ℝ)
21 3pos 12371 . . . . 5 0 < 3
2221a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 0 < 3)
23 3lexlogpow5ineq2.2 . . . 4 (𝜑 → 3 ≤ 𝑋)
248, 20, 18, 22, 23ltletrd 11421 . . 3 (𝜑 → 0 < 𝑋)
25 1red 11262 . . . . 5 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
26 1lt2 12437 . . . . . 6 1 < 2
2726a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → 1 < 2)
2825, 27ltned 11397 . . . 4 (𝜑 → 1 ≠ 2)
2928necomd 2996 . . 3 (𝜑 → 2 ≠ 1)
3015, 17, 18, 24, 29relogbcld 41974 . 2 (𝜑 → (2 logb 𝑋) ∈ ℝ)
31 5nn0 12546 . . 3 5 ∈ ℕ0
3231a1i 11 . 2 (𝜑 → 5 ∈ ℕ0)
33 7nn 12358 . . . . 5 7 ∈ ℕ
3433a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 7 ∈ ℕ)
3534nnrpd 13075 . . 3 (𝜑 → 7 ∈ ℝ+)
36 0nn0 12541 . . . . 5 0 ∈ ℕ0
37 tru 1544 . . . . . 6
38 0red 11264 . . . . . . 7 (⊤ → 0 ∈ ℝ)
39 9re 12365 . . . . . . . 8 9 ∈ ℝ
4039a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → 9 ∈ ℝ)
41 9pos 12379 . . . . . . . 8 0 < 9
4241a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → 0 < 9)
4338, 40, 42ltled 11409 . . . . . 6 (⊤ → 0 ≤ 9)
4437, 43ax-mp 5 . . . . 5 0 ≤ 9
452, 1, 36, 44declei 12769 . . . 4 0 ≤ 11
4645a1i 11 . . 3 (𝜑 → 0 ≤ 11)
475, 35, 46divge0d 13117 . 2 (𝜑 → 0 ≤ (11 / 7))
4815, 17, 20, 22, 29relogbcld 41974 . . 3 (𝜑 → (2 logb 3) ∈ ℝ)
49 2exp11 17127 . . . . . . . . . . 11 (2↑11) = 2048
5049eqcomi 2746 . . . . . . . . . 10 2048 = (2↑11)
5150a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑2048 = (2↑11))
5251oveq2d 7447 . . . . . . . 8 (𝜑 → (2 logb 2048) = (2 logb (2↑11)))
5315, 17elrpd 13074 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 2 ∈ ℝ+)
544nnzd 12640 . . . . . . . . 9 (𝜑11 ∈ ℤ)
5553, 29, 54relogbexpd 41975 . . . . . . . 8 (𝜑 → (2 logb (2↑11)) = 11)
5652, 55eqtrd 2777 . . . . . . 7 (𝜑 → (2 logb 2048) = 11)
5756eqcomd 2743 . . . . . 6 (𝜑11 = (2 logb 2048))
58 2z 12649 . . . . . . . 8 2 ∈ ℤ
5958a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
6015leidd 11829 . . . . . . 7 (𝜑 → 2 ≤ 2)
61 2nn0 12543 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℕ0
6261, 36deccl 12748 . . . . . . . . . . 11 20 ∈ ℕ0
63 4nn0 12545 . . . . . . . . . . 11 4 ∈ ℕ0
6462, 63deccl 12748 . . . . . . . . . 10 204 ∈ ℕ0
65 8nn 12361 . . . . . . . . . 10 8 ∈ ℕ
6664, 65decnncl 12753 . . . . . . . . 9 2048 ∈ ℕ
6766a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑2048 ∈ ℕ)
6867nnred 12281 . . . . . . 7 (𝜑2048 ∈ ℝ)
69 4nn 12349 . . . . . . . . . 10 4 ∈ ℕ
7062, 69decnncl 12753 . . . . . . . . 9 204 ∈ ℕ
71 8nn0 12549 . . . . . . . . 9 8 ∈ ℕ0
7270, 71, 36, 44decltdi 12772 . . . . . . . 8 0 < 2048
7372a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 < 2048)
7461, 1deccl 12748 . . . . . . . . . . 11 21 ∈ ℕ0
7574, 71deccl 12748 . . . . . . . . . 10 218 ∈ ℕ0
7675, 33decnncl 12753 . . . . . . . . 9 2187 ∈ ℕ
7776a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑2187 ∈ ℕ)
7877nnred 12281 . . . . . . 7 (𝜑2187 ∈ ℝ)
7974, 65decnncl 12753 . . . . . . . . 9 218 ∈ ℕ
80 7nn0 12548 . . . . . . . . 9 7 ∈ ℕ0
8179, 80, 36, 44decltdi 12772 . . . . . . . 8 0 < 2187
8281a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 < 2187)
83 8re 12362 . . . . . . . . . . 11 8 ∈ ℝ
8483, 1nn0addge1i 12574 . . . . . . . . . 10 8 ≤ (8 + 1)
85 8p1e9 12416 . . . . . . . . . 10 (8 + 1) = 9
8684, 85breqtri 5168 . . . . . . . . 9 8 ≤ 9
