Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sqsscirc1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sqsscirc1 32553
Description: The complex square of side ๐ท is a subset of the complex circle of radius ๐ท. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Sep-2017.)
Assertion
Ref Expression
sqsscirc1 ((((๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘‹) โˆง (๐‘Œ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘Œ)) โˆง ๐ท โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐‘‹ < (๐ท / 2) โˆง ๐‘Œ < (๐ท / 2)) โ†’ (โˆšโ€˜((๐‘‹โ†‘2) + (๐‘Œโ†‘2))) < ๐ท))

Proof of Theorem sqsscirc1
StepHypRef Expression
1 simp-4l 782 . . . . . 6 (((((๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘‹) โˆง (๐‘Œ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘Œ)) โˆง ๐ท โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘‹ < (๐ท / 2) โˆง ๐‘Œ < (๐ท / 2))) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„)
21resqcld 14039 . . . . 5 (((((๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘‹) โˆง (๐‘Œ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘Œ)) โˆง ๐ท โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘‹ < (๐ท / 2) โˆง ๐‘Œ < (๐ท / 2))) โ†’ (๐‘‹โ†‘2) โˆˆ โ„)
3 simpllr 775 . . . . . . 7 (((((๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘‹) โˆง (๐‘Œ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘Œ)) โˆง ๐ท โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘‹ < (๐ท / 2) โˆง ๐‘Œ < (๐ท / 2))) โ†’ (๐‘Œ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘Œ))
43simpld 496 . . . . . 6 (((((๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘‹) โˆง (๐‘Œ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘Œ)) โˆง ๐ท โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘‹ < (๐ท / 2) โˆง ๐‘Œ < (๐ท / 2))) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ โ„)
54resqcld 14039 . . . . 5 (((((๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘‹) โˆง (๐‘Œ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘Œ)) โˆง ๐ท โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘‹ < (๐ท / 2) โˆง ๐‘Œ < (๐ท / 2))) โ†’ (๐‘Œโ†‘2) โˆˆ โ„)
62, 5readdcld 11192 . . . 4 (((((๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘‹) โˆง (๐‘Œ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘Œ)) โˆง ๐ท โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘‹ < (๐ท / 2) โˆง ๐‘Œ < (๐ท / 2))) โ†’ ((๐‘‹โ†‘2) + (๐‘Œโ†‘2)) โˆˆ โ„)
71sqge0d 14051 . . . . 5 (((((๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘‹) โˆง (๐‘Œ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘Œ)) โˆง ๐ท โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘‹ < (๐ท / 2) โˆง ๐‘Œ < (๐ท / 2))) โ†’ 0 โ‰ค (๐‘‹โ†‘2))
84sqge0d 14051 . . . . 5 (((((๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘‹) โˆง (๐‘Œ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘Œ)) โˆง ๐ท โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘‹ < (๐ท / 2) โˆง ๐‘Œ < (๐ท / 2))) โ†’ 0 โ‰ค (๐‘Œโ†‘2))
92, 5, 7, 8addge0d 11739 . . . 4 (((((๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘‹) โˆง (๐‘Œ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘Œ)) โˆง ๐ท โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘‹ < (๐ท / 2) โˆง ๐‘Œ < (๐ท / 2))) โ†’ 0 โ‰ค ((๐‘‹โ†‘2) + (๐‘Œโ†‘2)))
