Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sqsscirc1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sqsscirc1 33550
Description: The complex square of side ๐ท is a subset of the complex circle of radius ๐ท. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Sep-2017.)
Assertion
Ref Expression
sqsscirc1 ((((๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘‹) โˆง (๐‘Œ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘Œ)) โˆง ๐ท โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐‘‹ < (๐ท / 2) โˆง ๐‘Œ < (๐ท / 2)) โ†’ (โˆšโ€˜((๐‘‹โ†‘2) + (๐‘Œโ†‘2))) < ๐ท))

Proof of Theorem sqsscirc1
StepHypRef Expression
1 simp-4l 781 . . . . . 6 (((((๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘‹) โˆง (๐‘Œ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘Œ)) โˆง ๐ท โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘‹ < (๐ท / 2) โˆง ๐‘Œ < (๐ท / 2))) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„)
21resqcld 14131 . . . . 5 (((((๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘‹) โˆง (๐‘Œ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘Œ)) โˆง ๐ท โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘‹ < (๐ท / 2) โˆง ๐‘Œ < (๐ท / 2))) โ†’ (๐‘‹โ†‘2) โˆˆ โ„)
3 simpllr 774 . . . . . . 7 (((((๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘‹) โˆง (๐‘Œ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘Œ)) โˆง ๐ท โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘‹ < (๐ท / 2) โˆง ๐‘Œ < (๐ท / 2))) โ†’ (๐‘Œ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘Œ))
43simpld 493 . . . . . 6 (((((๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘‹) โˆง (๐‘Œ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘Œ)) โˆง ๐ท โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘‹ < (๐ท / 2) โˆง ๐‘Œ < (๐ท / 2))) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ โ„)
54resqcld 14131 . . . . 5 (((((๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘‹) โˆง (๐‘Œ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘Œ)) โˆง ๐ท โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘‹ < (๐ท / 2) โˆง ๐‘Œ < (๐ท / 2))) โ†’ (๐‘Œโ†‘2) โˆˆ โ„)
62, 5readdcld 11283 . . . 4 (((((๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘‹) โˆง (๐‘Œ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘Œ)) โˆง ๐ท โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘‹ < (๐ท / 2) โˆง ๐‘Œ < (๐ท / 2))) โ†’ ((๐‘‹โ†‘2) + (๐‘Œโ†‘2)) โˆˆ โ„)
71sqge0d 14143 . . . . 5 (((((๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘‹) โˆง (๐‘Œ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘Œ)) โˆง ๐ท โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘‹ < (๐ท / 2) โˆง ๐‘Œ < (๐ท / 2))) โ†’ 0 โ‰ค (๐‘‹โ†‘2))
84sqge0d 14143 . . . . 5 (((((๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘‹) โˆง (๐‘Œ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘Œ)) โˆง ๐ท โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘‹ < (๐ท / 2) โˆง ๐‘Œ < (๐ท / 2))) โ†’ 0 โ‰ค (๐‘Œโ†‘2))
92, 5, 7, 8addge0d 11830 . . . 4 (((((๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘‹) โˆง (๐‘Œ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘Œ)) โˆง ๐ท โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘‹ < (๐ท / 2) โˆง ๐‘Œ < (๐ท / 2))) โ†’ 0 โ‰ค ((๐‘‹โ†‘2) + (๐‘Œโ†‘2)))
