Theorem sqsscirc1 34068

Description: The complex square of side 𝐷 is a subset of the complex circle of radius 𝐷. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Sep-2017.)

Assertion

Ref	Expression
sqsscirc1	⊢ ((((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑌)) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((𝑋 < (𝐷 / 2) ∧ 𝑌 < (𝐷 / 2)) → (√‘((𝑋↑2) + (𝑌↑2))) < 𝐷))

Proof of Theorem sqsscirc1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp-4l 783	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑌)) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝑋 < (𝐷 / 2) ∧ 𝑌 < (𝐷 / 2))) → 𝑋 ∈ ℝ)
2	1	resqcld 14078	. . . . 5 ⊢ (((((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑌)) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝑋 < (𝐷 / 2) ∧ 𝑌 < (𝐷 / 2))) → (𝑋↑2) ∈ ℝ)
3		simpllr 776	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑌)) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝑋 < (𝐷 / 2) ∧ 𝑌 < (𝐷 / 2))) → (𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑌))
4	3	simpld 494	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑌)) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝑋 < (𝐷 / 2) ∧ 𝑌 < (𝐷 / 2))) → 𝑌 ∈ ℝ)
5	4	resqcld 14078	. . . . 5 ⊢ (((((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑌)) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝑋 < (𝐷 / 2) ∧ 𝑌 < (𝐷 / 2))) → (𝑌↑2) ∈ ℝ)
6	2, 5	readdcld 11165	. . . 4 ⊢ (((((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑌)) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝑋 < (𝐷 / 2) ∧ 𝑌 < (𝐷 / 2))) → ((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) ∈ ℝ)
7	1	sqge0d 14090	. . . . 5 ⊢ (((((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑌)) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝑋 < (𝐷 / 2) ∧ 𝑌 < (𝐷 / 2))) → 0 ≤ (𝑋↑2))
8	4	sqge0d 14090	. . . . 5 ⊢ (((((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑌)) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝑋 < (𝐷 / 2) ∧ 𝑌 < (𝐷 / 2))) → 0 ≤ (𝑌↑2))
9	2, 5, 7, 8	addge0d 11717	. . . 4 ⊢ (((((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑌)) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝑋 < (𝐷 / 2) ∧ 𝑌 < (𝐷 / 2))) → 0 ≤ ((𝑋↑2) + (𝑌↑2)))
10	6, 9	resqrtcld 15371	. . 3 ⊢ (((((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑌)) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝑋 < (𝐷 / 2) ∧ 𝑌 < (𝐷 / 2))) → (√‘((𝑋↑2) + (𝑌↑2))) ∈ ℝ)
11		simplr 769	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑌)) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝑋 < (𝐷 / 2) ∧ 𝑌 < (𝐷 / 2))) → 𝐷 ∈ ℝ+)
12	11	rpred 12977	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑌)) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝑋 < (𝐷 / 2) ∧ 𝑌 < (𝐷 / 2))) → 𝐷 ∈ ℝ)
13	12	rehalfcld 12415	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑌)) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝑋 < (𝐷 / 2) ∧ 𝑌 < (𝐷 / 2))) → (𝐷 / 2) ∈ ℝ)
14	13	resqcld 14078	. . . . 5 ⊢ (((((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑌)) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝑋 < (𝐷 / 2) ∧ 𝑌 < (𝐷 / 2))) → ((𝐷 / 2)↑2) ∈ ℝ)
15	14, 14	readdcld 11165	. . . 4 ⊢ (((((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑌)) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝑋 < (𝐷 / 2) ∧ 𝑌 < (𝐷 / 2))) → (((𝐷 / 2)↑2) + ((𝐷 / 2)↑2)) ∈ ℝ)
16	13	sqge0d 14090	. . . . 5 ⊢ (((((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑌)) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝑋 < (𝐷 / 2) ∧ 𝑌 < (𝐷 / 2))) → 0 ≤ ((𝐷 / 2)↑2))
17	14, 14, 16, 16	addge0d 11717	. . . 4 ⊢ (((((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑌)) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝑋 < (𝐷 / 2) ∧ 𝑌 < (𝐷 / 2))) → 0 ≤ (((𝐷 / 2)↑2) + ((𝐷 / 2)↑2)))
18	15, 17	resqrtcld 15371	. . 3 ⊢ (((((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑌)) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝑋 < (𝐷 / 2) ∧ 𝑌 < (𝐷 / 2))) → (√‘(((𝐷 / 2)↑2) + ((𝐷 / 2)↑2))) ∈ ℝ)
19		simprl 771	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑌)) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝑋 < (𝐷 / 2) ∧ 𝑌 < (𝐷 / 2))) → 𝑋 < (𝐷 / 2))
20		simp-4r 784	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑌)) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝑋 < (𝐷 / 2) ∧ 𝑌 < (𝐷 / 2))) → 0 ≤ 𝑋)
21		2rp 12938	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ+
