Theorem sqsscirc1 33854

Description: The complex square of side 𝐷 is a subset of the complex circle of radius 𝐷. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Sep-2017.)

Assertion

Ref	Expression
sqsscirc1	⊢ ((((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑌)) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((𝑋 < (𝐷 / 2) ∧ 𝑌 < (𝐷 / 2)) → (√‘((𝑋↑2) + (𝑌↑2))) < 𝐷))

Proof of Theorem sqsscirc1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp-4l 782	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑌)) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝑋 < (𝐷 / 2) ∧ 𝑌 < (𝐷 / 2))) → 𝑋 ∈ ℝ)
2	1	resqcld 14175	. . . . 5 ⊢ (((((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑌)) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝑋 < (𝐷 / 2) ∧ 𝑌 < (𝐷 / 2))) → (𝑋↑2) ∈ ℝ)
3		simpllr 775	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑌)) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝑋 < (𝐷 / 2) ∧ 𝑌 < (𝐷 / 2))) → (𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑌))
4	3	simpld 494	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑌)) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝑋 < (𝐷 / 2) ∧ 𝑌 < (𝐷 / 2))) → 𝑌 ∈ ℝ)
5	4	resqcld 14175	. . . . 5 ⊢ (((((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑌)) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝑋 < (𝐷 / 2) ∧ 𝑌 < (𝐷 / 2))) → (𝑌↑2) ∈ ℝ)
6	2, 5	readdcld 11319	. . . 4 ⊢ (((((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑌)) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝑋 < (𝐷 / 2) ∧ 𝑌 < (𝐷 / 2))) → ((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) ∈ ℝ)
7	1	sqge0d 14187	. . . . 5 ⊢ (((((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑌)) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝑋 < (𝐷 / 2) ∧ 𝑌 < (𝐷 / 2))) → 0 ≤ (𝑋↑2))
8	4	sqge0d 14187	. . . . 5 ⊢ (((((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑌)) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝑋 < (𝐷 / 2) ∧ 𝑌 < (𝐷 / 2))) → 0 ≤ (𝑌↑2))
9	2, 5, 7, 8	addge0d 11866	. . . 4 ⊢ (((((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑌)) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝑋 < (𝐷 / 2) ∧ 𝑌 < (𝐷 / 2))) → 0 ≤ ((𝑋↑2) + (𝑌↑2)))
10	6, 9	resqrtcld 15466	. . 3 ⊢ (((((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑌)) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝑋 < (𝐷 / 2) ∧ 𝑌 < (𝐷 / 2))) → (√‘((𝑋↑2) + (𝑌↑2))) ∈ ℝ)
11		simplr 768	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑌)) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝑋 < (𝐷 / 2) ∧ 𝑌 < (𝐷 / 2))) → 𝐷 ∈ ℝ+)
12	11	rpred 13099	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑌)) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝑋 < (𝐷 / 2) ∧ 𝑌 < (𝐷 / 2))) → 𝐷 ∈ ℝ)
13	12	rehalfcld 12540	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑌)) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝑋 < (𝐷 / 2) ∧ 𝑌 < (𝐷 / 2))) → (𝐷 / 2) ∈ ℝ)
14	13	resqcld 14175	. . . . 5 ⊢ (((((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑌)) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝑋 < (𝐷 / 2) ∧ 𝑌 < (𝐷 / 2))) → ((𝐷 / 2)↑2) ∈ ℝ)
15	14, 14	readdcld 11319	. . . 4 ⊢ (((((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑌)) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝑋 < (𝐷 / 2) ∧ 𝑌 < (𝐷 / 2))) → (((𝐷 / 2)↑2) + ((𝐷 / 2)↑2)) ∈ ℝ)
16	13	sqge0d 14187	. . . . 5 ⊢ (((((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑌)) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝑋 < (𝐷 / 2) ∧ 𝑌 < (𝐷 / 2))) → 0 ≤ ((𝐷 / 2)↑2))
17	14, 14, 16, 16	addge0d 11866	. . . 4 ⊢ (((((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑌)) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝑋 < (𝐷 / 2) ∧ 𝑌 < (𝐷 / 2))) → 0 ≤ (((𝐷 / 2)↑2) + ((𝐷 / 2)↑2)))
18	15, 17	resqrtcld 15466	. . 3 ⊢ (((((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑌)) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝑋 < (𝐷 / 2) ∧ 𝑌 < (𝐷 / 2))) → (√‘(((𝐷 / 2)↑2) + ((𝐷 / 2)↑2))) ∈ ℝ)
19		simprl 770	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑌)) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝑋 < (𝐷 / 2) ∧ 𝑌 < (𝐷 / 2))) → 𝑋 < (𝐷 / 2))
20		simp-4r 783	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑌)) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝑋 < (𝐷 / 2) ∧ 𝑌 < (𝐷 / 2))) → 0 ≤ 𝑋)
21		2rp 13062	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ+
