Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  3lexlogpow5ineq2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 3lexlogpow5ineq2 42037
Description: Second inequality in inequality chain, proposed by Mario Carneiro. (Contributed by metakunt, 22-May-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
3lexlogpow5ineq2.1 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
3lexlogpow5ineq2.2 (𝜑 → 3 ≤ 𝑋)
Assertion
Ref Expression
3lexlogpow5ineq2 (𝜑 → ((11 / 7)↑5) ≤ ((2 logb 𝑋)↑5))

Proof of Theorem 3lexlogpow5ineq2
StepHypRef Expression
1 1nn0 12540 . . . . . 6 1 ∈ ℕ0
2 1nn 12275 . . . . . 6 1 ∈ ℕ
31, 2decnncl 12751 . . . . 5 11 ∈ ℕ
43a1i 11 . . . 4 (𝜑11 ∈ ℕ)
54nnred 12279 . . 3 (𝜑11 ∈ ℝ)
6 7re 12357 . . . 4 7 ∈ ℝ
76a1i 11 . . 3 (𝜑 → 7 ∈ ℝ)
8 0red 11262 . . . . 5 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
9 7pos 12375 . . . . . 6 0 < 7
109a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → 0 < 7)
118, 10ltned 11395 . . . 4 (𝜑 → 0 ≠ 7)
1211necomd 2994 . . 3 (𝜑 → 7 ≠ 0)
135, 7, 12redivcld 12093 . 2 (𝜑 → (11 / 7) ∈ ℝ)
14 2re 12338 . . . 4 2 ∈ ℝ
1514a1i 11 . . 3 (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
16 2pos 12367 . . . 4 0 < 2
1716a1i 11 . . 3 (𝜑 → 0 < 2)
18 3lexlogpow5ineq2.1 . . 3 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
19 3re 12344 . . . . 5 3 ∈ ℝ
2019a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 3 ∈ ℝ)
21 3pos 12369 . . . . 5 0 < 3
2221a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 0 < 3)
23 3lexlogpow5ineq2.2 . . . 4 (𝜑 → 3 ≤ 𝑋)
248, 20, 18, 22, 23ltletrd 11419 . . 3 (𝜑 → 0 < 𝑋)
25 1red 11260 . . . . 5 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
26 1lt2 12435 . . . . . 6 1 < 2
2726a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → 1 < 2)
2825, 27ltned 11395 . . . 4 (𝜑 → 1 ≠ 2)
2928necomd 2994 . . 3 (𝜑 → 2 ≠ 1)
3015, 17, 18, 24, 29relogbcld 41955 . 2 (𝜑 → (2 logb 𝑋) ∈ ℝ)
31 5nn0 12544 . . 3 5 ∈ ℕ0
3231a1i 11 . 2 (𝜑 → 5 ∈ ℕ0)
33 7nn 12356 . . . . 5 7 ∈ ℕ
3433a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 7 ∈ ℕ)
3534nnrpd 13073 . . 3 (𝜑 → 7 ∈ ℝ+)
36 0nn0 12539 . . . . 5 0 ∈ ℕ0
37 tru 1541 . . . . . 6
38 0red 11262 . . . . . . 7 (⊤ → 0 ∈ ℝ)
39 9re 12363 . . . . . . . 8 9 ∈ ℝ
4039a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → 9 ∈ ℝ)
41 9pos 12377 . . . . . . . 8 0 < 9
4241a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → 0 < 9)
4338, 40, 42ltled 11407 . . . . . 6 (⊤ → 0 ≤ 9)
4437, 43ax-mp 5 . . . . 5 0 ≤ 9
452, 1, 36, 44declei 12767 . . . 4 0 ≤ 11
4645a1i 11 . . 3 (𝜑 → 0 ≤ 11)
475, 35, 46divge0d 13115 . 2 (𝜑 → 0 ≤ (11 / 7))
4815, 17, 20, 22, 29relogbcld 41955 . . 3 (𝜑 → (2 logb 3) ∈ ℝ)
49 2exp11 17124 . . . . . . . . . . 11 (2↑11) = 2048
5049eqcomi 2744 . . . . . . . . . 10 2048 = (2↑11)
