Theorem sqsscirc1 32489

Description: The complex square of side 𝐷 is a subset of the complex circle of radius 𝐷. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Sep-2017.)

Assertion

Ref	Expression
sqsscirc1	⊢ ((((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑌)) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((𝑋 < (𝐷 / 2) ∧ 𝑌 < (𝐷 / 2)) → (√‘((𝑋↑2) + (𝑌↑2))) < 𝐷))

Proof of Theorem sqsscirc1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp-4l 781	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑌)) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝑋 < (𝐷 / 2) ∧ 𝑌 < (𝐷 / 2))) → 𝑋 ∈ ℝ)
2	1	resqcld 14030	. . . . 5 ⊢ (((((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑌)) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝑋 < (𝐷 / 2) ∧ 𝑌 < (𝐷 / 2))) → (𝑋↑2) ∈ ℝ)
3		simpllr 774	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑌)) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝑋 < (𝐷 / 2) ∧ 𝑌 < (𝐷 / 2))) → (𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑌))
4	3	simpld 495	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑌)) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝑋 < (𝐷 / 2) ∧ 𝑌 < (𝐷 / 2))) → 𝑌 ∈ ℝ)
5	4	resqcld 14030	. . . . 5 ⊢ (((((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑌)) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝑋 < (𝐷 / 2) ∧ 𝑌 < (𝐷 / 2))) → (𝑌↑2) ∈ ℝ)
6	2, 5	readdcld 11184	. . . 4 ⊢ (((((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑌)) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝑋 < (𝐷 / 2) ∧ 𝑌 < (𝐷 / 2))) → ((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) ∈ ℝ)
7	1	sqge0d 14042	. . . . 5 ⊢ (((((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑌)) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝑋 < (𝐷 / 2) ∧ 𝑌 < (𝐷 / 2))) → 0 ≤ (𝑋↑2))
8	4	sqge0d 14042	. . . . 5 ⊢ (((((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑌)) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝑋 < (𝐷 / 2) ∧ 𝑌 < (𝐷 / 2))) → 0 ≤ (𝑌↑2))
9	2, 5, 7, 8	addge0d 11731	. . . 4 ⊢ (((((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑌)) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝑋 < (𝐷 / 2) ∧ 𝑌 < (𝐷 / 2))) → 0 ≤ ((𝑋↑2) + (𝑌↑2)))
10	6, 9	resqrtcld 15302	. . 3 ⊢ (((((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑌)) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝑋 < (𝐷 / 2) ∧ 𝑌 < (𝐷 / 2))) → (√‘((𝑋↑2) + (𝑌↑2))) ∈ ℝ)
11		simplr 767	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑌)) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝑋 < (𝐷 / 2) ∧ 𝑌 < (𝐷 / 2))) → 𝐷 ∈ ℝ+)
12	11	rpred 12957	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑌)) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝑋 < (𝐷 / 2) ∧ 𝑌 < (𝐷 / 2))) → 𝐷 ∈ ℝ)
13	12	rehalfcld 12400	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑌)) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝑋 < (𝐷 / 2) ∧ 𝑌 < (𝐷 / 2))) → (𝐷 / 2) ∈ ℝ)
14	13	resqcld 14030	. . . . 5 ⊢ (((((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑌)) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝑋 < (𝐷 / 2) ∧ 𝑌 < (𝐷 / 2))) → ((𝐷 / 2)↑2) ∈ ℝ)
15	14, 14	readdcld 11184	. . . 4 ⊢ (((((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑌)) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝑋 < (𝐷 / 2) ∧ 𝑌 < (𝐷 / 2))) → (((𝐷 / 2)↑2) + ((𝐷 / 2)↑2)) ∈ ℝ)
16	13	sqge0d 14042	. . . . 5 ⊢ (((((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑌)) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝑋 < (𝐷 / 2) ∧ 𝑌 < (𝐷 / 2))) → 0 ≤ ((𝐷 / 2)↑2))
17	14, 14, 16, 16	addge0d 11731	. . . 4 ⊢ (((((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑌)) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝑋 < (𝐷 / 2) ∧ 𝑌 < (𝐷 / 2))) → 0 ≤ (((𝐷 / 2)↑2) + ((𝐷 / 2)↑2)))
18	15, 17	resqrtcld 15302	. . 3 ⊢ (((((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑌)) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝑋 < (𝐷 / 2) ∧ 𝑌 < (𝐷 / 2))) → (√‘(((𝐷 / 2)↑2) + ((𝐷 / 2)↑2))) ∈ ℝ)
19		simprl 769	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑌)) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝑋 < (𝐷 / 2) ∧ 𝑌 < (𝐷 / 2))) → 𝑋 < (𝐷 / 2))
20		simp-4r 782	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑌)) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝑋 < (𝐷 / 2) ∧ 𝑌 < (𝐷 / 2))) → 0 ≤ 𝑋)
21		2rp 12920	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ+