106, 9resqrtcld 15406 . . 3 (((((๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘‹) โˆง (๐‘Œ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘Œ)) โˆง ๐ท โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘‹ < (๐ท / 2) โˆง ๐‘Œ < (๐ท / 2))) โ†’ (โˆšโ€˜((๐‘‹โ†‘2) + (๐‘Œโ†‘2))) โˆˆ โ„)
11 simplr 767 . . . . . . . 8 (((((๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘‹) โˆง (๐‘Œ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘Œ)) โˆง ๐ท โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘‹ < (๐ท / 2) โˆง ๐‘Œ < (๐ท / 2))) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„+)
1211rpred 13058 . . . . . . 7 (((((๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘‹) โˆง (๐‘Œ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘Œ)) โˆง ๐ท โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘‹ < (๐ท / 2) โˆง ๐‘Œ < (๐ท / 2))) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„)
1312rehalfcld 12499 . . . . . 6 (((((๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘‹) โˆง (๐‘Œ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘Œ)) โˆง ๐ท โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘‹ < (๐ท / 2) โˆง ๐‘Œ < (๐ท / 2))) โ†’ (๐ท / 2) โˆˆ โ„)
1413resqcld 14131 . . . . 5 (((((๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘‹) โˆง (๐‘Œ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘Œ)) โˆง ๐ท โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘‹ < (๐ท / 2) โˆง ๐‘Œ < (๐ท / 2))) โ†’ ((๐ท / 2)โ†‘2) โˆˆ โ„)
1514, 14readdcld 11283 . . . 4 (((((๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘‹) โˆง (๐‘Œ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘Œ)) โˆง ๐ท โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘‹ < (๐ท / 2) โˆง ๐‘Œ < (๐ท / 2))) โ†’ (((๐ท / 2)โ†‘2) + ((๐ท / 2)โ†‘2)) โˆˆ โ„)
1613sqge0d 14143 . . . . 5 (((((๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘‹) โˆง (๐‘Œ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘Œ)) โˆง ๐ท โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘‹ < (๐ท / 2) โˆง ๐‘Œ < (๐ท / 2))) โ†’ 0 โ‰ค ((๐ท / 2)โ†‘2))
1714, 14, 16, 16addge0d 11830 . . . 4 (((((๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘‹) โˆง (๐‘Œ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘Œ)) โˆง ๐ท โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘‹ < (๐ท / 2) โˆง ๐‘Œ < (๐ท / 2))) โ†’ 0 โ‰ค (((๐ท / 2)โ†‘2) + ((๐ท / 2)โ†‘2)))
1815, 17resqrtcld 15406 . . 3 (((((๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘‹) โˆง (๐‘Œ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘Œ)) โˆง ๐ท โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘‹ < (๐ท / 2) โˆง ๐‘Œ < (๐ท / 2))) โ†’ (โˆšโ€˜(((๐ท / 2)โ†‘2) + ((๐ท / 2)โ†‘2))) โˆˆ โ„)
19 simprl 769 . . . . . 6 (((((๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘‹) โˆง (๐‘Œ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘Œ)) โˆง ๐ท โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘‹ < (๐ท / 2) โˆง ๐‘Œ < (๐ท / 2))) โ†’ ๐‘‹ < (๐ท / 2))
20 simp-4r 782 . . . . . . 7 (((((๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘‹) โˆง (๐‘Œ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘Œ)) โˆง ๐ท โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘‹ < (๐ท / 2) โˆง ๐‘Œ < (๐ท / 2))) โ†’ 0 โ‰ค ๐‘‹)
21 2rp 13021 . . . . . . . . 9 2 โˆˆ โ„+