5150a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑2048 = (2↑11))
5251oveq2d 7447 . . . . . . . 8 (𝜑 → (2 logb 2048) = (2 logb (2↑11)))
5315, 17elrpd 13072 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 2 ∈ ℝ+)
544nnzd 12638 . . . . . . . . 9 (𝜑11 ∈ ℤ)
5553, 29, 54relogbexpd 41956 . . . . . . . 8 (𝜑 → (2 logb (2↑11)) = 11)
5652, 55eqtrd 2775 . . . . . . 7 (𝜑 → (2 logb 2048) = 11)
5756eqcomd 2741 . . . . . 6 (𝜑11 = (2 logb 2048))
58 2z 12647 . . . . . . . 8 2 ∈ ℤ
5958a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
6015leidd 11827 . . . . . . 7 (𝜑 → 2 ≤ 2)
61 2nn0 12541 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℕ0
6261, 36deccl 12746 . . . . . . . . . . 11 20 ∈ ℕ0
63 4nn0 12543 . . . . . . . . . . 11 4 ∈ ℕ0
6462, 63deccl 12746 . . . . . . . . . 10 204 ∈ ℕ0
65 8nn 12359 . . . . . . . . . 10 8 ∈ ℕ
6664, 65decnncl 12751 . . . . . . . . 9 2048 ∈ ℕ
6766a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑2048 ∈ ℕ)
6867nnred 12279 . . . . . . 7 (𝜑2048 ∈ ℝ)
69 4nn 12347 . . . . . . . . . 10 4 ∈ ℕ
7062, 69decnncl 12751 . . . . . . . . 9 204 ∈ ℕ
71 8nn0 12547 . . . . . . . . 9 8 ∈ ℕ0
7270, 71, 36, 44decltdi 12770 . . . . . . . 8 0 < 2048
7372a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 < 2048)
7461, 1deccl 12746 . . . . . . . . . . 11 21 ∈ ℕ0
7574, 71deccl 12746 . . . . . . . . . 10 218 ∈ ℕ0
7675, 33decnncl 12751 . . . . . . . . 9 2187 ∈ ℕ
7776a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑2187 ∈ ℕ)
7877nnred 12279 . . . . . . 7 (𝜑2187 ∈ ℝ)
7974, 65decnncl 12751 . . . . . . . . 9 218 ∈ ℕ
80 7nn0 12546 . . . . . . . . 9 7 ∈ ℕ0
8179, 80, 36, 44decltdi 12770 . . . . . . . 8 0 < 2187
8281a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 < 2187)
83 8re 12360 . . . . . . . . . . 11 8 ∈ ℝ
8483, 1nn0addge1i 12572 . . . . . . . . . 10 8 ≤ (8 + 1)
85 8p1e9 12414 . . . . . . . . . 10 (8 + 1) = 9
8684, 85breqtri 5173 . . . . . . . . 9 8 ≤ 9
87 4lt10 12867 . . . . . . . . . 10 4 < 10
88 0lt1 11783 . . . . . . . . . . 11 0 < 1
8961, 36, 2, 88declt 12759 . . . . . . . . . 10 20 < 21
9062, 74, 63, 71, 87, 89decltc 12760 . . . . . . . . 9 204 < 218
9164, 75, 71, 80, 86, 90decleh 12766 . . . . . . . 8 2048 ≤ 2187
9291a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑2048 ≤ 2187)
9359, 60, 68, 73, 78, 82, 92logblebd 41958 . . . . . 6 (𝜑 → (2 logb 2048) ≤ (2 logb 2187))
9457, 93eqbrtrd 5170 . . . . 5 (𝜑11 ≤ (2 logb 2187))
955recnd 11287 . . . . . . 7 (𝜑11 ∈ ℂ)
967recnd 11287 . . . . . . 7 (𝜑 → 7 ∈ ℂ)
9795, 96, 12divcan1d 12042 . . . . . 6 (𝜑 → ((11 / 7) · 7) = 11)
9897eqcomd 2741 . . . . 5 (𝜑11 = ((11 / 7) · 7))
99 3exp7 42035 . . . . . . . . . 10 (3↑7) = 2187
10099eqcomi 2744 . . . . . . . . 9 2187 = (3↑7)
101100a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑2187 = (3↑7))