106, 9resqrtcld 15311 . . 3 (((((๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘‹) โˆง (๐‘Œ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘Œ)) โˆง ๐ท โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘‹ < (๐ท / 2) โˆง ๐‘Œ < (๐ท / 2))) โ†’ (โˆšโ€˜((๐‘‹โ†‘2) + (๐‘Œโ†‘2))) โˆˆ โ„)
11 simplr 768 . . . . . . . 8 (((((๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘‹) โˆง (๐‘Œ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘Œ)) โˆง ๐ท โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘‹ < (๐ท / 2) โˆง ๐‘Œ < (๐ท / 2))) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„+)
1211rpred 12965 . . . . . . 7 (((((๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘‹) โˆง (๐‘Œ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘Œ)) โˆง ๐ท โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘‹ < (๐ท / 2) โˆง ๐‘Œ < (๐ท / 2))) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„)
1312rehalfcld 12408 . . . . . 6 (((((๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘‹) โˆง (๐‘Œ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘Œ)) โˆง ๐ท โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘‹ < (๐ท / 2) โˆง ๐‘Œ < (๐ท / 2))) โ†’ (๐ท / 2) โˆˆ โ„)
1413resqcld 14039 . . . . 5 (((((๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘‹) โˆง (๐‘Œ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘Œ)) โˆง ๐ท โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘‹ < (๐ท / 2) โˆง ๐‘Œ < (๐ท / 2))) โ†’ ((๐ท / 2)โ†‘2) โˆˆ โ„)
1514, 14readdcld 11192 . . . 4 (((((๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘‹) โˆง (๐‘Œ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘Œ)) โˆง ๐ท โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘‹ < (๐ท / 2) โˆง ๐‘Œ < (๐ท / 2))) โ†’ (((๐ท / 2)โ†‘2) + ((๐ท / 2)โ†‘2)) โˆˆ โ„)
1613sqge0d 14051 . . . . 5 (((((๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘‹) โˆง (๐‘Œ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘Œ)) โˆง ๐ท โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘‹ < (๐ท / 2) โˆง ๐‘Œ < (๐ท / 2))) โ†’ 0 โ‰ค ((๐ท / 2)โ†‘2))
1714, 14, 16, 16addge0d 11739 . . . 4 (((((๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘‹) โˆง (๐‘Œ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘Œ)) โˆง ๐ท โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘‹ < (๐ท / 2) โˆง ๐‘Œ < (๐ท / 2))) โ†’ 0 โ‰ค (((๐ท / 2)โ†‘2) + ((๐ท / 2)โ†‘2)))
1815, 17resqrtcld 15311 . . 3 (((((๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘‹) โˆง (๐‘Œ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘Œ)) โˆง ๐ท โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘‹ < (๐ท / 2) โˆง ๐‘Œ < (๐ท / 2))) โ†’ (โˆšโ€˜(((๐ท / 2)โ†‘2) + ((๐ท / 2)โ†‘2))) โˆˆ โ„)
19 simprl 770 . . . . . 6 (((((๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘‹) โˆง (๐‘Œ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘Œ)) โˆง ๐ท โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘‹ < (๐ท / 2) โˆง ๐‘Œ < (๐ท / 2))) โ†’ ๐‘‹ < (๐ท / 2))
20 simp-4r 783 . . . . . . 7 (((((๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘‹) โˆง (๐‘Œ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘Œ)) โˆง ๐ท โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘‹ < (๐ท / 2) โˆง ๐‘Œ < (๐ท / 2))) โ†’ 0 โ‰ค ๐‘‹)
