Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sqsscirc1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sqsscirc1 32489
Description: The complex square of side 𝐷 is a subset of the complex circle of radius 𝐷. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Sep-2017.)
Assertion
Ref Expression
sqsscirc1 ((((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑌)) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((𝑋 < (𝐷 / 2) ∧ 𝑌 < (𝐷 / 2)) → (√‘((𝑋↑2) + (𝑌↑2))) < 𝐷))

Proof of Theorem sqsscirc1
StepHypRef Expression
1 simp-4l 781 . . . . . 6 (((((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑌)) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝑋 < (𝐷 / 2) ∧ 𝑌 < (𝐷 / 2))) → 𝑋 ∈ ℝ)
21resqcld 14030 . . . . 5 (((((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑌)) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝑋 < (𝐷 / 2) ∧ 𝑌 < (𝐷 / 2))) → (𝑋↑2) ∈ ℝ)
3 simpllr 774 . . . . . . 7 (((((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑌)) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝑋 < (𝐷 / 2) ∧ 𝑌 < (𝐷 / 2))) → (𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑌))
43simpld 495 . . . . . 6 (((((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑌)) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝑋 < (𝐷 / 2) ∧ 𝑌 < (𝐷 / 2))) → 𝑌 ∈ ℝ)
54resqcld 14030 . . . . 5 (((((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑌)) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝑋 < (𝐷 / 2) ∧ 𝑌 < (𝐷 / 2))) → (𝑌↑2) ∈ ℝ)
62, 5readdcld 11184 . . . 4 (((((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑌)) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝑋 < (𝐷 / 2) ∧ 𝑌 < (𝐷 / 2))) → ((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) ∈ ℝ)
71sqge0d 14042 . . . . 5 (((((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑌)) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝑋 < (𝐷 / 2) ∧ 𝑌 < (𝐷 / 2))) → 0 ≤ (𝑋↑2))
84sqge0d 14042 . . . . 5 (((((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑌)) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝑋 < (𝐷 / 2) ∧ 𝑌 < (𝐷 / 2))) → 0 ≤ (𝑌↑2))
92, 5, 7, 8addge0d 11731 . . . 4 (((((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑌)) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝑋 < (𝐷 / 2) ∧ 𝑌 < (𝐷 / 2))) → 0 ≤ ((𝑋↑2) + (𝑌↑2)))
106, 9resqrtcld 15302 . . 3 (((((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑌)) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝑋 < (𝐷 / 2) ∧ 𝑌 < (𝐷 / 2))) → (√‘((𝑋↑2) + (𝑌↑2))) ∈ ℝ)
11 simplr 767 . . . . . . . 8 (((((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑌)) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝑋 < (𝐷 / 2) ∧ 𝑌 < (𝐷 / 2))) → 𝐷 ∈ ℝ+)
1211rpred 12957 . . . . . . 7 (((((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑌)) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝑋 < (𝐷 / 2) ∧ 𝑌 < (𝐷 / 2))) → 𝐷 ∈ ℝ)
1312rehalfcld 12400 . . . . . 6 (((((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑌)) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝑋 < (𝐷 / 2) ∧ 𝑌 < (𝐷 / 2))) → (𝐷 / 2) ∈ ℝ)