102101oveq2d 7447 . . . . . . 7 (𝜑 → (2 logb 2187) = (2 logb (3↑7)))
10320, 22elrpd 13072 . . . . . . . 8 (𝜑 → 3 ∈ ℝ+)
10434nnzd 12638 . . . . . . . 8 (𝜑 → 7 ∈ ℤ)
10553, 29, 103, 104relogbzexpd 41957 . . . . . . 7 (𝜑 → (2 logb (3↑7)) = (7 · (2 logb 3)))
106102, 105eqtrd 2775 . . . . . 6 (𝜑 → (2 logb 2187) = (7 · (2 logb 3)))
10748recnd 11287 . . . . . . 7 (𝜑 → (2 logb 3) ∈ ℂ)
10896, 107mulcomd 11280 . . . . . 6 (𝜑 → (7 · (2 logb 3)) = ((2 logb 3) · 7))
109106, 108eqtrd 2775 . . . . 5 (𝜑 → (2 logb 2187) = ((2 logb 3) · 7))
11094, 98, 1093brtr3d 5179 . . . 4 (𝜑 → ((11 / 7) · 7) ≤ ((2 logb 3) · 7))
11113, 48, 35lemul1d 13118 . . . 4 (𝜑 → ((11 / 7) ≤ (2 logb 3) ↔ ((11 / 7) · 7) ≤ ((2 logb 3) · 7)))
112110, 111mpbird 257 . . 3 (𝜑 → (11 / 7) ≤ (2 logb 3))
11359, 60, 20, 22, 18, 24, 23logblebd 41958 . . 3 (𝜑 → (2 logb 3) ≤ (2 logb 𝑋))
11413, 48, 30, 112, 113letrd 11416 . 2 (𝜑 → (11 / 7) ≤ (2 logb 𝑋))
11513, 30, 32, 47, 114leexp1ad 41954 1 (𝜑 → ((11 / 7)↑5) ≤ ((2 logb 𝑋)↑5))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1537  wtru 1538  wcel 2106   class class class wbr 5148  (class class class)co 7431  cr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158   < clt 11293  cle 11294   / cdiv 11918  cn 12264  2c2 12319  3c3 12320  4c4 12321  5c5 12322  7c7 12324  8c8 12325  9c9 12326  0cn0 12524  cz 12611  cdc 12731  cexp 14099   logb clogb 26822
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231  ax-addf 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-fi 9449  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-ioo 13388  df-ioc 13389  df-ico 13390  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-mod 13907  df-seq 14040  df-exp 14100  df-fac 14310  df-bc 14339  df-hash 14367  df-shft 15103  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-limsup 15504  df-clim 15521  df-rlim 15522  df-sum 15720  df-ef 16100  df-sin 16102  df-cos 16103  df-pi 16105  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-rest 17469  df-topn 17470  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-topgen 17490  df-pt 17491  df-prds 17494  df-xrs 17549  df-qtop 17554  df-imas 17555  df-xps 17557  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-mulg 19099  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-fbas 21379  df-fg 21380  df-cnfld 21383  df-top 22916  df-topon 22933  df-topsp 22955  df-bases 22969  df-cld 23043  df-ntr 23044  df-cls 23045  df-nei 23122  df-lp 23160  df-perf 23161  df-cn 23251  df-cnp 23252  df-haus 23339  df-tx 23586  df-hmeo 23779  df-fil 23870  df-fm 23962  df-flim 23963  df-flf 23964  df-xms 24346  df-ms 24347  df-tms 24348  df-cncf 24918  df-limc 25916  df-dv 25917  df-log 26613  df-cxp 26614  df-logb 26823
This theorem is referenced by:  3lexlogpow5ineq4  42038
  Copyright terms: Public domain W3C validator