Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sqsscirc1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sqsscirc1 33418
Description: The complex square of side ๐ท is a subset of the complex circle of radius ๐ท. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Sep-2017.)
Assertion
Ref Expression
sqsscirc1 ((((๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘‹) โˆง (๐‘Œ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘Œ)) โˆง ๐ท โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐‘‹ < (๐ท / 2) โˆง ๐‘Œ < (๐ท / 2)) โ†’ (โˆšโ€˜((๐‘‹โ†‘2) + (๐‘Œโ†‘2))) < ๐ท))

Proof of Theorem sqsscirc1
StepHypRef Expression
1 simp-4l 780 . . . . . 6 (((((๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘‹) โˆง (๐‘Œ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘Œ)) โˆง ๐ท โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘‹ < (๐ท / 2) โˆง ๐‘Œ < (๐ท / 2))) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„)
21resqcld 14095 . . . . 5 (((((๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘‹) โˆง (๐‘Œ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘Œ)) โˆง ๐ท โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘‹ < (๐ท / 2) โˆง ๐‘Œ < (๐ท / 2))) โ†’ (๐‘‹โ†‘2) โˆˆ โ„)
3 simpllr 773 . . . . . . 7 (((((๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘‹) โˆง (๐‘Œ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘Œ)) โˆง ๐ท โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘‹ < (๐ท / 2) โˆง ๐‘Œ < (๐ท / 2))) โ†’ (๐‘Œ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘Œ))
43simpld 494 . . . . . 6 (((((๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘‹) โˆง (๐‘Œ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘Œ)) โˆง ๐ท โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘‹ < (๐ท / 2) โˆง ๐‘Œ < (๐ท / 2))) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ โ„)
54resqcld 14095 . . . . 5 (((((๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘‹) โˆง (๐‘Œ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘Œ)) โˆง ๐ท โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘‹ < (๐ท / 2) โˆง ๐‘Œ < (๐ท / 2))) โ†’ (๐‘Œโ†‘2) โˆˆ โ„)
62, 5readdcld 11247 . . . 4 (((((๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘‹) โˆง (๐‘Œ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘Œ)) โˆง ๐ท โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘‹ < (๐ท / 2) โˆง ๐‘Œ < (๐ท / 2))) โ†’ ((๐‘‹โ†‘2) + (๐‘Œโ†‘2)) โˆˆ โ„)
71sqge0d 14107 . . . . 5 (((((๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘‹) โˆง (๐‘Œ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘Œ)) โˆง ๐ท โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘‹ < (๐ท / 2) โˆง ๐‘Œ < (๐ท / 2))) โ†’ 0 โ‰ค (๐‘‹โ†‘2))
84sqge0d 14107 . . . . 5 (((((๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘‹) โˆง (๐‘Œ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘Œ)) โˆง ๐ท โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘‹ < (๐ท / 2) โˆง ๐‘Œ < (๐ท / 2))) โ†’ 0 โ‰ค (๐‘Œโ†‘2))
92, 5, 7, 8addge0d 11794 . . . 4 (((((๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘‹) โˆง (๐‘Œ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘Œ)) โˆง ๐ท โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘‹ < (๐ท / 2) โˆง ๐‘Œ < (๐ท / 2))) โ†’ 0 โ‰ค ((๐‘‹โ†‘2) + (๐‘Œโ†‘2)))