22	21	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑌)) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝑋 < (𝐷 / 2) ∧ 𝑌 < (𝐷 / 2))) → 2 ∈ ℝ+)
23	11	rpge0d 12961	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑌)) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝑋 < (𝐷 / 2) ∧ 𝑌 < (𝐷 / 2))) → 0 ≤ 𝐷)
24	12, 22, 23	divge0d 12997	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑌)) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝑋 < (𝐷 / 2) ∧ 𝑌 < (𝐷 / 2))) → 0 ≤ (𝐷 / 2))
25	1, 13, 20, 24	lt2sqd 14159	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑌)) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝑋 < (𝐷 / 2) ∧ 𝑌 < (𝐷 / 2))) → (𝑋 < (𝐷 / 2) ↔ (𝑋↑2) < ((𝐷 / 2)↑2)))
26	19, 25	mpbid 231	. . . . 5 ⊢ (((((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑌)) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝑋 < (𝐷 / 2) ∧ 𝑌 < (𝐷 / 2))) → (𝑋↑2) < ((𝐷 / 2)↑2))
27		simprr 771	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑌)) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝑋 < (𝐷 / 2) ∧ 𝑌 < (𝐷 / 2))) → 𝑌 < (𝐷 / 2))
28	3	simprd 496	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑌)) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝑋 < (𝐷 / 2) ∧ 𝑌 < (𝐷 / 2))) → 0 ≤ 𝑌)
29	4, 13, 28, 24	lt2sqd 14159	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑌)) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝑋 < (𝐷 / 2) ∧ 𝑌 < (𝐷 / 2))) → (𝑌 < (𝐷 / 2) ↔ (𝑌↑2) < ((𝐷 / 2)↑2)))
30	27, 29	mpbid 231	. . . . 5 ⊢ (((((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑌)) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝑋 < (𝐷 / 2) ∧ 𝑌 < (𝐷 / 2))) → (𝑌↑2) < ((𝐷 / 2)↑2))
31	2, 5, 14, 14, 26, 30	lt2addd 11778	. . . 4 ⊢ (((((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑌)) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝑋 < (𝐷 / 2) ∧ 𝑌 < (𝐷 / 2))) → ((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) < (((𝐷 / 2)↑2) + ((𝐷 / 2)↑2)))
32	6, 9, 15, 17	sqrtltd 15312	. . . 4 ⊢ (((((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑌)) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝑋 < (𝐷 / 2) ∧ 𝑌 < (𝐷 / 2))) → (((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) < (((𝐷 / 2)↑2) + ((𝐷 / 2)↑2)) ↔ (√‘((𝑋↑2) + (𝑌↑2))) < (√‘(((𝐷 / 2)↑2) + ((𝐷 / 2)↑2)))))
33	31, 32	mpbid 231	. . 3 ⊢ (((((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑌)) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝑋 < (𝐷 / 2) ∧ 𝑌 < (𝐷 / 2))) → (√‘((𝑋↑2) + (𝑌↑2))) < (√‘(((𝐷 / 2)↑2) + ((𝐷 / 2)↑2))))
34		rpre 12923	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ+ → 𝐷 ∈ ℝ)
35	34	rehalfcld 12400	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ+ → (𝐷 / 2) ∈ ℝ)
36	35	resqcld 14030	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ+ → ((𝐷 / 2)↑2) ∈ ℝ)
37	36	recnd 11183	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ+ → ((𝐷 / 2)↑2) ∈ ℂ)
38	37	2timesd 12396	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ+ → (2 · ((𝐷 / 2)↑2)) = (((𝐷 / 2)↑2) + ((𝐷 / 2)↑2)))
39	38	fveq2d 6846	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ+ → (√‘(2 · ((𝐷 / 2)↑2))) = (√‘(((𝐷 / 2)↑2) + ((𝐷 / 2)↑2))))
40	21	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ+ → 2 ∈ ℝ+)
41		rpge0 12928	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝐷)
42	34, 40, 41	divge0d 12997	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ+ → 0 ≤ (𝐷 / 2))
43	35, 42	sqrtsqd 15304	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ+ → (√‘((𝐷 / 2)↑2)) = (𝐷 / 2))
44	43	oveq2d 7373	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ+ → ((√‘2) · (√‘((𝐷 / 2)↑2))) = ((√‘2) · (𝐷 / 2)))
45		2re 12227	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ
46	45	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ+ → 2 ∈ ℝ)
47		0le2 12255	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ≤ 2
48	47	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 2)
49	35	sqge0d 14042	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ+ → 0 ≤ ((𝐷 / 2)↑2))
50	46, 48, 36, 49	sqrtmuld 15309	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ+ → (√‘(2 · ((𝐷 / 2)↑2))) = ((√‘2) · (√‘((𝐷 / 2)↑2))))
51		2cnd 12231	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ+ → 2 ∈ ℂ)
52	51	sqrtcld 15322	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ+ → (√‘2) ∈ ℂ)
53		rpcn 12925	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ+ → 𝐷 ∈ ℂ)