22	21	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑌)) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝑋 < (𝐷 / 2) ∧ 𝑌 < (𝐷 / 2))) → 2 ∈ ℝ+)
23	11	rpge0d 13103	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑌)) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝑋 < (𝐷 / 2) ∧ 𝑌 < (𝐷 / 2))) → 0 ≤ 𝐷)
24	12, 22, 23	divge0d 13139	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑌)) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝑋 < (𝐷 / 2) ∧ 𝑌 < (𝐷 / 2))) → 0 ≤ (𝐷 / 2))
25	1, 13, 20, 24	lt2sqd 14305	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑌)) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝑋 < (𝐷 / 2) ∧ 𝑌 < (𝐷 / 2))) → (𝑋 < (𝐷 / 2) ↔ (𝑋↑2) < ((𝐷 / 2)↑2)))
26	19, 25	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (((((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑌)) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝑋 < (𝐷 / 2) ∧ 𝑌 < (𝐷 / 2))) → (𝑋↑2) < ((𝐷 / 2)↑2))
27		simprr 772	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑌)) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝑋 < (𝐷 / 2) ∧ 𝑌 < (𝐷 / 2))) → 𝑌 < (𝐷 / 2))
28	3	simprd 495	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑌)) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝑋 < (𝐷 / 2) ∧ 𝑌 < (𝐷 / 2))) → 0 ≤ 𝑌)
29	4, 13, 28, 24	lt2sqd 14305	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑌)) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝑋 < (𝐷 / 2) ∧ 𝑌 < (𝐷 / 2))) → (𝑌 < (𝐷 / 2) ↔ (𝑌↑2) < ((𝐷 / 2)↑2)))
30	27, 29	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (((((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑌)) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝑋 < (𝐷 / 2) ∧ 𝑌 < (𝐷 / 2))) → (𝑌↑2) < ((𝐷 / 2)↑2))
31	2, 5, 14, 14, 26, 30	lt2addd 11913	. . . 4 ⊢ (((((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑌)) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝑋 < (𝐷 / 2) ∧ 𝑌 < (𝐷 / 2))) → ((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) < (((𝐷 / 2)↑2) + ((𝐷 / 2)↑2)))
32	6, 9, 15, 17	sqrtltd 15476	. . . 4 ⊢ (((((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑌)) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝑋 < (𝐷 / 2) ∧ 𝑌 < (𝐷 / 2))) → (((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) < (((𝐷 / 2)↑2) + ((𝐷 / 2)↑2)) ↔ (√‘((𝑋↑2) + (𝑌↑2))) < (√‘(((𝐷 / 2)↑2) + ((𝐷 / 2)↑2)))))
33	31, 32	mpbid 232	. . 3 ⊢ (((((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑌)) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝑋 < (𝐷 / 2) ∧ 𝑌 < (𝐷 / 2))) → (√‘((𝑋↑2) + (𝑌↑2))) < (√‘(((𝐷 / 2)↑2) + ((𝐷 / 2)↑2))))
34		rpre 13065	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ+ → 𝐷 ∈ ℝ)
35	34	rehalfcld 12540	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ+ → (𝐷 / 2) ∈ ℝ)
36	35	resqcld 14175	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ+ → ((𝐷 / 2)↑2) ∈ ℝ)
37	36	recnd 11318	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ+ → ((𝐷 / 2)↑2) ∈ ℂ)
38	37	2timesd 12536	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ+ → (2 · ((𝐷 / 2)↑2)) = (((𝐷 / 2)↑2) + ((𝐷 / 2)↑2)))
39	38	fveq2d 6924	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ+ → (√‘(2 · ((𝐷 / 2)↑2))) = (√‘(((𝐷 / 2)↑2) + ((𝐷 / 2)↑2))))
40	21	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ+ → 2 ∈ ℝ+)
41		rpge0 13070	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝐷)
42	34, 40, 41	divge0d 13139	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ+ → 0 ≤ (𝐷 / 2))
43	35, 42	sqrtsqd 15468	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ+ → (√‘((𝐷 / 2)↑2)) = (𝐷 / 2))
44	43	oveq2d 7464	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ+ → ((√‘2) · (√‘((𝐷 / 2)↑2))) = ((√‘2) · (𝐷 / 2)))
45		2re 12367	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ
46	45	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ+ → 2 ∈ ℝ)
47		0le2 12395	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ≤ 2
48	47	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 2)
49	35	sqge0d 14187	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ+ → 0 ≤ ((𝐷 / 2)↑2))
50	46, 48, 36, 49	sqrtmuld 15473	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ+ → (√‘(2 · ((𝐷 / 2)↑2))) = ((√‘2) · (√‘((𝐷 / 2)↑2))))
51		2cnd 12371	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ+ → 2 ∈ ℂ)
52	51	sqrtcld 15486	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ+ → (√‘2) ∈ ℂ)