106, 9resqrtcld 15370 . . 3 (((((๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘‹) โˆง (๐‘Œ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘Œ)) โˆง ๐ท โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘‹ < (๐ท / 2) โˆง ๐‘Œ < (๐ท / 2))) โ†’ (โˆšโ€˜((๐‘‹โ†‘2) + (๐‘Œโ†‘2))) โˆˆ โ„)
11 simplr 766 . . . . . . . 8 (((((๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘‹) โˆง (๐‘Œ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘Œ)) โˆง ๐ท โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘‹ < (๐ท / 2) โˆง ๐‘Œ < (๐ท / 2))) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„+)
1211rpred 13022 . . . . . . 7 (((((๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘‹) โˆง (๐‘Œ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘Œ)) โˆง ๐ท โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘‹ < (๐ท / 2) โˆง ๐‘Œ < (๐ท / 2))) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„)
1312rehalfcld 12463 . . . . . 6 (((((๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘‹) โˆง (๐‘Œ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘Œ)) โˆง ๐ท โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘‹ < (๐ท / 2) โˆง ๐‘Œ < (๐ท / 2))) โ†’ (๐ท / 2) โˆˆ โ„)
1413resqcld 14095 . . . . 5 (((((๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘‹) โˆง (๐‘Œ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘Œ)) โˆง ๐ท โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘‹ < (๐ท / 2) โˆง ๐‘Œ < (๐ท / 2))) โ†’ ((๐ท / 2)โ†‘2) โˆˆ โ„)
1514, 14readdcld 11247 . . . 4 (((((๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘‹) โˆง (๐‘Œ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘Œ)) โˆง ๐ท โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘‹ < (๐ท / 2) โˆง ๐‘Œ < (๐ท / 2))) โ†’ (((๐ท / 2)โ†‘2) + ((๐ท / 2)โ†‘2)) โˆˆ โ„)
1613sqge0d 14107 . . . . 5 (((((๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘‹) โˆง (๐‘Œ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘Œ)) โˆง ๐ท โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘‹ < (๐ท / 2) โˆง ๐‘Œ < (๐ท / 2))) โ†’ 0 โ‰ค ((๐ท / 2)โ†‘2))
1714, 14, 16, 16addge0d 11794 . . . 4 (((((๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘‹) โˆง (๐‘Œ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘Œ)) โˆง ๐ท โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘‹ < (๐ท / 2) โˆง ๐‘Œ < (๐ท / 2))) โ†’ 0 โ‰ค (((๐ท / 2)โ†‘2) + ((๐ท / 2)โ†‘2)))
1815, 17resqrtcld 15370 . . 3 (((((๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘‹) โˆง (๐‘Œ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘Œ)) โˆง ๐ท โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘‹ < (๐ท / 2) โˆง ๐‘Œ < (๐ท / 2))) โ†’ (โˆšโ€˜(((๐ท / 2)โ†‘2) + ((๐ท / 2)โ†‘2))) โˆˆ โ„)
19 simprl 768 . . . . . 6 (((((๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘‹) โˆง (๐‘Œ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘Œ)) โˆง ๐ท โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘‹ < (๐ท / 2) โˆง ๐‘Œ < (๐ท / 2))) โ†’ ๐‘‹ < (๐ท / 2))
20 simp-4r 781 . . . . . . 7 (((((๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘‹) โˆง (๐‘Œ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘Œ)) โˆง ๐ท โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘‹ < (๐ท / 2) โˆง ๐‘Œ < (๐ท / 2))) โ†’ 0 โ‰ค ๐‘‹)
