Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sqsscirc1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sqsscirc1 31327
 Description: The complex square of side 𝐷 is a subset of the complex circle of radius 𝐷. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Sep-2017.)
Assertion
Ref Expression
sqsscirc1 ((((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑌)) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((𝑋 < (𝐷 / 2) ∧ 𝑌 < (𝐷 / 2)) → (√‘((𝑋↑2) + (𝑌↑2))) < 𝐷))

Proof of Theorem sqsscirc1
StepHypRef Expression
1 simp-4l 782 . . . . . 6 (((((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑌)) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝑋 < (𝐷 / 2) ∧ 𝑌 < (𝐷 / 2))) → 𝑋 ∈ ℝ)
21resqcld 13627 . . . . 5 (((((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑌)) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝑋 < (𝐷 / 2) ∧ 𝑌 < (𝐷 / 2))) → (𝑋↑2) ∈ ℝ)
3 simpllr 775 . . . . . . 7 (((((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑌)) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝑋 < (𝐷 / 2) ∧ 𝑌 < (𝐷 / 2))) → (𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑌))
43simpld 498 . . . . . 6 (((((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑌)) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝑋 < (𝐷 / 2) ∧ 𝑌 < (𝐷 / 2))) → 𝑌 ∈ ℝ)
54resqcld 13627 . . . . 5 (((((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑌)) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝑋 < (𝐷 / 2) ∧ 𝑌 < (𝐷 / 2))) → (𝑌↑2) ∈ ℝ)
62, 5readdcld 10677 . . . 4 (((((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑌)) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝑋 < (𝐷 / 2) ∧ 𝑌 < (𝐷 / 2))) → ((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) ∈ ℝ)
71sqge0d 13628 . . . . 5 (((((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑌)) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝑋 < (𝐷 / 2) ∧ 𝑌 < (𝐷 / 2))) → 0 ≤ (𝑋↑2))
84sqge0d 13628 . . . . 5 (((((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑌)) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝑋 < (𝐷 / 2) ∧ 𝑌 < (𝐷 / 2))) → 0 ≤ (𝑌↑2))
92, 5, 7, 8addge0d 11223 . . . 4 (((((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑌)) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝑋 < (𝐷 / 2) ∧ 𝑌 < (𝐷 / 2))) → 0 ≤ ((𝑋↑2) + (𝑌↑2)))
106, 9resqrtcld 14789 . . 3 (((((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑌)) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝑋 < (𝐷 / 2) ∧ 𝑌 < (𝐷 / 2))) → (√‘((𝑋↑2) + (𝑌↑2))) ∈ ℝ)
11 simplr 768 . . . . . . . 8 (((((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑌)) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝑋 < (𝐷 / 2) ∧ 𝑌 < (𝐷 / 2))) → 𝐷 ∈ ℝ+)
1211rpred 12439 . . . . . . 7 (((((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑌)) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝑋 < (𝐷 / 2) ∧ 𝑌 < (𝐷 / 2))) → 𝐷 ∈ ℝ)
1312rehalfcld 11890 . . . . . 6 (((((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑌)) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝑋 < (𝐷 / 2) ∧ 𝑌 < (𝐷 / 2))) → (𝐷 / 2) ∈ ℝ)
1413resqcld 13627 . . . . 5 (((((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑌)) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝑋 < (𝐷 / 2) ∧ 𝑌 < (𝐷 / 2))) → ((𝐷 / 2)↑2) ∈ ℝ)
1514, 14readdcld 10677 . . . 4 (((((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑌)) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝑋 < (𝐷 / 2) ∧ 𝑌 < (𝐷 / 2))) → (((𝐷 / 2)↑2) + ((𝐷 / 2)↑2)) ∈ ℝ)