53		rpcn 13067	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ+ → 𝐷 ∈ ℂ)
54		2ne0 12397	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ≠ 0
55	54	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ+ → 2 ≠ 0)
56	52, 51, 53, 55	div32d 12093	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ+ → (((√‘2) / 2) · 𝐷) = ((√‘2) · (𝐷 / 2)))
57	44, 50, 56	3eqtr4d 2790	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ+ → (√‘(2 · ((𝐷 / 2)↑2))) = (((√‘2) / 2) · 𝐷))
58	39, 57	eqtr3d 2782	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ+ → (√‘(((𝐷 / 2)↑2) + ((𝐷 / 2)↑2))) = (((√‘2) / 2) · 𝐷))
59		2lt4 12468	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 < 4
60		4re 12377	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 4 ∈ ℝ
61		0re 11292	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ ℝ
62		4pos 12400	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 < 4
63	61, 60, 62	ltleii 11413	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ≤ 4
64		sqrtlt 15310	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((2 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 2) ∧ (4 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 4)) → (2 < 4 ↔ (√‘2) < (√‘4)))
65	45, 47, 60, 63, 64	mp4an 692	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 < 4 ↔ (√‘2) < (√‘4))
66	59, 65	mpbi 230	. . . . . . . . 9 ⊢ (√‘2) < (√‘4)
67		2pos 12396	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < 2
68	45, 67	sqrtpclii 15431	. . . . . . . . . 10 ⊢ (√‘2) ∈ ℝ
69	60, 62	sqrtpclii 15431	. . . . . . . . . 10 ⊢ (√‘4) ∈ ℝ
70	68, 69, 45, 67	ltdiv1ii 12224	. . . . . . . . 9 ⊢ ((√‘2) < (√‘4) ↔ ((√‘2) / 2) < ((√‘4) / 2))
71	66, 70	mpbi 230	. . . . . . . 8 ⊢ ((√‘2) / 2) < ((√‘4) / 2)
72		sqrtsq 15318	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 2) → (√‘(2↑2)) = 2)
73	45, 47, 72	mp2an 691	. . . . . . . . . 10 ⊢ (√‘(2↑2)) = 2
74	73	oveq1i 7458	. . . . . . . . 9 ⊢ ((√‘(2↑2)) / 2) = (2 / 2)
75		sq2 14246	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2↑2) = 4
76	75	fveq2i 6923	. . . . . . . . . 10 ⊢ (√‘(2↑2)) = (√‘4)
77	76	oveq1i 7458	. . . . . . . . 9 ⊢ ((√‘(2↑2)) / 2) = ((√‘4) / 2)
78		2div2e1 12434	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 / 2) = 1
79	74, 77, 78	3eqtr3i 2776	. . . . . . . 8 ⊢ ((√‘4) / 2) = 1
80	71, 79	breqtri 5191	. . . . . . 7 ⊢ ((√‘2) / 2) < 1
81	46, 48	resqrtcld 15466	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ+ → (√‘2) ∈ ℝ)
82	81	rehalfcld 12540	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ+ → ((√‘2) / 2) ∈ ℝ)
83		1red 11291	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ+ → 1 ∈ ℝ)
84		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ+ → 𝐷 ∈ ℝ+)
85	82, 83, 84	ltmul1d 13140	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ+ → (((√‘2) / 2) < 1 ↔ (((√‘2) / 2) · 𝐷) < (1 · 𝐷)))
86	80, 85	mpbii 233	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ+ → (((√‘2) / 2) · 𝐷) < (1 · 𝐷))
87	53	mullidd 11308	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ+ → (1 · 𝐷) = 𝐷)
88	86, 87	breqtrd 5192	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ+ → (((√‘2) / 2) · 𝐷) < 𝐷)
89	58, 88	eqbrtrd 5188	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ+ → (√‘(((𝐷 / 2)↑2) + ((𝐷 / 2)↑2))) < 𝐷)
90	11, 89	syl 17	. . 3 ⊢ (((((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑌)) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝑋 < (𝐷 / 2) ∧ 𝑌 < (𝐷 / 2))) → (√‘(((𝐷 / 2)↑2) + ((𝐷 / 2)↑2))) < 𝐷)
91	10, 18, 12, 33, 90	lttrd 11451	. 2 ⊢ (((((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑌)) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝑋 < (𝐷 / 2) ∧ 𝑌 < (𝐷 / 2))) → (√‘((𝑋↑2) + (𝑌↑2))) < 𝐷)
92	91	ex 412	1 ⊢ ((((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑌)) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((𝑋 < (𝐷 / 2) ∧ 𝑌 < (𝐷 / 2)) → (√‘((𝑋↑2) + (𝑌↑2))) < 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946   class class class wbr 5166  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  ℝcr 11183  0cc0 11184  1c1 11185   + caddc 11187   · cmul 11189   < clt 11324   ≤ cle 11325   / cdiv 11947  2c2 12348  4c4 12350  ℝ⁺crp 13057  ↑cexp 14112  √csqrt 15282

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-sup 9511  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-rp 13058  df-seq 14053  df-exp 14113  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285

This theorem is referenced by:  sqsscirc2  33855