2221a1i 11 . . . . . . . 8 (((((๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘‹) โˆง (๐‘Œ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘Œ)) โˆง ๐ท โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘‹ < (๐ท / 2) โˆง ๐‘Œ < (๐ท / 2))) โ†’ 2 โˆˆ โ„+)
2311rpge0d 13062 . . . . . . . 8 (((((๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘‹) โˆง (๐‘Œ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘Œ)) โˆง ๐ท โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘‹ < (๐ท / 2) โˆง ๐‘Œ < (๐ท / 2))) โ†’ 0 โ‰ค ๐ท)
2412, 22, 23divge0d 13098 . . . . . . 7 (((((๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘‹) โˆง (๐‘Œ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘Œ)) โˆง ๐ท โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘‹ < (๐ท / 2) โˆง ๐‘Œ < (๐ท / 2))) โ†’ 0 โ‰ค (๐ท / 2))
251, 13, 20, 24lt2sqd 14260 . . . . . 6 (((((๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘‹) โˆง (๐‘Œ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘Œ)) โˆง ๐ท โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘‹ < (๐ท / 2) โˆง ๐‘Œ < (๐ท / 2))) โ†’ (๐‘‹ < (๐ท / 2) โ†” (๐‘‹โ†‘2) < ((๐ท / 2)โ†‘2)))
2619, 25mpbid 231 . . . . 5 (((((๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘‹) โˆง (๐‘Œ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘Œ)) โˆง ๐ท โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘‹ < (๐ท / 2) โˆง ๐‘Œ < (๐ท / 2))) โ†’ (๐‘‹โ†‘2) < ((๐ท / 2)โ†‘2))
27 simprr 771 . . . . . 6 (((((๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘‹) โˆง (๐‘Œ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘Œ)) โˆง ๐ท โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘‹ < (๐ท / 2) โˆง ๐‘Œ < (๐ท / 2))) โ†’ ๐‘Œ < (๐ท / 2))
283simprd 494 . . . . . . 7 (((((๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘‹) โˆง (๐‘Œ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘Œ)) โˆง ๐ท โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘‹ < (๐ท / 2) โˆง ๐‘Œ < (๐ท / 2))) โ†’ 0 โ‰ค ๐‘Œ)
294, 13, 28, 24lt2sqd 14260 . . . . . 6 (((((๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘‹) โˆง (๐‘Œ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘Œ)) โˆง ๐ท โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘‹ < (๐ท / 2) โˆง ๐‘Œ < (๐ท / 2))) โ†’ (๐‘Œ < (๐ท / 2) โ†” (๐‘Œโ†‘2) < ((๐ท / 2)โ†‘2)))
3027, 29mpbid 231 . . . . 5 (((((๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘‹) โˆง (๐‘Œ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘Œ)) โˆง ๐ท โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘‹ < (๐ท / 2) โˆง ๐‘Œ < (๐ท / 2))) โ†’ (๐‘Œโ†‘2) < ((๐ท / 2)โ†‘2))
312, 5, 14, 14, 26, 30lt2addd 11877 . . . 4 (((((๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘‹) โˆง (๐‘Œ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘Œ)) โˆง ๐ท โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘‹ < (๐ท / 2) โˆง ๐‘Œ < (๐ท / 2))) โ†’ ((๐‘‹โ†‘2) + (๐‘Œโ†‘2)) < (((๐ท / 2)โ†‘2) + ((๐ท / 2)โ†‘2)))
326, 9, 15, 17sqrtltd 15416 . . . 4 (((((๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘‹) โˆง (๐‘Œ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘Œ)) โˆง ๐ท โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘‹ < (๐ท / 2) โˆง ๐‘Œ < (๐ท / 2))) โ†’ (((๐‘‹โ†‘2) + (๐‘Œโ†‘2)) < (((๐ท / 2)โ†‘2) + ((๐ท / 2)โ†‘2)) โ†” (โˆšโ€˜((๐‘‹โ†‘2) + (๐‘Œโ†‘2))) < (โˆšโ€˜(((๐ท / 2)โ†‘2) + ((๐ท / 2)โ†‘2)))))