1413resqcld 14030 . . . . 5 (((((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑌)) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝑋 < (𝐷 / 2) ∧ 𝑌 < (𝐷 / 2))) → ((𝐷 / 2)↑2) ∈ ℝ)
1514, 14readdcld 11184 . . . 4 (((((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑌)) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝑋 < (𝐷 / 2) ∧ 𝑌 < (𝐷 / 2))) → (((𝐷 / 2)↑2) + ((𝐷 / 2)↑2)) ∈ ℝ)
1613sqge0d 14042 . . . . 5 (((((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑌)) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝑋 < (𝐷 / 2) ∧ 𝑌 < (𝐷 / 2))) → 0 ≤ ((𝐷 / 2)↑2))
1714, 14, 16, 16addge0d 11731 . . . 4 (((((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑌)) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝑋 < (𝐷 / 2) ∧ 𝑌 < (𝐷 / 2))) → 0 ≤ (((𝐷 / 2)↑2) + ((𝐷 / 2)↑2)))
1815, 17resqrtcld 15302 . . 3 (((((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑌)) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝑋 < (𝐷 / 2) ∧ 𝑌 < (𝐷 / 2))) → (√‘(((𝐷 / 2)↑2) + ((𝐷 / 2)↑2))) ∈ ℝ)
19 simprl 769 . . . . . 6 (((((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑌)) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝑋 < (𝐷 / 2) ∧ 𝑌 < (𝐷 / 2))) → 𝑋 < (𝐷 / 2))
20 simp-4r 782 . . . . . . 7 (((((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑌)) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝑋 < (𝐷 / 2) ∧ 𝑌 < (𝐷 / 2))) → 0 ≤ 𝑋)
21 2rp 12920 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℝ+
2221a1i 11 . . . . . . . 8 (((((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑌)) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝑋 < (𝐷 / 2) ∧ 𝑌 < (𝐷 / 2))) → 2 ∈ ℝ+)
2311rpge0d 12961 . . . . . . . 8 (((((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑌)) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝑋 < (𝐷 / 2) ∧ 𝑌 < (𝐷 / 2))) → 0 ≤ 𝐷)
2412, 22, 23divge0d 12997 . . . . . . 7 (((((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑌)) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝑋 < (𝐷 / 2) ∧ 𝑌 < (𝐷 / 2))) → 0 ≤ (𝐷 / 2))
251, 13, 20, 24lt2sqd 14159 . . . . . 6 (((((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑌)) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝑋 < (𝐷 / 2) ∧ 𝑌 < (𝐷 / 2))) → (𝑋 < (𝐷 / 2) ↔ (𝑋↑2) < ((𝐷 / 2)↑2)))
2619, 25mpbid 231 . . . . 5 (((((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑌)) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝑋 < (𝐷 / 2) ∧ 𝑌 < (𝐷 / 2))) → (𝑋↑2) < ((𝐷 / 2)↑2))
27 simprr 771 . . . . . 6 (((((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑌)) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝑋 < (𝐷 / 2) ∧ 𝑌 < (𝐷 / 2))) → 𝑌 < (𝐷 / 2))
283simprd 496 . . . . . . 7 (((((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑌)) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝑋 < (𝐷 / 2) ∧ 𝑌 < (𝐷 / 2))) → 0 ≤ 𝑌)
294, 13, 28, 24lt2sqd 14159 . . . . . 6 (((((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑌)) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝑋 < (𝐷 / 2) ∧ 𝑌 < (𝐷 / 2))) → (𝑌 < (𝐷 / 2) ↔ (𝑌↑2) < ((𝐷 / 2)↑2)))
3027, 29mpbid 231 . . . . 5 (((((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑌)) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝑋 < (𝐷 / 2) ∧ 𝑌 < (𝐷 / 2))) → (𝑌↑2) < ((𝐷 / 2)↑2))