21 2rp 12928 . . . . . . . . 9 2 โˆˆ โ„+
2221a1i 11 . . . . . . . 8 (((((๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘‹) โˆง (๐‘Œ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘Œ)) โˆง ๐ท โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘‹ < (๐ท / 2) โˆง ๐‘Œ < (๐ท / 2))) โ†’ 2 โˆˆ โ„+)
2311rpge0d 12969 . . . . . . . 8 (((((๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘‹) โˆง (๐‘Œ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘Œ)) โˆง ๐ท โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘‹ < (๐ท / 2) โˆง ๐‘Œ < (๐ท / 2))) โ†’ 0 โ‰ค ๐ท)
2412, 22, 23divge0d 13005 . . . . . . 7 (((((๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘‹) โˆง (๐‘Œ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘Œ)) โˆง ๐ท โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘‹ < (๐ท / 2) โˆง ๐‘Œ < (๐ท / 2))) โ†’ 0 โ‰ค (๐ท / 2))
251, 13, 20, 24lt2sqd 14168 . . . . . 6 (((((๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘‹) โˆง (๐‘Œ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘Œ)) โˆง ๐ท โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘‹ < (๐ท / 2) โˆง ๐‘Œ < (๐ท / 2))) โ†’ (๐‘‹ < (๐ท / 2) โ†” (๐‘‹โ†‘2) < ((๐ท / 2)โ†‘2)))
2619, 25mpbid 231 . . . . 5 (((((๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘‹) โˆง (๐‘Œ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘Œ)) โˆง ๐ท โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘‹ < (๐ท / 2) โˆง ๐‘Œ < (๐ท / 2))) โ†’ (๐‘‹โ†‘2) < ((๐ท / 2)โ†‘2))
27 simprr 772 . . . . . 6 (((((๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘‹) โˆง (๐‘Œ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘Œ)) โˆง ๐ท โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘‹ < (๐ท / 2) โˆง ๐‘Œ < (๐ท / 2))) โ†’ ๐‘Œ < (๐ท / 2))
283simprd 497 . . . . . . 7 (((((๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘‹) โˆง (๐‘Œ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘Œ)) โˆง ๐ท โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘‹ < (๐ท / 2) โˆง ๐‘Œ < (๐ท / 2))) โ†’ 0 โ‰ค ๐‘Œ)
294, 13, 28, 24lt2sqd 14168 . . . . . 6 (((((๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘‹) โˆง (๐‘Œ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘Œ)) โˆง ๐ท โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘‹ < (๐ท / 2) โˆง ๐‘Œ < (๐ท / 2))) โ†’ (๐‘Œ < (๐ท / 2) โ†” (๐‘Œโ†‘2) < ((๐ท / 2)โ†‘2)))
3027, 29mpbid 231 . . . . 5 (((((๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘‹) โˆง (๐‘Œ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘Œ)) โˆง ๐ท โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘‹ < (๐ท / 2) โˆง ๐‘Œ < (๐ท / 2))) โ†’ (๐‘Œโ†‘2) < ((๐ท / 2)โ†‘2))
312, 5, 14, 14, 26, 30lt2addd 11786 . . . 4 (((((๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘‹) โˆง (๐‘Œ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘Œ)) โˆง ๐ท โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘‹ < (๐ท / 2) โˆง ๐‘Œ < (๐ท / 2))) โ†’ ((๐‘‹โ†‘2) + (๐‘Œโ†‘2)) < (((๐ท / 2)โ†‘2) + ((๐ท / 2)โ†‘2)))