54		2ne0 12257	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ≠ 0
55	54	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ+ → 2 ≠ 0)
56	52, 51, 53, 55	div32d 11954	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ+ → (((√‘2) / 2) · 𝐷) = ((√‘2) · (𝐷 / 2)))
57	44, 50, 56	3eqtr4d 2786	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ+ → (√‘(2 · ((𝐷 / 2)↑2))) = (((√‘2) / 2) · 𝐷))
58	39, 57	eqtr3d 2778	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ+ → (√‘(((𝐷 / 2)↑2) + ((𝐷 / 2)↑2))) = (((√‘2) / 2) · 𝐷))
59		2lt4 12328	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 < 4
60		4re 12237	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 4 ∈ ℝ
61		0re 11157	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ ℝ
62		4pos 12260	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 < 4
63	61, 60, 62	ltleii 11278	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ≤ 4
64		sqrtlt 15146	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((2 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 2) ∧ (4 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 4)) → (2 < 4 ↔ (√‘2) < (√‘4)))
65	45, 47, 60, 63, 64	mp4an 691	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 < 4 ↔ (√‘2) < (√‘4))
66	59, 65	mpbi 229	. . . . . . . . 9 ⊢ (√‘2) < (√‘4)
67		2pos 12256	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < 2
68	45, 67	sqrtpclii 15267	. . . . . . . . . 10 ⊢ (√‘2) ∈ ℝ
69	60, 62	sqrtpclii 15267	. . . . . . . . . 10 ⊢ (√‘4) ∈ ℝ
70	68, 69, 45, 67	ltdiv1ii 12084	. . . . . . . . 9 ⊢ ((√‘2) < (√‘4) ↔ ((√‘2) / 2) < ((√‘4) / 2))
71	66, 70	mpbi 229	. . . . . . . 8 ⊢ ((√‘2) / 2) < ((√‘4) / 2)
72		sqrtsq 15154	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 2) → (√‘(2↑2)) = 2)
73	45, 47, 72	mp2an 690	. . . . . . . . . 10 ⊢ (√‘(2↑2)) = 2
74	73	oveq1i 7367	. . . . . . . . 9 ⊢ ((√‘(2↑2)) / 2) = (2 / 2)
75		sq2 14101	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2↑2) = 4
76	75	fveq2i 6845	. . . . . . . . . 10 ⊢ (√‘(2↑2)) = (√‘4)
77	76	oveq1i 7367	. . . . . . . . 9 ⊢ ((√‘(2↑2)) / 2) = ((√‘4) / 2)
78		2div2e1 12294	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 / 2) = 1
79	74, 77, 78	3eqtr3i 2772	. . . . . . . 8 ⊢ ((√‘4) / 2) = 1
80	71, 79	breqtri 5130	. . . . . . 7 ⊢ ((√‘2) / 2) < 1
81	46, 48	resqrtcld 15302	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ+ → (√‘2) ∈ ℝ)
82	81	rehalfcld 12400	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ+ → ((√‘2) / 2) ∈ ℝ)
83		1red 11156	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ+ → 1 ∈ ℝ)
84		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ+ → 𝐷 ∈ ℝ+)
85	82, 83, 84	ltmul1d 12998	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ+ → (((√‘2) / 2) < 1 ↔ (((√‘2) / 2) · 𝐷) < (1 · 𝐷)))
86	80, 85	mpbii 232	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ+ → (((√‘2) / 2) · 𝐷) < (1 · 𝐷))
87	53	mulid2d 11173	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ+ → (1 · 𝐷) = 𝐷)
88	86, 87	breqtrd 5131	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ+ → (((√‘2) / 2) · 𝐷) < 𝐷)
89	58, 88	eqbrtrd 5127	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ+ → (√‘(((𝐷 / 2)↑2) + ((𝐷 / 2)↑2))) < 𝐷)
90	11, 89	syl 17	. . 3 ⊢ (((((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑌)) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝑋 < (𝐷 / 2) ∧ 𝑌 < (𝐷 / 2))) → (√‘(((𝐷 / 2)↑2) + ((𝐷 / 2)↑2))) < 𝐷)
91	10, 18, 12, 33, 90	lttrd 11316	. 2 ⊢ (((((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑌)) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝑋 < (𝐷 / 2) ∧ 𝑌 < (𝐷 / 2))) → (√‘((𝑋↑2) + (𝑌↑2))) < 𝐷)
92	91	ex 413	1 ⊢ ((((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑌)) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((𝑋 < (𝐷 / 2) ∧ 𝑌 < (𝐷 / 2)) → (√‘((𝑋↑2) + (𝑌↑2))) < 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943   class class class wbr 5105  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357  ℝcr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056   < clt 11189   ≤ cle 11190   / cdiv 11812  2c2 12208  4c4 12210  ℝ⁺crp 12915  ↑cexp 13967  √csqrt 15118

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9378  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-seq 13907  df-exp 13968  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121

This theorem is referenced by:  sqsscirc2  32490