312, 5, 14, 14, 26, 30lt2addd 11778 . . . 4 (((((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑌)) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝑋 < (𝐷 / 2) ∧ 𝑌 < (𝐷 / 2))) → ((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) < (((𝐷 / 2)↑2) + ((𝐷 / 2)↑2)))
326, 9, 15, 17sqrtltd 15312 . . . 4 (((((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑌)) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝑋 < (𝐷 / 2) ∧ 𝑌 < (𝐷 / 2))) → (((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) < (((𝐷 / 2)↑2) + ((𝐷 / 2)↑2)) ↔ (√‘((𝑋↑2) + (𝑌↑2))) < (√‘(((𝐷 / 2)↑2) + ((𝐷 / 2)↑2)))))
3331, 32mpbid 231 . . 3 (((((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑌)) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝑋 < (𝐷 / 2) ∧ 𝑌 < (𝐷 / 2))) → (√‘((𝑋↑2) + (𝑌↑2))) < (√‘(((𝐷 / 2)↑2) + ((𝐷 / 2)↑2))))
34 rpre 12923 . . . . . . . . . . 11 (𝐷 ∈ ℝ+𝐷 ∈ ℝ)
3534rehalfcld 12400 . . . . . . . . . 10 (𝐷 ∈ ℝ+ → (𝐷 / 2) ∈ ℝ)
3635resqcld 14030 . . . . . . . . 9 (𝐷 ∈ ℝ+ → ((𝐷 / 2)↑2) ∈ ℝ)
3736recnd 11183 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ ℝ+ → ((𝐷 / 2)↑2) ∈ ℂ)
38372timesd 12396 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ ℝ+ → (2 · ((𝐷 / 2)↑2)) = (((𝐷 / 2)↑2) + ((𝐷 / 2)↑2)))
3938fveq2d 6846 . . . . . 6 (𝐷 ∈ ℝ+ → (√‘(2 · ((𝐷 / 2)↑2))) = (√‘(((𝐷 / 2)↑2) + ((𝐷 / 2)↑2))))
4021a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝐷 ∈ ℝ+ → 2 ∈ ℝ+)
41 rpge0 12928 . . . . . . . . . 10 (𝐷 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝐷)
4234, 40, 41divge0d 12997 . . . . . . . . 9 (𝐷 ∈ ℝ+ → 0 ≤ (𝐷 / 2))
4335, 42sqrtsqd 15304 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ ℝ+ → (√‘((𝐷 / 2)↑2)) = (𝐷 / 2))
4443oveq2d 7373 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ ℝ+ → ((√‘2) · (√‘((𝐷 / 2)↑2))) = ((√‘2) · (𝐷 / 2)))
45 2re 12227 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℝ
4645a1i 11 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ ℝ+ → 2 ∈ ℝ)
47 0le2 12255 . . . . . . . . 9 0 ≤ 2
4847a1i 11 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 2)
4935sqge0d 14042 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ ℝ+ → 0 ≤ ((𝐷 / 2)↑2))
5046, 48, 36, 49sqrtmuld 15309 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ ℝ+ → (√‘(2 · ((𝐷 / 2)↑2))) = ((√‘2) · (√‘((𝐷 / 2)↑2))))
51 2cnd 12231 . . . . . . . . 9 (𝐷 ∈ ℝ+ → 2 ∈ ℂ)
5251sqrtcld 15322 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ ℝ+ → (√‘2) ∈ ℂ)
53 rpcn 12925 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ ℝ+𝐷 ∈ ℂ)
54 2ne0 12257 . . . . . . . . 9 2 ≠ 0
5554a1i 11 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ ℝ+ → 2 ≠ 0)
5652, 51, 53, 55div32d 11954 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ ℝ+ → (((√‘2) / 2) · 𝐷) = ((√‘2) · (𝐷 / 2)))
5744, 50, 563eqtr4d 2786 . . . . . 6 (𝐷 ∈ ℝ+ → (√‘(2 · ((𝐷 / 2)↑2))) = (((√‘2) / 2) · 𝐷))
5839, 57eqtr3d 2778 . . . . 5 (𝐷 ∈ ℝ+ → (√‘(((𝐷 / 2)↑2) + ((𝐷 / 2)↑2))) = (((√‘2) / 2) · 𝐷))
59 2lt4 12328 . . . . . . . . . 10 2 < 4
60 4re 12237 . . . . . . . . . . 11 4 ∈ ℝ
61 0re 11157 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ ℝ