326, 9, 15, 17sqrtltd 15321 . . . 4 (((((๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘‹) โˆง (๐‘Œ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘Œ)) โˆง ๐ท โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘‹ < (๐ท / 2) โˆง ๐‘Œ < (๐ท / 2))) โ†’ (((๐‘‹โ†‘2) + (๐‘Œโ†‘2)) < (((๐ท / 2)โ†‘2) + ((๐ท / 2)โ†‘2)) โ†” (โˆšโ€˜((๐‘‹โ†‘2) + (๐‘Œโ†‘2))) < (โˆšโ€˜(((๐ท / 2)โ†‘2) + ((๐ท / 2)โ†‘2)))))
3331, 32mpbid 231 . . 3 (((((๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘‹) โˆง (๐‘Œ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘Œ)) โˆง ๐ท โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘‹ < (๐ท / 2) โˆง ๐‘Œ < (๐ท / 2))) โ†’ (โˆšโ€˜((๐‘‹โ†‘2) + (๐‘Œโ†‘2))) < (โˆšโ€˜(((๐ท / 2)โ†‘2) + ((๐ท / 2)โ†‘2))))
34 rpre 12931 . . . . . . . . . . 11 (๐ท โˆˆ โ„+ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„)
3534rehalfcld 12408 . . . . . . . . . 10 (๐ท โˆˆ โ„+ โ†’ (๐ท / 2) โˆˆ โ„)
3635resqcld 14039 . . . . . . . . 9 (๐ท โˆˆ โ„+ โ†’ ((๐ท / 2)โ†‘2) โˆˆ โ„)
3736recnd 11191 . . . . . . . 8 (๐ท โˆˆ โ„+ โ†’ ((๐ท / 2)โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
38372timesd 12404 . . . . . . 7 (๐ท โˆˆ โ„+ โ†’ (2 ยท ((๐ท / 2)โ†‘2)) = (((๐ท / 2)โ†‘2) + ((๐ท / 2)โ†‘2)))
3938fveq2d 6850 . . . . . 6 (๐ท โˆˆ โ„+ โ†’ (โˆšโ€˜(2 ยท ((๐ท / 2)โ†‘2))) = (โˆšโ€˜(((๐ท / 2)โ†‘2) + ((๐ท / 2)โ†‘2))))
4021a1i 11 . . . . . . . . . 10 (๐ท โˆˆ โ„+ โ†’ 2 โˆˆ โ„+)
41 rpge0 12936 . . . . . . . . . 10 (๐ท โˆˆ โ„+ โ†’ 0 โ‰ค ๐ท)
4234, 40, 41divge0d 13005 . . . . . . . . 9 (๐ท โˆˆ โ„+ โ†’ 0 โ‰ค (๐ท / 2))
4335, 42sqrtsqd 15313 . . . . . . . 8 (๐ท โˆˆ โ„+ โ†’ (โˆšโ€˜((๐ท / 2)โ†‘2)) = (๐ท / 2))
4443oveq2d 7377 . . . . . . 7 (๐ท โˆˆ โ„+ โ†’ ((โˆšโ€˜2) ยท (โˆšโ€˜((๐ท / 2)โ†‘2))) = ((โˆšโ€˜2) ยท (๐ท / 2)))
45 2re 12235 . . . . . . . . 9 2 โˆˆ โ„
4645a1i 11 . . . . . . . 8 (๐ท โˆˆ โ„+ โ†’ 2 โˆˆ โ„)
47 0le2 12263 . . . . . . . . 9 0 โ‰ค 2
4847a1i 11 . . . . . . . 8 (๐ท โˆˆ โ„+ โ†’ 0 โ‰ค 2)
4935sqge0d 14051 . . . . . . . 8 (๐ท โˆˆ โ„+ โ†’ 0 โ‰ค ((๐ท / 2)โ†‘2))
5046, 48, 36, 49sqrtmuld 15318 . . . . . . 7 (๐ท โˆˆ โ„+ โ†’ (โˆšโ€˜(2 ยท ((๐ท / 2)โ†‘2))) = ((โˆšโ€˜2) ยท (โˆšโ€˜((๐ท / 2)โ†‘2))))
51 2cnd 12239 . . . . . . . . 9 (๐ท โˆˆ โ„+ โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
5251sqrtcld 15331 . . . . . . . 8 (๐ท โˆˆ โ„+ โ†’ (โˆšโ€˜2) โˆˆ โ„‚)
53 rpcn 12933 . . . . . . . 8 (๐ท โˆˆ โ„+ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
54 2ne0 12265 . . . . . . . . 9 2 โ‰  0
5554a1i 11 . . . . . . . 8 (๐ท โˆˆ โ„+ โ†’ 2 โ‰  0)
5652, 51, 53, 55div32d 11962 . . . . . . 7 (๐ท โˆˆ โ„+ โ†’ (((โˆšโ€˜2) / 2) ยท ๐ท) = ((โˆšโ€˜2) ยท (๐ท / 2)))
5744, 50, 563eqtr4d 2783 . . . . . 6 (๐ท โˆˆ โ„+ โ†’ (โˆšโ€˜(2 ยท ((๐ท / 2)โ†‘2))) = (((โˆšโ€˜2) / 2) ยท ๐ท))
5839, 57eqtr3d 2775 . . . . 5 (๐ท โˆˆ โ„+ โ†’ (โˆšโ€˜(((๐ท / 2)โ†‘2) + ((๐ท / 2)โ†‘2))) = (((โˆšโ€˜2) / 2) ยท ๐ท))
59 2lt4 12336 . . . . . . . . . 10 2 < 4
60 4re 12245 . . . . . . . . . . 11 4 โˆˆ โ„
61 0re 11165 . . . . . . . . . . . 12 0 โˆˆ โ„
62 4pos 12268 . . . . . . . . . . . 12 0 < 4
6361, 60, 62ltleii 11286 . . . . . . . . . . 11 0 โ‰ค 4
64 sqrtlt 15155 . . . . . . . . . . 11 (((2 โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค 2) โˆง (4 โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค 4)) โ†’ (2 < 4 โ†” (โˆšโ€˜2) < (โˆšโ€˜4)))
6545, 47, 60, 63, 64mp4an 692 . . . . . . . . . 10 (2 < 4 โ†” (โˆšโ€˜2) < (โˆšโ€˜4))
6659, 65mpbi 229 . . . . . . . . 9 (โˆšโ€˜2) < (โˆšโ€˜4)