1613sqge0d 13628 . . . . 5 (((((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑌)) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝑋 < (𝐷 / 2) ∧ 𝑌 < (𝐷 / 2))) → 0 ≤ ((𝐷 / 2)↑2))
1714, 14, 16, 16addge0d 11223 . . . 4 (((((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑌)) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝑋 < (𝐷 / 2) ∧ 𝑌 < (𝐷 / 2))) → 0 ≤ (((𝐷 / 2)↑2) + ((𝐷 / 2)↑2)))
1815, 17resqrtcld 14789 . . 3 (((((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑌)) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝑋 < (𝐷 / 2) ∧ 𝑌 < (𝐷 / 2))) → (√‘(((𝐷 / 2)↑2) + ((𝐷 / 2)↑2))) ∈ ℝ)
19 simprl 770 . . . . . 6 (((((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑌)) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝑋 < (𝐷 / 2) ∧ 𝑌 < (𝐷 / 2))) → 𝑋 < (𝐷 / 2))
20 simp-4r 783 . . . . . . 7 (((((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑌)) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝑋 < (𝐷 / 2) ∧ 𝑌 < (𝐷 / 2))) → 0 ≤ 𝑋)
21 2rp 12402 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℝ+
2221a1i 11 . . . . . . . 8 (((((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑌)) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝑋 < (𝐷 / 2) ∧ 𝑌 < (𝐷 / 2))) → 2 ∈ ℝ+)
2311rpge0d 12443 . . . . . . . 8 (((((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑌)) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝑋 < (𝐷 / 2) ∧ 𝑌 < (𝐷 / 2))) → 0 ≤ 𝐷)
2412, 22, 23divge0d 12479 . . . . . . 7 (((((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑌)) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝑋 < (𝐷 / 2) ∧ 𝑌 < (𝐷 / 2))) → 0 ≤ (𝐷 / 2))
251, 13, 20, 24lt2sqd 13635 . . . . . 6 (((((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑌)) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝑋 < (𝐷 / 2) ∧ 𝑌 < (𝐷 / 2))) → (𝑋 < (𝐷 / 2) ↔ (𝑋↑2) < ((𝐷 / 2)↑2)))
2619, 25mpbid 235 . . . . 5 (((((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑌)) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝑋 < (𝐷 / 2) ∧ 𝑌 < (𝐷 / 2))) → (𝑋↑2) < ((𝐷 / 2)↑2))
27 simprr 772 . . . . . 6 (((((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑌)) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝑋 < (𝐷 / 2) ∧ 𝑌 < (𝐷 / 2))) → 𝑌 < (𝐷 / 2))
283simprd 499 . . . . . . 7 (((((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑌)) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝑋 < (𝐷 / 2) ∧ 𝑌 < (𝐷 / 2))) → 0 ≤ 𝑌)
294, 13, 28, 24lt2sqd 13635 . . . . . 6 (((((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑌)) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝑋 < (𝐷 / 2) ∧ 𝑌 < (𝐷 / 2))) → (𝑌 < (𝐷 / 2) ↔ (𝑌↑2) < ((𝐷 / 2)↑2)))
3027, 29mpbid 235 . . . . 5 (((((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑌)) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝑋 < (𝐷 / 2) ∧ 𝑌 < (𝐷 / 2))) → (𝑌↑2) < ((𝐷 / 2)↑2))
312, 5, 14, 14, 26, 30lt2addd 11270 . . . 4 (((((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑌)) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝑋 < (𝐷 / 2) ∧ 𝑌 < (𝐷 / 2))) → ((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) < (((𝐷 / 2)↑2) + ((𝐷 / 2)↑2)))
326, 9, 15, 17sqrtltd 14799 . . . 4 (((((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑌)) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝑋 < (𝐷 / 2) ∧ 𝑌 < (𝐷 / 2))) → (((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) < (((𝐷 / 2)↑2) + ((𝐷 / 2)↑2)) ↔ (√‘((𝑋↑2) + (𝑌↑2))) < (√‘(((𝐷 / 2)↑2) + ((𝐷 / 2)↑2)))))