62 4pos 12260 . . . . . . . . . . . 12 0 < 4
6361, 60, 62ltleii 11278 . . . . . . . . . . 11 0 ≤ 4
64 sqrtlt 15146 . . . . . . . . . . 11 (((2 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 2) ∧ (4 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 4)) → (2 < 4 ↔ (√‘2) < (√‘4)))
6545, 47, 60, 63, 64mp4an 691 . . . . . . . . . 10 (2 < 4 ↔ (√‘2) < (√‘4))
6659, 65mpbi 229 . . . . . . . . 9 (√‘2) < (√‘4)
67 2pos 12256 . . . . . . . . . . 11 0 < 2
6845, 67sqrtpclii 15267 . . . . . . . . . 10 (√‘2) ∈ ℝ
6960, 62sqrtpclii 15267 . . . . . . . . . 10 (√‘4) ∈ ℝ
7068, 69, 45, 67ltdiv1ii 12084 . . . . . . . . 9 ((√‘2) < (√‘4) ↔ ((√‘2) / 2) < ((√‘4) / 2))
7166, 70mpbi 229 . . . . . . . 8 ((√‘2) / 2) < ((√‘4) / 2)
72 sqrtsq 15154 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 2) → (√‘(2↑2)) = 2)
7345, 47, 72mp2an 690 . . . . . . . . . 10 (√‘(2↑2)) = 2
7473oveq1i 7367 . . . . . . . . 9 ((√‘(2↑2)) / 2) = (2 / 2)
75 sq2 14101 . . . . . . . . . . 11 (2↑2) = 4
7675fveq2i 6845 . . . . . . . . . 10 (√‘(2↑2)) = (√‘4)
7776oveq1i 7367 . . . . . . . . 9 ((√‘(2↑2)) / 2) = ((√‘4) / 2)
78 2div2e1 12294 . . . . . . . . 9 (2 / 2) = 1
7974, 77, 783eqtr3i 2772 . . . . . . . 8 ((√‘4) / 2) = 1
8071, 79breqtri 5130 . . . . . . 7 ((√‘2) / 2) < 1
8146, 48resqrtcld 15302 . . . . . . . . 9 (𝐷 ∈ ℝ+ → (√‘2) ∈ ℝ)
8281rehalfcld 12400 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ ℝ+ → ((√‘2) / 2) ∈ ℝ)
83 1red 11156 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ ℝ+ → 1 ∈ ℝ)
84 id 22 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ ℝ+𝐷 ∈ ℝ+)
8582, 83, 84ltmul1d 12998 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ ℝ+ → (((√‘2) / 2) < 1 ↔ (((√‘2) / 2) · 𝐷) < (1 · 𝐷)))
8680, 85mpbii 232 . . . . . 6 (𝐷 ∈ ℝ+ → (((√‘2) / 2) · 𝐷) < (1 · 𝐷))
8753mulid2d 11173 . . . . . 6 (𝐷 ∈ ℝ+ → (1 · 𝐷) = 𝐷)
8886, 87breqtrd 5131 . . . . 5 (𝐷 ∈ ℝ+ → (((√‘2) / 2) · 𝐷) < 𝐷)
8958, 88eqbrtrd 5127 . . . 4 (𝐷 ∈ ℝ+ → (√‘(((𝐷 / 2)↑2) + ((𝐷 / 2)↑2))) < 𝐷)
9011, 89syl 17 . . 3 (((((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑌)) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝑋 < (𝐷 / 2) ∧ 𝑌 < (𝐷 / 2))) → (√‘(((𝐷 / 2)↑2) + ((𝐷 / 2)↑2))) < 𝐷)
9110, 18, 12, 33, 90lttrd 11316 . 2 (((((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑌)) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝑋 < (𝐷 / 2) ∧ 𝑌 < (𝐷 / 2))) → (√‘((𝑋↑2) + (𝑌↑2))) < 𝐷)
9291ex 413 1 ((((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑌)) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((𝑋 < (𝐷 / 2) ∧ 𝑌 < (𝐷 / 2)) → (√‘((𝑋↑2) + (𝑌↑2))) < 𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943   class class class wbr 5105  cfv 6496  (class class class)co 7357  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056   < clt 11189  cle 11190   / cdiv 11812  2c2 12208  4c4 12210  +crp 12915  cexp 13967  csqrt 15118
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9378  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-seq 13907  df-exp 13968  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121
This theorem is referenced by:  sqsscirc2  32490
  Copyright terms: Public domain W3C validator