67 2pos 12264 . . . . . . . . . . 11 0 < 2
6845, 67sqrtpclii 15276 . . . . . . . . . 10 (โˆšโ€˜2) โˆˆ โ„
6960, 62sqrtpclii 15276 . . . . . . . . . 10 (โˆšโ€˜4) โˆˆ โ„
7068, 69, 45, 67ltdiv1ii 12092 . . . . . . . . 9 ((โˆšโ€˜2) < (โˆšโ€˜4) โ†” ((โˆšโ€˜2) / 2) < ((โˆšโ€˜4) / 2))
7166, 70mpbi 229 . . . . . . . 8 ((โˆšโ€˜2) / 2) < ((โˆšโ€˜4) / 2)
72 sqrtsq 15163 . . . . . . . . . . 11 ((2 โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค 2) โ†’ (โˆšโ€˜(2โ†‘2)) = 2)
7345, 47, 72mp2an 691 . . . . . . . . . 10 (โˆšโ€˜(2โ†‘2)) = 2
7473oveq1i 7371 . . . . . . . . 9 ((โˆšโ€˜(2โ†‘2)) / 2) = (2 / 2)
75 sq2 14110 . . . . . . . . . . 11 (2โ†‘2) = 4
7675fveq2i 6849 . . . . . . . . . 10 (โˆšโ€˜(2โ†‘2)) = (โˆšโ€˜4)
7776oveq1i 7371 . . . . . . . . 9 ((โˆšโ€˜(2โ†‘2)) / 2) = ((โˆšโ€˜4) / 2)
78 2div2e1 12302 . . . . . . . . 9 (2 / 2) = 1
7974, 77, 783eqtr3i 2769 . . . . . . . 8 ((โˆšโ€˜4) / 2) = 1
8071, 79breqtri 5134 . . . . . . 7 ((โˆšโ€˜2) / 2) < 1
8146, 48resqrtcld 15311 . . . . . . . . 9 (๐ท โˆˆ โ„+ โ†’ (โˆšโ€˜2) โˆˆ โ„)
8281rehalfcld 12408 . . . . . . . 8 (๐ท โˆˆ โ„+ โ†’ ((โˆšโ€˜2) / 2) โˆˆ โ„)
83 1red 11164 . . . . . . . 8 (๐ท โˆˆ โ„+ โ†’ 1 โˆˆ โ„)
84 id 22 . . . . . . . 8 (๐ท โˆˆ โ„+ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„+)
8582, 83, 84ltmul1d 13006 . . . . . . 7 (๐ท โˆˆ โ„+ โ†’ (((โˆšโ€˜2) / 2) < 1 โ†” (((โˆšโ€˜2) / 2) ยท ๐ท) < (1 ยท ๐ท)))
8680, 85mpbii 232 . . . . . 6 (๐ท โˆˆ โ„+ โ†’ (((โˆšโ€˜2) / 2) ยท ๐ท) < (1 ยท ๐ท))
8753mullidd 11181 . . . . . 6 (๐ท โˆˆ โ„+ โ†’ (1 ยท ๐ท) = ๐ท)
8886, 87breqtrd 5135 . . . . 5 (๐ท โˆˆ โ„+ โ†’ (((โˆšโ€˜2) / 2) ยท ๐ท) < ๐ท)
8958, 88eqbrtrd 5131 . . . 4 (๐ท โˆˆ โ„+ โ†’ (โˆšโ€˜(((๐ท / 2)โ†‘2) + ((๐ท / 2)โ†‘2))) < ๐ท)
9011, 89syl 17 . . 3 (((((๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘‹) โˆง (๐‘Œ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘Œ)) โˆง ๐ท โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘‹ < (๐ท / 2) โˆง ๐‘Œ < (๐ท / 2))) โ†’ (โˆšโ€˜(((๐ท / 2)โ†‘2) + ((๐ท / 2)โ†‘2))) < ๐ท)
9110, 18, 12, 33, 90lttrd 11324 . 2 (((((๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘‹) โˆง (๐‘Œ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘Œ)) โˆง ๐ท โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘‹ < (๐ท / 2) โˆง ๐‘Œ < (๐ท / 2))) โ†’ (โˆšโ€˜((๐‘‹โ†‘2) + (๐‘Œโ†‘2))) < ๐ท)
9291ex 414 1 ((((๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘‹) โˆง (๐‘Œ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘Œ)) โˆง ๐ท โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐‘‹ < (๐ท / 2) โˆง ๐‘Œ < (๐ท / 2)) โ†’ (โˆšโ€˜((๐‘‹โ†‘2) + (๐‘Œโ†‘2))) < ๐ท))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2940   class class class wbr 5109  โ€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  โ„cr 11058  0cc0 11059  1c1 11060   + caddc 11062   ยท cmul 11064   < clt 11197   โ‰ค cle 11198   / cdiv 11820  2c2 12216  4c4 12218  โ„+crp 12923  โ†‘cexp 13976  โˆšcsqrt 15127
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-sup 9386  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-rp 12924  df-seq 13916  df-exp 13977  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130
This theorem is referenced by:  sqsscirc2  32554
  Copyright terms: Public domain W3C validator