22	21	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑌)) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝑋 < (𝐷 / 2) ∧ 𝑌 < (𝐷 / 2))) → 2 ∈ ℝ+)
23	11	rpge0d 12981	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑌)) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝑋 < (𝐷 / 2) ∧ 𝑌 < (𝐷 / 2))) → 0 ≤ 𝐷)
24	12, 22, 23	divge0d 13017	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑌)) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝑋 < (𝐷 / 2) ∧ 𝑌 < (𝐷 / 2))) → 0 ≤ (𝐷 / 2))
25	1, 13, 20, 24	lt2sqd 14209	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑌)) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝑋 < (𝐷 / 2) ∧ 𝑌 < (𝐷 / 2))) → (𝑋 < (𝐷 / 2) ↔ (𝑋↑2) < ((𝐷 / 2)↑2)))
26	19, 25	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (((((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑌)) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝑋 < (𝐷 / 2) ∧ 𝑌 < (𝐷 / 2))) → (𝑋↑2) < ((𝐷 / 2)↑2))
27		simprr 773	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑌)) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝑋 < (𝐷 / 2) ∧ 𝑌 < (𝐷 / 2))) → 𝑌 < (𝐷 / 2))
28	3	simprd 495	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑌)) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝑋 < (𝐷 / 2) ∧ 𝑌 < (𝐷 / 2))) → 0 ≤ 𝑌)
29	4, 13, 28, 24	lt2sqd 14209	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑌)) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝑋 < (𝐷 / 2) ∧ 𝑌 < (𝐷 / 2))) → (𝑌 < (𝐷 / 2) ↔ (𝑌↑2) < ((𝐷 / 2)↑2)))
30	27, 29	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (((((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑌)) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝑋 < (𝐷 / 2) ∧ 𝑌 < (𝐷 / 2))) → (𝑌↑2) < ((𝐷 / 2)↑2))
31	2, 5, 14, 14, 26, 30	lt2addd 11764	. . . 4 ⊢ (((((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑌)) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝑋 < (𝐷 / 2) ∧ 𝑌 < (𝐷 / 2))) → ((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) < (((𝐷 / 2)↑2) + ((𝐷 / 2)↑2)))
32	6, 9, 15, 17	sqrtltd 15381	. . . 4 ⊢ (((((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑌)) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝑋 < (𝐷 / 2) ∧ 𝑌 < (𝐷 / 2))) → (((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) < (((𝐷 / 2)↑2) + ((𝐷 / 2)↑2)) ↔ (√‘((𝑋↑2) + (𝑌↑2))) < (√‘(((𝐷 / 2)↑2) + ((𝐷 / 2)↑2)))))
33	31, 32	mpbid 232	. . 3 ⊢ (((((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑌)) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝑋 < (𝐷 / 2) ∧ 𝑌 < (𝐷 / 2))) → (√‘((𝑋↑2) + (𝑌↑2))) < (√‘(((𝐷 / 2)↑2) + ((𝐷 / 2)↑2))))
34		rpre 12942	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ+ → 𝐷 ∈ ℝ)
35	34	rehalfcld 12415	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ+ → (𝐷 / 2) ∈ ℝ)
36	35	resqcld 14078	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ+ → ((𝐷 / 2)↑2) ∈ ℝ)
37	36	recnd 11164	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ+ → ((𝐷 / 2)↑2) ∈ ℂ)
38	37	2timesd 12411	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ+ → (2 · ((𝐷 / 2)↑2)) = (((𝐷 / 2)↑2) + ((𝐷 / 2)↑2)))
39	38	fveq2d 6838	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ+ → (√‘(2 · ((𝐷 / 2)↑2))) = (√‘(((𝐷 / 2)↑2) + ((𝐷 / 2)↑2))))
40	21	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ+ → 2 ∈ ℝ+)
41		rpge0 12947	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝐷)
42	34, 40, 41	divge0d 13017	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ+ → 0 ≤ (𝐷 / 2))
43	35, 42	sqrtsqd 15373	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ+ → (√‘((𝐷 / 2)↑2)) = (𝐷 / 2))
44	43	oveq2d 7376	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ+ → ((√‘2) · (√‘((𝐷 / 2)↑2))) = ((√‘2) · (𝐷 / 2)))
45		2re 12246	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ
46	45	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ+ → 2 ∈ ℝ)
47		0le2 12274	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ≤ 2
48	47	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 2)
49	35	sqge0d 14090	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ+ → 0 ≤ ((𝐷 / 2)↑2))
50	46, 48, 36, 49	sqrtmuld 15378	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ+ → (√‘(2 · ((𝐷 / 2)↑2))) = ((√‘2) · (√‘((𝐷 / 2)↑2))))
51		2cnd 12250	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ+ → 2 ∈ ℂ)
52	51	sqrtcld 15393	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ+ → (√‘2) ∈ ℂ)
