Mathbox for metakunt < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  3lexlogpow5ineq2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 3lexlogpow5ineq2 39341
 Description: Second inequality in inequality chain, proposed by Mario Carneiro. (Contributed by metakunt, 22-May-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
3lexlogpow5ineq2.1 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
3lexlogpow5ineq2.2 (𝜑 → 3 ≤ 𝑋)
Assertion
Ref Expression
3lexlogpow5ineq2 (𝜑 → ((3 / 2)↑5) ≤ ((2 logb 𝑋)↑5))

Proof of Theorem 3lexlogpow5ineq2
StepHypRef Expression
1 3re 11709 . . . 4 3 ∈ ℝ
21a1i 11 . . 3 (𝜑 → 3 ∈ ℝ)
32rehalfcld 11876 . 2 (𝜑 → (3 / 2) ∈ ℝ)
4 2re 11703 . . . 4 2 ∈ ℝ
54a1i 11 . . 3 (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
6 2nn 11702 . . . . 5 2 ∈ ℕ
76a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 2 ∈ ℕ)
87nngt0d 11678 . . 3 (𝜑 → 0 < 2)
9 3lexlogpow5ineq2.1 . . 3 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
10 0red 10637 . . . 4 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
11 3nn 11708 . . . . . 6 3 ∈ ℕ
1211nngt0i 11668 . . . . 5 0 < 3
1312a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 0 < 3)
14 3lexlogpow5ineq2.2 . . . 4 (𝜑 → 3 ≤ 𝑋)
1510, 2, 9, 13, 14ltletrd 10793 . . 3 (𝜑 → 0 < 𝑋)
16 1lt2 11800 . . . . . 6 1 < 2
1716olci 863 . . . . 5 (2 < 1 ∨ 1 < 2)
18 1re 10634 . . . . . 6 1 ∈ ℝ
194, 18lttri2i 10747 . . . . 5 (2 ≠ 1 ↔ (2 < 1 ∨ 1 < 2))
2017, 19mpbir 234 . . . 4 2 ≠ 1
2120a1i 11 . . 3 (𝜑 → 2 ≠ 1)
225, 8, 9, 15, 21relogbcld 39258 . 2 (𝜑 → (2 logb 𝑋) ∈ ℝ)
23 5nn0 11909 . . 3 5 ∈ ℕ0
2423a1i 11 . 2 (𝜑 → 5 ∈ ℕ0)
25 2rp 12386 . . . 4 2 ∈ ℝ+
2625a1i 11 . . 3 (𝜑 → 2 ∈ ℝ+)
27 3nn0 11907 . . . . 5 3 ∈ ℕ0
2827a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 3 ∈ ℕ0)
2928nn0ge0d 11950 . . 3 (𝜑 → 0 ≤ 3)
302, 26, 29divge0d 12463 . 2 (𝜑 → 0 ≤ (3 / 2))
312recnd 10662 . . . . . 6 (𝜑 → 3 ∈ ℂ)
325recnd 10662 . . . . . 6 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
3310, 8gtned 10768 . . . . . 6 (𝜑 → 2 ≠ 0)
3431, 32, 33divrec2d 11413 . . . . 5 (𝜑 → (3 / 2) = ((1 / 2) · 3))
355, 22remulcld 10664 . . . . . 6 (𝜑 → (2 · (2 logb 𝑋)) ∈ ℝ)
367nnrecred 11680 . . . . . 6 (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℝ)
37 1red 10635 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
38 0le1 11156 . . . . . . . 8 0 ≤ 1
3938a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ≤ 1)
4037, 26, 39divge0d 12463 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ≤ (1 / 2))
4128nn0zd 12077 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 3 ∈ ℤ)
4226, 21, 41relogbexpd 39259 . . . . . . . 8 (𝜑 → (2 logb (2↑3)) = 3)
437nnzd 12078 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
445leidd 11199 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 2 ≤ 2)
455, 28reexpcld 13527 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (2↑3) ∈ ℝ)
46 8nn 11724 . . . . . . . . . . . 12 8 ∈ ℕ
47 cu2 13563 . . . . . . . . . . . . 13 (2↑3) = 8
4847eleq1i 2883 . . . . . . . . . . . 12 ((2↑3) ∈ ℕ ↔ 8 ∈ ℕ)
4946, 48mpbir 234 . . . . . . . . . . 11 (2↑3) ∈ ℕ
5049nngt0i 11668 . . . . . . . . . 10 0 < (2↑3)
5150a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 < (2↑3))
529recnd 10662 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
5352sqvald 13507 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑋↑2) = (𝑋 · 𝑋))
549, 9remulcld 10664 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑋 · 𝑋) ∈ ℝ)
5553, 54eqeltrd 2893 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑋↑2) ∈ ℝ)
562, 2remulcld 10664 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (3 · 3) ∈ ℝ)
57 8lt9 11828 . . . . . . . . . . . . . . 15 8 < 9
58 3t3e9 11796 . . . . . . . . . . . . . . 15 (3 · 3) = 9
5957, 47, 583brtr4i 5063 . . . . . . . . . . . . . 14 (2↑3) < (3 · 3)
6059a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (2↑3) < (3 · 3))
6145, 56, 60ltled 10781 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (2↑3) ≤ (3 · 3))
622, 9, 2, 9, 29, 29, 14, 14lemul12ad 11575 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (3 · 3) ≤ (𝑋 · 𝑋))