21 2rp 12985 . . . . . . . . 9 2 โˆˆ โ„+
2221a1i 11 . . . . . . . 8 (((((๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘‹) โˆง (๐‘Œ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘Œ)) โˆง ๐ท โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘‹ < (๐ท / 2) โˆง ๐‘Œ < (๐ท / 2))) โ†’ 2 โˆˆ โ„+)
2311rpge0d 13026 . . . . . . . 8 (((((๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘‹) โˆง (๐‘Œ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘Œ)) โˆง ๐ท โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘‹ < (๐ท / 2) โˆง ๐‘Œ < (๐ท / 2))) โ†’ 0 โ‰ค ๐ท)
2412, 22, 23divge0d 13062 . . . . . . 7 (((((๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘‹) โˆง (๐‘Œ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘Œ)) โˆง ๐ท โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘‹ < (๐ท / 2) โˆง ๐‘Œ < (๐ท / 2))) โ†’ 0 โ‰ค (๐ท / 2))
251, 13, 20, 24lt2sqd 14224 . . . . . 6 (((((๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘‹) โˆง (๐‘Œ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘Œ)) โˆง ๐ท โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘‹ < (๐ท / 2) โˆง ๐‘Œ < (๐ท / 2))) โ†’ (๐‘‹ < (๐ท / 2) โ†” (๐‘‹โ†‘2) < ((๐ท / 2)โ†‘2)))
2619, 25mpbid 231 . . . . 5 (((((๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘‹) โˆง (๐‘Œ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘Œ)) โˆง ๐ท โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘‹ < (๐ท / 2) โˆง ๐‘Œ < (๐ท / 2))) โ†’ (๐‘‹โ†‘2) < ((๐ท / 2)โ†‘2))
27 simprr 770 . . . . . 6 (((((๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘‹) โˆง (๐‘Œ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘Œ)) โˆง ๐ท โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘‹ < (๐ท / 2) โˆง ๐‘Œ < (๐ท / 2))) โ†’ ๐‘Œ < (๐ท / 2))
283simprd 495 . . . . . . 7 (((((๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘‹) โˆง (๐‘Œ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘Œ)) โˆง ๐ท โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘‹ < (๐ท / 2) โˆง ๐‘Œ < (๐ท / 2))) โ†’ 0 โ‰ค ๐‘Œ)
294, 13, 28, 24lt2sqd 14224 . . . . . 6 (((((๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘‹) โˆง (๐‘Œ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘Œ)) โˆง ๐ท โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘‹ < (๐ท / 2) โˆง ๐‘Œ < (๐ท / 2))) โ†’ (๐‘Œ < (๐ท / 2) โ†” (๐‘Œโ†‘2) < ((๐ท / 2)โ†‘2)))
3027, 29mpbid 231 . . . . 5 (((((๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘‹) โˆง (๐‘Œ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘Œ)) โˆง ๐ท โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘‹ < (๐ท / 2) โˆง ๐‘Œ < (๐ท / 2))) โ†’ (๐‘Œโ†‘2) < ((๐ท / 2)โ†‘2))
312, 5, 14, 14, 26, 30lt2addd 11841 . . . 4 (((((๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘‹) โˆง (๐‘Œ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘Œ)) โˆง ๐ท โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘‹ < (๐ท / 2) โˆง ๐‘Œ < (๐ท / 2))) โ†’ ((๐‘‹โ†‘2) + (๐‘Œโ†‘2)) < (((๐ท / 2)โ†‘2) + ((๐ท / 2)โ†‘2)))