53		rpcn 12944	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ+ → 𝐷 ∈ ℂ)
54		2ne0 12276	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ≠ 0
55	54	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ+ → 2 ≠ 0)
56	52, 51, 53, 55	div32d 11945	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ+ → (((√‘2) / 2) · 𝐷) = ((√‘2) · (𝐷 / 2)))
57	44, 50, 56	3eqtr4d 2782	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ+ → (√‘(2 · ((𝐷 / 2)↑2))) = (((√‘2) / 2) · 𝐷))
58	39, 57	eqtr3d 2774	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ+ → (√‘(((𝐷 / 2)↑2) + ((𝐷 / 2)↑2))) = (((√‘2) / 2) · 𝐷))
59		2lt4 12342	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 < 4
60		4re 12256	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 4 ∈ ℝ
61		0re 11137	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ ℝ
62		4pos 12279	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 < 4
63	61, 60, 62	ltleii 11260	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ≤ 4
64		sqrtlt 15214	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((2 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 2) ∧ (4 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 4)) → (2 < 4 ↔ (√‘2) < (√‘4)))
65	45, 47, 60, 63, 64	mp4an 694	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 < 4 ↔ (√‘2) < (√‘4))
66	59, 65	mpbi 230	. . . . . . . . 9 ⊢ (√‘2) < (√‘4)
67		2pos 12275	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < 2
68	45, 67	sqrtpclii 15336	. . . . . . . . . 10 ⊢ (√‘2) ∈ ℝ
69	60, 62	sqrtpclii 15336	. . . . . . . . . 10 ⊢ (√‘4) ∈ ℝ
70	68, 69, 45, 67	ltdiv1ii 12076	. . . . . . . . 9 ⊢ ((√‘2) < (√‘4) ↔ ((√‘2) / 2) < ((√‘4) / 2))
71	66, 70	mpbi 230	. . . . . . . 8 ⊢ ((√‘2) / 2) < ((√‘4) / 2)
72		sqrtsq 15222	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 2) → (√‘(2↑2)) = 2)
73	45, 47, 72	mp2an 693	. . . . . . . . . 10 ⊢ (√‘(2↑2)) = 2
74	73	oveq1i 7370	. . . . . . . . 9 ⊢ ((√‘(2↑2)) / 2) = (2 / 2)
75		sq2 14150	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2↑2) = 4
76	75	fveq2i 6837	. . . . . . . . . 10 ⊢ (√‘(2↑2)) = (√‘4)
77	76	oveq1i 7370	. . . . . . . . 9 ⊢ ((√‘(2↑2)) / 2) = ((√‘4) / 2)
78		2div2e1 12308	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 / 2) = 1
79	74, 77, 78	3eqtr3i 2768	. . . . . . . 8 ⊢ ((√‘4) / 2) = 1
80	71, 79	breqtri 5111	. . . . . . 7 ⊢ ((√‘2) / 2) < 1
81	46, 48	resqrtcld 15371	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ+ → (√‘2) ∈ ℝ)
82	81	rehalfcld 12415	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ+ → ((√‘2) / 2) ∈ ℝ)
83		1red 11136	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ+ → 1 ∈ ℝ)
84		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ+ → 𝐷 ∈ ℝ+)
85	82, 83, 84	ltmul1d 13018	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ+ → (((√‘2) / 2) < 1 ↔ (((√‘2) / 2) · 𝐷) < (1 · 𝐷)))
86	80, 85	mpbii 233	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ+ → (((√‘2) / 2) · 𝐷) < (1 · 𝐷))
87	53	mullidd 11154	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ+ → (1 · 𝐷) = 𝐷)
88	86, 87	breqtrd 5112	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ+ → (((√‘2) / 2) · 𝐷) < 𝐷)
89	58, 88	eqbrtrd 5108	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ+ → (√‘(((𝐷 / 2)↑2) + ((𝐷 / 2)↑2))) < 𝐷)
90	11, 89	syl 17	. . 3 ⊢ (((((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑌)) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝑋 < (𝐷 / 2) ∧ 𝑌 < (𝐷 / 2))) → (√‘(((𝐷 / 2)↑2) + ((𝐷 / 2)↑2))) < 𝐷)
91	10, 18, 12, 33, 90	lttrd 11298	. 2 ⊢ (((((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑌)) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝑋 < (𝐷 / 2) ∧ 𝑌 < (𝐷 / 2))) → (√‘((𝑋↑2) + (𝑌↑2))) < 𝐷)
92	91	ex 412	1 ⊢ ((((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑌)) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((𝑋 < (𝐷 / 2) ∧ 𝑌 < (𝐷 / 2)) → (√‘((𝑋↑2) + (𝑌↑2))) < 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   class class class wbr 5086  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  ℝcr 11028  0cc0 11029  1c1 11030   + caddc 11032   · cmul 11034   < clt 11170   ≤ cle 11171   / cdiv 11798  2c2 12227  4c4 12229  ℝ⁺crp 12933  ↑cexp 14014  √csqrt 15186

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-sup 9348  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-rp 12934  df-seq 13955  df-exp 14015  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189

This theorem is referenced by:  sqsscirc2  34069