87 4lt10 12869 . . . . . . . . . 10 4 < 10
88 0lt1 11785 . . . . . . . . . . 11 0 < 1
8961, 36, 2, 88declt 12761 . . . . . . . . . 10 20 < 21
9062, 74, 63, 71, 87, 89decltc 12762 . . . . . . . . 9 204 < 218
9164, 75, 71, 80, 86, 90decleh 12768 . . . . . . . 8 2048 ≤ 2187
9291a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑2048 ≤ 2187)
9359, 60, 68, 73, 78, 82, 92logblebd 41977 . . . . . 6 (𝜑 → (2 logb 2048) ≤ (2 logb 2187))
9457, 93eqbrtrd 5165 . . . . 5 (𝜑11 ≤ (2 logb 2187))
955recnd 11289 . . . . . . 7 (𝜑11 ∈ ℂ)
967recnd 11289 . . . . . . 7 (𝜑 → 7 ∈ ℂ)
9795, 96, 12divcan1d 12044 . . . . . 6 (𝜑 → ((11 / 7) · 7) = 11)
9897eqcomd 2743 . . . . 5 (𝜑11 = ((11 / 7) · 7))
99 3exp7 42054 . . . . . . . . . 10 (3↑7) = 2187
10099eqcomi 2746 . . . . . . . . 9 2187 = (3↑7)
101100a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑2187 = (3↑7))
102101oveq2d 7447 . . . . . . 7 (𝜑 → (2 logb 2187) = (2 logb (3↑7)))
10320, 22elrpd 13074 . . . . . . . 8 (𝜑 → 3 ∈ ℝ+)
10434nnzd 12640 . . . . . . . 8 (𝜑 → 7 ∈ ℤ)
10553, 29, 103, 104relogbzexpd 41976 . . . . . . 7 (𝜑 → (2 logb (3↑7)) = (7 · (2 logb 3)))
106102, 105eqtrd 2777 . . . . . 6 (𝜑 → (2 logb 2187) = (7 · (2 logb 3)))
10748recnd 11289 . . . . . . 7 (𝜑 → (2 logb 3) ∈ ℂ)
10896, 107mulcomd 11282 . . . . . 6 (𝜑 → (7 · (2 logb 3)) = ((2 logb 3) · 7))
109106, 108eqtrd 2777 . . . . 5 (𝜑 → (2 logb 2187) = ((2 logb 3) · 7))
11094, 98, 1093brtr3d 5174 . . . 4 (𝜑 → ((11 / 7) · 7) ≤ ((2 logb 3) · 7))
11113, 48, 35lemul1d 13120 . . . 4 (𝜑 → ((11 / 7) ≤ (2 logb 3) ↔ ((11 / 7) · 7) ≤ ((2 logb 3) · 7)))
112110, 111mpbird 257 . . 3 (𝜑 → (11 / 7) ≤ (2 logb 3))
11359, 60, 20, 22, 18, 24, 23logblebd 41977 . . 3 (𝜑 → (2 logb 3) ≤ (2 logb 𝑋))
11413, 48, 30, 112, 113letrd 11418 . 2 (𝜑 → (11 / 7) ≤ (2 logb 𝑋))
11513, 30, 32, 47, 114leexp1ad 41973 1 (𝜑 → ((11 / 7)↑5) ≤ ((2 logb 𝑋)↑5))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1540  wtru 1541  wcel 2108   class class class wbr 5143  (class class class)co 7431  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160   < clt 11295  cle 11296   / cdiv 11920  cn 12266  2c2 12321  3c3 12322  4c4 12323  5c5 12324  7c7 12326  8c8 12327  9c9 12328  0cn0 12526  cz 12613  cdc 12733  cexp 14102   logb clogb 26807
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-ioc 13392  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-fac 14313  df-bc 14342  df-hash 14370  df-shft 15106  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-limsup 15507  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723  df-ef 16103  df-sin 16105  df-cos 16106  df-pi 16108  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-mulg 19086  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-fbas 21361  df-fg 21362  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cld 23027  df-ntr 23028  df-cls 23029  df-nei 23106  df-lp 23144  df-perf 23145  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-haus 23323  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-fil 23854  df-fm 23946  df-flim 23947  df-flf 23948  df-xms 24330  df-ms 24331  df-tms 24332  df-cncf 24904  df-limc 25901  df-dv 25902  df-log 26598  df-cxp 26599  df-logb 26808
This theorem is referenced by:  3lexlogpow5ineq4  42057
  Copyright terms: Public domain W3C validator