3331, 32mpbid 235 . . 3 (((((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑌)) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝑋 < (𝐷 / 2) ∧ 𝑌 < (𝐷 / 2))) → (√‘((𝑋↑2) + (𝑌↑2))) < (√‘(((𝐷 / 2)↑2) + ((𝐷 / 2)↑2))))
34 rpre 12405 . . . . . . . . . . 11 (𝐷 ∈ ℝ+𝐷 ∈ ℝ)
3534rehalfcld 11890 . . . . . . . . . 10 (𝐷 ∈ ℝ+ → (𝐷 / 2) ∈ ℝ)
3635resqcld 13627 . . . . . . . . 9 (𝐷 ∈ ℝ+ → ((𝐷 / 2)↑2) ∈ ℝ)
3736recnd 10676 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ ℝ+ → ((𝐷 / 2)↑2) ∈ ℂ)
38372timesd 11886 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ ℝ+ → (2 · ((𝐷 / 2)↑2)) = (((𝐷 / 2)↑2) + ((𝐷 / 2)↑2)))
3938fveq2d 6659 . . . . . 6 (𝐷 ∈ ℝ+ → (√‘(2 · ((𝐷 / 2)↑2))) = (√‘(((𝐷 / 2)↑2) + ((𝐷 / 2)↑2))))
4021a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝐷 ∈ ℝ+ → 2 ∈ ℝ+)
41 rpge0 12410 . . . . . . . . . 10 (𝐷 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝐷)
4234, 40, 41divge0d 12479 . . . . . . . . 9 (𝐷 ∈ ℝ+ → 0 ≤ (𝐷 / 2))
4335, 42sqrtsqd 14791 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ ℝ+ → (√‘((𝐷 / 2)↑2)) = (𝐷 / 2))
4443oveq2d 7161 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ ℝ+ → ((√‘2) · (√‘((𝐷 / 2)↑2))) = ((√‘2) · (𝐷 / 2)))
45 2re 11717 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℝ
4645a1i 11 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ ℝ+ → 2 ∈ ℝ)
47 0le2 11745 . . . . . . . . 9 0 ≤ 2
4847a1i 11 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 2)
4935sqge0d 13628 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ ℝ+ → 0 ≤ ((𝐷 / 2)↑2))
5046, 48, 36, 49sqrtmuld 14796 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ ℝ+ → (√‘(2 · ((𝐷 / 2)↑2))) = ((√‘2) · (√‘((𝐷 / 2)↑2))))
51 2cnd 11721 . . . . . . . . 9 (𝐷 ∈ ℝ+ → 2 ∈ ℂ)
5251sqrtcld 14809 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ ℝ+ → (√‘2) ∈ ℂ)
53 rpcn 12407 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ ℝ+𝐷 ∈ ℂ)
54 2ne0 11747 . . . . . . . . 9 2 ≠ 0
5554a1i 11 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ ℝ+ → 2 ≠ 0)
5652, 51, 53, 55div32d 11446 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ ℝ+ → (((√‘2) / 2) · 𝐷) = ((√‘2) · (𝐷 / 2)))
5744, 50, 563eqtr4d 2843 . . . . . 6 (𝐷 ∈ ℝ+ → (√‘(2 · ((𝐷 / 2)↑2))) = (((√‘2) / 2) · 𝐷))
5839, 57eqtr3d 2835 . . . . 5 (𝐷 ∈ ℝ+ → (√‘(((𝐷 / 2)↑2) + ((𝐷 / 2)↑2))) = (((√‘2) / 2) · 𝐷))
59 2lt4 11818 . . . . . . . . . 10 2 < 4
60 4re 11727 . . . . . . . . . . 11 4 ∈ ℝ
61 0re 10650 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ ℝ
62 4pos 11750 . . . . . . . . . . . 12 0 < 4
6361, 60, 62ltleii 10770 . . . . . . . . . . 11 0 ≤ 4
64 sqrtlt 14633 . . . . . . . . . . 11 (((2 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 2) ∧ (4 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 4)) → (2 < 4 ↔ (√‘2) < (√‘4)))
6545, 47, 60, 63, 64mp4an 692 . . . . . . . . . 10 (2 < 4 ↔ (√‘2) < (√‘4))
6659, 65mpbi 233 . . . . . . . . 9 (√‘2) < (√‘4)
67 2pos 11746 . . . . . . . . . . 11 0 < 2
6845, 67sqrtpclii 14754 . . . . . . . . . 10 (√‘2) ∈ ℝ
6960, 62sqrtpclii 14754 . . . . . . . . . 10 (√‘4) ∈ ℝ
7068, 69, 45, 67ltdiv1ii 11576 . . . . . . . . 9 ((√‘2) < (√‘4) ↔ ((√‘2) / 2) < ((√‘4) / 2))
7166, 70mpbi 233 . . . . . . . 8 ((√‘2) / 2) < ((√‘4) / 2)
72 sqrtsq 14641 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 2) → (√‘(2↑2)) = 2)
7345, 47, 72mp2an 691 . . . . . . . . . 10 (√‘(2↑2)) = 2