3331, 32mpbid 231 . . 3 (((((๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘‹) โˆง (๐‘Œ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘Œ)) โˆง ๐ท โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘‹ < (๐ท / 2) โˆง ๐‘Œ < (๐ท / 2))) โ†’ (โˆšโ€˜((๐‘‹โ†‘2) + (๐‘Œโ†‘2))) < (โˆšโ€˜(((๐ท / 2)โ†‘2) + ((๐ท / 2)โ†‘2))))
34 rpre 13024 . . . . . . . . . . 11 (๐ท โˆˆ โ„+ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„)
3534rehalfcld 12499 . . . . . . . . . 10 (๐ท โˆˆ โ„+ โ†’ (๐ท / 2) โˆˆ โ„)
3635resqcld 14131 . . . . . . . . 9 (๐ท โˆˆ โ„+ โ†’ ((๐ท / 2)โ†‘2) โˆˆ โ„)
3736recnd 11282 . . . . . . . 8 (๐ท โˆˆ โ„+ โ†’ ((๐ท / 2)โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
38372timesd 12495 . . . . . . 7 (๐ท โˆˆ โ„+ โ†’ (2 ยท ((๐ท / 2)โ†‘2)) = (((๐ท / 2)โ†‘2) + ((๐ท / 2)โ†‘2)))
3938fveq2d 6906 . . . . . 6 (๐ท โˆˆ โ„+ โ†’ (โˆšโ€˜(2 ยท ((๐ท / 2)โ†‘2))) = (โˆšโ€˜(((๐ท / 2)โ†‘2) + ((๐ท / 2)โ†‘2))))
4021a1i 11 . . . . . . . . . 10 (๐ท โˆˆ โ„+ โ†’ 2 โˆˆ โ„+)
41 rpge0 13029 . . . . . . . . . 10 (๐ท โˆˆ โ„+ โ†’ 0 โ‰ค ๐ท)
4234, 40, 41divge0d 13098 . . . . . . . . 9 (๐ท โˆˆ โ„+ โ†’ 0 โ‰ค (๐ท / 2))
4335, 42sqrtsqd 15408 . . . . . . . 8 (๐ท โˆˆ โ„+ โ†’ (โˆšโ€˜((๐ท / 2)โ†‘2)) = (๐ท / 2))
4443oveq2d 7442 . . . . . . 7 (๐ท โˆˆ โ„+ โ†’ ((โˆšโ€˜2) ยท (โˆšโ€˜((๐ท / 2)โ†‘2))) = ((โˆšโ€˜2) ยท (๐ท / 2)))
45 2re 12326 . . . . . . . . 9 2 โˆˆ โ„
4645a1i 11 . . . . . . . 8 (๐ท โˆˆ โ„+ โ†’ 2 โˆˆ โ„)
47 0le2 12354 . . . . . . . . 9 0 โ‰ค 2
4847a1i 11 . . . . . . . 8 (๐ท โˆˆ โ„+ โ†’ 0 โ‰ค 2)
4935sqge0d 14143 . . . . . . . 8 (๐ท โˆˆ โ„+ โ†’ 0 โ‰ค ((๐ท / 2)โ†‘2))
5046, 48, 36, 49sqrtmuld 15413 . . . . . . 7 (๐ท โˆˆ โ„+ โ†’ (โˆšโ€˜(2 ยท ((๐ท / 2)โ†‘2))) = ((โˆšโ€˜2) ยท (โˆšโ€˜((๐ท / 2)โ†‘2))))
51 2cnd 12330 . . . . . . . . 9 (๐ท โˆˆ โ„+ โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
5251sqrtcld 15426 . . . . . . . 8 (๐ท โˆˆ โ„+ โ†’ (โˆšโ€˜2) โˆˆ โ„‚)
53 rpcn 13026 . . . . . . . 8 (๐ท โˆˆ โ„+ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
54 2ne0 12356 . . . . . . . . 9 2 โ‰  0
5554a1i 11 . . . . . . . 8 (๐ท โˆˆ โ„+ โ†’ 2 โ‰  0)
5652, 51, 53, 55div32d 12053 . . . . . . 7 (๐ท โˆˆ โ„+ โ†’ (((โˆšโ€˜2) / 2) ยท ๐ท) = ((โˆšโ€˜2) ยท (๐ท / 2)))
5744, 50, 563eqtr4d 2778 . . . . . 6 (๐ท โˆˆ โ„+ โ†’ (โˆšโ€˜(2 ยท ((๐ท / 2)โ†‘2))) = (((โˆšโ€˜2) / 2) ยท ๐ท))
5839, 57eqtr3d 2770 . . . . 5 (๐ท โˆˆ โ„+ โ†’ (โˆšโ€˜(((๐ท / 2)โ†‘2) + ((๐ท / 2)โ†‘2))) = (((โˆšโ€˜2) / 2) ยท ๐ท))
59 2lt4 12427 . . . . . . . . . 10 2 < 4
60 4re 12336 . . . . . . . . . . 11 4 โˆˆ โ„
61 0re 11256 . . . . . . . . . . . 12 0 โˆˆ โ„
62 4pos 12359 . . . . . . . . . . . 12 0 < 4
6361, 60, 62ltleii 11377 . . . . . . . . . . 11 0 โ‰ค 4
64 sqrtlt 15250 . . . . . . . . . . 11 (((2 โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค 2) โˆง (4 โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค 4)) โ†’ (2 < 4 โ†” (โˆšโ€˜2) < (โˆšโ€˜4)))
6545, 47, 60, 63, 64mp4an 691 . . . . . . . . . 10 (2 < 4 โ†” (โˆšโ€˜2) < (โˆšโ€˜4))
6659, 65mpbi 229 . . . . . . . . 9 (โˆšโ€˜2) < (โˆšโ€˜4)
67 2pos 12355 . . . . . . . . . . 11 0 < 2
6845, 67sqrtpclii 15371 . . . . . . . . . 10 (โˆšโ€˜2) โˆˆ โ„
6960, 62sqrtpclii 15371 . . . . . . . . . 10 (โˆšโ€˜4) โˆˆ โ„
7068, 69, 45, 67ltdiv1ii 12183 . . . . . . . . 9 ((โˆšโ€˜2) < (โˆšโ€˜4) โ†” ((โˆšโ€˜2) / 2) < ((โˆšโ€˜4) / 2))