6345, 56, 54, 61, 62letrd 10790 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (2↑3) ≤ (𝑋 · 𝑋))
6463, 53breqtrrd 5061 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2↑3) ≤ (𝑋↑2))
6510, 45, 55, 51, 64ltletrd 10793 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 < (𝑋↑2))
6643, 44, 45, 51, 55, 65, 64logblebd 39261 . . . . . . . 8 (𝜑 → (2 logb (2↑3)) ≤ (2 logb (𝑋↑2)))
6742, 66eqbrtrrd 5057 . . . . . . 7 (𝜑 → 3 ≤ (2 logb (𝑋↑2)))
689, 15elrpd 12420 . . . . . . . 8 (𝜑𝑋 ∈ ℝ+)
6926, 21, 68, 43relogbzexpd 39260 . . . . . . 7 (𝜑 → (2 logb (𝑋↑2)) = (2 · (2 logb 𝑋)))
7067, 69breqtrd 5059 . . . . . 6 (𝜑 → 3 ≤ (2 · (2 logb 𝑋)))
712, 35, 36, 40, 70lemul2ad 11573 . . . . 5 (𝜑 → ((1 / 2) · 3) ≤ ((1 / 2) · (2 · (2 logb 𝑋))))
7234, 71eqbrtrd 5055 . . . 4 (𝜑 → (3 / 2) ≤ ((1 / 2) · (2 · (2 logb 𝑋))))
7336recnd 10662 . . . . 5 (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℂ)
7422recnd 10662 . . . . 5 (𝜑 → (2 logb 𝑋) ∈ ℂ)
7573, 32, 74mulassd 10657 . . . 4 (𝜑 → (((1 / 2) · 2) · (2 logb 𝑋)) = ((1 / 2) · (2 · (2 logb 𝑋))))
7672, 75breqtrrd 5061 . . 3 (𝜑 → (3 / 2) ≤ (((1 / 2) · 2) · (2 logb 𝑋)))
7732, 33recid2d 11405 . . . . 5 (𝜑 → ((1 / 2) · 2) = 1)
7877oveq1d 7154 . . . 4 (𝜑 → (((1 / 2) · 2) · (2 logb 𝑋)) = (1 · (2 logb 𝑋)))
7974mulid2d 10652 . . . 4 (𝜑 → (1 · (2 logb 𝑋)) = (2 logb 𝑋))
8078, 79eqtrd 2836 . . 3 (𝜑 → (((1 / 2) · 2) · (2 logb 𝑋)) = (2 logb 𝑋))
8176, 80breqtrd 5059 . 2 (𝜑 → (3 / 2) ≤ (2 logb 𝑋))
823, 22, 24, 30, 81leexp1ad 39257 1 (𝜑 → ((3 / 2)↑5) ≤ ((2 logb 𝑋)↑5))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 844   ∈ wcel 2112   ≠ wne 2990   class class class wbr 5033  (class class class)co 7139  ℝcr 10529  0cc0 10530  1c1 10531   · cmul 10535   < clt 10668   ≤ cle 10669   / cdiv 11290  ℕcn 11629  2c2 11684  3c3 11685  5c5 11687  8c8 11690  9c9 11691  ℕ0cn0 11889  ℝ+crp 12381  ↑cexp 13429   logb clogb 25354 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-inf2 9092  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608  ax-addf 10609  ax-mulf 10610 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-iin 4887  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-of 7393  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-supp 7818  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-2o 8090  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-pm 8396  df-ixp 8449  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-fsupp 8822  df-fi 8863  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-q 12341  df-rp 12382  df-xneg 12499  df-xadd 12500  df-xmul 12501  df-ioo 12734  df-ioc 12735  df-ico 12736  df-icc 12737  df-fz 12890  df-fzo 13033  df-fl 13161  df-mod 13237  df-seq 13369  df-exp 13430  df-fac 13634  df-bc 13663  df-hash 13691  df-shft 14422  df-cj 14454  df-re 14455  df-im 14456  df-sqrt 14590  df-abs 14591  df-limsup 14824  df-clim 14841  df-rlim 14842  df-sum 15039  df-ef 15417  df-sin 15419  df-cos 15420  df-pi 15422  df-struct 16481  df-ndx 16482  df-slot 16483  df-base 16485  df-sets 16486  df-ress 16487  df-plusg 16574  df-mulr 16575  df-starv 16576  df-sca 16577  df-vsca 16578  df-ip 16579  df-tset 16580  df-ple 16581  df-ds 16583  df-unif 16584  df-hom 16585  df-cco 16586  df-rest 16692  df-topn 16693  df-0g 16711  df-gsum 16712  df-topgen 16713  df-pt 16714  df-prds 16717  df-xrs 16771  df-qtop 16776  df-imas 16777  df-xps 16779  df-mre 16853  df-mrc 16854  df-acs 16856  df-mgm 17848  df-sgrp 17897  df-mnd 17908  df-submnd 17953  df-mulg 18221  df-cntz 18443  df-cmn 18904  df-psmet 20087  df-xmet 20088  df-met 20089  df-bl 20090  df-mopn 20091  df-fbas 20092  df-fg 20093  df-cnfld 20096  df-top 21503  df-topon 21520  df-topsp 21542  df-bases 21555  df-cld 21628  df-ntr 21629  df-cls 21630  df-nei 21707  df-lp 21745  df-perf 21746  df-cn 21836  df-cnp 21837  df-haus 21924  df-tx 22171  df-hmeo 22364  df-fil 22455  df-fm 22547  df-flim 22548  df-flf 22549  df-xms 22931  df-ms 22932  df-tms 22933  df-cncf 23487  df-limc 24473  df-dv 24474  df-log 25152  df-cxp 25153  df-logb 25355 This theorem is referenced by:  3lexlogpow5ineq3  39342
 Copyright terms: Public domain W3C validator