7473oveq1i 7155 . . . . . . . . 9 ((√‘(2↑2)) / 2) = (2 / 2)
75 sq2 13576 . . . . . . . . . . 11 (2↑2) = 4
7675fveq2i 6658 . . . . . . . . . 10 (√‘(2↑2)) = (√‘4)
7776oveq1i 7155 . . . . . . . . 9 ((√‘(2↑2)) / 2) = ((√‘4) / 2)
78 2div2e1 11784 . . . . . . . . 9 (2 / 2) = 1
7974, 77, 783eqtr3i 2829 . . . . . . . 8 ((√‘4) / 2) = 1
8071, 79breqtri 5059 . . . . . . 7 ((√‘2) / 2) < 1
8146, 48resqrtcld 14789 . . . . . . . . 9 (𝐷 ∈ ℝ+ → (√‘2) ∈ ℝ)
8281rehalfcld 11890 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ ℝ+ → ((√‘2) / 2) ∈ ℝ)
83 1red 10649 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ ℝ+ → 1 ∈ ℝ)
84 id 22 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ ℝ+𝐷 ∈ ℝ+)
8582, 83, 84ltmul1d 12480 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ ℝ+ → (((√‘2) / 2) < 1 ↔ (((√‘2) / 2) · 𝐷) < (1 · 𝐷)))
8680, 85mpbii 236 . . . . . 6 (𝐷 ∈ ℝ+ → (((√‘2) / 2) · 𝐷) < (1 · 𝐷))
8753mulid2d 10666 . . . . . 6 (𝐷 ∈ ℝ+ → (1 · 𝐷) = 𝐷)
8886, 87breqtrd 5060 . . . . 5 (𝐷 ∈ ℝ+ → (((√‘2) / 2) · 𝐷) < 𝐷)
8958, 88eqbrtrd 5056 . . . 4 (𝐷 ∈ ℝ+ → (√‘(((𝐷 / 2)↑2) + ((𝐷 / 2)↑2))) < 𝐷)
9011, 89syl 17 . . 3 (((((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑌)) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝑋 < (𝐷 / 2) ∧ 𝑌 < (𝐷 / 2))) → (√‘(((𝐷 / 2)↑2) + ((𝐷 / 2)↑2))) < 𝐷)
9110, 18, 12, 33, 90lttrd 10808 . 2 (((((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑌)) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝑋 < (𝐷 / 2) ∧ 𝑌 < (𝐷 / 2))) → (√‘((𝑋↑2) + (𝑌↑2))) < 𝐷)
9291ex 416 1 ((((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑌)) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((𝑋 < (𝐷 / 2) ∧ 𝑌 < (𝐷 / 2)) → (√‘((𝑋↑2) + (𝑌↑2))) < 𝐷))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987   class class class wbr 5034  ‘cfv 6332  (class class class)co 7145  ℝcr 10543  0cc0 10544  1c1 10545   + caddc 10547   · cmul 10549   < clt 10682   ≤ cle 10683   / cdiv 11304  2c2 11698  4c4 11700  ℝ+crp 12397  ↑cexp 13445  √csqrt 14604 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5171  ax-nul 5178  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7454  ax-cnex 10600  ax-resscn 10601  ax-1cn 10602  ax-icn 10603  ax-addcl 10604  ax-addrcl 10605  ax-mulcl 10606  ax-mulrcl 10607  ax-mulcom 10608  ax-addass 10609  ax-mulass 10610  ax-distr 10611  ax-i2m1 10612  ax-1ne0 10613  ax-1rid 10614  ax-rnegex 10615  ax-rrecex 10616  ax-cnre 10617  ax-pre-lttri 10618  ax-pre-lttrn 10619  ax-pre-ltadd 10620  ax-pre-mulgt0 10621  ax-pre-sup 10622 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3444  df-sbc 3723  df-csb 3831  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4805  df-iun 4887  df-br 5035  df-opab 5097  df-mpt 5115  df-tr 5141  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6334  df-fn 6335  df-f 6336  df-f1 6337  df-fo 6338  df-f1o 6339  df-fv 6340  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7574  df-2nd 7685  df-wrecs 7948  df-recs 8009  df-rdg 8047  df-er 8290  df-en 8511  df-dom 8512  df-sdom 8513  df-sup 8908  df-pnf 10684  df-mnf 10685  df-xr 10686  df-ltxr 10687  df-le 10688  df-sub 10879  df-neg 10880  df-div 11305  df-nn 11644  df-2 11706  df-3 11707  df-4 11708  df-n0 11904  df-z 11990  df-uz 12252  df-rp 12398  df-seq 13385  df-exp 13446  df-cj 14470  df-re 14471  df-im 14472  df-sqrt 14606  df-abs 14607 This theorem is referenced by:  sqsscirc2  31328
 Copyright terms: Public domain W3C validator