7166, 70mpbi 229 . . . . . . . 8 ((โˆšโ€˜2) / 2) < ((โˆšโ€˜4) / 2)
72 sqrtsq 15258 . . . . . . . . . . 11 ((2 โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค 2) โ†’ (โˆšโ€˜(2โ†‘2)) = 2)
7345, 47, 72mp2an 690 . . . . . . . . . 10 (โˆšโ€˜(2โ†‘2)) = 2
7473oveq1i 7436 . . . . . . . . 9 ((โˆšโ€˜(2โ†‘2)) / 2) = (2 / 2)
75 sq2 14202 . . . . . . . . . . 11 (2โ†‘2) = 4
7675fveq2i 6905 . . . . . . . . . 10 (โˆšโ€˜(2โ†‘2)) = (โˆšโ€˜4)
7776oveq1i 7436 . . . . . . . . 9 ((โˆšโ€˜(2โ†‘2)) / 2) = ((โˆšโ€˜4) / 2)
78 2div2e1 12393 . . . . . . . . 9 (2 / 2) = 1
7974, 77, 783eqtr3i 2764 . . . . . . . 8 ((โˆšโ€˜4) / 2) = 1
8071, 79breqtri 5177 . . . . . . 7 ((โˆšโ€˜2) / 2) < 1
8146, 48resqrtcld 15406 . . . . . . . . 9 (๐ท โˆˆ โ„+ โ†’ (โˆšโ€˜2) โˆˆ โ„)
8281rehalfcld 12499 . . . . . . . 8 (๐ท โˆˆ โ„+ โ†’ ((โˆšโ€˜2) / 2) โˆˆ โ„)
83 1red 11255 . . . . . . . 8 (๐ท โˆˆ โ„+ โ†’ 1 โˆˆ โ„)
84 id 22 . . . . . . . 8 (๐ท โˆˆ โ„+ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„+)
8582, 83, 84ltmul1d 13099 . . . . . . 7 (๐ท โˆˆ โ„+ โ†’ (((โˆšโ€˜2) / 2) < 1 โ†” (((โˆšโ€˜2) / 2) ยท ๐ท) < (1 ยท ๐ท)))
8680, 85mpbii 232 . . . . . 6 (๐ท โˆˆ โ„+ โ†’ (((โˆšโ€˜2) / 2) ยท ๐ท) < (1 ยท ๐ท))
8753mullidd 11272 . . . . . 6 (๐ท โˆˆ โ„+ โ†’ (1 ยท ๐ท) = ๐ท)
8886, 87breqtrd 5178 . . . . 5 (๐ท โˆˆ โ„+ โ†’ (((โˆšโ€˜2) / 2) ยท ๐ท) < ๐ท)
8958, 88eqbrtrd 5174 . . . 4 (๐ท โˆˆ โ„+ โ†’ (โˆšโ€˜(((๐ท / 2)โ†‘2) + ((๐ท / 2)โ†‘2))) < ๐ท)
9011, 89syl 17 . . 3 (((((๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘‹) โˆง (๐‘Œ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘Œ)) โˆง ๐ท โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘‹ < (๐ท / 2) โˆง ๐‘Œ < (๐ท / 2))) โ†’ (โˆšโ€˜(((๐ท / 2)โ†‘2) + ((๐ท / 2)โ†‘2))) < ๐ท)
9110, 18, 12, 33, 90lttrd 11415 . 2 (((((๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘‹) โˆง (๐‘Œ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘Œ)) โˆง ๐ท โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘‹ < (๐ท / 2) โˆง ๐‘Œ < (๐ท / 2))) โ†’ (โˆšโ€˜((๐‘‹โ†‘2) + (๐‘Œโ†‘2))) < ๐ท)
9291ex 411 1 ((((๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘‹) โˆง (๐‘Œ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘Œ)) โˆง ๐ท โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐‘‹ < (๐ท / 2) โˆง ๐‘Œ < (๐ท / 2)) โ†’ (โˆšโ€˜((๐‘‹โ†‘2) + (๐‘Œโ†‘2))) < ๐ท))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2937   class class class wbr 5152  โ€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  โ„cr 11147  0cc0 11148  1c1 11149   + caddc 11151   ยท cmul 11153   < clt 11288   โ‰ค cle 11289   / cdiv 11911  2c2 12307  4c4 12309  โ„+crp 13016  โ†‘cexp 14068  โˆšcsqrt 15222
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225  ax-pre-sup 11226
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-2nd 8002  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-er 8733  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-sup 9475  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-div 11912  df-nn 12253  df-2 12315  df-3 12316  df-4 12317  df-n0 12513  df-z 12599  df-uz 12863  df-rp 13017  df-seq 14009  df-exp 14069  df-cj 15088  df-re 15089  df-im 15090  df-sqrt 15224  df-abs 15225
This theorem is referenced by:  sqsscirc2  33551
  Copyright terms: Public domain W3C validator