326, 9, 15, 17sqrtltd 15380 . . . 4 (((((๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘‹) โˆง (๐‘Œ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘Œ)) โˆง ๐ท โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘‹ < (๐ท / 2) โˆง ๐‘Œ < (๐ท / 2))) โ†’ (((๐‘‹โ†‘2) + (๐‘Œโ†‘2)) < (((๐ท / 2)โ†‘2) + ((๐ท / 2)โ†‘2)) โ†” (โˆšโ€˜((๐‘‹โ†‘2) + (๐‘Œโ†‘2))) < (โˆšโ€˜(((๐ท / 2)โ†‘2) + ((๐ท / 2)โ†‘2)))))
3331, 32mpbid 231 . . 3 (((((๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘‹) โˆง (๐‘Œ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘Œ)) โˆง ๐ท โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘‹ < (๐ท / 2) โˆง ๐‘Œ < (๐ท / 2))) โ†’ (โˆšโ€˜((๐‘‹โ†‘2) + (๐‘Œโ†‘2))) < (โˆšโ€˜(((๐ท / 2)โ†‘2) + ((๐ท / 2)โ†‘2))))
34 rpre 12988 . . . . . . . . . . 11 (๐ท โˆˆ โ„+ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„)
3534rehalfcld 12463 . . . . . . . . . 10 (๐ท โˆˆ โ„+ โ†’ (๐ท / 2) โˆˆ โ„)
3635resqcld 14095 . . . . . . . . 9 (๐ท โˆˆ โ„+ โ†’ ((๐ท / 2)โ†‘2) โˆˆ โ„)
3736recnd 11246 . . . . . . . 8 (๐ท โˆˆ โ„+ โ†’ ((๐ท / 2)โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
38372timesd 12459 . . . . . . 7 (๐ท โˆˆ โ„+ โ†’ (2 ยท ((๐ท / 2)โ†‘2)) = (((๐ท / 2)โ†‘2) + ((๐ท / 2)โ†‘2)))
3938fveq2d 6889 . . . . . 6 (๐ท โˆˆ โ„+ โ†’ (โˆšโ€˜(2 ยท ((๐ท / 2)โ†‘2))) = (โˆšโ€˜(((๐ท / 2)โ†‘2) + ((๐ท / 2)โ†‘2))))
4021a1i 11 . . . . . . . . . 10 (๐ท โˆˆ โ„+ โ†’ 2 โˆˆ โ„+)
41 rpge0 12993 . . . . . . . . . 10 (๐ท โˆˆ โ„+ โ†’ 0 โ‰ค ๐ท)
4234, 40, 41divge0d 13062 . . . . . . . . 9 (๐ท โˆˆ โ„+ โ†’ 0 โ‰ค (๐ท / 2))
4335, 42sqrtsqd 15372 . . . . . . . 8 (๐ท โˆˆ โ„+ โ†’ (โˆšโ€˜((๐ท / 2)โ†‘2)) = (๐ท / 2))
4443oveq2d 7421 . . . . . . 7 (๐ท โˆˆ โ„+ โ†’ ((โˆšโ€˜2) ยท (โˆšโ€˜((๐ท / 2)โ†‘2))) = ((โˆšโ€˜2) ยท (๐ท / 2)))
45 2re 12290 . . . . . . . . 9 2 โˆˆ โ„
4645a1i 11 . . . . . . . 8 (๐ท โˆˆ โ„+ โ†’ 2 โˆˆ โ„)
47 0le2 12318 . . . . . . . . 9 0 โ‰ค 2
4847a1i 11 . . . . . . . 8 (๐ท โˆˆ โ„+ โ†’ 0 โ‰ค 2)
4935sqge0d 14107 . . . . . . . 8 (๐ท โˆˆ โ„+ โ†’ 0 โ‰ค ((๐ท / 2)โ†‘2))
5046, 48, 36, 49sqrtmuld 15377 . . . . . . 7 (๐ท โˆˆ โ„+ โ†’ (โˆšโ€˜(2 ยท ((๐ท / 2)โ†‘2))) = ((โˆšโ€˜2) ยท (โˆšโ€˜((๐ท / 2)โ†‘2))))
51 2cnd 12294 . . . . . . . . 9 (๐ท โˆˆ โ„+ โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
5251sqrtcld 15390 . . . . . . . 8 (๐ท โˆˆ โ„+ โ†’ (โˆšโ€˜2) โˆˆ โ„‚)
53 rpcn 12990 . . . . . . . 8 (๐ท โˆˆ โ„+ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
54 2ne0 12320 . . . . . . . . 9 2 โ‰  0
5554a1i 11 . . . . . . . 8 (๐ท โˆˆ โ„+ โ†’ 2 โ‰  0)
5652, 51, 53, 55div32d 12017 . . . . . . 7 (๐ท โˆˆ โ„+ โ†’ (((โˆšโ€˜2) / 2) ยท ๐ท) = ((โˆšโ€˜2) ยท (๐ท / 2)))
5744, 50, 563eqtr4d 2776 . . . . . 6 (๐ท โˆˆ โ„+ โ†’ (โˆšโ€˜(2 ยท ((๐ท / 2)โ†‘2))) = (((โˆšโ€˜2) / 2) ยท ๐ท))
5839, 57eqtr3d 2768 . . . . 5 (๐ท โˆˆ โ„+ โ†’ (โˆšโ€˜(((๐ท / 2)โ†‘2) + ((๐ท / 2)โ†‘2))) = (((โˆšโ€˜2) / 2) ยท ๐ท))
59 2lt4 12391 . . . . . . . . . 10 2 < 4
60 4re 12300 . . . . . . . . . . 11 4 โˆˆ โ„
61 0re 11220 . . . . . . . . . . . 12 0 โˆˆ โ„
62 4pos 12323 . . . . . . . . . . . 12 0 < 4
6361, 60, 62ltleii 11341 . . . . . . . . . . 11 0 โ‰ค 4
64 sqrtlt 15214 . . . . . . . . . . 11 (((2 โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค 2) โˆง (4 โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค 4)) โ†’ (2 < 4 โ†” (โˆšโ€˜2) < (โˆšโ€˜4)))
6545, 47, 60, 63, 64mp4an 690 . . . . . . . . . 10 (2 < 4 โ†” (โˆšโ€˜2) < (โˆšโ€˜4))
6659, 65mpbi 229 . . . . . . . . 9 (โˆšโ€˜2) < (โˆšโ€˜4)
67 2pos 12319 . . . . . . . . . . 11 0 < 2
6845, 67sqrtpclii 15335 . . . . . . . . . 10 (โˆšโ€˜2) โˆˆ โ„
6960, 62sqrtpclii 15335 . . . . . . . . . 10 (โˆšโ€˜4) โˆˆ โ„
7068, 69, 45, 67ltdiv1ii 12147 . . . . . . . . 9 ((โˆšโ€˜2) < (โˆšโ€˜4) โ†” ((โˆšโ€˜2) / 2) < ((โˆšโ€˜4) / 2))
7166, 70mpbi 229 . . . . . . . 8 ((โˆšโ€˜2) / 2) < ((โˆšโ€˜4) / 2)
72 sqrtsq 15222 . . . . . . . . . . 11 ((2 โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค 2) โ†’ (โˆšโ€˜(2โ†‘2)) = 2)
7345, 47, 72mp2an 689 . . . . . . . . . 10 (โˆšโ€˜(2โ†‘2)) = 2
7473oveq1i 7415 . . . . . . . . 9 ((โˆšโ€˜(2โ†‘2)) / 2) = (2 / 2)
75 sq2 14166 . . . . . . . . . . 11 (2โ†‘2) = 4
7675fveq2i 6888 . . . . . . . . . 10 (โˆšโ€˜(2โ†‘2)) = (โˆšโ€˜4)
7776oveq1i 7415 . . . . . . . . 9 ((โˆšโ€˜(2โ†‘2)) / 2) = ((โˆšโ€˜4) / 2)
78 2div2e1 12357 . . . . . . . . 9 (2 / 2) = 1
7974, 77, 783eqtr3i 2762 . . . . . . . 8 ((โˆšโ€˜4) / 2) = 1
8071, 79breqtri 5166 . . . . . . 7 ((โˆšโ€˜2) / 2) < 1
8146, 48resqrtcld 15370 . . . . . . . . 9 (๐ท โˆˆ โ„+ โ†’ (โˆšโ€˜2) โˆˆ โ„)
8281rehalfcld 12463 . . . . . . . 8 (๐ท โˆˆ โ„+ โ†’ ((โˆšโ€˜2) / 2) โˆˆ โ„)
83 1red 11219 . . . . . . . 8 (๐ท โˆˆ โ„+ โ†’ 1 โˆˆ โ„)
84 id 22 . . . . . . . 8 (๐ท โˆˆ โ„+ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„+)
8582, 83, 84ltmul1d 13063 . . . . . . 7 (๐ท โˆˆ โ„+ โ†’ (((โˆšโ€˜2) / 2) < 1 โ†” (((โˆšโ€˜2) / 2) ยท ๐ท) < (1 ยท ๐ท)))
8680, 85mpbii 232 . . . . . 6 (๐ท โˆˆ โ„+ โ†’ (((โˆšโ€˜2) / 2) ยท ๐ท) < (1 ยท ๐ท))
8753mullidd 11236 . . . . . 6 (๐ท โˆˆ โ„+ โ†’ (1 ยท ๐ท) = ๐ท)
8886, 87breqtrd 5167 . . . . 5 (๐ท โˆˆ โ„+ โ†’ (((โˆšโ€˜2) / 2) ยท ๐ท) < ๐ท)
8958, 88eqbrtrd 5163 . . . 4 (๐ท โˆˆ โ„+ โ†’ (โˆšโ€˜(((๐ท / 2)โ†‘2) + ((๐ท / 2)โ†‘2))) < ๐ท)
9011, 89syl 17 . . 3 (((((๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘‹) โˆง (๐‘Œ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘Œ)) โˆง ๐ท โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘‹ < (๐ท / 2) โˆง ๐‘Œ < (๐ท / 2))) โ†’ (โˆšโ€˜(((๐ท / 2)โ†‘2) + ((๐ท / 2)โ†‘2))) < ๐ท)
9110, 18, 12, 33, 90lttrd 11379 . 2 (((((๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘‹) โˆง (๐‘Œ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘Œ)) โˆง ๐ท โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘‹ < (๐ท / 2) โˆง ๐‘Œ < (๐ท / 2))) โ†’ (โˆšโ€˜((๐‘‹โ†‘2) + (๐‘Œโ†‘2))) < ๐ท)
9291ex 412 1 ((((๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘‹) โˆง (๐‘Œ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘Œ)) โˆง ๐ท โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐‘‹ < (๐ท / 2) โˆง ๐‘Œ < (๐ท / 2)) โ†’ (โˆšโ€˜((๐‘‹โ†‘2) + (๐‘Œโ†‘2))) < ๐ท))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2934   class class class wbr 5141  โ€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  โ„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   ยท cmul 11117   < clt 11252   โ‰ค cle 11253   / cdiv 11875  2c2 12271  4c4 12273  โ„+crp 12980  โ†‘cexp 14032  โˆšcsqrt 15186
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12981  df-seq 13973  df-exp 14033  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189
This theorem is referenced by:  sqsscirc2  33419
  Copyright terms: Public domain W3C validator